AULA 2_análise_dimensional

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Prof. Ubirajara Neves
Primeira Edição
Análise 
Dimensional
Notas de 
Aula
1 As fórmulas dimensionais são formas usadas para expressar as diferentes grandezas físicas em função das grandezas fundamentais.
Fórmulas 
dimensionais
2
Para a Mecânica, são consideradas grandezas fundamen-
tais:
• a massa (m) – M
• o comprimento (l) – L
• o tempo (t) – T
Assim, na Mecânica, qualquer grandeza derivada X pode 
ser expressa em função dessas três grandezas, através da for-
ma
em que MxLyTz é a fórmula dimensional da grandeza X, in-
dicada por [X], e x, y e z são as dimensões de X em relação 
a M, L e T, respectivamente.
Para determinar a fórmula dimensional de uma grandeza de-
rivada pode-se seguir as etapas:
1. Encontra-se uma equação que permita calcular a grandeza 
de interesse. Qualquer equação serve, desde que correta, é 
claro!
2. Colocam-se colchetes em todos os termos da equação, indi-
cando que se deve trabalhar com as respectivas fórmulas 
dimensionais.
3. Manipula-se algebricamente a expressão obtida, até que a 
mesma fique irredutível.
Vejamos alguns exemplos.
Seção 1
Introdução
3
Área (A)
Podemos usar a equação para o cálculo da área de um re-
tângulo:
A = a ⋅ b,
em que A é a área, a é a medida do comprimento de um lado, 
e b é a medida do comprimento do outro lado. Colocando-se 
colchetes em todos os termos:
[A] = [a] ⋅ [b] = L ⋅ L = L2.
Portanto, a fórmula dimensional de área é L2, que significa 
que a área é uma grandeza que tem duas dimensões de com-
primento.
Volume (V)
Usemos a equação para determinar o volume de um palele-
pípedo retângulo de base retangular, cujas arestas tenham 
comprimento a, b e c.
.
Logo, o volume é uma grandeza que apresenta três dimen-
sões de comprimento.
Densidade (ρ)
Pela definição de densidade (volumétrica):
em que ρ é a densidade volumétrica, m é a massa e V é o volu-
me. Façamos a análise dimensional:
Assim, a densidade é uma grandeza que apresenta uma di-
mensão de massa e três dimensões negativas de comprimen-
to.
Velocidade (v)
Usemos a equação da velocidade média:
Seção 2
Exemplos
4
o que nos leva a concluir que velocidade é uma grandeza 
que possui uma dimensão de comprimento, uma dimensão ne-
gativa de tempo, e que não tem dimensão de massa.
Note que a existência de uma dimensão negativa apenas 
significa que a grandeza em questão apresenta uma proporcio-
nalidade inversa em relação àquela grandeza fundamental.
Aceleração (a)
Usando a equação da aceleração média:
Momento linear (p)
A partir da equação do momento linear, também conheci-
do como quantidade de movimento, obtemos:
Note que a grandeza momento linear tem uma dimensão de 
massa, uma dimensão de comprimento e uma dimensão negati-
va de tempo.
Força (F)
Podemos partir da equação da 2.ª lei de Newton para uma 
força resultante F:
Trabalho (W)
Pela definição de trabalho:
Pressão (P)
Sendo a pressão a razão entre a força e a área, temos:
Torque (M)
Para uma força F aplicada a uma distância d do ponto de 
apoio de um corpo extenso:
Energia cinética (K)
Partamos da equação para o cálculo da energia cinética 
de um corpo com massa m que se desloca a uma velocidade 
v:
5
Observe que neste caso apareceu a expressão , ou seja, 
a fórmula dimensional de um numeral. Ora, numerais são adi-
mensionais, isto é, apresentam dimensões zero. Então,
Podemos generalizar e afirmar que a fórmula dimensional 
de um numeral, desde que não seja uma constante de proporci-
onalidade, é sempre 1. Assim,
Observe como as grandezas trabalho, torque e energia ci-
nética são dimensionalmente homogêneas, ou seja, têm a mes-
ma fórmula dimensional. São, portanto, grandezas que apresen-
tam as mesmas dimensões e que devem se relacionar de algu-
ma forma, como será estudado posteriormente.
Energia potencial gravitacional (UG)
Sendo uma forma de energia, espera-se que tenha a mes-
ma fórmula dimensional da energia cinética. Vejamos:
Não esqueça que g é a aceleração da gravidade.
Constante elástica (k)
A partir da equação para determinar a força elástica, obte-
mos:
em que x é a deformação do corpo – uma mola, por exemplo.
Energia potencial elástica (UE)
Pela definição da energia potencial elástica:
Potência (Pot)
Sendo a potência a razão entre a energia e o tempo,
REVISÃO 1.1 Grandezas
Verificar Resposta
Pergunta 1 de 3
Das opções a seguir, qual não se refere a uma grandeza fun-
damental?
A. Tempo
B. Aceleração
C. Comprimento
D. Massa
2 Aquela equação resultante de um longo processo de dedução estaria correta? Há alguma maneira de descartar a possibilidade de erro? É aí que entra o tema do presente capítulo.
Homogeneidade 
dimensional
8
Para que uma equação seja válida é necessário que apre-
sente uma homogeneidade dimensional. Em outras palavras, o 
primeiro e o segundo membros devem apresentar as mesmas 
fórmulas dimensionais. Observe que uma equação com essa 
característica pode estar certa; por outro lado, uma equação 
não dimensionalmente homogênea certamente estará errada.
Tomemos como exemplo a seguinte situação: um estudan-
te, ao resolver um problema de mecânica, chegou à equação
em que F é a força, m é a massa, g é a aceleração da gravida-
de, v é velocidade e d é a distância em relação a um referenci-
al.
Analisemos essa equação quanto a suas dimensões:
Substituindo as fórmulas dimensionais, obtemos:
Portanto, a equação encontrada pelo estudante é dimensio-
nalmente homogênea, o que a torna uma equação possível. 
Não podemos garantir que esteja correta, mas diminuímos a 
chance de ela estar errada.
Seção 1
Usando a 
homogeneidade
3 Como fazemos para descobrir uma equação desconhecida? Analisando uma determinada grandeza, é possível, por análise dimensional, descobrir suas relações com outras grandezas.
Determinação de 
equações
10
Podemos usar a análise dimensional para determinar equa-
ções desconhecidas. Vejamos dois exemplos interessantes.
O período de oscilação de 
um pêndulo
Um pêndulo de comprimento l, sujeito a um campo gravita-
cional g, oscila num plano com período T. Determinemos a 
equação que nos permita calcular o período de oscilação des-
se pêndulo, sabendo que isso depende do comprimento e da 
aceleração da gravidade local. Seja C uma constante numérica 
qualquer (não de proporcionalidade).
Com base no exposto, sabemos que a equação procurada 
terá a forma
Façamos, então, a análise dimensional da equação acima:
Note que o resultado acima só será verdadeiro se:
Com as duas últimas equações podemos montar um siste-
ma e resolvê-lo:
Resolvendo a segunda equação em relação a y, obtemos
Substituindo na primeira equação,
Seção 1
Determinando 
equações
11
Voltando para a equação inicial, podemos fazer:
IMPORTANTE! 

A determinação da constante numérica C não pode ser feita 
por análise dimensional, mas existem outros métodos para en-
contrá-la.
Velocidade de queda de 
um corpo
Sabendo que a velocidade v de queda de um corpo, despre-
zando-se a resistência do ar, depende da aceleração da gravi-
dade g, da altura h e, possivelmente, da massa m, vamos de-
terminar a equação para o cálculo dessa velocidade.
Então,
Assim,
Resolvendo a segunda equação em relação a x, obtemos
Substituindo na primeira equação, chegamos a
Então,
12
Note como a análise dimensional deixou claro que a veloci-
dade de um corpo em queda livre não depende de sua mas-
sa.
xiii
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ciado com uma licença Creative Commons - Atribuição - Não Comercial - Sem Deri-
vados 3.0 Não Adaptada.
Notas de Aula - Análise Dimensional
Arestas
Num sólido geométrico, o termo aresta refere-se à intersecção entre duas faces.Termos do Glossário Relacionados
Índice
Capítulo 1 - Exemplos
Aresta
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Dimensões
No contexto da análise dimensional, dimensão refere-se ao expoente associado a 
uma grandeza fundamental.
Termos do Glossário Relacionados
Índice
Capítulo 1 - Introdução
Grandezas fundamentais
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Energia cinética
É a energia mecânica associada ao movimento de um corpo. Assim, um corpo em re-
pouso em relação a um certo referencial não possui energia cinética.
Termos do Glossário Relacionados
Índice
Capítulo 1 - Exemplos
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Fórmula dimensional
Expressão literal que mostra as grandezas fundamentais associadas a uma grandeza 
derivada, bem como suas dimensões.
Termos do Glossário Relacionados
Índice
Capítulo 1 - Introdução
Grandeza derivada, Grandezas fundamentais
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Grandeza
Tudo aquilo que pode ser medido, direta (grandeza fundamental) ou indiretamente 
(grandeza derivada).
Termos do Glossário Relacionados
Índice
Capítulo 1 - Introdução
Grandeza derivada, Grandezas fundamentais
Buscar Termo
Grandeza derivada
Grandeza que resulta da associação de uma ou mais grandezas fundamentais e que 
não pode ser medida diretamente.
Termos do Glossário Relacionados
Índice
Capítulo 1 - Introdução
Grandeza, Grandezas fundamentais
Buscar Termo
Grandezas fundamentais
Grandezas que podem ser medidas diretamente. São sete:
• massa,
• comprimento,
• tempo,
• temperatura termodinâmica,
• quantidade de matéria,
• intensidade de corrente elétrica, e
• intensidade luminosa.
Termos do Glossário Relacionados
Índice
Capítulo 1 - Introdução
Grandeza, Grandeza derivada
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Mecânica
Ramo da Física que estuda os movimentos dos corpos.
Termos do Glossário Relacionados
Índice
Capítulo 1 - Introdução
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Momento linear
Grandeza vetorial que representa a quantidade de movimento associada a um corpo, 
em relação a um certo referencial. É obtida pelo produto da massa do corpo pela sua 
velocidade no referencial em questão.
Termos do Glossário Relacionados
Índice
Capítulo 1 - Exemplos
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Oscilação
Movimento periódico em torno de um ponto central.
Termos do Glossário Relacionados
Índice
Capítulo 3 - Determinando equações
Pêndulo
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Palelepípedo
Sólido geométrico cujas faces são paralelogramos paralelos.
Termos do Glossário Relacionados
Índice
Capítulo 1 - Exemplos
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Pêndulo
Corpo dotado de massa pendurado em apoio, que apresenta movimento oscilatório 
em torno de um ponto de equilíbrio.
Termos do Glossário Relacionados
Índice
Capítulo 3 - Determinando equações
Oscilação
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Período
Tempo necessário para que se execute uma oscilação completa.
Termos do Glossário Relacionados
Índice
Capítulo 3 - Determinando equações
Oscilação
Buscar Termo
Quantidade de movimento
Mesmo que momento linear.
Termos do Glossário Relacionados
Índice
Capítulo 1 - Exemplos
Momento linear
Buscar Termo
Retângulo
Quadrilátero com lados opostos paralelos.
Termos do Glossário Relacionados
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Capítulo 1 - Exemplos
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Torque
Grandeza responsável pela variação do momento angular de um corpo.
Termos do Glossário Relacionados
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Capítulo 1 - Exemplos
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Trabalho
Energia mecânica em trânsito entre dois corpos pela ação de uma força que provoca 
deslocamento.
Termos do Glossário Relacionados
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Capítulo 1 - Exemplos
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