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Topografia aplicada à Engenharia Civil - prof. Iran C. S. Corrêa

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de Intersecção PI=91+7,40m 
 
 Devido à impossibilidade de visualização total da curva a partir do ponto PC, sugere-
se mudança de estação nas estacas 91 e 93. 
 
1) Cálculo do Raio da Curva (R) 
mRR
D
R 098,358
'1231416,3
3600
.
3600
=
°×
==
pi
 
 
2) Cálculo do Comprimento da Tangente (T) 
mTmTtgT
I
tgRT 436,152436,55
2
'3617
098,358
2
+==
°
×=×= 
 
3) Cálculo do Comprimento da Curva (C) 
mCmCC
D
I
C 00,10500,11020
'123
'36º17
20 +==×
°
=×= 
 
4) Cálculo do ponto de curva (PC) 
mPCPCTPIPC 96,1188)44,152()40,791( +=+−+=−= 
 
5) Cálculo do ponto de tangência (PT) 
mPTPTCPCPT 96,194)00,105()96,1188( +=+++=+= 
 
 
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Departamento de Geodésia – IG/UFRGS Porto Alegre/RS 
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6) Cálculo das deflexões das cordas de 20 metros. 
'361
2
'12º3
2 202020
°=== dd
D
d 
 
7) Cálculo das deflexões fracionárias em relação aos pontos PC e PT. 
"52,35'380
20
04,8
'361
20
04,8
04,8
04,8
2004,8
°=
×°=
×=
d
d
dd
 
"48,24'09º0
20
96,1
'36º1
20
96,1
96,1
96,1
2096,1
=
×=
×=
d
d
dd
 
 
8) Elaboração da Tabela 
 
Estação Cordas (m) Deflexão Leitura Limbo Azimute da 
Tangente 
PC 88+11,96 47º30’00” 47°30’00” 
89 8,04 0°38’35,52” 48°08’35,52” 
90 20,00 1°36’ 49°44’35,52” 
91 20,00 1°36’ 51°20’35,52” 55°11’11,04” 
92 20,00 1°36’ 56°47’11,04” 
93 20,00 1°36’ 58°23’11,04” 61°35’11,04” 
94 20,00 1°36’ 63°11’11,04” 
PT 94+1,96 1,96 0°09’24,48” 63°20’35,52” 65°06’00” 
 
9) Cálculo do Azimute da Tangente nas estações 91 e 93, devido ao posicionamento do 
aparelho nestas estações. 
"04,11'11º55
)'36º1'361"52,35'380("52,35'2051
91
91
=
+°+°+°=
Aztg
Aztg
 
 
"04,11'35º61
)'361'36º1("04,11'2358
93
93
=
°++°=
Aztg
Aztg
 
 
10) Verificação dos resultados 
 
"00'06º65
)"48,24'090'361("52,35'2063
=
°+°+°=
PT
PT
Aztg
Aztg
 
 
"00'0665
'3617'3047
°=
°+°=
+=
PT
PT
PCPT
Aztg
Aztg
IAztgAztg
 
 
1.3.2 Exercícios Aplicativos 
 
1) Calcular o raio (R) de uma curva circular horizontal cujo comprimento entre as duas 
tangentes é de 450,00m e cujos azimutes das tangentes são: 
AztgPC-PI=216°32’30” à direita 
AztgPI-PT=297°50’00” à direita 
 
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2) Calcular o raio (R), o grau da curva (D) e o comprimento da Curva(C) de uma curva 
circular horizontal com as seguintes características: 
Azimute da tg inicial=37º30’00” à esquerda 
T = 419,00m 
Azimute da tg final=217°20’00” á esquerda 
 
3) Preparar a tabela para a locação de uma curva circular horizontal pelo método das 
deflexões, da qual se sabe os seguintes dados: 
Estaca do PI = 1.042+5,40m 
I = 16º à direita 
D = 2°30’ 
Azimute da tangente inicial = 136°50’ 
Usar um ponto de mudança na estaca 1042 
 
 
1.4 Curvas Circular Horizontal de Transição 
 
 Quando um veículo passa de um alinhamento reto para um trecho curvo, surge uma 
força centrífuga que atua sobre o mesmo, tendendo a desviá-lo da trajetória que normalmente 
deveria percorrer. Este fato representa um perigo e um desconforto para o usuário da estrada. 
 
Interessa ao Engenheiro de Estradas o conhecimento de métodos que possibilite variar 
progressivamente a curvatura de uma estrada, desde zero graus até um valor constante 
correspondente à curvatura de uma curva circular horizontal. Qualquer tipo de curva que nos 
possibilite esta variação poderá ser utilizada; entretanto, as mais aplicadas são: a Clotóide, a 
Lemniscata e a Parábola Cúbica (Fig. 28). 
 
Y
X
Clotóide
Lemniscata
Parábola Cúbica
 
Fig. 28 
 
a) Clotóide (também conhecida como Espiral de Cornu ou Radióde aos arcos) 
A clotóide ou espiral é definida por: 
 2KlR =× 
onde: 
 “R” é o raio de curvatura em seu ponto genérico 
 “l” é o comprimento da curva até o ponto genérico, a contar da origem 
 
b) Lemniscata de Bernouille 
A lemniscata é definida por: 
 2KpR =× 
onde: 
 “R” é o raio de curvatura em seu ponto genérico 
 “p” é a distância polar deste ponto a origem 
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c) Parábola Cúbica 
A parábola cúbica é definida pela equação: 
 32 XKY = 
 
 Todos estes tipos de curvas têm curvatura nula na origem (isto é, raio de curvatura 
infinito), assumindo a curvatura valores crescentes com o desenvolvimento, enquanto que o 
raio de curvatura assume valores decrescentes. 
 A maior ou menor variação da curvatura depende do valor adotado para a constante 
“K”, qualquer que seja o tipo de curva de transição adotada. Essa constante é denominada 
constante característica da curva de transição. 
 
1.4.1 Espiral de Transição – Clotóide 
 
 Trata-se de uma curva horizontal colocada nas saídas das curvas horizontais circulares, 
com o intuito de fazer uma transição suave do raio infinito da reta com o raio reduzido da 
curva circular e o inverso na saída da mesma. 
 
a) Comprimento das Curvas de Transição 
 
Comprimento Mínimo – 1º Critério (Dinâmico) 
 
 Para este cálculo leva-se em consideração a velocidade (V) constante que o veículo 
percorre a curva de transição para alcançar a curva circular, a taxa de variação da aceleração 
centrípeta (Jmáx) e o raio da curva circular (RC). 
 Experimentalmente, verifica-se que a taxa de variação da aceleração centrípeta (J) não 
deve exceder ao valor de 0,6m/s3. Fixados os valores da velocidade (V) e do raio (RC) da 
curva circular, determina-se o valor do comprimento mínimo da curva de transição (Lsmin). 
 Para “V” em km/h, “RC” em m e Jmáx =0,6m/s
3, resulta: 
 
CR
V
Ls
3
min
035,0 ×
= (em metros) 
 
Comprimento Mínimo – 2º Critério (Superelevação) 
 
 A superelevação é obtida através da alteração de cota relativa entre os bordos do 
pavimento e o eixo da pista. O desnível máximo a ser mantido constante em toda a curva 
circular, deve ser alcançado gradativamente ao longo da curva de transição. Seu valor “H” 
dependa da superelevação na curva circular (e) e da largura da faixa de tráfego (lf). 
 
bordo
bordo
eixo
e
lflf
H
H
 
 
 
100
fleH
×
= 
 HLs ×= 400min 
 
 
 
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Comprimento Mínimo – 3º Critério (Tempo de Transição) 
 
 É desejável que o tempo de percurso da curva de transição não seja inferior a um valor 
mínimo, que é normalmente tomado como 2 segundos (DNER, AASHO). Fixada a 
velocidade (V), resulta, em relação a este tempo mínimo (tsmin), um comprimento