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Aula_4_Atrito_Centro_Massa

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v.
Movimento Pendular Cônico
Chamamos de Força Centrípeta a 
componente da resultante que é 
responsável pelo movimento circular.
r
g
maT
mgT
amFT





sin
0cos

sin
2
2
T
r
v
mF
r
v
a
cp
r


Centro de Massa de um corpo é um ponto que se move como se toda a
massa do corpo estivesse nele concentrada e como se todas as forças
externas estivessem aplicadas sobre ele.
Centro de Massa
Para um corpo constituído de N 
partículas, o Centro de Massa é dado por 
kzjyixr cmcmcmcm
ˆˆˆ 

  





 
i
iicm rm
M
rmrm
M
r


 11
2211
onde
























i
iicm
i
iicm
i
iicm
zm
M
z
ym
M
y
xm
M
x
1
1
1
e
Centro de Massa de um corpo é um ponto que se move como se toda a 
massa do corpo estivesse nele concentrada e como se todas as forças 
externas estivessem aplicadas sobre ele.
Centro de Massa
Para duas partículas unidas por 
uma haste de comprimento d
 2211
1
xmxm
M
xcm 
 
21
2
1
1211 )(
1
mm
dm
xx
dxmxm
M
x
cm
cm



 
21
2
2
1
mm
dm
dm
M
xcm


Colocando o referencial na partícula 1 
então x1=0
Centro de Massa da molécula de água (H20).
Com mO= 16,0 uma e mH= 1,0 uma, distância entre o oxigênio e o hidrogênio de 
96,0 pm e ângulo de abertura da molécula de 104,5°.
Exemplos
Para 3 partículas, temos
M
ym
y
M
xm
x
ii
cm
ii
cm

 ,
onde
OHH
OOHHHH
cm
OHH
OOHHHH
cm
mmm
ymymym
y
mmm
xmxmxm
x






21
2211
21
2211





25,52sin1096
25,52cos1096
0
12
12
21
21
xyy
xxx
yx
HH
HH
OO
mjixrcm )
ˆ0ˆ1053,6( 12  

Centro de Massa de uma folha uniforme de madeira.
Com densidade superficial s.
Exemplos
Vamos determinar o centro de 
massa de cada parte
ss
ss


04,0
32,0
22
11
Am
Am
Onde a massa de cada parte é
my
mx
my
mx
cm
cm
cm
cm
50,0
70,0
20,0
40,0
2
2
1
1




my
mx
cm
cm
23,0
43,0


21
2211
21
2211
mm
ymym
y
mm
xmxm
x
cm
cm






Centro de Massa de um corpo é um ponto que se move como se toda a massa 
do corpo estivesse nele concentrada e como se todas as forças externas 
estivessem aplicadas sobre ele.
Centro de Massa
Para um corpo extenso com 
distribuição contínua de massa
 dmrM
rcm
 1
onde
 dmM
Se o corpo possuir simetrias geométricas, o 
centro de massa estará no centro de simetria.






 
i
iicm rm
M
r
 1
Centro de Massa de uma barra 
uniforme de comprimento L e 
densidade linear de massa λ.
Exemplos
A massa total M está distribuida ao 
longo do comprimento L, portanto a 
densidade linear de massa λ=M/L.
Para um pedaço infinitezimal dx, temos 
uma massa dm=λdx
Para o centro de massa temos
  dmixM
dmr
M
rcm
ˆ11 
 dmM
LdxdmM
LL
  
00
idxx
M
dmix
M
r
LL
cm
ˆ)
1
(ˆ
1
00
  

i
L
M
ixdx
M
r
L
cm
ˆ)
2
1
(ˆ)
1
(
2
0
  

i
L
i
L
L
rcm
ˆ
2
ˆ)
2
1
(
2
 


Centro de Massa de um anel semicircular 
uniforme de raio R e densidade linear de 
massa λ.
Exemplos
A massa total M está distribuida ao 
longo do comprimento πR, portanto a 
densidade linear de massa λ=M/ πR.
Para um pedaço infinitezimal ds, temos 
uma massa dm=λds
Mas, um pedaço ds pode ser escrito 
como Rdθ
Para o centro de massa temos
  dmjyixM
rcm )
ˆˆ(
1
RRddsdmM
LL


 
000
jRrcm
ˆ2



  dmjiRM
rcm )
ˆsinˆ(cos
1 
 


0
)ˆsinˆ(cos
1
RdjiR
M
rcm

 


0
2
)ˆsinˆ(cos dji
M
R
rcm

)ˆˆ( cossin
00
ji
R
rcm   

  dmRM
dmr
M
rcm
 11
Podemos decompor o movimento de um corpo como o movimento
do Centro de Massa mais o movimento individual das partículas
constituintes em relação ao Centro de Massa.
Movimento do Centro de Massa
Mas, da terceira Lei de Newton, as forças 
internas aparecem aos pares e se cancelam.






 
i
iicm rm
M
r
 1
cm
i
ii
i
i
i
cm vvm
Mdt
rd
m
Mdt
rd 













 
11derivando
derivando
cm
i
ii
i
i
i
cm aam
Mdt
vd
m
Mdt
vd 













 
11












 
i
i
i
iicm F
M
am
M
a
 11






 
i
i
i
icm ext
FF
M
a

int
1
 
i
Ricm extext
F
M
F
M
a
 11
O Centro de Massa de um sistema se move 
como uma partícula pontual com a massa total 
do sistema, sob a influência da força externa 
resultante que atua sobre o sistema.
Um projétil é disparado em uma trajetória que o faria pousar 56 m 
adiante. Ele explode no topo da trajetória, partindo-se em dois pedaços 
iguais. Um dos fragmentos tem velocidade nula. Onde aterriza o outro 
pedaço?
Exemplos
X2= 84 m
R
R
Rx
x
R
R
mxmxmx
xmxmMx
cm
cm
2
3
2
2
2
2
2
2
2
21
2211




Pedro (80 kg) e Davi (120 kg) estão em um barco de massa 60 kg. Davi está na 
proa e Pedro na popa, a 2,0 m de Davi. O barco está em repouso e ele trocam 
de lugar. De quanto o barco se move, devido à troca de lugares?
Exemplos
1111 bbddppcm xmxmxmMx 
Situação inicial
Situação final
2222 bbddppcm xmxmxmMx 
bbddppcm xmxmxmxM 
Supondo que o barco se moveu d
L
mmm
mm
d
bpd
pd



dmLdmLdm bdp  )()(0
md 31,0