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Lista de exercícios - Cálculo Diferencial e Integral I Problemas de Otimização 1) De uma longa folha retangular de metal de 30 cm de largura deve-se fazer uma calha dobrando as bordas perpendicularmente à folha. Quantos centímetros devem ser dobrados de cada lado de modo que a calha tenha capacidade máxima? 2) Deve-se construir uma caixa de base retangular, com uma folha de cartolina de 40 cm de largura e 52 cm de comprimento, retirando-se um quadrado da cada canto da cartolina e dobrando-se perpendicularmente os lados resultantes. Determine o tamanho do lado do quadrado que permite construir uma caixa de volume máximo. 3) Um recipiente cilíndrico, aberto em cima, deve ter capacidade de 375pi cm3. O custo do material usado para a base do recipiente é de 15 centavos o cm2 e o custo do material usado para a parte curva é de 5 centavos por cm2. Se não há perda de material, determine as dimensões que minimizem o custo do material. 4) Determine o volume máximo de um cilindro circular reto que pode ser inscrito em um cone de 12 cm de altura e 4 cm de raio da base, se os eixos do cilindro e do cone coincidem. 5) Deve-se construir um tanque para armazenamento de gás propano em forma de cilindro circular reto com dois hemisférios nas extremidades. O custo de metro quadrado dos hemisférios é o dobro do custo da parte cilíndrica. Se a capacidade do tanque deve ser de 10pi cm3, que dimensões minimizará o custo da construção? 6) Uma bateria de voltagem fixa V e resistência interna fixa r está ligada a um circuito de resistência variável R. Pela Lei de Ohm, a corrente I no circuito é I = )rR( V + . Se a força resultante é dada por P = I2.R, mostre que a força máxima ocorre quando R = r. 7) Um projétil é lançado verticalmente para cima com uma velocidade de 120 m/s. Pela física sabemos que sua distância acima do solo após t segundos é s(t) = - 4,9t2 + 120t. a) Determine em que instante e com que velocidade o projétil atinge o solo. b) Determine a altura máxima alcançada pelo projétil. c) Determine a aceleração em um instante t arbitrário. 8) Um fabricante de móveis estima que o custo semanal da fabricação de x reproduções (manuais) de uma mesa colonial é dado por C(x) = x3 – 3x2 – 80x + 500. Cada mesa é vendida por R$ 2800,00. Que produção semanal maximizará o lucro? Qual o máximo lucro semanal possível? 9) Uma lata cilíndrica fechada pode conter 1 litro (1000 cm3) de líquido. Como poderíamos escolher a altura e o raio para minimizar o material usado na confecção da lata? 10) O Departamento de Estradas e Rodagens planeja construir uma área de piquenique para os motoristas ao longo de uma grande auto-estrada. Ela deve ser retangular, com uma área de 5000 metros quadrados, e deverá ser cercada nos três lados não-adjacentes à estrada. Qual é a menor quantidade de cerca que será necessária para completar o trabalho? 11) No projeto de aviões, uma característica importante é o chamado “fator de arraste”, isto é, a força de freagem exercida pelo ar sobre o avião. Um modelo mede o arraste por uma função da forma F(v) = Av2 + 2v B , onde A e B são constantes positivas. Descobre-se experimentalmente que o arraste é minimizado quando v = 160 mph. Use esta informação para encontrar a razão A B . Sugestões para a resolução e gabarito 1) x = 7,5 cm 2) V = x(40 – 2x)(52 – 2x) x = 7,47 cm 3) V = 375pi cm3 V = pir2h = 375pi h = 2r 375 Custo = 15(pir2) + 5(2pirh) C = 15(pir2) + 5(2pir 2r 375 ) C = 15pir2 + 3750r -1 C’(r) = 0 30pir - 3750r -2 = 0 r = 5 cm h = 15 cm 4) Fazendo semelhança de triângulos 4 12 r4 h = − h = 3(4 – r) V = pir2h = pir2(3)(4 – r) r = 3 8 5) r = 315 2 1 m h = 3152 m 6) I = rR V + P = I2 R P = R rR V 2 + P’(R) = 0 R = r 7) a) – 4,9t2 + 120t = 0 t = 0 ou t = 24,5 O projétil atinge o solo após 24,5 segundos v(t) = s’(t) = –9,8 + 120 s’(24,5) = –120,1 m/s v(24,5) = 120,1 m/s b) v(t) = 0 t = 12,24 s c) a(t) = s”(t) = – 9,8 m/s2 8) Lucro = L(x) Receita = R(x) Custo = C(x) L(x) = R(x) – C(x) L(x) = 2800x – (x3 – 3x2 – 80x + 500) L’(x) = 0 Resposta: x = 32 mesas L(32) = 61 964 unidades monetárias 9) V = 1000 cm3 V = pir2h = 1000 h = 2r 1000 Π Material = 2pir2 + 2pirh M(r) = 2pir2 + 2pir 2r 1000 Π M’(r) = 0 r = 3 500 Π ≈ 5,42 cm h = 10,84 cm = 2r 10) A = 5000 m2 A = xy = 5000 y = x 5000 Cerca = 2x + y C(x) = 2x + x 5000 C’(x) = 0 x = 50m y = 100m 11) F(v) = Av2 + 2v B F’(v) = 0 A B = (160)4
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