Aula_6_Conserva_energia_potencial

Prévia do material em texto

Física I
2º Semestre de 2013
Instituto de Física- Universidade de São Paulo
Aula – 5 Energia Potencial e Conservação de 
energia
Professor: Valdir Guimarães
E-mail: valdirg@if.usp.br 
Fone: 3091.7104
Energia Potencial
O trabalho está associado a transferência de energia devido a uma força.
Trabalho realizado sobre uma partícula, transfere energia cinética.
Para um sistema de corpos, parte da energia transferida pode ser 
armazenada na forma de energia potencial.
As forças externas que atuam no sistema são
produzidas pela pessoa: Força de contato das
mãos sobre o haltere, força de contato dos pés
com a Terra e a força gravitacional.
Destas forças, apenas a de contato sobre o
haltere pode produzir deslocamentos e realizar
trabalho. Como esta força é igual a P=mg (m=
massa do haltere), o trabalho é mgh.
A energia transferida para o sistema é armazenada na 
forma de energia potencial gravitacional.
Outro sistema que armazena energia é uma mola.
Se a mola é comprimida por uma força F2, a mola resiste com uma força
oposta F1. Se F1=F2 não existe variação da energia cinética. O trabalho
realizado pela força F2 é armazenado na forma de energia potencial
elástica. Como o deslocamento é no mesmo sentido da força, o trabalho
realizado pela força F2 é positivo.
 
2
1
P
P
ldFW

Energia Potencial
O trabalho está associado a transferência de energia devido a uma força.
Trabalho realizado sobre uma partícula, transfere energia cinética.
Para um sistema de corpos, parte da energia transferida pode ser 
armazenada na forma de energia potencial.
O Trabalho da força peso
Dois esquiadores partem de um mesmo ponto em uma colina e chegam na
base da colina, através de caminhos diferentes.
22
2
1
2
1
iftotal mvmvW 
Os esquiadores podem ser tomados como
partículas, portanto vale o Teorema
Trabalho-Energia Cinética.
Não depende do caminho. Apenas da altura h.
Temos a força peso e a força normal.
gntotal WWW 
0
0


n
nn
W
ldFdW

mghhmgW
yymgymgW
jyixjmglFW
ldFdW
g
ifg
gg
gg




)0(
)(
)ˆˆ(ˆ


Forças conservativas
Quando voce é transportado por um elevador até o topo de um 
edifício de altura h, o trabalho realizado pela força peso é 
WP=-mgh. 
Ao retornar ao solo o trabalho realizado pela força peso é 
WP=+mgh.
Se este movimento de subida e descida fosse feito através de 
uma escada rolante, o trabalho da força peso seria o mesmo. 
Ele independe do caminho seguido, dependendo apenas das 
posições inicial e final.
Forças que realizam trabalho que não dependem do
caminho são chamadas de Forças Conservativas.
O trabalho realizado por uma força
conservativa sobre uma partícula é
independente do caminho percorrido
pela partícula de um ponto ao outro.
Uma força é conservativa se o
trabalho que ela realiza sobre uma
partícula é zero quando a partícula
percorre qualquer caminho fechado,
retornando à posição inicial.
 
C
ldFW 0

Integral em um Caminho Fechado
 
2
1
P
P
ldFW

Trabalho
Integral em um Caminho Fechado
Calcule o trabalho realizado
sobre o caminho fechado de
uma força F=ax.
 
2
1
P
P
ldFW

 
CCCCC
ldFldFldFldFldFW

4321
4321
 
dd
C
AdxdxAidxiAxldF
0
2
0
1
2
1ˆˆ
1

 
42
4
0
2 0
ˆˆ
C
h
C
ldFjdyiAxldF

 
0
2
0
3
2
1ˆˆ
3 ddC
AdxdxAidxiAxldF

 
C
ldF 0

Este é o caso da 
força elástica
d
h
iAxF ˆ

Funções Energia Potencial
Esta propriedade pode ser usada para definir a Função
Energia Potencial U para uma força conservativa.
Ou
UldFW
P
P
 
2
1

Para um deslocamento 
infinitesimal
 
2
1
12
P
P
ldFUUU

ldFdU


Quando voce desce do topo de um edifício, o trabalho realizado pela
gravidade diminui a energia potencial do sistema. Portanto, definimos a
Função Energia Potencial U de forma que o trabalho realizado pela
força conservativa é igual à redução da Função Energia Potencial.
O trabalho realizado por uma força conservativa não
depende do caminho, mas apenas dos pontos extremos do
caminho.
Energia Potencial Gravitacional
Para a força gravitacional, temos:
Integrando, temos
jmgF ˆ

Para um deslocamento infinitesimal
 
2
1
2
1
y
y
U
U
mgdydU
ldFdU


mgdykdzjdyidxjmgdU  )ˆˆˆ()ˆ(
mgyUU  0
Energia Potencial Gravitacional 
próximo da superfície da Terra.
Genericamente
U2=mgy
U1=U0
U0 é uma constante arbitrária, a ser 
definida convenientemente.
1212 mgymgyUU 
Energia Potencial Elástica
Se voce aplica uma força sobre o bloco ao lado
e o desloca da posição x=0 até a posição x1, O
trabalho realizado pela mola é negativo.
Se voce permite que o bloco volte a posição
inicial, o trabalho da força da mola é positivo.
O trabalho total realizado pelas forças na
mola é nulo.
Integrando, temos
 
1
0
1
0
x
x
U
U
kxdxdU
ldFdU


kxdxidxikxdU  )ˆ()ˆ(
2
2
1
kxU 
U0 é uma constante arbitrária, a
ser definida convenientemente.
Podemos escolher U0= 0 (para
elongação nula da mola).
ikxF


com
UU
xx
U
x




1
1
0
0
0
0
Força mola F=-kx
2
0
2
101
2
1
2
1
kxkxUU 
Podemos definir a energia potencial elástica:
Energia Potencial 
Considere o sistema constituido pelo jogador de
basquete (m= 110kg), o aro e a Terra. Suponha
que a energia potencial do sistema seja zero
quando o jogador está no solo. Encontre a
energia potencial total quando o jogador está
dependurado no aro.
Suponha que o centro de massa do jogador
passou de 80 cm do solo, para 130 cm quando
dependurado.
A constante elástica do aro é 7,2 kN/m.
22
2
)15.0()/7200(
2
1
)50.0()/8.9()110(
2
1
mmNmsmkgU
kxmgyUUU
total
cmelgtotal


mNxmNmNmNUtotal .102,6.620.81.539
2
 
2
1
P
P
ldFUW

ldFdU


dl
dU
F 
Relação energia potencial e força 
Conservação da Energia Mecânica
Definimos a energia mecânica de um sistema como sendo a
soma da energia cinética com a energia potencial do sistema.
sistsistmec UKE 
A energia mecânica de um sistema de partículas é conservada
(Emec=constante) se o trabalho total realizado por todas as
forças externas e por todas as forças internas não-conservativas
for nulo.
ncmecext WEW 
0
0


nc
ext
W
W
0 UKEmec
para
Exemplos
Próximo à borda da laje de um prédio de 12 m
de altura, uma bola é chutada com uma
rapidez inicial de 16 m/s a um ângulo de 60°.
Desprezando a resistência do ar, encontre (a)
a altura máxima atingida pela bola e (b) sua
rapidez ao tocar o solo.
Tomamos a bola + Terra, como o sistema.
ncmecext WEW 
Como não existem forças externas ao sistema, Wext= 0. Como não existem 
forças internas não-conservativas, Wnc= 0. Portanto, a Energia Mecânica 
do sistema se conserva.
00  mecE
0 sistsistmec UKE
altolaje mecmec
EE 
altoaltolajelaje mgymvmgymv 
22
2
1
2
1
vlaje=16m/s 
ylaje=0 
valto= vlajecosθ
m
g
v
g
vv
y
lajealtolaje
alto 8,9
2
)cos1(
2
2222






solomecmec
EE
laje

solosololajelaje mgymvmgymv 
22
2
1
2
1
ylaje=0 
vlaje=16m/s 
ysolo= -12 m 
sololajesolo gyvv 2
22  smgyvv sololajesolo /222
2 
altoaltolajelaje UKUK 
solosololajelaje UKUK 
Exemplos
Umpêndulo consiste de bola de massa m
presa a um fio de comprimento L. A bola
é largada do repouso, com o fio fazendo
um ângulo θ0. Quando passa pelo ponto
inferior,
(a) qual a rapidez da bola
(b) a tensão no fio.
Despreze a resistência do ar.
ncmecext WEW 
Como não existem forças externas ao sistema, Wext= 0. A tensão no fio é
uma força interna não-conservativa, mas como esta força é perpendicular à
trajetório, Wnc=WT= 0. Portanto, a Energia Mecânica do sistema se conserva.
0 sistsistmec UKE
ifmec EEE  0
)cos1( 0 Lh
Pi
Pf U0
ffii mgymvmgymv 
22
2
1
2
1
yi=Lcosθ0, vi=0 e yf= L
)cos1(2 0
2  gLv f
)cos1(2 0 gLv f
L
v
mmamgT
f
cp
2

)]cos1(2[)( 0
2
 ggm
L
v
gmT
f
)cos23( 0mgT
No ponto final 
Rapidez final
Tensão no fio
iiff
if
KUKU
EE


Exemplos
Um bloco de massa 2kg, em uma superfície sem atrito é empurrado 30 cm
contra uma mola (K= 500N/m). O bloco é liberado e a mola se descomprime.
O bloco desliza e sobe um plano sem atrito, com ângulo de 45°. Qual é a
altura final atingida pelo bloco sobre a rampa, ao parar.
sistsistmec UKE 
Sistema: elementos da figura + Terra
ncmecext WEW 
Como não existem forças externas ao
sistema, Wext= 0. Não existem forças
internas não-conservativas, Wnc= 0. Portanto,
a Energia Mecânica do sistema se conserva.
0 mecE fi EE 
sistsistmec UKE 
2222
2
1
2
1
2
1
2
1
fffiii kxmgymvkxmgymv 
vi=0, yi=0, vf=0, e xf= 0
fi mgykx 
2
2
1
m
mg
kx
y if 51,0
2
2

fi EE 
fmolapffimolapii UUKUUK __ 
Exemplos
O carrinho em uma montanha russa parte de uma altura H. Quando ele
está entrando no loop, cai um saco de areia sobre ele, que reduz a
velocidade em 25%. Considere que o loop tem metade da altura inicial e
despreze os atritos. O carrinho conseguirá completar o loop?
ncmecext WEW 
Wext= 0 e Wnc= 0 e a Energia Mecânica 
do sistema se conserva.
2
2
21
2
1
2
1
2
1
mgymvmgymv 
2
2
2
1
4 mvRmg 
Rgv 82  Rgvv 875,075,0 22 
21 EE 
P1
P2
P3
Rgvv 875,075,0 22 
3
2
32
2
2
2
1
2
1
mgymvmgyvm 
Rmgmvvm 2
2
1
2
1 2
3
2
2 
RgRgRgv 5,04875,0 223 
0nF
32 EE 
O carrinho não completa o loop !!!
R
v
mmgF
topo
n
2

gRvtopo 
2
para completar o loop !!!
22
3 topovv 
como
P1
P2
P3
Um trenó está deslizando no plano com 
uma rapidez inicial de 4,0 m/s. Se o 
coeficiente de atrito cinético for 0,14, 
que distância o trenó percorrerá?
Wext= 0 e Wnc 0. Portanto, a Energia Mecânica do sistema não se conserva.
0 ncmecext WEW
0 mgxKWUK cnc 
0)(
2
1 22  mgxvvm cif 
2
2
1
ic vgx  m
g
v
x
c
i 8,5
2
2


mgxxfW ccnc 
Uma criança com 40 kg desce por um
escorregador de 4 m de altura, com
inclinação de 30°. O seu coeficiente de
atrito cinético é 0,35. Partindo do
repouso no topo, qual é a sua
velocidade ao chegar na base?
Wext= 0 e Wnc 0. Portanto, a 
Energia Mecânica do sistema 
não se conserva.
0 ncmecext WEW
0 atnc WUKWUK
222
2
1
)(
2
1
fif mvvvmK 
mghUUU if 
 sincos
h
mgsfW ccat 
0fU
mghUi 
0 atWUK
2
2
1
fmvK 
mghU 
 sincos
h
mgW cat 
)
sin
cos
1(22

cf ghv 
0
sin
cos
2
1 2  
h
mgmvmgh cf