Física Clássica Aula 10

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Trabalho e Energia Mecaˆnica
Conservac¸a˜o da Quantidade de Movimento
Centro de Massa
F´ISICA CLA´SSICA
Rafael,
Suzana
Bras´ılia, 1o semestre de 2009
Universidade de Bras´ılia - Faculdade do Gama
Rafael,Suzana F´ISICA CLA´SSICA
Trabalho e Energia Mecaˆnica
Conservac¸a˜o da Quantidade de Movimento
Centro de Massa
Trabalho e Energia Mecaˆnica
Conservac¸a˜o da Quantidade de Movimento
Centro de Massa
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Trabalho e Energia Mecaˆnica
Conservac¸a˜o da Quantidade de Movimento
Centro de Massa
Poteˆncia
Considere o tempo envolvido na realizac¸a˜o do trabalho. Em muitas
aplicac¸o˜es pra´ticas e teo´ricas e´ mais importante a informac¸a˜o o
trabalho por unidade de tempo, isto e´ a taxa de trabalho, do que o
pro´prio trabalho em si.
I Define-se Poteˆncia como a taxa em que o trabalho e´
realizado. A Poteˆncia Me´dia, e´ dada por P = 4W4t
I A Poteˆncia Instantaˆnea P = dWdt
I A unidade de poteˆncia no SI e´ o Watt (W)
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Conservac¸a˜o da Quantidade de Movimento
Centro de Massa
Poteˆncia
I dW = Fdx , P = dWdt
I P = F dxdt = Fv onde v e´ a velocidade instantaˆnea da part´ıcula
I P = Fv = m dvdt v =
d
dt (
1
2mv
2) = dTdt
I No movimento de uma part´ıcula sob a ac¸a˜o de uma forc¸a, a
poteˆncia representa a taxa de variac¸a˜o temporal da energia
cine´tica da part´ıcula
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Conservac¸a˜o da Quantidade de Movimento
Centro de Massa
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Conservac¸a˜o da Quantidade de Movimento
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Conservac¸a˜o da Quantidade de Movimento
Centro de Massa
Conservac¸a˜o da quantidade de movimento
I Considere a colisa˜o entre duas esferas r´ıgidas.
I No momento da colisa˜o, a forc¸a que a esfera 1 faz sobre a
esfera 2 deve ser igual e contra´ria a` forc¸a que a esfera 2 faz
sobre a esfera 1, de acordo com a 3a lei.
I Ou seja, F1 = −F2 ⇒ dp1
dt
= −dp2
dt
I Integrando esta u´ltima equac¸a˜o no tempo, obtemos:
I p1(t)− p1(0) = −(p2(t)− p2(0))
I Rearranjando a equac¸a˜o acima, temos finalmente
p1(t) + p2(t) = p1(0) + p2(0), ou seja a quantidade de
movimento total do sistema P = p1 + p2 e´ conservada!
I Isto acontece por que na˜o atuam sobre este sistema forc¸as
externas, todas as forc¸as que agem enta˜o obedecem a` 3a lei.
Isto significa que todo sistema isolado tem esta propriedade,
tem a quantidade de movimento total conservada!
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Conservac¸a˜o da Quantidade de Movimento
Centro de Massa
Caso geral - Quantidade de Movimento
Considere agora o caso mais geral em que atuem sobre o sistema
forc¸as externas:
I dp1
dt = F1 + F1ext
I
I dp2
dt = F2 + F2ext
I Somando as duas expresso˜es anteriores obtemos:
I dp1
dt +
dp2
dt = F1 + F1ext + F2 + F2ext
I Aplicando a Terceira Lei de Newton para as forc¸as internas:
I dP
dt = Fext onde P e´ a quantidade de movimento total do
sistema e Fext e´ a resultante das forc¸as externas
I Pode-se concluir enta˜o que para que a conservac¸a˜o da
quantidade de movimento seja va´lida, na˜o necessa´riamente o
sistema precisa ser isolado, desde que a resultante das forc¸as
externas seja nula.
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Centro de Massa
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Conservac¸a˜o da Quantidade de Movimento
Centro de Massa
Centro de Massa
I Considere um sistema composto por duas part´ıculas de massa
m nas posic¸o˜es r1 e r2
I p1 = m dr1dt e p2 = m
dr2
dt
I P = p1 + p2 = m ddt (r1 + r2)
I Considerando o sistema como um todo, representado por uma
u´nica part´ıcula M = 2m
I M d
2R
dt2
= Fext
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Centro de Massa
Centro de Massa
I R = 12 (r1 + r2) e´ o vetor posic¸a˜o do ponto
me´dio do segmento que une as duas massas
designado CENTRO DE MASSA
I Para um sistema de duas part´ıculas de
mesma massa, de posic¸o˜es instantaˆneas
r1(t) e r2(t) sob a ac¸a˜o de forc¸as inter-
nas newtonianas e forc¸as externas quaisquer,
o ponto me´dio do segmento que une as
posic¸o˜es instantaˆneas das duas part´ıculas, se
move, de acordo com M d
2R
dt2
= Fext , como
uma u´nica part´ıcula de massa igual a massa
total do sistema, sobre a qual agiria uma
forc¸a igual a` resultante das forc¸as externas.
r1
r2
R
CM
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Centro de Massa
Centro de Massa
I Considere agora um sistema formado por duas part´ıculas de
massas diferentes m1 e m2
I P = p1 + p2 = m1 dr1dt + m2
dr2
dt =
d
dt (m1r1 + m2r2) = M
dR
dt
I M = m1 + m2
I R = m1r1+m2r2m1+m2
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Centro de Massa
Centro de Massa - Sistemas de Va´rias Part´ıculas
Considere um sistema formado por um nu´mero qualquer de N
part´ıculas, de massas m1,m2, ...,mN , cujos vetores posic¸a˜o em um
instante t sa˜o t1, t2, ..., tN
I Equac¸o˜es de movimento do sistema de part´ıculas sa˜o dadas
por:
∑N
i=1 mi
d2ri
dt2
=
∑N
i=1(Fi + Fext) com i = 1, 2, ...N
I M d
2R
dt2
= Fext
I R = 1M
∑N
i=1 mi ri =
m1r1+m2r2+...+mN rN
m1+m2+...+mN
e´ o vetor posic¸a˜o do
centro de massa do sistema
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Centro de Massa
Centro de Massa - Sistemas Cont´ınuos
Um corpo r´ıgido pode ser considerado um sistema de part´ıculas
muito pro´ximas. O nu´mero de part´ıculas e´ muito grande e a
distaˆncia entre elas muito pequena que podemos tratar o corpo
como sendo uma distribuic¸a˜o cont´ınua de massa.
I Subdividindo o corpo em N elementos de massa ∆mi , o vetor
posic¸a˜o do Centro de Massa do corpo e´ dado por
I R =
∑
i ∆mi ri∑
i ∆mi
I Quando o nu´mero de subdiviso˜es cresce indefinidamente e
∆mi → 0 (e´ um elemento de massa infinitesimal)
I R =
∫
rdm∫
dm
, sabendo que
∫
dm = M
I R = 1M
∫
rdm
I Se considerarmos a acelerac¸a˜o gravitacional constante e corpo
for homogeˆneo, o centro de massa coincide com o centro de
gravidade e o centro geome´trico
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Conservac¸a˜o da Quantidade de Movimento
Centro de Massa
Centro de Massa - Exemplos
I 1) Sejam treˆs part´ıculas localizadas nos ve´rtices de um
triaˆngulo equila´tero de lado a=140 cm de massas
m1 = 1.2kg ,m2 = 2.5kg e m3 = 3.4kg . Calcule o centro de
massa do sistema. Ele coincide com o centro geome´trico do
triaˆngulo?
I 2) Exerc´ıcio 11 do Cap. 8 do Livro Texto.
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Conservac¸a˜o da Quantidade de Movimento
Centro de Massa
Refereˆncias
I Livro texto, cap´ıtulo 7, (p. 140-141), cap´ıtulo 8 (p. 148-159).
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	Trabalho e Energia Mecânica
	Conservação da Quantidade de Movimento
	Centro de Massa