Aula_4_Atrito_Centro_Massa

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Física I 
2º Semestre de 2013
Instituto de Física- Universidade de São Paulo
Aula – 4 Forças Atrito e Centro de Massa
Professor: Valdir Guimarães
E-mail: valdir.guimaraes@usp.br 
Fone: 3091.7104
Atrito
Atrito
Objetos comuns que parecem lisos, são ásperos e corrugados em
escala atômica. Quando as superfícies entram em contato, elas se
tocam apenas nas saliências (asperezas). Assim, apenas algumas
moléculas de sua superfície interagem quimicamente (atração
eletromagnética) com as moléculas do corpo vizinho. Essas interações
são responsáveis pelas forças de atrito.
 Atrito estático é a força de atrito que atua quando não existe 
deslizamento entre as duas superfícies em contato.
 Ele se opõe ao movimento relativo entre as superfícies.
 É proporcional às forças que pressionam as duas superfícies entre si.
Atrito Estático
nee Ff max
μe é o coeficiente 
de atrito estático
ef

ef

NF

P

Fe_max é um limite superior para a força de atrito estático.
Além deste limite, as interações químicas se rompem,
permitindo o movimento relativo entre as superfícies.
A orientação da força de atrito 
estático é tal que se opõe à 
tendência dos deslizamentos.
Atrito Estático
nee Ff 
μe é o coeficiente 
de atrito estático
Se o esforço entre as superfícies for alto, pode
haver movimento relativo. Nestas circunstâncias
haverá um atrito entre as superfícies, chamado de
atrito cinético (de deslizamento) que se opõe ao
movimento.
Este atrito é também proporcional às forças de
interação entre as superfícies.
A orientação da força de atrito
é tal que se opõe à tendência
dos deslizamentos.
Atrito Cinético
ncc Ff 
μc é o coeficiente 
de atrito cinético
ec  
Atrito Estático e Cinético
ec  
Os materiais reais (pneus e estradas) estão 
continuamente se deformando, o que gera calor e 
portanto dissipação de energia. Assim, existe uma 
força de atrito de rolamento, que se opõe ao 
movimento e depende da dissipação de energia.
Valores típicos para μr são de 0,01 a 
0,02 entre pneus de borracha e 
concreto e 0,001 e 0,002 entre 
rodas de aço e trilhos de aço.
Atrito de Rolamento
ecr  
nrr Ff 
μr é o coeficiente de 
atrito de rolamento
Forças de atrito de rolamento são 
frequentemente desprezadas.
Em um jogo de hockey, o jogador dá uma tacada no disco (massa= 0,40 kg) que
está inicialmente em repouso. O disco parte inicialmente com uma rapidez de
8,5 m/s e desliza por uma distância de 8,0 m antes de parar. Encontre o
coeficiente de atrito cinético entre o disco e o chão.
Exemplos
Direção y:
xresxc
n
rescgn
maFf
mgF
amFfFF



_
0

mgFn 
ga
mamg
maF
maf
cx
xc
xnc
xc







xgv
xgv
xavv
c
c
x





2
20
2
2
0
2
0
2
0
2
46,0c
Usando Torricelli, temos:
Direção x:
Uma moeda foi colocada sobre a capa de um livro, que está sendo aberto
progressivamente. O ângulo θmax é o ângulo que a capa forma com a
horizontal, quando a moeda começa a se mover. Encontre o coeficiente de
atrito estático entre a capa e a moeda.
Exemplos
mas:
0sin
0cos
0





mgf
mgF
amFfFF
e
n
resegn

nee Ff 
tanne Ff 
maxtan e
No limite de escorregamento
no limite quando 
a moeda começa 
a se mover 
Direção y:
Direção x:
Duas crianças estão sentadas em um trenó em repouso. Voce começa a puxá-las
por uma corda que faz um ângulo de 40° em relação à horizontal. A massa total
das crianças é 45 kg e do trenó 5 kg. Os coeficientes de atrito estático e
cinético são 0,20 e 0,15. Encontre a força de atrito entre o trenó e a neve e a
aceleração do trenó, se a tensão na corda for (a) 100 N e (b) 140 N.
Exemplos
Verificar se a condição é estática
0cos
0sin




Tf
mgTF
e
n
nee Ff 
cosmax_ Tff ee 
em x:
em y:
mgTFn  sin
0 amTfFF gn

Antes de se mover 
no limite quando 
começa a se mover 
Para T= 100 N
NTfe 77cos  
NfmgTF eene 85)sin( max_   nee
Ff 
Para T= 140 N
NTfe 107cos  
nee Ff 
cosTfe 
mgTFn  sin
2/64.0
50
75107cos
cos
sm
m
fT
a
maTf
cin
cin








NFf nccin 75 
Temos que considerar atrito cinético
Antes de se mover 
NfmgTF eene 80)sin( max_  
0cos  Tfe
Na figura abaixo, o bloco m2 =5,0 kg está ajustado para que o bloco m1 =7,0kg esteja
na iminência de escorregar.
(a) Qual é o coeficiente de atrito estático entre a mesa e o bloco?
(b) (b) Com um pequeno toque, os blocos se movem. Encontre a aceleração, sabendo que
o coeficiente de atrito cinético entre bloco e mesa é de 0,54.
Exemplos
0
01


Tf
gmF
e
n
nee Ff 
(a) Condição estática
71,0
1
2 
m
m
e
gmf
gmF
e
n
2
1


No limite de escorregamento
02 Tgm
em x:
em y:
Bloco 1
Bloco 2
ncc Ff 
(b) Em movimento
2
21
12 /0,1 smg
mm
mm
a c 




amgmT 22 
amTf
gmF
c
n
1
1 0


gmFn 1
amTgm 22 
em x:
em y:
Bloco 1
Bloco 2
ammgmgm
amamgmf
amTf
c
c
c
)( 2121
122
1




gmf cc 1
amTfc 1
amgmT 22 
Duas equações
0cos
0)0(sin




mgF
mfmgF
N
e
no limite de se mover  cosmax_ mgFff eneee 



cossin
0cossin
0sin
mgmgF
mgmgF
fmgF
e
e
e



Para bloco de m=2000 kg
e=0,40 e =52 graus
F=2,027x104 N
Se cada pessoa pode carregar 
686 N então precisamos 30 operários 
Problema da pirâmide
Quando um objeto se move através de um fluido, este exerce uma força de
arraste, que se opõe ao movimento do objeto.
A força de arraste depende da forma do objeto, das propriedades do fluido e
da rapidez do objeto em relação ao fluido.
Tipicamente a força de arraste é do tipo Fa=bv
n , onde b é uma constante.
Porém, para pequenas velocidades, n= 1.
Forças de arraste
mabvmg n 
Considere um objeto 
largado do repouso, 
caindo no ar. 
n
l
b
mg
v
/1







nv
m
b
ga 
Na medida que o objeto cai, 
sua velocidade aumenta, até 
que a aceleração se torne 
nula, atingindo uma 
velocidade limite vl.
Um para-quedista de 64 kg cai com uma rapidez terminal de 180 km/h, com seus 
braços e pernas estendidos. (a) Qual a magnitude da força de arraste, sobre o 
para-quedista? (b) Se n=2, qual é o valor de b?
Exemplos
(a) Velocidade constante
Força de arraste
NF
mgF
a
a
628

mkg
v
mg
b
bvFa
/251,0
2
2


(b) Valor de b
Naturalmente, devido à inércia, os corpos se movem em linha reta. 
Trajetórias curvas envolvem acelerações e forças centrípetas.
Vamos analisar vários casos particulares.
Para t pequeno, h é 
desprezível frente a 
2r
Movimento em Trajetória Curva
22
22222
222
)2(
2
)()(
tvhrh
rtvhhrr
rvthr



Movimento de um satélite em órbita terrestre
Considere que o satélite esteja a 200 km da 
superfície da Terra, onde o valor de g é 
próximo ao da superfície.
Se não houvesse g, a trajetória seria P1-P2. 
Devido à g, a trajetória é P1-P2’ . 2
2
22
2
1
2
t
r
v
h
tvrh








r
v
mF
r
v
a
res
2
2


Portanto,
Força centrípeta
Considere um corpo de massa m, suspenso por um fio, fazendo um 
movimento circular de raio r e com rapidez constantev.
Movimento Pendular Cônico
Chamamos de Força Centrípeta a 
componente da resultante que é 
responsável pelo movimento circular.
r
g
maT
mgT
amFT





sin
0cos

sin
2
2
T
r
v
mF
r
v
a
cp
r


Centro de Massa de um corpo é um ponto que se move como se toda a
massa do corpo estivesse nele concentrada e como se todas as forças
externas estivessem aplicadas sobre ele.
Centro de Massa
Para um corpo constituído de N 
partículas, o Centro de Massa é dado por 
kzjyixr cmcmcmcm
ˆˆˆ 

  





 
i
iicm rm
M
rmrm
M
r


 11
2211
onde
























i
iicm
i
iicm
i
iicm
zm
M
z
ym
M
y
xm
M
x
1
1
1
e
Centro de Massa de um corpo é um ponto que se move como se toda a 
massa do corpo estivesse nele concentrada e como se todas as forças 
externas estivessem aplicadas sobre ele.
Centro de Massa
Para duas partículas unidas por 
uma haste de comprimento d
 2211
1
xmxm
M
xcm 
 
21
2
1
1211 )(
1
mm
dm
xx
dxmxm
M
x
cm
cm



 
21
2
2
1
mm
dm
dm
M
xcm


Colocando o referencial na partícula 1 
então x1=0
Centro de Massa da molécula de água (H20).
Com mO= 16,0 uma e mH= 1,0 uma, distância entre o oxigênio e o hidrogênio de 
96,0 pm e ângulo de abertura da molécula de 104,5°.
Exemplos
Para 3 partículas, temos
M
ym
y
M
xm
x
ii
cm
ii
cm

 ,
onde
OHH
OOHHHH
cm
OHH
OOHHHH
cm
mmm
ymymym
y
mmm
xmxmxm
x






21
2211
21
2211





25,52sin1096
25,52cos1096
0
12
12
21
21
xyy
xxx
yx
HH
HH
OO
mjixrcm )
ˆ0ˆ1053,6( 12  

Centro de Massa de uma folha uniforme de madeira.
Com densidade superficial s.
Exemplos
Vamos determinar o centro de 
massa de cada parte
ss
ss


04,0
32,0
22
11
Am
Am
Onde a massa de cada parte é
my
mx
my
mx
cm
cm
cm
cm
50,0
70,0
20,0
40,0
2
2
1
1




my
mx
cm
cm
23,0
43,0


21
2211
21
2211
mm
ymym
y
mm
xmxm
x
cm
cm






Centro de Massa de um corpo é um ponto que se move como se toda a massa 
do corpo estivesse nele concentrada e como se todas as forças externas 
estivessem aplicadas sobre ele.
Centro de Massa
Para um corpo extenso com 
distribuição contínua de massa
 dmrM
rcm
 1
onde
 dmM
Se o corpo possuir simetrias geométricas, o 
centro de massa estará no centro de simetria.






 
i
iicm rm
M
r
 1
Centro de Massa de uma barra 
uniforme de comprimento L e 
densidade linear de massa λ.
Exemplos
A massa total M está distribuida ao 
longo do comprimento L, portanto a 
densidade linear de massa λ=M/L.
Para um pedaço infinitezimal dx, temos 
uma massa dm=λdx
Para o centro de massa temos
  dmixM
dmr
M
rcm
ˆ11 
 dmM
LdxdmM
LL
  
00
idxx
M
dmix
M
r
LL
cm
ˆ)
1
(ˆ
1
00
  

i
L
M
ixdx
M
r
L
cm
ˆ)
2
1
(ˆ)
1
(
2
0
  

i
L
i
L
L
rcm
ˆ
2
ˆ)
2
1
(
2
 


Centro de Massa de um anel semicircular 
uniforme de raio R e densidade linear de 
massa λ.
Exemplos
A massa total M está distribuida ao 
longo do comprimento πR, portanto a 
densidade linear de massa λ=M/ πR.
Para um pedaço infinitezimal ds, temos 
uma massa dm=λds
Mas, um pedaço ds pode ser escrito 
como Rdθ
Para o centro de massa temos
  dmjyixM
rcm )
ˆˆ(
1
RRddsdmM
LL


 
000
jRrcm
ˆ2



  dmjiRM
rcm )
ˆsinˆ(cos
1 
 


0
)ˆsinˆ(cos
1
RdjiR
M
rcm

 


0
2
)ˆsinˆ(cos dji
M
R
rcm

)ˆˆ( cossin
00
ji
R
rcm   

  dmRM
dmr
M
rcm
 11
Podemos decompor o movimento de um corpo como o movimento
do Centro de Massa mais o movimento individual das partículas
constituintes em relação ao Centro de Massa.
Movimento do Centro de Massa
Mas, da terceira Lei de Newton, as forças 
internas aparecem aos pares e se cancelam.






 
i
iicm rm
M
r
 1
cm
i
ii
i
i
i
cm vvm
Mdt
rd
m
Mdt
rd 













 
11derivando
derivando
cm
i
ii
i
i
i
cm aam
Mdt
vd
m
Mdt
vd 













 
11












 
i
i
i
iicm F
M
am
M
a
 11






 
i
i
i
icm ext
FF
M
a

int
1
 
i
Ricm extext
F
M
F
M
a
 11
O Centro de Massa de um sistema se move 
como uma partícula pontual com a massa total 
do sistema, sob a influência da força externa 
resultante que atua sobre o sistema.
Um projétil é disparado em uma trajetória que o faria pousar 56 m 
adiante. Ele explode no topo da trajetória, partindo-se em dois pedaços 
iguais. Um dos fragmentos tem velocidade nula. Onde aterriza o outro 
pedaço?
Exemplos
X2= 84 m
R
R
Rx
x
R
R
mxmxmx
xmxmMx
cm
cm
2
3
2
2
2
2
2
2
2
21
2211




Pedro (80 kg) e Davi (120 kg) estão em um barco de massa 60 kg. Davi está na 
proa e Pedro na popa, a 2,0 m de Davi. O barco está em repouso e ele trocam 
de lugar. De quanto o barco se move, devido à troca de lugares?
Exemplos
1111 bbddppcm xmxmxmMx 
Situação inicial
Situação final
2222 bbddppcm xmxmxmMx 
bbddppcm xmxmxmxM 
Supondo que o barco se moveu d
L
mmm
mm
d
bpd
pd



dmLdmLdm bdp  )()(0
md 31,0