3 lista de exercicio EXA 704

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE FEIRA DE SANTANA
DEPARTAMENTO DE CIEˆNCIAS EXATAS
CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II - EXA 191/705
III Lista de Exerc´ıcios
1. Determine se cada integral e´ convergente ou divergente. Avalie aquelas que sa˜o
convergentes.
(a)
∫
∞
1
1
(3x+ 1)2
dx
∫
0
−∞
1
2x− 5 dx
(b)
∫
∞
−∞
e−x dx
∫
∞
−∞
1
3
√
w − 5 dw
(c)
∫
3
−2
1
x4
dx
∫
9
1
1
3
√
x− 9 dx
2. Esboce a regia˜o e encontre sua a´rea (se a a´rea for finita).
(a) S = {(x, y)|x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ ex}
(b) S = {(x, y)|x ≥ −2, 0 ≤ y ≤ e−x/2}
(c) S = {(x, y)|x ≥ 1, 0 ≤ y ≤ (lnx)/x2}
(d) S = {(x, y)|x ≥ 0, 0 ≤ y ≤ 1/√x+ 1}
3. Esboce a regia˜o limitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relac¸a˜o a
x ou a y e enta˜o calcule a a´rea da regia˜o.
(a) y = x2, x = y2.
(b) y = x+ 1, y = (x− 1)2, x = −1 e x = 2.
(c) y = 1− y2, x = y2 − 1
(d) y = cosx, y = sec2 x, x = −pi/4 e x = pi/4.
(e) y = |x|, y = x2 − 2.
(f) y = sinpix, y = x2 − x e x = 2
4. Avalie a integral
∫
1
−1
|x3 − x| dx e interprete-a como a a´rea de uma regia˜o. Esboce
sua regia˜o.
5. Encontre a a´rea da regia˜o limitada pela para´bola y = x2, pela reta tangente a esta
para´bola em (1,1), e o eixo x.
6. Encontre o nu´mero b tal que a reta y = b divida a regia˜o limitada pelas curvas
y = x2 e y = 4 em duas regio˜es de a´reas iguais.
7. Para quais valores de m a reta y = mx e a curva y = x/(x2+1) limitam uma regia˜o?
Encontrem a a´rea da regia˜o.
1
8. Encontre o volume da piraˆmide de base quadrada com lado L e cuja altura e´ h.
R=L
2h
3
9. Uma tomografia computadorizada produz vistas de sec¸o˜es transversais igualmente
espac¸adas de um orga˜o humano, as quais proveˆem informac¸o˜es sobre este orga˜o que
de outra maneira so´ seriam obtidas por meio de cirurgia. Suponha que uma tomo-
grafia computadorizada de um f´ıgado humano mostre sec¸o˜es transversais espac¸adas
de 1,5 cm. O f´ıgado tem 15 cm de comprimento, e as a´reas das sec¸o˜es transversais,
em cent´ımetro quadrados, sa˜o 0, 18, 58, 79, 94, 106, 117, 128, 63, 39 e 0. Use a
Regra do Ponto Me´dio para estimar o volume do f´ıgado.
10. Encontre o volume do so´lido S:
(a) Um cone circular reto com altura h e raio da base r.
(b) Uma calota de uma esfera de raio r e altura h.
(c) Um tronco de cone circular reto de altura h, raio da base inferior R e raio da
base superior r.
(d) Um tronco de piraˆmide com base quadrada de lado b, topo quadrado de lado a
e altura h.
(e) A base de S e´ uma regia˜o parabo´lica {(x, y)|x2 ≤ y ≤ 1}. As sec¸o˜es transversais
perpendiculares ao eixo y sa˜o triaˆngulaos equila´teros.
(f) A base de S e´ uma regia˜o parabo´lica {(x, y)|x2 ≤ y ≤ 1}. As sec¸o˜es transversais
perpendiculares ao eixo y sa˜o quadradas
11. * Uma tigela tem o formato de um hemisfe´rio com diaˆmetro de 30 cm. Uma bola
com 10cm de diaˆmetro e colocada dentro da tigela, e e colocada a´gua dentro da
tigela ate´ a profundidade de h cent´ımetros. Encontre o volume de a´gua na tigela.
12. Use o me´todo das cascas cil´ındricas para encontrar o volume do so´lido obtido pela
rotac¸a˜o da regia˜o limitadaspelas curvas dadas ao redor do eixo dado. Esboce a casca
t´ıpica.
(a) x = 1 + y2, x = 0, y = 1 e y = 2 ao redor do eixo x.
(b) x+ y = 3, x = 4− (y − 1)2 ao redor do eixo x.
(c) y = x2, x = y2 ao redor de y = −1.
(d) y = 4x− x2, y = 8x− 2x2 ao redor de x = −2.
13. Calcule o comprimento da curva.
(a) y =
1
3
(x2 + 2)3/2, 0 ≤ x ≤ 1.
(b) y = ln(1− x2), 0 ≤ x ≤ 0, 5.
(c) y = ex, 0 ≤ x ≤ 1.
(d) x =
1
3
√
y(y − 3), 0 ≤ x ≤ 9.
14. Calcule a a´rea da superf´ıcie obtida pela rotac¸a˜o da curva ao redor do eixo dado.
(a) y =
√
x, 4 ≤ x ≤ 9 ao redor do eixo x.
2
(b) 2y = 3x2/3, 1 ≤ x ≤ 8 ao redor do eixo x.
(c) y = 3
√
x 1 ≤ x ≤ 2 ao redor do eixo y.
(d) x = e2y, 0 ≤ y ≤ 1/2 ao redor do eixo y.
15. A elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1, a > b
e´ girada ao redor do eixo x para formar uma superf´ıcie chamada elipso´ide. Calcule
a a´rea da superf´ıcie desse elipso´ide.
Estes exerc´ıcios foram retirados do livro:
Stewart, James. Ca´lculo Vol 1, Pioneira Thomsom Learning, 4◦ Edic¸a˜o, Sa˜o Paulo, 2002.
DEUS os abenc¸oe e divirtam-se
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