Apostila de Física Experimental 1

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LABORATÓRIOLABORATÓRIOLABORATÓRIOLABORATÓRIO DEDEDEDE 
 
FÍSICA GERAL E FÍSICA GERAL E FÍSICA GERAL E FÍSICA GERAL E 
 
EXPERIMENTAL IEXPERIMENTAL IEXPERIMENTAL IEXPERIMENTAL I 
 
 
 
2012012012014444 
 
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ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 
 
Ao apresentarmos o resultado final de uma medição, só deverão constar nele os 
algarismos que apresentam um significado nessa medição. 
 
Na apresentação de um resultado serão significativos todos os algarismos contados da 
esquerda para a direita, a partir do primeiro algarismo diferente de zero. Por exemplo: 
 
O número 37,4372 tem seis algarismos significativos; 
 
O número 3,042 tem quatro algarismos significativos; 
 
O número 0,00372 tem três algarismos significativos; 
 
O número 0,00070 tem dois algarismos significativos; 
 
O número 3,4 x 10-8 tem dois algarismos significativos; 
 
O número 0,304 tem três algarismos significativos; 
 
 
CRITÉRIOS DE ARREDONDAMENTO 
 
Acabamos de ver que na apresentação de um resultado é comum termos que abandonar 
alguns algarismos que não mais apresentam significado físico nessa medição. Na 
eliminação desses algarismos devem ser seguidas as seguintes regras: 
 
I) Se o algarismo a ser abandonado for maior do que 5 (cinco), o algarismo anterior 
deverá ser acrescido de uma unidade. 
 
Exemplos (o algarismo sublinhado será a partir do qual faremos a eliminação) 
 
 2,738 ===> 2,74 
 
 35,573 ===> 35,6 
 
 0,02764 ===> 0,028 
 
 4,984 ===> 5,0 
 
 4,757 ===> 4,76 
 
II) Se o algarismo a ser abandonado for menor do que 5 (cinco) , ele é simplesmente 
cancelado sem interferir nos restantes. 
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Exemplo: 
 
 2,364 ===> 2,36 
 
 37,742 ===> 37,7 
 
 0,02634 ===> 0,026 
 
 0,037045 ===> 0,037 
 
 3,204332 ===> 3,20 
 
 
III) Se o algarismo a ser abandonado for exatamente igual a 5 (cinco) , temos duas 
situações a considerar: 
 
a) se o algarismo anterior ao 5 for ímpar, abandona-se o algarismo 5 e acrescenta-se uma 
unidade ao anterior. 
 
Exemplos: 
 
 2,375 ===> 2,38 
 
 2,4352 ===> 2,44 
 
 0,0031531 ===> 0,0032 
 
 
b) Se o algarismo anterior ao 5 for par, cancela-se o algarismo 5 sem qualquer alteração 
no anterior. 
 
Exemplos: 
 
 2,745 ===> 2,74 
 
 2,8853 ===> 2,88 
 
 0,00453 ===> 0,004 
 
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Potência de 10 
 Todas as potências de 10 têm a função de facilitar o cálculo de várias expressões. Para 
isto guarde bem estas técnicas: 
1) Para se elevar 10n (n inteiro e maior do que zero), é só acrescentar a quantidade de 
zeros, representada pelo expoente n, à direita do número 1. 
Exemplos: 
a) 102 = 100 
b) 105 = 100000 
c) 108 = 100000000 
 
2) Para se elevar 10-n (n inteiro e maior do que zero), basta somente escrever a 
quantidade de zeros da potência à esquerda do número 1, colocando a vírgula depois 
do primeiro zero que se escreveu. 
Exemplos de fixação: 
a) 10-4 = 0,0001 
b) 10-6 = 0,000001 
c) 10-7 = 0,0000001 
 
3) Decompondo números em potências de 10 
Exemplos de fixação (números maiores que 1): 
a) 300 = 3.100 = 3.102 
b) 7000 = 7.1000 = 7.103 
c) 10.000 = 1.10000 = 1.104 
Exemplos de fixação (números menores que 1): 
a) 0,004 = 4.0,001 = 4.10-3 
b) 0,0008 = 8.0,0001 = 8.10-4 
c) 0,00009 = 9.0,00001 = 9.10-5 
 
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PESOS E MEDIDAS – HISTÓRICO 
 
ANTIGUIDADE 
 
Em nossa civilização atual, os processos de medição são bastante complexos, a fim de 
satisfazerem às necessidades da ciência a da tecnologia. Em épocas remotas, o homem 
utilizou processos simples, suficientes para a sua técnica primitiva. 
 
Mas, quando começou a medir? Começou provavelmente quando ainda nem falava, pois poderia 
medir ou comparar um peixe com outro, a saber, qual o maior ou o menor. Também seria do seu 
conhecimento que uma certa quantidade de alimento saciava sua fome. Obviamente, eram 
maneiras intuitivas de medir. 
 
A partir do momento em que o homem passou a viver em grupos e à proporção que esses 
aglomerados cresciam, a necessidade de medir aumentava ainda mais. As maneiras como 
mediam as grandezas eram bastante simples: usavam partes do próprio corpo, como o 
comprimento do pé, a largura da mão ou a grossura do dedo, o palmo e a passada. 
Utilizavam ainda uma vara ou um bastão. 
 
Com o surgimento das primeiras civilizações, tais processos não mais satisfaziam às necessidades 
dos homens, pois os mesmos sabiam constatar as diferenças daquelas partes para cada indivíduo. 
As construções de casas a navios, a divisão de terras e o comércio com outros povos exigiam 
medidas padrões, que fossem as mesmas em qualquer lugar. Assim, um mercador de tecidos da 
Babilônia poderia vender sua mercadoria em Jerusalém, usando uma vara padrão de tamanho 
aproximado ao da adotada lá. 
 
 
 
Os povos antigos - os egípcios, os babilônios, os assírios, os chineses, os persas a os gregos 
possuíam padrões diferentes de comprimento. A unidade de comprimento dos babilônios era o 
dedo (aproximadamente 16mm). Usavam também o cúbito, que equivalia a 30 dedos. O pé e a 
polegada foram, em geral, para esses povos, as unidades padrões. 
 
É interessante ressaltar que, segundo L.A. Sanches, os egípcios possuíam uma estranha medida 
denominada "polegada piramidal", encontrada na grande pirâmide de Quéops, junto ao Nilo, 
construída a 3 ou 4 mil a.C. Ao ser estudada, concluíram que o diâmetro da Terra mede um 
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bilhão e meio destas polegadas. O cálculo do perímetro da base da pirâmide resulta 365 242 
polegadas, resultado cujos algarismos exprimem exatamente o número de dias do ano solar 
(365,242 dias). 
 
O homem também precisou pesar, ou melhor, comparar massas, pois peso e massa são duas 
grandezas diferentes, sendo o primeiro uma força resultante da atração gravitacional, como você 
verá mais adiante no seu curso de Física. Massa é a quantidade de matéria de um corpo, ou em 
termos mais físicos, é a resistência que ele oferece a uma força aplicada. O peso pode variar 
dependendo das condições e a massa é invariante no estado de repouso. 
 
Nos primeiros tempos, o homem comparava a massa de dois corpos equilibrando-os um em cada 
mão. Até que surgiu a primeira máquina de comparação: uma vara suspensa no meio por uma 
corda. Os objetos eram pendurados nas suas extremidades e, se houvesse o equilíbrio, ou seja, se 
a vara ficasse na horizontal, eles possuíam a mesma massa. 
 
 
Os povos antigos padronizaram centenas de diferentes pesos e medidas para atender às 
necessidades de suas civilizações. 
 
O grão de trigo tirado do meio da espiga, provavelmente foi o primeiro elemento padrão de peso. 
Dos sistemas adotados, um deles propagou-se pela Europa toda e hoje ainda é usado pelos países 
de língua inglesa, após pequenas modificações: trata-se do sistema comercial chamado 
"avoirdupois", palavra francesa que significa "bens de peso". 
 
 
 
 
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Suas unidades são: 
 
• grão (gr) 
• dracma (dr) 
• onça (oz) 
• libra (lb) 
• quintal (cwt) 
• tonelada (t) 
 
 
 
 
Com relação ao tempo, apesar de não poder segurá-lo ou guardá-lo, o homem conseguia medi-lo 
registrando as repetições dos fenômenos periódicos. Qualquer evento familiar servia para marcar 
o tempo: o período entre um e outro nascer do Sol, a sucessão das luas cheias, ou a das 
primaveras. 
 
Você deve saber que, assim como os antigos, os índios contavam os anos por invernos ou verões, 
os meses por luas e os dias por sóis. Tais cálculos não eram muito exatos. As horas de claridade 
entre o nascer e o pôr do sol variam muito durante o ano. Já o período que vai de uma lua cheia a 
outra permanecia constante. Logo os homens perceberam tal fato e concluíram que a maneira 
mais exata de medir o tempo era baseando-sena periodicidade de eventos em corpos celestes. 
 
O nosso ano é o período de tempo em que a Terra faz o seu movimento de translação em torno do 
Sol. Ele é, às vezes, chamado de ano astronômico, equinocial, natural ou solar. Os cientistas 
chamam-no geralmente de ano trópico e tem 365 dias, 5 horas, 48 minutos, 45 segundos e 7 
décimos. Como no calendário consideramos apenas 365 dias, a cada quatro anos, as horas e os 
minutos que sobram são reunidos, formando mais um dia, que aparece no ano bissexto. 
 
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O mês foi a primeira medida exata de tempo. Era calculado de uma lua cheia a outra e tinha 
exatamente 29 dias e meio. Entretanto, dividindo-se o ano em meses lunares, obtinha-se 12 meses 
e uma sobra de 11 dias. Não havia relação exata entre o ano calculado pela translação da Terra 
em torno do Sole o mês lunar. Isto originava confusão ao iniciar um novo mês. Outras tentativas 
de divisões em relação a fenômenos naturais foram refutadas pela mesma razão. Júlio César, no 
ano 46 A.C. aboliu o ano lunar e adotou o ano solar de 365 dias, com um dia a mais a cada quatro 
anos. Os meses eram baseados aproximadamente nos meses lunares, porém com duração 
diferente. Os imperadores romanos costumavam subtrair dias de alguns meses para adicioná-los a 
outros, seus favoritos. 
 
A semana de 7 dias não tem relação exata com os corpos celestes e seus movimentos, embora a 
divisão do mês em quatro semanas tenha origem nas divisões que representavam as quatro fases 
da Lua. 
 
O dia é estabelecido pelo período de rotação da Terra em torno do seu eixo. 
A hora é a vigésima quarta parte do dia, não existindo, porém, relação entre os fenômenos 
naturais e as repetições de duração de uma hora: a divisão foi feita arbitrariamente e por 
conveniência. 
 
O relógio de Sol, que consistia em um bastão espetado no chão no centro de um círculo, foi o 
primeiro instrumento para medir o intervalo de tempo. Uma hora possui 60 minutos e este, 60 
segundos. Esta divisão foi feita pelos antigos babilônios (aproximadamente 2000 a.C.), que 
adotavam um sistema de base sexagesimal, pois já haviam dividido o círculo na base 60, critério 
que até hoje conservamos. 
 
 
IDADE MÉDIA E RENASCENÇA 
 
Os pesos e medidas usados nas civilizações antigas eram levados a outras através do comércio ou 
da conquista. Assim, no início da Idade Média, as unidades adotadas eram as dos romanos, o 
último e maior império da Antiguidade, que levaram-nas por toda a Europa, oeste da Ásia e 
África. Sem dúvida, os mais usados eram ainda aqueles das dimensões humanas. Obviamente 
eram necessárias medidas mais precisas para certas atividades, como no caso das construções 
bizantinas e árabes. Esses povos certamente possuíam seus padrões de pesos e medidas, embora 
fossem diferentes para cada região. 
 
Ao que tudo indica, nenhum padrão foi criado em termos nacionais, até que, na Inglaterra, 
Ricardo I (reinou de 1189 a 1199, já no século XII) determinou unidades para comprimento e 
para capacidade. Estas eram de ferro e mantidas em várias regiões do país por autoridades 
regionais com o objetivo de comprovar a veracidade de uma medida. Datam desta época a jarda e 
o galão, até hoje usados pelos países de língua inglesa. 
 
Várias versões existem para explicar o aparecimento da jarda: no norte da Europa, supõe-se que 
era o tamanho da cinta usada pelos anglo-saxões e no sul seria o dobro do comprimento do cúbito 
dos babilônios. Seu valor também peie ter sido determinado por Henrique I (reinou de 1100 a 
1135), que teria fixado o seu comprimento como sendo a distância entre o seu nariz e a ponta de 
seu braço esticado. Informações como esta provavelmente não carecem de verdade, pois a 
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maioria dos padrões da Idade Média era realmente criada pelos soberanos, primeiros interessados 
nas medidas dos valores de seus reinos. 
 
 
 
Os pesos padrões eram aqueles dos povos antigos, conforme a região, em geral mantendo o grão 
como unidade fundamental. Em algumas regiões européias, continuava o uso do sistema 
"avoirdupois" nas transações comerciais. Para o comércio de jóias e pedras preciosas, que exigia 
processos de medidas mais delicados, era usado o sistema "troy", cujas unidades eram: 
 
• grão (gr.) 
• pennyweight (dw.t) 
• onça (oz.t) 
• libra (Ib.t) 
 
Para pedras preciosas, a unidade era o quilate, que equivale aproximadamente a 4 grãos. 
De todos os padrões de pesos e medidas criados, nenhum conseguiu uma utilização internacional 
e homogênea, existindo ainda aqueles remanescentes da Antiguidade. A situação se tornava mais 
delicada e confusa, devido a reprodução inexata, erros de interpretação e desonestidade de 
alguns. 
 
O mesmo não aconteceu com as medidas de tempo que já haviam sido padronizadas por Júlio 
César, sendo seu calendário adotado pelo menos em toda a Europa. Ainda devemos lembrar que 
nas invenções do fim da Idade Média e Renascença eram adotados padrões cautelosos, pois se 
tratava de uma nova atividade e podia ser muito bem controlada. Como exemplo, a tipografia e a 
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imprensa, cujos tipos móveis de padrões internacionais foram criados em fins do século XV e são 
até hoje mantidos. 
 
 
SISTEMA MÉTRICO DECIMAL E SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES 
 
Em fins do século XVIII, a diversificação de medidas era enorme, dificultando muito as 
transações comerciais. Na França, a situação estava pior e graças às novas idéias trazidas pela 
Revolução Francesa de 1789 e as imposições que fazia o florescimento da era industrial, foi 
criada uma comissão de homens de ciência para a determinação e construção de padrões, de tal 
modo que fossem universais. 
 
Os padrões deveriam reproduzir os fenômenos naturais, para não dependerem de futuras 
mudanças. Após estudos e pesquisas, a comissão que incluía nomes famosos como Borda, 
Lagrange e Laplace concluíram que a unidade de comprimento deveria pertencer ao sistema 
decimal, de maior facilidade, e presa a um dos três seguintes fenômenos naturais: 
 
a) comprimento de um pêndulo de período (2 oscilações) igual a 1 segundo, latitude 45° 
b) comprimento de 1/4 do círculo equatorial 
c) comprimento de 1/4 de meridiano terrestre do equador a um dos pólos 
 
Como na primeira a medida iria depender de grandezas alheias ao comprimento, como o tempo e 
o peso, e como medidas do equador eram quase impossíveis, foi aceita a proposição do 
meridiano, pois, além de não apresentar os defeitos das anteriores, já contava com uma boa 
comparação. 0 meridiano que passa por Paris já havia sido medido precisamente e podia ser 
comparado com a nova determinação. 
 
Imediatamente foram tomadas as medidas necessárias para o trabalho e designadas cinco 
comissões para a execução, onde figuravam Lavoisier, Coulomb e Legendre. Devido à demora 
que o empreendimento levaria e à urgência da criação do sistema, foi proposto e aceito pela 
Assembléia o metro provisório, baseado na medida antiga. Mais tarde verificou-se que a 
diferença realmente era mínima. 
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As unidades padrões eram o metro, o quilograma e o segundo. 
 
O metro foi definido como a décima milionésima parte do meridiano terrestre medido de 
Dunkerke a Barcelona. 
 
A unidade de massa era o quilograma, construído em platina iridiada, massa próxima de 1 litro de 
água destilada a 4°C. O segundo era a unidade de tempo, de valor 86 400 avos do dia solar 
médio. Por decreto-lei, as unidades tornaram-se oficiais na França e, passados alguns anos, vários 
países já as adotavam. 
 
Os padrões foram feitos e cópias exatas foram enviadas aos países que legalizaram o sistema 
métrico, dentre eles o Brasil. 
 
Anualmente, por volta de 1870, reuniam-se em Paris os membros da Confederação Internacional 
de Pesos e Medidas e, em 1875, determinou-se a criação do Bureau Internacional de Medidas. 
Participaram 30 países, dentre os quais o Brasil, atravésde seu representante, Visconde de 
Itajubá. 
 
A Inglaterra resolveu não adotar o sistema decimal, mantendo até hoje suas unidades, juntamente 
com os Estados Unidos. 
Com o desenvolvimento científico e tecnológico de nosso século, verificou-se, além de melhores 
maneiras de definir as unidades, a insuficiência destas, pois não havia um padrão para grandezas 
fundamentais como no caso da eletricidade. 
 
Enfim, em 1960, na XI Conferência Internacional de Pesos e Medidas, foi adotado o Sistema 
Internacional de Unidades e o metro e o segundo foram redefinidos. 
As grandezas fundamentais do SI são: Comprimento, Massa, Tempo, Intensidade Elétrica, 
Temperatura e Intensidade Luminosa. 
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Devido a sérios prejuízos que sofre a Inglaterra pela não adoção do SI, ela passou a usa-lo 
oficialmente. 
 
Como você deve ter observado, um modelo ou uma teoria científica nunca é eternamente exata, 
podendo vir a sofrer mudanças conforme a própria ciência e tecnologia exija, de acordo com o 
seu desenvolvimento. 
 
Obs.: Texto extraído de Física.net 
 
 
 
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CONVERSÃO DE UNIDADES 
 
Unidades de medida 
 
Medidas são comuns no nosso dia a dia. Normalmente sabemos quanto medimos, quanto 
pesamos, quantas pessoas moram na nossa casa, que temperatura nos é agradável ou não, qual a 
velocidade de um carro e várias outras. Essas medidas sempre se expressam por um valor 
numérico seguido por uma unidade de medida. Essas unidades expressam grandezas físicas, 
elementos que podem ser quantificados e que facilitam o estudo e a descrição dos fenômenos 
físicos. 
 
Algumas dessas grandezas físicas são chamadas de fundamentais ou de base, ou seja, são 
independentes de outras unidades quaisquer. Outras grandezas físicas são chamadas de derivadas, 
pois são definidas por meio das mais variadas combinações das grandezas fundamentais. As 
principais unidades fundamentais para o estudo da ciência são o comprimento, o tempo, a massa 
e a temperatura. Além dessas, há outras como ângulo, freqüência, intensidade luminosa, volume 
sonoro, corrente elétrica, quantidade de moléculas (quantidade de matéria), pessoas, peças de 
roupas, dinheiro e muitas outras, nem todas de interesse científico. Como exemplos de grandezas 
derivadas podem ser citadas a velocidade e a aceleração, que se derivam das unidades 
fundamentais de comprimento e de tempo. Outros exemplos são a força, o trabalho, a energia, a 
potência, que se derivam das unidades fundamentais de comprimento, de tempo e de massa. 
 
Cada grandeza física, seja ela fundamental ou derivada, possui normalmente várias unidades 
diferentes em que podem ser expressas. Por exemplo, o comprimento pode ser expresso em 
metros, em centímetros, em quilômetros, em milhas, em pés, em polegadas, em anos-luz e de 
várias outras formas. 
 
Há também alguns conjuntos de unidades de medida que são denominados “sistemas de 
unidades”. Estes conjuntos representam as unidades de medida utilizadas nalguma região ou país. 
Os sistemas mais usados nos dias de hoje são o sistema inglês e o sistema internacional (SI), 
importantes por ser o sistema usado nos Estados Unidos e o sistema usado na maior parte do 
mundo, respectivamente. 
 
O sistema internacional é mais prático e mundialmente aceito e reconhecido, tendo a vantagem de 
que os resultados dos seus cálculos estarão automaticamente nas unidades do sistema 
internacional, sem necessidade de nenhum fator de correção. Isto não ocorre em sistemas como o 
inglês, onde os cálculos muitas vezes necessitam de fatores de correção para serem expressos 
corretamente. 
 
Independentemente de ser mais complicado, o sistema inglês é muito comum no dia a dia, pois 
muitos equipamentos, livros técnicos e estudos científicos são de produção norte americana. 
 
Além destes, há outros sistemas e unidades, como o sistema CGS. Também há unidades de calor 
em caloria ou quilocaloria, de pressão em atmosfera, bar ou milímetros de mercúrio, área em 
hectare e diversas outras unidades. É conveniente lembrar que a unidade de volume litro (l), não 
pertence a nenhum sistema, apesar do seu uso sistemático. Seu volume equivale a um cubo com 
10 cm de aresta, equivalente a 0,001 m3. Várias dessas unidades são aceitas para uso junto com o 
SI. 
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O quadro 1 mostra as grandezas do sistema internacional (SI). 
 
 
 
Algumas das grandezas de interesse físico são força, trabalho, energia, potência e pressão. 
 
A força corresponde ao produto da massa pela aceleração, ou seja: F = m.a. Assim, um Newton 
(N), que é a unidade de medida de força do sistema internacional corresponde a um quilograma 
metro por segundo ao quadrado (1 N = 1 kg.m.s-2). 
 
O trabalho corresponde ao produto da força pela distância, ou seja: τ = F.d. Assim, um joule (J), 
unidade do SI, corresponde a um quilograma metro quadrado por segundo ao quadrado (1 J = 1 
kg.m2.s-2). A energia, assim como o calor (que não passa de uma forma de energia) possui as 
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mesmas unidades fundamentais que o trabalho, e por isso eles podem ser convertidos uns nos 
outros. 
 
A potência, por sua vez corresponde à razão do trabalho pelo tempo, ou seja: Pot = τ/t. Com isso, 
o watt (W) corresponde a um quilograma metro quadrado por segundo ao cubo (1W = 1kg.m2.s-
3). 
A pressão corresponde à razão da força pela área, ou seja: p = F/A. Assim, um pascal (Pa) 
corresponde a um quilograma por metro por segundo ao quadrado (1Pa = 1kg.m-1.s-2). 
 
No quadro 2 estão os prefixos do sistema internacional de unidades. Para formar o múltiplo ou 
submúltiplo de uma unidade, basta colocar o nome do prefixo desejado na frente do nome desta 
unidade. O mesmo se dá com o símbolo. Assim, um quilovolt (kV) corresponde a 1.000 volts, um 
megavolt 1.000.000 volts, um centivolt (cV) corresponde 0,01 volts e um milivolt (mV) 
corresponde a 0,001 volt. 
 
 
 
Tabela de Conversão de unidades 
 
Comprimento mm cm dm m km 
mm 1 0,1 0,01 0,001 10-6 
cm 10 1 0,1 0,01 10-5 
dm 100 10 1 0,1 10-4 
m 1000 100 10 1 0,001 
km 106 105 104 1000 1 
 
Área mm2 cm2 dm2 m2 km2 
mm2 1 0,01 0,0001 10-6 10-12 
cm2 100 1 0,01 0,0001 10-10 
dm2 10000 100 1 0,01 10-8 
m2 106 10000 100 1 10-6 
km2 1012 1010 108 106 1 
 
Volume mm3 cm3 - lm dm3 - l m3 
mm3 1 0,001 10-6 10-9 
cm3 - lm 1000 1 0,001 10-6 
dm3 - l 106 1000 1 0,001 
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m3 109 106 1000 1 
 
Tempo Dia (d) Hora (h) Minuto (min) Segundo (s) 
Dia (d) 1 24 1440 86400 
Hora (h) 1/24 1 60 3600 
Minuto (min) 1/1440 1/60 1 60 
Segundo (s) 1/86400 1/3600 1/60 1 
 
adotando-se g = 10m/s2 
Pressão mmHg atm Pa – N/m2 Kgf/cm2 
mmHg 1 1/760 105/760 1/760 
atm 760 1 105 1 
Pa – N/m2 760/105 10-5 1 10-5 
Kgf/cm2 760 1 105 1 
 
 Densidade: 
1 g/cm3 = 1 g/ lm = 106 kg/m3 
1 kg/m3 = 10-6 g/cm3 = 10-6 g/ lm 
 
Força: 
1 kgf = 9,8 N ou 1 kgf = 10 N (adotando-se g = 10m/s2) 
1 N = 0,102 kgf ou 1N = 0,1 kgf (adotando-se g = 10m/s2) 
 
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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
Calcule as áreas das figuras abaixo 
Obs.: Resposta em m2 com 2 algarismos significativos 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
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c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
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BARICENTRO OU CENTRO DE GRAVIDADE 
 
 
Se analisarmos um corpo qualquer sob a ação da atração da gravidade , podemos 
subdividir este corpo em infinitas partes, de maneira que cada parte tenha um 
infinitesimal de peso. A soma dos pesos infinitesimais de todas essas partes, ou seja, a 
resultante desses pesos, é o peso total do corpo e o seu ponto de aplicação denomina-se 
centro de gravidade ou baricentro desse corpo. 
 
Pode-se admitir que o corpo se comporta como se seu peso estivesse concentrado num 
único ponto, o baricentro. 
 
O Baricentro de qualquer corpo simétrico, de composiçãohomogênea, coincide com seu 
centro geométrico. 
 
Quando um corpo é apoiado ou suspenso pelo seu baricentro, fica em equilíbrio em 
qualquer posição em que for abandonado, é o chamado equilíbrio indiferente. 
 
 
 
PROPRIEDADES DO BARICENTRO 
 
 
1) Em todo corpo homogêneo que admite um eixo de simetria, o Baricentro 
obrigatoriamente se situa sobre este eixo. No caso de o corpo admitir dois ou mais 
eixos de simetria, o Baricentro estará localizado no cruzamento destes eixos. 
 
 
2) O Baricentro pode corresponder a um ponto localizado fora da massa do corpo. 
 
 
3) Qualquer que seja a posição ocupada pelo corpo, a linha de ação de seu peso passará 
pelo Baricentro. 
 
 
4) Supondo o corpo situado em um campo gravitacional uniforme, o baricentro situa-se 
sempre na região do corpo aonde se concentra a maior parte de sua massa. 
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PAQUÍMETRO 
 
Utilizando o paquímetro realize as series de medições indicadas na peça. 
 
 
 
A (mm) B (mm) C (mm) D (mm) 
 
 
 
 
 
A (mm) B (mm) C (mm) D (mm) 
 
 
 
 
A (mm) B (mm) C (mm) D (mm) 
 
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GRÁFICOS CARTESIANOS 
 
 
Um gráfico tem por finalidade representar a evolução de um fenômeno e permitir leitura 
de valores. Se ele deixar de cumprir estas finalidades, sua execução não terá tido sentido. 
A construção de um gráfico se inicia com a escolha do sistema de eixos, seguida pelo 
traçado das escalas. Neste trabalho serão tratados apenas os gráficos com sistemas de 
eixos cartesianos. 
Existem dois tipos fundamentais de escala: escal linear e escala funcional. 
 
GRAFICOS COM ESCALAS LINEARES 
 
Escala Linear é aquela onde o comprimento que representa uma grandeza é proporcional 
ao valor da grandeza. 
 
 
 
 
 
 
l10 = comprimento que representa escala I = 10
A 
 
m = módulo de escala 
 
Módulo de uma Escala Linear (m) é a relação entre o comprimento que representa uma 
grandeza e o valor desta grandeza. 
 
Ex: 
 
l10 = 30mm 
 
30 = m . 10 
 
)A( 10
)mm( 30
m = 
A
mm
 3m = 
 
 
Pag.22 
 
Escolha dos Módulos das Escalas 
 
A escolha dos módulos para os dois eixos, ira determinar o tamanho do papel, necessário 
para conter todo o intervalo de medidas realizadas. 
 
O critério adotado é simplesmente lógico: a escala resultante deverá permitir leituras com 
a mesma precisão daquelas efetuadas nos aparelhos de medida. Assim, as leituras 
efetuadas no gráfico terão precisão semelhante à aquelas dos aparelhos, não sacrificando 
algarismos significativos nem dando ao leitor ilusão da precisão. 
 
Como uma das funções do gráfico é permitir leituras rápidas, uma restrição adicional é 
construir a escala de maneira que cada linha do papel, (milimetrado por exemplo ), 
represente um valor inteiro da grandeza. Para conseguir isto, uma variação de 10 divisões 
por exemplo, deverá representar 1, 2, 5 ou seus múltiplos de potencias de dez e nunca 3, 
7, 9, etc. 
 
 
 Modo correto Modo incorreto 
 
 
 leia 
 
 
 
Marcação de Pontos no Gráfico 
 
Como, da leitura de uma grandeza física resulta sempre um intervalo e não um número 
este intervalo é que deverá ser marcado no gráfico. 
 
 
Ex: V = 2,4 ± 0,2 isto é , o valor mais provável está entre 2,2 e 2,6. 
 I = 0,15 ± 0,01 isto é , o valor mais provável está entre 0,14 e 0,16. 
 
 
 
 
Pag.23 
 
 
 
 
 
Qualquer valor dentro do retângulo tem a mesma probabilidade de ser um valor mais 
provável da grandeza. 
Marcando os pontos com esse critério, ficam evidentes os seguintes aspectos, que de 
outro modo muitas vezes dariam margem a interpretações errôneas: 
 
1) Não tem sentido ligar os pontos por retas, por não existirem estes pontos. Alem disto, 
retas são variações do fenômeno segundo lei linear e o aspecto geral mostra que a 
variação nao é linear. 
 
 
 
 
 
 
2) A curva média deve passar pela maioria das regiões, pois só lá é possível estarem os 
valores mais prováveis. Cada região por onde a curva média não passou, deve ser 
substituída (se possível repetir o experimento) por 3 outras regiões, obtidas por 
leituras nas proximidades. 
 
 
Esta substituição mostrará se tinha havido um erro de leitura, ou se a lei de evolução do 
fenômeno mudou neste trecho. 
 
Pag.24 
 
 
A figura abaixo indica um gráfico com um ponto duvidoso 
 
 
 
 
 
Caso tenha ocorrido um erro de leitura as novas regiões deverão pertencer a curva média, 
como vemos na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
As novas regiões podem indicar que ocorreu uma mudança na lei de evolução do 
fenômeno neste trecho, como vemos na figura abaixo. 
Pag.25 
 
 
 
 
 
3) As indeterminações aproximadas da leitura de um ponto no gráfico, são obtidas 
usando-se as indeterminações dos instrumentos na região onde se localiza. 
 
 
 
 
Se na experiência : 
V entre 2,0 e 2,5 , tem ∆V = 0,2 
 I entre 0,10 e 0,20 , tem ∆I = 0,10 
 
A leitura será : 
 V ± ∆V = 2,3 ± 0,2 
 I ± ∆I = 0,15 ± 0,01 
 
 
Pag.26 
 
O modo mais preciso de se achar as indeterminações dos pontos é traçar a envoltória dos 
retângulos, determinando-se uma faixa de indeterminação, em lugar de uma curva única. 
As leituras de um ponto são feitas na curva média e as indeterminações são obtidas no 
retângulo traçado nesta região. 
 
 
 
 
 
Ampliado: 
 
 
 
V ± ∆V = 2,3 ± 0,2 
 I ± ∆I = 0,15 ± 0,01 
 
Pag.27 
 
Modelo de um Gráfico 
 
Neste modelo procurou-se colocar tudo o que deve conter um gráfico, suprimindo-se tudo 
que não deve aparecer. 
 
 
 
Diminuição das Dimensões de um Gráfico 
 
Algumas vezes, quando para a utilização de um gráfico, não se necessita da precisão 
obtida nas medidas originais, pode-se adotar módulos inferiores aos ideais, com a 
finalidade de reduzir o tamanho do gráfico, obtendo-se ainda os resultados desejados. 
Exemplo: curva de crescimento da população de São Paulo de 1900 a 1990, com a 
finalidade de se prever a população no ano 2000. 
 
Apesar de, na ocasião dos recenseamentos, o desvio do número de habitantes poder ser da 
ordem de centenas, e o desvio de tempo ser da ordem de dias, ninguém poderá pretender 
avaliar a população no ano 2000 com indeterminações inferior a 50000 pessoas, pois os 
fatores de crescimento e migração não permitem obter-se resultados mais precisos. 
Assim, um gráfico relativamente pequeno dará os resultados pretendidos. 
Pag.28 
 
EXERCÍCIO RESOLVIDO 
 
Um estudante efetuou uma série de medições com o intuito de verificar a dependência entre a força 
aplicada em um corpo de massa (M) constante e sua aceleração, obtendo os dados indicados na tabela 
abaixo. 
 
F(N) 44 57 68 80 97 
a(m/s2) 6,0 10,4 15,6 20,0 26,4 
 
Sabe-se que no inicio do experimento já existia uma força inicial (F0) e que a equação genérica deste 
experimento é definida por: F = F0 + M.a . Pede-se: 
a) construir em papel milimetrado o diagrama representativo deste fenômeno; 
b) a partir do gráfico determinar a massa M (unidade em quilograma) e a força inicial F0; 
c) Com os dados obtidos escrever a equação especifica deste experimento. 
 
 
 
 
 
Pag.29 
 
RESOLUÇÃO 
 
O primeiro passo é identificar os elementos da equação genérica do experimento. 
 
 
 
Cada eixo do nosso gráfico vai representar uma das variáveis. No eixo das ordenadas 
(vertical) representamos, obrigatoriamente, a variável dependente e no eixo das abscissas 
(horizontal) a variável independente. 
 
Obs.: Sempre que tivermos uma unidade associada à grandeza esta deve ser representada 
entre parênteses. 
 
 
Uma vez identificados os eixos, que deverão estar orientados, podemos definir as suas 
escalas.Como mencionado anteriormente as escalas devem ser compostas de um valor 
prático (1, 2, 5 ou seus múltiplos de potencias de dez), atender a todos os valores da 
grandeza correspondente e dentro destas condições, o gráfico deve ocupar a maior porção 
possível da área gráfica. 
 
Exemplo de valores práticos de escala: 
 
... 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 ... 
... 0,002 0,02 0,2 2 20 200 2000 ... 
... 0,005 0,05 0,5 5 50 500 5000 ... 
 
 
Uma forma simples de determinar a melhor escala para cada eixo é: 
Dividir o maior valor da tabela pelo número de divisões principais do eixo. O valor 
encontrado nesta conta serve como referencia para a escolha da escala, caso não seja um 
Pag.30 
 
valor prático devemos adotar o próximo valor prático (sempre maior que o resultado da 
divisão). 
 
Para o eixo horizontal temos: 
 
Maior valor da aceleração = 26,4 
Número de divisões principais = 14 
 
88,1
14
4,26
Fator == 
 
Como 1,88 não é um valor prático adotaremos o próximo valor prático que corresponde 
ao 2. 
 
 
Para o eixo vertical temos: 
 
Maior valor da força = 97 
Número de divisões principais = 12 
 
08,8
12
97
Fator == 
 
Como 8,08 não é um valor prático adotaremos o próximo valor prático que corresponde 
ao 10. 
 
 Podemos dizer que o módulo de escala horizontal é de 





=
cm
s/m
2m
2
a e o modulo da 
escala vertical é de 




=
cm
N
10mF . 
 
A graduação da escala nos eixos de vê ser feita em intervalos uniformes, de uma em uma 
divisão, duas em duas divisões e assim por diante. 
 
Obs.: Os únicos valores representados nos eixos são os valores da escala. 
 
Uma vez definidas as escalas podemos transferir para o gráfico os pares ordenados com 
sues respectivos intervalos de dúvidas, formando uma região em torno do ponto. 
Como no exercício não foi fornecido variações referentes ao experimento, vamos utilizar 
como padrão uma variação de ±10% do módulo de escala, que resulta em uma região de 2 
divisões na horizontal por 2 divisões na vertical. 
 
Pag.31 
 
 
 
 Neste momento seu gráfico deve estar semelhante à figura a seguir. 
 
 
Obs.: Não use linhas de chamada, linhas perpendiculares aos eixos utilizadas para localizar os pontos, 
mesmo que sejam tracejadas. Elas confundem a leitura dos pontos interpolados. 
Pag.32 
 
O próximo passo consiste em traçar a reta média pertinente as nossas regiões. 
 
 
 
Obs.: A reta não precisa necessariamente passar pelo centro da região pois, qualquer 
ponto dentro de uma região é um valor provável e em alguns casos é possível que a reta 
não passe por todas as regiões. 
 
Traçado a reta média vamos determinar qual é a equação especifica do fenômeno. 
 
1º Passo – Determinar o Coeficiente Linear. 
 
O coeficiente linear corresponde ao ponto onde a reta intercepta o eixo das ordenadas e 
sua unidade é a mesma da grandeza representada neste eixo. 
 
Pag.33 
 
 
 
Como podemos observar na figura acima, para este gráfico, o coeficiente linear tem um 
valor de 30 N. 
 
Logo F0 = 30 N 
 
2º Passo – Cálculo do Coeficiente Angular. 
 
Para calcular o coeficiente angular através de um gráfico devemos formar um triangulo 
retângulo onde a hipotenusa corresponde a um segmento da reta média e os catetos são 
paralelos aos eixos (horizontal e vertical) do gráfico. 
Os catetos correspondem a uma variação (∆) da grandeza associada ao eixo paralelo. No 
nosso exemplo o cateto horizontal é representado por ∆a e o vertical por ∆F. 
O coeficiente angular (no nosso exemplo M) é a relação entre o cateto vertical e o cateto 
horizontal. 
 
 
a
F
M
∆
∆
= 
 
 
Pag.34 
 
 
 
Obs.: Os catetos devem ser representados exclusivamente através de linhas tracejadas em 
hipótese nenhuma serão aceitas linhas continuas e os valores referentes à suas variações 
devem ser retirados da escala. 
 
Para o nosso exemplo temos: 
 
kg5,2
24
60
024
3090
a
F
M ==
−
−
=
∆
∆
= 
 
3º Passo – Escrever a equação especifica. 
 
Para representarmos a equação especifica basta substituir os valores calculados para os 
coeficientes (linear e angular) na equação genérica. 
 
 F = 30 + 2,5.a (S.I.) 
Pag.35 
 
NOME ____________________________________________No_____________ 
1) Um estudante efetuou uma série de medições com o intuito de verificar a dependência entre a força 
aplicada em um corpo de massa (M) constante e sua aceleração, obtendo os dados indicados na 
tabela abaixo. 
F(N) 120 160 180 220 240 
a(m/s2) 2,0 5,5 7,7 11,0 13,0 
 
Sabe-se que no inicio do experimento já existia uma força inicial (F0) e que a equação genérica deste 
experimento é definida por: F = F0 + M.a . Pede-se: 
a) construir em papel milimetrado o diagrama representativo deste fenômeno; 
b) a partir do gráfico determinar a massa M (unidade em quilograma) e a força inicial F0; 
c) Com os dados obtidos escrever a equação especifica deste experimento. 
 
 
 
Pag.36 
 
NOME ____________________________________________No_____________ 
2) Um estudante efetuou uma série de medições com o intuito de verificar a dependência entre a tensão 
(U) e a corrente elétrica (I) em uma fonte de tensão ligada a um circuito elétrico, obtendo os dados 
indicados na tabela abaixo. 
 
U (V) 244 200 170 140 100 
I (A) 0,5 2,0 3,2 4,1 5,5 
Sabe-se que a equação genérica deste experimento é definida por: U = E + r.I onde E representa a 
força eletromotriz da fonte e r sua resistência interna. Pede-se: 
a) construir em papel milimetrado o diagrama representativo deste fenômeno; 
b) a partir do gráfico determine o valor de E; 
c) a partir do gráfico determine o valor de r (unidade em ohms → Ω); 
c) Com os dados obtidos escrever a equação especifica deste experimento. 
 
 
 
Pag.37 
 
NOME ____________________________________________No_____________ 
3) Em um planeta uma esfera é lançada verticalmente para cima. Um aluno ao estudar este 
movimento obteve os dados indicados na tabela abaixo. Pede-se: 
a) construir em papel milimetrado o diagrama representativo deste fenômeno; 
b) a partir do gráfico determine a velocidade inicial (V0); 
c) a partir do gráfico determine a aceleração da gravidade local (g); 
d) Com os dados obtidos escrever a equação especifica deste experimento. 
 
t (s) 0,40 1,10 1,60 2,02 2,50 
V (m/s) 46 40 33 31 27 
 
OBS: a equação das velocidades neste tipo de movimento é do tipo V = V0 + g.t 
 Onde g é a aceleração da gravidade e V0 é a velocidade inicial do móvel 
 
 
 
 
Pag.38 
 
NOME ____________________________________________No_____________ 
4) Leila, uma aluna do curso de engenharia, realizou um experimento comparando as indicações 
de temperatura de dois termômetros obtendo os dados representados na tabela abaixo. O 
termômetro A estava graduado em graus Celsius (oC) e o termômetro B estava graduado em 
graus Leila (oL) que corresponde a uma escala criada pela aluna. 
A (oC) 59 73 91 119 137 
B (oL) 32 47 60 83 100 
Sabe-se que a equação genérica deste experimento é definida por: A = C0 + M.B onde C0 
representa a temperatura inicial e M o fator de relação entre as escalas. Pede-se: 
a) construir em papel milimetrado o diagrama representativo deste fenômeno; 
b) a partir do gráfico determine o valor de C0; 
c) a partir do gráfico determine o valor de M (em oC/ oL); 
c) Com os dados obtidos escrever a equação especifica deste experimento. 
 
 
 
Pag.39 
 
NOME ____________________________________________No____________ 
5) Um móvel percorre uma trajetória retilínea com movimento uniformemente variado. Um aluno ao 
estudar este movimento obteve s dados indicados na tabela abaixo. Pede-se: 
a) construir em papel milimetrado o diagrama representativodeste fenômeno; 
b) a partir do gráfico determinar a aceleração γ e a velocidade inicial V0 deste móvel; 
c) Com os dados obtidos escrever a equação das velocidades deste móvel. 
 
t (s) 2 5 8 11 14 
V (m/s) 6,8 5,0 3,2 1,4 0,5 
 
Obs: a equação das velocidades neste tipo de movimento é definida genericamente por V = V0 + γ.γ.γ.γ.t 
 
 
 
Pag.40 
 
NOME ____________________________________________No_____________ 
6) Um estudante efetuou uma série de medições com o intuito de verificar a dependência entre a força 
aplicada em um corpo de massa (M) constante e sua aceleração, obtendo os dados indicados na 
tabela abaixo. 
F(N) 35 47 60 84 103 
a(m/s2) 4 8 12 18 24 
 
Sabe-se que no inicio do experimento já existia uma força inicial (F0) e que a equação genérica deste 
experimento é definida por: F = F0 + M.a . Pede-se: 
a) construir em papel milimetrado o diagrama representativo deste fenômeno; 
b) a partir do gráfico determinar a massa M (em quilogramas) e a força inicial F0; 
c) Com os dados obtidos escrever a equação especifica deste experimento. 
 
 
Pag.41 
 
NOME ____________________________________________No_____________ 
7) Um estudante efetuou uma série de medições com o intuito de verificar a dependência entre a tensão 
(U) e a corrente elétrica (I) em uma fonte de tensão ligada a um circuito elétrico, obtendo os dados 
indicados na tabela abaixo. 
 
U (V) 210 184 160 120 104 
I (A) 0,5 1,5 2,8 4,5 5,5 
Sabe-se que a equação genérica deste experimento é definida por: U = E + r.I onde E representa a 
força eletromotriz da fonte e r sua resistência interna. Pede-se: 
a) construir em papel milimetrado o diagrama representativo deste fenômeno; 
b) a partir do gráfico determine o valor de E; 
c) a partir do gráfico determine o valor de r (em ohms – Ω); 
d) Com os dados obtidos escrever a equação especifica deste experimento. 
 
 
 
Pag.42 
 
NOME ____________________________________________No_____________ 
8) Em um planeta uma esfera é lançada verticalmente para cima. Um aluno ao estudar este 
movimento obteve os dados indicados na tabela abaixo. Pede-se: 
a) construir em papel milimetrado o diagrama representativo deste fenômeno; 
b) a partir do gráfico determine a velocidade inicial (V0); 
c) a partir do gráfico determine a aceleração da gravidade local (g); 
d) Com os dados obtidos escrever a equação especifica deste experimento. 
 
t (s) 0,6 1,9 3,5 4,5 5,8 
V (m/s) 51 41 28 23 14 
 
OBS: a equação das velocidades neste tipo de movimento é do tipo V = V0 + g.t 
 Onde g é a aceleração da gravidade e V0 é a velocidade inicial do móvel 
 
 
 
 
Pag.43 
 
NOME ____________________________________________No_____________ 
9) Leila, uma aluna do curso de engenharia, realizou um experimento comparando as indicações 
de temperatura de dois termômetros obtendo os dados representados na tabela abaixo. O 
termômetro A estava graduado em graus Celsius (oC) e o termômetro B estava graduado em 
graus Leila (oL) que corresponde a uma escala criada pela aluna. 
A (oC) 34 45 51 59 73 
B (oL) 70 104 122 172 204 
Sabe-se que a equação genérica deste experimento é definida por: A = C0 + M.B onde C0 
representa a temperatura inicial e M o fator de relação entre as escalas. Pede-se: 
a) construir em papel milimetrado o diagrama representativo deste fenômeno; 
b) a partir do gráfico determine o valor de C0; 
c) a partir do gráfico determine o valor de M (em oC/ oL); 
d) Com os dados obtidos escrever a equação especifica deste experimento. 
 
 
 
Pag.44 
 
NOME ____________________________________________No____________ 
10) Um móvel percorre uma trajetória retilínea com movimento uniformemente variado. Um aluno ao 
estudar este movimento obteve s dados indicados na tabela abaixo. Pede-se: 
a) construir em papel milimetrado o diagrama representativo deste fenômeno; 
b) a partir do gráfico determinar a aceleração γ e a velocidade inicial V0 deste móvel; 
c) Com os dados obtidos escrever a equação das velocidades deste móvel. 
 
t (s) 5 11 17 23 27 
V (m/s) 125 89 61 33 7 
 
Obs: a equação das velocidades neste tipo de movimento é definida genericamente por V = V0 + γ.γ.γ.γ.t 
 
 
 
 
Pag.45 
 
 
ANAMORFOSE 
 
Anamorfose é o processo pelo qual uma função y = f(x) é transformada em uma função u = f(v) 
onde u = f(y) e v = f(x). 
 
Para ficar mais claro tomemos o seguinte exemplo: 
 
Seja a função y = 2.x2 que representada em um gráfico com escalas lineares nos fornece uma 
parábola: 
 
 
 
Fazendo-se x2 = v obteremos y = 2v e que representada em um gráfico com escalas lineares 
nos mostra uma reta: 
 
 
 
 
 
Pag.46 
 
Consideramos agora a equação que indica o comportamento da corrente num processo de 
carga de um capacitor: ζ
−
=
t
0 e.II , nos mostrando que a corrente de carga varia com o tempo 
segundo uma lei exponencial, onde I0 e ζ são constantes. 
Traçando-se um gráfico com escalas lineares de I = f (t ), ou seja, ζ
−
=
t
0 e.II , este terá o 
seguinte aspecto: 
 
 
Na maioria dos casos tem-se interesse em fazer anamorfoses transformando-se as funções 
não lineares em funções cujos gráficos são retas. 
 
No caso de funções exponenciais como é o caso da carga do capacitor, para fazer anamorfose 
utilizamos logaritmos: 
 
 log I = log 








ζ
−
t
0 e.I 
 
log I = log I0 - 
ζ
t
 log e 
 
 
Fazendo-se log I0 = a e b
elog
=
ζ
 , onde “a” e “b” serão constantes, vem: 
 
 log I = a – bt 
 
 
 
 
 
Traçando-se o gráfico em escala linear de log I = f(t) vamos obter uma reta. 
Pag.47 
 
 
 
 
Devemos observar que as mesmas considerações são válidas para qualquer função 
exponencial, do tipo: 
 
 y = C . e
bx
 , onde C e b sejam constantes. 
 
 
Outra funções também podem ser “linearizadas”: 
 
 
Como exemplo podemos analisar a equação dos espaços para o MUV. 
 
Para simplificar vamos considerar um movimento, onde a velocidade inicial e a posição 
inicial são iguais a zero. O movimento terá então uma equação do tipo: 
 
S = 2ta
2
1
 onde: 
 
S = espaço ( posições ) 
t = tempo 
a = aceleração ( que neste tipo de movimento é uma constante ) 
 
Teremos então: 
 
 log S = log 


 2t.a
2
1
 
 log S = log
2
a
 + 2.log t 
 
Pag.48 
 
Fazendo-se log
2
a
 = C (constante) vem: log S = C + 2.log t 
 
Note que as duas variáveis ( S e t ) estão inseridas num logaritmo, logo, se traçarmos um 
gráfico de log S = f ( log t ) teremos: 
 
 
 
 
A Anamorfose não se aplica apenas extraindo-se o logaritmo da função. Poderá ser utilizada 
com qualquer artificio matemático que torne a equação original semelhante a uma função linear. 
 
Se tomarmos por exemplo uma função do tipo y = a x ,onde “a” é uma constante, o 
seu gráfico em escalas lineares será: 
 
Agora se elevarmos a equação ao quadrado, teremos: 
 
 y2 = a2 . x 
 
Fazendo-se y2 = u e a2 = C (constante) temos : u = Cx 
 
Pag.49 
 
Um gráfico com escalas lineares, u = f (x) teria o seguinte aspecto : 
 
 
 
O coeficiente angular da reta acima corresponderá a constante C = a2. 
 
 C 
x
u
a 2
∆
∆
== 
 
 
 
 
ou 
x
u
a
∆
∆
= 
 
 
Pag.50 
 
ESCALA LOGARÍTMICA 
 
O processo de construção de uma escala logarítmica mostra que no caso de uma grandeza 
y = f (x), marcar “log y “ numa escala linear, é exatamente a mesma coisa que marcar “y” 
numa escala logarítmica. 
 
Na prática podemos dizer que a escala logarítmica, por causa do seu processo construtivo, 
se encarrega de extrair o logaritimodo valor que está sendo inserido no gráfico. 
 
Por exemplo, quando indicamos o valor 3,000 em uma escala logarítmica ele 
corresponderá ao valor 0,477 ( que é o logaritimo de 3,000 ) de uma escala linear ou 
regular. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O zero não figura na escala logarítmica pois não é definido o logaritmo de zero. 
 
Uma escala logarítmica é composta de décadas logarítmicas (que estão exemplificadas na 
figura acima). O espaçamento entre duas divisões quaisquer da escala é proporcional a 
diferença dos logaritmos dos valores correspondentes a essas divisões. Como exemplo 
tomemos o intervalo entre 20 e 50 na década que vai de 10 a 100 exemplificada acima: 
 
 
 
Pag.51 
 
10log100log
10log20log
D
L1
−
−
= 
 
 e 
 
 
10log100log
10log50log
D
L2
−
−
= 
 
 
10log100log
10log20log
10log100log
10log50log
D
L
D
L 12
−
−
−
−
−
=− 
 
 
10log100log
20log50log
D
LL 12
−
−
=
−
 
 
 mas LLL 12 ∆=− , portanto 
 
 
10log100log
20log50log
D
L
−
−
=
∆
 
 
como log10 = 1 e log100 = 2 temos [ ]20log50logDL −=∆ 
Pag.52 
 
CONSTRUÇÃO DE UMA DÉCADA LOGARÍTMICA 
 
 
Não existe um valor fixo para o comprimento de uma Década Logarítmica ( como pudemos 
observar nos exemplos anteriores), ele é determinado de acordo com a necessidade do gráfico 
e de forma a se enquadrar nas dimensões do papel disponível. 
 
 
 
 
 
Na figura acima D representa o comprimento da Década Logarítmica (distância entre os 
dois extremos, 1 e 10 ) e L3 a distância do 1 ao 3. 
 
Como a finalidade da nossa escala e extrair o logaritimo dos valores indicados, vamos 
associar essas distâncias aos logaritmos dos valores representados. 
 
 
 
1log10logD
1log3logL 3
−→−−−−−−−−←
−→−−−−−−−−←
 
 
Portanto: 
 
 L3 . ( log 10 – log 1 ) = D . ( log 3 – log 1 ) 
 
 
 
( )
( )1log10log
1log3log.D
L 3 −
−
= 
 
 
Como log1 = 0 temos : 
 
 
10log
3log.D
L 3 = 
Como log10 = 1 e log3 =0,477 temos: 
 
 L3 = D . 0,477 
Pag.53 
 
 
Conclui-se que a distância do inicio da década logarítmica até a divisão correspondente ao 
número 3 é 0,477 vezes o comprimento total da Década Logarítmica. 
 
 
Se construímos uma Década Logarítmica de comprimento D = 8,1cm, teremos então: 
 
 L3 = 8,1 . 0,477 = 3,86 cm 
 
Para o exemplo acima teríamos então: 
 
 
 
As demais distâncias são obtidas utilizando-se o mesmo processo, variando apenas os 
valores das distâncias que se deseja obter. 
 
Se quisermos, por exemplo, determinar o L8 (distância do 1 ao 8 ) temos: 
 
 
 
1log10logD
1log8logL8
−→−−−−−−−−←
−→−−−−−−−−←
 
 
Portanto: 
 
 L8 . ( log 10 – log 1 ) = D . ( log 8 – log 1 ) 
 
 
 
( )
( )1log10log
1log8log.D
L 8 −
−
= 
 
 
 
Como log1 = 0 temos : 
 
 
Pag.54 
 
 
10log
8log.D
L 8 = 
 
 
 L8 = D . 0,903 
 
 
Para D = 8,1cm 
 
 
L8 = 8,1 . 0,903 → L8 = 7,3cm 
 
 
 
 
 
Vamos construir agora uma Década Logarítmica variando de 10 até 100. 
 
 
 
 
Para determinar a distancia L30 utilizaremos os mesmos procedimentos, utilizados para 
determinar o L3. 
 
10log100logD
10log30logL 30
−→−−−−−−−−←
−→−−−−−−−−←
 
Pag.55 
 
Portanto: 
 
 L30 . ( log 100 – log 10 ) = D . ( log 30 – log 10 ) 
 
 
 
( )
( )10log100log
10log30log.D
L 30 −
−
= 
 
 
 L30 = D . 0,477 
 
 
Como podemos observar o fator de multiplicação da distância de L30 ,na Década 
Logarítmica que varia de 10 a 100, é exatamente o mesmo do L3 que foi calculado na 
Década Logarítmica que variava de 1 a 10, ou seja, se adotarmos o mesmo comprimento 
para as duas Décadas Logarítmicas a distância do 1 ao 3 será igual à distância do 10 ao 
30. 
 
Este fato não é uma mera coincidência, pois qualquer que sejam os extremos da Década 
Logarítmica, desde que seja obedecido o fato de um extremo ser dez vezes maior que o 
outro e mantendo-se o mesmo comprimento, as divisões intermediárias são sempre 
coincidentes. 
 
Para construir uma ESCALA LOGARÍTMICA, basta agrupar uma seqüência de Décadas 
Logarítmicas de mesmo comprimento. 
 
 
Exemplos de Escalas Logarítmicas : 
 
 
 
 
 
 
 
Pag.56 
 
 
Nestes exemplos representamos apenas as divisões principais das escalas nos papeis com 
escala logarítmica já impressa, normalmente existem representadas as divisões 
secundárias. 
 
Podemos observar também que estão numerados apenas os extremos de cada uma das 
Décadas Logarítmicas pois, embora seja permitido, a numeração completa congestionaria 
visualmente a escala, o que muitas vezes dificulta o sua utilização. 
 
 
Exercícios 
 
1) Construa uma década logarítmica com 10 cm de comprimento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pag.57 
 
 
2) Construa uma escala funcional de 15cm de comprimento com a função X , 
representando os inteiros de 0 a 5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Construa uma escala funcional de 15cm de comprimento com a função X2, 
representando os inteiros de 0 a 5. 
 
 
 
 
 
Pag.58 
 
 
4) Construa uma escala funcional de 12cm de comprimento com a função ( )XX2 − , 
representando os inteiros de 1 a 6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Construa uma escala funcional de 15cm de comprimento com a função ( )23 X2X − , 
representando os inteiros de 2 a 6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pag.59 
 
GRÁFICOS EM PAPEL MONOLOGARÍTMICO 
 
 
O papel monologarítmico, também conhecido como papel mono-log. Nele em um dos 
eixos está traçado uma escala regular ( linear ) e no outro uma escala logarítmica. 
 
Abaixo estão representados as divisões principais de um papel mono-log. Por uma 
questão gráfica este será o modelo utilizado em nosso estudo. 
 
 
Pag.60 
 
O uso deste papel é muito comum para gráficos que tenham em suas equações genéricas uma 
variável dentro de um expoente. Neste caso, vamos analisamos as equações que apresentam 
as seguintes formas: 
 
y = C.ebx e y = C.e-bx 
 
Onde : 
 
 y e x representam as variáveis; 
 
 C e b representam constantes; 
 
 e é a base neperiana e tem valor fixo 2,71828... 
 
Ex: Num ensaio do tipo y = C.ebx , obtiveram-se os seguintes dados: 
 
 
 
x 0,5 1,0 2,5 4,0 5,0 5,5 
y 6,4 8,2 17,4 36,9 61,0 78,2 
 
 
 
Se traçarmos este gráfico em um papel com escalas regulares, obteremos uma curva do 
tipo. 
 
 
 
 
 
 
Pag.61 
 
Para realizar a Anamorfose vamos extrair o logaritmo da função: 
 
log y = log ( )bxe.C ou log y = log C + bxelog 
 
log y = log C + b.x .loge ou log y = log C + x.b.log e 
 
Fazendo-se: 
 
 log y = Y , log C = A e b.loge = B , sendo “A” e “B” constantes 
 
Y = A + Bx , que corresponde a uma função do 1o grau cujo gráfico é 
uma reta. 
 
 
Para a construção do novo gráfico é necessário extrair o logaritmo dos valores de y, no 
que resulta numa nova tabela derivada da primeira: 
 
 
x 0,5 1,0 2,5 4,0 5,0 5,5 
y 6,4 8,2 17,4 36,9 61,0 78,2 
log y 0,81 0,91 1,24 1,57 1,78 1,89 
 
 
Traçando-se agora o gráfico log y = f (x ) em um papel com escalas lineares, teremos: 
 
 
 
Pag.62 
 
Para evitar todo este trabalho podemos traçar diretamente o gráfico y = f (x), utilizando 
um papel monologarítmico. A escala logarítmica se encarregará de extrair o logaritmo dos 
valores de y, ou seja, na prática estaremos traçando o gráfico log y = f (x), mas com a 
vantagem de não precisar construir a nova tabela, ou seja, utilizando diretamente os dados 
da primeira tabela dada. 
 
 
No gráfico acima optamospor representar a região referente ao intervalo de dúvida, em 
torno do ponto, através de retângulos de mesmo tamanho, embora na realidade, por serem 
regiões logarítmicas, deveriam possuir tamanhos diferentes . 
 
Pag.63 
 
 Lembramos aqui que todos os conceitos vistos anteriormente no capitulo Gráficos 
Cartesianos ( reta média, região, escala , etc. ), também são aplicados na construção de 
gráficos em papel mono-log. 
 
 
DETERMINAÇÃO DAS CONSTANTES C E b 
 
 
Constante C : 
 
Se analisarmos a equação para o ponto x = 0 temos : 
 
 
 y = C . eb.0 
 
 y = C . e0 
 
logo: y = C 
 
Prolongando-se a reta ( se for necessário ) até interceptar o eixo vertical, o valor da ordenada 
do ponto onde a reta intercepta o eixo das ordenadas corresponde a constante C. 
 
 
 
No caso do nosso exemplo, podemos notar que a reta intercepta o eixo na ordenada y = 5 , 
logo C = 5. 
 
 
 
 
Pag.64 
 
 
1o método: 
 
Para o ponto onde 
b
1
x = , temos: 
 
 b
1
b
e.Cy = 
 
 1e.Cy = 
 
 e.Cy = 
 
Se localizarmos em nosso gráfico o ponto cuja a ordenada vale “C.e” saberemos então 
que a abscissa desse ponto é 
b
1
, como mostra a figura abaixo. 
 
 
 
Para o nosso exemplo, temos: 
 
C = 5 e e = 2,718... 
 
C.e = 13,59 
 
Agora vamos localizar no gráfico o ponto cuja a ordenada vale 13,59: 
 
Pag.65 
 
 
Do gráfico podemos verificar que 
b
1
 corresponde a abscissa de valor 2, logo: 
 
 b
2
1
2
b
1
=⇒= 
 
 ou b = 0,5 
 
Pag.66 
 
2o método: 
 
Sabe-se que : 
 
log y = log C + bxelog 
 
log y = log C + b.x .log e 
 
Para o ponto onde x = 
b
1
 temos: 
 
log y = log C + b. 
b
1
 .log e 
 
log y = log C + log e 
 
 
Podemos obter o valor de 
b
1
 utilizando-se do seguinte esquema gráfico: 
 
 
 
 
Se aplicarmos este outro método em nosso exemplo, obteremos o mesmo valor para a 
constante “b” que encontramos no método anterior. 
 
 
 
 
Pag.67 
 
 
Do gráfico, temos: 
 
 b
2
1
2
b
1
=⇒= ou b = 0,5 
 
Uma vez que determinamos as constantes ( C = 5 e b = 0,5 ), podemos agora escrever a equação 
que deu origem ao gráfico: 
 
 y = C . ebx ou y = 5 . e0,5 x 
 
Pag.68 
 
NOME ____________________________________________No_______________ 
1) Um estudante efetuou uma série de medições com o intuito de verificar a dependência entre duas 
grandezas x e y, representadas na tabela abaixo (em unidades do Sistema Internacional): 
 
X 0,2 0,36 0,5 0,8 1,0 1,24 
Y 640 800 980 1500 2000 2800 
 
Pede-se: 
a) Construir o gráfico em papel MONO-LOG e verificar se a dependência é do tipo y = C . e bx 
b) Determinar o valor das constantes C e b; 
c) Escrever a função y = f (x) utilizando os resultados obtidos. 
 
 
2
3
4
5
6
7
8
9
2
3
4
5
6
7
8
9
1
1
1
Pag.69 
 
NOME ____________________________________________No_______________ 
2) Um estudante efetuou uma série de medições com o intuito de verificar a dependência entre duas 
grandezas x e y, representadas na tabela abaixo (em unidades do Sistema Internacional): 
 
X 0,20 0,56 0,78 1,56 2,12 2,60 
Y 36 56 70 190 380 680 
 
Pede-se: 
a) Construir o gráfico em papel MONO-LOG e verificar se a dependência é do tipo y = C . e bx 
b) Determinar o valor das constantes C e b; 
c) Escrever a função y = f (x) utilizando os resultados obtidos. 
 
 
2
3
4
5
6
7
8
9
2
3
4
5
6
7
8
9
1
1
1
 
Pag.70 
 
NOME ____________________________________________No_______________ 
3) Um estudante efetuou uma série de medições com o intuito de verificar a dependência entre duas 
grandezas x e y, representadas na tabela abaixo (em unidades do Sistema Internacional): 
 
Y 0,9 1,3 2,7 4,6 8,0 
X 0,15 0,35 0,68 0,98 1,22 
 
Pede-se: 
a) Construir o gráfico em papel MONO-LOG e verificar se a dependência é do tipo y = C . ebx 
b) Determinar o valor das constantes C e b; 
c) Escrever a função y = f (x) utilizando os resultados obtidos. 
 
 
2
3
4
5
6
7
8
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2
3
4
5
6
7
8
9
1
1
1
Pag.71 
 
NOME ____________________________________________No_______________ 
4) Um estudante efetuou uma série de medições com o intuito de verificar a dependência entre duas 
grandezas x e y, representadas na tabela abaixo (em unidades do Sistema Internacional): 
 
X 0,032 0,080 0,130 0,190 0,226 0,280 
Y 3,4 2,5 1,5 0,82 0,58 0,38 
 
Pede-se: 
a) Construir o gráfico em papel MONO-LOG e verificar se a dependência é do tipo y = C . e-bx 
b) Determinar o valor das constantes C e b; 
c) Escrever a função y = f (x) utilizando os resultados obtidos. 
 
 
2
3
4
5
6
7
8
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2
3
4
5
6
7
8
9
1
1
1
Pag.72 
 
NOME ____________________________________________No_______________ 
5) Um estudante efetuou uma série de medições com o intuito de verificar a dependência entre duas 
grandezas x e y, representadas na tabela abaixo (em unidades do Sistema Internacional): 
 
X 1,0 2,9 5,8 8,9 10,7 13,3 
Y 60000 48000 17000 8400 5200 2600 
 
Pede-se: 
a) Construir o gráfico em papel MONO-LOG e verificar se a dependência é do tipo y = C . e
-bx
 
b) Determinar o valor das constantes C e b; 
c) Escrever a função y = f (x) utilizando os resultados obtidos. 
 
 
2
3
4
5
6
7
8
9
2
3
4
5
6
7
8
9
1
1
1
 
 
Pag.73 
 
NOME ____________________________________________No_______________ 
6) Um estudante efetuou uma série de medições com o intuito de verificar a dependência entre duas 
grandezas x e y, representadas na tabela abaixo (em unidades do Sistema Internacional): 
 
X 0,32 1,06 1,40 2,16 2,72 
Y 3,8 2,3 1,7 0,92 0,64 
 
Pede-se: 
a) Construir o gráfico em papel MONO-LOG e verificar se a dependência é do tipo y = C . e
-bx
 
b) Determinar o valor das constantes C e b; 
c) Escrever a função y = f (x) utilizando os resultados obtidos. 
 
 
2
3
4
5
6
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8
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2
3
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7
8
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1
1
1
Pag.74 
 
NOME ____________________________________________No_______________ 
7) Um estudante efetuou uma série de medições com o intuito de verificar a dependência entre duas 
grandezas x e y, representadas na tabela abaixo (em unidades do Sistema Internacional): 
 
X 0,23 0,50 0,74 0,98 1,20 1,46 
Y 660 940 1300 1800 2400 3400 
 
Pede-se: 
a) Construir o gráfico em papel MONO-LOG e verificar se a dependência é do tipo y = C . ebx 
b) Determinar o valor das constantes C e b; 
c) Escrever a função y = f (x) utilizando os resultados obtidos. 
 
2
3
4
5
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3
4
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7
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1
1
1
Pag.75 
 
NOME ____________________________________________No_______________ 
8) Um estudante efetuou uma série de medições com o intuito de verificar a dependência entre duas 
grandezas x e y, representadas na tabela abaixo (em unidades do Sistema Internacional): 
 
Y 40 60 92 150 270 520 
X 1,2 3,6 5,4 7,8 11,0 14,6 
 
Pede-se: 
a) Construir o gráfico em papel MONO-LOG e verificar se a dependência é do tipo y = C . ebx 
b) Determinar o valor das constantes C e b; 
c) Escrever a função y = f (x) utilizando os resultados obtidos. 
 
2
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3
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1
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NOME ____________________________________________No_______________ 
9) Um estudante efetuou uma série de medições com o intuito de verificar a dependência entre duas 
grandezas x e y, representadasna tabela abaixo (em unidades do Sistema Internacional): 
 
Y 0,066 0,094 0,15 0,21 0,32 0,42 
X 2,0 3,9 7,0 9,6 11,8 14,0 
 
Pede-se: 
a) Construir o gráfico em papel MONO-LOG e verificar se a dependência é do tipo y = C . ebx 
b) Determinar o valor das constantes C e b; 
c) Escrever a função y = f (x) utilizando os resultados obtidos. 
 
2
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NOME ____________________________________________No_______________ 
10) Um estudante efetuou uma série de medições com o intuito de verificar a dependência entre duas 
grandezas x e y, representadas na tabela abaixo (em unidades do Sistema Internacional): 
 
X 0,32 1,06 1,40 2,16 2,72 
Y 32 20 14 7,8 5,4 
 
Pede-se: 
a) Construir o gráfico em papel MONO-LOG e verificar se a dependência é do tipo y = C . e-bx 
b) Determinar o valor das constantes C e b; 
c) Escrever a função y = f (x) utilizando os resultados obtidos. 
 
2
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3
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7
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1
1
Pag.78 
 
NOME ____________________________________________No_______________ 
11) Um estudante efetuou uma série de medições com o intuito de verificar a dependência entre duas 
grandezas x e y, representadas na tabela abaixo (em unidades do Sistema Internacional): 
 
X 0,29 0,64 0,93 1,15 1,29 1,44 
Y 2,6 1,4 0,78 0,5 0,38 0,30 
 
Pede-se: 
a) Construir o gráfico em papel MONO-LOG e verificar se a dependência é do tipo y = C . e-bx 
b) Determinar o valor das constantes C e b; 
c) Escrever a função y = f (x) utilizando os resultados obtidos. 
 
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7
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1
1
1
Pag.79 
 
NOME ____________________________________________No_______________ 
12) Um estudante efetuou uma série de medições com o intuito de verificar a dependência entre duas 
grandezas x e y, representadas na tabela abaixo (em unidades do Sistema Internacional): 
 
Y 23000 14000 10000 5500 2600 1400 
X 0,38 0,72 1,04 1,60 2,12 2,62 
 
Pede-se: 
a) Construir o gráfico em papel MONO-LOG e verificar se a dependência é do tipo y = C . e-bx 
b) Determinar o valor das constantes C e b; 
c) Escrever a função y = f (x) utilizando os resultados obtidos. 
 
 
2
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5
6
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2
3
4
5
6
7
8
9
1
1
1
 
Pag.80 
 
GRÁFICOS EM PAPEL DILOGARÍTMICO 
 
O papel Dilogarítmico, também conhecido como papel Di-log, tem em cada um de seus 
dois eixos traçada uma escala logarítmica, utilizando-se o mesmo comprimento das 
décadas logarítmicas em ambas escalas. 
 
Abaixo estão representadas as divisões principais de um papel di-log. Por uma questão 
gráfica este será o modelo utilizado neste trabalho. 
 
 
Pag.81 
 
Quando a lei de variação de um fenômeno é uma função potência, para se conseguir a 
linearização da curva é necessário traçar um gráfico com escalas logarítmicas nos dois eixos. 
 
Por exemplo, seja a função: 
 
y = A xB 
 
Onde : 
 
 y e x representam as variáveis; 
 
 e 
 
 A e B representam as constantes; 
 
 
Extraindo o logaritmo da função temos: 
 
 log y = log (A.xB) ou log y = log A + log xB , portanto: 
 
 log y = log A + B.log x 
 
 
Logo, um gráfico de log y = f( log x ) em escala regular é o mesmo que um gráfico de y 
= f (x) utilizando-se um papel di-log, ambos terão em sua representação uma reta. 
 
 
Ex: Estudou-se a dependência de uma grandeza y em função de outra grandeza x. Sabe-se 
que a dependência é do tipo y = C. xK , onde C e K são constantes. Obtveram-se os 
dados inscritos na tabela abaixo. 
 
 
 
x 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 
y 56 100 160 225 310 400 
 
Pag.82 
 
 
Se traçarmos este gráfico em um papel com escalas regulares obteremos uma curva. 
 
 
 
 
 
Para realizar a Anamorfose, vamos extrair o logaritmo da função: 
 
log y = log C + log xK 
 
log y = log C + K .log x 
 
Fazendo-se: 
 
 log y = Y , log C = A e log x = X , sendo “A” constante 
 
Temos : 
Y = A + K.X , que corresponde a uma função do primeiro grau cujo gráfico é uma reta.. 
 
 
Para a construção do novo gráfico é necessário extrair o logaritmo dos valores de x e de 
y, o que resulta na seguinte tabela: 
 
x 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 
log x 0,18 0,30 0,40 0,48 0,54 0,60 
y 56 100 160 225 310 400 
log y 1,74 2,00 2,20 2,35 2,49 2,60 
Agora se traçarmos o gráfico log y = f (log x ) em um papel com escalas regulares 
teremos: 
Pag.83 
 
 
 
 
 
Para evitar todo este trabalho podemos traçar o gráfico y = f (x) utilizando um papel 
dilogarítmico . As escalas logarítmicas se encarregam de extrair o logaritmo dos valores 
de x e de y, ou seja, na prática estaremos traçando o gráfico log y = f (log x), mas com a 
vantagem de não precisar alterar nenhum valor da tabela original. 
 
Pag.84 
 
 
No gráfico acima optamos por representar a região referente ao intervalo de dúvida em 
torno dos pontos, através de retângulos de mesmo tamanho, embora na realidade, por 
serem regiões logarítmicas, graficamente teriam tamanhos diferentes uma dos outros. 
 
 Lembramos aqui que todos os conceitos vistos anteriormente no capitulo Gráficos 
Cartesianos ( reta média, região , etc. ), também são aplicados na construção de gráficos 
em papel di-log. 
 
Pag.85 
 
DETERMINAÇÃO DAS CONSTANTES C E K 
 
 
Constante K : 
 
 
Vamos analisarmos a equação que obtivemos após a anamorfose: 
 
 Y = A + K.X 
 
Como já dissemos anteriormente trata-se de uma função do primeiro grau onde K 
representa o coeficiente angular da reta. 
 
Se considerarmos dois pontos quaisquer da reta teremos: 
 
 
 
logo : 
 
 
X
Y
K
∆
∆
= 
 
ou 
12
12
xlogxlog
ylogylog
K
−
−
= 
 
 
No caso do exemplo do gráfico obtido pela tabela anterior temos: 
 
 
 
Pag.86 
 
 
 
 
Onde: 
 
 
X
Y
K
∆
∆
= ou 
2log4log
100log400log
K
−
−
= 
 
 
30,0
60,0
K
30,060,0
00,260,2
K =⇒
−
−
= ou K = 2 
 
Pag.87 
 
Como no papel di-log os módulos de representação dos eixos são idênticos, o coeficiente 
angular da reta obtida coincide com a tangente trigonométrica, ou seja, pode-se obter 
XeY ∆∆ medindo-se diretamente os comprimentos dos mesmos no gráfico. 
 
Poderão ocorrer pequenas diferenças entre os valores representados e os realmente 
medidos pois, durante o processo de impressão podem haver pequenas deformações nas 
figuras. 
 
 
 
Pag.88 
 
Neste caso: 
 
)mm(X
)mm(Y
K
∆
∆
= 
 
logo: 
 
24
48
K = 
 
K = 2 
 
 
Constante C : 
 
Uma vez que já conhecemos a constante “K”, é possível agora, determinar a constante 
“C”. Para isso vamos escolher um ponto qualquer pertencente a reta. 
 
Substituindo a ordenada e a abscissa deste ponto na equação, a única incógnita 
remanescente agora será a constante “C”. 
 
Para o nosso exemplo vamos utilizar o ponto P( 2 ; 100 ). 
 
Temos então: 
 
 y = 100 ; x = 2 e K = 2 
 
Logo: y = C.xK ou 
 
 100 = C 22 , portanto: 
 
 100 = C.4 , ou seja : 
 
 C = 25 
 
Podemos finalmente escrever a equação que originou o nosso gráfico: 
 
 
 y = 25.x2 
 
 
Pag.89 
 
É comum que tenhamos equações onde uma grandeza depende de duas ou mais 
grandezas. Nestes casos repetiremos os procedimentos acima para cada uma das 
grandezas. 
 
Exemplo: 
 
Uma grandeza T depende de duas outras M e K, segundo a lei T = C MA KB , sendo A, B 
e C constantes. Com o intuito de obter a referida lei, um aluno efetuou dois ensaios 
experimentais; trabalhandocom unidades do ( S.I. ) obtendo os seguintes resultados: 
 
 
1O ensaio: K = constante = 4,0 
 
M 0,04 0,25 0,36 0,64 1,00 
T 1,0 2,5 3,0 4,0 5,0 
 
 
2O ensaio: M = constante = 1,00 
 
K 1,0 4,0 7,0 10,0 16,0 
T 10,0 5,0 3,8 3,2 2,5 
 
 
 
Extraindo o logaritimo da função temos: 
 
 log T = log(C.MA.KB) 
 
log T = log C + AMlog + BKlog 
 
log T = log C + A.. Mlog + B. Klog 
 
 
No 1o ensaio temos K = constante = 4,0 
 
Fazendo-se : b = log C + B.log K como neste caso C, B e K são constantes 
“b” também representa uma constante. 
 
 logT = b + A.logM 
 
Logo o gráfico de T = f(M) traçado no papel di-log resultará numa reta. 
 
Pag.90 
 
 
Para os pontos (1,0 ; 5,0) e (0,25 ; 2,5) temos: 
 
25,0log0,1log
5,2log0,5log
A
−
−
= 
 
 ⇒=⇒
−−
−
=
60,0
30,0
A
)60,0(0
40,070,0
A A = 0,5 
Pag.91 
 
Utilizando-se de medidas diretas do gráfico, temos: 
 
 
Donde: 
 
 A = 
M
T
∆
∆
 ou A = 
mm74
mm37
 
 
 A = 0,5 
 
 
Pag.92 
 
No 2o ensaio temos M = constante = 1,00 
 
Fazendo-se : a = log C + A.log M como neste caso C, A e M são constantes 
“b” também representa uma constante. 
 
 logT = a + B.logK 
 
Logo traçando-se o gráfico de T = f(K) em um papel di-log teremos reta. 
 
 
 
 
Pag.93 
 
Para os pontos (4,0 ; 5,0) e (1,0 ; 10,0) temos: 
 
0,1log0,4log
0,10log0,5log
B
−
−
= 
 
 ⇒
−
=⇒
−
−
=
60,0
30,0
B
060,0
0,170,0
B B = - 0,5 
 
 
 
 
Pag.94 
 
Do gráfico: 
 B = -
K
T
∆
∆
 ou B = -
mm78
mm39
 
 
 B = - 0,5 
 
Obs: Esta é uma reta decrescente, portanto, tem coeficiente angular negativo. 
 
 
 
Constante C : 
 
Uma vez que já conhecemos as constantes “A” e “B”, é possível agora, determinar a 
constante “C”. Para isso escolheremos um ponto qualquer pertencente a uma das duas 
retas. 
 
Substituindo a ordenada e a abscissa deste ponto na equação, a única incógnita 
remanescente será a constante “C”. 
 
Para o nosso exemplo vamos utilizar o ponto P( 1,0 ; 5,0 ) do gráfico T = f(M). 
 
Temos então: 
 
 T = 5,0 ; M = 1,0 ; A = 0,5 ; B = -0,5 e K = 4,0 
 
Obs. Para qualquer ponto desta reta K = 4,0 
 
Logo: 
 
 T = C . MA . KB ou 
 
 
BA K.M
T
C = 
 
Substituindo os valores de T, M, K, A e B temos: 
 
 
5,05,0 4.1
5
C
−
= ou 
 
 
5,0
5
C = , portanto: 
 
 C = 10 
Pag.95 
 
 
Mostraremos que o valor obtido para a constante C será o mesmo se escolhermos um 
ponto da outra reta ( para resolução de um exercício basta a substituição de apenas um 
ponto). 
 
Ponto P( 1,0 ; 10,0 ) do gráfico T = f(K). 
 
Temos então: 
 
 T = 10,0 ; K = 1,0 ; A = 0,5 ; B = -0,5 e M = 1,0 
 
Obs. Para qualquer ponto desta reta M = 1,0 
 
Logo: 
 
 T = C . MA . KB ou 
 
 
BA K.M
T
C = 
 
Substituindo os valores de T, M, K, A e B temos: 
 
 
5,05,0 1.1
10
C
−
= ou 
 
 
1
10
C = , portanto: 
 
 C = 10 
 
Podemos finalmente escrever a equação que originou nossos gráficos. Para isto 
substituiremos os valores de A, B e C na equação genérica: 
 
 T = C . MA . K 
 
T = 10 . M0,5 . K-0,5 
 
Pag.96 
 
NOME ____________________________________________No_______________ 
1) Uma grandeza y depende de outra x , segundo a lei y = C xA, sendo A e C constantes. Com o intuito 
de obter a referida lei, um aluno efetuou um ensaio experimental; trabalhando com unidades do (S.I.) 
obtendo os seguintes resultados: 
 
X 15 30 62 120 300 700 
Y 380 640 1100 1800 3600 6800 
 
Utilizando gráficos em papel di-logaritmico deduzir a referida lei. 
 
 
2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9
2
3
4
5
6
7
8
9
2
3
4
5
6
7
8
9
1 1 1
1
1
1
 
 
Pag.97 
 
NOME ____________________________________________No_______________ 
2) Uma grandeza y depende de outra x , segundo a lei y = C xA , sendo A e C constantes. Com o intuito 
de obter a referida lei, um aluno efetuou um ensaio experimental; trabalhando com unidades do (S.I.) 
obtendo os seguintes resultados: 
 
X 0,16 0,25 0,72 1,6 4,0 
Y 50 32 11 5 2 
 
Utilizando gráficos em papel di-logaritmico deduzir a referida lei. 
 
2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9
2
3
4
5
6
7
8
9
2
3
4
5
6
7
8
9
1 1 1
1
1
1
 
Pag.98 
 
NOME ____________________________________________No_______________ 
3) Uma grandeza y depende de outra x , segundo a lei y = C xA , sendo A e C constantes. Com o intuito 
de obter a referida lei, um aluno efetuou um ensaio experimental; trabalhando com unidades do (S.I.) 
obtendo os seguintes resultados: 
 
Y 9,6 6,2 1,6 0,94 0,44 0,32 
X 6,4 9,8 26 44 74 92 
 
Utilizando gráficos em papel di-logaritmico deduzir a referida lei. 
 
 
2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9
2
3
4
5
6
7
8
9
2
3
4
5
6
7
8
9
1 1 1
1
1
1
Pag.99 
 
NOME ____________________________________________No_______________ 
4) Uma grandeza y depende de outra x , segundo a lei y = C xA , sendo A e C constantes. Com o intuito 
de obter a referida lei, um aluno efetuou um ensaio experimental; trabalhando com unidades do (S.I.) 
obtendo os seguintes resultados: 
 
Y 24 46 72 120 400 
X 140 270 500 920 4000 
 
Utilizando gráficos em papel di-logaritmico deduzir a referida lei. 
 
2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9
2
3
4
5
6
7
8
9
2
3
4
5
6
7
8
9
1 1 1
1
1
1
 
Pag.100 
 
NOME ____________________________________________No_______________ 
5) Uma grandeza z depende de duas outras x e y, segundo a lei z = C xA yB , sendo A, B e C constantes. 
Com o intuito de obter a referida lei, um aluno efetuou dois ensaios experimentais; trabalhando com 
unidades do (S.I.) obtendo os seguintes resultados: 
 
 y = 10 (constante) x = 800 (constante) 
x z y z 
13 7,2 28 20 
36 12 40 14 
82 18 94 6 
290 34 140 4 
400 40 280 2 
 
Utilizando gráficos em papel di-logaritmico deduzir a referida lei. 
 
2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9
2
3
4
5
6
7
8
9
2
3
4
5
6
7
8
9
1 1 1
1
1
1
Pag.101 
 
 
NOME ____________________________________________No_______________ 
6) Uma grandeza z depende de duas outras x e y, segundo a lei z = C xA yB , sendo A, B e C constantes. 
Com o intuito de obter a referida lei, um aluno efetuou dois ensaios experimentais; trabalhando com 
unidades do (S.I.) obtendo os seguintes resultados: 
 
 y = 2 (constante) x = 1,2 (constante) 
x z z y 
2,0 4,6 44 23 
6,8 2,2 74 44 
9,6 1,8 140 98 
19 1,2 380 340 
80 0,5 500 480 
 
Utilizando gráficos em papel di-logaritmico deduzir a referida lei. 
 
2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9
2
3
4
5
6
7
8
9
2
3
4
5
6
7
8
9
1 1 1
1
1
1
Pag.102 
 
NOME ____________________________________________No_______________ 
7) Uma grandeza z depende de duas outras x e y, segundo a lei K = C.LA.MB , sendo A, B e C 
constantes. Com o intuito de obter a referida lei, um aluno efetuou dois ensaios experimentais; trabalhando 
com unidades do (S.I.) obtendo os seguintes resultados: 
 L = 2 (constante) M = 10 (constante) 
M K L K 
0,32 940 2,6 110 
0,64 580 6,0 660 
1,00 390 9,2 1500 
3,40 160 13,0 2900 
8,60 80 23,0 9600 
 
Utilizando gráficos em papel di-logaritmico deduzir a referida lei. 
 
 
2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9
2
3
4
5
6
7
8