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APOSTILA DE FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II FACULDADES DE ENGENHARIA CIVIL, MECÂNICA, PETRÓLEO, PRODUÇÃO E QUÍMICA Este material foi desenvolvido pela equipe de professores de Física Geral e Experimental da Universidade Santa Cecília. Coordenador: Prof. MSc. Luis Fernando Ferrara Professores: Prof. Dr. Djalmir Correa Mendes Prof. MSc. Luis Fernando Nogueira Profª MSc. Maria Valéria Barbosa Prof. MSc. Rafael Urbaneja Sanchez Prof MSc. Vanildo José Assis D’Antonio Profª MSc. Walkiria Reche da Silva EXPERIÊNCIA 01 ANÁLISE DIMENSIONAL OBJETIVO Determinar, no sistema LMT, as equações dimensionais de grandezas físicas e verificar a homogeneidade de equações. PROCEDIMENTO Utilizando os conceitos do sistema LMT, resolver os exercícios propostos. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA Grandezas e sistemas unitários Podemos conceituar “grandeza física” como um elemento que, por convenção, tem por objetivo facilitar o estudo, a análise e a descrição de um fenômeno ou um grupo de fenômenos, sendo este suscetível de definição ou definições quantitativas. Esta definição permite de imediato se pensar em conceituar-se “medição de uma grandeza”. Isto é, medir-se uma grandeza é em síntese, compará-la com outra de mesma espécie que deverá ser tomada por “unidade”. Assim sendo, com esta comparação, podem-se verificar quantas vezes a unidade estará contida na grandeza que se quer medir. O valor de qualquer grandeza física é expressa como a combinação de dois fatores: a quantidade de unidades e o nome da unidade. Ou seja, podemos conceituar que uma grandeza física qualquer (G) é a combinação entre a medida de “G” e a “unidade de G”. Algumas grandezas podem ser consideradas fundamentais e outras derivadas. As grandezas fundamentais têm como exemplo a massa, o comprimento, o tempo. Por outro lado, as grandezas derivadas podem ser exemplificadas pela pressão, velocidade, aceleração, quantidade de movimento, trabalho, etc. A medição das grandezas fundamentais é dita como direta, quando as medidas são obtidas diretamente em termos das unidades de mesma espécie. Assim sendo, por estes critérios podem-se enquadrar as grandezas fundamentais como “diretas” ou ainda dizer quando duas grandezas de mesma espécie são iguais e quando uma é algumas vezes maior ou menor do que a outra. Enquanto que as medidas das grandezas derivadas são sempre realizadas pelo método das medidas “indiretas” Grandezas fundamentais variam de um sistema para outro. Geralmente, tempo e comprimento são tidos como fundamentais. O sistema de unidades necessita uma terceira grandeza fundamental, que pode ser massa ou força. Aqueles sistemas que apresentam a massa como a terceira grandeza fundamental são conhecidos como sistemas de unidade absoluta, enquanto aqueles que têm a força como unidade fundamental são chamados sistemas de unidade técnicos. Existem também sistemas unitários usados na engenharia que consideram comprimento, tempo, massa e força como grandezas fundamentais. Sistemas de Unidades Absolutos Consideraremos aqui três sistemas de unidades absolutas: o C.G.S. (CGS), o Sistema Internacional (MKS), e o inglês (FPS). De todos estes, as grandezas fundamentais são comprimento, massa, e tempo. As diferentes unidades destes três sistemas são apresentadas na Tabela 1. Sistema de Unidade Absoluto Sistema CGS SI Inglês Grandeza CGS MKS FPS Comprimento (L) 1 centímetro (cm) 1 metro (m) 1 pé (ft) Massa (M) 1grama (g) 1 quilograma (kg) 1 libra (lb) Tempo (T) 1 segundo (s) 1 segundo (s) 1 segundo (s) Tabela 1 Algumas vezes a grandeza de uma determinada unidade é muito grande ou muito pequena para se indicar uma medida e assim o mais apropriado é utilizar os múltiplos e submúltiplos das unidades fundamentais. É aconselhável usar estes múltiplos e submúltiplos na potência de 103. A seguir (Tabela 2) está a lista dos múltiplos e submúltiplos mais freqüentemente utilizados, assim como seu respectivo nome e símbolo. Prefixo Fator de multiplicação Símbolo SI Hexa 1018 H Peta 1015 P Terá 1012 T Giga 109 G Mega 106 M Quilo 103 k Hecto 102 h Deca 101 da Deci 10-1 d Centi 10-2 c Mili 10-3 m Micro 10-6 µ Nano 10-9 η Pico 10-12 p Femto 10-15 f Atto 10-18 a Tabela 2 Quando as grandezas de calor são usadas, é conveniente definir a unidade de temperatura. Para os sistemas CGS e MKS, a unidade de temperatura é definida em graus centígrados (oC), enquanto que para o sistema Inglês é definido em graus Fahrenheit (oF). Unidades de calor são definidas independentemente do sistema de unidades. Equação dimensional Pode-se expressar qualquer grandeza física G, de natureza mecânica, em função de L, M e T, obtendo-se, assim, a equação dimensional da grandeza G. Desse modo, a equação dimensional de G, que é indicada pela notação [G], será dada por [ ] γβα TMLG ..= Os expoentes α, β e γ são chamados dimensões físicas da grandeza G em relação às grandezas fundamentais L, M e T. Sendo assim, podemos escrever todas as grandezas da mecânica em função de L, M e T variando os valores de α, β e γ. EXERCÍCIO RESOLVIDO: A força de atração gravitacional é dada por Determine a dimensão da constante G. Resolução 21 2 2 21 . ... mm dF G d mmG F =⇒= [ ] MM LTLM G . ... 2211 − = Resposta: Homogeneidade Dimensional Uma equação física não pode ser verdadeira se não for dimensionalmente homogênea. Traduzindo a frase acima, notamos que as dimensões de um membro da equação devem ser iguais às dimensões do outro membro. Portanto a expressão: 80 quilogramas = 30 metros + x metros seria completamente errada. [G]=[L3]. [M-1]. [ T-2] Exercício resolvido Uma força que age numa partícula é dada em função do tempo de acordo com a expressão: Quais as dimensões de A e B para que a relação seja dimensionalmente homogênea? Resolução [B.t] = [F] [B] · [t] = [F] [B] [t] = MLT–2 Sabemos que toda equação física deve ser dimensionalmente homogênea para ser verdadeira quando relacionam igualdades entre grandezas de mesma espécie. Este aspecto é conhecido como homogeneidade de equações. Isto é, se ambos os membros de uma equação física tiverem as mesmas dimensões em relação às mesmas grandezas, esta equação física é “dimensionalmente homogênea”. Como conseqüência, pode-se enunciar que toda equação física verdadeira deverá ser também dimensionalmente homogênea. Notamos ainda que a homogeneidade dimensional em uma equação é uma condição necessária, mas não suficiente para a legitimidade física. Uma equação física pode ser dimensionalmente homogênea, mas não ser verdadeira sob outros aspectos. Vejamos um exemplo Vamos verificar se a equação que define a força centrípeta de um móvel em trajetória circular é homogênea: [ ] [ ] ( ) [ ] [ ] [ ][ ] ( )2]][][[. 1 :, . 21221 22 2 2 −−−− − == ∆ ∆ = == = TMLLTLMR t s m R vm TLMamF éisto R vm F CP CP Comparando (1) e (2), verificamosque as duas equações dimensionais são iguais, portanto a equação considerada é homogênea. COMPLEMENTO 1. Sistema Internacional ( S.I.) Na 11ª Conferência Geral de Pesos e medidas, em 1960, o Brasil ratificou como legal o “S.I.” . Para o quadro apresentado abaixo, ainda que de forma simplificada, algumas constantes devem ser conhecidas: “c” ( velocidade da luz no vácuo ) = 3.108 m/s “εεεε0” ( constante de permissividade no vácuo ) = 8,85. 10 -12 F/m “µµµµ0” ( constante de permeabilidade no vácuo ) = 4. π .10 -7 H/m Algumas das grandezas do S.I. e suas respectivas unidades são representadas abaixo: Comprimento → metro (m). Obs: Å = Ângstron = 10-10m Ângulo plano → radiano (rad) Área → metro quadrado (m2) Volume → metro cúbico (m3) Número de ondas → um por metro (m-1) Massa → quilograma (kg) Massa específica → quilograma por metro cúbico (Kg/m3) Densidade linear de massa → quilograma por metro (kg/m) Densidade superficial de massa → quilograma por metro quadrado (kg/m2) Tempo → segundo (s) Freqüência → Hertz (Hz) Velocidade → metro por segundo (m/s) Velocidade ou freqüência angular → radiano por segundo (rad/s) Aceleração → metro por segundo ao quadrado ( m/s2) Aceleração angular → radiano por segundo ao quadrado (rad/s2) F = A + B.t [A]=[F]=M1.L1.T-2 [B]=[L1].[M1].[T-3] Vazão → metro cúbico por segundo (m3/s ) Momento de inércia → quilograma vezes metro quadrado (kg . m2 ) Força → newton (N) Momento de força → metro vezes newton (m . N) Impulso → newton vezes segundo (N . s) Pressão → newton por metro quadrado (N/m2) Energia → joule (J) Potência → watt (W) Densidade de fluxo de energia → watt por metro quadrado (W/m2) Nível de potência → bel (B) Intensidade de corrente → ampère (A) Quantidade de carga elétrica → coulomb (C) Tensão elétrica → volt (V) Intensidade de campo elétrico → volt por metro (V/m) Capacitância → farad (F) Indutância → henry (H) Resistência elétrica → ohm (Ω) Resistividade elétrica → ohm vezes metro (Ω . m) Condutância elétrica → siemens (S) Condutividade elétrica → siemens por metro ( S/m) Indução magnética → tesla (T) Fluxo magnético → weber (Wb) Intensidade de campo magnético → ampère por metro (A/m) Relutância → ampère por weber (A/ Wb) Temperatura dinâmica → Kelvin (K) Entropia → joule por Kelvin (J/K) Condutividade térmica → watt por metro vezes Kelvin ( W/m.K) Intensidade luminosa → candela (cd) Fluxo luminoso → lúmem (lm) Iluminamento → lux (lx) Luminância → candela por metro quadrado (cd/m2) Quantidade de luz → lúmem vezes segundo (lm.s) Emitância luminosa → lúmen por metro quadrado (lm/m2) Convergência → dioptria (di) Intensidade energética → watt por esferorradiano (w/sr) Atividade → um por segundo (s-1) Exposição → coulomb por quilograma (C/kg) Dose absorvida → joule por quilograma (J/kg) Ângulo plano → grau, minuto, segundo ( º , ’ ,” ) Freqüência angular → rotação por minuto (r.p.m.) Energia em eletron-volt → eletron-volt (ev = 1,6.10-19 J) Potência em cavalo-vapor → cavalo-vapor (cv) Nível de audibilidade → fon (fon = freq de 1 kHz de 1 dB) Audibilidade → sone (sone = som de 40 fons) Atividade radioativa → curie (Ci) Exposição à radiação eletromagnética → roengten (R) Para o estudo da eletricidade adota-se como grandezas fundamentais, além de LMT, a corrente elétrica I com fundamental. Assim, podemos dar alguns exemplos de grandezas da termologia e da eletricidade: temperatura – [t] = L0M0T0 1 coeficiente de dilatação – [ ] = L0M0T0 –1 quantidade de calor – [Q] = L2M1T–2 = [ ] calor específico – [c] = L2M0T–2 –1 capacidade térmica – [C] = L2M1T–2 –1 calor latente – [L] = L2M0T–2 0 carga elétrica – [q] = L0M0T1I1 ddp – [U] = L2M1T–3I–1 campo elétrico – [E] = L1M1T–3I–1 resistência elétrica – [R] = L2M1T–3I–2 capacidade eletrostática – [C] = L–2M–1T4I2 fluxo magnético – [ ] = L2MT–2I–1 Conversão de unidades: A conversão de unidades de um sistema para outro é feita facilmente se as quantidades são expressas como uma função das unidades fundamentais de massa, comprimento, tempo e temperatura. A conversão de fatores é usada para converter diferentes unidades. O fator de conversão é o número de unidades de um certo sistema contido em uma unidade de grandeza correspondente em outro sistema. Para melhor compreender-se o que significa símbolo dimensional, deve-se primeiro rever os conceitos entre as relações de grandezas medidas e unidades. Consideremos uma grandeza G medida por duas unidades distintas U1 (G) e U2 (G) , sendo obtidos os valores m1 (G) e m2 (G) respectivamente, têm-se: G = m1 (G) . U1 (G) G = m2 (G) . U2 (G) Isto é: m1 (G) .U1 (G) = m2 (G) . U2 (G) então: ( ) ( ) ( ) ( )GU GU Gm Gm 1 2 2 1 = Podemos concluir que a razão entre duas medidas de mesma grandeza, com unidades diferentes, é igual ao inverso da razão entre essas unidades. Desta maneira, esta relação soluciona um dos problemas da Física, como “mudança de unidades”. Continuando, teremos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )10.1 2 1 12 GU GU GmGm = , sendo: m2 (G): nova medida m1 (G): medida antiga e ( ) ( ) [ ] U G U G unidade nova unidade antiga G 1 2 = = que é o símbolo dimensional da grandeza G. Assim: [ ] ( ) ( )GU GU G 2 1= Partindo da definição de [ G ] - símbolo dimensional, pode-se escrever: m2 (G)= m1 (G) . [ G ] que é definida como a “expressão fundamental na resolução dos problemas de unidades”. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 8) Verificar a homogeneidade das seguintes equações: a) 2 2 1 tgy = b) 2 21 vmEC = c) g h t 2 = A = comprimento B = momento de uma força C = pressão d) R vm FC 2 = e) hgp ρ= f) 3 3 1 C B A = , onde 9) Encontra-se, experimentalmente, que a freqüência fundamental ( f ) na qual um fio de massa específica linear ( µµµµ ) e comprimento ( llll ) , submentido a uma força tensora ( F ) , pode vibrar, depende apenas de µµµµ , llll e F ( zyx Fkf µ.....l= ). Sabe-se, ainda, que o fator adimensional (k) que figura na relação de dependência entre de f , µ , l e F vale ½. Determinar: a) os expoentes x, y e z; b) a freqüência fundamental de um fio de 0,50m de comprimento de 10 g de massa, submetido a uma força tensora uniforme de 288N. 10) A energia cinética de um corpo em um determinado instante pode ser calculada em função da massa desse corpo e de sua velocidade no referido instante, ou seja, EC = K.m x.vy. Sabendo que a constante adimensional nesse caso é igual a ½, deterinar: a) a equação da energia cinética armazenada em um corpo, usando os conceitos de análise dimensional; b) energia cinética armazenada em um corpo de massa 2 kg no instante em que sua velocidade é 5 m/s. Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos 10 ATIVIDADE 01 NOME: _________________________________________________ RA:_______________ EXPERIÊNCIA 01 ANÁLISE DIMENSIONAL 1) Determinar, no sistema LMT, as equações dimensionais das seguintes grandezas: a) Velocidade b) Aceleração c) Força d) Trabalho de uma força e) Energia f) Potência g) Densidade linear de massa h) Densidade volumétrica de massa i) Quantidade de movimento j) Impulso k) Momento de uma força Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos 11 A = comprimento B = trabalho de uma força C = força D = volume ATIVIDADE 02 NOME: _________________________________________________ RA:_______________ EXPERIÊNCIA 01 ANÁLISE DIMENSIONAL 1) Verificar a homogeneidade das seguintes equações: a) t s v ∆ ∆ = b) 2 2 1 tav = c) B DC A 3 1 = , onde Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos 12 2) Determinar os expoentes x e y , sabendo que o espaço percorrido por um móvel em movimento variável é função do tempo e da aceleração da gravidade ( S = k g x t y ). 3) A velocidade (v) de propagação de ondas transversais numa corda elástica é função da força tensora (F) aplicada à corda e de sua massa específica (µµµµ ), isto é, v = k F x µµµµ y , onde k é uma constante adimensional. Determinar os expoentes x e y. Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos 13 EXPERIÊNCIA 02 ATRITO EM PLANO INCLINADO OBJETIVO Determinar experimentalmente o coeficiente de atrito estático entre duas superfícies diferentes. PROCEDIMENTO Utilizando um plano inclinado e fazendo deslizar alguns corpos de materiais diferentes sobre o referido plano, determinar o coeficiente de atrito estático para as duas superfícies utilizadas. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA A força de atrito é uma força que se manifesta entre duas superfícies em contato quando há tendência de movimento relativo entre elas. Para tentarmos entender o mecanismo de ação das forças de atrito, vamos considerar duas superfícies.Mesmo que numa primeira observação nos pareçam perfeitamente lisas, quando observadas com maior detalhamento perceberemos que há imperfeições nessas superfícies. Estas imperfeições são chamadas de rugosidades superficiais que têm origem no tratamento dado à superfície dos corpos e inclui, também, elementos de contaminação da superfície como grãos de poeira, gorduras, etc. Vamos admitir que essas duas superfícies examinadas sejam uma mesa e um bloco em repouso apoiado sobre essa mesa. Observe a figura abaixo. No detalhe estão ilustradas as imperfeições superficiais dos dois corpos que se “encaixam” e oferecem uma resistência ao início do movimento do bloco. Figura 1 Neste momento inicial as únicas forças atuando no bloco são o seu próprio Peso ( P ) e a reação Normal de apoio ( N ) que a mesa aplica sobre o bloco. A força normal é uma força perpendicular à superfície de apoio de um corpo e é a reação desse apoio. No nosso caso, a ação está aplicada na mesa e a reação no bloco (observe a figura 1). Nestas condições a resultante das forças que atuam sobre o bloco na direção vertical é nula. A partrir de agora, para simplificar os esquemas, iremos apenas representarr as forças na direção horizontal, ou seja, na direção do plano da superfície da mesa. Aplicaremos ao bloco em repouso uma força motriz horizontal,de intensidade tal que o bloco permaneça em repouso. Esquematicamente, teremos a seguinte situação. Pelo Princípio Fundamental da Dinâmica, se o bloco permanece em repouso a resultante das forças sobre o corpo na direção horizontal é nula ( 0=R r ). No entanto, a situação representada na figura 2 contrariaria esse princípio, pois a única força atuando sobre o bloco é a força F r e, assim, a resultante na direção horizontal seria a própria força F r . Então, somos levados a concluir que a força F r não é a única força atuando no bloco, pois se a resultante é nula há que existir uma força de mesma oposto ao de F r intensidade, mesma direção e sentido ( – F r ) atuando no bloco ( figura 3 ) e é esta força que impede o bloco de entrar em movimento. Esta força é Figura 2 Figura 3 Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos 14 exercida no bloco pelas rugosidades superficiais da mesa devido aos “encaixes” das rugosidades superficiais da mesa e do bloco. Esta força de resistência ao movimento do bloco é o que chamamos de força de atrito ( atf r ) que nesta condição é denominada força de atrito estático ( estatf r ) pois ocorre enquanto o corpo está em equilíbrio estático (repouso). Observe a figura 4 Se aumentamos a intensidade da força F r e ainda assim o bloco permanece em repouso, é porque a força de atrito, assim como a força motriz, também aumentou sua intensidade, pois a resultante ainda é nula. Experimentalmente sabemos que este processo de amento da intensidade de F r e de atf r com o corpo tem um limite. Quando o bloco sai do repouso ( 0≠R r ) a intensidade da força motriz for maior que a intensidade da força de atrito, devido a esta última ter atingido seu valor máximo que é igual à intensidade da força motriz de tirar o corpo do repouso, também chamado de força de destaque (figura 5). Isto indica que a intensidade da força de atrito podeaumentar qundo solicitada até uma intensidade máxima. Assim: destaquemáxat Ff rr = No momento em que o bloco entra em movimento passa a agir sobre ele um outro tipo de força de atrito denominada força de atrito dinâmico ou cinético ( datf r d ou catf r ). Essa força de atrito também se opõe ao movimento do bloco, mas como o bloco já está em movimento agora a tendêndia é no sentido de diminuir a velocidade do bloco até que ele retorne ao repouso. Empiricamente observa-se que a intensidade da força de atrito dinâmico é menor que a intensidade da força de atrito estático. Devemos ainda observar que as forças de atrito não dependem da área de contato entre as duas superfícies. Graficamente a representação da intensidade da força de atrito em função da força motriz, que é uma força externa, pode ser observada na figura 6. Vamos agora retomar o esquema de forças completo (figura 7). Figura 6 Figura 4 Figura 7 Figura 5 Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos 15 A teoria do atrito vista na Dinâmica nos mostra que o módulo da força de atrito que ocorre entre duas superfícies sob compressão N (força de reação Normal), na iminência de escorregamento de uma sobre a outra, é dada por: Fat = µ .N onde µ , é uma constante de proporcionalidade adimensional, denominada coeficiente de atrito, que caracteriza as superfícies em contato. O valor máximo da intensidade da força de atrito estático (quando o escorregamento é iminente), é expresso por: Fat e = µµµµe . N onde µµµµe é o coeficiente de atrito estático. A força de atrito dinâmica, que se manifesta depois que as superfícies já deslizam relativamente, é expressa por: Fat d = µµµµd . N onde µµµµd é o coeficiente de atrito dinâmico. O coeficiente de atrito dinãmico é menor que o coeficiente de atrito estático. O coeficiente de atrito (estático ou dinâmico) depende da natureza das superfícies, isto é, do tipo de material que as superfícies são constituídas e do estado de polimento dessas superfícies. É importante observar que os valores do coeficiente de atrito, em geral. são menores que 1. Os dados referentes às forças de atrito estático e cinético são muito aproximados e dependem dos diferentes graus de polimento das superfícies e dos diferentes graus de contaminação com substâncias estranhas. Esses fatores são os que realmente determinam os coeficientes de atrito e a dependência da força de atrito cinético com a velocidade relativa das superfícies em questão, sendo assim, não faz sentido tabelar coeficientes de atrito entre superfícies diversas, a menos que elas sejam padronizadas. O atrito nunca é entre uma superfície de cobre e uma de alumínio, por exemplo, mas entre uma superfície de cobre com certo polimento e com algumas impurezas e uma superfície de alumínio com outro polimento e com outras impurezas. Para entender a origem das forças de atrito deve-se considerar que, ao nível atômico, nas pequenas irregularidades das superfícies, onde o contato ocorre num número relativamente pequeno de pontos, as irregularidades se interpenetram e se deformam, exercendo forças mútuas cujas intensidades dependem da intensidade da força que empurra as superfícies uma contra a outra. Nos pontos de contato existem ligações dos átomos de uma superfície com os átomos da outra, que atuam como se fossem soldas microscópicas. Atrito em plano inclinado Quando o corpo estiver apoiado em um plano inclinado, a distribuição de forças será diferente, pois a reação normal de apoio ( N ) será igual à parcela do Peso na direção perpendicular ao plano inclinado (figura 8). Lembrar que: Pt = P.sen α Pn = P.cos α O ângulo de atrito estático αααα mede a inclinação de um plano no qual o móvel, abandonado do repouso, se apresenta na iminência de deslizar (mas permanece em repouso). Na iminência de deslizamento: Figura 8 Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos 16 Análise quantitativa (cálculos) Em um plano inclinado temos a seguinte distribuição de forças, vista anteriormente. Consideraremos como eixo horizontal a direção do plano inclinado e e como eixo vertical a direção perpendicular à direção do plano inclinado. Assim, teremos, em módulo: No eixo vertical: a = 0 ⇒ FR = 0 então teremos N = Pn mas Pn = P.cos α então N = P.cos α ( 1 ) No eixo horizontal: Fr = m . a e FR = Pt – Fat , então Pt – Fat = m . a mas, na iminência de movimento a = 0, então Pt – Fat = 0 Pt = Fat ( 2 ) Sabendo que Fat = µ .N e Pt = P.sen α ( 3 ) substituindo ( 1 ) e ( 3 ) em ( 2 ), teremos: µ . P.cos α = P.sen α Assim Vejamos um exemplo: 1) Um bloco de massa 1 kg está sobre um plano inclinado e o coeficiente de atrito estático entre o bloco e o plano é 0,5. Calcule a inclinação necessária para que o bloco deslize plano abaixo. Adote g = 10 m/s2. Se m = 1 kg, então P= 10 N Calculando as componentes do Peso, teremos: Pn = P.cos α = 10 . cos α e Pt = P.sen α = 10.sen α Na iminência de movimento a = 0 e Pt = Fat e Fat = µ .N então µ . P.cos α = P.sen α α α µ cos. . P senP = ⇒ µe = tg α Sendo µ = 0,3 , então 0,3 = tg α ⇒ α = arct 0,3 ⇒ Figura 9 µµµµe = tg αααα α α µ cos. . P senP = α = 16,7 ° Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos 17 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) Explique o que é atrito. 2) Cite os principais fatores que influem no atrito. 3) Como o atrito pode ser reduzido? 4) O atrito é necessário para caminharmos? Por quê? 5) Em um laboratório de física, alguns alunos fizeram um estudo sobre coeficiente de atrito. O experimento constava de uma rampa de alumínio articulada em seu vértice que permitia que sua inclinação θθθθ sofresse variações, um paralelepípedo de madeira de 20 cm de altura, que possibilitava o apoio da rampa nas variações de sua inclinação θθθθ, alguns discos de metal e alguns corpos de massas e materiais diferentes listados abaixo: Material madeira PVC (plástico) alumínio Massa 50 g 30 g 40 g Os corpos eram apoiados sobre a rampa e sua inclinação era aumentada até que o corpo começasse a deslizar com MRU (sem aceleração). No momento do destaque do corpo, a rampa era apoiada no toco de madeira fixando sua inclinação, formando um triângulo de base b e altura h. Os discos de metal de massa igual a 50 g cada um eram adicionados ao corpo em cada deslizamento e alguns dados obtidos estão reproduzidas nas tabelas abaixo. Com basenas informações fornecidas, complete os dados das tabelas. MADEIRA Massa do corpo Massa adicionad Massa total Base (cm) Altura (cm) µµµµ 50 100 0,40 150 PVC Massa do corpo (g) Massa adicionad Massa total Base (cm) Altura (cm) µµµµ 50 0,50 100 150 Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos 18 PARTE PRÁTICA 1) Montar o plano inclinado articulado. 2) Medir a altura do toco de madeira que irá apoiar o plano inclinado. Esta será a altlura do triângulo formado pelo plano inclinado e sua base. Anotar na tabela na coluna altura. 3) Apoiar o bloco de madeira com 50 g na extremidade superior do plano inclinado, de maneira que este permaneça em repouso. Usando o toco de madeira, aumentar gradativamente a inclinação do plano inclinado até que o bloco inicie um movimento de descida com velocidade constante (a = 0). Neste momento a resultante na direção do plano inclinado é nula. Medir a distância que vai do vértice articulado do plano até o toco. Esta será a base do triângulo formado pelo plano inclinado e o toco de madeira. Anotar o valor na TABELA 1 na coluna base. 4) Aumentar massa do bloco de madeira para 100 g e repetir o procedimento. Repetir o procedimento para as massas constantes da tabela e anotar as respectivas medidas (base). A altura do triângulo será a altura do toco de madeira em todas as medidas. Completar a tabela. 5) Do fundamento teórico temos que µe = tg α então, com os dados da tabela (base e altura do triângulo retângulo formado entre o plano articulado e sua base) calcular a tangente desse ângulo e obter o coeficiente de atrito entre as superfícies analisadas. 6) Calcular o valor mais provável do coeficiente de atrito através da média aritmética dos valores encontrados. 7) Repetir o procedimento para o bloco de alumínio. Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos 19 ATIVIDADE 03 NOME: _________________________________________________ RA:_______________ EXPERIÊNCIA02 ATRITO EM PLANO INCLINADO EXECUÇÃO: 1) Montar o plano inclinado articulado. 2) Medir a altura do toco de madeira que irá apoiar o plano inclinado. Esta será a altlura do triângulo formado pelo plano inclinado e sua base. Anotar na tabela na coluna Altura. 3) Apoiar o bloco de madeira com 50 g na extremidade superior do plano inclinado, de maneira que este permaneça em repouso. Usando o toco de madeira, aumentar gradativamente a inclinação do plano inclinado até que o bloco inicie um movimento de descida com velocidade constante (a = 0). Neste momento a resultante na direção do plano inclinado é nula. Medir a distância que vai do vértice articulado do plano até o toco. Esta será a base do triângulo formado pelo plano inclinado e o toco de madeira. Anotar o valor na TABELA 1 na coluna base. 4) Aumentar massa do bloco de madeira para 100 g e repetir o procedimento. Repetir o procedimento para as massas constantes da tabela e anotar as respectivas medidas (base). A altura do triângulo será a altura do toco de madeira em todas as medidas. Completar a tabela 1. TABELA 1 : Bloco de madeira Massa (g) Altura (cm) Base(cm) µe 50 100 150 200 250 Valor mais provável de µe madeira 5) Sabendo que para um plano inclinado b h adjcat opcat tge === .. .. αµ calcular os valores do coeficiente de atrito estático entre o alumínio da rampa e o bloco de madeira para cada um dos valores de massa utilizados no experimento. Anotar os valores na TABELA 1. 6) Repetir os itens 3 e 4 utilizando, agora, o blocco de alumínio com 50 g. Anotar os resultados na TABELA 2. TABELA 2 : Bloco de alumínio Massa (g) Altura (cm) Base (cm) µe 50 100 150 200 250 Valor mais provável de µe alumínio 7) Calcular os valores do coeficiente de atrito estático entre o plano inclinado e o bloco de alumínio de acordo com o item 5 e completar a tabela 2. Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos 20 EXPERIÊNCIA 03 ESTUDO DO MOVIMENTO DE UM CORPO EM QUEDA LIVRE OBJETIVO: Determinar através do estudo do movimento de um corpo em queda livre, a aceleração da gravidade no local do experimento. PROCEDIMENTO: Utilizando um centelhador, abandonar um corpo em queda livre ligado a uma fita de referência que será marcada a intervalos de tempos iguais durante a queda. Através dos dados obtidos na fita, construir o diagrama das posições ocupadas pelo corpo, o diagrama da velocidade do corpo e, finalmente, o diagrama da aceleração do corpo em função do tempo decorrido durante a queda. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA Foi Galileu Galilei (1564-1642) quem explicou na forma aceita atualmente, como ocorre a queda livre dos corpos, quando soltos próximos à superfície da Terra. Desprezando a ação do ar, ele enunciou: “Todos os corpos num mesmo local, livres da resistência do ar, caem com uma mesma aceleração, quaisquer que sejam suas massas. Essa aceleração é denominada aceleração da gravidade (g).” O movimento de queda livre é, na verdade, um caso particular do movimento uniformemente variado, portanto todos os conceitos envolvidos no estudo do MUV podem ser usados no estudo de queda livre. Todos os corpos se abandonados próximos à superfície da Terra caem devido à força de atração aplicada sobre eles pelo campo gravitacional da Terra, ou seja, a força Peso. Essa queda dos corpos ocorre sempre com a mesma aceleração, independente de sua massa ou formato, desde que a resistência do ar (atrito) não seja considerada durante a queda. Na prática, no entanto, os corpos em queda sofrem a influência da força de atrito entre o ar e a superfície dos mesmos. Então, sempre que um corpo estiver caindo, pelo menos duas forças estarão agindo sobre ele, a força peso (apontando para o centro da Terra) e a força de atrito com o ar (apontando para o sentido contrário ao da queda). O valor da aceleração da gravidade varia com a altura do corpo, mas esta variação é muito pequena. O valor de g em um local situado ao nível do mar e à latitude de 45º chama-se aceleração normal da gravidade. g normal = 9,80665 m/s² A título de curiosidade são apresentados abaixo alguns valores da variação da aceleração da gravidade em função da altura em relação à superfície da Terra. LOCALIZAÇÃO g (aproximado) m/s2 Equador 9,78 Pólos 9,83 10 km altitude 9,78 Altura de vôo de aviões 100 km de altitude 9,57 300 km de altitude 8,80 Órbita de ônibus espaciais 1000 km de altitude 7,75 5000 km de altitude 3,71 10000 km de altitude 1,94 "Queda livre é o nome que se dá ao movimento de queda dos corpos quando a resistência do ar não é considerada. Se a resistência do ar não for desprezada, o movimento não será de queda livre" Análise quantitativa (cálculos) Considere um objeto em queda vertical, a partir do repouso, num local em que o efeito do ar pode ser desprezado e a aceleração da gravidade seja constante e igual a g. Orientando-se a trajetória para baixo, o objeto realizará um movimento uniformemente variado (M.U.V.) com aceleração escalar igual a g. Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos 21 Admitindo, portanto, que “queda livre” é o movimento vertical em que aforça resultante é o Peso, então se aplicarmos o Princípio Fundamental da Dinâmica (2ª lei de Newton), teremos: gm dt sd m .. 2 2 = ou simplesmente g dt sd = 2 2 ga = A solução desta equação diferencial de 2ª ordem, que será estudada oportunamente no curso de cálculo diferencial e integral, é a equação horária do deslocamento de M.U.V., onde podemos relacionar a altura descida ( h ) com seu respectivo tempo de queda ( t ) da seguinte forma: 200 . 2 . t a tvss ++= , onde ∆s = deslocamento escalar do corpo s0 = posição inicial do corpo v0 = velocidade inicial do corpo a = aceleração do corpo t = instante de tempo Para o movimento de queda livre, portanto na vertical, a equação fica: , onde y = altura do corpo y0 = altura inicial do corpo v0 = velocidade inicial do corpo g = aceleração da gravidade no local do experimento t = instante de tempo No nosso estudo, adotaremos a altura inicial nula ( y0 = 0 ) e, como o movimento é de queda livre, sua velocidade inicial será também nula ( v0 = 0 ) e, portanto, a equação do movimento será: e A velocidade escalar ( v ) adquirida após certo tempo ( t ) do MUV é dada por: tavv .0 += e para o movimento de queda livre teremos: Também podemos expressar a velocidade atingida (v) em função da altura descida (y ). Usando a equação de Torricelli, temos: savv ∆+= ..220 2 e para o movimento de queda livre teremos: , como v0 = 0 e 2 00 . 2 . t g tvyy ++= 2. 2 t g y = g y t .2 = tgv .= ygvv ..220 2 += ygv ..22 = ygv ..2= Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos 22 Gráficos do movimento de queda livre � Altura do corpo em função do tempo ( y x t ) A equação da altura do corpo em função do tempo de queda é uma função do segundo grau e, portanto, seu gráfico será uma parábola. Como o movimento é apenas da queda do corpo, teremos apenas um arco de parábola (observe o gráfico ao lado). No nosso estudo orientaremos o eixo das posições ocupadas pelo corpo para baixo. Nestas condições e para a tabela dada, o referido gráfico será como no exemplo ao lado. y ( m ) t (s) 0 0 0,003 0,02 0,009 0,04 0,018 0,06 0,032 0,08 0,050 0,10 0,072 0,12 � Velocidade do corpo em função do tempo ( v x t ) A equação da velocidade em função do tempo de queda do corpo é uma função do primeiro grau e, portanto, seu gráfico será uma reta (observe o gráfico ao lado). No nosso estudo, como já foi dito anteriormente, a orientação do eixo das posições será para baixo e, assim, os valores de velocidade serão positivos e o gráfico será uma reta crescente como no exemplo ao lado. v ( m/s ) t (s) 0 0 3,75 0,04 5,65 0,06 O MRUV possui uma propriedade particular devida ao seu comportamento gráfico e suas relações matemáticas. Já vimos que o gráfico da velocidade em função do tempo do MRUV é uma reta. Genericamente teremos um gráfico do tipo: Nesse gráfico, o deslocamento do corpo pode ser calculado pela área do figura formada entre a reta do gráfico e o eixo horizontal (integral gráfica) que, nesse caso, é um trapézio. Como a área do trapézio é: 2 ).( hbB Atrapézio + = , para o nosso caso teremos: 2 ).( 2 )().( 000 tvvttvvy ∆− = −+ =∆ e 2 )( 0vv t y + = ∆ ∆ Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos 23 Como a velocidade média de um corpo é calculada pela expressão: t y vM ∆ ∆ = , então teremos que, para o MRUV 2 )( 0vvvM + = . Devemos salientar que essa expressão para o cálculo da velocidade média aplica-se unicamente ao MRUV. � Aceleração do corpo em função do tempo ( g x t ) A aceleração de um corpo em queda livre é constante e igual à aceleração da gravidade, portanto, seu gráfico será uma reta constante. Lembrando que g = 9,8 m/s2 , o gráfico será como no exemplo ao lado. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: 1) Um corpo é abandonado, a partir do repouso, de uma altura de 45 m acima do solo terrestre. Despreze a resistência do ar e considere g = 10 m/s2. Determine: a) o tempo de queda do corpo até o solo; b) o módulo da velocidade do corpo no instante em ele atinge o solo. Resolução a) b) v = g · t = 10 ·3,0 ou 2) Uma pedra é abandonada de uma altura de 3,2 m acima do solo lunar e gasta 2,0 s para atingir o solo. Pede-se: a) o valor da aceleração da gravidade na Lua; b) a altura descida pela pedra em seu último segundo de queda; c) o gráfico velocidade x tempo de queda. Resolução Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos 24 a) Na Lua não há atmosfera, logo a pedra realiza uma queda livre até atingir o solo lunar. Assim: b) No primeiro segundo de queda a pedra desceu: Logo, durante seu segundo e último segundo de queda ela percorreu: h2 = h – h1 = 3,2 – 0,8 c) A pedra tem velocidade inicial nula (v0 = 0) e ,após 2,0 s, atinge uma velocidade final de queda de: v = g · t = 1,6 · 2,0 Através desses valores, temos o gráfico ao lado: EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) Abandona-se um corpo do alto de uma montanha de 180 m de altura. Desprezando a rsistência do ar e adotanto-se a aceleração da gravidade 10 m/s2, determine: a) o tempo gasto pelo corpo para atingir o solo b) a velocdiade do corpo ao atingir o solo. 2) Em um estudo do movimento de um corpo em queda livre foi utilizado um corpo cuja massa era de 550g. Um grupo de alunos obteve os seguintes dados, reproduzidos na tabela abaixo. Baseado nessas informações determine: t ( 10-2s) 3 6 9 12 15 y (10-3 m) 4,5 18,0 40,5 72,0 112,5 a) o diagrama y = f (t); Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos 25 b) o diagrama v = f (t); c) a aceleração da gravidade no local do experimento, graficamente 3) Uma pedra cai em um poço e o observador ouve o som da pedra o fundo após 9 s. Acmitindo uma aceleração de gravidade igual a 10 m/s2 e a velocidade do som no ar de 320 m/s, determine a profundidade do poço. 4) Em um estudo do movimento de um corpo em queda livre foi utilizado um corpo cuja massa era de 550g e um centelhador que foi ajustado para um valor de freqüência igual a 50 Hz (lembrar que 1 Hz = 1 ciclo por segundo). Este ajuste serviu para determinar os intervalos de tempo entre cada marca feita na fita passada pelo centelhador. A imagem da referida fita está reproduzida abaixo juntamente com uma régua graduada em mm. Nestas condições pede-se:Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos 26 a) o diagrama das posições do corpo em função do tempo [ y = f ( t )]; b) a partir do diagrama do item anterior, construir o diagrama v = f(t); c) a partir do diagrama v = f(t), calcular graficamente a aceleração da gravidade no local do experimento. 5) Para se determinar a aceleração da gravidade no planeta Vênus, poderia ser feito o estudo de um corpo em queda livre na superfície do planeta. Para tanto seria utilizado um dispositivo onde uma esfera, cuja massa era de 300g, seria fixada em um eletroímã e solta passando por um sensor de tempo que poderia ser ajustado em alturas diferentes. Os dados obtidos nesse ensaio hipotético estão representados na tabela. Baseado nessas informações determine: a) o diagrama milimetrado y = f (t); b) a partir do diagrama do item anterior, o módulo da velocidade do corpo nos instantes 0,005s, 0,15s, 0,35s e 0,45s; c) a partir dos valores calculados no item anterior, o diagrama milimetrado v= f (t); d) a aceleração da gravidade no local do experimento, graficamente. Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos 27 b) t (s) 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 y (m) 0 0,046 0,170 0,382 0,670 1,078 1,550 Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos 28 PARTE PRÁTICA 1) Montar o equipamento conforme o esquema abaixo. 3) A partir das medidas obtidas no equipamento, completar a tabela das posições ocupadas pelo corpo em relação ao tempo de queda da esfera. 4) Baseado nessa tabela construir o diagrama milimetrado y = f ( t ). Observe o diagrama do exemplo ao lado. 5) Calcular os valores da velocidade do móvel nos instantes de tempo sugeridos, utilizando a propriedade da velocidade média do MRUV. Sabendo que entre dois instantes de tempo t e t0 , t yvv vM ∆ ∆ = + = 2 )( 0 para calcular a velocidade v no instante de tempo t, teremos: ⇒ ∆ ∆ =+⇒ ∆ ∆ = + t y vv t yvv .2 )( 2 )( 0 0 6) Anotar os valores obtidos na tabela que relaciona a velocidade do corpo com um determinado instante de tempo. 7) Baseado nos valores obtidos na tabela das velocidades, construir em papel milimetrado o diagrama v = f ( t ). Observe o exemplo ao lado. 8) A partir do gráfico da velocidade calcular graficamente o valor da aceleração do movimento. No diagrama v = f ( t ), acima, a aceleração é calculada pela tangente do ângulo formado entre a reta do gráfico e o eixo horizontal. Assim: t v adjcat opcat tga N ∆ ∆ === .. .. θ ⇒⇒⇒⇒ =a (m/s2) Obs: Como o corpo está em queda livre, a aceleração a que o mesmo está submetido é a aceleração da gravidade que, ao nível do mar, é igual a 9,8 m/s2. 9) Construir em papel milimetrado o diagrama a = f ( t ). Observe o exemplo ao lado. 0 .2 v t y v − ∆ ∆ = Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos 29 ATIVIDADE 04 (PARTE 1) NOME: _________________________________________________ RA:_______________ EXPERIÊNCIA 03 QUEDA LIVRE EXECUÇÃO: 1) Montar o equipamento conforme o esquema abaixo. 1) Com o interruptor na posição “liga” prender a esfera de 25 mm de diâmetro (a maior) ao eletroimã. 2) Alinhar a borda inferior da esfera na posição 1,1 cm. (Observe a figura ao lado.) 3) Ajustar o cronometro para função F-2 ( botão função ) 4) Posicionar a base superior do sensor óptico na posição 5 cm; Obs.: A tomada de medida será realizada no centro do sensor, correspondendo a uma distância de 1,1 cm da base superior. Esta diferença já foi compensada no ajuste da esfera. 5) Zerar o cronometro (botão Reset). 6) Passar o interruptor para a posição DESLIGA. A esfera cai, passando pelo sensor e parando a contagem do cronômetro. 7) Verificar o tempo indicado e anotar na tabela 1. 8) Passar o interruptor para a posição LIGA. Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos 30 9) Prender a esfera ao eletroimã. 10) Repetir os passos do item 5 ao 10, variando a posição do sensor conforme a tabela 1. TABELA 1 y(m) 0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 t(s) 0 11) Com o sensor na posição de 50 cm realize a tomada de tempo para as esferas de 15mm e 20mm de diametros. 15 mm ⇒ t = __________(s) 20 mm ⇒ t = __________(s) 25 mm ⇒ t = __________(s) (este valor já foi obtido durante o experimento) 12) Baseado na tabela 1, construir o diagrama milimetrado y = f ( t ). Observe o diagrama do exemplo ao lado. DIAGRAMA y x t Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos 31 ATIVIDADE 04 (PARTE 2) NOME: _________________________________________________ RA:_______________ EXPERIÊNCIA 03 QUEDA LIVRE 1) Prencher as posições do corpo nos instantes de tempo sugeridos na tabela 2 baseado no diagrama y = f(t). TABELA 2 t(s) 0,12 0,16 0,20 0,24 0,28 y(m) 2) Calcular os valores da velocidade do móvel, para os instantes de tempo contidos na Tabela 2, utilizando a propriedade da velocidade média do MRUV. Sabendo que entre dois instantes de tempo t e t0 , t yvv vM ∆ ∆ = + = 2 )( 0 para calcular a velocidade v no instante de tempo t, teremos: ⇒ ∆ ∆ =+⇒ ∆ ∆ = + t y vv t yvv .2 )( 2 )( 0 0 Considerando a velocidade no intante inicial com valor igual a zero e que a posição neste instante também vale zero, para este caso a nossa equação fica reduzida para: t y.2 v = Cálculo dos valores de velocidade para os instantes de tempo constantes da TABELA 2. � para t = 0,12s ⇒ v1 = � para t = 0,16s ⇒ v2 = � para t = 0,20s ⇒ v3 = � para t = 0,24s ⇒ v4 = � para t = 0,28s ⇒ v5 = 0 .2 v t y v − ∆ ∆ = Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos 32 3) Anotar os valores obtidos na tabela 3 da variação da velocidade do corpo em função do tempo, para construção do diagrama v x t . Observar o diagrama do exemplo ao lado. TABELA 3 DIAGRAMA v x t t ( s ) 0 0,12 0,16 0,20 0,24 0,28 v ( m/s ) 0 Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos 33 4) A partir do gráfico da velocidade calcular graficamente o valor da aceleração do movimento. No diagrama v = f (t), acima, a aceleração é calculada pela tangente do ângulo formado entre a reta do gráfico e o eixo horizontal. Assim: t v adjcat opcat tga N ∆ ∆ === .. .. θ ⇒⇒⇒⇒ =a Obs: Como o corpo está em queda livre, a aceleração a que o mesmo está submetido é a aceleração da gravidade que, ao nível do mar, é igual a 9,8 m/s2. 5) Construir em papel milimetrado o diagrama a = f ( t ). Observe o exemplo ao lado.DIAGRMA a x t 2 /__________ smga == Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos 34 EXPERIÊNCIA 04 FORÇA ELÁSTICA – LEI DE HOOKE OBJETIVO Determinar experimentalmente a constante elástica de uma mola pelo processo estático. PROCEDIMENTO Utilizando um sistema massa-mola, obter as deformações produzidas na mola por corpos de massas conhecidas e relacionar essas deformações e as forças que as produziram. Através dessa relação entre força e deformação, determinar a constante elástica da mola utilizada no experimento bem como o trabalho da força elástica. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA A lei de Hooke Podemos dizer que não conhecemos corpos perfeitamente rígidos, uma vez que todos os experimentados até hoje sofrem deformações mais ou menos apreciáveis quando submetidos à ação de forças. Entendemos por deformação de um corpo uma alteração na forma, ou nas dimensões, ou na forma e dimensões do corpo considerado. Essas deformações, que podem ser de vários tipos - compressões, distensões, flexões, torções, etc - podem ser elásticas ou plásticas. Dizemos que uma deformação é elástica quando desaparece com a retirada das forças que a originaram, enquanto que uma deformação plástica persiste mesmo após a retirada das forças que a originaram. Desta forma um sistema é considerado elástico quando as deformações que ele pode experimentar são elásticas e é considerado plástico um sistema capaz de sofrer deformações plásticas. Rigorosamente falando, não conhecemos sistemas nem perfeitamente elásticos, nem perfeitamente plásticos. No entanto, muitos corpos conhecidos se comportam, com uma boa aproximação, como se fossem perfeitamente plásticos, enquanto que outros se comportam como perfeitamente elásticos, com aproximação razoável. O estudo de deformações, que oferece um grande interesse técnico, é altamente complexo, estando fora dos limites de possibilidades do nosso curso. A teoria da plasticidade encontra-se ainda em fase primária, apesar do enorme estímulo concedido ao seu estudo pelas grandes potências industriais do momento. A teoria da elasticidade está altamente desenvolvida, mas nos é totalmente inacessível, neste curso, devido ao enorme cabedal matemático exigido. Vamos aqui nos limitar a uma simples informação sobre as deformações elásticas. Em 1660 o físico inglês Robert Hooke (1635-1703), observando o comportamento mecânico de uma mola, descobriu que as deformações elásticas obedecem a uma lei muito simples. Hooke determinou que quanto maior o peso de um corpo suspenso a uma das extremidades de uma mola (cuja outra extremidade era presa a um suporte fixo) maior a deformação (no caso: aumento de comprimento) sofrida pela mola. Analisando outros sistemas elásticos, Hooke verificou que existia sempre proporcionalidade entre força deformante e deformação elástica produzida. Pôde então enunciar o resultado das suas observações sob forma de uma lei geral. Tal lei, que é conhecida atualmente como lei de Hooke, e que foi publicada por Hooke em 1676, é a seguinte: As forças deformantes são proporcionais às deformações elásticas produzidas. Por exemplo: no caso inicialmente considerado por Hooke – deformação elástica sofrida por uma mola – a deformação era caracterizada pela variação L∆ comprimento da mola, sob a ação de uma força F r ∆ e Hooke observou que era Esta relação de proporcionalidade pode ser transformada numa igualdade se introduzirmos um fator de proporcionalidade conveniente. Representando-se tal fator pela letra k, a lei de Hooke nos permite escrever que O fator k - que é característico da mola considerada - é denominado constante elástica da mola. Sua unidade no SI é newton por metro (N/m). Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos 35 Assim, pela lei de Hooke, o módulo de cada esforço F realizado numa mola helicoidal cilíndrica fixa por uma das extremidades corresponde proporcionalmente ao módulo de uma deformação x. Desta forma podemos escrever a lei de Hooke da seguinte forma: A constante elástica depende do material de que a mola é feita e das suas características geométricas. Pode-se demonstrar que a dependência entre a constante elástica (k) e o módulo de rigidez do material (ρρρρ) pode ser expressa por: onde n = o número de espiras da mola, d = o diâmetro do fio de que é feita a mola e D = diâmetro interno médio da mola. No caso da deformação elástica considerada ser o alongamento, ou o encurtamento, de uma barra de seção reta uniforme, de comprimento igual a L e área de seção reta igual a A, a lei de Hooke ainda pode ser escrita sob a forma onde com L∆ estamos representando a variação de comprimento da barra devida à ação da força F r ∆ (supondo-se que a força F r ∆ esteja agindo segundo o eixo da barra). Da mesma forma que no caso da mola, a relação de proporcionalidade pode ser transformada numa igualdade, bastando, para tanto, se introduzir um fator de proporcionalidade conveniente. Representando-se tal fator de proporcionalidade pela letra k, a lei de Hooke permite escrever que e a experiência diz que tal fator k é diretamente proporcional à área da seção reta, A, da barra, e inversamente proporcional ao seu comprimento inicial L, isto é, a experiência nos diz que Portanto o fator de proporcionalidade capaz de transformar em Igualdade a relação de proprocionalidade depende apenas do material da barra. Tal fator é representado geralmente pela letra Y e é chamado módulo de Young do material considerado. Então, para o caso da deformação de uma barra de seção reta uniforme A e comprimento L, construída com um material cujo módulo de Young seja Y, a lei de Hooke permite escrever que Os valores dos módulos de Young correspondentes aos diversos materiais são calculados experimentalmente. Consultando uma tabela de características mecânicas de materiais, encontramos, por exemplo, que o módulo de Young do aço vale2,2 x 10 N/m , o do chumbo vale 0,15x 10 N/m, o do tungstênio vale 3,5 x 10 N/m , etc. Análise quantitativa (cálculos) Robert Hooke verificou experimentalmente que, em regime de deformações elásticas, a intensidade da força aplicada à mola é diretamente proporcional à deformação produzida, isto é, se duplicarmos a intensidade da força aplicada à mola, sua deformação também será duplicada, e assim por diante enquanto a deformação for elástica. Podemos sintetizar a lei de Hooke pela seguinte expressão: xkF rr ∆= . F = k . x Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos 36 Graficamente podemos obter a constante elástica (k) de uma mola elástica através da declividade da reta de seu diagrama força x deformação, como indicado abaixo. θtgk N = e x F adjcat opcat tg == .. . θ Convém lembrar que, no processo de deformação, a mola sempre estará sujeita a ação de duas forças (uma em cada extremidade), sendo de mesma intensidade (k·x) quando sua massa for desprezível (mola ideal). O trabalho da força elástica Embora não se tenha uma definição de energia, podemos dizer que a presença de energia implica a possibilidade de produzir movimento. A energia que uma pessoa armazena ao alimentar-se, por exemplo, possibilita o funcionamentode seus órgãos, permite que ela se movimente e mova outros corpos. A energia dos combustíveis usados nos automóveis também possibilita seus movimentos. Da mesma forma, a energia elétrica produzida por uma bateria possibilita o movimentos de elétrons em fios condutores. O Princípio da Conservação da Energia é de fundamental importância: não se cria nem se destrói energia; o que ocorre freqüentemente é a conversão de uma modalidade de energia em outra. Para exemplificar conversões de energia, consideremos uma mola elástica relaxada, ou seja, não deformada. Uma pessoa gasta uma parcela de sua energia para comprimir essa mola. Para isso, exerce na mola uma força e provoca um deslocamento de sua extremidade: dizemos que essa força realiza um trabalho . Esse trabalho corresponde à energia transferida da pessoa para a mola. A figura abaixo representa um carrinho C , colocado junto à mola comprimida. Ele só não se move porque a trava T não permite. A mola comprimida armazena energia, já que é capaz de produzir movimento. Essa energia, porém, não se manifesta, a menos que se retire a trava T . Por isso, a energia armazenada na mola é denominada energia potencial , isto é, que pode manifestar-se. O nome completo dessa energia é energia potencial elástica ( Ep el ), porque está armazenada num corpo elástico deformado. Retirando a trava, a energia potencial da mola se manifesta: a mola se distende, exercendo uma força no carrinho e produzindo um deslocamento . Novamente temos uma força realizando trabalho , e esse trabalho corresponde à energia transferida da mola para o carrinho. Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos 37 A energia que o carrinho adquiriu é denominada energia cinética (E c ) que é a energia que um corpo possui por estar em movimento, isto é, por adquirir velocidade. Em um ponto qualquer entre a mínima deformação da mola e a máxima deformação da mola, teremos no processo as duas energia juntas, a cinética referente ao movimento do carrinho e a potencial referente à compressão da mola. A soma destas duas energias chamamos de energia mecânica. É importante salientar que tanto o trabalho como as diversas formas de energia são grandezas escalares. Consideremos uma força constante F r atuando numa partícula enquanto ela sofre um deslocamento d, do ponto A ao ponto B . O trabalho realizado por essa força nesse deslocamento, sendo θθθθ o ângulo entre F e d , é a grandeza escalar Fτ , definida por: Sua unidade no SI é joule = J (1J = 1N . 1m) Suponha que uma força constante esteja atuando em um corpo, paralelamente à direção do deslocamento e no mesmo sentido desse deslocamento. Se construirmos um diagrama F x d , teremos: Se calcularmos a área compreendida entre o eixo d e o eixo da força F (que é constante) no deslocamento entre 0 e d , teremos: A = b . h ⇒ A = d . F Se desejarmos calcular o trabalho diretamente utilizando a equação do trabalho teríamos: τ = F . d . cos θ mas como a força é paralela ao deslocamento teremos θ = 0º e cos 0º = 1 então Assim podemos dizer que o trabalho da força F é numericamente igual a área hachurada do gráfico. Esta conclusão é válida também para quando a força não for constante. Para se determinar o trabalho de uma força F r , basta calcular a área da figura que será formada no gráfico no intervalo do deslocamento em que se queira calcular. As forças conservativas, quando realizam trabalho, não alteram a quantidade de energia mecânica, porque apenas convertem energia potencial em energia cinética ou cinética em potencial. Assim , a soma dessas energias não se modifica. Quando aplicamos a uma mola uma força F r , provocando na mesma uma determinada deformação ∆∆∆∆x , verificamos que a intensidade da força é diretamente proporcional à deformação provocada, como já vimos e pela Lei de Hooke, a intensidade da força é diretamente proporcional à deformação da mola. Graficamente o gráfico da força pela deformação será uma reta crescente, pois a equação que a define é do primeiro grau, assim: τ = F . d Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos 38 Como a área é numericamente igual ao trabalho teremos: ( ) 2 hbB AeA N + ==τ , mas 11 .xkFB == , 22 .xkFb == e 12 xxxh −=∆= . Assim: 2 )).(( 2 )).(..( 12121221 xxxxkxxxkxk −+= −+ =τ Vejamos alguns exemplos: 1) A mola ideal da figura varia seu comprimento de 12 cm para 17 cm quando penduramos em sua extremidade um corpo A (em repouso) de peso 10 N. a) Qual a constante elástica da mola, em N/m ? b) Qual o comprimento dessa mola, quando ela sustentar em equilíbrio um corpo B de peso 20 N ? Resolução a) A deformação ocorrida na mola vale: x = l - l0 = 17 - 12 = 5 cm = 0,05 m Pelo fato do bloco A estar em equilíbrio, vem: b) Como o peso do corpo B é o dobro do peso de A, a mola terá sua deformação duplicada (de 5 cm para 10 cm). Logo, o comprimento da mola, quando esta sustenta o corpo B, será: cmx 2210120 =⇒+=+= lll 2) O sistema montado na figura apresenta-se em equilíbrio. As molas verticais são leves (pesos desprezíveis) e cada uma possui constante elástica k = 50 N/m e comprimento natural (não deformada) de 20 cm. Cada bloco tem peso de 5,0 N. Quais os comprimentos a e b das molas? Resolução a) Analisando o equilíbrio do bloco inferior, temos: logo )( 2 2 1 2 2 xx k −=τ Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos 39 b) Observando as forças em equilíbrio no bloco superior e lembrando que a mola inferior traciona ambos os blocos com a mesma intensidade (F1), tem-se: logo: Observação: Pode-se obter também a deformação da mola superior considerando que o conjunto de blocos (peso total 10 N) produza sua deformação. Como as molas são idênticas, a mola superior sofrerá o dobro da deformação experimentada pela inferior, isto é: 20 cm. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) Um grupo de alunos, em um laboratório de física, realizou um experimento para estudar a energia de deformação armazenada em um corpo elástico. Para tal estudo foi utilizada uma tira de borracha que teve uma de suas extremidades presa a uma haste e em sua outra extremidade foram pendurados alguns discos com massas conhecidas. O peso desses discos provocava deformações na tira de borracha que foram medidas. As medidas obtidas estão reproduzidas na tabela abaixo: m ( g ) 110 200 270 320 340 370 390 410 420 430 P ( N ) x ( m ) 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 Adotando a aceleração da gravidade no local do experimento como 10m/s2, pede-se: a) construir o diagrama cartesiano que relaciona a força aplicada e a deformação provocada na tira de borracha. Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos 40 b) observando o gráfico do item anterior, a que conclusão podemos chegar a respeito da elasticidade do corpo analisado (tira)? c) a partir do gráfico obtido no item a, calcular a energia de deformação armazenada no corpo durante o experimento. 2) O gráfico ao lado mostra a compreesão de uma mola desde x0 = 0 ( onde a mola não está comprimida) até um ponto A onde xA = 0,40 m. O gráfico mostra como varia a força F r exercida pela mola sobre o bloco. a) calcule a inclinação deste gráfico. b) Qual a constante elástica da mola? c) Podemos usar a expressão τ = F . d .cos θ para calcular o trabalho realizado pela força elástica enquanto a mola empurra o bloco? Por quê? d) Calcule o trabalho da força elástica entre 0,10m e 0,30m graficamente. e) Calcule o trabalho da força elástica entre os mesmos pontos do ítem anterior, usando a equação deduzida no fundamento teórico. Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos 41 PARTE PRÁTICA 1) Montar o sistema massa-mola indicado. 2) Calcular os valores de Peso referentes às massas dos discos que serão utilizados no experimento. Completar a linha referente aos valores de Peso na TABELA. 3) Ajustar a régua de maneira a estabelecer uma referência para a deformação nula (x0 = 0). Observe a figura 1. 4) Pendurar o disco de 50 g na mola e medir a deformação provocada a partir de x0. Anotar na tabela nos valores de x (deformação total). Observe a figura 2. 5) Aumentar o valor das massas penduradas na mola (conseqüentemente aumenta-se o Peso) e medir as deformações provocadas na mola e anotar na tabela. Observar que o valor da deformação é o valor total da medida, sempre a partir de x0. Observe a figura 3. 6) A partir dos dados da Tabela e a partir da lei de Hooke, calcular o valor da constante de elasticidade da mola utilizada para os diferentes valores de massa. Para cada valor de massa fazer o cálculo: x F k = 7) Determinar o valor mais provável da constante elástica da mola utilizada no experimento ataravés da média aritmética entre os valores encontrados o item anterior. 8) Baseado nos valores da tabela, construir em papel milimetrado, o diagrama da Força elástica aplicada na mola pela deformação sofrida pela mola (FEl = f ( x) ). 9) A partir do diagrama F x x, calcular a constante elástica da mola graficamente. Graficamente a constante elástica da mola é numericamente igual á declividade da reta do gráfico, assim poderá ser calculada através da tangente do ângulo formado entre a reta do gráfico e o eixo horizontal: αtgk N graf = 10) Calcular o erro percentual entre o valor teórico e o valor gráfico da constante elástica da mola. 100.% TEO GRAFTEO k kk − =ε Fig.2 Fig.1 Fig.3 Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos 42 ATIVIDADE 05 NOME: _________________________________________________ RA:_______________ EXPERIÊNCIA 04 FORÇA ELÁSTICA EXECUÇÃO: 1) Montar o sistema massa-mola indicado. 2) Calcular os valores de Peso referentes às massas dos discos que serão utilizados no experimento. Completar a linha referente aos valores de Peso na TABELA. 3) Ajustar a régua de maneira a estabelecer uma referência para a deformação nula (x0 = 0). Observe a figura 1. 4) Pendurar o disco de 50 g na mola e medir a deformação provocada a partir de x0. Anotar na tabela nos valores de x (deformação total). Observe a figura 2. 5) Aumentar o valor das massas penduradas na mola (conseqüentemente aumenta-se o Peso) e medir as deformações provocadas na mola e anotar na tabela. Observar que o valor da deformação é o valor total da medida, sempre a partir de x0. Observe a figura 3. 6) A partir dos dados da TABELA, determinar o valor mais provável da constante elástica da mola utilizada no experimento. TABELA m (g) m (kg) F = P (N) x (m) k (N/m) 0 50 100 150 200 250 Valor mais provável de k 7) Baseado nos valores da tabela, construir em papel milimetrado, o diagrama da Força elástica aplicada na mola pela deformação sofrida pela mola (FEl = f ( x) ). Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos 43 8) A partir do diagrama F x x, calcular a constante elástica da mola (graficamente). 9) Calcular o erro percentual entre o valor teórico e o valor gráfico da constante elástica da mola. Kgraf = ____________ (N/m) εεεε% = ____________% Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos 44 EXPERIÊNCIA 05 OSCILAÇÕES MECÂNICAS OBJETIVO Determinar experimentalmente a constante de elasticidade de uma mola aplicando os conceitos de oscilações, em particular o conceito de período do movimento oscilatório. PROCEDIMENTO Utilizando um pêndulo elástico, medir o período de oscilação desse pêndulo para diferentes massas pendulares e através dos conceitos de oscilações e grafiicamente determinar a constante de elasticidade da mola usando dois métodos diferentes. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA Pode-se afirmar que tudo ao nosso redor, desde grandes estruturas (grandes edificações) até estruturas microscópicas (moléculas), estão em vibração constante. Portanto compreender o processo vibratório é fundamental para entender a natureza e aplicar esse conhecimento na solução de nossos problemas em tecnologia ou ciência. Apenas para facilitar a compreensão desse movimento vibratório, por questões didáticas, vamos analisar o seguinte movimento: Imagine uma mola ideal, sobre um plano horizontal livre de atrito, com uma extremidade fixa, e um corpo preso à outra extremidade dessa mola. O conjunto é abandonado sem deformação da mola, conforme figura 1. Nesta condição as forças que atuam sobre o corpo são exclusivamente: força Peso ( P r ) e a e força de reação Normal ( N r ) aplicada pelo plano horizontal. Como o corpo permanece em estado de repouso prolongado, concluímos que a resultante das forças sobre o corpo é nula, ou seja, o corpo se encontra em equilíbrio (estático). Para melhor analisar o movimento, vamos estabelecer um eixo horizontal (eixo x), orientado para a direita, com origem (x = 0) na posição de equilíbrio do corpo. A partir destas condições vamos esticar (deformar) a mola, até levar o corpo para uma posição qualquer, em que a posição será dada por x = A. Para provocar o deslocamento do corpo para essa posição (x = A), teremos que aplicar uma força sobre o corpo, no sentido de seu deslocamento, que chamaremos força aplicada pelo operador ( operadorF r ), isso implica em que estaremos realizando um Trabalho Mecânico sobre o corpo, que é armazenado pelo sistema massa mola na forma de Energia Mecânica (Energia Potencial Elástica). Por outro lado, à medida que é deformada, a mola exercerá sobre o corpo uma força de natureza elástica ( elásticaF r ), dada pela Lei de Hooke xkFelástica rr .−= (Lei de Hooke) onde k é a constante
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