Cap_04_5a_aula_FORÇAS DISTRIBUÍDAS (distância)

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Considere a placa de largura “b”, porém curva, totalmente submersa no líquido (ver fig. 01):
4.9. Superfícies Curvas
A determinação da resultante R, como também o 
seu centro pressão (P) é um tanto mais complexa 
do que o caso anterior (placa retangular). Na Fig. 
02, é mostrada de forma esquemática a 
distribuição de pressões ao longo comprimento da 
placa. Observe que a direção da força infinitesimal 
“dF” muda ao longo do comprimento. Sendo assim 
para encontrarmos a resultante, temos que:
Fig. 01
Fig. 02
dF
( ) ( )d bpdy bpdx= = +∫ ∫ ∫R F i j
( ) ( )X Yd dF dF bpdy bpdx= + = +F i j i j
Onde:
Logo, as componentes de R são dadas por:
;X YR b pdy R b pdx= =∫ ∫
Para a posição da resultante, temos que considerar novamente o princípio dos momentos, 
porém agora na forma vetorial, pois o sistema de forças não é mais paralelo, ou seja:
4.9. Superfícies Curvas (cont.)
dF
R
x
y
Pr
r
P
Na Fig. 03, são marcados os vetores posição da resultante 
(ponto “P”) e o vetor posição de uma força infinitesimal 
genérica. Dessa forma, temos:
Fig. 03
( ),x y ; P X Yx y P P= + = +r i j r i j
O Momento infinitesimal da força “dF” em relação à origem dos 
eixos coordenados é dado por:
[ ] ( ) ( )
( ) ( ) ( )
d d x y bpdy bpdx
d bpxdx bpydy b pxdx pydy
= × = + × +⎡ ⎤⎣ ⎦
∴ = − = −
M r F i j i j
M k k k
Pelo princípio dos momentos, sabemos que:
[ ] ( ) ( ) ( )P X Y
X Y
d P P bpdy bpdx b pxdx pydy
P pdx P pdy pxdx pydy
⎡ ⎤× = ∴ + × + = −⎣ ⎦
∴ − = −
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
r R M i j i j k
, sendo: ;Y XR Rpdy pdx
b b
= =∫ ∫
Obtém-se a equação da reta da linha de ação de R:
X Y Y XP R P R b pxdx pydy⎡ ⎤− = −⎣ ⎦∫ ∫
O Ponto “P” é dado pela interseção da equação da reta acima com a equação da curva da placa.
Felizmente, existe um outro método, bem mais simples para se determinar tanto a resultante 
R e seu ponto de pressão “P”. Vamos considerar, para tanto, o D.C.L. do bloco de líquido 
ACB acima da placa, mostrado na Fig. (4):
4.9. Superfícies Curvas (cont.)
Se observarmos bem, para se determinar R, basta aplicar as 
equações de equilíbrio no DCL ao lado. Sendo H a resultante 
das pressões na lateral CB e V a força resultante das pressões 
na face AC, ambas facilmente determinadas. Além disso, W é o 
peso do fluido que está acima da placa, esse aplicado no centro 
de gravidade do volume de fluido ACB.
H
V
Fig. 04
Ex: Determine a força resultante R exercida pela água sobre a superfície cilíndrica da represa. A represa 
tem um comprimento b, normal ao plano da figura, de 30 m.
Solução por integração:
Já sabemos que as componentes da resultante R, podem ser dadas por:
Tal solução das integrais é mais fácil utilizando coordenadas polares, conforme ilustra figura abaixo:
;X YR b pdy R b pdx= =∫ ∫
( )p gh p g rsenρ ρ θ= ∴ =
E ainda: cos ;dy r d dx rsen d
Olhando para figura, temos que:
θ θ θ θ= =
Logo:
/ 2 2
2
0
/ 2 2
2 2
0
cos
2
4
X
Y
b grR b pdy b g r sen d
b grR b pdx b g r sen d
π
π
ρρ θ θ θ
π ρρ θ θ
= = =
= = =
∫ ∫
∫ ∫
Substituindo os valores numéricos, temos: ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22354,4 3696,41 4382,54X YR R R kN= + = + =
4.9. Superfícies Curvas (cont.)
Ex (continuação): 
Para determinação do ponto de pressão “P”, podemos simplificar sua obtenção simplesmente levando em 
conta que a força resultante tem sua linha de ação passando pelo centro da circunferência em “O”, 
conforme ilustrado na figura anterior e fazendo um ângulo β com a superfície da água. Já sabendo os 
valores (Rx e Ry) das componentes da resultante, temos que:
( )1 1 1 3696,41tan tan tan 57,5
2354,4
oY
X
R
R
β− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
Com isso, as coordenadas x1 e y1 da resultante R, são dadas por:
( )
( )
1
1
cos 57,5 4 0,537 2,14
57,5 4 0,843 3,37
o
o
x r m
y rsen m
= = × =
= = × =
A solução por integração é relativamente fácil nesse caso em razão da geometria da represa. Vamos 
agora considerar uma outra solução, mas simples, levando em conta o DCL do bloco d’água acima da 
superfície curva. Sendo assim, a figura abaixo mostra do DCL:
É fácil notar que se trata de um elemento com 3 forças. 
Sendo assim, temos no equilíbrio o triângulo de forças:
xP
mg R
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22354,4 3696,41
4382,54
xR P mg
R kN
= + = +
∴ =
β
4.9. Superfícies Curvas (cont.)
Considere agora placa de superfície plana com formato qualquer totalmente submersa (Fig. 05):
4.10. Superfícies Planas de qualquer formato
A força infinitesimal “dF” atuando numa profundidade “h”, 
conforme Fig 05, é dada por:
Fig. 05
dF pdA ghdAρ= =
cos
cos
Onde “dA” é faixa infinitesimal de área. A pressão não 
varia nessa faixa porque a mesma é paralela à superfície. 
A força total, isto é, a resultante R, é dada por:
R dF pdA g hdA g y dA
R g ydA
ρ ρ θ
ρ θ
= = = =
∴ =
∫ ∫ ∫ ∫
∫
Mas, lembrando que: cosydA yA R gy A ghAρ θ ρ= ⇒ = =∫
Onde: Profundidade do centro geométrico da PLACA;
Área da PLACA.
h →
A→
Para determinação do centro de pressão “P”, o princípio dos momentos é
aplicado, ou seja:
Fig. 06
ydF y ghdA yhdA
RY ydF Y Y
R ghA hA
ρ
ρ= ⇒ = = ∴ =
∫ ∫ ∫∫
, que representa justamente o centróide do volume formado pela 
distribuição de pressões sobre a placa (ver fig. 06).
Ex: Determine a força resultante R exercida sobre a extremidade semicircular do tanque d’água, bem 
como o centro de pressão.
Solução : 
4.10. Superfícies Planas de qualquer formato (cont.)
Já sabemos que: R ghAρ=
Para o semicírculo, temos:
4
3
rh π= , e ainda:
2
2
rA π=
Portanto:
2 34 2
3 2 3
r r r gR g π ρρ π= =
O centro de pressão “P”, é dado por (y=h, neste caso):
2 2 2
2
0 3
16
r
y r y dyyhdA y dA rY
R R R
π−= = = =
∫∫ ∫