Séries Variáveis

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ 
CAMPUS DE SOBRAL 
CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA 
 
SERIES VARIÁVEIS 
Disciplina: Engenharia Econômica 
Professor: Isaac Machado 
 Entender as séries variáveis em progressão 
aritmética (P.A.); 
 
 Entender as séries variáveis em progressão 
geométrica (P.G.); 
 
 Entender os fluxos de caixa em perpetuidades: 
custo capitalizado. 
OBJETIVOS DO CAPÍTULO 
GRADIENTES UNIFORMES 
Crescentes ou decrescentes ao longo do tempo; 
Crescem ou decrescem em P.A. ou P.G.; 
Postecipadas ou antecipadas. 
 
 
Tempo 
0 1 2 3 4 
A A A A 0G 1G 2G 
5 
A 3G 4G 
Gradientes 
Renda Base 
EXEMPLOS (SÉRIES EM P.A.) 
 Quanto devemos aplicar hoje, a uma taxa de juros efetiva de 
6% a.m., de modo que sejam possibilitados 5 saques mensais e 
consecutivos? O 1º saque deverá ser de $ 20.000 daqui a 2 
meses e os outros, gradativamente crescentes, formando uma 
série gradiente uniforme. 
 Uma máquina permite uma economia de custos de $10.000 no 
primeiro ano, que se torna gradativamente crescente à razão 
de $10.000 por ano até o 5º ano de sua vida útil. Considerando 
uma taxa de juros efetiva de 12% a.a., calcular o valor presente 
dessa economia de custos. 
 Quanto deverá ser aplicado de modo uniforme durante 8 
meses, a uma taxa efetiva de 5% a.m., para que possamos 
efetuar, já a partir do término do 2º mês, uma série de 7 
saques gradativamente crescentes, em que o 1º seja igual a $5, 
formando com os outros uma série gradiente uniforme. 
 
EXEMPLOS (SÉRIES EM P.G.) 
 Uma pessoa receberá mensalmente durante 18 meses uma 
série de pagamentos com reajuste mensal de 5%. 
Considerando que o 1º pagamento, de $ 48.000, será efetuado 
no fim do 1º mês, calcular o valor presente da série de 
pagamentos a juros efetivos de 7% a.m. 
 A juros efetivos de 10% a.m., calcular o valor presente de uma 
série de 18 mensalidades que decrescem em P.G. à razão de ½, 
sendo a 1ª mensalidade igual a $ 15.000. 
 Se a taxa de juros efetiva vigente é de 4% a.a. e o valor do 1º 
pagamento é igual a $ 180.000, calcular o valor presente de 
uma série de 10 pagamentos anuais que decrescem a uma taxa 
constante de 2% a.a. 
 
CUSTO CAPITALIZADO 
“Existem diversas atividades de produção ou serviços cujos 
ativos devem ser mantidos permanentemente, reformados ou 
substituídos periodicamente a cada certo número de anos. 
Essa reforma ou substituição origina desembolsos que 
constituem uma renda perpétua, tal como ocorre com a 
manutenção de estradas e pontes e com a substituição ou 
reforma de unidades de transporte público.” 
CUSTO CAPITALIZADO 
As substituições que ocorrem indefinidamente podem ser representadas 
no seguinte diagrama de fluxo: 
 
 
 
 
 
onde: 
R = renda periódica proporcionada pelo ativo durante sua vida útil; 
k = número de anos entre cada renovação de equipamentos (vida útil do 
ativo); 
C = custo inicial (custo original do ativo); 
S = custo de substituição ou reforma do ativo (deve ser igual ao montante 
acumulado pelas rendas proporcionadas pelo ativo durante sua vida útil). 
CUSTO CAPITALIZADO 
Durante sua vida útil, o ativo produz rendas que devem 
acumular um fundo (S) que servirá para amortizar os gastos de 
sua manutenção e para pagar sua substituição ou reforma a 
cada k anos. 
Ao observar o primeiro intervalo de substituição, percebe-se que 
o problema corresponde ao cálculo da aplicação, que permitirá 
acumular um montante (S) que se repete indefinidamente. 
CUSTO CAPITALIZADO 
O custo capitalizado (F) de um ativo está constituído pelo seu 
custo inicial (C) mais o valor presente (P) das infinitas 
substituições ou reformas a serem feitas de modo que ele seja 
mantido em operação indeterminadamente: 
EXEMPLOS 
Uma universidade receberá uma doação mensal perpétua de 
$50.000. Se aplicasse o valor presente da perpetuidade em um 
fundo de renda fixa que rende juros efetivos de 2% a.m., qual 
será o rendimento ao término de um ano? 
 
 
 
Valor presente da perpetuidade: 
 
 
 
 
Rendimento da aplicação ao término de 12 meses: 
 
Rendimento 
EXEMPLOS 
Um canal de irrigação teve um custo inicial de 
$500.000. O engenheiro projetista da obra estima que, 
para se manter permanentemente em condições 
operacionais, a cada três anos deve ser realizada uma 
reforma do canal a um custo aproximado de $150.000. 
a) calcular a quantia que deve ser aplicada hoje a juros 
efetivos de 15% ao ano, de modo que assegure a 
reforma perpétua do canal; 
b) o custo capitalizado do canal, admitindo-se um 
custo do capital de 15% a.a. 
 
 
 
EXEMPLOS 
Dados: 
 
 
C = $500.000, S = $150.000, i = 15% a.a., 
 k = 3, P = ?, F = ? 
 
 
 
 
 
a) Capital a ser aplicado hoje: 
 
 
 
 
EXEMPLOS 
Um capital de $287.976,96, aplicado a juros de 15% a.a., transforma-se, 
em três anos, em um montante de $437.976,96 [$287.976,96 x (1,15)3], 
quantia que assegurará a retirada de $150.000 indefinidamente para cobrir 
os custos das reformas, tal como comprova o quadro a seguir: 
 
 
 
 
 
b) Custo capitalizado do canal de irrigação: 
 
 
 
 
EXEMPLOS 
Os $787.976,96 permitirão cobrir o custo inicial do canal de $500.000. O 
saldo de $287.976,96, aplicado durante três anos a juros de 15% a.a., 
transforma-se em $437.976,96 [$287.976,96 x (1,15)3], quantia que 
permitirá cobrir os $150.000 do custo da reforma, deixando um 
remanescente de $287.976,96 que possibilitará a geração indefinida de um 
novo capital para reformas posteriores. 
 
 
 
 
 
OBRIGADO! 
isaacmachado@gmail.com