Séries e Equações Diferenciais - Christian José Quintana Pinedo

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Coleção Lições de Matemática
S É R I E S
e
E Q U A Ç Õ E S
D I F E R E N C I A I S
.5
Christian Q. Pinedo
ii Séries e Equações Diferenciais
Dedico a
Karyn S. P.
Pela sua paciência e compreensão.
iii
iv Séries e Equações Diferenciais
Título do original
Séries e Equações Diferenciais
Janeiro de 2012
Direitos exclusivos para língua portuguesa:
UFT - CAMPUS DE PALMAS
Coordenação de Engenharia Civil/Elétrica
512.8
Pinedo. Christian Quintana, 1954 -
Séries e Equações Diferenciais / Christian José Quintana Pinedo
: Universidade Federal do Tocantins. Campus de Palmas, Curso de
Engenharia Civil/Elétrica, 2009.
400 p. il. 297mm
I. Série e Equações Diferenciais. Christian Q. Pinedo. II. Série. III.
Título
CDD 512.8 ed. CDU
SUMÁRIO
PREFÁCIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi
1 Série de potências 1
1.1 Séries de números reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Critérios de convergência das séries numéricas . . . . . . . . . . . . 11
1.1.2 Sumário dos Critérios para Séries de Números. . . . . . . . . . . . . 17
1.2 Séries de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.1 Raio de convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Exercícios 1-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.3 Desenvolvimento em séries de potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.3.1 A função exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.4 Operações com série de potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.4.1 A série binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.5 Série de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.5.1 Série de Taylor associada a uma função . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.5.2 Polinômio de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.5.3 Convergência da série de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Exercícios 1-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.6 Fórmula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1.6.1 Resto de um Polinômio de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
1.6.2 Combinando Séries de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1.7 Lista de série de Taylor de algumas funções comuns . . . . . . . . . . . . . 62
1.8 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
1.8.1 Cálculo de limites e integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
1.8.2 Estudo de Extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
1.8.3 Outra definição para a derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
1.9 Série de Taylor em várias variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
1.9.1 Para duas variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Exercícios 1-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
v
vi Séries e Equações Diferenciais
2 Equações diferenciais de 1a ordem. 75
2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.2 Equações diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.2.1 Classificação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.2.2 Ordem e grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.2.3 Equações diferenciais lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.2.4 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.3 Solução de uma equação diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.3.1 Campo de direções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.3.2 Solução Geral. Solução Particular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
2.3.3 Solução Singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
2.3.4 Problemas de valores iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Exercícios 2-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.4 Classificação das EDO de primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.4.1 Forma Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.4.2 Forma Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.5 Cálculo da solução de equações de 1a ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
2.5.1 Equações de variáveis separáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
2.5.2 Equações Diferenciais Exatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2.5.3 Equações Homogêneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Exercícios 2-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
2.6 Equações Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
2.6.1 Fator integrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
2.6.2 Determinação de um fator integrante . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
2.6.3 Métodos de solução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Exercícios 2-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
2.7 Equações diferenciais especiais de 1a ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
2.7.1 Equações de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
2.7.2 Equação de primeira ordem de grau n . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
2.7.3 Equações da forma F (y, y′) = 0 e F (x, y′) = 0 . . . . . . . . . . . 135
2.7.4 Equação de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
2.7.5 Equação de Clairaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Exercícios 2-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
3 Equações diferenciais de ordem n > 1. 141
3.1 Teoria preliminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
3.2 Equações diferenciais especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
3.3 Equações diferenciais lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
Christian José Quintana Pinedo vii
3.3.1 Problema de valor inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
3.4 Teorema de existência e unicidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
3.4.1 Problema de valor de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
3.4.2 Dependência Linear. Independência linear . . . . . . . . . . . . . . 147
3.4.3 O Wronskiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Exercícios 3-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
3.5 Equações diferenciais lineares de coeficientes constantes . . . . . . . . . . . 157
3.5.1 Equação linear homogênea de segunda ordem . . . . . . . . . . . . 157
3.5.2 Equação linear homogênea de ordem maior que dois . . . . . . . . . 159
3.6 Equações lineares não homogêneas de coeficientes constantes . . . . . . . . 162
3.6.1 Equação não homogênea de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . 162
Exercícios 3-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
3.6.2 Equação não homogênea de ordem maior que dois . . . . . . . . . . 169
3.6.3 O método dos coeficientes indeterminados . . . . . . . . . . . . . . 173
3.6.4 O método complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
3.6.5 O método da variação de parâmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
Exercícios 3-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
3.7 Equações diferenciais lineares de coeficientes variáveis . . . . . .. . . . . . 181
3.7.1 Método dos coeficientes indeterminados . . . . . . . . . . . . . . . . 181
3.7.2 Método da variação de parâmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
3.8 Equação de Euler-Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
3.8.1 Método de Euler-Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
3.8.2 Método de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
3.8.3 Método de redução da ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
3.9 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
3.9.1 Movimento harmônico simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
3.9.2 Circuito LRC em série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
Exercícios 3-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
3.10 Resolução de Equação Diferencial por Série de Potências . . . . . . . . . . 211
3.10.1 Método da Série de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
3.10.2 A equação de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
3.10.3 A equação de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
3.10.4 Método de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
3.10.5 Equação de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
3.10.6 Equação de Airy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
Exercícios 3-5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
viii Séries e Equações Diferenciais
4 Transformada de Laplace 243
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
4.2 Existência da transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
4.2.1 Função seccionalmente contínua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
4.2.2 Função de ordem exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
4.3 Propriedades da transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
4.3.1 Linearidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
4.3.2 Deslocamento em s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
4.3.3 Derivada da transformada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
Exercícios 4-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
4.4 Transformada da derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
4.5 Transformada da integral de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
4.6 Transformadas de funções elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
4.6.1 Função gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
4.6.2 Função delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
4.7 Transformada inversa de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
4.7.1 Cálculo de transformadas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
Exercícios 4-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
4.8 Resolução de equações diferenciais mediante a transformada de Laplace . . 277
4.8.1 Equações com termo não homogêneo descontínuo . . . . . . . . . . 281
4.8.2 Deslocamento no domínio do tempo t . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
4.9 Convolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
4.10 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
Exercícios 4-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
5 Transformada de Fourier 297
5.1 Teoria preliminar das séries de fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
5.1.1 Série trigonométrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
5.1.2 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
5.1.3 Função Periódica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
5.1.4 Funções Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
5.1.5 Coeficientes de uma série respeito de um conjunto ortogonal . . . . 308
5.2 Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
5.2.1 Cálculo dos coeficientes de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
5.2.2 Série exponencial de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
5.2.3 Outra Representação da Série de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . 316
5.2.4 Coeficientes de Fourier que tendem a zero . . . . . . . . . . . . . . 319
5.2.5 Série de Fourier do seno e coseno de comprimento médio . . . . . . 319
Christian José Quintana Pinedo ix
Exercícios 5-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
5.3 Critérios de convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
5.3.1 Critério D’Alembert’s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
5.3.2 Séries Alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
5.3.3 Convergência uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
5.3.4 Convergência de séries trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . 331
5.4 Convergência da Série de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
5.4.1 Condições de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
5.4.2 Outros critérios de convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
5.5 Derivada de uma série de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
5.6 Séries duplas de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
5.7 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
Exercícios 5-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
5.8 Teoria preliminar da transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . 347
5.8.1 Teorema da integral de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
5.8.2 Formas equivalentes do teorema da integral de Fourier . . . . . . . 348
5.8.3 Forma complexa de série de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
5.9 Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
5.9.1 Propriedades da Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . 352
5.10 Transformada inversa de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
5.11 Transformada de Fourier das derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
5.12 Derivada da transformada de Fourier de uma função . . . . . . . . . . . . . 357
5.13 Convolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
5.13.1 Propriedades da convolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
5.13.2 A transformada de Fourier de uma convolução . . . . . . . . . . . . 359
5.14 Transformada de Fourier de Distribuições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
5.14.1 Espaço de funções testes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
5.14.2 A transformada de Fourier de uma função impulso . . . . . . . . . . 360
5.15 A transformada de Fourier de Funções Generalizadas . . . . . . . . . . . . 362
5.16 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
5.16.1 A Transformada de Fourier função periódica . . . . . . . . . . . . . 366
Exercícios 5-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
6 Transformada Z 371
6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
6.1.1 Sistemas e sinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
6.1.2 Sistemas e sinais de tempo contínuo ou discreto. . . . . . . . . . . . 374
6.2 A transformada Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
x Séries e EquaçõesDiferenciais
6.2.1 Regiões de Convergência da transformada Z . . . . . . . . . . . . . 377
6.3 Propriedades da região de convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
6.3.1 Transformada Z inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
6.4 Propriedades da transformada Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
6.4.1 Linearidade da transformada Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
6.4.2 Deslocamento no eixo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
6.4.3 Multiplicação por exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
6.4.4 Derivada da transformada Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
6.4.5 Transformada de {yn+1} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
6.4.6 Transformadas das sucessões de senos e cosenos . . . . . . . . . . . 388
6.5 Convolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
6.6 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
Exercícios 5-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
PREFÁCIO
O propósito de destas notas “Séries e Equações Diferenciais” é ensinar ao estudante
dos cursos de engenharia ou matemática a nível do bacharelato as noções básicas das
séries de funções em R e de equações diferenciais ordinárias, assim como as técnicas e
aplicações básicas que acompanham tais conceitos; esta obra é a continuação e abordagem
de conceitos e teorias sobre série de potências, tipos de equações diferenciais e solução de
alguns tipos de equações diferenciais mediante séries de funções, e a solução das equações
mediantes as transformadas de Laplace, de Fourier e da transformada Z.
Esta obra representa o esforço de sínteses na seleção de um conjunto de problemas que,
com freqüência se apresenta quando um estudante começa a estudar cálculo avançado.
Estas notas de aula estão divididas em seis capítulos.
No primeiro capítulo, apresenta-se noções gerais sobre série de potências, séries de
Taylor e MacLaurin, e teoremas do resto, úteis na solução de equações diferenciais.
No segundo capítulo, apresenta-se noções gerais sobre equações diferenciais ordinárias
e notação a ser utilizada nestas notas, e parte da classificação das equações de primeira
ordem que se utiliza com muita frequência.
No terceiro capítulo, apresenta-se alguns métodos para a solução de equações diferen-
ciais ordinárias de primeira ordem vistas no primeiro capítulo, assim como a solução de
equações diferencias ordinárias lineares de ordem n > 1, onde n ∈ N. Equações estas
de coeficientes constantes ou variáveis. Também neste capítulo se apresenta a solução de
xi
xii Séries e Equações Diferenciais
equações mediante as séries infinitas.
O quarto capítulo está reservado para o estudo da transformada de Laplace e suas
aplicações na solução de equações diferenciais lineares de coeficientes constantes, assim
como as propriedades que esta transformada apresenta para a solução de outros problemas.
O quinto capitulo esta reservado para o estudo das séries e transformada de Fourier,
assim como suas aplicações diversas na solução de equações diferenciais ordinárias.
O último capitulo está dedicado a um estudo breve da transformada Z e suas aplica-
ções.
O objetivo deste trabalho é orientar a metodologia para que o leitor possa identificar
e construir um modelo matemático e logo resolvê-lo.
Cada capítulo se inicia com os objetivos que se pretende alcançar; os exercícios apre-
sentados em quantidade suficiente, estão classificados de menor a maior dificuldade.
A variedade dos problemas e exercícios propostos pretende transmitir minha expe-
riência profissional durante algumas decadas como Consultor em Matemáticas Puras e
Aplicadas, assim como professor de ensino superior, com atuação na graduação da docên-
cia universitária.
Fico profundamente grato pela acolhida desde trabalho e pelas contribuições e suges-
tões dos leitores, em especial a meus alunos do Curso de Engenharia Civil e Elétrica da
Universidade Federal do Tocantins.
Christian Quintana Pinedo.
Palmas - TO, Janeiro de 2011
“A Matemática é a honra do espírito humano”
Leibniz
Capítulo 1
Série de potências
Brook Taylor
Brook Taylor nasceu em 18 agosto de 1685 em Edmonton,
Middlesex, Inglaterra e faleceu em 29 de dezembro de 1731 em
Somerset House, Londres, Inglaterra.
Taylor teve uma excelente educação em casa antes de entrar
no College Brook St John’s de Cambridge em 03 de abril de 1703,
nessa época ele tinha uma boa base em clássicos da matemática.
Em Cambridge Taylor envolveu altamente com a matemática.
Graduou-se com um Bacharel em Direito em 1709, mas nessa
época ele já havia escrito um primeiro artigo importante de ma-
temática (em 1708) embora não fosse publicado até 1714.
Sabemos que algo dos detalhes do pensamento de Taylor a
respeito de vários problemas matemáticos a partir de cartas que
trocou com Machin e Keill no início dos últimos anos de gradua-
ção.
Adicionou a matemática um novo ramo agora chamado o “Cálculo das Diferenças Finitas”,
inventou a integração por partes, e descobriu a célebre fórmula conhecida como a expansão de
Taylor, de qual a importância permaneceu não reconhecida até 1772 quando Lagrange proclamou
isto como o princípio básico do cálculo diferencial.
Em 1708 Taylor encontrou uma solução para o problema do centro de oscilação, sendo que
isso foi inédito até 1714, resultando em uma disputa de prioridade com Johann Bernoulli.
Em 03 de abril de 1712, Taylor foi eleito membro da Royal Society. Foi uma eleição baseada
mais nas experiências que Machin (matemático e astrônomo), Keill (matemático) e outros sabiam
a respeito de Taylor. Por exemplo, Taylor escreveu em 1712 para Machin sobre uma solução para
um problema de Kepler sobre a segunda lei do movimento planetário.
Também em 1712, Taylor foi nomeado para o comitê criado para se pronunciar sobre o pedido
de Newton ou Leibnitz ter inventado o Cálculo. De 14 de janeiro de 1714 até 21 de outubro de
1718 Taylor foi secretário da Royal Society.
Comenta-se de um experimento de Taylor em 1715 para a descoberta das leis da atração
magnética e um método não provado para aproximar as raízes de uma equação, dando um novo
método para logaritmos computacionais (1717). Taylor desenvolveu em 1715 os princípios fun-
damentais da perspectiva em Perspectivas Lineares (1715) junto com os “ Novos Princípios da
1
2 Séries e Equações Diferenciais
Perspectiva Linear”.
1.1 Séries de números reais
Representamos por N+ o conjunto dos números naturais positivos, isto é:
N+ = { 1, 2, 3, 4, · · · , n, · · · }
Seja {an}n∈N+ uma sequência de números reais, a partir de ela podemos obter os
seguintes elementos:
s1 = a1;
s2 = a1 + a2;
s3 = a1 + a2 + a3;
...
sn−1 = a1 + a2 + a3 + · · ·+ an−2 + an−1;
sn = a1 + a2 + a3 + · · ·+ an−2 + an−1 + an
Isto é, podemos obter outra sequência {sn}n∈N+ , chamada série onde seus elementos
são somas parciais de elementos da sequência {an}.
Quando o índice n seja o maior possível (por exemplo n → +∞), teremos a escrever
o termo geral da sequência {sn} como uma soma de uma quantidade indeterminada de
elementos da forma ai onde i ∈ N+.
A notação que permite exprimir esta soma é: sn =
n∑
k=1
ak.
Por se tratar {sn} de uma sequência de números reais, todo o estudado para sequências
numéricas {an}n∈N+ podemos aplicar a nossa série {sn}; por exemplo limitação, monoto-
nia, convergência entre outros.
Logo, a série {sn} é limitada, se existe uma constante C ∈ R tal que |sn| ≤ C ∀ n ∈
N+ isto é
∣∣∣∣∣
+∞∑
n=1
an
∣∣∣∣∣ ≤ C.
A série {sn} é convergente, se lim
n→+∞
sn = S ou lim
n→∞
[
n∑
i=1
ai
]
= S, paraalgum S ∈ R
fixo e único.
Assim, podemos dizer que existem séries convergentes e séries divergentes. O objetivo
deste capítulo é aprender a distinguir umas das outras.
Dada uma sequência {an} de números reais, a soma infinita
a1 + a2 + a3 + · · ·+ an−2 + an−1 + an + . . .
Christian José Quintana Pinedo 3
será representada simbolicamente por
+∞∑
n=1
an ou
∑
n∈N
an .
Nosso objetivo agora é estabelecer condições sobre a sequência {an} para que a soma
infinita
+∞∑
n=1
an tenha como resultado um valor de número real. Se este for o caso dizemos
que a soma infinita converge.
Estas somas infinitas são denominadas “séries infinitas” ou simplesmente séries.
Definição 1.1. Série convergente.
Dizemos que a série
+∞∑
n=1
an é convergente, quando a sequência {sn} de suas somas
parciais for convergente.
Neste caso, a soma da série é o limite da sequência {sn}, isto é:
+∞∑
n=1
an = lim
n→+∞
n∑
k=1
ak = lim
n→+∞
sn = S (1.1)
Quando uma série não converge, ela é denominada “série divergente”.
Estamos trabalhando com os índices n ∈ N, os elementos das séries podemos escrever
+∞∑
n=0
an ou
∞∑
n=0
an e entenderemos que a variação do índice n é de zero (ou outro número
natural quando indicado) até +∞.
Exemplo 1.1.
• Se an = 0 ∀ n ∈ N+, a série gerada pela sequência {an} é convergente, sua soma
é zero; isto é
+∞∑
n=1
an = 0.
• Se bn = 1 ∀ n ∈ N+, a série gerada pela sequência {bn} é divergente, sua soma é
indeterminada; na verdade
+∞∑
n=1
bn = +∞
• Se an = (−1)n+1 ∀ n ∈ N+, então a série gerada pela sequência {an} é divergente,
a soma de todos seus termos é indeterminada; isto é
+∞∑
n=1
(−1)n+1 = 1 ou −1 ou 0.
Pela unicidade do limite lim
n→∞
sn = S, concluímos que essa soma não existe.
Por definição, uma “série geométrica” é da forma S =
+∞∑
n=1
arn−1, onde o número r é
denominado “razão da série”, e o número constante a é seu coeficiente.
4 Séries e Equações Diferenciais
Exemplo 1.2.
Estudar a série geométrica.
Solução.
Pela propriedade do somatório podemos escrever S =
+∞∑
n=1
αrn−1 = α
+∞∑
n=1
rn−1, de onde:
sn = α
n∑
i=1
ri−1 = α
[
1− rn
1− r
]
(1.2)
Quando |r| < 1, sabemos que lim
n→+∞
rn = 0, tomando o limite em (1.2) quando n →
+∞ tem-se: lim
n→+∞
sn = α lim
n→+∞
1− rn
1− r =
α
1− r = S.
Isto é, S =
+∞∑
n=1
arn−1 = lim
n→+∞
sn =
α
1− r converge quando |r| < 1.
É imediato que, para o caso |r| ≥ 1 a série diverge.
Por definição uma “série harmônica” é da forma
+∞∑
n=1
1
n
.
Exemplo 1.3. Série harmônica.
Determine se a série harmônica
+∞∑
n=1
1
n
converge.
Solução.
Esta série representa o termo n-ésimo de uma sequência {sn}, onde sn =
n∑
k=1
1
k
.
Consideremos duas subsequências de sn: sm = 1 +
1
2
+
1
3
+
1
4
+ . . .+
1
m
e
s2m = 1 +
1
2
+
1
3
+
1
4
+ . . .+
1
m
+ . . .+
1
2m− 1 +
1
2m
Suponha que sm → L quando m→ +∞, então tem-se que sm → L quando m→ +∞
e s2m → L quando m→ +∞, segue que (s2m − sm)→ 0 quando m→ +∞. Porém,
s2m − sm = 1
m+ 1
+
1
m+ 2
+
1
m+ 3
+ . . .+
1
m
+ . . .+
1
2m− 1 +
1
2m
≥
≥ 1
2m
+
1
2m
+
1
2m
+ . . .+
1
2m
=
1
2
de onde lim
m→+∞
(s2m − sm) ≥ 1
2
6= 0, caso o limite existisse.
Portanto, a série harmônica
+∞∑
n=1
1
n
diverge.
Christian José Quintana Pinedo 5
Uma “série p” é da forma
+∞∑
n=1
1
np
, onde p ∈ (0, ∞) é uma constante fixa. Esta série
também é conhecida como Série de Dirichelet (ou de Riemann).
Mostra-se que a série:
+∞∑
n=1
1
np
= 1 +
1
2p
+
1
3p
+ · · ·+ 1
np
+ · · · (1.3)
converge se p > 1, e diverge se 0 ≤ p ≤ 1.
Observação 1.1.
A série
+∞∑
n=1
(bn−bn+1) é denominada série de encaixe devido à natureza de seus termos:
(b1 − b2) + (b2 − b3) + (b3 − b4) + · · ·+ (bn − bn+1) + · · ·
A sequência de suas somas parciais {sn}, vem dado pela expressão:
sn = (b1 − b2) + (b2 − b3) + (b3 − b4) + · · ·+ (bn − bn+1) = b1 − bn+1 (1.4)
Se a sequência {bn} convergir para um número L, segue que {sn} converge para b1−L.
Exemplo 1.4.
Verificar que a série
+∞∑
n=1
1
n2 + n
converge.
Com efeito, observe que
+∞∑
n=1
1
n2 + n
=
+∞∑
n=1
[
1
n
− 1
n+ 1
]
= 1− 1
n+ 1
, logo;
lim
n→+∞
n∑
i=1
1
n2 + n
= lim
n→+∞
[
1− 1
n+ 1
]
= 1− 0 = 1
Portanto, a série
+∞∑
n=1
1
n2 + n
converge.
Exemplo 1.5.
Determine se a série
+∞∑
n=1
Ln
( n
n+ 1
)
converge.
Solução.
Observe que, podemos escrever
+∞∑
n=1
Ln
( n
n+ 1
)
=
+∞∑
n=1
[Lnn− Ln(n+ 1)].
6 Séries e Equações Diferenciais
Logo,
n∑
k=1
Ln
( k
k + 1
)
= Ln1− Ln(n+ 1) então
lim
n→+∞
n∑
k=1
Ln
( k
k + 1
)
= lim
n→+∞
[Ln1− Ln(n+ 1)] = 1−∞ = −∞
Portanto, a série
+∞∑
n=1
Ln
( n
n+ 1
)
diverge. �
A propriedade a seguir fornece uma condição necessária, mas não suficiente para que
uma série numérica seja convergente.
Propriedade 1.1. Critério do n-ésimo termo.
Seja
∞∑
n=1
an convergente, então:
i) A sequência {sn} de somas parciais é limitada.
ii) lim
n→∞
an = 0.
Demonstração. i)
Se
+∞∑
n=1
an converge, então existe em R o limite L = lim
n→+∞
sn logo, sendo {sn} uma
sequência convergente, ela é limitada. �
Demonstração. ii)
Denotando por {sn} a sequência de somas parciais da série,
+∞∑
k=1
ak temos que an =
sn−sn−1 e admitindo que a série é convergente, resulta que a sequência de somas parciais
{sn} converge para um certo número L, o mesmo ocorrendo com a subsequência {sn−1},
então:
lim
n→∞
an = lim
n→+∞
(sn − sn−1) = lim
n→+∞
sn − lim
n→+∞
sn−1 = L− L = 0
Exemplo 1.6.
Verificar que a série
+∞∑
n=1
n2
2n2 + 3n
diverge.
Solução.
Observe que o limite
lim
n→∞
n2
2n2 + 3n
=
1
2
6= 0
Logo pelo critério do n-ésimo termo a série diverge. �
Esta última propriedade nos leva a um primeiro teste para saber a respeito da diver-
gência de uma série, e justifica a seguinte propriedade.
Christian José Quintana Pinedo 7
Propriedade 1.2.
Se lim
n→+∞
an 6= 0 ou não existe, então a série
+∞∑
n=1
an diverge.
A demonstração é exercício para o leitor.
Exemplo 1.7.
1. As séries
+∞∑
n=1
n
n+ 1
e
+∞∑
n=1
√
n ambas são divergentes.
Com efeito, lim
n→∞
n
n+ 1
= 1 6= 0 e lim
n→∞
√
n 6= 0.
2. As séries
+∞∑
n=1
(−1)n+1 e
+∞∑
n=1
−n
3n+ 4
ambas são divergentes.
Observe que, lim
n→∞
(−1)n+1 6= 0 e lim
n→∞
−n
3n+ 4
6= 0.
A Propriedade (1.2) constitui-se no primeiro critério de convergência, para séries. Ao
analisar a convergência de uma série, em primeiro lugar observamos a convergência de seu
primeiro termo geral sn. O seguinte diagrama orienta a respeito da Propriedade (1.2).
{an} diverge -
∞∑
n=1
an diverge - Fim
L 6= 0
∞∑
n=1
an diverge Fim
∞∑
n=1
an -
-
- -
-
-
- -
lim
n→∞
an = L
L = 0 - ?
A condição lim
n→+∞
an = 0 não dá informação sobre a convergência da série
+∞∑
n=1
an sendo
necessária uma análise adicional para determinar se a série converge ou diverge.
Observação 1.2.
Suponha que a série
+∞∑
n=1
an seja convergente; isto é lim
n→+∞
sn = S existe. Então é
correto afirmar que:
8 Séries e Equações Diferenciais
lim
n→+∞
(sn − S) existe se e somente se, lim
n→+∞
sn = S existe.
Deduzimos assim, que podemos omitir um número finito de termos (entre os primeiros)
de uma série infinita sem afetar sua convergência.
Como no caso das sequências numéricas, o acréscimo ou a omissão de um número
finito de termos não altera a convergência de uma série, podendo alterar o valor de sua
soma.
Exemplo 1.8.
Aseguinte tabela ilustra algumas situações:
+∞∑
n=1
Lnn
n2
0 indefinida
+∞∑
n=1
n
3n+ 5
1
3
divergente
+∞∑
n=1
en
n2
+∞ divergente
+∞∑
n=1
an lim
n→∞
an situação
Propriedade 1.3.
Se as séries
∞∑
n=1
an e
∞∑
n=1
bn diferem apenas em seus primeiros termos em uma quan-
tidade finita, então ambas são convergentes ou ambas são divergentes.
A demonstração é exercício para o leitor. �
Ainda mais, uma consequência da Propriedade (1.3), temos que para cada número
k ∈ N+, as séries
∞∑
n=1
an e
∞∑
n=k
an são ambas convergentes ou ambas divergentes.
Exemplo 1.9.
As séries
∞∑
n=9
1
n
e
∞∑
n=9
1
n− 8 ambas são divergentes, entanto as séries
∞∑
n=9
1
n2
e
∞∑
n=9
1
(n− 8)2 ambas são convergentes.
Propriedade 1.4.
Sejam
∞∑
n=1
an e
∞∑
n=1
bn duas séries numéricas e α ∈ R.
Christian José Quintana Pinedo 9
(a) Se as séries
∞∑
n=1
an e
∞∑
n=1
bn são convergentes, então
∞∑
n=1
(an+bn) e
∞∑
n=1
α·an também
convergem.
(b) Se
∞∑
n=1
an e convergente e
∞∑
n=1
bn é divergente, a série
∞∑
n=1
(an + bn) diverge.
(c) Se
∞∑
n=1
an é divergente e β 6= 0, então a série
∞∑
n=1
β · an é também divergente.
A demonstração é exercício para o leitor.
Observação 1.3.
Quando as séries
∞∑
n=1
an e
∞∑
n=1
bn são ambas divergentes, a Propriedade (1.4) não dá
informação a respeito da convergência da série
∞∑
n=1
(an + bn).
Exemplo 1.10.
• As séries
∞∑
n=1
1
n
e
∞∑
n=1
−1
n
são ambas divergentes, entanto que a série
∞∑
n=1
[
1
n
+
−1
n
]
converge.
• A série
∞∑
n=1
[
1
n2 + n
+
3
4n−1
]
é convergente, enquanto as séries
∞∑
n=1
1
n2 + n
e
∞∑
n=1
3
4n−1
são convergentes.
Propriedade 1.5. Condição de Cauchy.
Seja {sn} uma sequência de números reais, a série sn =
n∑
k=1
ak é convergente se, para
qualquer ε > 0, existe n0 > 0 tal que |sm − sn| < ε sempre que m, n > n0.
A demonstração é exercício para o leitor. �
Existem casos onde a série têm seus termos decrescentes, então podemos utilizar a
seguinte propriedade.
Propriedade 1.6.
Suponhamos temos uma série de termo geral an de modo que an ≥ an+1 para todo
n ∈ N+; logo:
A série
∞∑
n=1
an converge se e somente se, a série
∞∑
n=1
2n · a2n também converge.
A demonstração é exercício para o leitor. �
10 Séries e Equações Diferenciais
Exemplo 1.11.
Verificar que a série
∞∑
n=1
1
n2
converge.
Solução.
Tem-se que an =
1
n2
>
1
(n+ 1)2
= an+1, então podemos obter a2n =
1
(2n)2
.
Logo,
∞∑
n=1
2n · a2n =
∞∑
n=1
2n · 1
(2n)2
=
∞∑
n=1
2n
22n
=
∞∑
n=1
1
2n
= lim
n→∞
1
2
·
1−
(1
2
)n
1− 1
2
 = 1.
Como a série
∞∑
n=1
1
2n
converge, então a série
∞∑
n=1
1
n2
também converge. �
Uma série
∞∑
n=1
an onde cada termo an é maior ou igual do que zero é denominada série
de termos positivos.
Propriedade 1.7.
Seja {an} uma sequência com an ≥ 0 para todo n ∈ N+. Então a série
∞∑
n=1
an é
convergente se, e somente se, a sequência de somas parciais {sn} é limitada.
A demonstração é exercício para o leitor. �
Exemplo 1.12.
A série
∞∑
n=1
1
n(n+ 1)
é convergente.
Observe que
1
n(n+ 1)
=
1
n
− 1
n+ 1
para todo n ∈ N+.
Como sn =
1
1 · 2 +
1
2 · 3 +
1
3 · 4 + · · ·+
1
n(n+ 1)
, tem-se que sn = 1− 1
n+ 1
≤ 1 para
todo n ∈ N+.
Sendo os termos positivos, e a sequência de somas parciais {sn} limitada, então série
∞∑
n=1
1
n(n+ 1)
é convergente.
Definição 1.2. Série dominada.
Dizemos que a série
∞∑
n=1
an é dominada pela série
∞∑
n=1
bn quando an ≤ bn, ∀ n ∈ N+.
Nesse caso
∞∑
n=1
an é a série dominada e
∞∑
n=1
bn é a série dominante.
Christian José Quintana Pinedo 11
Exemplo 1.13.
i) A série
∑
n∈N+
1
n
é “dominante” e a série
∑
n∈N+
1
np
, p > 2 é “dominada”
ii) A série
∑
n∈N+
√
n é “dominante” e a série
∑
n∈N+
sen(n2) é “dominada”
Observação 1.4.
Para séries de termos positivos, os seguintes fatos são imediatos:
1. A sequência sn de somas parciais é monótona crescente.
2. Se a série sn =
n∑
k=1
ak é dominada pela série tn =
n∑
k=1
bk, as respectivas séries de somas
parciais {sn} e {tn} satisfazem a relação sn ≤ tn, ∀ n ∈ N+.
Estes fatos junto com a Propriedade (1.7) estabelecem o seguinte critério de conver-
gência conhecido como
1.1.1 Critérios de convergência das séries numéricas
Propriedade 1.8. Critério de comparação.
Sejam
∞∑
n=1
an e
∞∑
n=1
bn duas séries de termos positivos:
i) Se a série
∞∑
n=1
bn converge e an ≤ bn ∀n ∈ N+, então a série
∞∑
n=1
an também converge.
ii) Se a série
∞∑
n=1
an diverge e an ≤ bn ∀ n ∈ N+, então a série
∞∑
n=1
bn também diverge.
Como as afirmações i) e ii) são equivalentes, é suficiente mostra apenas uma delas.
A demonstração é exercício para o leitor. �
Definição 1.3. Série absolutamente convergente.
Dizemos que uma série
∞∑
n=1
an é absolutamente convergente, se a série
∞∑
n=1
|an| é con-
vergente.
Observe, se an ≥ 0, ∀ n ∈ N+ ⇒ |an| = an, assim, a série é
∞∑
n=1
an é absoluta-
mente convergente. Para o caso de alguns termos an positivos e negativos, a convergência
e a convergência absoluta não é a mesma.
12 Séries e Equações Diferenciais
Exemplo 1.14.
Toda série convergente, cujos termos não mudam de sinal é absolutamente conver-
gente. Em particular quando −1 < r < 1, a série geométrica
∞∑
n=1
rn é absolutamente
convergente, pois |rn| = |r|n, com 0 ≤ |r| < 1.
Observação 1.5.
Os elementos de uma série absolutamente convergente, podem ser reordenados sem
afetar a convergência ou a soma da série.
Por exemplo a série 1−1
3
+
1
9
− 1
27
+
1
81
− 1
243
+
1
729
− 1
2187
· · · converge absolutamente.
O reordenamento 1 +
1
9
+
1
81
+
1
729
+ · · · − 1
3
− 1
27
− 1
243
− 1
2187
− · · · também
converge e tem a mesma soma que a original.
Propriedade 1.9.
Se a série
∞∑
n=1
an é absolutamente convergente, então ela é convergente e:
∣∣∣∣∣
∞∑
n=1
an
∣∣∣∣∣ ≤
∞∑
n=1
|an|
Este resultado é consequência do fato que 0 ≤ x+ |x| ≤ 2|x|, ∀ x ∈ R.
A demonstração é exercício para o leitor. �
Exemplo 1.15.
A série
∞∑
n=1
(−1)n
n2
é absolutamente convergente.
Observe que
∣∣∣∣(−1)nn2
∣∣∣∣ = 1n2 , ∀ n ∈ N+.
Como
∞∑
n=1
1
n2
converge, segue-se que
∞∑
n=1
(−1)n
n2
é absolutamente convergente.
Propriedade 1.10.
Sejam
∞∑
n=1
an e
∞∑
n=1
bn séries absolutamente convergentes, então:
i) A série
∞∑
n=1
anbn é absolutamente convergente.
ii) O produto
∞∑
n=1
cn das séries
∞∑
n=1
an e
∞∑
n=1
bn é absolutamente convergente, e:
∞∑
n=1
cn =
( ∞∑
n=1
an
)( ∞∑
n=1
an
)
Christian José Quintana Pinedo 13
A demonstração é exercício para o leitor. �
O critério de convergência a seguir, embora não seja conclusivo em alguns casos,
constitui-se como o mais importante teste de convergência para séries numéricas, não
apenas do ponto de vista técnico, mais também como nas aplicações às “Séries de Potên-
cias”.
Propriedade 1.11. Critério de comparação.
Sejam
∞∑
n=1
an tais que
∞∑
n=1
bn duas séries e |an| ≤ K|bn|, ∀ n ∈ N+, K > 0:
i) Se a série
∞∑
n=1
bn é absolutamente convergente, então a série
∞∑
n=1
an também é absolu-
tamente convergente.
ii) Se a série
∞∑
n=1
an não é absolutamente convergente, então a série
∞∑
n=1
an não é abso-
lutamente convergente.
A demonstração é exercício para o leitor.
Exemplo 1.16.
A série
∞∑
n=1
sen n
2n
é absolutamente convergente.É imediato que
∣∣∣sen n
2n
∣∣∣ ≤ 1
2n
∀ n ∈ N+. Como a série
∞∑
n=1
1
2n
é absolutamente
convergente, pela Propriedade (1.11), a série
∞∑
n=1
sen n
2n
é absolutamente convergente.
Definição 1.4.
A série
∞∑
n=1
an é simplesmente convergente, se a série
∞∑
n=1
an for convergente e a
série
∞∑
n=1
|an| for divergente.
Definição 1.5.
Uma série se diz alternada, se for da forma
∞∑
n=1
(−1)n+1an ou
∞∑
n=1
(−1)nan com
an ≥ 0
Exemplo 1.17.
A série
∞∑
n=1
(−1)n+1 1
n
é simplesmente convergente.
14 Séries e Equações Diferenciais
Propriedade 1.12.
Uma série alternada
∞∑
n=1
(−1)n+1an é absolutamente convergente, se
∞∑
n=1
an for
convergente.
Propriedade 1.13. Critério de Leibniz
Seja a série alternada S =
∞∑
n=1
(−1)n+1an uma série de termos alternados, com
an ≥ 0, que satisfaz as condições: i) {an}n∈N é decrescente. ii) lim
n→∞
an = 0.
Então a série S é convergente e diz-se simplesmente convergente.
Caso contrário é divergente.
Propriedade 1.14. Critério D’Alembert’s1.
Seja an 6= 0 para todo n ∈ N+ e suponhamos que lim
n→∞
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣ = r ∈ R.
i) Se r < 1, a série
∞∑
n=1
an é absolutamente convergente.
ii) Se r > 1, a série
∞∑
n=1
an diverge.
A demonstração é exercício para o leitor.
Exemplo 1.18.
• A série
∞∑
n=1
pn
n!
é absolutamente convergente, para todo p ∈ R.
Com efeito, se p = 0 é imediato.
Sejam p 6= 0 e an = p
n
n!
para n ∈ N+, então:
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ pn+1(n+ 1)! · n!pn
∣∣∣∣ = |p|n+ 1 .
Calculando o limite, r = lim
n→∞
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣ = limn→∞ |p|n+ 1 = 0.
Portanto a série
∞∑
n=1
pn
n!
é absolutamente convergente.
• A série
∞∑
n=1
sen(n!)
n!
é absolutamente convergente.
Com efeito,
∞∑
n=1
∣∣∣∣sen(n!)n!
∣∣∣∣ ≤ ∞∑
n=1
1
n!
Pelo critério de comparação (Propriedade (1.11), a série
∞∑
n=1
sen(n!)
n!
converge
absolutamente.
1Também conhecido como Critério da razão.
Christian José Quintana Pinedo 15
Propriedade 1.15. Critério de Cauchy2.
Suponhamos que lim
n→∞
n
√|an| = r ∈ R.
i) Se r < 1, a série
∞∑
n=1
an é absolutamente convergente.
ii) Se r > 1, a série
∞∑
n=1
an diverge.
A demonstração é exercício para o leitor.
Exemplo 1.19.
Determine se a série
∞∑
n=1
3−n−(−1)
n
é convergente.
Solução.
Usando o critério de Cauchy
lim
n→∞
n
√
3−n−(−1)n = lim
n→∞
3−1 · 3− (−1)
n
n =
1
3
< 1
concluímos que a série é convergente.
Pelo critério de D’Alembert nada se pode concluir. Com efeito
3−(n+1)−(−1)
(n+1)
3−n−(−1)n
= 3−n−1−(−1)
n+1+n−(−1)n =
{
3, se n par
3−3, se n ímpar
Exemplo 1.20.
A série
∞∑
n=1
npan converge absolutamente se |a| < 1, e é divergente se |a| > 1.
Com efeito, n
√|npan| = ( n√n)p|a| para n ∈ N+, de onde lim
n→∞
n
√|npan| = |a|.
Se |a| < 1 pelo critério de Cauchy, a série é absolutamente convergente.
Se |a| > 1 a série diverge.
Propriedade 1.16. Critério da integral.
Consideremos a função f : [1, +∞) −→ R contínua e suponhamos que f seja não
negativa e monótona decrescente; isto é:
(a) f(x) ≥ 0, ∀ x ≥ 1. (b) f(x) ≥ f(y), sempre que 1 ≤ x ≤ y.
Nessas condições a série
∞∑
n=1
f(n) é convergente se, e somente se, a integral
∞∫
n=1
f(n)
for convergente.
2Também conhecido como Critério da raiz
16 Séries e Equações Diferenciais
A demonstração é exercício para o leitor. �
Além de dar informação relativa à convergência de uma série, o critério da integral
pode ser usado para calcular a soma da série.
Exemplo 1.21.
A função f(x) =
1
x3
atende as condições da propriedade no intervalo [1, ∞).
De fato, nesse intervalo a função f(x) é claramente contínua e não negativa e como
sua derivada f ′(x) =
−3
x4
é negativa para todo x ≥ 1, então f(x) é decrescente.
A integral imprópria
∞∫
1
f(x)dx = 1 é convergente, por conseguinte a série
∞∑
n=1
1
n3
converge.
Observação 1.6.
Quando utilizamos o critério da integral, o valor da integral imprópria não é necessa-
riamente igual ao valor da soma da série, no caso de esta convergir.
Propriedade 1.17.
Consideremos a função f : [1, +∞) −→ R contínua e suponhamos que f(x) seja não
negativa e monótona decrescente. Se a integral imprópria
∞∫
1
f(x)dx converge, então a
série
∞∑
n=1
f(n) converge, e:
∞∫
1
f(x)dx ≤
∞∑
n=1
f(n) ≤ f(1) +
∞∫
1
f(x)dx.
A demonstração desta propriedade é exercício para o leitor.
Exemplo 1.22.
A série
∞∑
n=1
1
np
, p ∈ R converge se p > 1 e diverge se p ≤ 1.
Propriedade 1.18. Critério de comparação no limite.
Sejam
∞∑
n=1
an e
∞∑
n=1
bn duas séries de termos positivos e seja L = lim
n→∞
an
bn
.
i) Se L > 0, então as séries
∞∑
n=1
an e
∞∑
n=1
bn são ambas convergentes ou ambas divergentes.
ii) Se L = 0 e
∞∑
n=1
bn converge, então
∞∑
n=1
an também converge.
iii) Se L =∞ e
∞∑
n=1
bn diverge, então
∞∑
n=1
an também diverge.
Christian José Quintana Pinedo 17
1.1.2 Sumário dos Critérios para Séries de Números.
Critério Série Converge Diverge Comentário
do n-ésimo termo
∞∑
n=1
an lim
n→∞ an 6= 0
O critério não pode ser
usado para provar con-
vergência
da série geomé-
trica
∞∑
n=1
arn |r| < 1 |r| ≥ 1
quando converge, sua
soma: S =
a
1− r
para séries p
∞∑
n=1
1
np
p > 1 p ≤ 1
Propriedade (1.4)
∞∑
n=1
an
∞∑
n=1
(an + bn) se
∞∑
n=1
bn < +∞
Propriedade (1.4)
∞∑
n=1
an
∞∑
n=1
(an + bn) se
∞∑
n=1
bn ≮ +∞
Propriedade (1.6)
∞∑
n=1
an
∞∑
n=1
an < +∞ se
∞∑
n=1
2n · a2n < +∞
para séries teles-
cópicas
∞∑
n=1
(bn − bn+1) lim
n→∞ bn = L soma: S = b1 − L
de comparação
(an, bn > 0)
∞∑
n=1
an
se, 0 ≤ an ≤ bn
e
∞∑
n=1
bn < +∞
se, 0 ≤ bn ≤ an
e
∞∑
n=1
bn ≮∞
da integral (f
contínua, positiva
e decrescente)
∞∑
n=1
an
an = f(n) ≥ 0
∞∫
1
f(x)dx < +∞
∞∫
1
f(x)dx ≮ +∞
resto:
0 < RN <
∞∫
N
f(x)dx
dos limites da
comparação
(an, bn > 0)
∞∑
n=1
an
lim
n→∞
an
bn
= L > 0
e
∞∑
n=1
bn < +∞
lim
n→∞
an
bn
= L > 0
e
∞∑
n=1
bn ≮ +∞
∞∑
n=1
an < +∞ caso
L = 0 e
∞∑
n=1
bn < +∞
de Raabe
∞∑
n=1
an k > 1 k < 1 k = lim
n→∞n
[
1− an+1
an
]
de D’Alembert’s
ou da razão
∞∑
n=1
an
lim
n→∞
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣ < 1
absolutamente
lim
n→∞
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣ > 1 inconclusivo se:
lim
n→∞
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣ = 1
de Cauchy ou da
raiz
∞∑
n=1
an
lim
n→∞
n
√|an| < 1
absolutamente
lim
n→∞
n
√|an| > 1 inconclusivo se:
lim
n→∞
n
√|an| = 1
de Leibnitz ou
para séries alter-
nadas
∞∑
n=1
(−1)nan 0 < an+1 ≤ an
e lim
n→∞ an = 0
Resto: |RN | ≤ aN+1
Exemplo 1.23.
Determine se a série
∞∑
n=1
1
nn
converge ou diverge.
Solução.
18 Séries e Equações Diferenciais
Seja an =
1
nn
e consideremos bn =
1
2n
; sabe-se que a série geométrica
∞∑
n=1
1
2n
é
convergente (r =
1
2
< 1).
Então, lim
n→∞
an
bn
= lim
n→∞
1
nn
1
2n
= lim
n→∞
2n
nn
= lim
n→∞
[
2
n
]n
= 0.
Pela parte ii) da Propriedade (1.18) segue que a série
∞∑
n=1
1
nn
é convergente.
1.2 Séries de funções
As linguagens de programação de computadores fornecem certas funções tais como
seno, coseno, logaritmo, exponencial, etc.
No entanto, muitas vezes não temos a função pré-definida e recorremos ao desenvolvi-
mento em série de potências para fazer nossos cálculos.
Anteriormente foram estudadas séries de números da forma
∞∑
n=0
an onde cada an é
um número real. Em analogia a essas séries podemos estudar series de funções da forma
∞∑
n=0
an(x) onde os an(x) são funções. Um exemplo típico desta classe de sériesé
∞∑
n=1
cos(nx)
n2
=
cosx
1
+
cos 2x
4
+
cos 3x
9
+ · · ·
Evidentemente quando substituímos um valor para x, por exemplo, x = 2, retornamos
ao estudo da série numérica.
Nossa atenção estará centrada nas somas particulares infinitas de equações tais como
ex = 1 +
x
1!
+
x2
2!
+
x3
3!
+ · · ·
referentes a somas de quantidades que dependem de x. Em outras palavras estamos
interessados em funções definidas mediante equações da forma
∞∑
n=1
fn(x) = f1(x) + f2(x) + f3(x) + f4(x) + · · · (1.5)
Em tal situação {fi} será uma sequência de funções; para cada valor de x = x0
obteremos uma sequência {fi(x0)} de números reais (ou complexos).
Christian José Quintana Pinedo 19
Para analisar tais funções tem-se que lembrar que cada soma
f1(x) + f2(x) + f3(x) + f4(x) + · · ·
é por definição o limite da sequência
f1(x), f1(x) + f2(x), f1(x) + f2(x) + f3(x), f1(x) + f2(x) + f3(x) + f4(x) + · · ·
Se definirmos uma nova sequência de funções {sn} mediante
sn = f1 + f2 + f3 + f4 + · · ·+ fn
então podemos expressar mais sucintamente este fato escrevendo
f(x) = lim
n→+∞
sn(x)
Assim estaremos concentrados em funções definidas como limites.
De modo natural, existem duas perguntas importantes respeito de uma série de fun-
ções.
1a pergunta: Para quais valores de x a série (1.5) converge?
2a pergunta: A qual função converge a série de funções (1.5) ?
Isto é, qual é a soma f(x) da série ?
Para obter resposta a nossa preocupação será estudada as séries de potências.
Definição 1.6. Série de potências.
Uma série infinita da forma
∞∑
n=0
anx
n = a0 + a1x+ a2x
2 + a3x
3 + a4x
4 + · · · (1.6)
onde an é número que não depende de x, denomina-se série de potências de x.
Por convenção (x− c)0 = 1, quando x = c. O número c é chamado “centro da série”.
Pela sua forma, a igualdade (1.6) podemos imaginar como uma função polinômica de
variável x. As séries de potências de x são uma generalização da noção de polinômio.
Mais geralmente, em matemática, uma série de potências de (x−c), (de uma variável)
é uma série infinita da forma
∞∑
n=0
an(x− c)n = a0 + a1(x− c) + a2(x− c)2 + a3(x− c)3 + · · · (1.7)
20 Séries e Equações Diferenciais
onde an representa o coeficiente do n-ésimo termo chamado “coeficiente da série de po-
tência”, c é uma constante, e x varia em torno de c (por esta razão, algumas vezes a série
é dita “série centrada em c”).
Note que não se trata de uma série numérica. Uma série do tipo (6.10) pode convergir
para alguns valores de x e divergir para outros valores. Assim, faz sentido falar em
“domínio de convergência”, o qual denotamos por D(s), que é o conjunto dos valores de
x que tornam a série (6.10) convergente.
Essas séries de potências aparecem primariamente em análise, mas também ocorre em
combinatória (sob o nome de funções geradoras) e em engenharia elétrica (sob o nome
de Transformada-Z), também as séries de potências aparecem em muitos problemas da
Física-Matemática, como, por exemplo, em fenômenos ondulatórios, onde recorremos as
“Funções de Bessel ”.
Definição 1.7.
Chama-se domínio de convergência D(s) da série de potências (6.10) ao conjunto dos
valores reais que, substituídos na série, originam uma série numérica convergente.
Exemplo 1.24.
O domínio de convergência da série
∞∑
n=0
xn = 1+x+x2+x3+ · · · é D(s) = (−1, 1)
O valor 0 (zero) pertence sempre ao domínio de convergência D(s) desta série, mais,
para qualquer x ∈ (−1, 1) tem-se que
∞∑
n=0
xn define a função f(x) =
1
1− x . Esta é
chamada “série geométrica”, é um dos exemplos mais importantes de séries de potência.
A igualdade (6.10) permite imaginar que qualquer polinômio pode ser facilmente ex-
presso como uma série de potências em torno de um centro x = c, embora um ou mais
coeficientes sejam iguais a zero. Como mostra o exemplo a seguir.
Exemplo 1.25.
O polinômio p(x) = x2 + 2x + 3 pode ser escrito como a série de potência em torno
de c = 0 assim:
p(x) = 3 + 2x+ 1 · x2 + 0x3 + 0x4 + · · ·
ou em torno do centro c = 1 como
p(x) = 6 + 4(x− 1) + 1 · (x− 1)2 + 0(x− 1)3 + 0(x− 1)4 + · · ·
ou mesmo em torno de qualquer outro centro c.
Exemplo 1.26.
São exemplos de série de potências.
Christian José Quintana Pinedo 21
• A fórmula da função exponencial: ex =
∞∑
n=0
xn
n!
= 1 + x+
x2
2!
+
x3
3!
+ · · ·
• A fórmula do seno: senx =
∞∑
n=0
(−1)nx2n+1
(2n+ 1)!
= x− x
3
3!
+
x5
5!
− x
7
7!
+ · · ·
Exemplo 1.27.
Considere-se a série:
∞∑
k=0
(2
3
)k
(x− 1
2
)k
Para x = 1 obtém-se:
∞∑
k=0
(2
3
)k
(
1
2
)k =
∞∑
k=0
(1
3
)k é série convergente.
Para x = 3 obtém-se:
∞∑
k=0
(2
3
)k
(
5
2
)k =
∞∑
k=0
(5
3
)k é série divergente
Para os valores de x em que a série de potências é convergente, a soma define uma
função de variável x.
Observação 1.7.
• Potências negativas não são permitidas em uma série de potências, por exemplo
1 + x−1 + x−2 + · · ·
não é considerada uma série de potência (embora seja uma série de Laurent).
• Similarmente, potências fracionais, tais como x1/2, não são consideradas séries de
potências (veja série de Puiseux).
• Existem séries de potências da forma:
∞∑
k=0
ak[ϕ(x)]
k = a0 + a1[ϕ(x)] + a2[ϕ(x)]
2 + a3[ϕ(x)]
3 + · · ·+ ak[ϕ(x)]k + · · ·
onde ϕ(x) é função de x.
Tal série é chamada de série de potência em ϕ(x).
1.2.1 Raio de convergência
Dizemos que uma série de potências
∞∑
k=0
ak(x− c)k pode convergir para alguns valores
conforme os valores tomados da variável x, e pode divergir para outros. Sempre há um
número r com 0 ≤ r ≤ ∞ tal que a série converge quando |x − c| < r e diverge para
|x− c| > r.
22 Séries e Equações Diferenciais
Definição 1.8. Intervalo de convergência.
Chama-se intervalo de convergência da série de potências (6.10) ao subconjunto de R
de todos os valores para os quais a série converge.
O intervalo de convergência e o domínio de convergência são sinônimos quando estu-
damos séries em R; isso não acontece com as séries em Rn, neste último caso se estuda
discos ou esferas de convergência, geralmente se entende como região de convergência.
O intervalo de convergência de uma série de potências pode ser de um dos seguintes
tipos
(c− r, c+ r) ou [c− r, c+ r) ou (c− r, c+ r] ou [c− r, c+ r]
isso depende da convergência da série nos extremos.
Definição 1.9. Raio de convergência.
O número r que é a metade do comprimento do intervalo de convergência da série
(6.10) é chamado de raio de convergência da série de potências (6.10)
Em casos particulares r = +∞, logo a série (6.10) converge em todo R, para o caso
r = 0 a série de potências só converge em x = c.
O raio de convergência r pode ser encontrado utilizando na série dos módulos corres-
pondentes, o critério da razão ou outro critério utilizado na determinação da natureza de
uma série numérica.
Também é costume determinar o intervalo e o raio de convergência r da série de
potências
∞∑
k=0
ak(x− c)kn usando um dos seguintes procedimentos:
1. Se ak 6= 0, ∀ k ∈ N, isto é a série só tem potências positivas de (x− c), então
r−1 = lim
k→∞
∣∣∣∣ak+1ak
∣∣∣∣ (1.8)
sempre que o limite exista.
2. Se série tem a forma
∞∑
k=0
ak(x− c)kp onde p ∈ N então
r−1 = p
√
lim
k→∞
∣∣∣∣ak+1ak
∣∣∣∣ (1.9)
e a sequência dos expoentes
Christian José Quintana Pinedo 23
3. Para o caso da série de potências (6.10) tiver coeficientes iguais a zero, e a sequência
dos x−c que ficaram é qualquer3, então o raio de convergência podemos determinar
pela fórmula
r−1 = lim
k→∞
sup.|ak| 1k (1.10)
ou, equivalentemente,
r = lim
k→∞
inf.|ak|− 1k
na qual somente se usan valores de ak diferentes de zero. Esta fórmula também é
útil nos dois primeiros casos.
4. Em todos os casos, o intervalo de convergênciapode-se determinar aplicando dire-
tamente o critério de D’Alembert ou o de Cauchy a uma série determinada pelos
valores absolutos dos termos da série inicial
A série converge absolutamente para |x − c| < r e converge uniformemente em todo
subconjunto compacto4 de { x /. |x− c| < r }.
Propriedade 1.19.
O raio de convergência r de uma série de potências
∞∑
k=0
ak(x− c)kn é dado por:
• r−1 = n
√
lim
k→∞
∣∣∣∣ak+1ak
∣∣∣∣ desde que o limite exista ou seja zero.
• r−1 = lim
k→∞
sup.|ak| 1kn desde que o limite exista ou seja zero.
Além disso,
1. Se r = 0, a série converge só quando x = c;
2. Se r = +∞ a série converge para todo x ∈ R;
3. Se r ∈ (0,+∞) então a série converge pelo menos para todos os valores de x ∈ (c −
r, c+ r).
Exemplo 1.28.
a) A série
∞∑
n=1
xn tem raio de convergência r = 1. Para x = 1 diverge para +∞ e para
x = −1 é oscilante.
3Isto é não forma uma P.G. como no caso anterior
4Um subconjunto A ⊂ R se diz compacto, se A é fechado e limitado
24 Séries e Equações Diferenciais
b) A série
∞∑
n=1
xn
n
tem raio de convergência r = 1. Para x = 1 diverge para +∞ e para
x = −1 converge (não absolutamente).
c) A série
∞∑
n=1
xn
n2
tem raio de convergência r = 1. Para x = 1 e para x = −1 converge
absolutamente.
Exemplo 1.29.
Determine o raio de convergência e, o intervalo de convergência da
∞∑
k=0
k!xk.
Solução.
Tem-se r−1 = lim
k→∞
∣∣∣∣ak+1ak
∣∣∣∣ = limk→∞
∣∣∣∣(k + 1)!k!
∣∣∣∣ = limk→∞(k + 1) = +∞ de onde r = 0.
Como o raio de convergência é 0 (zero), a série dada converge apenas quando x = 0.
Exemplo 1.30.
Calcular o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
∞∑
k=0
xk
k!
.
Solução.
Tem-se r−1 = lim
k→∞
∣∣∣∣ak+1ak
∣∣∣∣ = limk→∞
∣∣∣∣ k!(k + 1)!
∣∣∣∣ = limk→∞ 1k + 1 = 0 de onde r = +∞.
Como o raio de convergência é r = +∞ a série dada converge apenas para todo x ∈ R.
�
Esta última série converge para todo x ∈ R, logo podemos definir uma função f :
R −→ R de modo que f(x) = 1 + x+ x
2
2!
+
x
3!
+ · · ·+ x
n
n!
+ · · · =
+∞∑
k=0
xk
k!
.
Formalmente, derivando em relação à variável x obtém-se
f(x) = 1 + x+
x2
2!
+
x
3!
+ · · ·+ x
n−1
(n− 1)! + · · · =
+∞∑
k=1
xk−1
(k − 1)! = f
′(x)
como f(x) 6= 0, podemos escrever f
′(x)
f(x)
= 1 para logo obter Lnf(x) = x de onde f(x) = ex
Assim, obtivemos uma série de potências para representar a função exponencial
ex =
+∞∑
k=0
xk
k!
Exemplo 1.31.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
∞∑
k=0
(x− 5)k
k2
.
Solução.
Christian José Quintana Pinedo 25
Tem-se r−1 = lim
k→∞
∣∣∣∣ak+1ak
∣∣∣∣ = limk→∞
∣∣∣∣ k2(k + 1)2
∣∣∣∣ = limk→∞ 1k + 1 = 1 de onde r = 1.
Como o raio de convergência é r = 1 a série dada converge pelo menos para x tal que
|x− 5| < 1 isto é x ∈ (4, 6).
Quando x = 4, a série
∞∑
k=0
(4− 5)k
k2
=
∞∑
k=0
(−1)k
k2
é apenas uma série absolutamente
convergente (justificar!) e por isso é convergente.
Quando x = 6, a série
∞∑
k=0
(6− 5)k
k2
=
∞∑
k=0
1
k2
é uma série de Dirichlet5 com p = 2 e
por isso é convergente.
Portanto, o intervalo de convergência é [4, 6].
Propriedade 1.20.
Se a série de potências
∞∑
k=0
akx
k converge quando x1 6= 0, então converge para todo y
tal que |y| < |x1|.
Demonstração.
Tem-se que
∞∑
k=0
akx
k
1 converge, logo lim
k→∞
akx
k
1 = 0. Aplicando a definição de limite ao
infinito, tem-se que para � = 1 > 0 existe M > 0 tal que |akxk1| < 1 sempre que k ≥M
Se y é tal que |y| < |x1| então |akyk| = |akyk · x
k
1
yk
| = |akyk|·|x
k
1
yk
| < |x1
y
|k ∀k ≥M .
Como a série
∞∑
k=0
|x1
y
|k converge, pois seu raio r = | y
x1
| < 1, e temos que
∞∑
k=0
|akyk| <
∞∑
k=0
|x1
y
|k, pelo critério de comparação (1.8) a série
∞∑
k=0
|akyk| converge absolutamente
quando |y| < |x1|.
Portanto, se a série
∞∑
k=0
akx
k converge quando x1 6= 0, então converge para todo y tal
que |y| < |x1|.
Propriedade 1.21.
Se a série de potências
∞∑
k=0
akx
k diverge quando x2 6= 0, então diverge para todo y tal
que |y| > |x2|.
Demonstração.
Suponhamos que a série
∞∑
k=0
akx
k seja convergente, para algum x1 tal que |x2| < |x1|,
pela Propriedade (1.20) a série converge quando x2. Isto é contradição !
5Dirichlet 1805−1859 nasceu na Alemanha. Foi educado na Alemanha e na França, onde foi aluno dos
mais renomados matemáticos da época. Sua primeira publicação foi sobre o “Último teorema de Fermat”
26 Séries e Equações Diferenciais
Portanto, a série
∞∑
k=0
akx
k diverge para todo y tal que |y| > |x2|
Propriedade 1.22.
Seja a série
∞∑
k=0
akx
k, então uma e somente uma das condições cumpre
1. A série converge só se x = 0.
2. A série converge absolutamente para todos os valores de x.
3. Se r é o raio de convergência da série, então a série converge absolutamente se |x| < r
e diverge se |x| > r.
Demonstração.
1. Se x = 0, então
∞∑
k=0
akx
k = a0 + 0 + 0 + 0 + · · · = a0, a série converge.
2. Suponhamos que a série dada seja convergente para x = x1, onde x1 6= 0, então a série
converge absolutamente para todo x tal que |x| < |x1|.
Se não existe outro valor de x para o qual a série dada seja divergente, podemos
concluir que a série converge absolutamente para todo x
3. Suponhamos que a série dada seja convergente para x = x1, onde x1 6= 0, e divergente
para x = x2 onde |x2| > |x1|, então pela Propriedade (1.21) a série diverge para
todos x tal que |x| > |x1|.
Portanto, |x2| é um limite superior do conjunto de valores de |x| para o qual a série
converge absolutamente. Logo pelo Axioma do Supremo6, este conjunto tem um
supremo que é o número r.
Esta propriedade nada afirma sobre a convergência da série nos extremos do intervalo
de convergência. O intervalo de convergência é o maior intervalo aberto em que a série é
convergente.
A Propriedade (1.22) é consequência do seguinte Teorema
Teorema 1.1. de Abel.
Seja y = x− c, se temos a série
∞∑
k=0
aky
k nas condições da Propriedade (1.4) então:
1. A série converge somente quando x = c.
6Ver “Cálculo Diferencial em R ” do mesmo autor.
Christian José Quintana Pinedo 27
2. Existe um número r > 0 tal que a série converge absolutamente para todo x ∈ R tal
que |x− c| < r e diverge ∀ x ∈ R tal que |x− c| > r.
Logo o intervalo de convergência será um dos intervalos:
(c− r, c+ r), (c− r, c+ r], [c− r, c+ r), [c− r, c+ r]
No teorema anterior, quando se verifica o 1o caso tem-se r = 0 e quando se verifica o
2o caso tem- se r =∞.
Um dos corolários do Teorema de Abel é o fato que para toda série de potências
existe um intervalo de convergência |x− c| < r para o qual a série de potências converge
absolutamente e fora do intervalo diverge. Nos extremos do intervalo isto é em x =
c± r diversas séries de potências se comportam de um modo diferente, umas convergem
absolutamente em ambos os extremos; outras convergem condicionalmente em ambos os
extremos, o bem em um dos extremos convergem condicionalmente e no outro divergem;
umas terceiras divergem em ambos os extremos.
Exemplo 1.32.
Determine o raio de convergência de cada uma das seguintes séries:
1.
∞∑
k=0
(−1)kx2k 2.
∞∑
k=0
x2k
5k+1
3.
∞∑
k=0
(x− 2)k
2kk2
.
Solução.
1. r−1 =
√
lim
k→∞
∣∣∣∣ak+1ak
∣∣∣∣ =
√
lim
k→∞
∣∣∣∣(−1)k+1(−1)k
∣∣∣∣ = 1 ⇒ r = 12 = 1.
A série converge absolutamente se |x| < 1 = r. Se x = ±1 a série diverge, logo o
intervalo de convergência é (−1, 1).
2. r−1 =
√
lim
k→∞
∣∣∣∣ak+1ak
∣∣∣∣ =
√
lim
k→∞
∣∣∣∣ 15k+21
5k+1
∣∣∣∣ =
√
lim
k→∞
∣∣∣∣5k+15k+2
∣∣∣∣ =
√
|1
5
| ⇒ r =
√
5.
Como |x2| < 5, a série converge absolutamente se |x| < √5 = r. Se x = ±√5 a
série diverge, logoo intervalo de convergência é (−√5,√5).
3. r−1 = lim
k→∞
∣∣∣∣ak+1ak
∣∣∣∣ = limk→∞
∣∣∣∣ 2kk22k+1(k + 1)2
∣∣∣∣ = 12 ⇒ r = 2 ⇒ |x− 2| < 2.
A série converge absolutamente se |x− 2| < 2 = r. Se x = 2 a série converge, logo
o intervalo de convergência é [0, 4].
Exemplo 1.33.
Determine o domínio de convergência da série
∞∑
n=1
[ n+ 1
2n+ 1
]n
(x− 2)2n.
Solução.
28 Séries e Equações Diferenciais
Seja k ∈ N, observe que, se n = 2k − 1 tem-se que an = 0 e, se n = 2k tem-se
ak =
[ n+ 1
2n+ 1
]n
. Para determinar o raio de convergência devemos usar a fórmula (1.9)
lim
n→+∞
n
√[ n+ 1
2n+ 1
]n
= lim
n→+∞
n+ 1
2n+ 1
=
1
2
como |x− 2|2n < 2, ∀ n ∈ N, então |x− 2|2 < 2, e o raio de convergência é r = √2.
La série converge se |x− 2| < √2 um estudo nos extremos leva a estudar a série
∞∑
n=1
[ n+ 1
2n+ 1
]n
(
√
2)2n =
∞∑
n=1
[ n+ 1
2n+ 1
]n
2n−1 =
1
2
∞∑
n=1
[1 +
1
2n+ 1
]n
Como lim
n=1
[1 +
1
2n+ 1
]n =
√
e 6= 0 a série diverge. O mesmo acontece com x = −√2.
Portanto, o domínio de convergência é o intervalo (2−√2, 2 +√2).
Exemplo 1.34.
Determine o domínio de convergência da série
∑
n=1
(x− 1)k(k+1)
kk
.
Solução.
Aplicando a Propriedade (??) (critério da raiz ou de Cauchy) considerando ak =
(x− 1)k(k+1)
kk
então
k
√
ak =
(x− 1)(k+1)
k
, logo lim
k→+∞
k
√
ak =
{
0 se |x− 1| ≤ 1
∞ se |x− 1| > 1
assim, a série converge quando |x− 1| ≤ 1
Portanto, a série converge em [0, 2].
Christian José Quintana Pinedo 29
Exercícios 1-1
1. Determine se a série dada
+∞∑
n=1
9
√
n− 1
n2 + 3
√
n
converge.
2. Determine a convergência da série
+∞∑
n=1
1
2n
(
1 +
1
n
)n
3. Determine se a série dada
+∞∑
n=1
1
(n+ 1)Ln(n+ 1)
converge.
4. Verificar que o produto infinito
∞∏
n=0
(1 + an) com an > 0 converge sempre
∞∑
n=0
an
converge.
5. Determine os intervalos de convergência para as seguintes series de potências:
1. 2x+
8
3
x3 +
32
5
x5 +
128
7
x7 + · · · 2. x
1 · 2 +
x2
2 · 3 +
x3
22 · 4 +
x4
23 · 5 + · · ·
3. 1− x
2
22
+
x4
2242
− x
6
224262
+ · · ·
6. Calcule o raio de convergência das seguintes séries de potências:
1.
∞∑
n=1
( n
2n+ 1
)2n−1
xn 2.
∞∑
n=1
(−1)n1 · 3 · 5 · · · (2n− 1)
2 · 4 · 6 · · · (2n) x
2n
3.
∞∑
n=1
(
1 +
1
n
)n2
(x− 1)n 4.
7. Encontre a região de convergência das seguintes séries de potências:
1.
∞∑
n=1
(x− 3)n
n · 5n 2.
∞∑
n=0
(n+ 1)5
2n+ 1
x2n 3.
∞∑
n=1
n
n+ 1
[x
2
]n
4.
∞∑
n=1
(−1)n+1 x
2n−1
(2n− 1)! 5.
∞∑
n=1
2nxn
n2
6.
∞∑
n=1
(x+ 2)n
Ln(n+ 1)
7.
∞∑
n=1
Lnn
n+ 1
(x− 5)n 8.
∞∑
n=1
n! · xn 9.
∞∑
n=1
1
1 + x2n
8. Determine o maior intervalo aberto em que a série
+∞∑
n=1
(n!)2
(2n)!
xn é convergente.
9. Determine a convergência da série
+∞∑
n=1
[
n+ 1
2n+ 1
]n
(x− 2)n
10. Mostre que a série
+∞∑
n=1
x2
(1 + x2)n
é convergente em R.
30 Séries e Equações Diferenciais
11. Considere a série de potências
∞∑
n−0
an+1
n+ 1
xn+1; com a ∈ R+:
1. Determine o raio de convergência da série e estude a sua natureza nos extremos
do intervalo de convergência.
2. Considere a série numérica que se obtém fazendo x = −3. Justifique que existe
um único valor de a para o qual a série numérica correspondente é simplesmente
convergente e determine-o.
12. Considere a série de potências
∞∑
k=1
xk+3
k + 3
1. Determine o maior intervalo onde a série é convergente.
2. Representando por f(x) a soma da série dada, escreva o desenvolvimento de
f ′(x) em série de potências e determine a soma desta série.
3. Utilizando a parte 2. calcule a soma da série dada.
13. Determine o intervalo de convergência das seguintes séries de potências e estude a
sua natureza nos extremos de aquele intervalo:
1.
∞∑
n=1
xn
2n+
√
n
2.
∞∑
n=1
2nxn
1 + 2n
3.
∞∑
n=1
[2 + (−1)n]2n(x+ 1)n
4.
∞∑
n=1
(x− 3)n√
n
5.
∞∑
n=1
(x− 1)n
1 + n2
6.
∞∑
n=1
(−1)n(n+ 1)!
2× 4× 6× · · · × (2n)x
n+1
7.
∞∑
n=1
(x+ 5)n
5n+1
8.
∞∑
n=1
(x+ 3)2n
(n+ 1)4n
9.
∞∑
n=1
(−1)n
(2n+ 1)!
(x− 1)n
10.
∞∑
n=1
(3x− 1)n
32n
11.
∞∑
n=1
nx
enx
12.
∞∑
n=1
cosnx
enx
Christian José Quintana Pinedo 31
1.3 Desenvolvimento em séries de potências
Seja a um número real (não nulo) e considere-se a sequência uk = ak, k ∈ N.
Considere-se uma nova sequência, obtida de uk, a qual designamos por Sn, de tal modo
que para cada n é a soma dos n+1 primeiros termos de uk, onde k = 0 até n ∈ N, isto é,
Sn =
n∑
k=0
ak
Embora é imediato compreender o seu significado (soma dos n + 1 primeiros termos
da sequência uk), tal como a sequência Sn está escrita, não nos revela muito sobre o seu
comportamento. Esta sequência Sn é limitada? É convergente?
Tentemos então escrevê-la de outra forma.
Sn = a
0+a1+a2+a3+ · · ·+an−1+an = a0+a(1+a1+a2+a3+ · · ·+an−1) = 1+aSn−1
também
Sn = a
0+a1+a2+a3+ · · ·+an−1+an = (a0+a1+a2+a3+ · · ·+an−1)+an = Sn−1+an
deste modo Sn−1 + an = 1 + aSn−1 ⇒ Sn−1 = 1− a
n
1− a se a 6= 1, sabemos que
lim
n→+∞
an =
{
0 se |a| < 1
∞ se |a| ≥ 1
Assim, lim
n→∞
Sn−1 =

1
1− a se |a| < 1
∞ se |a| ≥ 1
.
Portanto, S =
∞∑
k=0
ak = lim
n→∞
[
n−1∑
k=0
ak
]
= lim
n→∞
Sn−1 =
1
1− a se |a| < 1
Logo desenvolvemos f(x) =
1
1− x em série de potências de x em torno de x = 0,
obtendo, para |x| < 1, a soma
∞∑
n=0
xn.
Deste desenvolvimento obtemos outros. Escrevamos então o mesmo desenvolvimento
mas em ordem a uma nova variável y:
1
1− y =
∞∑
n=0
yn se |y| < 1 (1.11)
32 Séries e Equações Diferenciais
Suponhamos que dada uma constante c, y = x− c, então podemos escrever
g(x) =
1
1− (x− c) =
∞∑
n=0
(x− c)n se |x− c| < 1
Admitindo que no interior do intervalo de convergência de uma série de potências de
x, a derivada da série é igual à série das derivadas e que a primitiva da série é igual à
série das primitivas. Isto vai-nos permitir obter desenvolvimentos em série de potências
de x como por exemplo para funções Ln(1 + x) e arctan(x).
De fato, quando y = −x, na igualdade (1.11) tem-se
1
1 + x
=
∞∑
n=0
(−1)nxn se |x| < 1
logo∫
1
1 + x
dx =
∫ ∞∑
n=0
(−1)nxndx ⇒ Ln(x+ 1) =
∞∑
n=0
(−1)n
n+ 1
xn+1 + C se |x| < 1
Quando y = −x2, na igualdade (1.11) tem-se
1
1 + x2
=
∞∑
n=0
(−1)nx2n se |x2| < 1
logo∫
1
1 + x2
dx =
∫ ∞∑
n=0
(−1)nx2ndx ⇒ arctanx =
∞∑
n=0
(−1)n
2n+ 1
x2n+1 + C se |x2| < 1
1.3.1 A função exponencial
Podemos admitir que uma maneira de definir a função exponencial é:
ex =
+∞∑
n=0
1
n!
xn (1.12)
que faz sentido para todo número x real, ou melhor, como a série (1.12) em questão
converge para todo número real x então define um função de domínio R. A essa função
de x chamamos “função exponencial de x”.
Lembrar que graças à Propriedade (1.14), se existe o limite lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣ = |r| < 1
Christian José Quintana Pinedo 33
então a série de potências
+∞∑
n=0
an(x− c)n
converge absolutamente para todo x em (c−r, c+r) e diverge para todo o x em (−∞, c−
r)∪ (c+r,+∞) a convergência em x = r tem que ser averiguada para cada caso específico
de an.
Nesta abordagem informal, introduzamos a variável xi na definição (1.12) acima de
exponencial (onde i2 = −1). Sabe-se que:
i0 = 1, i1 = i, i2 = −1, i3 = −i, i4 = 1, i5 = i, i6 = −1, i7 = −i, · · ·
assim, i2k = (−1)k, i2k+1 = (−1)ki, k ∈ N. então
eix =
+∞∑
n=0
1
n!
(xi)n =
+∞∑
n=0
1
(2n)!
(xi)2n +
+∞∑
n=0
1
(2n+ 1)!
(xi)2n+1 ⇒
eix =
+∞∑
n=0
(−1)n
(2n)!
x2n +
+∞∑n=0
(−1)i
(2n+ 1)!
x2n+1
lembrando que eix = cos x+ isenx segue:
cos x =
+∞∑
n=0
(−1)n
(2n)!
· x2n e senx =
+∞∑
n=0
(−1)n
(2n+ 1)!
· x2n+1 (1.13)
Como podemos observar, para determinar a soma de séries de potências, é comum
partir de uma das seguintes séries:
+∞∑
n=0
xn =
1
1− x, |x| < 1 e
+∞∑
n=0
xn
n!
= ex
Através de processos como substituição de variáveis, multiplicação, integração e dife-
renciação, efetuados em ambos os membros da igualdade, é possível chegar à série cuja
soma queremos determinar.
Exemplo 1.35.
Calcular o limite L = lim
x→0
[
1
x2
− cot2 x
]
.
Solução.
Tem-se
1
x2
− cot2 x = (senx− x cos x)(senx+ x cos x)
x2sen2x
.
Por outro lado senx− x cosx =
+∞∑
n=0
(−1)n
(2n+ 1)!
· x2n+1 − x ·
+∞∑
n=0
(−1)n
(2n)!
· x2n, isto é
34 Séries e Equações Diferenciais
senx− x cos x =
+∞∑
n=0
[
1
(2n+ 1)!
− 1
(2n)!
]
· x2n+1(−1)n =
+∞∑
n=0
[−2n · (−1)n
(2n+ 1)!
]
· x2n+1
também
senx+ x cos x =
+∞∑
n=0
[
1
(2n+ 1)!
+
1
(2n)!
]
· x2n+1(−1)n =
+∞∑
n=0
[
2(n+ 1) · (−1)n
(2n+ 1)!
]
· x2n+1
Logo
L = lim
x→0

+∞∑
n=0
[−2n · (−1)n
(2n+ 1)!
]
x2n+1 ·
+∞∑
n=0
[
2(n+ 1) · (−1)n
(2n+ 1)!
]
x2n+1
x2
+∞∑
n=0
(−1)n
(2n+ 1)!
· x2n+1 ·
+∞∑
n=0
(−1)n
(2n+ 1)!
· x2n+1
 = 23
Exemplo 1.36.
Calcular o limite L = lim
x→0
2ex − 2− 2x− x2
x− senx .
Solução.
Das igualdades (1.12) e (1.13) em séries de potências temos
L = lim
x→0
2ex − 2− 2x− x2
x− senx = limx→0
2[
∞∑
k=0
1
n!
xn]− 2− 2x− x2
x−
∞∑
n=0
(−1)
(2n+ 1)!
(x)2n+1
=
L = lim
x→0
2x3
3!
+ 2x
4
4!
+ · · ·
x3
3!
− x5
5!
+ · · · = limx→0
2
3!
+ 2x
4!
+ · · ·
1
3!
− x2
5!
+ · · · = 2
Portanto, L = lim
x→0
2ex − 2− 2x− x2
x− senx = 2.
1.4 Operações com série de potências
Cada série de potências
∞∑
n=0
anx
n define uma função f
f(x) =
+∞∑
n=0
anx
n (1.14)
o domínio da função f é o intervalo de convergência da série.
Consequência do Teorema de Abel (1.1) é que qualquer função definida por uma série
Christian José Quintana Pinedo 35
de potências de x− c, com raio r > 0, é indefinidamente derivável em (c− r, c + r) e as
suas derivadas podem ser calculadas derivando a série termo a termo.
Propriedade 1.23.
Dada uma série de potências como em (1.14) cujo raio de convergência é r 6= 0, então
sua função derivada é definida por f ′(x) =
+∞∑
n=1
nanx
n−1 em cada número x do intervalo
aberto (−r, r).
A demonstração é exercício para o leitor.
Observação 1.8.
Se o raio de convergência da série f(x) =
+∞∑
n=0
anx
n é r > 0, então r também é o raio
de convergência da série f ′′(x) =
+∞∑
n=2
n(n− 1)anxn−2
Propriedade 1.24.
Dada uma série de potências f(x) =
+∞∑
n=0
anx
n cujo raio de convergência é r 6= 0, então
para |x| < r tem-se:
x∫
0
f(t)dt =
+∞∑
n=0
x∫
0
ant
ndt =
+∞∑
n=0
an
n+ 1
xn+1
Demonstração.
Sejam f(x) =
∞∑
n=0
anx
n e g(x) =
∞∑
n=0
an
n+ 1
xn+1 então pela Propriedade (1.23) g(t)
tem o mesmo raio de convergência de f(t) e g′(x) = f(x). Como g(0) = 0, pelo teorema
fundamental do cálculo integral segue que
x∫
0
f(t)dt = g(x)
�
As Propriedades (1.23) e (1.24) apresentam vários aspectos. Afirmam que f é derivável
e integrável e implica que o raio de convergência da série derivada e integrada é o mesmo
raio de convergência da série original (não afirma nada respeito dos extremos do intervalo
de convergência).
Exemplo 1.37.
36 Séries e Equações Diferenciais
Obter uma representação em série de potências para
1
(x− 1)2 .
Solução.
Sabemos pela igualdade (1.11) que
1
1− x = 1 + x+ x
2 + x3 + · · ·+ xn + · · · , se |x| < 1 ⇒
derivando respeito de x segue
1
(1− x)2 = 1 + 2x+ 3x
2 + 4x3 + · · ·+ nxn−1 + · · · , se |x| < 1
Portanto,
1
(x− 1)2 =
+∞∑
n=1
nxn−1.
Exemplo 1.38.
Verificar que ex =
+∞∑
n=0
xn
n!
.
Solução.
Sabe-se que se f(x) = ex, então sua derivada f ′(x) = ex = f(x).
Seja f(x) =
+∞∑
n=0
xn
n!
⇒ f ′(x) =
+∞∑
n=1
nxn−1
n!
=
+∞∑
n=1
xn−1
(n− 1)! =
+∞∑
n=0
xn
n!
= f(x)
Portanto, ex =
+∞∑
n=0
xn
n!
. �
O teorema a seguir é uma complementação das Propriedades (1.23) e (1.24).
Teorema 1.2.
Seja a série
∞∑
n=0
an(x − c)n com raio de convergência r, isto é, a série converge no
intervalo aberto (a− r, a+ r). Então, definindo f(x) =
∞∑
n=0
an(x− c)n tem-se que:
1. f(x) é contínua em (c− r, c+ r).
2. Existe f ′(x) tal que f ′(x) =
∞∑
n=1
n · an(x− c)n−1
3. Existe h(x) tal que h(x) =
∫ ( ∞∑
n=0
an(x− c)n
)
dx =
∞∑
n=0
an(x− c)n+1
n+ 1
A demonstração é exercício para o leitor.
Christian José Quintana Pinedo 37
Exemplo 1.39.
Determine uma representação em séries de potências para o arctanx
Solução.
Sabe-se que
1
1− y = 1 + y + y
2 + y3 + · · · + yn quando |y| < 1. Considerar y = −t2,
logo
x∫
0
1
1 + t2
dt =
x∫
0
(1− t2 + t4 − t6 + · · ·+ tn + · · · )dt, | − x2| < 1
arctanx = x− x
3
3
+
x5
5
− x
7
7
+
x9
9
− x
11
11
+ · · · , |x| < 1
Propriedade 1.25.
Sejam f(x) =
+∞∑
n=0
anx
n e g(x) =
+∞∑
n=0
bnx
n convergentes em |x| < r. Ao se realizar
operações de adição, subtração e multiplicação com estas séries como se forem polinômios,
então a série resultante converge em |x| < r e representa; f(x)+ g(x), f(x)− g(x) e
f(x) ·g(x) respectivamente. Quando b0 6= 0 o resultado também vale para a divisão, sendo
|x| suficientemente pequeno.
A demonstração deste teorema é exercício para o leitor. �
Exemplo 1.40.
Multiplicar a série geométrica
+∞∑
n=0
xn com o desenvolvimento em série de g(x) =
1
1− x para obter uma série de potências de
1
(1− x)2
Solução.
Sabe-se que
+∞∑
n=0
xn =
1
1− x sempre que |x| < 1, e sejam
f(x) =
+∞∑
n=0
anx
n = 1 + x+ x2 + x3 = · · ·+ xn + · · · ; |x| < 1, an = 1, ∀ n ∈ N
g(x) =
+∞∑
n=0
bnx
n = 1 + x+ x2 + x3 = · · ·+ xn + · · · ; |x| < 1, bn = 1, ∀ n ∈ N
logo f(x) · g(x) =
+∞∑
n=0
cnx
n onde
cn = a0bn + a1bn−1 + a2bn−2 + · · ·+ ajbn−j + · · ·+ an−1b1 + anb0 = n+ 1, ∀ n ∈ N
38 Séries e Equações Diferenciais
Então pela Propriedade (1.25)
f(x) · g(x) =
+∞∑
n=0
cnx
n =
+∞∑
n=0
(n+ 1)xn =
1
(1− x)2 , |x| < 1
Exemplo 1.41.
Determine uma série de potências para earctanx.
Solução.
Sabe-se que ey = 1 + y +
y2
2!
+
y3
3!
+
y4
4!
+ · · · . De onde
earctanx = 1 + arctan x+
(arctanx)2
2!
+
(arctanx)3
3!
+
(arctanx)4
4!
+ · · · =
= 1 + (x− x
3
3
+
x5
5
− · · · ) +
(x− x
3
3
+
x5
5
− · · · )2
2!
+
(x− x
3
3
+
x5
5
− · · · )3
3!
+ · · ·
logo
earctanx = 1 + x+
x2
2
− x
3
6
− 7x
4
24
+ · · ·
1.4.1 A série binomial
Lembre que o binômio de Newton diz que
(x+ y)n =
n∑
k=0
(
n
k
)
xkyn−k
fazendo y = 1 nesta igualdade obtemos
(1+x)n = 1+nx+
(n− 1)n
2!
x2+ · · ·+ n(n− 1(n− 2) · · · (n− k + 1)
k!
xk+ · · ·+nxn−1+xn
Motivados por esta expressão, dado x 6= −1 queremos uma representação do desenvol-
vimento em série de potências para a função f(x) = (1 + x)α onde é um número racional
qualquer.
Dada uma série da forma
1+αx+
α(α− 1)
2!
x2+ · · ·+ α(α− 1)(α− 2) · · · (α− k + 1)
k!
xk+ · · ·+αxα−1+xα (1.15)
para esta série verifica-se que
lim
n→∞
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣ = |x| limn→∞ α− nn+ 1 = |x|
Christian José Quintana Pinedo 39
Portanto, a série (1.15) converge absolutamente quando |x| < 1 diverge nos outros
casos.
Formalmente, suponhamos que g(x) =
∞∑
k=0
α(α− 1)(α− 2) · · · (α− k + 1)
k!
xk.
Derivando termo a termo obtém-se