Cap_04_2a_aula_FORÇAS DISTRIBUÍDAS

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As coordenadas do centróide de uma figura geométrica são dadas por:
(i) Para sólidos:
(ii) Para Áreas:
(iii) Para Linhas:
Além disso, o centro de massa de um corpo, é dado por:
4.4. Centróides e Centros de Massa – determinação por integração
; ;
x dV y dV z dV
x y z
V V V
= = =∫ ∫ ∫
; ;
x dL y dL z dL
x y z
L L L
= = =∫ ∫ ∫
; ;
x dA y dA z dA
x y z
A A A
= = =∫ ∫ ∫
; ;
x dm y dm z dm
x y z
dm dm dm
= = =∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫
Escolha apropriada do elemento infinitesimal para integração:
1º) Ordem do elemento: Em muitos casos é mais fácil integrar com um 
elemento de primeira ordem, ou seja, reduzir a integral tripla ou 
dupla para uma simples:
dA dxdy=( )b ( )a
Na situação (a), temos:
Na situação (b), temos:
dA l dy=
dV dxdydz=
Na situação (a), temos:
Na situação (b), temos:
2dV r dyπ=
( )b ( )a
4.4. Centróides e Centros de Massa – determinação por integração (cont.)
2º) Continuidade do elemento: Sempre que possível, escolher um 
elemento de primeira ordem que seja contínuo ao longo da figura a 
ser integrada:
Para o elemento escolhido ao lado, há a 
necessidade de se dividir a integral em 
duas parcelas, ou seja, o elemento não é
contínuo ao longo de toda figura.
Para este exemplo, a escolha do elemento 
na figura ao lado é a mais apropriada.
4.4. Centróides e Centros de Massa – determinação por integração (cont.)
3º) Coordenadas do Centróide do Elemento: Ao se escolher um 
elemento infinitesimal de 1ª ordem, faz-se necessário usar suas 
coordenadas do centróide para determinação dos momentos 
estáticos infinitesimais de área, por exemplo:
Para figura ao lado, os momentos estáticos 
infinitesimais de área são dados por:
x c
y c
dQ y dA
dQ x dA
=
=
Para o sólido ao lado, temos que:
2
0
2
0
2
2
h
c
h
c
rzdV z dz
rxdV x dz
π
π
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫
∫ ∫
h
Lembrando que: ( )r f z=
4.4. Centróides e Centros de Massa – determinação por integração (cont.)
Exemplo 1: Determinar as coordenadas do centróide do tronco de cone abaixo:
4.4. Centróides e Centros de Massa – determinação por integração (cont.)
Exemplo 2: Determinar as coordenadas do centróide para o retângulo e o triângulo 
abaixo:
x
y
h
b
4.4. Centróides e Centros de Massa – determinação por integração (cont.)
a
x
y
h
b
Exemplo 3: Uma placa de aço tem 10 mm de espessura e densidade de 7850 
kg/m3. Determine a massa da placa, bem como a localização do centro de massa. 
Calcule também as reações nos apoios.
4.4. Centróides e Centros de Massa – determinação por integração (cont.)