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Física I 2º Semestre de 2013 Instituto de Física- Universidade de São Paulo Aula – 4 Forças Atrito e Centro de Massa Professor: Valdir Guimarães E-mail: valdir.guimaraes@usp.br Fone: 3091.7104 Atrito Atrito Objetos comuns que parecem lisos, são ásperos e corrugados em escala atômica. Quando as superfícies entram em contato, elas se tocam apenas nas saliências (asperezas). Assim, apenas algumas moléculas de sua superfície interagem quimicamente (atração eletromagnética) com as moléculas do corpo vizinho. Essas interações são responsáveis pelas forças de atrito. Atrito estático é a força de atrito que atua quando não existe deslizamento entre as duas superfícies em contato. Ele se opõe ao movimento relativo entre as superfícies. É proporcional às forças que pressionam as duas superfícies entre si. Atrito Estático nee Ff max μe é o coeficiente de atrito estático ef ef NF P Fe_max é um limite superior para a força de atrito estático. Além deste limite, as interações químicas se rompem, permitindo o movimento relativo entre as superfícies. A orientação da força de atrito estático é tal que se opõe à tendência dos deslizamentos. Atrito Estático nee Ff μe é o coeficiente de atrito estático Se o esforço entre as superfícies for alto, pode haver movimento relativo. Nestas circunstâncias haverá um atrito entre as superfícies, chamado de atrito cinético (de deslizamento) que se opõe ao movimento. Este atrito é também proporcional às forças de interação entre as superfícies. A orientação da força de atrito é tal que se opõe à tendência dos deslizamentos. Atrito Cinético ncc Ff μc é o coeficiente de atrito cinético ec Atrito Estático e Cinético ec Os materiais reais (pneus e estradas) estão continuamente se deformando, o que gera calor e portanto dissipação de energia. Assim, existe uma força de atrito de rolamento, que se opõe ao movimento e depende da dissipação de energia. Valores típicos para μr são de 0,01 a 0,02 entre pneus de borracha e concreto e 0,001 e 0,002 entre rodas de aço e trilhos de aço. Atrito de Rolamento ecr nrr Ff μr é o coeficiente de atrito de rolamento Forças de atrito de rolamento são frequentemente desprezadas. Em um jogo de hockey, o jogador dá uma tacada no disco (massa= 0,40 kg) que está inicialmente em repouso. O disco parte inicialmente com uma rapidez de 8,5 m/s e desliza por uma distância de 8,0 m antes de parar. Encontre o coeficiente de atrito cinético entre o disco e o chão. Exemplos Direção y: xresxc n rescgn maFf mgF amFfFF _ 0 mgFn ga mamg maF maf cx xc xnc xc xgv xgv xavv c c x 2 20 2 2 0 2 0 2 0 2 46,0c Usando Torricelli, temos: Direção x: Uma moeda foi colocada sobre a capa de um livro, que está sendo aberto progressivamente. O ângulo θmax é o ângulo que a capa forma com a horizontal, quando a moeda começa a se mover. Encontre o coeficiente de atrito estático entre a capa e a moeda. Exemplos mas: 0sin 0cos 0 mgf mgF amFfFF e n resegn nee Ff tanne Ff maxtan e No limite de escorregamento no limite quando a moeda começa a se mover Direção y: Direção x: Duas crianças estão sentadas em um trenó em repouso. Voce começa a puxá-las por uma corda que faz um ângulo de 40° em relação à horizontal. A massa total das crianças é 45 kg e do trenó 5 kg. Os coeficientes de atrito estático e cinético são 0,20 e 0,15. Encontre a força de atrito entre o trenó e a neve e a aceleração do trenó, se a tensão na corda for (a) 100 N e (b) 140 N. Exemplos Verificar se a condição é estática 0cos 0sin Tf mgTF e n nee Ff cosmax_ Tff ee em x: em y: mgTFn sin 0 amTfFF gn Antes de se mover no limite quando começa a se mover Para T= 100 N NTfe 77cos NfmgTF eene 85)sin( max_ nee Ff Para T= 140 N NTfe 107cos nee Ff cosTfe mgTFn sin 2/64.0 50 75107cos cos sm m fT a maTf cin cin NFf nccin 75 Temos que considerar atrito cinético Antes de se mover NfmgTF eene 80)sin( max_ 0cos Tfe Na figura abaixo, o bloco m2 =5,0 kg está ajustado para que o bloco m1 =7,0kg esteja na iminência de escorregar. (a) Qual é o coeficiente de atrito estático entre a mesa e o bloco? (b) (b) Com um pequeno toque, os blocos se movem. Encontre a aceleração, sabendo que o coeficiente de atrito cinético entre bloco e mesa é de 0,54. Exemplos 0 01 Tf gmF e n nee Ff (a) Condição estática 71,0 1 2 m m e gmf gmF e n 2 1 No limite de escorregamento 02 Tgm em x: em y: Bloco 1 Bloco 2 ncc Ff (b) Em movimento 2 21 12 /0,1 smg mm mm a c amgmT 22 amTf gmF c n 1 1 0 gmFn 1 amTgm 22 em x: em y: Bloco 1 Bloco 2 ammgmgm amamgmf amTf c c c )( 2121 122 1 gmf cc 1 amTfc 1 amgmT 22 Duas equações 0cos 0)0(sin mgF mfmgF N e no limite de se mover cosmax_ mgFff eneee cossin 0cossin 0sin mgmgF mgmgF fmgF e e e Para bloco de m=2000 kg e=0,40 e =52 graus F=2,027x104 N Se cada pessoa pode carregar 686 N então precisamos 30 operários Problema da pirâmide Quando um objeto se move através de um fluido, este exerce uma força de arraste, que se opõe ao movimento do objeto. A força de arraste depende da forma do objeto, das propriedades do fluido e da rapidez do objeto em relação ao fluido. Tipicamente a força de arraste é do tipo Fa=bv n , onde b é uma constante. Porém, para pequenas velocidades, n= 1. Forças de arraste mabvmg n Considere um objeto largado do repouso, caindo no ar. n l b mg v /1 nv m b ga Na medida que o objeto cai, sua velocidade aumenta, até que a aceleração se torne nula, atingindo uma velocidade limite vl. Um para-quedista de 64 kg cai com uma rapidez terminal de 180 km/h, com seus braços e pernas estendidos. (a) Qual a magnitude da força de arraste, sobre o para-quedista? (b) Se n=2, qual é o valor de b? Exemplos (a) Velocidade constante Força de arraste NF mgF a a 628 mkg v mg b bvFa /251,0 2 2 (b) Valor de b Naturalmente, devido à inércia, os corpos se movem em linha reta. Trajetórias curvas envolvem acelerações e forças centrípetas. Vamos analisar vários casos particulares. Para t pequeno, h é desprezível frente a 2r Movimento em Trajetória Curva 22 22222 222 )2( 2 )()( tvhrh rtvhhrr rvthr Movimento de um satélite em órbita terrestre Considere que o satélite esteja a 200 km da superfície da Terra, onde o valor de g é próximo ao da superfície. Se não houvesse g, a trajetória seria P1-P2. Devido à g, a trajetória é P1-P2’ . 2 2 22 2 1 2 t r v h tvrh r v mF r v a res 2 2 Portanto, Força centrípeta Considere um corpo de massa m, suspenso por um fio, fazendo um movimento circular de raio r e com rapidez constantev. Movimento Pendular Cônico Chamamos de Força Centrípeta a componente da resultante que é responsável pelo movimento circular. r g maT mgT amFT sin 0cos sin 2 2 T r v mF r v a cp r Centro de Massa de um corpo é um ponto que se move como se toda a massa do corpo estivesse nele concentrada e como se todas as forças externas estivessem aplicadas sobre ele. Centro de Massa Para um corpo constituído de N partículas, o Centro de Massa é dado por kzjyixr cmcmcmcm ˆˆˆ i iicm rm M rmrm M r 11 2211 onde i iicm i iicm i iicm zm M z ym M y xm M x 1 1 1 e Centro de Massa de um corpo é um ponto que se move como se toda a massa do corpo estivesse nele concentrada e como se todas as forças externas estivessem aplicadas sobre ele. Centro de Massa Para duas partículas unidas por uma haste de comprimento d 2211 1 xmxm M xcm 21 2 1 1211 )( 1 mm dm xx dxmxm M x cm cm 21 2 2 1 mm dm dm M xcm Colocando o referencial na partícula 1 então x1=0 Centro de Massa da molécula de água (H20). Com mO= 16,0 uma e mH= 1,0 uma, distância entre o oxigênio e o hidrogênio de 96,0 pm e ângulo de abertura da molécula de 104,5°. Exemplos Para 3 partículas, temos M ym y M xm x ii cm ii cm , onde OHH OOHHHH cm OHH OOHHHH cm mmm ymymym y mmm xmxmxm x 21 2211 21 2211 25,52sin1096 25,52cos1096 0 12 12 21 21 xyy xxx yx HH HH OO mjixrcm ) ˆ0ˆ1053,6( 12 Centro de Massa de uma folha uniforme de madeira. Com densidade superficial s. Exemplos Vamos determinar o centro de massa de cada parte ss ss 04,0 32,0 22 11 Am Am Onde a massa de cada parte é my mx my mx cm cm cm cm 50,0 70,0 20,0 40,0 2 2 1 1 my mx cm cm 23,0 43,0 21 2211 21 2211 mm ymym y mm xmxm x cm cm Centro de Massa de um corpo é um ponto que se move como se toda a massa do corpo estivesse nele concentrada e como se todas as forças externas estivessem aplicadas sobre ele. Centro de Massa Para um corpo extenso com distribuição contínua de massa dmrM rcm 1 onde dmM Se o corpo possuir simetrias geométricas, o centro de massa estará no centro de simetria. i iicm rm M r 1 Centro de Massa de uma barra uniforme de comprimento L e densidade linear de massa λ. Exemplos A massa total M está distribuida ao longo do comprimento L, portanto a densidade linear de massa λ=M/L. Para um pedaço infinitezimal dx, temos uma massa dm=λdx Para o centro de massa temos dmixM dmr M rcm ˆ11 dmM LdxdmM LL 00 idxx M dmix M r LL cm ˆ) 1 (ˆ 1 00 i L M ixdx M r L cm ˆ) 2 1 (ˆ) 1 ( 2 0 i L i L L rcm ˆ 2 ˆ) 2 1 ( 2 Centro de Massa de um anel semicircular uniforme de raio R e densidade linear de massa λ. Exemplos A massa total M está distribuida ao longo do comprimento πR, portanto a densidade linear de massa λ=M/ πR. Para um pedaço infinitezimal ds, temos uma massa dm=λds Mas, um pedaço ds pode ser escrito como Rdθ Para o centro de massa temos dmjyixM rcm ) ˆˆ( 1 RRddsdmM LL 000 jRrcm ˆ2 dmjiRM rcm ) ˆsinˆ(cos 1 0 )ˆsinˆ(cos 1 RdjiR M rcm 0 2 )ˆsinˆ(cos dji M R rcm )ˆˆ( cossin 00 ji R rcm dmRM dmr M rcm 11 Podemos decompor o movimento de um corpo como o movimento do Centro de Massa mais o movimento individual das partículas constituintes em relação ao Centro de Massa. Movimento do Centro de Massa Mas, da terceira Lei de Newton, as forças internas aparecem aos pares e se cancelam. i iicm rm M r 1 cm i ii i i i cm vvm Mdt rd m Mdt rd 11derivando derivando cm i ii i i i cm aam Mdt vd m Mdt vd 11 i i i iicm F M am M a 11 i i i icm ext FF M a int 1 i Ricm extext F M F M a 11 O Centro de Massa de um sistema se move como uma partícula pontual com a massa total do sistema, sob a influência da força externa resultante que atua sobre o sistema. Um projétil é disparado em uma trajetória que o faria pousar 56 m adiante. Ele explode no topo da trajetória, partindo-se em dois pedaços iguais. Um dos fragmentos tem velocidade nula. Onde aterriza o outro pedaço? Exemplos X2= 84 m R R Rx x R R mxmxmx xmxmMx cm cm 2 3 2 2 2 2 2 2 2 21 2211 Pedro (80 kg) e Davi (120 kg) estão em um barco de massa 60 kg. Davi está na proa e Pedro na popa, a 2,0 m de Davi. O barco está em repouso e ele trocam de lugar. De quanto o barco se move, devido à troca de lugares? Exemplos 1111 bbddppcm xmxmxmMx Situação inicial Situação final 2222 bbddppcm xmxmxmMx bbddppcm xmxmxmxM Supondo que o barco se moveu d L mmm mm d bpd pd dmLdmLdm bdp )()(0 md 31,0
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