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O ponto (empressão gráfica, UFERSA)

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Mossoró – RN
Março - 2012
Universidade Federal Rural do Semi-árido
Departamento de Ciências Ambientais e Tecnológicas
Disciplinas: Expressão gráfica e Desenho l
O ponto
Prof. Aécio Pereira
2.1. Introdução:
 A geometria descritiva (GD) é um ramo da geometria que tem
como objetivo representar objetos de três dimensões em um plano
bidimensional (épura);
 Foi desenvolvida por Gaspard Monge sendo chamada de
geometria mongeana ou método de monge;
 A GD serve como base teórica para o desenho técnico, permitindo
a construção de vistas auxiliares, cortes, rebatimentos e
interseções de planos e sólidos;
 Na GD estudam-se a representação das partes elementares de um
objeto (ponto, reta e plano);
 Onde há planejamento, projeto e representação gráfica, aí está a
GD.
2. O ponto
2.2.1. As principais formas de projetar uma figura em um plano
são:
Utilizando um sistema de projeção central (cônica);
Utilizando um sistema de projeção cilíndrica.
2.2. Sistemas de Projeção
2. O ponto
2.2.2. Elementos de projeção:
2.2. Sistemas de Projeção
2. O ponto
2.2.3. Projeção cônica: é obtida quando o centro de projeção está a 
uma distância finita do plano de projeção.
2.2. Sistemas de Projeção
2. O ponto
2.2.4. Projeção cilíndrica ou paralela: é obtida quando o centro de 
projeção está a uma distância infinita do plano de projeção.
2.2. Sistemas de Projeção
2. O ponto
a) oblíqua: quando a direção das projetantes forma um ângulo
oblíquo com o plano de projeção.
b) ortogonal: quando a direção das projetantes forma um ângulo de
90º com o plano de projeção.
2.2.4. Projeção cilíndrica
2. O ponto
Os objetos são diferentes,
mas observe que quando
são projetados no plano,
suas projeções coincidem.
2.3. Sistema mongeano de Projeção
2. O ponto
2.3. Sistema mongeano de Projeção
As projeções no PLANO VERTICAL são diferentes das projeções no 
PLANO HORIZONTAL, isto faz com que os objetos fiquem melhor 
definidos.
2. O ponto
2.4. O Espaço: 
a) Planos de projeção principais
 Plano projeção horizontal (π);
 Plano de projeção vertical (π’).
2. O ponto
2.4. O Espaço: 
b) Semi-planos de projeções
 Semi-plano horizontal anterior (πA);
 Semi-plano horizontal posterior (πP);
 Semi-plano vertical superior (π’S);
 Semi-plano vertical inferior (π’I);
2. O ponto
2.4. O Espaço: 
c) Diedros: regiões compreendidas entre os semi-planos.
 Primeiro diedro (1ºd): região entre SPHA e SPVS;
 Segundo diedro (2ºd): região entre SPHP e SPVS;
 Terceiro diedro (3ºd): região entre SPHP e SPVI;
 Quarto diedro (4ºd): região entre SPHA e SPVI;
2. O ponto
2.5. Conceito de ponto:
 Interseção entre duas retas;
 Um pingo no “i”;
 Um ponto do lápis; etc.
 É uma entidade matemática sem dimensões;
2. O ponto
 Geometricamente, pode-se dizer que é uma entidade localizada
no espaço definida através de suas coordenada descritivas.
2.6. Coordenadas descritivas de um ponto: 
Numericamente:
(A) [x; y; z]
2. O ponto
a) Afastamento: é a posição da projeção horizontal em relação a linha
de terra. Se for medido no SPHA (πA) é positivo [y > 0]; se for
medido no SPHP (πP) é negativo [y < 0].
2. O ponto
2.6. Coordenadas descritivas de um ponto: 
b) Cota: é a posição da projeção vertical em relação a linha de terra. 
Se for medida no SPVS (π’S) é positiva [z > 0]; se for medida no 
SPVI (π’I) é negativa [z < 0].
2. O ponto
2.6. Coordenadas descritivas de um ponto: 
c) Abcissa: é a posição da projeção do ponto na linha de terra. Se for 
medida à direita da origem é positiva, [x > 0]; se for medida à 
esquerda da origem é negativa [x < 0].
2. O ponto
2.6. Coordenadas descritivas de um ponto: 
 Um ponto localizado no 1º diedro:
Coordenadas:
(A) [x(A); y(A) > 0; z(A) > 0]
2. O ponto
2.6. Coordenadas descritivas de um ponto: 
Coordenadas descritivas:
(B) [x(B); y(B) < 0; z(B) > 0]
2. O ponto
 Um ponto localizado no 2º diedro:
2.6. Coordenadas descritivas de um ponto: 
Coordenadas descritivas:
(C) [x(C); y(C) < 0; z(C) < 0]
2. O ponto
 Um ponto localizado no 3º diedro:
2.6. Coordenadas descritivas de um ponto: 
Coordenadas descritivas:
(D) [x(D); y(D) > 0; z(D) < 0]
2. O ponto
 Um ponto localizado no 4º diedro:
2.6. Coordenadas descritivas de um ponto: 
Coordenadas descritivas:
(E) [x(E); y(E) > 0; z(E) = 0]
2. O ponto
 Um ponto situado no (πA):
2.6. Coordenadas descritivas de um ponto: 
Coordenadas descritivas:
(F) [x(F); y(F) < 0; z(F) = 0]
2. O ponto
 Um ponto situado no (πP):
2.6. Coordenadas descritivas de um ponto: 
Coordenadas descritivas:
(G) [x(G); y(G) = 0; z(G) > 0]
2. O ponto
 Um ponto situado no (π’S):
2.6. Coordenadas descritivas de um ponto: 
Coordenadas descritivas:
(H) [x(H); y(H) = 0; z(H) = 0]
2. O ponto
 Um ponto situado em π’π (Linha de terra):
2.6. Coordenadas descritivas de um ponto: 
2.7. Épura:
 Figura plana obtida a partir da superposição dos planos de
projeção horizontal e vertical.
 Gira-se o plano horizontal para cima do vertical no sentido
horário.
2. O ponto
2.8. Coordenadas descritivas de um ponto em épura:
2. O ponto
 Abcissa: Escolhe-se uma origem qualquer, O, e mede-se a 
abcissa a partir dela;
 Afastamento: medido acima, abaixo ou coincidindo com a linha 
de terra;
 Cota: medida acima, abaixo ou coincidindo com a linha de terra.
2.9. Representação de um ponto em épura:
Coordenada 1º d 2º d 3º d 4º d
Abcissa
Afastamento
Cota
2. O ponto
2.9. Representação de um ponto em épura:
Coordenada (πA) (πp) (π’s) (π’I)
Abcissa
Afastamento
Cota
2. O ponto
2.10. Planos bissetores:
São planos de projeção auxiliares, dispostos de uma
forma tal que divide o ângulo formado por dois semi-planos ao
meio (45º).
a) Bissetor impar (βI): plano que passa pelos 1º e 3º diedros
dividindo-os em duas regiões exatamente iguais.
b) Bissetor par (βP): plano que passa pelos 2º e 4º diedros dividindo-
os em duas regiões exatamente iguais.
2. O ponto
2.10. Planos bissetores
2. O ponto
2.11. Coordenadas de pontos nos bissetores e suas 
representações em épura.
a) Bissetor impar (βI):
 Afastamento e cota iguais (y = z);
 Em épura as projeções horizontal e vertical são simétricas em 
relação a linha de terra.
2. O ponto
b) Bissetor par (βP):
 Afastamento e cota são simétricos (y = -z);
 Em épura as projeções horizontal e vertical são coincidentes.
2. O ponto
2.11. Coordenadas de pontos nos bissetores e suas 
representações em épura.
2.12. Simetria de dois pontos 
a) Conceito:
Dois pontos são simétricos em relação a um plano, quando o
segmento de reta que os une é ortogonal ao plano (pontos com
mesma abcissa) e os pontos equidistam deste plano.
2. O ponto
b) Simetria em relação a (π):
 Mesmas abcissas (x(A) = x(B))
 Mesmos afastamentos (y(A) = y(B))
 Cotas simétricas (z(A) = - z(B))
2. O ponto
2.12. Simetria de dois pontos 
b) Simetria em relação a (π’):
 Mesmas abcissas (x(A) = x(B))
 Afastamentos simétricos (y(A) = - y(B))
 Mesmas cotas (z(A) = z(B))
2. O ponto
2.12. Simetria de dois pontos 
c) Simetria em relação a (π’ π):
 Mesmas abcissas (x(A) = x(C))
 Afastamentos simétricos (y(A) = - y(C))
 Cotas simétricas (z(A) = - z(C))
2. O ponto
2.12. Simetria de dois pontos 
d) Simetria em relação ao (βI):
Obs.: as projeções de nomes
contrário são simétricas.
 Mesmas abcissas (x(A) = x(B))
 Afastamentos e cotas trocados
 y(A) = z(B) e z(A) = y(B))
2. O ponto
2.12. Simetria de dois pontos 
e)Simetria em relação ao (βP):
 Mesmas abcissas (x(A) = x(B))
 Afastamentos e cotas trocados e de sinais contrários
 y(A) = - z(B) e z(A) = - y(B)
Obs.: as projeções
de nomes contrário
são coincidentes.
2. O ponto
2.12. Simetria de dois pontos 
2. O ponto
2.10. Exercícios pag.’ 32( Responder os itens 1 – 6) 
1) Representar por suas projeções os seguintes pontos:
(A) [2;3;1] (B) [4;-2;5] (C) [6;-4;-2,5] (D) [8;3;-1]
(M) [10;4;?] situado em (p) (N) [12;?;3,5] situado em (p’)
(X) [18; ?;?] situado em p’p (Y) [20;4;?] situado em (bI) 
(Z) [22; ?;-4] situado em (bP) 
2) Construir a épura dos pontos (A), (B), (C), (D) e (E) sabendo-se que:
(A) é simétrico de (M) [4;2;4] em relação ao (p);
(B) é simétrico de (N) [8;-3;-2] em relação ao (p’);
(C) é simétrico de (P) [12;5;-3] em relação a p’p;
(D) é simétrico de (Q) [16;4;2] em relação ao (bP);
(E) é simétrico de (R) [20;-4;-6] em relação ao (bI);
3) O ponto (C) [4;2;-5] é simétrico de (B) em relação a (p), e este ponto é 
simétrico de (A), em relação ao (bI). Das as cordenadas do ponto (A)
2. O ponto
2.13. Exercícios ( Responder os itens 1 – 6) 
4) Ler as épuras dos pontos de 1 a 11 do exercício 1.
5) Construir e ler as épuras dos seguintes pontos:
(A) [4;4;0] (B) [6;0;-5] (C) [8;0;0] (D) [10;-5;0]
(E) [12;4;-4] (F) [14;3;3] (G) [16;-5;5] (H) [18;-2;3-2] 
(I) [20; 0;5] 
OBSERVAÇÃO: Utilizar uma só linha de terra
6) Intituir os critérios para que dois pontos sejam simétricos:
(1) Em relação ao (p ); (2) Em relação a (p’) (3) Em relação a p‘p.
(4) Em relação ao ((bI ); (5) Em relação a (bP)

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