Cap_04_1a_aula_FORÇAS DISTRIBUÍDAS

Prévia do material em texto

4. FORÇAS DISTRIBUÍDAS
4.1. Considerações Iniciais
Até agora, no presente curso, lidou-se apenas com sistema de forças 
concentradas. Porém, em muitas aplicações de engenharia essa abordagem 
não é adequada em razão da natureza das forças e/ou a forma de sua 
aplicação na estrutura analisada. Além disso, diante da necessidade de se 
analisar os elementos estruturais em termos de efeitos internos, faz-se 
necessário uma abordagem mais realística possível da atuação dessas forças.
Exemplos:
Na realidade esfera tende a se deformar, causando a 
distribuição da força resultante ao longo de uma superfície de 
contato.
4.1. Considerações Iniciais (cont.)
As forças distribuídas podem ser modeladas de acordo com a geometria do 
corpo em que atuam, ou seja:
(i) Distribuição linear: atua ao longo de estruturas planas lineares, tais 
como vigas e cabos. Exemplos:
A intensidade da força distribuída linear é dada por F/L.
Unidades: N/m; kgf/m; lb/in; lb/ft
4.1. Considerações Iniciais (cont.)
(ii) Distribuição bidimensional: atua ao longo de superfícies da uma 
dada estrutura espacial ou plana. Exemplos:
A intensidade da força distribuída ao longo de uma área é dada 
por F/L2.
Unidades: N/m2; kgf/m2; lb/in2; lb/ft2
Obs: As forças distribuídas em razão da ação de fluidos são denominadas 
de pressão, enquanto que para forças internas em sólidos, chama-se 
tensões (assunto a ser discutido na 3ª unidade do nosso curso).
4.1. Considerações Iniciais (cont.)
(iii) Distribuição volumétrica: atua em razão da atuação de campos de 
força, também chamada de força de corpo. Exemplos: Peso próprio de 
um corpo.
A intensidade da força distribuída ao longo de uma área é dada 
por F/L3. Para o peso próprio essa intensidade é chamada de 
peso específico, ou seja:
Unidades: N/m3; kgf/m3; lb/in3; lb/ft3
E ainda, o peso total do corpo é: 
g⋅= ργ
Massa específica
Aceleração da gravidade
W Vγ=
Volume do corpo
Considere-se o corpo sólido no espaço sujeito ao seu peso próprio:
W dW= ∫
Peso total do corpo é dado por:
( ), ,x y z : coordenadas do C. G. do corpo.
4.2. Centro de Gravidade, Centro de Massa (cont.)
Na realidade, o sistema de forças no corpo é composto por infinitas forças 
“dW” paralelas. A idéia do conceito de Centro de Gravidade (C. G.) é
substituir o sistema de forças infinito por outro de apenas uma força “W”
concentrada.
( ), ,x y z : coordenadas da partícula genérica 
de peso “dw”.
Para tanto, pelo princípio dos momentos, tem-se:
As coordenadas do Centro de gravidade são dadas por:
∫=⋅= xdWxWM y
xM W y ydW= ⋅ = ∫
yM W z zdW= ⋅ = ∫ Sistema de eixos girado de 90º em torno do eixo y, como 
corpo fixo a esse sistema. 
xdW
x
W
= ∫ ydWy
W
= ∫ zdWz
W
= ∫
4.2. Centro de Gravidade, Centro de Massa (cont.)
4.2. Centro de Gravidade, Centro de Massa (cont.)
E ainda, sabendo que:
gmW = e dW gdm=
Tem-se as expressões para o Centro de Massa do corpo:
; ;
xg dm xdm yg dm y dm zg dm z dm
x y z
m g m m g m m g m
= = = = = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
OBS: O Centro de Massa é de uso mais geral na física, pois não está associado 
ao campo gravitacional. Eles são coincidentes por se admitir um campo 
gravitacional uniforme e paralelo ao longo do corpo, o que é bastante razoável. 
4.3. Centróides ou Centro Geométricos
As coordenadas do Centro de Massa de um corpo são dadas por:
Sabendo que: e , tem-se:
; ;
x dm y dm z dm
x y z
m m m
= = =∫ ∫ ∫
dVdmVm
Na grande parte das aplicações da engenharia é comum se ter , 
ou seja, corpo homogêneo, então: 
ρρ ==
; ;
x dV y dV z dV
x y z
V V V
ρ ρ ρ
ρ ρ ρ= = =
∫ ∫ ∫
cte=ρ
; ;
x dV y dV z dV
x y z
V V V
= = =∫ ∫ ∫ Coordenadas x, y, z do centróide 
do corpo de volume “V”.
OBS: O centróide de um corpo é uma característica puramente geométrica, 
portanto independente do campo gravitacional ou da densidade do corpo. Esses 
três centros (de gravidade, geométrico e de massa), são coincidentes apenas se:
O corpo é homogêneo e o campo gravitacional uniforme e paralelo ao longo do 
corpo.
4.3. Centróides ou Centro Geométricos (cont.)
(i) Expressão do C. G. de figuras geométrica em formato de linha:
LAV =
Sendo:
dV AdL=
; ;
x dL y dL z dL
x y z
L L L
= = =∫ ∫ ∫
Tem-se:
(ii) Expressão do C. G. para superfícies (espessura “t” constante):
V At=
Sendo:
dV t dA=
; ;
x dA y dA z dA
x y z
A A A
= = =∫ ∫ ∫
Tem-se:
Para uma área plana (no plano x-y, por exemplo), tem-se:
;y x
Q Qx y
A A
= =
Onde:
;y xQ x dA Q y dA= =∫ ∫
Momentos estáticos de área em relação 
ao eixo y e x respectivamente.
4.3. Centróides ou Centro Geométricos (cont.)
dA
x
y
x
y ; ;
x dA y dA
x y
A A
= =∫ ∫
As coordenadas do Centróide, são 
dadas por:
Chamando:
Tem-se:
;y xQ x dA Q y dA= =∫ ∫
OBS: Os momentos estáticos de área não tem significado físico algum, apenas 
levam esse nome em razão da analogia à determinação de um momento de 
uma força em relação a um eixo. Também são chamados de Primeiros 
momentos de área.
OBSERVAÇÕES IMPORTANTES:
1 – Sempre que a figura geométrica do corpo tiver um eixo de simetria, 
o centróide dessa figura estará nesse eixo. Ex:
2 – Em alguns casos, o centróide de uma figura pode estar fora dela, 
ou seja:
4.3. Centróides ou Centro Geométricos (cont.)
c.g. c.g.
c.g.
c.g.
	4. FORÇAS DISTRIBUÍDAS