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NÍVEL DE DOUTORADO / PPGECEM
ÁREA DE CONCETRAÇÃO: EDUCAÇÃO EM CIÊNCIAS E
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
LINHA DE PESQUISA: EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
DO PENSAMENTO FUNCIONAL AO CAMPO CONCEITUAL DE FUNÇÃO:
O DESENVOLVIMENTO DE UM CONCEITO
RENATO FRANCISCO MERLI
CASCAVEL –PR
2022
UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS / CCET
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO EM CIÊNCIAS E
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
NÍVEL DE DOUTORADO / PPGECEM
ÁREA DE CONCENTRAÇÃO: EDUCAÇÃO EM CIÊNCIAS E EDUCAÇÃO
MATEMÁTICA
LINHA DE PESQUISA: EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
DO PENSAMENTO FUNCIONAL AO CAMPO CONCEITUAL DE FUNÇÃO:
O DESENVOLVIMENTO DE UM CONCEITO
RENATO FRANCISCO MERLI
Tese apresentada ao Programa de Pós-
Graduação em Educação em Ciências e
Educação Matemática – PPGECEM da
Universidade Estadual do Oeste do
Paraná/UNIOESTE – Campus de Cascavel,
como requisito parcial para a obtenção do
título de Doutor em Educação em Ciências e
Educação Matemática.
Orientadora: Dra. Clélia Maria Ignatius Nogueira
Coorientador: Dr. Arthur Belford Powell
CASCAVEL – PR
2022
Cascavel, 06 de dezembro de 2022.
DEDICATÓRIA
Dedico este trabalho à minha avó que partiu
durante minha caminhada e não pôde ver o
primeiro doutor na família, também dedico
aos meus pais e especialmente à minha
esposa.
AGRADECIMENTOS
Agradeço inicialmente à minha esposa, que sempre me incentivou. Esteve
comigo em todos os momentos desse longo percurso realizado. Não há palavras para
descrever tudo o que fez e tem feito por mim. I love you to the Moon and back.
Agradeço minha família, meu pai Lauro Merli, minha mãe Rosilene Maria Merli,
minhas irmãs Rafaela Cristine Merli e Milena Venâncio Merli, por tornar isso possível.
Apesar dos percalços da vida, a formação que tive me fez estar onde estou. Obrigado
por isso.
Também queria agradecer aos meus cunhados (Márcio e Samir), minha
cunhada (Danúbia) e irmã (Rafaela), por terem me dado dois presentes, o nascimento
das minhas sobrinhas Alice e Manuela, pois elas foram, sem saber, motivos de
alegrias em alguns momentos de dor e tristeza. Agradeço à minha sogra que sempre
orou por mim e pela Ana. Obrigado.
Agradeço minha orientadora, mãe, avó, amiga, professora Clélia, sem ela, eu
jamais teria chegado até aqui. Não foram uma nem duas vezes que pensei em desistir.
Apesar de todos os problemas pessoais pelos quais ela também passava, sempre
teve tempo para me incentivar a continuar. Nos momentos mais difíceis do meu
percurso ela soube me aconselhar, me ajudar e, acima de tudo, ser compreensiva
pelo que estava passando. Jamais esquecerei de sua ajuda. Obrigado.
Agradeço meu também orientador e amigo professor Arthur, a quem lhe devo
eterna gratidão. Recebeu a mim e a minha esposa em sua casa de maneira muito
acolhedora. Me permitiu estudar e encarar uma nova etapa da minha vida. As idas às
escolas, as aulas de Pesquisa Qualitativa I e II, a participação nos projetos e as
frequentes “falas” com seus alunos e participantes das pesquisas, me fizeram crescer
demais. Agradeço também a acolhida de sua família nos momentos de celebrações,
eles foram muito reconfortantes.
Agradeço aos membros da banca, professores Carlos Vianna, Ricardo
Tassinari, Tiago Klüber e Veridiana Rezende, pela leitura atenta e rigorosa que fizeram
na qualificação e, agora na defesa. Sem seus comentários e sugestões, com certeza
eu não teria conseguido direcionar o foco da minha pesquisa. Obrigado a todos.
Faço um agradecimento especial ao meu amigo, professor Fábio Borges, a
quem agradeço o contato feito com o professor Arthur, o que possibilitou minha ida
para os Estados Unidos. Obrigado Fábio.
Agradeço também ao meu amigo e professor Tiago Klüber, que não mediu
esforços para que eu pudesse ir para os Estados Unidos, incluindo a possibilidade de
permanecer no Estados Unidos por um ano. Obrigado Tiago.
Agradeço à professora Veridiana Rezende, que além de professora da banca
sempre esteve me auxiliando ao longo dessa jornada, dando sugestões e apontando
os problemas da tese. Obrigado Veridiana, espero ter contribuído um pouco com o
seu projeto e o Grupo de Estudos e Pesquisa em Didática da Matemática (GePeDiMa).
Agradeço aos meus professores da Educação Básica ao Ensino Superior, por
todos os ensinamentos que recebi ao longo dessa trajetória. Em especial, agradeço a
alguns professores: Marli (do pré), Wilse (do primeiro ano), Alcides (do quarto ano),
Santa Mantini (professora de Matemática do Ensino Fundamental – Anos Finais),
Carlos (amigo e professor de Matemática e Física do Ensino Médio), Morgado e
Ricardo (professores de Matemática e Física do Ensino Médio), Josiane (professora
e coordenadora do Ensino Médio), Augusto (professor e coordenador do curso de
Engenharia de Controle e Automação da Universidade Federal de Santa Catarina -
UFSC), Melgarejo (professor e orientador de iniciação científica de Programação da
UFSC), Joni (orientador de iniciação científica da UFSC), Kassick (professor e
orientador do Programa Especial de Tutoria (PET) da UFSC), Magna (amiga,
professora e coordenadora do curso de Matemática da Faculdade de Apucarana -
FAP), Loreni e Marilda (amigas, professoras de estágio e didática do curso de
Matemática da FAP), Karina (amiga, professora e orientadora de iniciação científica
do curso de Matemática da FAP), Sérgio Dantas (amigo, coordenador e professor do
curso de Matemática da FAP), Deverson (professor e orientador de TCC do curso de
Matemática da FAP), Armando (professor e orientador de monitoria do curso de
tecnologias na Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR - Cornélio
Procópio), Lourdes (professora e orientadora do Mestrado da Universidade Estadual
de Londrina – UEL), César (amigo, professor e orientador do Mestrado da
Universidade Estadual do Oeste do Paraná – UNIOESTE - Toledo), Ester (professora
do Mestrado da UNIOESTE - Toledo), Márcia e Andréia (professoras do Doutorado
da UNIOESTE - Cascavel). Aos demais aqui não nominados, recebam também minha
gratidão por terem passado e marcado minha vida. Essa tese também é para vocês.
Agradeço aos meus amigos do Programa de Mestrado e Doutorado em
Educação em Ciências e Educação Matemática (PPGECEM) pelos momentos de
conversa, café, desabafos e, acima de tudo, incentivos ao longo desse processo.
Agradeço especialmente a minha irmã de orientação Franciele, que compartilhou
comigo a experiência de ser orientando da professora Clélia. Agradeço também aos
demais amigos da turma de doutorado 2018/1: Elenice, Eliane, Daniel, Elhane e
Paulo.
Agradeço aos membros do Grupo de Estudos e Pesquisa em Didática da
Matemática (GePeDiMa), com os quais tive o prazer de conviver, estudar, pesquisar,
tomar café, conversar e aprender muito. Sem o grupo, com certeza essa tese não teria
acontecido.
Agradeço aos meus amigos e pesquisadores Everaldo e Maria Alice, com quem
tive a honra de estar nos Estados Unidos, enquanto faziam seu pós-doutorado com o
professor Arthur. Obrigado pelas conversas em inglês e “só às vezes em português”,
mas acima de tudo pelo aprendizado com dois pesquisadores que admiro muito.
Agradeço pelos momentos de aprendizado e conversas com meus colegas de
doutorado das disciplinas de Pesquisa Qualitativa I e II nos Estados Unidos, Kaveh
Samiei, Tugba Altin e Kristina Micu. Também agradeço ao Anthony e ao Gary,
estudantes de Matemática e orientandos do professor Arthur. Eles me ajudaram e me
acompanharam nos projetos desenvolvidos.
Agradeço aos alunos do Brasil e ao aluno do Estados Unidos que me ajudaram
a realizar a coleta de dados para um pré-teste do meu instrumento de pesquisa à
época.
Agradeço aos- em um plano cartesiano clássico. No entanto, foram identificados
casos patológicos, como:
𝑓(𝑥) = {
1 𝑠𝑒 𝑥 é 𝑖𝑟𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙
0 𝑠𝑒 𝑥 é 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙
Equação 1
𝑓(𝑥) = {𝑠𝑒𝑛 (
1
𝑥
) 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 0
0 𝑠𝑒 𝑥 = 0
Equação 2
𝑓(𝑥) = {𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛 (
1
𝑥
) 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 0
0 𝑠𝑒 𝑥 = 0
Equação 3
Esses casos não se encaixavam nas propriedades das curvas prototípicas
definidas até então, a saber, a curva deveria: ser gerada pelo movimento de um ponto,
ser contínua, ter uma tangente, ter um comprimento, quando a curva é fechada forma
o limite completo de uma região, esta região deve ter uma área, a curva não deveria
ser uma superfície e ser formada pela intersecção de duas superfícies (CHA, 1999).
Os matemáticos do século XVIII acreditavam que uma função tem a mesma
expressão analítica por toda parte. Leonhard Euler e Joseph-Louis Lagrange
permitiam funções que possuíssem expressões diferentes em domínios diferentes.
Eles usaram o termo contínuo onde a mesma expressão se mantinha e descontínuo
37
em pontos onde a expressão mudava de forma (embora no sentido moderno a função
inteira pudesse ser contínua) (KLINE, 1972a).
A investigação das relações entre quantidades variáveis de fenômenos naturais
e a busca de ferramentas para descrever e modelar os fenômenos observados foi
fundamental para chegar ao conceito de função (KLINE, 1972a). Aliado a isso, o
desenvolvimento da álgebra simbólica e da geometria analítica por Pierre de Fermat
e Descartes, associadas à criação do cálculo por Gottfried Wilhelm Leibniz e Isaac
Newton, acelerou o processo de conceitualização da função.
Isaac Newton, desde o início de seu trabalho sobre o cálculo, utilizou o termo
fluente para representar qualquer relação entre variáveis (KLINE, 1972a). Isaac
Newton também escreveu sobre quantitas correlata e quantitas relata referindo-se a
variáveis independentes e dependentes, respectivamente. Outra contribuição
importante de Isaac Newton foram as primeiras associações das séries de potência
com o conceito de função.
Kleiner (1989) afirma que os elementos-chave para a conceitualização de
função foram a introdução das variáveis e a expressão que relacionava essas
variáveis, ou seja, a equação. Esse movimento gerou, mais tarde, um número grande
de exemplos de curvas (que até então eram potenciais funções) associadas a essas
equações. Em 1673, Gottfried Wilhelm Leibniz usou o termo função para significar
qualquer quantidade variando de ponto a ponto da curva, como subtangentes e
subnormais de uma curva (YOUSCHKEVITCH, 1976).
Em 1667, James Gregory definiu uma função como uma quantidade obtida de
outras quantidades por uma sucessão de operações algébricas ou por qualquer outra
operação imaginável, esse conceito de função se mostrou muito limitado (KLINE,
1972a).
Em 1692, Gottfried Wilhelm Leibniz introduziu a palavra função para designar
um objeto geométrico associado com uma curva, por exemplo, ele associou a
tangente como uma função de uma curva (KLEINER, 1989). O termo variável ainda era
associado com uma curva que fosse geométrica. Além disso, as palavras
coordenadas, abscissa e ordenada, no sentido técnico que têm hoje, foram
contribuições de Leibniz em 1692 (EVES, 2011).
Johann I Bernoulli em 1697 tratou de função como quantidades formadas
usando expressões algébricas e transcendentais de variáveis e constantes (KLINE,
38
1972a).
Em 1714, Gottfried Wilhelm Leibniz usou o termo função para significar
quantidades que dependem de uma variável. Em 1718, Johann I Bernoulli definiu
função de uma certa variável como uma quantidade que é composta de alguma forma
daquela variável e constantes. Essa foi a primeira definição formal de função.
Leonhard Euler, aluno de Johann I Bernoulli, mais tarde substituiu o termo quantidade
por expressão analítica (YOUSCHKEVITCH, 1976).
Em 1747, em meio a uma controvérsia gerada pelo problema das cordas
vibrantes sobre o significado de uma função e os tipos que poderiam ser aceitas, Jean
Le Rond D’Alembert resolveu o problema mostrando que o movimento das cordas
vibrantes era governado por uma equação diferencial parcial, que mais tarde passou
a ser chamada de equação da onda. Ele ainda considerava que a dependência
funcional era uma noção geométrica e que uma função não se reduzia apenas a uma
fórmula, mas estava relacionada a curvas e superfícies (MEDVEDEV, 1991).
Em 1748, Leonhard Euler, em seu livro Introductio in Alalysin Infinitorum (1748),
realizou uma abordagem inteiramente algébrica, sem qualquer tipo de figura ou curva
(KLEINER, 1989). O matemático afirmou que a Análise era a ciência das variáveis e de
suas funções. Ele definiu função como fórmula ou expressão analítica composta de
qualquer maneira daquela quantidade variável e números ou quantidades constantes
representando a relação entre variáveis. A expressão analítica envolveu as quatro
operações algébricas, raízes, exponenciais, logaritmos, trigonometria, polinômios,
séries de potências, derivadas e integrais (KLINE, 1972a). Deve-se a Euler a
representação 𝑓(𝑥) (EVES, 2011).
Euler desenvolveu a resolução das quárticas e, na teoria dos números,
contribuiu com o teorema de Euler e a função de Euler. Além disso, atribuem-se a ele,
as funções beta e gama do cálculo avançado, embora elas tenham sido prenunciadas
por Wallis. Também coube a ele a resolução de equações diferenciais lineares com
coeficientes constantes e a diferenciação entre equações diferenciais homogêneas ou
não (EVES, 2011).
Em 1753, Daniel Johann I Bernoulli desenvolveu uma nova solução para o
problema das cordas vibrantes por meio de uma função obtida pela soma de senos.
Ao encontrar uma solução diferente para o problema, muitas discussões se seguiram
para determinar que tipos de expressões analíticas poderiam ser aceitas como
39
funções. Como resultado desse debate, as expressões definidas por diferentes
intervalos foram incluídas como funções por partes.
Em 1755, Leonhard Euler estabeleceu uma definição de função, na qual os
termos fórmula e expressão analítica não aparecem. O matemático ainda classificou
as funções em algébricas e transcendentais, de modo que qualquer uma delas pode
ser expandida para uma série de potências. Ele também mostrou que funções
trigonométricas podem ser vistas como uma razão numérica e estabeleceu a relação
dos logaritmos como expoentes (KLEINER, 1989). Destaca-se que foi com Leonhard
Euler que o conceito de função se tornou principal elemento da Análise.
Em 1797, Joseph-Louis Lagrange definiu uma função de uma ou várias
variáveis como qualquer expressão útil para cálculo na qual essas variáveis entram
de qualquer maneira. Em 1806, ele definiu uma função como uma combinação de
operações que devem ser executadas em quantidades conhecidas para obter os
valores de quantidades desconhecidas, alegando que estas são devidamente apenas
o último resultado do cálculo (KLINE, 1972a).
Lagrange escreveu o livro Théorie des Fonctions Analytiques Contenant les
Principes du Calcul Différentiel (1797). O objetivo do livro era representar uma função
𝑓(𝑥) por uma série de Taylor, no qual ele definiu as derivadas 𝑓′(𝑥), 𝑓’’(𝑥) como os
coeficientes de ℎ, ℎ2/2! na expansão de Taylor do tipo 𝑓(𝑥 + ℎ) em termos de ℎ.
Também se atribui a Lagrange a notação 𝑓’(𝑥), 𝑓’’(𝑥). Ele produziu a primeira teoria
das funções de variável real e realizou grandes avanços na solução de equações
diferenciais por meio do método de variação de parâmetros (EVES, 2011).
Augustin-Louis Cauchy apresentou alguns resultados imprecisos sobre a
conceitualização de função. Ele pensou em funções como sendo definidas por
equações envolvendo números reais ou complexos, e assumiu, sem explicações, que
as funções eram contínuas. O matemático assume uma função como sendo definida
por uma expressão analítica(se for explícita) ou por uma equação ou sistema de
equações (se for implícita). Ele se difere de seus predecessores ao considerar a
possibilidade de que uma função possa ser definida apenas para uma faixa restrita da
variável independente (SMITHIES, 1997).
Entre as mais numerosas contribuições de Cauchy à Matemática avançada
encontram-se pesquisas em convergência e divergência de séries infinitas, teoria das
funções reais e complexas, equações diferenciais, determinantes, probabilidade e
40
física-Matemática (EVES, 2011).
Jean-Baptiste Joseph Fourier em 1822, deu outro passo para a evolução do
conceito de função. Ele mostrou que qualquer função definida entre um intervalo
qualquer pode ser representada por uma série de senos e cossenos. Conforme Eves
(2011), ele afirmou que uma função qualquer, não importa quão caprichosamente seja
definida no intervalo (−𝜋, 𝜋 ), pode ser representada nesse intervalo por
𝑎0
2
+ ∑ (𝑎𝑛𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥 + 𝑏𝑛𝑠𝑒𝑛𝑛𝑥)∞
𝑛=1 , onde os
coeficientes 𝑎 𝑒 𝑏 são número reais.
Equação 4
Para ele, “[...] uma função representa uma sucessão de valores ou ordenadas,
cada uma delas arbitrária. Uma infinidade de valores sendo dados à abcissa 𝑥, há um
número igual de ordenadas” (KLEINER, 1989, p. 8). Todos esses valores são numéricos
reais, positivos ou negativos ou nulos. Ele ainda supôs que esse conjunto de valores
não precisavam estar sujeitos a uma regra comum, para ele, bastava que eles se
sucedessem de qualquer maneira e que cada um deles fosse dado como uma única
quantidade (EVES, 2011).
Os matemáticos à época de Jean-Baptiste Joseph Fourier eram muito céticos
e relutaram em aceitar a solução por meio da série de senos e cossenos, o que o
obrigou a mostrar que os coeficientes da série podiam ser calculados por qualquer
função 𝑓(𝑥) e que qualquer função 𝑓(𝑥) pode ser representada pela, agora chamada,
série de Fourier. O matemático mostrou que os coeficientes de sua série podem ser
interpretados como áreas. Esse resultado “[...] elevou a expressão analítica (algébrica)
de uma função a pelo menos um pé de igualdade com sua representação geométrica
(como uma curva)” (KLEINER, 1989, p. 8).
No Quadro 1, é mostrado um resumo de como os matemáticos dos séculos
XVII e XVIII definiram função como uma quantidade, operação, fórmula, expressão ou
relação.
Quadro 1 – Noção de Função dos séculos X a meados do XIX
Ano Matemático Noção ou Definição
1000 Abû’l-Wefâ Uma razão trigonométrica de senos, cossenos e tangentes
~1300 Oresme
Taxas e razões entre grandezas que poderiam ser representadas
geometricamente
1579 Viète Identidades trigonométricas
1665 Isaac Newton Qualquer relação entre variáveis
1667 Gregory
Uma quantidade obtida de outras quantidades por uma sucessão de operações
algébricas ou por outra operação imaginável
1673
Gottfried
Wilhelm Leibniz
Qualquer quantidade variando de ponto a ponto de uma curva
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Ano Matemático Noção ou Definição
1697
Johann I
Bernoulli
Quantidades formadas usando expressões algébricas e transcendentais de
variáveis e constantes
1714
Gottfried
Wilhelm Leibniz
Quantidades que dependem de uma variável
1718
Johann I
Bernoulli
Função de uma certa variável como uma quantidade que é composta por alguns
modos vindos de variáveis e constantes
1747
Jean Le Rond
D’Alembert
A dependência funcional é uma noção geométrica. Uma função não é somente
uma fórmula, mas está relacionada a curvas e superfícies
1748 Leonhard Euler
Fórmula ou expressão analítica composta de qualquer modo por meio de uma
quantidade variável e números ou quantidades constantes que representam a
relação entre as variáveis.
1755 Leonhard Euler
Se 𝑥 denota uma quantidade variável, então todas as quantidades que
dependem de 𝑥 de qualquer modo ou são determinadas por ela são chamadas
de suas funções. Se algumas quantidades dependem de outras de tal forma
que, se estas últimas forem alteradas, as primeiras também sofrerão alterações,
então as primeiras quantidades são chamadas de funções das últimas.
1797
Joseph-Louis
Lagrange
Qualquer expressão útil para cálculo em que essas variáveis entrem de qualquer
maneira.
1806
Joseph-Louis
Lagrange
Uma combinação de operações que devem ser realizadas em quantidades
conhecidas para obter os valores de quantidades desconhecidas, e que estas
últimas são propriamente apenas o último resultado do cálculo.
1821
Augustin-Louis
Cauchy
Uma função é definida por uma expressão analítica (se for explícita) ou por uma
equação ou sistema de equações (se for implícita); ela pode ser definida apenas
para uma faixa restrita da variável independente.
1822
Jean-Baptiste
Joseph Fourier
A função 𝑓(𝑥) representa uma sucessão de valores ou ordenadas
Fonte: da pesquisa
Os matemáticos à época de Jean-Baptiste Joseph Fourier também fizeram três
questionamentos que os fizeram se debruçar sobre o conceito de função.
(a) como uma função dada por duas ou mais expressões distintas (fórmulas)
pode ser igual a uma função dada por uma única expressão (ou seja, a série
de Jean-Baptiste Joseph Fourier da função).
(b) como uma soma, ainda que infinita, de funções periódicas pode ser igual
a uma função que não precisa ser periódica (a igualdade, reconhecidamente,
está apenas em um intervalo).
(c) como uma soma de funções “suaves” como o seno e o cosseno pode ser
igual a uma função com (digamos) pontas (uma função não diferenciável), ou
pior, uma função com quebras (uma função descontínua) (KLEINER, 1993, p.
197).
A partir dessas perguntas, o significado aceito de função modificou-se durante
o século XIX para incluir funções que não eram necessariamente contínuas,
diferenciáveis ou definidas por expressões analíticas. O trabalho de Jean-Baptiste
Joseph Fourier sobre condução de calor e o debate que se seguiu sobre seus escritos
estimularam essa evolução. Em 1829, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet estudou
a série de Jean-Baptiste Joseph Fourier, e a redefiniu como uma função; “[...] 𝑦 é uma
função de uma variável 𝑥, definida no intervalo 𝑎que serviu para facilitar o
tratamento das equações diferenciais lineares. Há muitas situações em que Boole, em
seu Tratado assinalou analogias entre as propriedades do operador diferencial (e seu
inverso) e as regras da álgebra (BOYER, 1974). Boole defendia que o caráter essencial
da Matemática reside em sua forma e não em seu conteúdo (EVES, 2011).
Gottlob Frege, em 1879, definiu um número cardinal de uma dada classe, finita
ou infinita, e a classe de todas as classes que são semelhantes à classe dada (onde
por “semelhante” considera-se que os elementos das duas classes em questão podem
ser postos em correspondência biunívoca) (BOYER, 1974).
Dedekind, por volta de 1888, definiu efetivamente conjunto infinito como todo
conjunto que é equipotente a uma sua parte própria (EVES, 2011). O corte de Dedekind
no sistema de números racionais ou na construção equivalente dos números reais,
substituiu a geometria como a espinha dorsal da Análise (BOYER, 1974). Dedekind
43
também generalizou a teoria dos inteiros algébricos, ou seja, números que satisfazem
a equações polinomiais com coeficientes inteiros e primeiro coeficiente igual a um.
Tais sistemas de “inteiros”, não formam um corpo, pois faltam os inversos para a
multiplicação (BOYER, 1974).
Peano, por volta de 1889, mostrou que curvas e funções não precisavam ser
do tipo bem-comportado que até então dominava o campo da Matemática à época.
Peano, em 1890, construiu curvas contínuas que enchem o espaço, ou seja, as curvas
dadas por equações paramétricas do tipo 𝑥 = 𝑓(𝑡), 𝑦 = 𝑔(𝑡), em que 𝑓 𝑒 𝑔 são
funções reais contínuas no intervalo 0 ≤ 𝑡 ≤ 1, cujos pontos preenchem
completamente o quadrado unitário 0 ≤ 𝑥 ≤ 1,0 ≤ 𝑦 ≤ 1 (BOYER, 1974).
Lebesgue (1905, p. 143) introduz dois elementos essenciais na definição de
função, o intervalo e o domínio. Para o autor, “[…] intervalo é o conjunto de pontos
que satisfazem as condições 𝑎1 ≤ 𝑥1 ≤ 𝑏1, 𝑎2 ≤ 𝑥2 ≤ 𝑏2, … , 𝑎𝑛 ≤ 𝑥𝑛 ≤ 𝑏𝑛”. E se é
realizada uma transformação na forma:
𝑋1 = 𝑋1(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛), 𝑋2 = 𝑋2(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) e 𝑋𝑛 = 𝑋𝑛(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛), onde os
𝑋𝑖 são funções contínuas, mapeia qualquer ponto m no espaço (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛),
para um ponto M no espaço (𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛), se a qualquer ponto M
corresponder no máximo um ponto m, por definição, essa transformação fará
com que um domínio corresponda a um intervalo (LEBESGUE, 1905, p. 143-
144).
Godfrey Harold Hardy definiu uma função como uma relação entre duas
variáveis 𝑥 e 𝑦 tal que alguns valores de 𝑥 de qualquer forma correspondem a valores
de y. Nessa definição, ele não exigia que a função fosse definida para todos os valores
de 𝑥 nem associasse cada valor de 𝑥 a um único valor de 𝑦. Essa ampla definição de
função abrange mais relações do que as funções normalmente consideradas na
Matemática contemporânea (HARDY, 1908).
Felix Hausdorff estabeleceu a definição de relação como par ordenado (𝑎, 𝑏)
que era visto como {{𝑎, 1}, {𝑏, 2}}. Alguns anos depois, Kazimierz Kuratowski
desenvolveu uma definição, baseada em Hausdorff, ao entender o par ordenado como
{{𝑎, 𝑏}, {𝑎}}. “Esta definição, a qual foi importante historicamente por reduzir a teoria
das relações à teoria dos conjuntos” (SUPPES, 1972, p. 32).
Em 1917, Constantin Carathéodory definiu uma função como uma regra de
correspondência de um conjunto 𝐴 aos números reais. Para Medvedev (1991), a
definição de Carathéodory é que, a cada conjunto de pontos 𝐴 de algum conjunto ℌ
de conjuntos de pontos corresponde não um número, mas novamente algum conjunto
44
B do mesmo espaço ou de um diferente. A coleção ℌ de conjuntos de pontos em
consideração corresponde uma coleção ℑ de conjuntos 𝐵, e dizemos que ℌ é
mapeado de forma univalente em ℑ.
Kazimierz Kuratowski, em 1921, definiu uma “[…] função singular de um valor
(uma operação em definição atual) que, quando aplicada a algo como argumento,
produz certa coisa como o valor da função para esse argumento” (MEDVEDEV, 1991,
p. 28). Para Kazimierz Kuratowski, não é necessário que uma função seja aplicável a
todas as coisas possíveis como argumento, mas sim à natureza de qualquer função
pode ser aplicável a certas coisas, e quando aplicado a uma dessas coisas como
como argumento, produz um determinado valor. Assim, as coisas às quais a função é
aplicável constituem o intervalo da função (ou o intervalo de argumentos da função) e
os valores constituem o intervalo de valores da função (MEDVEDEV, 1991).
Portanto, para Kuratowski, a função em si consiste na obtenção ou
determinação de um valor de cada argumento no intervalo da função. Nesse caso, o
matemático compreende os termos “operação”, “ceder”, “determinação” como
sinônimos de “função” e, portanto, tomada como uma definição, estaria aberta à
suspeita de circularidade (MEDVEDEV, 1991).
No início do século XX, Breslich (1928) considerava a dependência a
componente mais importante do conceito de função. Além disso, o autor considerou o
reconhecimento da dependência de uma quantidade variável em outra variável
relacionada como um dos aspectos importantes do pensamento funcional. Além do
reconhecimento do caráter das relações entre as variáveis, a determinação da
natureza das relações e a possibilidade de expressar relações em símbolos
algébricos.
Em 1939, Nicolas Bourbaki definiu a função como uma regra de
correspondência entre dois conjuntos (MALIK, 1980). Ele também propôs a seguinte
definição de função em 1939:
Sejam E e F dois conjuntos, que podem ou não ser distintos. Uma relação
entre um elemento variável x de E e um elemento variável y de F é chamada
de relação funcional em y se, para todo x em E, existe um único y em F que
está na relação dada com x (KLEINER, 1989, p. 299).
Bourbaki (1957) nomeou por função uma operação, que associa a qualquer
elemento 𝑥 ∈ 𝐸 o elemento 𝑦 ∈ 𝐹 que se encontra na relação dada com 𝑥. Ele afirma
que 𝑦 é o valor da função para o elemento 𝑥, e que a função é determinada pela
45
relação funcional considerada. Bourbaki (1957) estabelece que duas relações
funcionais equivalentes determinam a mesma função.
Dizemos que tal função “toma seus valores em F” e que é “definida em (ou
em) E”, ou que é uma “função de um argumento (ou de uma variável)
percorrendo E”; mais brevemente, também dizemos que é uma aplicação de
E a F. Em vez de dizer: “Seja f uma aplicação de E a F”, diremos também:
“Seja 𝑓: 𝐸 → 𝐹 uma aplicação” (ou mesmo que “Seja 𝑓: 𝐸 → 𝐹”, se isso não
causar confusão) (BOURBAKI, 1957, p. E.R.6,§2).
Kleene (1952) reconhece uma mistura de terminologias baseadas em duas
ideias: a ideia de uma função como uma correspondência de muitos-para-um e a ideia
de uma função como uma variável 𝑦 que varia em relação a outra variável 𝑥, de modo
que o valor de 𝑦 é sempre fixado pelo valor de 𝑥. Para o autor “[...] uma função (de
valor único) 𝑓 ou 𝑓(𝑥) ou 𝑦 = 𝑓(𝑥) de uma variável 𝑥 é uma correspondência por 𝑦
que, a cada elemento 𝑥 de um conjunto 𝑋 corresponde um único elemento 𝑦 de um
conjunto 𝑌” (KLEENE, 1952, p. 32). Para ele, o conjunto 𝑋 é o intervalo da variável
independente, ou o domínio da função. A função pode ser chamada de função de 𝑋
para 𝑌 (ou uma função de um membro de 𝑋 tomando um membro de 𝑌 como valor,
ou uma operação em um membro de 𝑋 produzindo um membro de 𝑌). O intervalo da
variável dependente 𝑦 ou 𝑓(𝑥) é o subconjunto Y1 de 𝑌 compreendendo os elementos
de 𝑌 usados na correspondência, ou seja, aqueles que correspondem pela função 𝑓
a algum elemento de 𝑋. Então 𝑋 e Y1 são uma correspondência de muitos-para-um,
desde que para cada elemento 𝑥 de 𝑋 é um argumento da função ou um valor da
variável independente. O elemento correspondente de Y é o valor correspondente da
função ou da variável dependente, ou o valor da função para aquele argumento
(KLEENE, 1952).Em meados do século XX, a definição de função de Dirichlet-Bourbaki tornou-
se comum na prática Matemática, ao afirmar que uma função era qualquer
correspondência entre dois conjuntos que atribui a cada elemento no domínio
exatamente um elemento na imagem (EVEN, 1988).
A natureza arbitrária dos dois conjuntos significa que as funções não precisam
ser definidas em nenhum conjunto específico de objetos; em particular, os conjuntos
não precisam ser conjuntos de números. Os elementos dos conjuntos podem ser
números, pontos, curvas, coordenadas, funções ou permutações (FREUDENTHAL,
2002).
46
O termo arbitrário refere-se tanto ao caráter das relações entre os dois
conjuntos nos quais a função é definida quanto aos próprios conjuntos (EVEN, 1988).
As funções não precisam ser representadas por uma única ou qualquer expressão
específica. As funções também não precisam seguir nenhuma regularidade, nem
precisam ser descritas por um gráfico com qualquer forma particular.
A outra característica da definição moderna é a univalência (FREUDENTHAL,
1982). As definições anteriores apresentam características de univalência. De acordo
com Kline (1972a), a natureza univalente da função é comumente usada para ajudar
os alunos a identificar uma função, construir uma função, acompanhar os significados
dos símbolos no mesmo contexto e manter o processo inteligível.
Os matemáticos do século XIX e início do século XX definiram a função como
regras de correspondência, conforme pode ser visto no Quadro 2.
Quadro 2 – Conceito de Função a partir da segunda metade do século XIX
Ano Matemático Definição
1829
Johann Peter
Gustav Lejeune
Dirichlet
𝑦 é uma função de uma variável 𝑥, definida no intervalo 𝑎designar um objeto
48
geométrico associado a curvas por meio do movimento foi sugerida tempo depois por
Evangelista Torricelli, René Descartes, Galileu Galilei, Gottfried Wilhelm Leibniz, Isaac
Newton, etc., durante o século XVII (KLINE, 1972a).
Medvedev (1991), em seu livro, trata da teoria das funções, uma teoria nascida
no século XIX, mas gestacionada ao longo do tempo. Ela é a terceira etapa de Anders,
o mais alto grau de abstração e completude para o conceito de função propriamente
dito. Medvedev (1991) buscou nos livros à época uma breve definição para a teoria
das funções, o que ele achou foram definições vagas ou tautológicas, como a de que
a teoria das funções estuda as propriedades gerais das funções.
Nesse mesmo contexto, para tentar compreender o que se estuda na teoria das
funções, Medvedev (1991) procurou nos livros dedicados à teoria, quais eram os
conteúdos estudados. Um dos primeiros livros sobre o assunto, tinha como sumário
os seguintes conteúdos:
“Números irracionais”; “Grupos de números e pontos, seus e limites
inferiores”2; “O conceito de limite. Quantidades infinitamente pequenas e
infinitamente grandes”; “O conceito de uma função. Continuidade e
descontinuidade”; “Funções contínuas em um determinado intervalo”;
“Funções com um número infinito de descontinuidades”; “Derivados”;
“Teoremas sobre séries”; “O princípio da condensação das singularidades”;
“Funções tendo uma derivada finita definida em nenhum lugar”; “Outras
considerações relativas especialmente à existência da derivada de funções
finitas e contínuas”; “Integrais definidas (MEDVEDEV, 1991, p. 11).
Em outro livro escrito posteriormente, Medvedev (1991) afirma que cinco dos
dezoito capítulos são dedicados à teoria dos conjuntos, oito a vários tipos e classes
de funções, três à teoria da integração, um às integrais singulares, séries
trigonométricas e funções convexas e um à análise funcional elementar.
Dessa forma, Medvedev (1991) categoricamente afirma que, a necessidade de
os livros de teoria das funções trazerem a teoria de conjuntos “[…] não é coincidência,
mas é inerente à própria natureza das coisas: a teoria das funções de uma variável
real foi construída em conjunto com a teoria dos conjuntos”. Para o autor, essas duas
teorias estão relacionadas entre si, pois “[…] se considerarmos apenas a teoria de
conjuntos de pontos em espaços euclidianos e o estudo de funções em tais conjuntos,
eles são muitas vezes simplesmente identificados” (MEDVEDEV, 1991, p. 13).
Além disso, o estudo de tipos e classes de funções se torna uma componente
importante da teoria das funções. Por exemplo, funções diferenciáveis e não
diferenciáveis, contínuas, monotônicas, integráveis, mensuráveis e funções de
conjunto. A teoria das funções pode ser dividida entre outras teorias, como por
49
exemplo, a teoria das séries, que fornece ferramentas básicas para compreensão dos
estudos de funções como: duas operações sobre funções, diferenciação e integração
(MEDVEDEV, 1991).
2.1.1 Uma síntese
Nessa seção, compreendemos que, da noção de função (ou pensamento
funcional) até o conceito de função, o caminho foi longo e cheio de mudanças
epistemológicas. O gérmen da noção de função advém das primeiras relações
estabelecidas pela humanidade entre dois números, como por exemplo, o osso de
Ishango, que traz algumas marcações que sugerem um tipo de sistema numérico ou
régua de cálculo.
Um segundo estágio epistemológico da noção de função está nas tabelas
numéricas babilônicas e egípcias, como exemplo, a tábua de Plimpton 322, a qual
apresenta sequências numéricas que representavam os catetos e as hipotenusas de
triângulos retângulos. Essas relações avançaram, por meio de simples proporções ou
interpolações, as quais ajudaram tanto os mesopotâmicos quanto os gregos a
encontrarem valores aos quais eles não tiveram acesso experimentalmente.
Nesse terceiro estágio, no qual as relações entre duas grandezas eram
desenvolvidas por meio de proporções, os gregos as utilizaram para criar tabelas que
estabeleciam relações numéricas entre ângulos e as razões trigonométricas (seno,
cosseno e tangente). Nessa etapa, a relação entre números e formas era estritamente
ligada, pois as relações proporcionais remetiam de algum modo, à segmentos de reta,
círculos e polígonos. A noção de proporcionalidades diretas e inversas de tamanhos,
áreas e volumes eram bem conhecidas pelos gregos, conforme demonstrado em Os
Elementos de Euclides.
O quarto estágio corresponde ao período em que as relações começaram a
também serem estabelecidas de forma algébrica pelos árabes e hindus,
principalmente com os avanços da trigonometria. No quinto estágio, a partir do
advento da geometria analítica, a noção de função ganhou nova representação, a
forma gráfica, a qual permitiu estabelecer correspondências entre as representações
algébricas e gráficas.
O sexto estágio estabeleceu um novo marco ao transformar a noção de função
numa relação explícita, algebricamente, entre duas variáveis. A teoria das
50
proporcionalidades assegurou essa mudança ao reconhecer nas equações uma forma
de representação das funções. No sétimo estágio, com o advento da teoria de grupos
e as ideias estruturalistas, a função passou a ser tratada como uma relação entre dois
conjuntos quaisquer, extirpando, quase por completo, a noção de função como
relação entre duas grandezas. O oitavo estágio que emana do logicismo matemático,
é o estabelecimento da função como uma função proposicional. Um nono e atual
estágio é a junção do logicismo com o estruturalismo, na qual o conceito de função é
estabelecido considerando a Teoria dos Conjuntos e justificado por meio de
operações lógicas Figura 7.
Figura 7 – Nove Estágios da evolução de função
Fonte: da pesquisa
Esses estágios epistmeológicos não podem e não devem ser atribuídos a
períodos históricos específicos, pois como averiguado, alguns desses estágios se
sobrepõem e “lutam” por espaço. Isso se deve ao fato de que os matemáticos de cada
época nem sempre tinham convergências sobre o conceito de função e as situações
que levaram a essas mutações são alteradas.
Nesse contexto, estabelecer o Campo Conceitual de Função se torna algo mais
complexo e desafiador, uma vez que envolvem outras situações, outros esquemas,
outras representações.
51
Essa linha de compreensão do processo histórico de evolução do conceito de
função não é suficiente para dar conta de conceber o Campo Conceitual de Função,
uma vez que, para isso, é necessário considerar quais as situações históricas que
levaram ao desenvolvimento do conceito e, nesse caso, as situações são resolvidas
por sujeitos, que interferem no estabelecimento do conceito e ao mesmo tempo são
levados pelos conceitos já existentes. Assim, é importante compreender como se deu
a evolução do processo cognitivo dos sujeitos que estudaram e trabalharam com o
conceito de função.
2. 2 PERSPECTIVA COGNITIVA
Na perspectiva cognitiva, os textos aqui referenciados são sobre experimentos
científicos realizados com estudantes ou que trouxeram análises dos experimentos de
outros pesquisadores ou ainda de análises de textos didáticos, que buscaram
compreender o conceito de função a partir dos resultados produzidos por esses
experimentos. Essa perspectiva trata-se de pesquisas que buscam desenvolver
teorias de aprendizagem capazes de melhorar o desempenho dos estudantes e dar
condições teóricas para que os professores possam elaborar procedimentos didáticos
mais adequados. Nesse contexto, o referencial teórico utilizado pelos pesquisadores
pode não ser a Teoria dos Campos Conceituais.
Os primeiros, talvez, a se debruçar de fato sobre o ponto de vista cognitivo das
funções, tenham sido Jean Piaget e seus colaboradores. O estudo das funções, além
de preencher uma lacuna significativa na teoria dePiaget, marcou uma mudança de
ênfase do trabalho piagetiano, aliando o estruturalismo ao funcionalismo, uma vez que
o caráter estruturalista na introdução da teoria das categorias em sua arquitetura
lógica permanece em seus estudos sobre funções (BEILIN, 1992).
Piaget, Grize, Szeminska e Bang (1968) realizaram um trabalho completo sobre
a compreensão do conceito de funções com o livro Epistemologia e a Psicologia das
Funções (1968). Este livro, dividido em três partes faz um estudo inicial sobre a
constituição de funções, na sequência discute a quantificação das funções, e por fim
apresenta uma análise do estudo epistemológico de funções.
Beilin (1992) afirma que Piaget viu dois tipos de funções que também definiram
o pensamento pré-operacional, as funções preparatórias ou constitutivas e as funções
52
constituídas e posteriormente quantificadas do pensamento operacional. A
importância do pensamento funcional para Piaget, é que as relações funcionais, nas
quais consistem as ações, são a fonte tanto das operações lógico-Matemáticas quanto
da causalidade e se desenvolvem paralelamente a alguns contextos e em interação
em outros.
Piaget, Grize, Szeminska e Bang (1968) realizaram um estudo sobre o assunto
a partir de algumas hipóteses relacionadas a como as crianças aprendem a ordenar
uma série de objetos. Como resultado, os autores identificaram que os mais jovens,
quando solicitados a ordenar, o faziam em pares, mantendo a ordem a um pequeno
grupo de objetos, sem conseguir ordená-los em uma única série. Além desse estudo
de Piaget, Grize, Szeminska e Bang (1968), Wallon (1947), a partir de estudos
experimentais com crianças, percebeu que a ideia de pares é a forma mais elementar
de estruturação cognitiva.
Piaget, Grize, Szeminska e Bang (1968) afirmam que se definirmos funções
matematicamente como relações unívocas para a direita (uma ordem da esquerda
para a direita), isto é, como pares ordenados, então os pares, por mais elementares
que sejam, já constituem funções. Mas se, além disso, as funções forem
consideradas, do ponto de vista psicológico, como as expressões dos esquemas de
assimilação de ações, então as funções já estão presentes na conceituação de
qualquer ação que modifique um objeto 𝑥 em 𝑥′ ou 𝑦, constituindo assim também um
par ordenado (𝑥, 𝑥′) ou (𝑥, 𝑦). Assim, a hipótese dos autores é que as funções são a
fonte das operações e dos sistemas causais, até mesmo nos mais simples casos. Por
exemplo, modificar certo 𝑥 em 𝑦 para que este fique maior, fazer uma mudança de
cor, saindo de um estado inicial 𝑥 e indo para um estado final 𝑥’ ou 𝑦, ou ainda o
simples movimento de um objeto de lugar, saindo de uma posição 𝑥 para uma posição
𝑥’ ou 𝑦 (PIAGET, GRIZE, SZEMINSKA, BANG, 1968).
Outro experimento considerado pelos autores foi o de realizar uma substituição
de flores, uma por uma, a partir de diferentes tamanhos. Às crianças foram dados
quatro gráficos (Figura 8), cada um contendo oito posições. Em cada posição havia
flores vermelhas ou azuis, sendo elas pequenas ou grandes. Em todas as posições
superiores havia, nessa ordem, da esquerda para a direita, uma flor vermelha grande,
uma vermelha pequena, uma flor azul grande e uma azul pequena. No primeiro quadro
I, as flores são duplicadas nas posições inferiores. No quadro S, as flores das posições
53
inferiores possuem a mesma cor que as superiores, mas com tamanhos diferentes.
No quando C, as flores das posições inferiores têm o mesmo tamanho que as
superiores, mas com cores diferentes. Por fim, no quadro D, as flores inferiores e
superiores, uma a uma não possuem cor nem tamanho iguais.
Figura 8 – Experimento das Flores
Fonte: Piaget, Grize, Szeminska e Bang (1968, p. 5)
As regras, de acordo Piaget, Grize, Szeminska e Bang (1968), eram as
seguintes: sempre que a criança colocasse uma flor qualquer sobre outra flor do
mesmo tamanho e cor na posição superior do quadro I para o D, teria o direito de
receber em troca a flor correspondente encontrada na posição logo abaixo. As
crianças tiveram a chance de realizar algumas jogadas para treinar até que tivessem
compreendido suficientemente as regras do jogo. Feito isso, elas começam o
experimento real que consistia em obter, para uma determinada flor (por exemplo,
uma grande vermelha), outra flor (por exemplo, uma grande azul). No entanto, quando
o “estoque” para a troca direta está fechada (neste caso, o gráfico C), as substituições
devem ser feitas em pelo menos duas trocas (aqui, do S para o D). O teste começa
com o fechamento do gráfico D e termina com o fechamento do quadro I. Em alguns
casos, o experimento começou com a própria criança construindo os quadros e em
outros casos, após a construção, o quadro é coberto por uma tela com apenas uma
etiqueta informando a natureza da possível troca: cor, tamanho, ambos ou a
identidade.
Desse experimento, eles identificaram que as crianças, apesar de algumas
54
vezes conseguirem realizar essas composições, na maioria das vezes as faziam por
sucessivas tentativas e erros. Duas explicações possíveis é que crianças até os sete
anos de idade não conseguem compreender a transitividade instrumental e a
transitividade operatória, ou seja, para essa última, a criança não pode concluir que
𝐴(1968, p. 9)
Assim, foram realizadas quatro perguntas: 1) quais os caminhos para ir de 1 a
4, sendo que as rotas de trilhos azuis estão fechadas, 2) quais os caminhos para ir de
1 a 3, se as rotas de trilhos vermelhos estão fechadas, 3) quais os caminhos para ir
de 1 a 2 com as rotas verdes fechadas e, 4) indicar um caminho em que o ponto de
saída e chegasse fosse de 1.
Os resultados do experimento mostraram cinco tipos diferentes de erros (Figura
10): o primeiro, entre crianças de quatro a cinco anos de idade, consistia em fornecer
apenas um par determinado pela saída do ponto 1; o segundo, encontrado nas
crianças de quatro a oito anos, consistia em dar uma rota centrada no ponto de
chegada sem dar o ponto de partida; o terceiro, encontrado em crianças acima dos
seis anos de idade, tratava-se de fornecer dois pares ou dois caminhos os quais
tinham uma origem em comum, mas com pontos de chegada diferentes; o quarto,
observado entre as crianças de quatro a seis anos, era a falta de coordenação feita
56
por dois pontos de origem os quais nenhum deles convergia a um ponto de chegada
específico e, o quinto, mais frequente entre as crianças de quatro a oito anos de idade,
consistia de dois caminhos não unidos dos quais correspondia ao ponto de partida 1
com os outros correspondentes como pontos de chegada específicos.
Figura 10 – Tipos de erro no Experimento do Deslocamento
Fonte: Piaget, Grize, Szeminska e Bang (1968, p. 11)
Como no problema da substituição de flores, a criança às vezes se detém em
pares isolados antes de poder fazer composições cuja dificuldade deriva do fato de
envolverem uma espécie de transitividade intermediária entre a transitividade
instrumental e a transitividade lógica (PIAGET, GRIZE, SZEMINSKA, BANG, 1968).
De acordo com os autores, a hipótese de que as funções expressam os
caminhos para os esquemas de ações mostra ser possível encontrar estruturas
funcionais que precedem as estruturas operatórias desde que as ações possam ser
fisicamente coordenadas antes de operações extraídas das mais gerais coordenações
que são constituídas. Essa hipótese pôde ser confirmada nos dois experimentos. O
primeiro, das flores, mostra simples mudanças de posições, que é um comportamento
comum no dia a dia. O segundo, dos caminhos, envolveu mudanças de deslocamento,
que aparecem em crianças no estágio sensório-motor de forma empírica e que vão
sendo estruturadas por operações dedutivas até as crianças de oito anos de idade.
A partir desses e outros experimentos, Piaget, Grize, Szeminska e Bang (1968)
chegaram à conclusão de que, existe um modo de classificação baseado na relação
entre ações que são funcionais de duas maneiras, ou seja, como as aplicações de
esquemas de ações e como expressões de dependências, mesmo antes das
57
classificações operatórias baseadas em inclusões de classes aditivas em extensões
e em equivalências objetivas de diferentes ordens em intenção.
Nesse contexto, os autores propuseram inicialmente o estudo das funções
constitutivas que, para eles são “[...] as dependências inerentes aos esquemas de
ação em nível pré-operatório”, “[...] elas representam o ponto de origem, seja de
operações que, neste caso particular, levariam a construção de inclusão de classe de
equivalência, seja de sistema causal em nível onde a causalidade consiste em
operação atribuída ao objeto” (PIAGET, GRIZE, SZEMINSKA, BANG, 1968, p. 16). Assim,
para compreender tais funções, é necessário especificar a direção das aplicações,
sobretudo, investigar como o sujeito passa de vínculos funcionais baseados em
adequações ou dependências concretas (espaciais, causais, finalistas etc.) a classes
de equivalência baseadas em similaridades objetivas (PIAGET, GRIZE, SZEMINSKA,
BANG, 1968).
Deste modo, por meio de uma situação em que os elementos a serem
classificados pudessem ser considerados, cada um por sua vez, como instrumentos
de uma ação, classificáveis de acordo com os esquemas dessas ações, e como
objetos com propriedades diferentes, foi possível compreender a passagem das
funções constitutivas iniciais por dependências concretas, para funções constituídas
por classes de equivalência objetivas (PIAGET, GRIZE, SZEMINSKA, BANG, 1968).
Os autores entendem que a formalização do conceito de categoria pode
incorporar não apenas a composição de dois pares, mas também o próprio par (𝑎, 𝑏)
na medida em que inclui as funções (𝑎, 𝑎), (𝑎, 𝑏), (𝑏, 𝑎) e (𝑏, 𝑏). Piaget, Grize,
Szeminska e Bang (1968, p. 7) afirmam ser possível conceber a ampliação paulatina
das categorias, conduzindo das funções elementares às categorias mais complexas,
aqui consideradas como um sistema completo e reversível.
Outro aspecto que os autores estavam interessados era entender como o
sujeito passa de uma função constituída de aplicações para a equivalência de classes,
considerando a equivalência de classes a partir de inclusões hierárquicas. No estágio
I, os sujeitos compreendem a função não por equivalência, mas “por uso”, ou seja,
eles relacionam casos particulares; o que seria para os autores uma assimilação do
esquema da ação (ação esta fonte da função) (PIAGET, GRIZE, SZEMINSKA, BANG,
1968).
No estágio II, a equivalência é compreendida pelos sujeitos não mais pela
58
“ação”, mas pelas propriedades dos objetos, as similaridades entre eles. Essa
passagem pode ser compreendida como a assimilação dos 𝑥’𝑠 para o esquema da
função. Para os autores, essas assimilações são repetições, generalizações e
reconhecimentos. Tais reconhecimentos não são estáveis, assim, eles se tornam ao
mesmo tempo generalizadores e antecipadores dos conceitos. Nesse estágio o sujeito
consegue isolar uma característica comum entre os elementos ao invés de
compreender o todo; deste modo, as divisões que podem ser engendradas pelos
sujeitos não se dão por inclusões hierárquicas, mas por equivalências de pequenas
classes por meio da união individual dos elementos (PIAGET, GRIZE, SZEMINSKA, BANG,
1968).
O estágio III é momento em que os sujeitos conseguem distinguir as posições
dos elementos; eles conseguem compreender a correspondência de diversos 𝑥’𝑠 para
um único 𝑦, permitindo a eles criar partições de 𝑦 que serão aplicações diferentes. A
passagem das aplicações para a classificação ou o agrupamento de classes acontece
por meio de diferentes inclusões. Por inclusões os autores consideram a compreensão
dos sujeitos em operar com mais de uma propriedade, por exemplo, não basta o
sujeito saber aplicar todos os 𝑥′𝑠 em 𝑦′𝑠 numa correspondência de “muitos para um”,
é preciso também compreender o processo reverso de correspondência de “um para
muitos” (PIAGET, GRIZE, SZEMINSKA, BANG, 1968).
Assim, a passagem da função constituída para uma operação é um processo o
qual completa uma aplicação de “uma via” quando lhe é introduzido um sistema
reverso, o qual constitui-se a fonte para a noção de inclusões. Uma vez que o sujeito
tenha assimilado as aplicações as passagens seguintes são de aplicações para
conjuntos-quocientes e de conjuntos-quocientes para o conjunto de subconjuntos.
Essas passagens implicam na compreensão do todo para as subclasses, ou na
correspondência de “um para muitos” (PIAGET, GRIZE, SZEMINSKA, BANG, 1968).
Piaget, Grize, Szeminska e Bang (1968) observaram a passagem da função
constitutiva de uma simples aplicação para uma função constituída de
proporcionalidade. Essa passagem, para os autores é uma assimilação inicial pelo
sujeito de uma função “um por um”, um tipo de pré-proporcionalidade.
Outro ponto analisado pelos autores foi a passagem das regularidades para as
proporcionalidades. Piaget, Grize, Szeminska e Bang (1968) partem do pressuposto
que, se as funções expressam os caminhos inerentes nos esquemas de ações e que
59
constitui a origem comum das operações e a da causalidade, então deveriaser
possível, iniciar de funções de aplicação elementares até ser conceber dois modos
distintos de composição de funções distintos.
De um lado compor uma dependência funcional entre objetos e dessa forma
orientar para um sistema compreensivo de determinações físicas as quais asseguram
explicações causais. Por outro lado, por meio de coordenação das ações, o sujeito
pode chegar em composições de operações cuja natureza inerente é precisamente
expressar as principais coordenações de ações (PIAGET, GRIZE, SZEMINSKA, BANG,
1968).
Para Piaget, Grize, Szeminska e Bang (1968), o sujeito alcança as principais
estruturas operatórias, que são fechadas e reversíveis, por meio de coordenações
menos gerais cujas composições mantêm-se variáveis e abertas. Essas
coordenações podem ser expressas em termos de combinadores próprios da lógica
combinatória, ou seja, combinadores de identidade, repetição, substituição,
associação, entre outros.
A partir dessas noções, os autores afirmam que as regularidades advêm das
coordenações entre esquemas funcionais que podem ser na forma: se 𝑦 = 𝑓(𝑥) e 𝑦′ =
𝑔(𝑥′), onde 𝑔 𝑒 𝑓 são relações com certa regularidade, então existirá relações não
somente entre 𝑥 𝑒 𝑦 ou 𝑥′𝑒 𝑦′, mas também relações de relações ou composição de
funções tais como 𝑦′𝑒𝑠𝑡á 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥′como 𝑦 𝑒𝑠𝑡á 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥. Essas relações de relações se
correlacionam, mas ainda não são proporções, desde que não haja uma equivalência
entre o produto cruzado. Esse processo não proporcional é chamado de pré-
proporcionalidade por Piaget, Grize, Szeminska e Bang (1968).
Assim, a hipótese dos autores é de que essa noção de pré-proporcionalidade
resulta das composições asseguradas pelos combinadores lógicas, ou as
coordenações dos esquemas no sujeito. À medida que essa noção progride para
estruturas com um tratamento operatório, ou seja, numa forma mais regular, ela atinge
o estado de proporcionalidade. Para comprovar essa hipótese, os autores realizaram
três experimentos: 1) o primeiro para analisar as regularidades espontâneas; 2) o
segundo para analisar como correspondências de uma sequência são inicialmente
ordinais (𝑛′ = 𝑛 + 1) e passam a ser hiperordinais (𝑛′ = 𝑘𝑛, 𝑜𝑛𝑑𝑒 1em I ou 𝑥,
mas ele faz a aplicação na direção de uma única ordem e foca no limite final, assim,
ele usa 𝑦 = 𝑥 + 1, onde deveria utilizar 𝑦 = 𝑥 + 𝑘. Como resultado, ele volta para
contar os intervalos e não somente a ordem das sucessivas aplicações. O equilíbrio é
alcançado com a emergência da reversibilidade operatória quando a reconstituição
das séries retorna ao ponto de partida de modo a contar todos os intervalos tais que
o caminho que eles podem tomar na contagem é uma aplicação proativa. Portanto, é
a subordinação da função constitutiva da reversibilidade operatória que a transforma
em uma função constituída de proporcionalidade.
No terceiro experimento, cujo objetivo era entender a passagem de
correspondências seriais para proporcionalidades, foi dado aos sujeitos três peixes de
tamanhos diferentes, 5, 10 e 15 cm e dito a eles que o peixe de 10 cm comerá duas
vezes mais que o peixe de 5 cm e que o peixe de 15 cm comerá três vezes mais que
o peixe de 5 cm. No primeiro teste, as bolinhas (de comida) são representadas por 50
bolinhas iguais que são disponibilizadas para a criança. A tarefa é escolher o número
apropriado para cada peixe. No segundo teste, a comida consiste em biscoitos
representados por tiras de comprimentos variados, o problema é fazer com que as
quantidades de biscoito correspondam ao tamanho do peixe, ou seja, ao apetite do
peixe, sendo os objetos desta vez contínuos (PIAGET, GRIZE, SZEMINSKA, BANG, 1968).
Às crianças foram realizadas seis perguntas, três referentes às bolinhas e três
referentes aos biscoitos, sendo o mesmo tipo de questionamento: 1) se há uma
bolinha em frente ao peixe A (de 5 cm), quantas bolinhas serão necessárias para os
peixes B (de 10 cm) e C (de 15 cm), 2) se o peixe B recebeu quatro bolinhas, quantas
bolinhas serão necessárias para os peixes A e C, 3) se o peixe C recebeu nove
bolinhas, quantas bolinhas serão necessárias para os peixes A e B.
Piaget, Grize, Szeminska e Bang (1968) identificaram quatro estágios: 1) no
estágio I, as crianças pensavam apenas em termos de “mais” ou “menos” e aceitavam
todas as soluções, apenas se era fornecido que o peixe B tinha mais que A e C mais
que B; 2) no estágio II, os sujeitos montaram uma sequência numérica de números
inteiros, tal que a diferença 𝛼 = +1; 3) no estágio III, eles admitiram que a diferença
63
era igual a 𝑘 ± 𝑚 onde 𝑘 > 1; 4) no quarto estágio, dividido em dois subestágios, IV
A, em que uma das duas relações estava correta (AB ou BC) e IV B, na qual as duas
relações estavam corretas. Desse último experimento foi possível inferir, segundo os
autores, que a passagem de uma correspondência simples funcional para
proporcionalidade é realizada por meio de morfismos10.
Thomas (1969), em sua tese, realizou uma investigação sobre a aprendizagem
do conceito de função à sua época. O autor fez um estudo com aproximadamente 200
estudantes americanos com idades entre 11 e 13 anos. O objetivo da pesquisa era
identificar os estágios que os estudantes se encontravam em relação ao conceito de
função. Os estágios foram definidos por meio de entrevistas com professores
especialistas na área de função. Desse estudo, o autor hipotetizou cinco estágios,
conforme pode ser visto no Quadro 3.
Quadro 3 – Estágios no desenvolvimento do conceito de função
Estágio Alcance Descrição Exemplos
I Atribuições únicas
A capacidade de determinar
quando uma atribuição de
elementos de um conjunto B a
elementos de um conjunto A
determina um mapeamento de A
em B.
1. Atribuição de objetos físicos a objetos
físicos—atribuição de uma carteira para
cada aluno em uma classe.
2. Atribuição de números a objetos
físicos ou de objetos físicos a números –
atribuição de uma classificação na fila do
refeitório para cada aluno de uma classe.
3. Atribuição de números a números —
atribua a cada número inteiro seu duplo
ou quadrado; atribuir a cada par de
números inteiros a soma ou o produto
dos números.
II
Vocabulário e
símbolos
A capacidade de operar
eficientemente com o vocabulário
básico e o simbolismo das
funções.
1. O uso de setas para indicar
atribuições, com o elemento atribuído, ou
imagem, na ponta da seta.
2. Computação de imagens de
elementos no domínio de um
determinado mapeamento com regras
dadas simbolicamente com setas ou com
letras.
3. Compreensão do símbolo 𝑓: 𝐴 → 𝐵
como um nome para um mapeamento,
quando associado a uma determinada
regra de atribuição.
a. Identificação de A como domínio do
mapeamento.
b. Identificação do intervalo como um
subconjunto de B.
c. conhecimento de que 𝑓: 𝑥 → 𝑦 indica
que 𝑦 é a imagem de 𝑥; conhecimento de
que 𝑦 também pode ser denotado por
𝑓(𝑥).
III
Diagramas,
gráficos e
A capacidade de identificar uma
função em várias representações
1. Dada uma tabela de valores, um
diagrama de seta ou um gráfico linha a
10 Morfismos se referem ao mapeamento de uma estrutura Matemática a outra de forma que a estrutura
seja preservada, por exemplo, na álgebra, as transformações lineares são morfismos; na teoria dos
conjuntos são as funções e na topologia são as funções contínuas.
64
Estágio Alcance Descrição Exemplos
conjuntos de
pares ordenados
e a capacidade de traduzir de
uma representação de uma
função para outra. O
reconhecimento de que uma
função é completamente dada por
seu conjunto de pares ordenados.
linha, para determinar quando tal
exibição representa uma função.
2. Dado o gráfico de um conjunto de
pares ordenados de números reais no
plano cartesiano para determinar quando
tal gráfico representa uma função.
3. Dada uma função em uma das
representações de (1 ) − (2), para
encontrar imagens, pré-imagens (são os
valores de x associados a y, o domínio e
a imagem da função dada.
4. Dada a regra para uma função
determinar os pares ordenados da
função.
IV
Propriedades de
operações de
funções
A capacidade de realizar
operações em funções como
adição, multiplicação e
composição, e a capacidade de
reconhecer as propriedades que
essas operações podem possuir.
-
V
Propriedades
Internas de uma
função
A capacidade de determinar as
propriedades que uma função
pode possuir em relação aos
elementos em seu domínio e
imagem, e em relação à forma de
uma regra para a função. O
reconhecimento de classes de
funções que tais propriedades
definem – funções lineares e
quadráticas, funções
monotônicas, limitadas e
contínuas, projeções, dilatações,
translações e reflexões, injeções,
sobrejeções e bijeções,
isomorfismos, homomorfismos,
isometrias e similitudes.
-
Fonte: Adaptado de Thomas (1969, p. 44-46)
Dos resultados da pesquisa, Thomas (1969; 1971) concluiu que no estágio I,
os estudantes estão no estágio concreto-intuitivo, no qual eles são capazes de
executar processos associados ao conceito e função apenas por meio aritmético ou
quando as atividades são especificadas detalhadamente. No estágio II, os estudantes
estão na fase pré-conceitual, na qual eles dominam critérios básicos de função. Eles
conseguem compreender os aspectos relacionais do conceito de função, identificar
imagens, pré-imagens, conjuntos de imagens e o domínio como um conjunto de
elementos que são associados às imagens.
No estágio III, os estudantes são capazes de identificar diversos tipos de
representação do conceito de função e diferenciar o que é e não é uma função. Em
alguns casos até generalizar o conceito de função para algumas representações e
nomenclaturas. No Estágio IV, os estudantes conseguem dominar todos os conceitos
anteriores e conseguem estender o conceito de função para todas as representações
65
e, no Estágio V, realizar todas as operações envolvendo o conceito de função,
incluindo aqui o conceito de função inversa.
Um dos primeiros trabalhos encontrados sobre aplicações de experimentos
com estudantes para compreenderfunção ou conceitos relacionados foi o trabalho de
Wagner (1981), que utilizou a metodologia de conservação de Piaget para depreender
qual a compreensão dos estudantes sobre relações, incluindo aqui equações e
funções. O autor entrevistou 30 estudantes americanos na cidade de Nova York, no
Bronx, sendo metade do Middle School (nosso Ensino Fundamental – Anos Finais) e
a outra metade da High School (nosso Ensino Médio).
Foram aplicadas quatro tarefas, sendo uma de conservação de equação e três
de conservação de função. Na primeira tarefa, sobre conservação de equação foram
utilizados dois cartões. No primeiro, o pesquisador perguntou se as duas afirmações
são as mesmas (Figura 11a). Na sequência, trocando o valor de W por N (Figura 11b),
o pesquisador realizou a mesma pergunta e, na sequência, perguntou o porquê da
resposta.
Figura 11 – Conservação de Equação – Tipologia 1
Fonte: Wagner (1981, p. 109)
Na segunda tarefa, o entrevistador mostrou duas tabelas e perguntou o valor
de C, correspondente ao valor 10 em B (Figura 12a). Na sequência, trocou o valor de
C por A e realizou a mesma pergunta (Figura 12b).
66
Figura 12 – Conservação de Função - Tipologia 2
Fonte: Wagner (1981, p. 110)
Na terceira tarefa as perguntas da segunda tarefa foram as mesmas, com o
acréscimo de um valor na primeira tabela e a ocultação na segunda (Figura 13).
67
Figura 13 – Conservação de Função - Tipologia 3
Fonte: Wagner (1981, p. 111)
E a última tarefa, como nas anteriores, as perguntas foram as mesmas, com a
diferença na segunda tabela de um deslocamento na variável, conforme Figura 14.
Figura 14 – Conservação de Função - Tipologia 4
Fonte: Wagner (1981, p. 111)
Um dos resultados desse estudo indica que, compreender a noção de
68
conservação nas equações e nas funções depende da idade, do sexo e dos
conhecimentos anteriores. Outro resultado mostra a dificuldade dos estudantes em
conceberem que a mudança do símbolo de uma incógnita ou variável (trocar a letra 𝑥
por 𝑎 ou 𝑏, por exemplo) não muda o referente, ou melhor, não interfere na
conservação de uma equação ou de uma função respectivamente, e, que, a ordem
linear do alfabeto corresponde a ordem linear de um sistema numérico.
Dreyfus e Eisenberg (1982) realizaram uma pesquisa com estudantes de Israel,
buscando identificar o papel da intuição na apreensão do conceito de função. Essa
pesquisa se deu aos constatarem de investigações anteriores que as principais
dificuldades encontradas por estudantes no final do Middle School (nosso Ensino
Fundamental – anos Finais) estão relacionadas a três razões principais: 1) o conceito
de função é complexo, o que significa que ele depende de outros subconceitos
(conceitos funcionais de acordo com o autor) associados, tais como: domínio, pré-
imagem, variável, extremo e crescimento; 2) o conceito de função está entrelaçado
com outras áreas da Matemática, como a geometria e a álgebra, o que torna os níveis
do processo de abstração mais complexos, sendo necessárias estruturas mais
articuladas que envolvem outros conceitos, como: número de variáveis, tipos de
domínios e imagens (finito, discreto, contínuo) e tipos de definição (explícita, implícita
ou recursiva) e; 3) a mesma função pode ser representada por diferentes
representações: tabelas, diagrama de flechas, gráficos, fórmulas ou descrições
verbais e escritas.
Nesse contexto, eles buscaram a compreensão sobre o papel do pensamento
intuitivo na apropriação dos conceitos funcionais necessários para a conceitualização
do conceito de função. A pesquisa foi realizada em Israel, com 24 classes de
estudantes do Junior High School (nosso Ensino Médio), e foram aplicados três
questionários envolvendo questões sobre imagem, pré-imagem, crescimento,
extremos e coeficiente angular. As quatro hipóteses adotadas pelos autores foram: 1)
as intuições sobre conceitos funcionais crescem com o progresso dos alunos ao longo
das séries; 2) as intuições são independentes do sexo; 3) as intuições dos alunos de
alto nível são mais frequentemente corretas do que as dos alunos de baixo nível e; 4)
as intuições são mais frequentemente corretas em situações concretas do que em
abstratas. Os resultados apontaram que as três primeiras hipóteses estavam certas,
mas a última, mostrou-se equivocada, o que indica a possibilidade de trabalhar com o
69
pensamento intuitivo como forma de apreensão do conceito de função em situações
que também sejam abstratas.
Bergeron e Herscovics (1982), a partir de resultados de pesquisas anteriores
de Herscovics (1982) - que envolvia 10.000 crianças com idades entre 11 a 16 anos
da cidade de Chelsea, na Inglaterra, e Orton (1970) - com 72 estudantes entre 12 e
17 anos de idade da cidade de Leeds, também na Inglaterra, apresentaram um modelo
construtivista para entender a edificação da noção de função como um esquema
conceitual. Esse modelo desenvolvido pelos autores apresenta diferentes níveis de
compreensão do conceito a partir de um viés epistemológico e estruturalista.
Epistemológico porque eles entendem que o conceito é apreendido de forma gradual
ao longo do tempo e, estruturalista porque compreendem o conhecimento como algo
estruturado.
A partir dessa caracterização, Bergeron e Herscovics (1982) sugerem um
modelo para a compreensão do conceito de função. Para os autores há quatro níveis
essenciais: 1) entendimento intuitivo, 2) matematização inicial, 3) abstração e, 4)
formalização. O primeiro nível é evidenciado pelo conhecimento informal, uma espécie
de pré-conceito baseado numa percepção visual e em aproximações do conceito.
Para os autores, os estudantes do final do Ensino Fundamental devem ter adquirido
noções de variação, relação e dependência.
O segundo nível, a matematização inicial, é a posição na qual o estudante
adquire certos procedimentos a partir do conhecimento intuitivo do nível anterior. A
matematização inicial necessita de situações nas quais sejam necessárias quantificar
variações, estabelecer relações por meio de medições ou tabulações de valores
envolvendo as variáveis. Ainda nesse nível, é essencial a apresentação das diferentes
representações, como a gráfica, a algébrica. Na abstração, nível três, o estudante
mostra evidências de generalização ou a conservação de objetos matemáticos por
meio da reversibilidade de transformações. Nesse momento, é necessário distinguir a
noção de relação de função, compreender as noções de dependência e
independência, domínio e imagem.
Por último, a formalização, quarto momento, acontece quando há uso de
simbolismos matemáticos ou justificativas lógicas para as operações ou pela
descoberta de axiomas e teoremas que conceitualizem os conceitos. Nesse nível, há
a necessidade de compreensão de que o conceito de uma função engloba regras para
70
determinação de uma equação (fórmula), domínio e imagem de números reais,
correspondência entre variáveis por meio de tabelas, pares ordenados e diagramas
de flecha. Esse modelo, além de cognitivo, também pode ser encarado como didático,
uma vez que descreve o caminho pelo qual o professor pode introduzir as primeiras
noções de funções até chegar ao conceito propriamente dito de função.
Dreyfus e Vinner (1982) realizaram um experimento com 271 estudantes de
Israel, do primeiro e segundo anos do College (nossa Faculdade) que estudavam
Matemática, Física, Química, Biologia, Economia, Agricultura, Educação Tecnológica
e Design Industrial e, 36 professores de um Junior High School (nosso Ensino Médio).
Das respostas à pergunta o que é uma função? emergiu a seguinte classificação: I. A
função é qualquer correspondência entre dois conjuntos que atribui a cada elemento
do primeiro conjunto exatamente um elemento do segundo conjunto (a definição de
Dirichlet- Bourbaki). II. A função é uma relaçãomeus alunos, ex-alunos, orientados e orientados que tiveram
paciência e souberam lidar com minha ausência e às vezes falta de paciência por
conta dos afazeres do doutorado.
Agradeço aos meus colegas de trabalho da Coordenação da Matemática
(COMAT) da Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) e também aos
servidores envolvidos, que fizeram o possível para que eu pudesse sair para fazer o
Doutorado Sanduíche, em especial ao professor Ivan, coordenador à época e a
professora Barbara, diretora de pesquisa e pós-graduação, a quem devo muito, pois
sempre foram muito ágeis e prestativos com a parte burocrática.
Agradeço também aos servidores e professores da Universidade Estadual do
Oeste do Paraná que me ajudaram durante todo o percurso. Em especial aos
servidores Ailton, inicialmente, e Aroni, mais ao final, por estarem sempre atentos aos
meus pedidos e lidarem com a parte burocrática. Obrigado.
Agradeço à UTFPR por ter possibilitado que eu me afastasse por um ano para
realizar meu estágio doutoral sanduíche nos Estados Unidos.
Agradeço à RUTGERS University – Newark, New Jersey, pela oportunidade de
ter estudado e vivenciado meu doutorado sanduíche. Agradeço especialmente a
Kandi Berryman, ex-secretária do Departamento de Educação Urbana e a Maya
Sarno, orientadora de serviços internacionais, por me recepcionarem tão bem e me
ajudarem com a parte burocrática da universidade.
Por fim, agradeço à CAPES pela bolsa concedida para que eu pudesse ir ao
Estados Unidos realizar meu doutorado sanduíche.
“Função é a alma da Matemática”
Félix Klein
MERLI, R. F. Do Pensamento Funcional ao Campo Conceitual de Função: o
desenvolvimento de um conceito. 2022. 216f. Tese (Doutorado em Educação em
Ciências e Educação Matemática) - Programa de Pós-Graduação em Educação em
Ciências e Educação Matemática, Universidade Estadual do Oeste do Paraná –
UNIOESTE, Cascavel, 2022.
RESUMO
O conceito de função é essencial na Matemática, pois ela é parte constituinte de um
grande número de operações matemáticas. Por esta razão constitui parte integrante
dos currículos de Matemática de praticamente todos os países do mundo. Entretanto,
pesquisas têm mostrado que os estudantes não têm se apropriado adequadamente
deste conceito. Vários são os motivos apontados, tais como: abordagem de ensino
pautada em representações abstratas e uma falta de clareza sobre quais são os
conceitos anteriores que os estudantes precisam saber para conceitualizar o conceito
de função. O aspecto prático deixado de lado aliado à falta de uma estruturação das
situações necessárias para o ensino de função, têm levado o Grupo de Estudos e
Pesquisa em Didática da Matemática (GePeDiMa) a estabelecer o possível Campo
Conceitual de Funções e Função Afim. Nesse cenário, esta tese objetivou verificar a
existência do Campo Conceitual de Função Afim e, consequentemente de Funções;
para além dos Campos das Estruturas Aditivas e Multiplicativas, já estabelecidos por
Vergnaud. Para comprovar esta existência, foram mapeados os conceitos
organizadores, as ideias-base, as representações e situações que compõem este
Campo Conceitual. Para tal, foi realizada uma investigação bibliográfica, orientada
pela Teoria dos Campos Conceituais a respeito de funções, considerando-se três
perspectivas: histórica, cognitiva e didática. A investigação foi qualitativa, com
encaminhamentos metodológicos assegurados nos pressupostos de uma pesquisa do
tipo Estado da Arte e análises baseadas na Teoria dos Campos Conceituais. Da
perspectiva histórica, foram identificados nove estágios na evolução de pensamento
funcional até o conceito de função. A perspectiva cognitiva forneceu suporte para
identificar que as estruturas cognitivas necessárias para que o sujeito possa conceber
o conceito de função iniciam com noções de relações entre grandezas e se firmam
nas regularidades formalizadas. Da perspectiva didática, detectou-se o enfoque
algebrista no ensino de função e as dificuldades encontradas pelos alunos no que se
refere às diferentes representações. A partir desses resultados e associados ao
quarteto (situação, conceito organizador, ideia-base, representação) foi confirmada a
existência do Campo Conceitual de Funções, bem como identificou-se suas ideias-
base, a saber: dependência, generalização, regularidade e variável.
Palavras-chave: História da Matemática; Ideias-base; Conceitos organizadores;
Teoria dos Campos Conceituais.
MERLI, R. F. From Functional Thinking to the Conceptual Field of Function: the
development of a concept. 2022. 216f. Thesis (Doctorate in Science Education and
Mathematics Education) – Program of Graduation in Science Education and
Mathematics Education, Western State University of Paraná – UNIOESTE, Cascavel,
2022.
ABSTRACT
The concept of function is essential in Mathematics, as it is a constituent part of a large
number of mathematical operations. For this reason, it forms an integral part of the
Mathematics curricula of virtually all countries in the world. However, research has
shown that students have not correctly appropriated this concept. Several reasons are
given, such as: teaching approach based on abstract representations and a lack of
clarity about what are the previous concepts that students need to know to
conceptualize the concept of function. The practical aspect left aside, together with the
lack of structuring of the situations necessary for the teaching of function, have led the
Group of Studies and Research in Didactics of Mathematics (GePeDiMa) to establish
the possible Conceptual Field of Functions and Affine Function. In this scenario, this
thesis aimed to verify the existence of the Conceptual Field of Affine Function and,
consequently, of Functions; beyond the Fields of Additive and Multiplicative Structures,
already established by Vergnaud. To prove this existence, the organizing concepts,
the basic ideas, the representations, and situations that make up this Conceptual Field
were mapped. To this end, a bibliographic investigation was carried out, guided by the
Theory of Conceptual Fields regarding functions, considering three perspectives:
historical, cognitive, and didactic. The investigation was qualitative, with
methodological referrals assured in the assumptions of a State-of-the-Art research and
analyzes based on the Theory of Conceptual Fields. From a historical perspective,
nine stages in the evolution from the functional thinking to the concept of function have
been identified. The cognitive perspective provided support to identify that the cognitive
structures necessary for the subject to be able to conceive the concept of function start
with notions of relations between magnitudes and are established in formalized
regularities. Finally, from the didactic perspective, the algebraic focus on function
teaching and the difficulties encountered by students with regard to different
representations were detected. From these results and associated with the quartet
(situation, organizing concept, basic idea, representation) the existence of the
Conceptual Field of Functions was confirmed, as well as its basic ideas were identified,
namely: dependence, generalization, regularity, and variable.
Keywords: History of mathematics; Ideas-base; Organized Concepts; Theory of
Conceptual Fields.
LISTA DE QUADROS
Quadro 1 – Noção de Função dos séculos X a meados do XIX .......................................... 40
Quadro 2 – Conceito de Função a partir da segunda metade do século XIX ...................... 46
Quadro 3 – Estágios no desenvolvimento do conceito de função ....................................... 63
Quadro 4 – Componentes e estágios do conceito de função .............................................. 72
Quadro 5 – Seis categorias da definição de uma função ....................................................de dependência entre duas variáveis
(𝑦 depende de 𝑥). III. A função é uma regra de correspondência (esta concepção
elimina a possibilidade de correspondências arbitrárias). IV. A função é uma
manipulação ou uma operação (atua-se sobre um determinado número, geralmente
por meio de operações algébricas, para obter sua imagem). V. A função é uma
fórmula, um termo algébrico ou uma equação. VI. A função é identificada,
provavelmente sem sentido, com suas representações visuais ou simbólicas (o
gráfico, os símbolos “𝑦 = 𝑓(𝑥)”, etc.) (DREYFUS, VINNER, 1982, p. 14). Os autores
chamam a atenção que o conceito imagem (explicado com mais detalhes no parágrafo
seguinte) foi fator essencial para as respostas dos estudantes, pois era a partir do
conceito imagem que eles aceitavam ou rejeitavam os conceitos.
Tall e Vinner (1981) desenvolveram uma teoria sobre conceito definição e
conceito imagem. Em linhas gerais, um conceito definição é uma definição
verbal/escrita e acurada para explicar um conceito; o conceito imagem é a imagem
mental que o sujeito possui de um determinado conceito. Por exemplo, as palavras
“casa” e “laranja” são palavras que não possuem definição (portanto não possuem um
conceito definição), mas possuem um conceito imagem. Para Vinner (1983), o sujeito
adquire esse conceito imagem por meio de definições ostensivas. Assim, o termo
“floresta”, seria aprendido dizendo que “muitas e muitas árvores formam uma floresta”
e, ao visualizar muitas árvores juntas, o sujeito formaria o conceito imagem do
conceito de “floresta”.
71
Vinner (1983) realizou um experimento sobre funções com 65 estudantes do
10o grade (nosso primeiro ano do Ensino Médio) e 81 estudantes do 11o grade (nosso
segundo ano do Ensino Médio) de Jerusalém, em Israel. Aos estudantes foi realizada
a pergunta o que é função? E para a análise das respostas, o autor realizou duas
perguntas de suporte: 1) até que ponto as definições conceituais dos alunos se
adequam à definição do livro didático? 2) até que ponto o conceito definição e conceito
imagem dos alunos se encaixam com o conceito definição e a definição do livro
didático?
Assim, a partir do conceito definição e conceito imagem e, da análise das
respostas à pergunta o que é função?, o autor definiu quatro categorias: Categoria I:
A definição do livro didático às vezes está misturada com elementos da célula do
conceito imagem (para Vinner e Hershkowitz (1980), os sujeitos possuem duas células
não biológicas na estrutura cognitiva, uma para o conceito definição e outra para o
conceito imagem); Categoria II: A função é uma regra de correspondência; Categoria
III: A função é um termo algébrico, uma fórmula, uma equação, uma manipulação
aritmética etc.; Categoria IV: Alguns elementos da imagem mental são tomados como
uma definição de conceitos.
Uma das conclusões do autor, após a análise das respostas é que uma
definição e alguns exemplos não são suficientes para formar o conceito imagem; os
conceito imagem dos estudantes vinham da definição de Dirichlet-Bourbaki, sugerindo
que as grandes dificuldades dos estudantes são dadas por esse tipo de abordagem;
nesse caso, é necessário estar sempre apresentando diferentes conceito imagem.
Ricco (1982) realizou um estudo com 40 estudantes distribuídos em quatro
diferentes turmas, sendo 10 do Cours Élémentaire - CE 1 (nosso segundo ano do
Ensino Fundamental), 10 do Cours Élémentaire - CE 2 (nosso terceiro ano do Ensino
Fundamental), 10 do Cours Préparatoire - CM 1 (nosso quarto ano do Ensino
Fundamental) e 10 do Cours Préparatoire - CM2 (nosso quinto ano do Ensino
Fundamental) de diversas escolas de Paris, na França, para investigar a hierarquia
das estratégias utilizadas pelas crianças na resolução de problemas de multiplicação
e divisão, à medida que adquirem o conceito de função linear. A investigação baseou-
se na análise das diferentes classes de problemas, das tarefas específicas dadas à
criança e das estratégias que de fato elas utilizaram nas suas soluções. Os resultados
obtidos desta análise mostraram que os diferentes procedimentos utilizados pelos
72
alunos podem ser hierarquizados por níveis definidos de acordo com as propriedades,
as relações e os operadores que a noção de função linear implementa.
Essa hierarquia, que atesta as dificuldades que a criança encontra na
estruturação da noção de função, pode ser caracterizada em um sentido muito geral.
Por exemplo, uma criança, no interior dos procedimentos do xadrez utiliza certas
propriedades e relações; faz isso de forma limitada, daí o fracasso. A criança então
evolui (por e após esta falha) para a construção de um procedimento algorítmico
completo para o problema a ser tratado. Em outras palavras, o esquema de sucesso
da criança para resolução de um problema é formado, também, de procedimentos
anteriores que falharam (RICCO, 1982).
Outro aspecto identificado é que as modificações que os professores
introduzem na apresentação dos dados podem adiantar ou atrasar o sucesso. Alguns
procedimentos de sucesso na resolução da situação-problema, que são praticáveis
ao lidar com números pequenos, têm validade apenas local, porque tais
procedimentos permanecem impraticáveis ao lidar com números grandes (RICCO,
1982).
Markovits, Eylon e Bruckheimer (1986) realizaram um estudo com 400
estudantes do equivalente ao nosso nono ano, com idade entre 14 e 15 anos. Eles
admitiram que, para um estudante compreender o conceito de função, ele necessita
dominar dois estágios: o passivo – que envolve classificar, identificar etc., e o ativo -
que envolve “fazer alguma coisa”, dar exemplos etc. Assim, segundo eles, os
professores deveriam ser capazes de reconhecer nos estudantes as seguintes
componentes para cada estágio a. passivo e b. ativo (Quadro 4).
Quadro 4 – Componentes e estágios do conceito de função
Componentes
Estágios
Passivo Ativo
I
A capacidade de classificar as relações em
funções e não funções.
A capacidade de dar exemplos de relações
que são funções e de relações que não são.
II
Para uma determinada função, a
capacidade de identificar pré-imagens,
imagens e pares (pré-imagem, imagem).
A capacidade de encontrar a imagem de uma
determinada pré-imagem e vice-versa.
III
A capacidade de identificar funções
idênticas.
A capacidade de transferir de uma
representação para outra.
IV
A capacidade de identificar funções que
satisfaçam algumas restrições dadas.
A capacidade de dar exemplos de funções
que satisfaçam algumas restrições dadas
Fonte: Adaptado de Markovits, Eylon e Bruckheimer (1986)
73
A partir desse estudo, os autores chegaram a algumas conclusões: 1)
independente da natureza da questão, os estudantes tiveram dificuldades com a
função constante, a função definida por partes e a função discreta; 2) os estudantes
não se preocuparam com o domínio e a imagem se a questão não dá atenção a isso;
3) o conceito de imagem e pré-imagem não foram compreendidos nas formas
algébrica e gráfica; 4) o repertório de exemplos de funções dos estudantes é limitada;
5) a passagem da representação gráfica para a algébrica foi mais difícil que o
contrário; 6) a complexidade do uso de manipulações técnicas (algébricas, por
exemplo), atrapalharam na compreensão dos problemas; 7) utilização excessiva de
funções lineares quando era pedido algum exemplo de função; 8) as maiores
dificuldades foram encontradas nas funções definidas por partes (MARKOVITS, EYLON,
BRUCKHEIMER, 1986).
De um modo geral, os autores consideram que essas dificuldades são
principalmente decorrência dos atuais currículos de ensino de Matemática, ou seja,
aqueles em que o foco no ensino de função é dado por meio da teoria de conjuntos
ou dos pares ordenados. Diante disso, os autores sugerem trabalhar os conceitos de
função a partir de uma perspectiva histórica, a qual inicie com a noção defunção como
correspondência entre magnitudes variáveis (MARKOVITS, EYLON, BRUCKHEIMER,
1986).
Schoenfeld e Arcavi (1988), em um estudo realizado com diversos grupos,
entre eles, matemáticos, educadores matemáticos, cientistas da computação,
linguistas e logicistas, verificaram que “[...] o significado de variável é variável; usar o
termo de forma diferente em contextos diferentes pode dificultar a compreensão dos
estudantes. Como professores, devemos ser sensíveis a esse uso múltiplo”
(SCHOENFELD, ARCAVI, 1988, p. 425).
Sierpinska (1988), a partir de uma pesquisa11 cognitivista e piagetiana com
estudantes entre 15 e 17 anos de idade sobre o conceito de função, dividiu a
concepção dos estudantes em duas categorias: concreta e abstrata (Figura 15).
11 Essa pesquisa é descrita de forma mais completa em Sierpinska (1989).
74
Figura 15 – Concepções de estudantes do conceito de função
Fonte: da pesquisa
Na categoria concreta, a autora distinguiu três concepções: a) mecânica: uma
função é um deslocamento de pontos (nas versões não verbalizadas esta concepção
corresponde ao estágio histórico I (Figura 4); b) geométricas sintéticas: uma função é
uma curva “concreta”, ou seja, um objeto geométrico, idealização de uma linha no
papel ou uma trajetória de um ponto em movimento; c) algébrica: uma função é uma
fórmula com “x” e “y” e um sinal de igualdade; é uma sequência de símbolos, letras e
números (SIERPINSKA, 1988).
Na categoria abstrata, a autora diferenciou quatro concepções: 1) numérica:
uma função é uma transformação de algumas coisas em outras coisas; essas coisas
novas ou sua posição podem ser descritas por números (os valores da função); uma
função é dada por uma sequência de seus valores. Essa concepção se assemelha à
concepção histórica II (Figura 4), mas pode ser vaga ou implícita na mente do
estudante; em particular, a necessidade de nomear a sequência paralela de
argumentos pode não ser captada; 2) algébrica: uma função é uma equação ou uma
expressão algébrica contendo variáveis; colocando números no lugar de variáveis,
obtém-se outros números; a ideia de que a equação descreve uma relação entre
variáveis está ausente aqui. A concepção é uma forma degenerada da concepção
histórica IV (estágio IV sem estágio I); 3) geométrica analítica: uma função é uma
curva “abstrata” em um sistema de coordenadas, ou seja, a curva é uma
representação de alguma relação; esta relação pode ser dada por uma equação e as
curvas são classificadas de acordo com o tipo desta relação (primeiro grau, algébrica,
transcendental, ...), não é a relação que se chama função: é a própria curva. Esta
concepção é uma forma degenerada da concepção histórica V; 4) física: uma função
Concreta
mecânica
geométrica
sintética
algébrica
Abstrata
numérica
algébrica
geométrica
analítica
física
75
é um tipo de relação entre grandezas variáveis; algumas variáveis são distinguidas
como independentes, outras são consideradas dependentes destas; tais
relacionamentos podem às vezes ser representados por gráficos. Isso é perto da
concepção histórica VI (SIERPINSKA, 1988).
Dos resultados dessa pesquisa, Sierpinska (1988, p. 572), chegou à conclusão
que “[…] a concepção mais fundamental de função é a de uma relação entre
grandezas variáveis”. Segundo ela, se essa concepção fundamental não for
desenvolvida, outras representações como as de equações e gráficos perdem seu
significado e ficam isoladas umas das outras, ou seja, acontece um desvio da linha
epistemogenética do conceito de função.
Outro aspecto encontrado na pesquisa foi que, a introdução de funções num
contexto com pontos atrativos fixos12 e, o “[…] uso intenso de representações gráficas
não ajuda a desenvolver [...] a concepção fundamental de função” (SIERPINSKA, 1988,
p. 573). Para a autora, esse tipo de introdução é demasiadamente geométrico-
algébrica; portanto, a introdução em um contexto de grandezas físicas seria
epistemologicamente e cognitivamente mais adequado.
Em outro trabalho, Vinner e Dreyfus (1989) realizaram uma pesquisa com 271
estudantes do Ensino Superior e 36 professores do Ensino Médio. A partir das
respostas dos sujeitos, os autores tipificaram a definição de função em seis categorias,
conforme Quadro 5.
Quadro 5 – Seis categorias da definição de uma função
Categoria Definição
Correspondência
Uma função é qualquer correspondência entre dois conjuntos que atribui a cada
elemento do primeiro conjunto exatamente um elemento do segundo conjunto (a
definição de Dirichlet-Bourbaki)
Relação de
Dependência
Uma função é uma relação de dependência entre duas variáveis (y depende de x).
Regra
Uma função é uma regra. Espera-se que uma regra tenha alguma regularidade,
enquanto uma correspondência pode ser “arbitrária”. O domínio e o contradomínio
geralmente não são mencionados aqui.
Operação
Uma função é uma operação ou manipulação (uma ação sobre um número,
geralmente por meio de operações algébricas, para se obter uma imagem)
Fórmula Uma função é uma fórmula, uma expressão algébrica ou uma equação.
Representação
A função é identificada, de um modo sem significado, com uma representação gráfica
ou simbólica.
Fonte: Adaptado de Vinner e Dreyfus (1989)
12 Pontos atrativos fixos de uma função são pontos fixos (x0, por exemplo) de modo que qualquer
valor de 𝑥 no domínio da função é perto o suficiente do ponto fixo em questão (x0).
76
Schwarz, Dreyfus e Bruckheimer (1990) investigaram a resolução de diversos
problemas envolvendo o conceito de função em um grupo de 35 estudantes do nono
ano do Ensino Fundamental. A análise se deu com base no Modelo triplo de
Representação (TRM), no qual é necessário realizar a mudança de uma
representação funcional para outra (gráfica, tabular e algébrica – daí o triplo), a
transferência entre representações é automática, o trabalho com qualquer
representação é operacional e o ambiente computacional é focado na resolução de
problemas de funções.
O Modelo Triplo de Representação (TRM) é um micromundo, derivado das
ideias de Papert (1980), que criou o LOGO, um ambiente educacional que utiliza o
computador para explorar a Matemática. O LOGO pode ser considerado um
micromundo matemático, ou seja, um sistema composto de objetos, relacionamentos
entre objetos e operações que transformam objetos e relacionamentos. Nesse
ambiente, os alunos exploram sua compreensão do assunto à medida que os
cientistas testam suas conjecturas sobre a maneira como o mundo funciona.
As principais características o micromundo TRM são: facilidade de
transferência de uma representação funcional para outra (as três representações
implementadas no TRM são a algébrica, a gráfica e a tabular), transferência entre
representações é totalmente automática. No entanto, o aluno tem que organizar e
relacionar os resultados obtidos em uma representação para usá-los em outra, o
trabalho dentro de qualquer representação é operacional; ou seja, está organizado em
operações que o aluno deve realizar e o ambiente do computador é o núcleo de todo
um currículo de funções, baseado na resolução de problemas (SCHWARZ, DREYFUS,
BRUCKHEIMER, 1990).
Das respostas, os autores concluíram que utilizar o TRM permite que os
estudantes alcancem níveis cognitivos mais altos no pensamento funcional, uma vez
que esse modelo permite que os estudantes sejam expostos a situações-problema e
à necessidade de realizar articulações entre diferentes representações (SCHWARZ,
DREYFUS, BRUCKHEIMER, 1990).
Sfard (1991), a partir de um referencial epistemológico e ontológico, e de
trabalhos experimentais (SFARD, 1987; 1989), escreveu um texto teórico sobre a
concepção do conceito de função. Para a autora, o conceito de função pode ser
77
concebido de duas formas: estruturalmente - como um objeto e, operacionalmente -
como um processo. Para a autora,o processo de aprendizagem e resolução de
problemas consiste numa intrincada relação entre as concepções operacionais e
estruturais do mesmo conceito. Nessa perspectiva, segundo Sfard (1991), a maioria
das pessoas adquirem novos conceitos a partir da concepção operacional. A
passagem da concepção operacional para a concepção estrutural (abstrata) passa
por três etapas: interiorização, condensação e reificação.
No estágio de interiorização, o sujeito se familiariza com os processos que
darão origem a um novo conceito (por exemplo, manipulações algébricas que se
transformam em funções). Um processo foi interiorizado se pode ser realizado por
meio de representações mentais (esquemas). A fase de condensação é o período de
sistematizar as operações complicadas em algoritmos simples. Nesse estágio, a
pessoa é cada vez mais capaz de pensar em um determinado processo como um
todo, ela é de combinar o processo com outros processos, fazer comparações e
generalizar. O progresso da condensação pode ser visto na facilidade de alternar
entre diferentes representações de um conceito (SFARD, 1991).
Uma vez que o sujeito é capaz de conceber o conceito em seu pleno direito, a
reificação foi realizada. Nesta fase, o conceito não permanece mais conectado a um
determinado processo. Sfard (1991) considera que, na reificação, há uma mudança
ontológica - uma habilidade repentina de ver algo familiar sob uma luz totalmente nova
(o famoso ah, entendi!). A autora afirma que “[...] enquanto a interiorização e a
condensação são mudanças graduais, quantitativas e não qualitativas, a reificação é
um salto quântico instantâneo: um processo (que) se solidifica em objeto, em uma
estrutura estática” (SFARD, 1991, p. 19).
Artigue (1992), em uma pesquisa envolvendo 100 estudantes de cada ano, dos
cursos de Matemática e física, buscava estudar a natureza das dificuldades dos
estudantes em relacionar as representações algébrica e gráfica de uma função. Da
pesquisa, ela identificou que, uma abordagem qualitativa para soluções de equações
diferenciais mostra-se mais profícua na aprendizagem dos estudantes e que
coexistem dificuldades cognitivas e didáticas. Além disso, os registros dos estudantes
na resolução dos problemas estavam necessariamente ligados às intervenções do
professor, ou seja, se o professor sugeria um gráfico ou algo similar, o estudante
focava em representar a solução do problema por aquela representação.
78
Noguès (1992/1993) em uma pesquisa envolvendo 46 estudantes do Ensino
Médio e do Ensino Superior sobre a resposta à pergunta “o que a palavra função
evoca em você?”. Dos resultados da pesquisa, a autora identificou que, em geral, os
estudantes compreendem uma função como uma correspondência arbitrária entre
elementos de conjuntos de qualquer tipo. No caso de estudantes universitários, a
pesquisadora identificou que as situações propostas na universidade não permitiam
que os alunos formulassem o conceito de função de forma adequada. Ela verificou
que eles estudavam apenas exemplos particulares de funções afins e lineares, que
mascaravam a generalidade do conceito. Já no Ensino Médio, a manipulação das
ferramentas de funções afins e lineares por meio de um conjunto de situações, mesmo
envolvendo vários modos de representação, não foi suficiente para trazer à tona a
amplitude do conceito de função.
Oliveira (1997) elaborou e aplicou uma sequência didática (ARTIGUE, 1988) para
alunos do primeiro ano do curso de Engenharia sobre o conceito de função. Para isso,
tomou como necessário colocar o aluno numa situação a-didática (BROUSSEAU, 2002),
na qual ele compreendesse as noções de correspondência, dependência e variação,
utilizasse o “jogo de quadros” (DOUADY, 1984) e as mudanças de registro de
representação, para a compreensão do que é uma função.
Das análises da pesquisa a autora identificou que os alunos, em geral,
confundem atributos do conceito com os exemplos de função, incluem a noção de
continuidade a este conceito, definem função como uma equação, não compreendem
funções dadas por mais de uma expressão algébrica, fazem confusão entre função
constante e contínua, entendem que a existência de uma expressão algébrica ou
gráfico é suficiente para afirmar que estes representam uma função (OLIVEIRA, 1997).
Hitt-Espinosa, Fernando (1998) em seu trabalho buscou compreender as
dificuldades do estudantes na solução de problemas que envolviam o conceito de
função e suas diferentes representações. O autor elaborou 14 questionários que foram
respondidos por 30 professores de Matemática de uma escola secundária (nosso
Ensino Médio) no México. Para análise, o autor utilizou a teoria dos registros de
representação semiótica (DUVAL, 2009; 2011; DUVAL, CAMPOS, BARROS, DIAS, 2014)
para compreender as mudanças nas representações ao longo das resoluções dos
estudantes. Os resultados mostram que de acordo com a tarefa, os professores têm
dificuldades de natureza diferente dos seus alunos. Por exemplo, os professores
79
podiam identificar sem problemas as representações gráficas de algumas funções
como o valor absoluto, as polinomiais, as funções trigonométricas, mas uma parte
deles tinha dificuldades para encontrar as curvas que representavam as funções de
cônicas.
Rêgo (2000) tinha como objetivo levar os alunos à construção do conceito de
função como covariação, através de uma proposta construtivista. A autora elaborou,
aplicou e avaliou dois conjuntos de atividades relacionados a funções polinomiais do
1° grau e funções polinomiais do 2° grau para duas turmas (uma de parâmetro com
34 estudantes e a outra de intervenção com 38 estudantes) do primeiro ano do Ensino
Médio na cidade de João Pessoa, na Paraíba. Os dados foram analisados segundo
critérios estabelecidos pela teoria de Decomposição Genética de Dubinsky
(1991)(Figura 16). Os resultados apontaram para uma diferença qualitativa
significativa em prol dos alunos que vivenciaram a intervenção.
A teoria de Dubinsky (1991) é baseada no conceito de abstração reflexiva de
Beth e Piaget (1966), conceito que descreve a construção das estruturas lógico-
Matemáticas a partir de um desenvolvimento cognitivo gradual. Dubinsky (1991)
afirma que os estudos de Piaget e colaboradores se concentraram em crianças e,
raramente em adolescentes, sem se estender para adultos e tópicos mais avançados.
Nesse contexto, Dubinsky (1991, p. 96) assume que os estudos de Piaget com
crianças a respeito de aritmética, proporção e medição, podem ser estendidos para
conceitos como “[...] indução Matemática, cálculo proposicional e predicativo, funções
como processos e objetos, independência linear, espaços topológicos, dualidade de
espaços vetoriais e dualidade de espaços vetoriais topológicos”. Para o autor, sua
teoria busca ser uma teoria geral do conhecimento matemático e de sua aquisição,
mas para isso é necessário conhecer Matemática e realizar esforços de observação
dos estudantes buscando compreender como os conceitos matemáticos são
elaborados por eles.
Beth e Piaget (1966) definem três tipos de abstração: 1) abstração empírica, 2)
abstração pseudo-empírica e 3) abstração reflexionante. A primeira consiste em
derivar as características comuns de uma classe de objetos, por abstração e simples
generalização, enquanto a terceira, consiste em derivar de um sistema de ações ou
operações de baixo nível, determinadas características, cuja reflexão sobre as ações
ou operações de um nível mais alto são garantidas.
80
Dubinsky (1991) resgata os processos necessários na abstração reflexiva,
identificados por Piaget, para a compreensão do pensamento lógico-Matemática em
crianças: comutatividade da adição, número, trajetória, ver-visto, multiplicação, níveis
de fluídos. Desses processos, Dubinsky (1991) afirma que são necessários quatro
deles para a compressão do pensamento matemático avançado:1) comutatividade
da adição (interiorização), 2) trajetória e ver-visto (composição ou coordenação), 3)
multiplicação, proporção e variação (encapsulamento), 4) generalização e, 5)
reversibilidade (Figura 16).
Figura 16 – Decomposição Genética de Dubinsky
Fonte: Dubinsky (1991, p. 107)
Para Dubinsky (1991, p. 102), “[...] abstração reflexionante será a construção
de objetos mentais e de ações mentais sobre esses objetos”. De modo a exemplificar
sua teoria, o autor utiliza o conceito de função.
A função pode ser entendida, em partes, por um processo. O sujeito responde
a situações as quais a função aparece (fórmula, algoritmo, tabelas etc.); essa ação é
um processo, o qual, para cada situação o sujeito constrói um esquema mental. Esse
processo é um exemplo de interiorização de objetos para processos (DUBINSKY, 1991).
A coordenação ocorre, por exemplo, na combinação de duas funções. Uma
composição é uma operação binária na qual dois objetos são transformados em um,
assim, ao operar sobre cada função, o sujeito reflete sobre os processos e os
interioriza. Os dois processos são coordenados para formar um novo processo,
resultado da composição (DUBINSKY, 1991).
No caso do encapsulamento, um exemplo seria a interiorização e posterior
encapsulamento do conceito de integral indefinido, ou seja, o processo de estimar a
área sob uma curva por meio de somas passa para o conceito de limite, que deságua
81
na integral. A generalização é o exemplo mais simples da abstração relflexionante,
uma vez que entendemos a generalização como um esquema essencialmente
estável, que cria objetos. Por último, a reversibilidade pode ser dada em diversos
processos: função inversa, multiplicação e divisão, adição e subtração, entre outros
(DUBINSKY, 1991).
Pérez e Deulofeu (2000, p. 81), em um estudo sobre a ideia de dependência
funcional entre variáveis com 60 alunos da Universidade de Barcelona, na Espanha,
constataram que para construir o conceito de relação de dependência funcional, é
necessário ter assimilado os modelos de função mais simples: dependência linear
(proporcionalidade direta e Função Afim), proporcionalidade inversa e função
quadrática. Os resultados encontrados pelos autores sugeriram uma sequência
cognitiva gradual na dificuldade com que as funções foram apresentadas pelos
estudantes. Portanto, para eles, essa dificuldade gradual permite pensar em uma
sequência didática que elimine ou diminua tais obstáculos. Por exemplo, introduzir
função linear e afim, na sequência, função de proporcionalidade inversa e,
posteriormente função quadrática.
Amra (2004) realizou um estudo aprofundado sobre a transposição didática do
conceito de função. Ela utilizou um quadro conceitual abrangente para realizar a
análise dos sistemas de ensino francês e israelita, no caso de estudantes que estavam
nas séries correspondentes ao nosso Ensino Médio. Das teorias utilizadas, foram
citadas: transposição didática (CHEVALLARD, 1985; CONNE, 1996), abordagem
antropológica (CHEVALLARD, 1998), problemática ecológica (ASSUDE, 1999), a
semiótica (DUVAL, 2009; 2011; DUVAL, CAMPOS, BARROS, DIAS, 2014) e a noção de
quadros (DOUADY, 1984; 1986).
A pesquisadora conclui que, no ensino relativo ao conceito de função, a posição
central deve ser a noção de variação, pois permite uma organização do ensino mais
rica em atividades e mais significativa. No entanto, o ensino não deve deixar de insistir
nas atividades numéricas, colocando a função mais como um processo, mesmo que
isso seja feito em detrimento de algumas atividades voltadas para a noção de
variação. As atividades numéricas se revelaram significativas em relação a certas
noções. Por fim, a sensibilização para uma apreensão mais geral da função que
envolve a condição de unicidade da imagem não deve ser descartada mesmo que
isso não passe necessariamente pela definição geral do conjunto (AMRA, 2004).
82
Gaudin (2005), em sua tese, tratou de duas questões: o controle da atividade
do sujeito e o conhecimento da noção de função. Para a autora, se o funcionamento
do conhecimento na atividade permanece implícito para o sujeito, é o conhecimento,
ao menos em parte, que regula as interações do sistema. Assim, era esperado que a
pesquisa explicasse o funcionamento do conhecimento (a noção de função) como
regulador da atividade. Para isso, Gaudin (2005) utilizou a teoria da decomposição
genética de Dubinsky (1991), Dubinsky e Harel (1992) e a teoria histórico individual
de Sierpinska (1988; 1992) sobre as concepções de função e, a teoria de Balacheff
(1995) ¢Kc (conceito, conhecimento, concepção) para modelar a concepção de um
sujeito.
Para Balacheff (1995) e Balacheff e Gaudin (2009), uma concepção C pode ser
modelada por um quarteto (P, R, L, ∑) no qual: P é um conjunto de problemas; R é
um conjunto de operadores; L é um sistema de representação e ∑ é uma estrutura de
controle. P corresponde à classe dos desequilíbrios da concepção considerada que é
capaz de se recuperar; em termos matemáticos: os problemas que permitem serem
resolvidos - em termos pragmáticos, a esfera da prática da concepção relacionada; R
corresponde ao conjunto de operadores necessários para executar ações “concretas”
no milieu ou transformar e manipular representações linguísticas, simbólicas ou
gráficas; L descreve os meios linguísticos, gráficos ou simbólicos que sustentam a
interação entre o sujeito e o milieu, de outro modo, ações ou feedbacks, bem como
seus resultados; e, ∑ é necessário para descrever os componentes que suportam o
monitoramento do equilíbrio do sistema [S↔M].
Balacheff e Gaudin (2009) afirmam que os três primeiros componentes desse
quarteto foram emprestados da caracterização que Vergnaud (1989; 1990; 1993;
1996b; 1996c) propôs para conceito. O quarto componente foi desenvolvido pelo autor
para descrever explicitamente a dimensão da validação que é crítica para a
Matemática e ao aprendizado de Matemática.
Reed (2007), em sua tese de doutorado, analisou os efeitos dos estudos de
história do conceito de função na aprendizagem de 17 estudantes universitários
americanos, que seriam futuros professores, de uma Universidade do Meio Oeste.
Uma das perguntas de pesquisa era entender, por meio da teoria APOS (ação,
processo, objeto e esquema) (Quadro 6), qual era a concepção de função desses
estudantes.
83
Quadro 6 – Fases da Teoria APOS
Fases Descrição
Ação
Uma ação é uma transformação de objetos que é percebida pelo sujeito como sendo de
algum tipo externa. Ou seja, um sujeito cuja compreensão de uma transformação é limitada a
uma concepção de ação pode realizar a transformação apenas reagindo a pistas externas
que fornecem detalhes precisos sobre quais passos tomar.
Processo
Quando uma ação é repetida e o sujeito reage sobre ela, ela pode ser interiorizada em um
processo. Ou seja, é feita uma construção interna que realiza a mesma ação, mas agora,
não necessariamente direcionada por estímulos externos. Um sujeito que tem uma
concepção de processo de uma transformação pode refletir, descrever ou mesmo reverter as
etapas da transformação sem realmente realizar essas etapas. Em contraste com uma ação,
um processo é percebido pelo sujeito como sendo interno e sob seu controle, e não como
algo que se faz em resposta a estímulos externos.
Objeto
Quando um sujeito reflete sobre as operações aplicadas a um determinado processo, toma
consciência do processo como uma totalidade, percebe que as transformações (sejam elas
ações ou processos) podem atuar sobre ele, e é capaz de realmente construir tais
transformações, então ele ou ela está pensando neste processo como um objeto. Neste
caso, dizemos que o processo foi encapsulado em um objeto. No decorrer da execução de
uma ação ou processo em um objeto, muitas vezes é necessário desencapsular o objeto de
volta ao processo de onde veio, afim de usar suas propriedades para manipulá-lo.
Esquema
Uma vez construídos, objetos e processos podem ser interconectados de várias maneiras:
por exemplo, dois ou mais processos podem ser coordenados os ligando (através da
composição ou de outras formas); processos e objetos estão relacionados pelo fato de que
os primeiros atuam sobre os segundos. Uma coleção de processos e objetos pode ser
organizada de maneira estruturada para formar um esquema. Os próprios esquemas podem
ser tratados como objetos e incluídos na organização de esquemas de “nível superior”.
Quando isso acontece, dizemos que o esquema foi tematizado para um objeto. O esquema
pode então ser incluído em esquemas de estruturas Matemáticas de nível superior.
Fonte: desenvolvido a partir de Asiala, Brown, DeVries, Dubinsky, Mathews e Thomas (1997, p. 7-8)
Segundo Reed (2007), os desenvolvedores da teoria APOS queriam usar a
ideia de estruturas cognitivas de Jean Piaget e relacioná-las com comportamentos
observáveis em estudantes de nível universitário (uma vez que as experiências de
Piaget envolviam apenas crianças e adolescentes). Reed (2007) também utilizou um
modelo desenvolvido por Asiala, Brown, DeVries, Dubinsky et al. (1997), o qual
permite conduzir uma pesquisa de educação Matemática que tenta modelar a
epistemologia de um conceito por meio das construções mentais feitas pelos
estudantes. Como resultado da investigação, Reed (2007) identificou que, por meio
da história da Matemática, os estudantes foram capazes de realizar reflexões de ideias
mais profundas, que os estudantes subiram para um nível superior da teoria APOS e
que eles demonstraram domínio da representação gráfica de função.
Monoyiou e Gagatsis (2010) analisaram a compreensão das abordagens
algébrica e de par ordenado que os professores em formação do Chipre e da Itália
desenvolvem na resolução de tarefas funcionais. Foram 260 cipriotas e 206
professores italianos em formação. Foi realizado um teste composto por sete tarefas
– quatro tarefas funcionais simples e três problemas complexos. Da pesquisa, os
autores identificaram que a maioria dos professores cipriotas usou uma abordagem
84
algébrica para resolver as tarefas de funções simples. Já os professores italianos
usaram uma abordagem por pares ordenados. De acordo com os autores, os
professores que conseguiram usar a abordagem por par ordenado tiveram melhores
resultados na resolução dos problemas.
Ross (2011) realizou um estudo extensivo sobre como o conceito de função era
apresentado nos livros didáticos americanos do Middle School (nosso Ensino
Fundamental – anos finais) e da High School (nosso Ensino Médio). De sua pesquisa,
o autor sistematizou cinco categorias: 1) a linguagem utilizada em relação à função,
2) a presença de funções nos livros, 3) características principais das funções, 4)
características auxiliares e 5) arquétipos de funções. A principal linguagem utilizada
nos livros era a definição de função como relações de correspondência, além de
alguns livros explicitarem funções a partir da teoria dos conjuntos.
Segundo o autor, aproximadamente 30.000 exemplos de funções foram
encontrados. Desses exemplos, o autor os categorizou em seis perspectivas,
conforme Quadro 7.
Quadro 7 – Categorização das funções
Tipo Especificação
Perspectiva de
ação
A função é descrita como algo que se faz, ou seja, uma transformação que se aplica a
elementos matemáticos de acordo com um algoritmo explícito. A ênfase está na
execução do algoritmo.
Perspectiva de
processo
A função é descrita como um procedimento que se tem a capacidade de seguir, um
procedimento que transforma um elemento matemático em outro. A ênfase está na
capacidade de realizar o procedimento, se necessário ou desejado, e não na execução
imediata do procedimento.
Perspectiva de
objeto
A função é descrita como algo sobre o qual se pode agir matematicamente. A ênfase
está nas funções como elementos matemáticos que podem ser transformados.
Perspectiva de
Esquema
A função é descrita como parte de uma perspectiva Matemática maior. A ênfase está
no papel das funções em geral ou dentro de conceitos matemáticos mais amplos.
Perspectiva de
exemplo específico
Um exemplo para o qual um aluno recebe ou pode obter pelo menos um elemento de
domínio e seu elemento de intervalo correspondente. Um exemplo específico de uma
função seria 𝑓(𝑥) = 2𝑥 com um domínio de todos os números reais.
Perspectiva de
exemplo geral
Um exemplo para o qual um aluno não recebe e não pode obter pelo menos um
elemento de domínio e seu elemento de intervalo correspondente. Um exemplo disso
seria se a eles fossem solicitados a considerar uma função linear 𝑓 e determinar se ela
deve ter uma interceptação em 𝑦.
Fonte: desenvolvido a partir de Ross (2011)
Em relação as principais características de uma função, uma delas é a
representação. Para Ross (2011), há 18 tipos de representações: 1) representação
simbólica, 2) 𝑦 = 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜, 3) 𝑥 e 𝑦 implícitas, 4) 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜, 5)
representação de função recursiva, 6) equação com outras variáveis, 7)
representação gráfica, 8) gráfico contínuo, 9) gráfico suave, 10) gráfico de dispersão,
85
11) representação numérica, 12) representação tabular, 13) representação em par
ordenado, 14) notação 𝑓(𝑥), 15) representação de uma máquina de função, 16)
representação de um diagrama de mapeamento (Diagrama de John Venn), 17)
descrição verbal e 18) representação física.
A representação simbólica de uma função é aquela que usa números, letras
como variáveis, símbolos de operação e a notação 𝑓(𝑥) para fornecer uma fórmula. A
representação 𝑦 = 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 é uma expressão algébrica consistindo em números,
letras e símbolos de operação, utilizando apenas 𝑦 como variável que depende da
variável 𝑥. A representação implícita é dada por duas expressões que consistem em
números, símbolos de operações e as letras 𝑦 e 𝑥 não podem ser separadas (ROSS,
2011).
A representação 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 é uma expressão algébrica consistindo em
números, letras e símbolos de operação, em que a variável 𝑦 é representada por 𝑓(𝑥),
que nesse caso atua como um representante dos elementos do intervalo da função.
A representação recursiva trata-se daquela a qual uma função corresponde a conjunto
de outras funções determinadas a partir de valores anteriores. A equação com outras
variáveis são aquelas nas quais as variáveis 𝑥 e 𝑦 aparecem por meio de outras letras,
como 𝑡 (tempo) e 𝑣 (velocidade) (ROSS, 2011).
A representação gráfica de uma função usa pontos e/ou curvas em um plano
de coordenadas cartesianas. A representação gráfica de uma função contínua é uma
única curva ininterrupta sem buracos ou saltos. Um gráfico suave é de uma função
que não tem pontas. Um gráfico de dispersão é aquele que representa os pares
ordenados num plano cartesiano. A representação numérica de uma função é aquela
que lista alguns ou todos os elementos do domínio da função com seus elementos
associados no intervalo. A representação tabular é uma representação numérica
disposta na forma de uma tabela. A representação de uma função na forma de pares
ordenados é realizada por pares ordenados entre parênteses (ROSS, 2011).
A notação 𝑓(𝑥) é uma representação numérica na qual os elementos são
exibidos como 𝑓(𝑥) = 𝑦 para 𝑥 e 𝑦 específicos. A representação de uma função na
forma de uma máquina que transforma uma entrada (𝑥) em uma saída (𝑦) (Figura 17).
86
Figura 17 – Função como uma máquina de transformação
Fonte: do autor
A representação de uma função por meio de um diagrama de mapeamento
mostra alguns ou todos os elementos do domínio em uma parte do diagrama e os
elementos correspondentes em outra parte do diagrama. Esses elementos
correspondentes são ligados por meio de setas (ROSS, 2011).
A representaçãoverbal de uma função é aquela utilizando palavras para
descrever qualquer característica da relação entre as variáveis independentes e
dependentes. As representações físicas são aquelas passíveis de manipulação pelos
estudantes e que representam uma função. Por exemplo, um experimento com uma
jarro graduado com água e a inserção de bolas de bilhar para representar a relação
entre a altura da água no jarro e o número de bolas de bilhar.
Outra característica são as famílias de funções, divididas em: função
polinomial, função constante, função linear, função quadrática, função cúbica, função
periódica, função trigonométrica, função exponencial, função logarítmica, função
racional, função valor absoluto (modular) e função por partes (ROSS, 2011). As
características auxiliares de uma função podem ser divididas em uma configuração
realista e uma configuração abstrata. Uma função é considerada em uma
configuração realista quando a função é uma descrição (não exata) de uma situação
da realidade; do contrário, a função é uma configuração abstrata (ROSS, 2011).
Kjeldsen e Petersen (2013) realizaram um curso cujo objetivo era unir a história
da Matemática com o ensino e a aprendizagem da Matemática na construção do
conceito de função. O curso foi realizado com estudantes do equivalente ao nosso
Ensino Médio, em uma escola dinamarquesa e contou com uma abordagem de
87
perspectiva múltipla para a história (SFARD, 1987; 1989; 1991) e as noções de conceito
imagem e conceito definição (TALL, 1988; TALL, VINNER, 1981; VINNER, 1983; VINNER,
DREYFUS, 1989).
O experimento revelou que muitos dos alunos tinham o conceito imagem
próximo do conceito imagem de Euler e não com o conceito definição moderno, o qual
eles tinham sido orientados na resolução de situações envolvendo funções. Além
disso, a leitura de parte de um texto de Dirichlet, de 1837, criou obstáculos para os
alunos. Kjeldsen e Petersen (2013, p. 29) sugerem que a “[...] consciência histórica
dos alunos foi desenvolvida ao longo do curso no que diz respeito à influência dos
atores na formação de conceitos matemáticos e as noções de forças motrizes internas
e externas no desenvolvimento histórico da Matemática”.
Salminen (2014) realizou uma pesquisa com 49 estudantes do nono ano (o
mesmo do nosso Ensino Fundamental – Anos Finais) de uma escola finlandesa que
adota o Middle Years Programme (MYP), um programa que aceita estudantes
internacionais e, como parâmetro, aplicou o mesmo instrumento a estudantes do
Ensino Médio em uma escola finlandesa regular. O currículo da escola como MYP é
o mesmo do sistema finlandês, mas o idioma e o material didáticos eram em inglês.
Para a análise, a autora utilizou os pressupostos teóricos de Vinner e Dreyfus (1989).
Um dos resultados identificados pela autora foi que esses alunos não conseguiram
resolver as tarefas que envolviam gráficos, pois eles não conseguiram compreender
os eixos. Outro foi que não houve uma diferença estatística grande entre os erros e
acertos dos estudantes do nono ano e do Ensino Médio, o que faz a autora concluir,
assim como Vinner e Dreyfus (1989) fizeram, uma vez que o conceito está enraizado
não importa a idade e a série do estudante.
Pires e Silva (2015) realizaram uma investigação para identificar as concepções
de função manifestadas por 128 estudantes do Ensino Médio e 55 do Superior, tendo
como fundamentação teórica as ideias de Sfard (1991; 1992) e Sierpinska (1988). Os
dados coletados se deram por meio de duas listas de atividades realizadas por todos
os participantes. Os resultados mostraram que no Ensino Médio as concepções
transitavam entre a operacional e a estrutural (Quadro 8), sendo muito presente a
concepção pseudoestrutural, e no Ensino Superior as concepções eram bem
próximas da estrutural, porém, não foi possível identificar a reificação do conceito.
88
Quadro 8 – Concepções Operacional e Estrutural de Anna Sfard
Concepção Operacional Concepção Estrutural
Característica geral
uma entidade matemática é concebida
como um produto concebido de um
determinado processo ou é identificada
com o próprio processo
uma entidade matemática é concebida
como estrutura estática - como se fosse
um objeto real
Representações
Internas
É suportada por representações verbais É suportada por uma imagem visual
Local do
desenvolvimento
conceitual
Desenvolve os primeiros estágios do
conceito de formação
Evolui da concepção operacional
Papel no processo
cognitivo
É necessário, mas não suficiente, a
aprendizagem e solução de problemas
efetivos
Facilita todos processos congnitivos
(aprendizagem e solução de problemas)
Fonte: Traduzido de Sfard (1991, p. 33)
Peña (2016), em sua dissertação de mestrado, realizou uma intervenção em
uma sala de aula com 40 alunos, na cidade de Bogotá, na Colômbia. Os alunos
estavam no equivalente ao nosso Nono Ano, do Ensino Fundamental – Anos Finais.
O objetivo da pesquisa era possibilitar a construção dos conceitos de variável e
dependência, essenciais na compreensão do conceito de função linear e Função Afim.
A partir da análise realizada sobre a produção escrita dos alunos, durante a
implementação do conjunto de tarefas, a autora conseguiu reconhecer uma evolução
progressiva nos modelos de solução propostos por eles, que dão conta da constituição
de objetos mentais variáveis e dependência.
Além disso, as soluções propostas pelos estudantes para as duas primeiras
tarefas evidenciaram um reconhecimento inicialmente implícito das variáveis
envolvidas, o que foi possível relacionar por meio de processos recursivos, que
favorecem a organização das situações (PEÑA, 2016).
Nunes e Santana (2017) analisaram as concepções errôneas sobre o conceito
de função apresentadas por 40 alunos da Licenciatura em Matemática. Foram
analisadas as resoluções desses alunos a partir de um instrumento composto de nove
tarefas. Para a análise das resoluções, as autoras utilizaram como referência as
categorias de concepções errôneas elencadas na perspectiva epistemológica. Pela
análise, as autoras inferiram que as concepções errôneas resultam de múltiplos
fatores, sobretudo com os que estão relacionadas a conceitos, procedimentos ou
princípios matemáticos.
Rodrigues, Menezes e Santos (2017) realizaram uma discussão para a
construção de um modelo epistemológico de referência para o ensino e a
aprendizagem de função. Para isso, utilizaram as teorias de Percurso de Estudo e
89
Pesquisa (PEP) (CHEVALLARD, 2009), a Teoria Antropológica do Didático
(CHEVALLARD, 1996) e a noção de Contrato Didático (BROUSSEAU, 1996). Segundo os
autores, utilizando o PEP, será possível, a partir do contrato didático, observar e
analisar qual o comportamento dos alunos frente ao conceito de função, observando
suas rupturas, as mudanças de praxeologias e os tipos de organizações matemáticas
que emergem nos momentos didáticos.
Rodrigues (2020), em sua tese, aplicou o PEP sugerido em Rodrigues,
Menezes e Santos (2017). O PEP vinculou-se a um Modelo Epistemológico de
Referência (MER), o qual é desenvolvido a partir de um estudo crítico dos documentos
oficiais, de concepções de professores e alunos, de livros didáticos, planos de aula,
entre outros. Na Figura 18 está o MER utilizado por (RODRIGUES, 2020).
Figura 18 – Diagrama de Atividades do MER
Fonte: Rodrigues (2020, p. 156)
As caixas representam as possíveis tarefas que os alunos deverão utilizar no
processo, as mesmas cores indicam o mesmo tipo de ação, os losangos indicam
decisões a serem tomadas, os círculos são as questões desenvolvidas. A autora, a
90
partir dos dados da pesquisa, identificou mudanças significativas na didática do
professor ao ter como base um MER.
2.2.1 Uma síntese
Em seção anterior, foi possível compreender o conceito de função a partir dos
resultados de pesquisas envolvendoestudantes e professores. Em decorrência da
análise dos textos apresentados, identificamos que as teorias cognitivas encontradas
derivam da Epistemologia Genética de Jean Piaget e seus colaboradores.
Dos trabalhos pesquisados, emergiram algumas teorias de aprendizagem
utilizadas para sustentar o ensino e a aprendizagem de função, conforme Quadro 9.
Quadro 9 – Perspectivas Cognitivistas para o conceito de função
Autor(es) Ano Nome da Perspectiva
Piaget e colaboradores ~1968 Epistemologia Genética (EG)
Duval ~1971 Teoria dos Registros de Representação Semiótica
Vergnaud e colaboradores ~1976 Teoria dos Campos Conceituais (TCC)
Vinner, Dreyfus e colaboradores ~1982 Conceito Definição e Conceito Imagem
Douady ~1984 Jogos de Quadros
Anna Sfard ~1991 A dualidade dos conceitos matemáticos
Sierpisnka ~1992 Desenvolvimento histórico e individual
Dubinsky e Harel ~1992 Decomposição genética
Asiala e colaboradores ~1997 APOS
Carlson e colaboradores ~1998 Covariação
Hershkowitz e colaboradores ~1999 Teoria dos Protótipos
Balacheff e colaboradores ~1995 Teoria ¢Kc
Chevallard ~2009 Percurso de Estudo e Pesquisa (PEP)
Fonte: da pesquisa
Algumas das perspectivas foram discutidas ao longo da seção com mais
detalhes, entretanto é importante destacar algumas delas. A Epistemologia Genética,
como mencionado, originou grande parte das demais teorias. Dos trabalhos de Piaget
e seus colaboradores, reconhecemos que o epistemólogo e seus colaboradores
conseguiram identificar estruturas cognitivas que mostram a evolução dos esquemas
dos sujeitos sobre a noção de função como relações de dependência entre grandezas
e como uma estrutura completa e reversível com diferentes categorias.
As relações moldam-se a um tipo de pré-proporcionalidade a partir da
coordenação dos diferentes esquemas funcionais. Essa pré-proporcionalidade ruma
a uma proporcionalidade a partir do momento que as estruturas passam a ter um
caráter operatório. Isso se dá pelas coordenações expressas em termos de
combinadores lógicos.
91
A passagem da proporcionalidade para o conceito de função acontece quando
as coordenações operam sob regularidades formalizadas. Essas regularidades
progridem de espontâneas a proporcionalidades funcionais, passando pelos estágios
de correspondências ordinais e hiperordinais, nessa ordem. Atinge-se o estágio de
função quando o sujeito é capaz de realizar o processo de reversibilidade.
De Vinner e Dreyfus (1989) foi possível distinguir seis categorias de definição
para função: correspondência, relação de dependência, regra, operação, fórmula e
representação. De Dubinsky (1991) identificamos cinco processos que permitem
conceber o pensamento matemático complexo: interiorização, composição ou
coordenação, encapsulamento, generalização e reversibilidade.
Ross (2011), a partir da análise de livros didáticos, categorizou as funções em
seis perspectivas: perspectiva de ação, perspectiva de processo, perspectiva de
objeto, perspectiva de esquema, perspectiva de exemplo específico e perspectiva de
exemplo geral.
Com as perspectivas histórica e cognitiva explicitadas, partimos para uma
discussão da perspectiva didática.
2. 3 PERSPECTIVA DIDÁTICA
Na perspectiva didática, cujo foco está em análises de documentos didáticos
como propostas de ensino, legislação e novamente livros didáticos, mas agora com o
viés no ensino e não no conteúdo; muitos estudos como de (BRESLICH, 1928; DREYFUS,
EISENBERG, 1983; DREYFUS, VINNER, 1982; EVEN, 1988; 1990; 1998; EVEN,
BRUCKHEIMER, 1998; EVEN, TIROSH, 1995; HAMLEY, 1934; HEDRICK, 1921; 1938; HILLEN,
MALIK, 2013; MALIK, 1980; TALL, VINNER, 1981; VINNER, 1983; 1997; VINNER, DREYFUS,
1989; VINNER, HERSHKOWITZ, 1980; YOUNG, 1914) ilustram a importância do conceito
de função, bem como as razões pelas quais determinadas definições de função são
apropriadas em determinadas fases da Matemática escolar.
Young (1914, p. 41), em seu livro sobre o ensino de Matemática nas escolas
elementares e secundárias americanas, traz uma perspectiva de que “[...] um dos
aspectos importantes da álgebra é seu tratamento generalizado dos processos da
aritmética”. Para o autor, a função é vista como um processo de generalização de
equações. Nessa perspectiva, o autor afirma ser animador encontrar livros didáticos
92
elementares fazendo uso de gráficos, estabelecendo a construção geométrica de
relações algébricas, a computação gráfica e a exibição de tabelas como possibilidades
de ensino. Young (1914) sugere unir as três ideias características da Matemática:
número, forma e fórmula, sob o conceito fundamental de funcionalidade. Segundo o
autor, os livros didáticos são uma fonte de trabalhar o pensamento funcional como a
espinha dorsal na articulação entre geometria e números.
Breslich (1928) realizou um estudo de quatro textos didáticos americanos da
escola secundária (o equivalente ao nosso Ensino Médio) à época sobre o
pensamento funcional, cujo principal aspecto é reconhecimento da dependência de
uma quantidade variável em outra variável relacionada como um dos aspectos
importantes do pensamento funcional. A partir desse estudo, ele elaborou tópicos com
intuito de ajudar futuros professores a ensinar função como um conceito unificador de
toda a Matemática, uma vez que, para ele, a função está ligada aos demais conceitos
da Matemática. Os tópicos apresentados pelo autor foram: problemas verbais
envolvendo álgebra, transformação de dados numéricos em representações
tabulares, utilização de fórmulas para representação de fatos numéricos,
desenvolvimento do pensamento funcional por meio de equações, o estudo de
polinômios algébricos, o pensamento funcional nos conceitos de razão, proporção e
variação, a utilização do gráfico como um meio para desenvolver o pensamento
funcional, a utilização do pensamento funcional na geometria demonstrativa, o uso de
mudanças nas figuras como meio de mostrar o relacionamento entre variáveis e a
relação do pensamento funcional com as áreas.
De acordo com um relatório encomendado pelo Conselho Nacional dos
Professores dos Estados Unidos, as principais ideias sobre função que devem ser
levadas para o Ensino Secundário (equivalente ao nosso Ensino Médio) são de
relação funcional, variáveis e dependência de variáveis (HEDRICK, 1921). E, no fim,
isso significa estabelecer conexões entre tabulação de dados, estudo da fórmula, o
gráfico que representa e os usos dessa função. O relatório ainda chama a atenção
para o fato de que eles (o Comitê Nacional), não tem a menor intenção de defender o
ensino de funções nos primeiros anos do Ensino Secundário nem mesmo dos
elementos da Teoria das Funções. Hedrick (1921) afirma, nesse contexto, que a
palavra “função” em si deve ser usada com moderação, se for o caso, nenhuma
definição formal de uma função deve ser insistida. Ele sugere que o desejo dos
93
professores é o desenvolvimento da ideia de relação entre quantidades, da
dependência de uma quantidade sobre outra e da correspondência que existe entre
quantidades relacionadas, seja de caráter aritmético ou geométrico.
Hedrick (1921) aponta como o ensino de função deve ser trabalhado. Para isso,
ele estabelece a relação da função com outras áreas, a relação com a álgebra, as
relações com a geometria e as relações com a trigonometria. Nas relações com a
álgebra, ele pontua a necessidade de trabalhar, o uso de letras no lugar de números,
equações, fórmulas da ciência pura e de assuntos práticos, fórmulas de álgebra pura,
tabelas e gráficos. A relação com a geometria, para ele, deve englobar o ensino de
congruências, desigualdades, variações nas figuras, movimento e teoremas de
proporcionalidade. Por fim, a relação da função com a trigonometria, precisa frisar o
uso do termo função trigonométrica, para enfatizar as relações existentes (HEDRICK,
1921).
Lennes (1932)escreveu um capítulo sobre o conceito de função na álgebra
elementar. Neste capítulo, que é parte do livro do Conselho Nacional de Professores
de Matemática (NCTM) dos Estados Unidos, o autor faz algumas análises de livros
didáticos e traz algumas opiniões sobre o que os professores da época pensavam
sobre o ensino de função. A partir desse estudo, ele apresenta modos de ensinar o
conceito de função associado à álgebra, mostrando pontos que devem ser
trabalhados.
Um aspecto importante do estudo de Lennes (1932) é que ao investigar o termo
função nos livros didáticos, dos oito livros pesquisados, quatro deles não
apresentavam o termo função. O autor acrescenta que o termo mais utilizado nos
livros era dependência funcional. Alguns ainda traziam o termo variação para se referir
a função. Lennes (1932) categoricamente afirma que nenhum desses livros trabalhava
o conceito de função de modo orgânico com outros conteúdos.
Dreyfus e Eisenberg (1983) afirmam que até o final do século XIX, o conceito
de função era considerado pouco importante para estudantes da Educação Básica. À
época, os currículos estavam preocupados que os estudantes dominassem
habilidades algébricas como as técnicas de fatoração. Entretanto, Félix Klein, na
conferência dos professores de Matemática enfatizou a importância do ensino de
função na Educação Básica como uma forma de unir as diferentes áreas da
Matemática e, pela importância que o conceito de função vinha ganhando na solução
94
de problemas relacionados às ciências da natureza, como Física, Química e Biologia.
Assim, a última parte do século XIX e ao longo do século XX, os movimentos
de reforma da educação Matemática têm focado a atenção no papel e na importância
do conceito de função no currículo de Matemática, na disciplina de Matemática, em
seus usos em outros campos que não a Matemática, e no seu uso na vida diária dos
alunos. Por exemplo, Félix Klein abordou a importância da atenção dos professores
de Matemática do Ensino Médio para a possibilidade e a necessidade de desenvolver
o pensamento funcional em seus cursos antes do Congresso Internacional de
Matemáticos em sua reunião em 1893 (BRESLICH, 1928).
A partir da importância dada por Félix Klein ao ensino de função na Educação
Básica, houve um aumento no desenvolvimento de estratégias para o ensino do
conceito de função. Dreyfus e Eisenberg (1983) mostraram que diversas estratégias
de ensino eram utilizadas, as mais comuns introduziam o conceito de função por meio
de diagrama de flechas, gráficos, tabelas, problemas de palavras, par ordenado e uma
combinação entre elas.
De acordo com as crenças dos educadores matemáticos sobre o valor do
conceito de função na Matemática escolar, determinadas definições do conceito
tendem a ser enfatizadas. Lietzmann (1932) afirmou que a natureza arbitrária da
função de Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet é mais apropriada para conectar o
conceito de função com economia, estatística e representação gráfica tão útil na vida
dos alunos. Ele também expressou preferência pela natureza arbitrária da função de
Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet sobre a definição de expressão analítica de
Leonhard Euler e afirmou que o conceito de função não deve ser limitado a funções
especiais que se prestam a expressões analíticas (CHA, 1999).
Lennes (1932) enfatizou a importância da natureza dependente da função na
compreensão do caráter de mudança importante no mundo em que vivemos. Even
(1988) expressou que a definição de função de Dirichlet-Bourbaki ajuda na
compreensão da Matemática atual baseada em uma concepção mais moderna de
função. Em contraste, Malik (1980) viu a definição moderna estática e imaginava que
poderia ser adiada até o início dos cursos mais avançados, como topologia e análise
no nível elementar.
Bernet e Delessert (1972), entre outros educadores matemáticos da Suíça
realizaram um estudo para alterar o currículo de Matemática suíço à época. Dentre
95
muitas propostas sugeridas por eles, uma delas dizia respeito ao ensino de função.
Para esse conteúdo, eles criaram um diagrama mostrando as articulações que
deveriam existir, bem como os conceitos que estariam envolvidos na formação do
conceito de função (Figura 19).
Figura 19 – Diagrama dos conceitos articulados com função
Fonte: Traduzido de Bernet e Delessert (1972, p. 458)
De acordo com Cha (1999), as ideias de conjunto e univalência são mais
apropriadas do que a ideia de dependência porque são mais compreensíveis,
permitindo que todos interpretem adequadamente a maioria das discussões
encontradas na escrita Matemática e científica.
Cha (1999) ainda discute, a partir de alguns autores, quais deveriam ser as
formas de abordar o conceito de função. Para alguns, a definição de função como par
ordenado é correta e conveniente de usar; no entanto, apresenta graves deficiências
do ponto de vista pedagógico. A ideia de pares ordenados dá uma impressão estática
ao aluno, e assim considera que uma impressão dinâmica é muito mais apropriada.
Mesmo que não seja tão elegante ou formalmente simples, uma impressão dinâmica
de uma função será muito mais atraente para as crianças e as colocará em uma
posição muito melhor para usar seu conhecimento sobre funções.
96
Outros afirmam que a experiência parece mostrar que a abordagem por meio
de uma classe de pares ordenados é aquela que impõe severas limitações ao aluno
e fornece uma preparação pobre para qualquer trabalho posterior com funções. A
definição de função em pares ordenados caracteriza-se como um dos erros da
Matemática escolar ao sugerir que é preciso ensinar a definição mais intuitiva e prática
sem confundir os alunos com abstrações desnecessárias (CHA, 1999).
Pesquisadores como Breslich (1928) e Malik (1980) argumentam que enfatizar
a natureza dependente da função ajudará os alunos a compreender e interpretar as
mudanças inerentes do fenômeno ao longo do tempo, bem como o significado
subjacente e a conexão entre os fatos ou princípios matemáticos.
Cha (1999) também realizou uma análise de como os livros didáticos, de 1905
a 1997, nos Estados Unidos, definiam o conceito de função. Dessa análise ele chegou
a quatro tipos de definição: lógica, genética, de ação analógica e de expressão
analógica (Quadro 10).
Quadro 10 – Tipos de definição de função nos livros americanos de 1905 a 1997
Definição Lógica Definição Genética
Definição por Ação
Analógica
Definição por Expressão
Analógica
Uma função é uma
correspondência entre
dois conjuntos P e Q em
que cada elemento de P
corresponde a
exatamente um elemento
de Q.
Uma função é uma
relação entre duas
variáveis, de modo que
mudanças em uma
variável resultam em
mudanças na outra.
Uma função é uma
máquina com um
pequeno duende dentro
dela, que muda o que
você insere na máquina
antes de jogá-lo de volta
para fora da máquina.
Uma função é uma
equação que atribui um
valor a uma variável
usando várias
propriedades
Matemáticas.
Uma função é um
conjunto de pares
ordenados (x, y) para os
quais nunca há mais de
um valor de y para
qualquer valor de x.
Uma função é uma
relação entre duas
variáveis em que o valor
da variável independente
determina
exclusivamente o valor
da variável dependente.
- -
Exemplos de Palavras
Mapeamento,
Correspondência, Um
conjunto de pares
ordenados, Regra, Um
conjunto de pares de
números, Uma relação
de cada par ordenado
Uma função é uma
relação entre variáveis
quando o valor de uma
variável depende do
valor das outras.
Máquina, Caixa preta,
Operador, Operação,
Manipulação, Ação,
Calculadora (Gráfica)
Fórmula, equação,
gráfico, teste de linha
vertical, declaração
Matemática, expressão
Fonte: Cha (1999, p. 50)
De acordo com Cha (1999), as definições analógicas de função são de dois
tipos básicos (expressão e ação). As analogiasde expressão caracterizam a função
como fórmulas ou equações e as analogias de ação como operações ou máquinas.
Em contraste, um professor pode usar aspectos lógicos para definir a função.
97
Uma definição lógica, afirmaria que uma função é uma correspondência entre
dois conjuntos P e Q, em que cada elemento de P corresponde exatamente a um
elemento de Q. Outra definição afirmaria que uma função é um conjunto de pares
ordenados (x, y) para os quais nunca há mais de um valor de y para qualquer valor de
x (CHA, 1999).
Para Cha (1999), os professores podem enfatizar os aspectos genéticos da
função. Para o autor, uma definição genética afirmaria que uma função é uma relação
entre duas variáveis, de modo que mudanças em uma variável resultem em mudanças
na outra, ou que uma função é uma relação entre duas variáveis tal que o valor da
variável independente determina exclusivamente o valor da(s) variável(is)
dependente(s), ou ainda, que uma função é uma relação entre variáveis se o valor de
uma variável depende do valor da outra. Essas definições são chamadas de genéticas
porque estão relacionadas à origem do conceito de função.
As análises dos livros didáticos indicaram que as definições lógicas de função
foram mais populares na Matemática escolar do passado. Esse fato mostra, segundo
o autor, que, embora muitos pesquisadores tenham enfatizado a importância do
pensamento funcional e das definições de dependência na Matemática escolar, a
ênfase não atingiu a sala de aula do Ensino Médio (CHA, 1999).
Os professores devem estar familiarizados e confortáveis com todos os tipos
de definição para adaptar suas apresentações às experiências e entendimentos de
seus futuros alunos em vários contextos. Devem conhecer as vantagens e
desvantagens de cada tipo de definição. As definições genéticas são geralmente mais
aplicáveis do que as definições lógicas ou analógicas a disciplinas como negócios,
economia, física e estatística. Elas permitem que os alunos vejam a conexão entre a
definição e as relações de dependência (CHA, 1999).
As definições analógicas são muitas vezes mais fáceis de entender do que as
lógicas. As definições lógicas são mais apropriadas do que as definições genéticas e
analógicas na compreensão de ideias Matemáticas baseadas em concepções
modernas de função. Além disso, um número maior de relações são funções sob
definições lógicas. Por exemplo, as definições lógicas são mais apropriadas para
entender a funcionalidade da relação entre o conjunto de números de contagem e a
sequência de Fibonacci. Este é um bom exemplo de como algumas funções não são
relações de dependência (CHA, 1999).
98
Uma vez que apenas uma pequena porcentagem de estudantes do Ensino
Médio13 acaba estudando análise e topologia, a definição da teoria dos conjuntos
poderia ser adiada no início desses cursos e, uma definição simples e de fácil
compreensão, deveria ser ensinada no nível elementar. Deve-se notar também que
ainda não há evidências convincentes de que se for apresentado a um estudante uma
ideia com um nível maior de rigor e generalidade, desenvolverá um gosto mais forte
pelo assunto ou será mais bem treinado para assimilar as técnicas e conceitos em
que apenas uma forma particular de ideias está em uso (MALIK, 1980, p. 492).
Markovits, Eylon e Bruckheimer (1986) apresentam as representações e
componentes de uma função, conforme Quadro 11.
Quadro 11 - Representação de uma função e suas componentes
Representações /
Subconceitos
Verbal
Diagrama de
Flechas
Algébrica Gráfica
Domínio
Notação verbal ou
Matemática
Uma curva
envolvendo os
membros do
domínio
Notação verbal ou
Matemática
O eixo horizontal
(x) ou partes dele
Intervalo
(Imagem)
Notação verbal ou
Matemática
Uma curva
envolvendo os
membros do
intervalo (Imagem)
Notação verbal ou
Matemática
O eixo vertical (y)
ou partes dele
Regras de
correspondência
verbal Flechas Fórmula
Um conjunto de
pontos em um
sistema de
coordenadas
Fonte: Markovits, Eylon e Bruckheimer (1986, p. 19)
Os autores afirmam que os estudantes, aprendem (na maioria dos casos no
Ensino Médio) que a mesma função pode ser representada por cada uma das
representações acima, então eles têm que aprender a traduzir uma determinada
função de uma representação para outra, lidando com os três subconceitos e com
duas representações simultaneamente. Isso basicamente completa o estudo inicial
das funções em geral; os estudantes passam então a estudar funções lineares e, no
final do Ensino Fundamental – Anos Finais, funções quadráticas (MARKOVITS, EYLON,
BRUCKHEIMER, 1986, p. 19).
Entretanto, eles chamam a atenção para um tipo de função que, em geral, é
definida por meio de restrições e que não é amplamente discutida nas salas de aula.
Nesse caso, não é fornecido, de forma clara, o domínio, a imagem e as regras de
13 O contexto do Ensino Médio aqui apresentado é das escolas americanas, em que os estudantes da
High School têm a possibilidade de estudar Análise e Topologia na Reta.
99
correspondência. Por exemplo, “uma função é ‘definida’ pelas restrições 𝑓(−1) = 5,
𝑓(2) = 9 e 𝑓(6)=11 tem que ‘passar’ pelos pontos (−1,5), (2,9), (6,11), e o número de
funções que satisfazem essas restrições é infinito” (MARKOVITS, EYLON, BRUCKHEIMER,
1986, p. 19).
Noguès (1992/1993) em seu trabalho sobre a concepção de função, apresenta
um diagrama, a partir do currículo francês à época, dos conceitos envolvidos na
constituição do conceito de função, conforme Figura 20.
Figura 20 – Conceitos articulados ao conceito de Função no currículo Francês
Fonte: Traduzido de Noguès (1992/1993, p. 23)
A partir da Figura 20 identificamos que o conceito de função está dividido em
seis grandes tópicos: função numérica, aplicação linear, bijeção, função em
geometria, função contínua e função integrável.
100
O tópico função numérica é subdividido em três, ele se divide em três
categorias: sequência numérica, função “usual” e função, além de articular com os
outros dois grandes tópicos: função contínua e bijeção. Nos chama a atenção que o
conceito de Função Afim necessite apenas da categoria função “usual”, que são os
diferentes tipos de funções, que ao nosso ver, não seriam conceitos anteriores
necessários para a compreensão de Função Afim e posteriormente de função linear.
Outro aspecto a salientar é que a função linear depende da Função Afim ou da
aplicação linear, que aparece acoplada ao conceito de espaço vetorial. Entretanto,
olhando para as setas, percebemos que a função linear pode partir da função
integrável ou da função contínua, indo para função contínua (no primeiro caso), depois
função numérica, bijeção, aplicação linear e função linear.
As transformações geométricas podem ser desenvolvidas a partir de X
caminhos: 1) função integrável, função contínua, função numérica, bijeção,
transformação geométrica; 2) função integrável, função contínua, função numérica,
bijeção, função em geometria, transformação geométrica; 3) função contínua, função
numérica, bijeção, transformação geométrica; 4) função contínua, função numérica,
bijeção, função em geometria, transformação geométrica; 5) função, função em
geometria, transformação geométrica; 6) função, bijeção, função em geometria,
transformação geométrica; 7) função, bijeção, transformação geométrica; 8) função,
aplicação linear, bijeção, função em geometria, transformação geométrica; 9) função,
aplicação linear, bijeção, transformação geométrica; 10) função, função numérica,
bijeção, função em geometria, transformação geométrica; 11) função, função
numérica, bijeção, transformação geométrica.
As sequências numéricas estão desconectadas de Função Afim, o que é um
problema, uma vez que podemos, por exemplo, utilizar uma sequência numérica do
tipo progressão aritmética para conceituar uma Função Afim, oumesmo, linear.
Outras análises poderiam ser feitas desse diagrama do currículo francês na
década de 1990, contudo, ele se destaca por mostrar o quão complexo é estabelecer
todas as possibilidades de articulações com outros conceitos matemáticos.
Kleiner (1993), em seu texto, faz perguntas como: deve-se ensinar cálculo sem
funções? Quando introduzir a noção de função? Qual definição de função deveria ser
dada primeiro aos estudantes? Em relação à primeira pergunta, o autor vai dizer que
é possível ensinar as noções elementares do cálculo sem o uso de funções. Para ele,
101
a ênfase pode ser dada às curvas, encontrar tangentes e áreas de curvas. A curva é
um objeto matemático mais natural do que o conceito de função.
Sobre quando inserir a noção de função, Kleiner (1993) afirma que deve ser
inserida apenas quando houver a necessidade. Em relação à terceira pergunta, o
autor vai na mesma linha de pensamento da segunda, deve-se ensinar a definição
que for necessária ao problema ou situação em questão.
Kleiner (1993) discute a importância do ensino de função por meio de séries de
potência, por meio de integrais e como soluções de equações diferenciais. Segundo
ele, o professor de cálculo, ao não oportunizar essas diferentes definições de função,
cria compartimentos dentro da própria Matemática. Kleiner (1993) cita, por exemplo,
que as séries de potência podem encorajar os alunos a realizarem analogias com
funções polinomiais, trabalhar com cálculos numéricos e aproximados e, exibir
propriedades inesperadas entre funções (por exemplo a equação de Euler-Cotes que
relaciona funções exponenciais e trigonométricas - (𝑒𝑖𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝑥).
No ensino de funções por meio de integrais, Kleiner (1993) chama a atenção
para o fato de que nem todas as integrais podem ser expressas por finitos termos e,
portanto, foi necessário o desenvolvimento de um novo método para resolver tais
integrais, as funções elípticas.
No mesmo contexto, a resolução de equações diferenciais também não
depende exclusivamente de funções elementares, nesse caso, o desenvolvimento de
métodos de resolução também foram desenvolvidos a partir das séries de potência,
em consequência, por meio de funções.
Kleiner (1993) afirma que as equações mais importantes à época dos séculos
XVIII e XIX: a equação de Bessel, a equação de Legendre, a equação de Hermite e a
equação hipergeométrica, foram solucionadas por meio de séries de potência que
levam às funções com os respectivos nomes das equações, a saber: função de
Bessel, de Legendre, de Hermite e a função hipergeométrica. Nesse perspectiva, para
o autor, é importante mostrar diferentes tipos de funções e quais são seus papéis na
evolução da Matemática.
Do ponto de vista didático, Kleiner (1993) destaca a importância de trabalhar
com os problemas históricos que levaram às mudanças de concepção do conceito de
função. Em especial, ele cita o problema da corda-vibrante, os trabalhos de Jean-
Baptiste Joseph Fourier sobre a natureza das funções, a continuidade, a convergência
102
e a integração e, a importância de discutir os exemplos de Jean-Baptiste Joseph
Fourier e Augustin-Louis Cauchy, pois eles são cruciais na distinção entre funções e
suas descrições.
Schwarz e Dreyfus (1995) trazem uma discussão no campo didático sobre a
utilização de softwares no ensino do conceito de função. Inicialmente os autores
fazem algumas críticas relacionadas ao ensino equivocado de funções por meio de
ambiguidades gráficas, tabulares e algébricas. Eles realizaram uma pesquisa
envolvendo alunos americanos de três turmas do equivalente ao nosso nono ano do
Ensino Fundamental, totalizando 78 alunos. Foi utilizado o Modelo de Representação
Tripla (TRM) como ambiente de ensino e, para a análise, os pesquisadores utilizaram
um conjunto de três habilidades necessárias para a compreensão do conceito de
função: 1) o estudante deve lidar com o fato de que a informação representacional é
parcial; 2) ser capaz de fazer a ligação entre representações pertencentes a diferentes
configurações (gráfica, tabular e algébrica) e; 3) ser capaz de realizar transformações
entre as representações dentro do mesmo ambiente. Isso inclui principalmente
transformações dinâmicas em gráficos. Essas três habilidades podem ser
subdivididas, conforme Quadro 12.
Quadro 12 – Habilidades para compreensão do conceito de função
Habilidade 1 Habilidade 2 Habilidade 3
Dados Parciais
Link entre uma informação
gráfica e numérica
Reordenamento
Tabular
Interpolação
Link entre uma informação
numérica e algébrica
Escala
Gráficos Parciais
Link entre uma informação
algébrica e gráfica
Link entre partes de
um gráfico
Link entre diferentes
partes de um gráfico
-
Funções de
Transformação
Arbitrariedade - -
Fonte: Adaptado de Schwarz e Dreyfus (1995)
Os resultados mais importantes da pesquisa indicaram que trabalhar com o
ambiente TRM levou a maioria dos estudantes a lidar com dados parciais sobre
funções (por exemplo, problemas de interpolação e arbitrariedade), a reconhecer
invariantes (propriedades de funções) ao coordenar ações entre representações
pertencentes a diferentes ambientes e reconhecer invariantes ao criar e comparar
representações pertencentes ao mesmo ambiente (SCHWARZ, DREYFUS, 1995).
Sheehy (1996) realizou uma investigação com livros didáticos americanos de
1898 a 1996, buscando encontrar as definições de função trazidas por esses livros,
103
bem como identificar os capítulos que vinham antes e depois do capítulo envolvendo
funções (Quadro 13).
Quadro 13 – Posição do Capítulo sobre Função nos livros didáticos Americanos
Ano Título do Capítulo Capítulo(s) Anterior(es) Capítulo(s) Posterior(es)
1898 Gráficos
- Propriedades de séries
- Teorema Binomial
- Logaritmos
-
1917
Funções: equações com uma
incógnita
- Funções Trigonométricas
- Equações Lineares
- Equações quadráticas com
uma incógnita
-14
1939 Funções e seus gráficos
- Operações Fundamentais
- Fatoração e Frações
- Expoentes e Radicais
- Equações e suas soluções
- Sistemas de Equações
Lineares
- Equações Quadráticas
1967 Relações, gráficos e funções - Sistema dos Números Reais
- Funções Circulares
- Funções Trigonométricas, -
Relações e ângulos
- Equações lineares,
inequações e funções
1972 Relações e Funções
- Expressões Racionais
- Exponenciais e raízes
- Equações Quadráticas
- Sistemas de Equações
- Funções logarítmicas e
Exponenciais
- Sequências e Séries
1989 A ideia de função
- Álgebra Básica
- Equações e Inequações
- Funções Elementares
- Funções exponencias e
logarítmicas
1993 Funções -15
- Plotagem de gráficos de
funções
- Funções trigonométricas
- Gráficos e Inversas de
Funções Trigonométricas
1996 Relações Funcionais
- Dados e relações
- Padrões, mudanças e
expressões
- Solução de Equações
Lineares
- Análise de funções lineares e
seus gráficos
- Conectando coeficiente
angular e funções lineares
Fonte: adaptado de Sheehy (1996, p. 12)
Pelo quadro, podemos constatar que, no final do século XIX e início do século
XX, o conteúdo de funções estava no capítulo final do livro, sugerindo que era um
conteúdo que dependia dos demais ou que ainda não era essencial para a Matemática
da Educação Básica. Posteriormente, este conceito passou a ter mais importância ou
mais utilidade e se tornou parte essencial dos livros de Matemática da Educação
Básica.
Em relação aos capítulos anteriores, com exceção dos dois primeiros livros e
do livro de 1993, cujo capítulo de funções é o primeiro, os demais trazem conteúdos
de Matemática elementar, como operações fundamentais, fatoração, fração,
14 O capítulo do livro de 1898 e 1917 sobre funções era o último do livro.
15 O capítulo do livro sobre funções era o primeiro.
104
expoentes e radicais, equações e inequações.75
Quadro 6 – Fases da Teoria APOS ..................................................................................... 83
Quadro 7 – Categorização das funções .............................................................................. 84
Quadro 8 – Concepções Operacional e Estrutural de Anna Sfard ....................................... 88
Quadro 9 – Perspectivas Cognitivistas para o conceito de função ...................................... 90
Quadro 10 – Tipos de definição de função nos livros americanos de 1905 a 1997 ............. 96
Quadro 11 - Representação de uma função e suas componentes ...................................... 98
Quadro 12 – Habilidades para compreensão do conceito de função ................................. 102
Quadro 13 – Posição do Capítulo sobre Função nos livros didáticos Americanos ............ 103
Quadro 14 – Modelo teórico para ensino do conceito de função ....................................... 106
Quadro 15 – Relações entre Piaget e Vygotsky ................................................................ 112
Quadro 16 – Tipos de Invariantes Operatórios .................................................................. 119
Quadro 17 – Comparativo entre os conceitos organizadores das Estruturas Aditivas ....... 126
Quadro 18 – Categorias dos Problemas Mistos (PM) ........................................................ 131
Quadro 19 – Categorização dos Problemas Mistos .......................................................... 134
Quadro 20 – Conceitos entendidos como ideias-base da Função Afim ............................. 145
Quadro 21 – Conceitos organizadores de Função identificadas ao longo do tempo ......... 150
Quadro 22 – Situações-problema de função resolvidos e a serem resolvidos do ponto de
vista psicológico ................................................................................................................. 160
Quadro 23 – Conceitos organizadores identificados nas Estruturas Aditivas e Multiplicativas
e, nos Problemas Mistos .................................................................................................... 161
Quadro 24 – Conceitos organizadores nos Problemas Mistos e nas Funções .................. 162
Quadro 25 – Candidatos a Ideias-base presentes nas perspectivas histórica e cognitiva
simultaneamente ............................................................................................................... 163
Quadro 26 – Tipificação identificadas das Representações de Funções a partir das
Perspectivas Cognitiva e Didática ...................................................................................... 166
Quadro 27 – Tipificação identificadas das Representações de Funções a partir da
Perspectiva Histórica ......................................................................................................... 167
Quadro 28 – Níveis de função e o Quarteto – Ensino Fundamental (Anos Iniciais) ........... 172
Quadro 29 – Níveis de função e o Quarteto – Ensino Fundamental (Anos Finais) ............ 173
Quadro 30 – Níveis de função e o Quarteto – Ensino Médio ............................................. 174
Quadro 31 – Níveis de função e o Quarteto – Ensino Superior ......................................... 175
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 – Proposta de estratégia para desenhar um Estado da Arte ................................. 25
Figura 2 – Categorização dos textos encontrados .............................................................. 27
Figura 3 – Mapa da Tese .................................................................................................... 28
Figura 4 - Estágios no desenvolvimento da noção de função .............................................. 32
Figura 5 – Representações gráficas de Oresme ................................................................. 34
Figura 6 - Tentativa de Nicolau de Oresme em representar duas quantidades que variam . 35
Figura 7 – Nove Estágios da evolução de função ............................................................... 50
Figura 8 – Experimento das Flores ..................................................................................... 53
Figura 9 – Experimento de Piaget sobre Deslocamento ...................................................... 55
Figura 10 – Tipos de erro no Experimento do Deslocamento .............................................. 56
Figura 11 – Conservação de Equação – Tipologia 1 ........................................................... 65
Figura 12 – Conservação de Função - Tipologia 2 .............................................................. 66
Figura 13 – Conservação de Função - Tipologia 3 .............................................................. 67
Figura 14 – Conservação de Função - Tipologia 4 .............................................................. 67
Figura 15 – Concepções de estudantes do conceito de função .......................................... 74
Figura 16 – Decomposição Genética de Dubinsky .............................................................. 80
Figura 17 – Função como uma máquina de transformação................................................. 86
Figura 18 – Diagrama de Atividades do MER...................................................................... 89
Figura 19 – Diagrama dos conceitos articulados com função .............................................. 95
Figura 20 – Conceitos articulados ao conceito de Função no currículo Francês ................. 99
Figura 21 - Ordem hierárquica dos conceitos .................................................................... 121
Figura 22 – Aspectos da Noção de Hierarquia .................................................................. 122
Figura 23 – Representação esquemática das Relações Base das Estruturas Aditivas ..... 127
Figura 24 – Classificação das situações aditivas .............................................................. 128
Figura 25 – Eixos e Classes das Estruturas Multiplicativas ............................................... 130
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ..................................................................................................................... 15
CAPÍTULO 1 – O MOVIMENTO METODOLÓGICO ADOTADO ....................................... 20
1. 1 A ESCOLHA METODOLÓGICA ............................................................................ 21
1. 2 O MAPA DA TESE ................................................................................................ 27
CAPÍTULO 2 – REVISITANDO O CONCEITO DE FUNÇÃO ............................................ 29
2. 1 PERSPECTIVA HISTÓRICA ................................................................................. 29
2.1.1 Uma síntese ................................................................................................... 49
2. 2 PERSPECTIVA COGNITIVA ................................................................................. 51
2.2.1 Uma síntese ................................................................................................... 90
2. 3 PERSPECTIVA DIDÁTICA .................................................................................... 91
2.3.1 Uma síntese ................................................................................................. 107
2. 4 UM DESPERTAR CONCEITUAL PARA FUNÇÃO .............................................. 108
CAPÍTULO 3 – TEORIA DO CAMPOS CONCEITUAIS .................................................. 111
3. 1 DO CONCEITO AO CAMPO CONCEITUAL ........................................................ 111
3. 2 CAMPO CONCEITUAL ....................................................................................... 114
3. 3 HIERARQUIA PSICOGENÉTICA ........................................................................ 121
3. 4 CAMPO DAS ESTRUTURAS ADITIVAS ............................................................. 125
3. 5 CAMPO DAS ESTRUTURAS MULTIPLICATIVASA representação de gráficos aparece,
como capítulo, apenas a partir do livro de 1993. Isso pode indicar o resultado de
pesquisas que estavam sendo feitas sobre o conceito de função nas décadas de 1980
e 1990 indicando a importância da representação gráfica no ensino de funções.
Bagni (2004) realizou a análise de uma proposta de ensino aplicada a alunos
com idade em torno de 16 anos do Ensino Médio italiano sobre noções de função real,
função contínua, domínio de uma função e integral. Dos resultados, o autor afirma que
o papel da representação é essencial na aprendizagem de matemática. Para ele, a
influência da visualização estudada, nessa proposta, a representação gráfica ou
cartesiana é considerada a principal ação do estudo de uma função matemática.
Entretanto apenas esse tipo de representação pode ser ineficiente para a
caracterização de um conceito e para o completo desenvolvimento da habilidade em
usar e coordenar registros de representação diferentes. No caso de função, os
estudantes podem ser levados a entender que toda função tem uma representação
gráfica, o que está equivocado, como o exemplo da Equação 1, já apresentada.
Rezba, Koziol, Drier e Hall (2004) desenvolveram um livro para professores
americanos do Elementary School (nosso Ensino Fundamental) para treinamento e
desenvolvimento de atividades no ensino de padrões, funções e álgebra a alunos do
K-5 (nosso Ensino Fundamental – Anos Iniciais). A proposta das autoras para que os
alunos possam desenvolver o pensamento algébrico perpassa alguns conceitos,
nessa ordem de ensino: padrões, variáveis, equivalências, expressões, relações e
funções.
Hansson (2006) analisou as perspectivas sobre o conceito de função de mais
de 39 professores a partir de um programa de formação de professores que durou 30
semanas e realizado pela Kristianstad University, Suécia. Kwari (2007) investigou até
que ponto sete alunos do oitavo ano (nosso equivalente também é o oitavo ano) de
Zimbábue com pouca experiência em álgebra desenvolveriam o conceito de função.
A experiência de ensino cobriu um total de 26 aulas, um período de cerca de oito
semanas distribuídas por dois períodos. Os dados foram coletados a partir do trabalho
escrito dos alunos, discussões gravadas em áudio e entrevistas com alunos
selecionados. Os resultados mostraram que as funções podem ser introduzidas no 1º
ano (nosso primeiro ano do Ensino Médio) e os alunos progrediram na compreensão
da maioria dos aspectos de uma função.
105
Kabael e Tanisli (2010) realizaram um estudo entre os conceitos de padrão e
função, as estratégias de ensino deles no processo de pensamento algébrico e uma
comparação no currículo turco. Os resultados obtidos nesta investigação são dados
em apoio às recomendações dos pesquisadores. Kabael e Tanisli (2010) identificaram
que há um salto entre a noção de pensamento funcional para o conceito de função na
passagem do Ensino Fundamental para o Ensino Médio. Assim, os autores concluem
que, como a relação funcional é uma noção pré-requisito para o conceito de função e
a relação funcional deve ser adquirida desde o início, o ensino do conceito de função
deve ser considerado não na matemática do High School (nosso Ensino Médio), mas
na matemática das séries iniciais.
Sears, Tran, Woo Lee e Thomas (2016) realizaram um estudo com 61 livros
didáticos americanos da Educação Básica, de 1908 a 1950. Nessa investigação eles
realizaram algumas análises. Uma delas diz respeito a estar explícito ou não o
conceito de função. Trinta e seis livros continham explicitamente a definição de função,
os demais não. Os autores identificaram diferenças dos verbos usados nas definições
pelos livros didáticos para descrever as relações funcionais entre a variável
dependente e a independente. Segundo eles, os verbos mais utilizados eram
depender, relacionar, corresponder, variar, conectar etc. Além disso, do ponto de vista
quantitativo, 44% das definições descreviam funções em termos de variáveis, 31% em
termos de uma expressão e os 25% restantes como uma quantidade/número (SEARS,
TRAN, WOO LEE, THOMAS, 2016).
Em relação às representações, os resultados dos autores destacam que as
tabelas foram a representação mais comum (72%). As representações que foram
identificadas eram: gráfico, expressão, 𝑦 =, 𝑚 =, tabela, coordenadas em pontos,
𝑓(𝑥) e equação. Eles não encontraram algum livro com a representação do Diagrama
de Venn (ou mapeamento). Outro aspecto analisado foi a presença de situações “do
mundo real”, nas quais os autores identificaram que 61% das situações desse tipo
eram dadas apenas nos exercícios e não os exemplos que os professores davam
(SEARS, TRAN, WOO LEE, THOMAS, 2016).
No trabalho de Santos e Barbosa (2017), cujo objetivo era criar um modelo
teórico para o ensino do conceito de função, a análise para desenvolvimento desse
modelo foi realizada em duas coleções de livros didáticos brasileiros do Ensino
Fundamental nos Anos Finais e do Ensino Médio, nos anos de 2014 e 2015. No
106
Quadro 14, há o resumo dos “panoramas” desenvolvidos a partir dos livros didáticos.
Quadro 14 – Modelo teórico para ensino do conceito de função
Panorama
“que” (regras de
reconhecimento)
“como” (regras de realização) Vinculações
Tabular
Relação entre dados
por intermédio de
uma tabela, desde
que a cada dado de
entrada esteja
relacionado a um
único dado de saída.
Dispor os dados de entrada e
os correspondentes de saída,
de uma relação funcional, em
linhas ou colunas.
- Identificar variáveis dependentes
e independentes.
- Reconhecer a noção de
variação.
- Identificar relações funcionais
lineares (proporcionalidade direta)
e recíprocas (proporcionalidade
inversa).
- Caracterizar incorretamente o
tipo de relação funcional.
Diagrama
Correspondência
entre conjuntos
(apresentados em
diagramas), que a
cada elemento de
conjunto de entrada
corresponda um
único elemento do
conjunto de saída.
Dispor os conjuntos de
entrada e saída de uma
relação funcional em
diagramas, de forma que cada
elemento do conjunto de
entrada corresponda (seta) a
único elemento do conjunto de
saída.
- Identificar os conjuntos domínio,
contradomínio e imagem de uma
relação funcional.
- Reconhecer relações funcionais
invertíveis.
Algébrico
Lei, regra, fórmula, a
qual seja possível
explicitar, de forma
única (excetuando-se
expressões
algébricas
equivalentes), a
variável dependente
em termos da
variável
independente.
Realizar um texto da forma
𝑦 = 𝑓(𝑥) , para uma relação
funcional 𝑓 cuja variável
independente é denotada por
x e a dependente por y.
- Reconhecer a relação de
dependência entre variáveis.
- Reconhecer e definir tipos de
relações funcionais.
- Operar com relações funcionais.
- Dificultar o reconhecimento de
relações funcionais que não são
realizáveis algebricamente.
Gráfico
Conjunto de pontos
(𝑥, 𝑦) no plano
cartesiano (𝑅𝑥𝑅), em
que (𝑥, 𝑦1) = (𝑥, 𝑦2),
se e somente se 𝑦1 =
𝑦2.
Plotar pontos (x,y) no plano
cartesiano, em que y e x estão
em relação funcional, com x
variável independente e y
dependente.
Esses dados podem ser
extraídos de uma realização
tabular, por diagrama, ou
algébrica.
- Reconhecer a noção de variação
e dependência entre variáveis.
- Caracterizar e reconhecer
algumas características das
relações funcionais, tais como:
zeros, sinal, injetividade e
monotonicidade.
- Dificultar o reconhecimento de
relações funcionais que não são
realizáveis graficamente.
Generalização
de padrões
Texto declarativo ou
simbólico que a partir
de algumas
informações de uma
sequência aritmética
ou geométrica,
explicita de forma
geral, seu padrão.
Expressar um padrão ou
regularidade para um
elemento em uma posição
genérica de uma sequência
aritmética ou geométrica, em
termos da sua posição.
- Reconhecere desenvolver o
entendimento da relação de
dependência entre variáveis e de
variação.
- Gerar equívocos na
caracterização da relação
funcional, com a prevalência do
modelo linear ou afim para
produzir generalização de
padrões.
Formal
Associação ou
correspondência
univalente e arbitrária
entre variáveis
quaisquer.
Produzir um texto que defina
função, na qual devem estar
explicitadas as características
de univalência e
arbitrariedade, por intermédio
de quantificadores.
- Evidenciar as características de
univalência e arbitrariedade do
conceito de função.
- Propiciar o reconhecimento de
relações que são funcionais em
diferentes realizações.
- Exigir uma familiaridade com a
terminologia de quantificadores.
Fonte: Santos e Barbosa (2017, p. 333)
107
Dreyfus e Eisenberg (1983, p. 131) foram categóricos em sua pesquisa ao
descrever os desafios no ensino de funções, “[…] devemos ensinar para que nossos
alunos sejam capazes de compreender noções globais e encontrar inter-relações”.
2.3.1 Uma síntese
Uma boa parte dos autores que analisou os livros didáticos, do início até
meados do século XX, identificou uma prevalência de representações algébricas
como principal forma de iniciar o conteúdo de funções. Outros livros, da mesma época,
abordavam o conceito de função privilegiando os pares ordenados em detrimento das
outras representações. Com o decorrer do tempo e dos resultados de outras
investigações apontando a importância de tratar do conceito de função a partir de sua
natureza relacional, os livros didáticos do começo do século XXI começaram a trazer
mudanças nas formas de apresentar o conceito de função, deixaram de priorizar a
função como pares ordenados e passaram a evidenciar outras representações como
tabular e gráfica, que correspondem às primeiras noções de função.
Além disso, identificou-se como os livros didáticos alteraram o posicionamento
do conceito de funções ao longo dos capítulos. No final do século XIX e começo do
século XX, o tópico de funções aparecia ao final dos livros. A partir da década de 1940,
tal tópico mudou de posição e começou a ser ensinado mais cedo, mas depois de
tópicos como equações, sistema de números e operações fundamentais. Essa
mudança corresponde ao processo epistêmico pelo qual o conceito de função passa
ao longo do tempo.
Dos textos analisados, muitos evidenciaram a importância de trabalhar o
conceito de funções por meio de múltiplas representações e com diferentes situações.
A utilização dos pares ordenados como início da discussão do conceito de função,
para muitos autores, gera uma visão estática, já a natureza de dependência, ao
contrário, permite aos estudantes perceber a dinamicidade que o conceito de função
proporciona, principalmente em situações cotidianas.
Um resultado vindo do texto de Cha (1999) é a classificação das definições de
função em: lógica, genética, analógica e por expressão. Essa classificação
corresponde ao percurso epistêmico do conceito de função.
Outro aspecto, a considerar, são os diferentes tipos de representação que uma
função pode assumir, esse aspecto já havia aparecido nas perspectivas histórica e
108
cognitiva. Entretanto, poucos textos aprofundam sobre os tipos de representação, em
sua maioria, ficam atidos nas formas gráfica, tabular e algébrica. E ainda, não
discutem a possibilidade de alguns tipos de função não terem todos os tipos de
representação (Equações 1, 2, 3 e 5).
Diferentes autores não têm um consenso sobre quais deveriam ser as
abordagens didáticas para o ensino de função, isto demonstra a complexidade deste
conceito. Também foi possível identificar a dificuldade em mapear todos os conceitos
relativos ao conceito de função.
Essa etapa, de compreensão do processo didático, aliadas às outras duas
etapas: histórica e cognitiva, nos permitiram “despertar” para uma nova forma de
compreender o conceito de função: como um Campo Conceitual, no qual estão
imbricadas situações históricas que levaram os matemáticos a desenvolverem novas
formas de conceber o conceito de função, seja como definições, novas funções e,
principalmente, novas representações.
2. 4 UM DESPERTAR CONCEITUAL PARA FUNÇÃO
Ao longo desse capítulo, foram descritos vários métodos e definições para
gerar e representar funções. Uma pergunta, que pode ser feita é: qual era a natureza
do conceito de função durante cada período histórico? Três características ou
representações podem ser discernidas em sua evolução: a algébrica (a fórmula, a
expressão analítica), a geométrica (a curva) e a abstrata/lógica (a regra, a
correspondência). Pode-se dizer que em vários momentos, uma ou outra dessas
representações foi mais presente.
No início do século XVII, devido a criação da geometria analítica e da ascensão
da Matematização da ciência, um grande número e variedade de curvas foram
desenvolvidas. Ainda no mesmo século, é visto que as curvas e suas equações foram
os principais objetos de estudo do cálculo, que, com o decorrer do tempo, foram sendo
alterados para aspectos algébricos sem, ainda, fazer referência às curvas.
No início do século XVIII, um novo conceito de função foi desenvolvido, este
era algébrico e havia sido pensado como uma fórmula única, uma única expressão
analítica que pudesse representar cada função. Com a discussão da resolução das
cordas vibrantes e do desenvolvimento das séries de potência, o conceito de função
109
foi estendido para incluir funções dadas por duas ou mais expressões analíticas.
No começo do século XIX, o surgimento do conceito de função como uma regra
ou correspondência arbitrária foi desencadeada pelos desenvolvimentos no cálculo,
especialmente aqueles advindo de Jean-Baptiste Joseph Fourier e Augustin-Louis
Cauchy. Nesse período, com o advento do cálculo diferencial e integral, o estudo do
comportamento de uma função sobre a reta real foi substituído por um estudo da
função em pontos de um intervalo na reta real.
O conceito de função mudou para atender a uma nova perspectiva, de uma
fórmula universalmente válida para uma regra focada na correspondência entre os
números, a chamada definição de função de Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
da década de 1820 é indicativa dessa nova visão: “[...] 𝑦 é uma função de uma variável
𝑥, definida no intervalo 𝑎de insatisfação, pois alguns
110
alegaram que a definição de Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet dava uma
“licença” ampla para criar funções. Essas dúvidas faziam parte do movimento
intuicionista da época, o qual passou a questionar vários conceitos e práticas da
Matemática do século XIX.
Esse movimento liderou um avanço do ponto de vista pedagógico, pois levou
os professores e, consequentemente os estudantes a se perguntarem as razões para
o estudo de tais conceitos. Além disso, os fez perceber que a Matemática não é
apenas fórmulas e imagens. No nosso caso, que as funções não são apenas
expressões analíticas ou curvas, embora as duas sejam conceitos presentes nas
correntes dominantes do pensamento matemático - a algébrica (ou analítica) e a
geométrica (ou sintética) (KLEINER, 1993).
Uma vez que os intuicionistas se “rebelaram” e a psicologia do desenvolvimento
humano se desenvolveu, muitos trabalhos de caráter cognitivista foram realizados
para compreender o processo de aprendizagem, estando eles vinculados à história
da Matemática ou à própria evolução biológica do sujeito. Essas pesquisas permitiram
que novas formas de ensinar funções fossem desenvolvidas a partir de resultados
experimentais, que geraram teorias de aprendizagem diversas (KLEINER, 1993).
As teorias de aprendizagem apresentadas nas seções anteriores mostram a
busca por diferentes formas de compreensão do processo cognitivo do sujeito. Além
do que, dadas suas peculiaridades, todas elas são derivadas da Epistemologia
Genética de Jean Piaget.
De alguma forma, elas procuram desvendar o processo pelo qual um sujeito
aprende e conceitualiza um conceito ou um conjunto de conceitos. Nesse contexto, e
assumindo a Teoria dos Campos Conceituais de Gérard Vergnaud, como caminho
para desvendar essa conceitualização, no próximo capítulo os conceitos e
características dessa teoria são aprofundados, com o intuito, ao final, de buscar
responder à nossa pergunta de pesquisa.
111
CAPÍTULO 3 – TEORIA DO CAMPOS CONCEITUAIS
“Só conhecendo a forma como os alunos
aprendem é possível ensinar”.
Gérard Vergnaud
Uma vez apresentada a história; do conceito de função por meio das três
perspectivas: histórica, cognitiva e didática, tratamos agora de apresentar os aspectos
da Teoria dos Campos Conceituais.
Na seara dos conceitos, nos interessa formalizar o que são conceitos
matemáticos. Muitos matemáticos, psicólogos e filósofos se dedicaram (e têm se
dedicado) a compreender como um conceito matemático é formado. Teorias advindas
da filosofia (principalmente da filosofia da linguagem), da psicologia, da epistemologia,
da sociologia, da antropologia, dentre outras áreas, têm contribuído para esclarecer
esse ponto.
3. 1 DO CONCEITO AO CAMPO CONCEITUAL
Do ponto de vista epistemológico e psicológico, Piaget, Grize, Szeminska e
Bang (1968) e, Beth e Piaget (1966), trouxeram inúmeras contribuições ao campo do
conhecimento em geral e da Matemática, em particular. Vergnaud (1996a), ao
apresentar algumas ideias essenciais de Piaget e sua equipe que interessam à
didática da Matemática, afirma que Piaget:
[...] estudou o desenvolvimento de muitos conceitos: o de número, espaço,
tempo, velocidade, acaso, proporcionalidade etc., a psicologia das estruturas
gerais do pensamento. Ele se sentiu capaz de identificar uma série de
estágios gerais, dos quais os dois últimos, em sua opinião, foram
caracterizados por estruturas diretamente inspiradas pela lógica:
- a fase das operações 'concretas', pelo conceito de agrupamento;
- a fase de operações 'formais', pelo grupo INRC16 (VERGNAUD, 1996a, p.
185).
Contudo, Vergnaud (1996a), ao fazer uma análise dos últimos estágios aos
16 Por Grupo INRC, “Piaget costumava considerar o estágio formal do desenvolvimento cognitivo que
poderia ser descrito como uma coordenação do relacionamento entre quatro transformações de
sentenças: N= negação, R = reciprocidade, C= correlação; I = identidade. Elas formam um Grupo de
Klein” (VERGNAUD, 1996a, p. 194, tradução nossa). Para maiores esclarecimento sobre o grupo INRC
sugiro a leitura do excelente texto El grupo de transformaciones de Piaget, de Gutiérrez (1989).
112
quais Piaget e sua equipe buscaram como se dá o desenvolvimento dos conceitos
matemáticos, em específico o de função linear, foi taxativo:
[...] o grupo INRC não contribui com quase nada para a análise. Minha
conclusão sobre este ponto é, portanto, clara. O que cria a unidade de um
processo de conceituação são mais os vínculos longitudinais do que a
associação transversal. A área conceitual das Estruturas Multiplicativas e da
proporcionalidade, que é dominada por estudantes e adultos em um processo
lento e gradual, fornece um arcabouço teórico mais operacional para
pesquisa e ensino do que a estrutura lógica que deveria caracterizar o estágio
operatório ‘formal’ (VERGNAUD, 1996a, p. 187).
Vergnaud (1981, p. 7) em seu texto sobre quais os ensinamentos de Piaget
para a didática, aponta algumas ideias teóricas do epistemólogo: “- conceito de
invariante operatório; - a função simbólica; - o interacionismo; - a noção de equilíbrio”.
Outro avanço trazido por Piaget e seus companheiros é o conceito de esquema.
Vergnaud (1996a) afirma que três ideias trazidas pelo grupo de Piaget ajudam a
compreender um esquema: 1) a de que um esquema é um todo funcional dinâmico,
2) que exemplos de esquemas podem ser encontrados na área da atividade sensório-
motora e, 3) que os esquemas não são importantes apenas para a área da atividade
sensório-motora, mas também para as atividades intelectuais. Essas três ideias
ajudaram Gérard Vergnaud ao adaptar o conceito de esquema para sua teoria dos
Campos Conceituais.
Do ponto de vista da linguagem, Vygotsky (2001), Vygotsky, Luria e Leontiev
(2010) e Leontiev (1981), avançaram na teoria da linguagem e da atividade,
desencadeando discussões a respeito da função simbólica e da linguagem, a
metacognição e a tomada de consciência. Vergnaud (2003, p. 37) apresenta em um
quadro os principais constructos das teorias de Piaget e Vygotsky, tornando possível
compará-las e estabelecer semelhanças e diferenças (Quadro 15).
Quadro 15 – Relações entre Piaget e Vygotsky
Piaget Vygotsky
Esquema Teoria da Atividade
Invariante Operatório Conceito Cotidiano x Conceito Científico
Função simbólica Linguagem e significação das palavras
Tomada de Consciência Consciência e Metacognição
Interação sujeito-objeto Interação adulto-criança
Estádio e Equilibração Zona de Desenvolvimento Proximal
Imitação – Interiorização Internalização
Estrutura de conjunto Sistema de conceitos científicos
Fonte: Vergnaud (2003, p. 37)
Para Vergnaud (2003, p. 24), tanto Vygotsky quanto Piaget, mesmo possuindo
metodologias de pesquisa diferentes, desenvolveram a ideia de que
113
[...] a conceitualização implica em um retorno reflexivo sobre a própria
atividade, [que] enfatiza a relação entre as propriedades do objeto e as
propriedades da ação. Uma atividade que, há trinta anos, denomina-se de
metacognição. E a ideia de que devemos ser cognitivos, para dar conta de
uma tarefa, e metacognitivos, para compreender o que fizemos (VERGNAUD,
2003, p. 24, acréscimo nosso).
Nesse ponto, do processo de conceitualização, Vergnaud (1982) se afasta das
teorias mais clássicas que singulariza um conceito e, passa a conceber como
interativa a sua formação, longe de uma única significação, sem que uma definição
dê conta de toda a complexidade de um conceito. Além disso, Vergnaud adaptou os
termos de Jean Piaget, ao “[...] substituir a interação sujeito-objeto pela interação
esquema-situação17” (OTERO, 2014, p. 15, tradução nossa), no cenário de uma sala
de aula.
Como afirma Grenier (2007, p. 3), “[...] os conceitos científicos nunca estão
sozinhos e não podem ser completamente isolados, é necessário levar em conta asrelações entre os diferentes conceitos envolvidos em qualquer situação”. Nesse
aspecto, Grenier (2007) defende que o conhecimento emerge de problemas a serem
resolvidos e situações que precisam ser dominadas. Assim, para ela, um conceito
matemático é funcional e significativo se as pessoas (ou os estudantes no contexto
da sala de aula) conseguem utilizar tal conceito numa ampla variedade de situações-
problema.
Para Vergnaud (1993, p. 1) “[...] um conceito não pode ser reduzido à sua
definição” e é “[...] através das situações e dos problemas a resolver que um conceito
adquire sentido”. Ele salienta que a natureza dos problemas pode ser teórica ou
prática e que o papel da linguagem e da representação do conceito são fundamentais.
Na esteira do que ele considera (ou não) conceito, Vergnaud, Halbwachs e
Rouchier (1978) afirmam que, para compreender como os conceitos são constituídos
nos diferentes níveis, é preciso distinguir três elementos interdependentes, a saber:
invariante operatório, regras de ação e cálculo relacional.
Nessa perspectiva de uma concepção interativa para um conceito em
formação, ele concebe um conceito como um triplete (S, I, )18.
S: conjunto de situações que fazem o conceito significativo
I: conjunto de invariantes que constituem o conceito
17 O uso do termo esquema-situação é uma simplificação da interação do “esquema do sujeito” com a
situação, ou seja, o esquema do sujeito se adapta às situações que lhe são impostas.
18 Vergnaud apresenta essa caracterização de um Campo Conceitual em diversos outros textos
(VERGNAUD, 1989; 1990; 1993; 1996b; 1996d; 2003; 2009c; 2013; 2017b; VERGNAUD, MOREIRA, 2017).
Trouxemos aqui uma das primeiras caracterizações, se não a primeira.
114
: conjunto de representações simbólicas utilizadas para representar o
conceito, suas propriedades e as situações referentes a ele (VERGNAUD,
1982, p. 36, tradução nossa).
Otero (2014, p. 27) chama atenção para o fato que, essa
[...] definição mostra que os conceitos são compostos por um elemento do
sujeito, como os invariantes operatórios presentes nos esquemas, de um
elemento objetivo de natureza epistêmica, como os tipos de situações, que
por sua vez interagem dialeticamente com os esquemas, e de um elemento
semiótico, que se refere ao sistema de signos ou de representação, usados
para expor os conceitos, as relações entre eles e para se referir aos objetos.
3. 2 CAMPO CONCEITUAL
Para Vergnaud (2008, p. 9), um Campo Conceitual é composto de “[…] um
conjunto de situações cujo domínio progressivo exige uma variedade de conceitos,
esquemas e representações simbólicas intimamente conectados e todos os conceitos
que contribuem para o controle dessas situações”.
Otero (2014) ainda define um Campo Conceitual como “[...] um conjunto de
situações, cujo domínio requer uma variedade de conceitos, procedimentos e
representações simbólicas estreitamente conectadas umas às outras” (VERGNAUD,
1982, p. 36). Para Grenier (2007, p. 3, tradução nossa), essa “[...] noção de Campo
Conceitual permite: substituir um conceito por um conjunto de conceitos que lhe são
próximos e especificar as classes de problemas para as quais esses conceitos são
ferramentas de resolução (portanto esclarecer seus significados)”.
Vergnaud (1993, p. 9) explica que “[...] o conceito de situação não tem aqui o
sentido de situação didática, mas o de tarefa. A ideia é que toda situação complexa
pode ser analisada como uma combinação de tarefas, cuja natureza e dificuldades
específicas devem ser bem conhecidas”. Para explicar o que são as situações,
Vergnaud (1985) afirma que,
[...] os conceitos de adição ou subtração, por exemplo (mas isso vale para o
conceito de força, o conceito de corrente elétrica, o conceito de interseção...),
fazem sentido em uma variedade de situações e classes de problemas cujas
características devem ser analisadas, e que devem ser classificadas de forma
precisa e exaustiva (VERGNAUD, 1985, p. 248, tradução nossa).
Essa relevância de classificar de forma precisa e exaustiva possui três razões
importantes: 1) razão de ordem funcionalista, 2) razão de natureza estruturalista e, 3)
razão desenvolvimentista e epistemológica. A primeira, diz respeito “[...] ao sentido da
aprendizagem e do discurso. Em que situações precisamos adicionar ou subtrair?
115
Para responder a que perguntas?” (VERGNAUD, 1985, p. 248).
A segunda, de natureza estruturalista, trata da diversidade das
[...] tarefas cognitivas envolvidas em diferentes situações: não é a mesma
coisa fazer uma subtração para encontrar uma diferença (Pierre tem 5 doces,
Julie tem 8 doces, quem tem mais e como muitos mais?), para encontrar o
estado inicial de uma coleção que cresceu (Robert acabou de ganhar 4
bolinhas, agora tem 9, quantas tinha antes de jogar?), ou simplesmente para
saber o que resta após o consumo (Stéphane tinha 8 doces, ele comeu 3,
quantos ele tem?) (VERGNAUD, 1985, p. 248).
A terceira e última razão, de ordem desenvolvimentista e epistemológica
procura compreender como um sujeito consegue dominar diferentes estruturas
gradualmente; se existem contradições entre a situação apresentada e a concepção
do sujeito e de que maneiras é possível ampliar as concepções do sujeito (VERGNAUD,
1985).
Para além das razões apresentadas por Gérard Vergnaud sobre as diferentes
situações, ele ainda distingue as situações em duas classes:
1) classes de situações em que o sujeito dispõe, no seu repertório, em dado
momento de seu desenvolvimento e sob certas circunstâncias, das
competências necessárias ao tratamento relativamente imediato da situação;
2) classes de situações em que o sujeito não dispõe de todas as
competências necessárias, o que o obriga a um tempo de reflexão e
exploração, a hesitações, a tentativas frustradas, levando-o eventualmente
ao sucesso ou ao fracasso (VERGNAUD, 1993, p. 2).
Nas duas classes de situações, temos o conceito de esquema, “[...] a
organização invariante do comportamento para uma classe de situações dada”
(VERGNAUD, 1993, p. 2), porém, o esquema opera de maneiras diferentes. No primeiro
caso, como o sujeito já possui as competências necessárias, o esquema, nesse caso,
um algoritmo automatizado, será o mesmo para uma mesma classe de situações. No
segundo caso, não há um esquema previamente definido e, portanto, o sujeito utiliza
dos esquemas já existentes para adaptá-los à nova situação. “Os esquemas estão no
centro do processo de adaptação das estruturas cognitivas: assimilação e
acomodação” (VERGNAUD, 1993, p. 3). “Nunca se deve esquecer que o eskema19 é
uma forma de organização da atividade para uma certa classe de situações”
(VERGNAUD, 2017a, p. 38).
19 A palavra eskema aqui aparece de forma diferente, pois a tradução foi realizada pelo Grupo de
Estudos sobre Educação, Metodologia da Pesquisa e Ação (GEEMPA), liderado pela professora
Esther Grossi, o qual defende o uso do K para a definição de Vergnaud de eskema como os recursos
que uma pessoa utiliza para enfrentar uma classe de situações. Essa diferença é pautada na
diferença existente entre schème e schèma, do francês. Schèma é interpretado como o desenho, a
figura esquemática, enquanto schème significa a regra que utilizamos para traçar uma figura, a ação.
116
Otero (2014, p. 17, tradução nossa) esclarece que “[...] há uma relação dialética
entre situações e esquemas, a existência de uns pressupõe a dos outros”. Dessa
forma, o esquema é o local em que se encontram os conhecimentos que geram as
ações do sujeito, são os elementos cognitivos que fazem a forma operatória atuar.
Vergnaud (1996d), a partir de Piaget, Grize, Szeminska e Bang (1968), caracteriza o
conhecimento em duas formas: operatória e predicativa. A forma operatória diz
respeito ao saber-fazer e, a forma predicativa, ao saber explicitar os objetos e suas
propriedades. Aqui, cabem alguns questionamentos: um conceitoé apreendido
quando sabemos utilizá-lo ou quando sabemos explicitá-lo? No caso do conceito de
função, se eu conheço a definição de uma função e consigo explicitá-la nas diferentes
representações, significa que eu apreendi o conceito? O que seria o saber-fazer no
caso de uma função?
Observamos que a noção tradicional de conceito não dá conta de responder a
essas perguntas, pois o conceito não é descrever, não é definir, não é saber utilizar,
mas é o conjunto de tudo isso, ou seja, significa entender e compreender o triplete (S,
I, ) em sua forma plena. Voltando ainda ao esquema, para Vergnaud (2019), ele é
uma parte importante para a constituição de um conceito. O esquema, segundo
Vergnaud (2019),
[...] é uma forma de organização da atividade, destinada a uma classe de
situações. Ele inclui:
1 um objetivo ou vários
2 regras de ação; de tomada de informação e de controle
3 invariantes operatórios: conceitos-em-ação e teoremas-em-ação20
4 possibilidades de inferência (VERGNAUD, 2019, p. 7).
Esses quatro elementos possuem características diferentes, o primeiro diz
respeito à intenção do sujeito, o segundo está vinculado ao “desenvolvimento
temporal da atividade (ações e coleta de informação)”, o terceiro refere-se “às
conceituações (frequentemente implícitas, eventualmente explícitas) que organizam
esse desenvolvimento”, e o quarto elemento, é sobre os “[…] cálculos que tomam
lugar durante o percurso (subobjetivos e expectativas, lições obtidas)” (VERGNAUD,
2019, p. 7).
E ainda, são “[...] as situações que dão sentido aos conceitos matemáticos, mas
20 Vergnaud (1996d) difere teorema-em-ação (ou teorema em ato para alguns autores) de conceito-
em-ação (ou conceito em ato para alguns autores). Se temos o isomorfismo de uma função linear,
podemos afirmar que 𝑓(𝛽𝑥) = 𝛽𝑓(𝑥) é um teorema-em-ação, enquanto 1 é um conceito-em-ação. “A
diferença é que um teorema pode ser verdadeiro ou falso, enquanto que um conceito não é
verdadeiro nem falso, mas apenas pertinente ou não pertinente” (VERGNAUD, 1996d, p. 16).
117
o sentido não se contém nas situações em si mesmas” (VERGNAUD, 1993, p. 18). E o
sentido para Vergnaud (1993) é uma “[...] relação do sujeito com as situações e os
significantes”, ou melhor,
[...] os esquemas evocados no sujeito individual por uma situação ou por um
significante constituem o sentido desta situação ou deste significante para
aquele sujeito. Esquemas, ou seja, comportamentos e sua organização. O
sentido da adição para um sujeito individual é o conjunto dos esquemas que
ele pode acionar para tratar de situações com que venha a confrontar-se,
concernentes à idéia de adição. É também o conjunto dos esquemas que ele
pode acionar para operar com os símbolos numéricos, algébricos, gráficos e
linguísticos que representem a adição (VERGNAUD, 1993, p. 18).
Desta forma, a linguagem e os significantes são essenciais na teoria dos
Campos Conceituais, pois eles possuem três funções: “[...] ajuda à designação e,
portanto, à identificação das invariantes: objetos, propriedades, relações e teoremas;
ajuda ao raciocínio e à inferência; ajuda à antecipação dos efeitos e metas, à
planificação e ao controle da ação” (VERGNAUD, 1993, p. 18); todos os elementos
presentes num esquema.
Em relação às regras ou controle de ação, Vergnaud, Halbwachs e Rouchier
(1978, p. 10) as definem como uma regra que permite criar ações conforme “[…] os
valores tomados por determinadas variáveis da situação. Essas variáveis podem
mudar ao longo do tempo, ou de uma situação para outra; uma regra (ou um conjunto
de regras) é, no entanto, usada para toda uma classe de situações”.
No caso da possibilidade de inferências, Vergnaud, Halbwachs e Rouchier
(1978) admitem que essas inferências são uma dedução feita pelo sujeito em uma
situação, utilizando os invariantes operatórios de que dispõe no campo das situações
consideradas. A inferência pode ser descrita, em geral, por uma composição ou uma
transformação de relações e propriedades.
Nos esquemas, estão presentes os invariantes operatórios. Para Vergnaud
(1976-1977), o conceito de invariante é o mais decisivo na teoria de Piaget. Os fatos,
as mudanças e adaptações psicológicas acontecem ao redor dos invariantes
operatórios, que, segundo Vergnaud, não podem ser isolados dos outros conceitos,
constituindo assim, a pedra angular do Campo Conceitual (VERGNAUD, 1976-1977).
Vergnaud (2017a, p. 41) esclarece ainda que “[...] o eskema é um conceito que
olha para a organização da atividade enquanto o tempo transcorre. Os Invariantes
Operatórios têm a ver com as formas explícitas dos objetos e dos seus predicados”.
Os invariantes remetem à noção de conceitualização, a identificação dos objetos e
118
suas propriedades.
Para Vergnaud (1976-1977), ao exemplificar como uma criança aceita ou não
um invariante operatório numa relação binária no domínio dos reais com a utilização
de um operador multiplicativo, afirma que “[...] o operador é verdadeiramente um
operador invariante apenas se for idêntico a si mesmo por meio desses cálculos
relacionais, e isso com suficiente grau de evidência para a criança” (VERGNAUD, 1976-
1977, p. 389, tradução nossa). Se a criança não tiver evidências de que o operador
funciona, ela deixa de aplicá-lo na solução da situação.
Vergnaud (1976-1977), chama a atenção para dois aspectos importantes sobre
os invariantes operatórios:
1) se, na apropriação dos invariantes operatórios, o critério da ação do sujeito
é o mais decisivo, é fundamentalmente porque este se situa ao nível do
significado e, portanto, do conceito, e não do significante. Ater-se às
explicações verbais do sujeito, ao uso que ele faz das palavras e dos
símbolos, é correr o risco de tomar pelo conceito, a palavra ou o signo que
designa o conceito. Na velha questão da relação entre linguagem e
pensamento, o critério da ação não suprime o da linguagem, mas subordina-
o a outro critério que é, em última instância, o do universo de invariantes
operatórios que alimenta e que rege a ação e que é apenas parcialmente
representado na língua.
2) Tudo o que foi dito anteriormente pressupõe que os objetos bem
identificados 𝑥, 𝑦, 𝑧 já existem sem ambiguidade para o sujeito, o que remete
ao problema do objeto permanente idêntico a si mesmo e único. No entanto,
se esse problema for resolvido muito cedo para determinados objetos, não é
para todos. Constituir ou apropriar-se de um novo invariante operatório é de
fato construir um novo objeto permanente, pois a equivalência das variáveis
x ou y entre elas se transforma na identidade do valor tomado pelo descritor
P ou pela relação R21.
Isso permite que o sujeito tome esse valor por sua vez para um objeto, capaz
de ser ele próprio descrito e relacionado, e cuja existência adquire assim um
grau de evidência suficiente. E assim por diante. O conceito de invariante
operatório permite, assim, não só apreender certas mudanças qualitativas no
comportamento da criança, mas também apreender o princípio de construção
de todo o edifício cognitivo.
Os invariantes operatórios se dividem em três tipos lógicos: 1) invariantes do
tipo “proposição”, que podem ser verdadeiras ou falsas, os “teoremas-em-ação” são
invariantes desse tipo; 2) invariantes do tipo “função proposicional”, que não são
suscetíveis de serem verdadeiras ou falsas, mas são elementos importantes na
construção das proposições, os “conceitos-em-ação” são exemplos dessa categoria.
Há ainda os 3) invariantes do tipo argumento. Nesse caso, podemos inferir que as
21 Vergnaud (1976-1977, p. 388) estabelece em parágrafos anteriores que “[...] Além das funções
proposicionais unárias 𝑃(𝑥) existem funções proposicionais com várias variáveis. As relações binárias
𝑅 (𝑥, 𝑦). As relações ternárias 𝑅 (𝑥, 𝑦, 𝑧), das quais pertencem todas as leis de composição binária
como 𝑥 + 𝑦 = 𝑧. Relações quaternárias etc.”.
119funções proposicionais podem possuir argumentos (ou propriedades) (Quadro 16).
Quadro 16 – Tipos de Invariantes Operatórios
Tipos Invariantes Operatórios Descrição
Na forma de Proposição Teoremas-em-ação
Na forma de Função proposicional Conceitos-em-ação
Na forma de Argumento Propriedades da função proposicional
Fonte: da pesquisa
O tipo lógico dos conceitos-em-ação difere do tipo lógico dos teoremas-em-
ação, os primeiros são funções proposicionais. Funções proposicionais e proposições
estabelecem uma relação dialética, ou seja, não há proposição sem funções
proposicionais, nem função proposicional sem proposições. De modo prático,
conceitos-em-ação e teoremas-em-ação são desenvolvidos em estreita mutualidade
(VERGNAUD, 1993).
Podemos ter funções proposicionais com dois argumentos (relações binárias),
três argumentos (relações ternárias como as leis de composição binária), quatro
argumentos (relações de proporcionalidade) e “n” argumentos.
Quem fala em função proposicional e proposição fala em argumento. Os
lógicos clássicos costumavam tomar seus exemplos entre os objetos
materiais comuns e suas propriedades. Eram então argumentos a, b e c
(valores particulares das variáveis x, y e z) objetos materiais como o livro, a
mesa ou o personagem Paulo; e funções proposicionais propriedades e as
relações P, R2, R3 [...]. Por exemplo: “Paulo põe o livro em cima da mesa”
pode ser escrito R3 (Paulo, livro, mesa), proposição esta resultante da
atribuição de valores particulares aos argumentos da função proposicional R3
(x, y, z) “x põe y em cima de z”, na qual x é uma pessoa, y um pequeno objeto
material manipulável, e z um suporte possível (VERGNAUD, 1993, p. 7).
Vergnaud (1993, p. 7) exemplifica que os argumentos, em Matemática, “[...]
podem ser objetos materiais (o navio está à direita do farol), personagens (Paulo é
maior que Celina), números (4 + 3 = 7), relações (‘maior que’ é uma relação
antissimétrica), ou mesmo proposições (‘8 é divisor de 24’ é a recíproca de ‘24 é
múltiplo de 8’)”.
Os “teoremas-em-ação” e os “conceitos-em-ação” não são teoremas e não são
conceitos, respectivamente. Esses últimos podem ser explicitados e passíveis de
identificar sua pertinência. Nesse sentido, “[...] conceitos e teoremas explícitos são
apenas a ponta visível do iceberg da conceitualização: sem a parte oculta, formada
pelas invariantes operatórias, essa parte visível nada seria” (VERGNAUD, 1993, p. 8).
Otero, Fanaro, Sureda, Llanos e Arlego (2014, p. 11) apontam que na teoria de
Vergnaud, a “[...] conceitualização é a pedra angular do desenvolvimento cognitivo”.
Para Vergnaud (2017a), a conceitualização é a constatação da existência dos
120
objetos do mundo, suas propriedades, suas transformações e suas relações. A
constatação passa pela identificação desses objetos, seja por um contato direto pela
percepção, ou por meio de uma construção cultural coletiva e pessoal. Nesse
contexto, assume-se que o conceito de função se dá por meio de uma criação
comunitária e pessoal, uma vez que o desenvolvimento do conceito perpassa o
sujeito, que o constrói, e pelo coletivo, que o verifica e “dá” sua permissão para aceitá-
lo ou não.
No caso de uma mesa, que é um objeto, acessamos esse objeto de maneira
direta, pela percepção temos acesso às suas propriedades e à sua identidade.
Entretanto, no caso de uma função, que também é um objeto (matemático), não temos
um acesso direto, pois se trata de “[...] um objeto que resulta de um longo trabalho, de
uma construção cultural e coletiva através da ciência, notadamente pelos matemáticos
e físicos, em longo prazo. Foi um trabalho amplo, com muitas hipóteses antes de ser
elaborado no século XVIII” (VERGNAUD, 2017a, p. 29).
Assim, podemos dizer que uma situação envolve diversos conceitos e que um
conceito se forma a partir de diversas situações, ou ainda, [...] um conceito remete
necessariamente a várias situações, a vários invariantes, a várias simbolizações
possíveis” (VERGNAUD, 1985, p. 248, tradução nossa). “Um conceito não é totalmente
um conceito enquanto não for explicitado em um esquema” (VERGNAUD, 2002, p. 5).
Grenier (2007) considera que nessa “modelagem” da aquisição do
conhecimento, o sujeito constrói um conceito por meio das muitas situações que ele
questiona ou utiliza. O sentido que se engendra está ligado aos tipos de situações as
quais o sujeito teve contato. No entanto, o significado não está completamente
abarcado nem nas próprias situações, nem apenas nas palavras e símbolos
associados. A linguagem e outros significantes (representações gráficas ou
geométricas, tabelas, equações características etc.) cooperam entre si na edificação
do sentido do conceito, tendo dupla função, de comunicação e de representação.
Admitindo essa forma de produção do conhecimento, é inegável então que,
enquanto professores, não teremos certeza se o estudante dominará o significado de
um conceito apenas sendo apresentado a ele um conjunto de definições, propriedades
e teoremas, é essencial que ele seja submetido a ter contato com diferentes situações
que o levarão a mobilizar diferentes esquemas e invariantes operatórios com suas
diferentes representações.
121
3. 3 HIERARQUIA PSICOGENÉTICA
Na esteira de que uma situação envolve diversos conceitos, e de que eles se
conectam numa rede, a importância de noção de hierarquia psicogenética dos
conceitos é “[...] obviamente frutífera para o estudo do desenvolvimento do
conhecimento em crianças e adolescentes, mas tem um significado mais limitado para
aquisições em adultos” (VERGNAUD, RICCO, 1977, p. 877).
O didático explica que essa hierarquia é psicogenética no sentido de que se
baseia na ordem em que a criança adquire conhecimentos teóricos e práticos. Mas
depende em grande parte da análise do próprio material. Ela não se reduz a isso e,
em particular, não se pode confundir a ordem lógica de exposição dos axiomas e
teoremas de uma teoria constituída, com a ordem de aquisição.
Essa ordem hierárquica não pressupõe uma ordem total, pode ser parcial
(Figura 21). Para conceitos mais simples, conseguimos encontrar uma ordem total, tal
como o exemplo de Vergnaud e Ricco (1977), de que os conceitos de conjunto e
classe precedem os conceitos de intersecção e união. No entanto, conceitos mais
complexos, como o de função, por exemplo, possuem características que nem sempre
supõem uma ordem linear, ou que se tenha garantido que um sujeito adquiriu por
completo um conceito organizador anterior por completo.
Figura 21 - Ordem hierárquica dos conceitos
Fonte: Vergnaud e Ricco (1977, p. 877)
122
Na tentativa de compreender melhor a noção de hierarquia, Vergnaud e Ricco
(1977) apresentam cinco aspectos sobre ela: 1) existe uma hierarquia entre os
conceitos, 2) as propriedades das diferentes noções e relações não são assimiladas
de maneira igual entre os sujeitos, 3) o sujeito pode encontrar uma hierarquia entre
classes e subclasses de problemas e situações, 4) existe uma hierarquia entre os
procedimentos e, 5) existe hierarquia entre as representações (Figura 22).
Figura 22 – Aspectos da Noção de Hierarquia
Fonte: da pesquisa
O primeiro aspecto mostra que a hierarquia entre conceitos pode ser total ou
parcial, dependendo de vários fatores. No segundo aspecto, Vergnaud e Ricco (1977)
apresentam um exemplo de como ele pode funcionar.
Para o matemático, por exemplo, a anti-simetria e a transitividade da relação
de ordem são axiomas independentes, situados no mesmo plano e
igualmente óbvios. Este não é o caso da criança, pois a aquisição da
transitividade é muito posterior à aquisição da anti-simetria. Da mesma forma,
a comutatividade da composição de transformações aditivas é mais
facilmente compreendida do que a propriedade de inversão, pelo menos se
julgarmos pelas capacidades operativas dos alunos na solução do problema.[...] podemos ainda citar o caso da estrutura de isomorfismo de medidas,
nesta estrutura, que corresponde a situações em que dois tipos de medidas
são proporcionais entre si, as diferentes propriedades das funções e
escalares envolvidos não são adquiridas simultaneamente (VERGNAUD,
RICCO, 1977, p. 878).
No terceiro aspecto, da hierarquia entre classes e subclasses, os autores
consideram essencial distinguir classes de problemas de mesmas noções ou
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1) Existe hierarquia entre conceitos
2) Propriedades diferentes são assimiladas
de formas diferentes
3) Pode existir hierarquias diferentes nas
mesmas situações
4) Existe hierarquia entre os procedimentos
5) Existe hierarquia entre as
representações
123
propriedades. Para eles, realizar uma diferenciação entre essas classes de problemas
é tão importante quanto saber quais as capacidades operacionais associadas a uma
noção ou propriedade. Cientes dessa importância associada a esse tipo de hierarquia,
os autores apresentam algumas maneiras como são formadas classes e subclasses
de situações e de que modo elas causam problemas de aprendizagem e de estrutura,
a mesma classe de problemas pode apresentar dificuldades desiguais de acordo com
os valores tomados pelas variáveis. A magnitude das quantidades presentes, seu
caráter decimal ou não, fracionário ou não, discreto ou contínuo, obviamente muda a
natureza da tarefa.
Assim, as crianças que passam por problemas com procedimentos não
canônicos quando os valores são pequenos e discretos, falham quando os valores
são muito grandes porque não possuem nenhum dos procedimentos canônicos. As
dificuldades desiguais devido aos diferentes valores possíveis das variáveis não
dizem respeito apenas às variáveis numéricas, mas também às outras categorias de
variáveis.
Podemos encontrar tais desigualdades quando colocamos os estudantes em
contato com situações de diferentes valores para uma variável qualitativa (cor, forma
etc.), para valores diferentes de uma variável lógica, para valores positivos ou
negativos de variáveis quantitativas, entre outros. Também há desigualdade quando
conteúdos diferentes, representáveis pela mesma estrutura Matemática, são tratados
de forma diferente (VERGNAUD, RICCO, 1977).
Os procedimentos utilizados num mesmo problema possuem hierarquia
(aspecto 4) e, os procedimentos utilizados pelos estudantes são numerosos,
identificáveis e analisáveis. De posse desses procedimentos, o professor pode
conduzir seus alunos a procedimentos mais abrangentes. Para os autores seria
imprudente “[...] privar-se de uma importante ferramenta psicopedagógica, ater-se a
procedimentos canônicos e, rejeitar como simples erros de procedimentos que,
quando analisados, refletem uma certa compreensão dos problemas” (VERGNAUD,
RICCO, 1977).
Esse aspecto está intimamente ligado aos instrumentos de avaliação do
professor, pois são eles que podem ajudar a compreender os diferentes
procedimentos dos alunos, utilizando os erros como fonte de aprendizagem.
No aspecto 5 - existe hierarquia entre as representações, os autores afirmam
124
que as representações que a criança faz de um problema são desigualmente efetivas,
desigualmente abstratas, desigualmente poderosas. Muitas vezes elas só podem ser
estudadas através dos comportamentos e procedimentos observados. Há
representações objetáveis, os rastros que a criança deixa no papel ou as explicações
que dá, por exemplo; e também as representações utilizadas no ensino (VERGNAUD,
RICCO, 1977, p. 881).
Portanto, no caso do conceito de função, ou ainda, o Campo Conceitual de
Função, só pode ser compreendido a partir de uma diversidade de problemas práticos
e teóricos dentro de uma construção histórico-cultural, levando em consideração
esses cinco aspectos. Grenier (2007, p. 5) considera que, uma vez “[...] identificado
os significados de um conceito científico a partir das situações que o caracterizam,
dos invariantes operatório e dos significantes associados”, é necessário “[...] construir
um modelo que dê conta do conhecimento que uma pessoa tem de um conceito e do
seu funcionamento desse conhecimento em um determinado momento”. É dentro
desse contexto colocado por Grenier (2007) que estamos procurando identificar o
quarteto de função; elaborar ao longo do tempo um modelo científico que dê conta de
mostrar a construção do conceito de função que necessita ser alcançado pelos
estudantes.
Uma pergunta que poderíamos fazer é: para que um professor precisa disso?
Das conceitualizações? Do Campo Conceitual? Vergnaud (2017a, p. 32), ao mostrar
a necessidade de saber que a conceitualização é progressiva e complexa, aponta “[...]
se não estivermos conscientes da Conceitualização e da sua complexidade
progressiva podemos falhar como professores”. E ainda, Vergnaud (2017a, p. 48)
considera que, “[...] um caminho da Conceitualização é partindo dos Invariantes
Operatórios conscientes explicitáveis, torná-los explícitos e por último formalizá-los.
Porém, há um caminho inverso. Indo e vindo. Formalizando o conceito e voltando para
o Invariante Operatório”, ou seja, o papel do professor é de um mediador e como tal
deve intervir para criar situações de forma oportuna. Ele vai também acompanhar a
atividade do aluno em situação com as metas, com os Invariantes Operatórios, com
as regras de ação, com as inferências e com os controles. A mediação, portanto, se
situa entre esses diferentes elementos (VERGNAUD, 2017a, p. 48).
Além disso, o modelo de concepção (ou formalização) de um conceito é
essencial por duas razões: - destacar a pluralidade de pontos de vista possíveis sobre
125
um mesmo conceito, os modos de processamento associados, a sua adaptação à
resolução de tal classe de problemas; - diferenciar o conhecimento que o professor
quer transmitir do conhecimento efetivamente construído pelo aluno (GRENIER, 2007,
p. 5). É possível desenvolver um modelo de concepção considerando duas
abordagens diferentes, mas complementares: - da análise das observações diretas
do comportamento dos alunos na resolução de problemas: ou seja, da análise das
suas estratégias, discursos, produções; - do estudo epistemológico do conceito, em
conexão com suas diferentes definições e propriedades no conhecimento acadêmico
e sua evolução na história. Pode-se, por exemplo, utilizar as concepções identificadas
pela análise histórico-epistemológica para analisar as observações dos alunos
(GRENIER, 2007, p. 6).
Assim, concordando com Grenier (2007), de que um modelo de concepção
pode ser feito por meio de um estudo histórico do conceito, procuramos identificar e
caracterizar as situações, os conceitos organizadores, as ideias-base e as
representações do conceito de função. Entretanto, partindo da hipótese de que os
conceitos organizadores possam estar presentes nos campos conceituais das
Estruturas Aditivas e Multiplicativas, apresentamos alguns aspectos desses dois
campos, além de discussões sobre os Problemas Mistos.
Ao identificarmos as situações, os conceitos organizadores, as ideias-base e
as representações de uma Função Afim, teremos condições de assegurar a existência
de um Campo Conceitual específico para as Funções, desde que identifiquemos as
diferenças entre seus elementos constituíntes e os dos Campos Conceituais das
Estruturas Aditivas e Multiplicativas e, dos Problemas Mistos. Além disso, será
possível dizer se o Campo Conceitual da Função Afim tem relações com os Problemas
Mistos (adotando aqui os Problemas Mistos como a imbricação entre os campos das
Estruturas Aditiva e Multiplicativa), ou se os Problemas Mistos fazem parte do Campo
Conceitual da Função Afim.
3. 4 CAMPO DAS ESTRUTURAS ADITIVAS
Considerando um Campo Conceitual como um conjunto de situações, o campo
das Estruturas Aditivas é o conjunto de situaçõesque envolvem as operações de
adição, subtração ou a combinação delas.
126
Para Vergnaud (1996b, p. 168), o Campo Conceitual das Estruturas Aditivas é,
“[...] ao mesmo tempo, o conjunto das situações cujo tratamento implica uma ou várias
adições ou subtrações, e o conjunto dos conceitos e teoremas que permitem analisar
essas situações como tarefas Matemáticas”.
Os conceitos constitutivos das Estruturas Aditivas, segundo Vergnaud (1996b),
são: cardinalidade, medida, transformação temporal, relação de comparação
quantificada, composição binária de medidas, composição de transformações e
relações, operação unária, inversão, número natural, número relativo, abscissa,
deslocamento orientado e quantificado (VERGNAUD, 1996b).
No texto de 2019, o autor traz uma nova lista de conceitos, agora também
chamados de conceitos organizadores: quantidades discretas e contínuas, medida,
Estado/transformação, Comparação significado/significante, Composição binária
(medidas, transformações, relações), Operação unitária, Inversão, Número
natural/número relativo, Posição/abscissa/valor algébrico (VERGNAUD, 2019). É trazido
um comparativo entre os conceitos utilizados no texto de 1996 e no mais recente de
2019 (Quadro 17).
Quadro 17 – Comparativo entre os conceitos organizadores das Estruturas Aditivas
Texto de 1996 Texto de 2019
Cardinalidade Quantidades discretas e contínuas
Medida Medida
Transformação temporal Estado/transformação
Relação de comparação quantificada Comparação significante/significado
Composição binária de medidas e de
transformações e relações
Composição binária (medidas, transformações, relações)
Operação unária Operação unitária
Inversão Inversão
Número natural Número natural/número relativo
Número relativo -
Abscissa, Deslocamento orientado e
quantificado
Posição/abscissa/valor algébrico
Fonte: da pesquisa
Do Quadro 17 é possível identificar diferenças nos agrupamentos realizados
por (VERGNAUD, 2019). Alguns conceitos ele agrupou, outros ele manteve os mesmos
e, no caso da cardinalidade, ele substituiu por quantidade discreta e contínua.
Os teoremas que estão atrelados aos conceitos organizadores das Estruturas
Aditivas e que ajudam na resolução das situações, segundo (VERGNAUD, 1996b, p.
168), são:
127
𝐶𝑎𝑟𝑑(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝐶𝑎𝑟𝑑(𝐴) + 𝐶𝑎𝑟𝑑(𝐵), 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝜙
(Teorema Fundamental da Medida)
Equação 6
𝐹 = 𝑇(𝐼) ⟹ 𝑇−1, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑆 = 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙, 𝑇 = 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çã𝑜 𝑒 𝐹 = 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙
Equação 7
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ (𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝐶ℎ𝑎𝑠𝑙𝑒𝑠) ⟹ 𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ − 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ,
𝑞𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒𝑗𝑎 𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖çã𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑑𝑒 𝐴, 𝐵𝑒 𝐶.
Equação 8
Vergnaud (1996b) identifica seis relações de base, nas quais é possível
classificar todas as situações que envolvem operações de adição, subtração ou
combinação delas.
As relações aditivas de base são:
I. A composição de duas medidas numa terceira.
II. A transformação (quantificada) de uma medida inicial numa medida final.
III. A relação (quantificada) de comparação entre duas medidas.
IV A composição de duas transformações.
V. A transformação de uma relação.
VI. A composição de duas relações (VERGNAUD, 1996b, p. 172).
Tais relações podem ser representadas pelo diagrama esquemático a seguir,
conforme Figura 23.
Figura 23 – Representação esquemática das Relações Base das Estruturas Aditivas
Fonte: Vergnaud (1996b, p. 173)
128
Magina, Campos, Nunes e Gitirana (2008) acrescentam aos três tipos de
situações-problema propostas por Vergnaud (1996b), extensões, que dizem respeito
ao nível de dificuldades dos alunos em resolverem os problemas de cada classe; as
extensões são problemas: prototípicos, de 1a extensão, 2ª extensão, 3ª extensão e 4ª
extensão (Figura 24).
Figura 24 – Classificação das situações aditivas
Fonte: Magina, Campos, Nunes e Gitirana (2008, p. 51)
129
As Estruturas Aditivas são importantes para a pesquisa, pois ao pensarmos
numa Função Afim do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, a componente +𝑏 está atrelada às
Estruturas Aditivas. No interessa caracterizar, a componente 𝑎𝑥, que faz parte das
Estruturas Multiplicativas.
3. 5 CAMPO DAS ESTRUTURAS MULTIPLICATIVAS
Considerando um Campo Conceitual como um conjunto de situações, o campo
das Estruturas Multiplicativas é o conjunto de situações que envolvem as operações
de multiplicação, divisão ou a combinação delas.
Segundo Vergnaud (1996b, p. 168), o Campo Conceitual das Estruturas
Multiplicativas
[...] é o conjunto das situações cujo tratamento implica uma ou várias
multiplicações ou divisões e o conjunto dos conceitos e teoremas que
permitem analisar estas situações: proporção simples e proporção múltipla,
função linear e n-linear, relação escalar direta e inversa, quociente e
produção de dimensões, combinação linear e aplicação linear, fração,
relação, número racional, múltiplo e divisor etc.
Gitirana, Campos, Magina e Spinillo (2014, p. 24), para além dos conceitos
apresentados por Vergnaud (1996b), sugerem ainda: razão, taxa, espaço vetorial,
produto cartesiano, área, volume e o isomorfismo.
Os teoremas utilizados na resolução das situações em que os conceitos
organizadores das Estruturas Multiplicativas são necessários, são muitos. Vergnaud
(1996b) apresenta algumas propriedades, que são caracterizadas como teoremas:
𝑓(𝑛𝑥) = 𝑛𝑓(𝑥)
Equação 9
𝑓(𝑛1𝑥1 ± 𝑛2𝑥2) = 𝑛1𝑓(𝑥1) ± 𝑛2𝑓(𝑥2)
Equação 10
𝑓(𝑥) = 𝑎 ∙ 𝑥 ⇔ 𝑥 =
1
𝑎
𝑓(𝑥)
Equação 11
𝑓(𝑛1𝑥1 ∙ 𝑛2𝑥2) = 𝑛1 ∙ 𝑛2 ∙ 𝑓(𝑥1, 𝑥2)
Equação 12
As equações 6 e 7 são propriedades de isomorfismo da função linear, a
equação 6 é a generalização das relações não inteiras com coeficientes constantes e
a equação 7 é propriedade da bilinearidade.
130
As relações de base mais simples na estrutura multiplicativa são ternárias e
quaternárias, porque os problemas utilizam comparação multiplicativa e produto de
medidas para as relações ternárias e proporção simples, dupla e múltipla para as
relações quaternárias (VERGNAUD, 1996b).
Gitirana, Campos, Magina e Spinillo (2014) descrevem os problemas
multiplicativos divididos em cinco grandes eixos: comparação multiplicativa, proporção
simples, produto cartesiano, função bilinear e proporcionalidade múltipla. O eixo
comparação multiplicativa pode ser dividida em três classes: referente desconhecido,
referido desconhecido e relação desconhecida; o eixo da proporção simples pode ser
dividido em quatro classes: multiplicação um para muitos, partição ou distribuição,
cota e quarta proporcional; e, o eixo produto cartesiano apresenta duas classes: a
combinação e a área (Figura 25).
Figura 25 – Eixos e Classes das Estruturas Multiplicativas
Fonte: adaptado de Gitirana, Campos, Magina e Spinillo (2014, p. 45)
Uma vez apresentada a Estrutura Multiplicativa e, voltando à Função Afim
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, buscamos nos Problemas Mistos, identificar de que modos essas duas
componentes juntas se comportam, o que pode apontar para indícios da existência do
Campo Conceitual de Função Afim.
Comparação
multiplicativa
referente
desconhecido
referido
desconhecido
relação
desconhecida
Proporção simples
multiplicação
um para
muitos
partição ou
distribuição
quota
quarta
proporcional
Produto
Cartesiano
combinação
área
Função Bilinear
Proporcionalidade
Múltipla
131
3. 6 OS PROBLEMAS MISTOS
Vergnaud (2009a), afirma que há situações que envolvem problemas de
aritmética elementar e problemas aritméticos complexos. Esses últimos, possuem
uma infinidade de possibilidades de classificação. Uma delas diz respeito aos
Problemas Mistos, que envolvem simultaneamente relações de tipo multiplicativo
(multiplicação e divisão) e relações de tipo aditivo(adição e subtração).
Em seus trabalhos, Gérard Vergnaud não exauriu a questão dos Problemas
Mistos. Na literatura, em geral, encontramos trabalhos que analisam situações que
envolvem problemas de Estruturas Aditivas e Multiplicativas, contudo, poucos são os
trabalhos que tratam tais problemas como mistos. Nesse contexto, encontramos nas
pesquisas do GePeDiMa, textos que contemplam tais problemas e utilizam o termo
Problemas Mistos (FUZZO, REZENDE, 2021; MIRANDA, 2019; MIRANDA, REZENDE,
NOGUEIRA, 2021; PERON DA SILVA, 2021; PERON DA SILVA, NOGUEIRA, REZENDE, 2019;
RODRIGUES, REZENDE, 2019; 2021; RODRIGUES, 2021).
Um dos primeiros trabalhos, cuja pesquisa tem sido base para as demais do
GePeDiMa, inclusive desta tese, é a dissertação de Miranda (2019). Neste trabalho a
autora estabelece as possíveis categorias para os Problemas Mistos a partir de uma
pesquisa em livros didáticos, na qual ela buscou relações entre as categorias dos
campos aditivo e multiplicativo.
A combinação dos cinco tipos de situações do campo multiplicativo com cada
um dos seis tipos relacionados ao campo aditivo resulta em um total de 30
(trinta) categorias de situações-problema mistos, que entendemos que
possam, ou não, se apresentar em situações-problema relacionadas ao
conceito de função afim presentes em livros didáticos de Matemática
(MIRANDA, 2019, p. 95).
O Quadro 18, a seguir, apresenta todas as 30 categorias hipotetizadas por
Miranda (2019).
Quadro 18 – Categorias dos Problemas Mistos (PM)22
Situações Campo Aditivo
(A)
Situações Campo Multiplicativo
(M)
Problemas Mistos
(PM)
A1. Composição de medidas
A2. Transformação de medidas
M1. Comparação multiplicativa
PM01 - A1.M1
PM02 - A2.M1
PM03 - A3.M1
PM04 - A4.M1
PM05 - A5.M1
PM05 - A6.M1
22 Nesta tese, não temos a intenção de apresentar exemplos de problemas de cada uma das
categorias, uma vez que Miranda (2019) já o fez e, nosso propósito aqui não é discutir as categorias.
132
Situações Campo Aditivo
(A)
Situações Campo Multiplicativo
(M)
Problemas Mistos
(PM)
A3. Comparação de medidas
A4. Composição de transformações
A5. Transformação de relações
A6. Composição de relações
M2. Isomorfismo de medidas ou proporção
simples
PM07 - A1.M2
PM08 - A2.M2
PM09 - A3.M2
PM10 - A4.M2
PM11 - A5.M2
PM12 – A6.M2
M3. Produto de medidas ou produto cartesiano
PM13 - A1.M3
PM14 - A2.M3
PM15 - A3.M3
PM16 - A4.M3
PM17 - A5.M3
PM18 – A6.M3
M4. Função bilinear
PM19 - A1.M4
PM20 - A2.M4
PM21 - A3.M4
PM22 - A4.M4
PM23 - A5.M4
PM24 – A6.M4
M5. Proporção multiplicativa
PM25 - A1.M5
PM26 - A2.M5
PM27 - A3.M5
PM28 - A4.M5
PM29 - A5.M5
PM30 – A6.M5
Fonte: Adaptado de Miranda (2019)
Essa classificação dos Problemas Mistos hipotetizados por Miranda (2019),
subsidia tanto a caracterização do quarteto (situações, conceitos organizadores,
ideias-base e representações) como a análise de problemas deste tipo, a partir das
perspectivas histórica e cognitiva.
Utilizando a classificação de Magina, Campos, Nunes e Gitirana (2008),
Gitirana, Campos, Magina e Spinillo (2014) e Miranda (2019), podemos hipotetizar um
novo Quadro, agora mais detalhado.
Magina, Campos, Nunes e Gitirana (2008) acrescentam à classificação inicial
de Vergnaud (1996b) das Estrutura Aditivas, extensões dos problemas, a partir das
dificuldades dos alunos em: protótipo, 1ª. Extensão, 2ª. Extensão, 3ª. Extensão e 4ª.
Extensão (como pode ser visto na Figura 24). Em texto posterior, Gitirana, Campos,
Magina e Spinillo (2014), acrescentam às Estruturas Multiplicativas classes aos
chamados eixos (de acordo com a Figura 25).
Assim, levando em consideração o acréscimo das cinco extensões de Magina,
Campos, Nunes e Gitirana (2008) às seis relações de base estabelecidas por
Vergnaud (1996b), temos então 11 tipos de situações aditivas (terceira coluna do
Quadro 19 – Classes e Extensões). Da mesma forma, Gitirana, Campos, Magina e
Spinillo (2014) descrevem novas classes multiplicativas, totalizando então 11 tipos de
133
situações multiplicativas (sexta coluna do Quadro 19 – Eixos e Classes).
Admitindo23 que seja possível estabelecer todas as combinações possíveis
entre as 11 situações aditivas (coluna três) e as 11 situações multiplicativas (colunas
seis) e, que elas são todas diferentes umas das outras, teremos 121 possíveis
Problemas Mistos (coluna sete do Quadro 19), ou seja, problemas que envolvem
simultaneamente os campos aditivo e multiplicativo.
Seria ainda possível expandir a quantidade de Problemas Mistos
acrescentando ainda a classificação de Magina, Merlini e Santos (2012) para os tipos
de classes: contínuas ou discretas. Nesse caso, teremos o dobro de Problemas
Mistos, ou seja, 242 situações que envolvem os campos conceituais aditivo e
multiplicativo ao mesmo tempo.
Uma vez identificada a quantidade de possíveis Problemas Mistos, na próxima
seção, discutimos o estabelecimento do possível Campo Conceitual das Funções, por
meio de pesquisas do GePeDiMa que estão procurando articular as situações mistas
com situações que exigirão conceitos organizadores para a conceitualização do
conceito de função.
23 Essa hipótese é teórica, sendo necessário realizar experimentos com estudantes para comprová-la
ou refutá-la.
134
Quadro 19 – Categorização dos Problemas Mistos
Classes Aditivas
(A)
Extensões
Aditivas
Classes e
Extensões
Eixos
Multiplicativos
(M)
Classes
Multiplicativas
Eixos e
Classe
s
Problemas Mistos
(PM)
A1.
Composição de
medidas
AD1.
Prototípico A1.AD1
A1.AD2
M1. Comparação
multiplicativa
C1. Referente
Desconhecido
M1.C1
M1.C2
M1.C3
PM01 - A1.AD1.M1.C1
PM02 - A1.AD1.M1.C2
PM03 - A1.AD1.M1.C3
PM04 - A1.AD2.M1.C1
PM05 - A1.AD2.M1.C2
PM06 - A1.AD2.M1.C3
PM07 – A2.AD3.M1.C1
PM08 – A2.AD3.M1.C2
PM09 – A2.AD3.M1.C3
PM10 – A2.AD4.M1.C1
PM11 – A2.AD4.M1.C2
PM12 – A2.AD4.M1.C3
PM13 – A2.AD5.M1.C1
PM14 – A2.AD5.M1.C2
PM15 – A2.AD5.M1.C3
PM16 – A3.AD6.M1.C1
PM17 – A3.AD6.M1.C2
PM18 – A3.AD6.M1.C3
PM19 – A3.AD7.M1.C1
PM20 – A3.AD7.M1.C2
PM21 – A3.AD7.M1.C3
PM22 – A3.AD8.M1.C1
PM23 – A3.AD8.M1.C2
PM24 – A3.AD8.M1.C3
PM25 – A4.M1.C1
PM26 – A4.M1.C2
PM27 – A4.M1.C3
PM28 – A5.M1.C1
PM29 – A5.M1.C2
PM30 – A5.M1.C3
PM31 – A6.M1.C1
PM32 – A6.M1.C2
PM33 – A6.M1.C3
AD2. 1ª.
Extensão
C2. Referido
Desconhecido
A2.
Transformação
de medidas
AD3.
Prototípico
A2.AD3
A2.AD4
A2.AD5
C3. Relação
Desconhecida
AD4. 1ª.
Extensão
AD5. 4ª.
Extensão
M2. Isomorfismo de
medidas ou
proporção simples
C4.
Multiplicação
um para
muitos
M2.C4
M2.C5
M2.C6
M2.C7
PM34 - A1.AD1.M2.C4
PM35 - A1.AD1.M2.C5
PM36 - A1.AD1.M2.C6
PM37 - A1.AD1.M2.C7
PM38 - A1.AD2.M2.C4
PM39 - A1.AD2.M2.C5
PM40 - A1.AD2.M2.C6
PM41 - A1.AD2.M2.C7
PM42 – A2.AD3.M2.C4
PM43 – A2.AD3.M2.C5
PM44 – A2.AD3.M2.C6
PM45 – A2.AD3.M2.C7
PM46 – A2.AD4.M2.C4
PM47 – A2.AD4.M2.C5
PM48 – A2.AD4.M2.C6
PM49 – A2.AD4.M2.C7
PM50 – A2.AD5.M2.C4
PM51 – A2.AD5.M2.C5
PM52 – A2.AD5.M2.C6
PM53 – A2.AD5.M2.C7
PM54 – A3.AD6.M2.C4
PM55 – A3.AD6.M2.C5
PM56 – A3.AD6.M2.C6
PM57 – A3.AD6.M2.C7
PM58 – A3.AD7.M2.C4
PM59 – A3.AD7.M2.C5
PM60 – A3.AD7.M2.C6
PM61 – A3.AD7.M2.C7
PM62 – A3.AD8.M2.C4
PM63 – A3.AD8.M2.C5
PM64 – A3.AD8.M2.C6
PM65 – A3.AD8.M2.C7
PM66 – A4.M2.C4
PM67 – A4.M2.C5
PM68 – A4.M2.C6
PM69 – A4.M2.C7
PM70 – A5.M2.C4
PM71 – A5.M2.C5
PM72 – A5.M2.C6
PM73 – A5.M2.C7
PM74 – A6.M2.C4
PM75 – A6.M2.C5
PM76 – A6.M2.C6
PM77 – A6.M2.C7
A3.
Comparação de
medidas
AD6. 2ª.
Extensão
A3.AD6
A3.AD7
A3.AD8
C5. Partição
ou
Distribuição
AD7. 3ª.
Extensão
C6. Cota
C7. Quarta
Proporcional
AD8. 4ª.
Extensão
A4.
Composição de
transformações
-
A4
A5
A6
M3. Produto de
medidas ou produto
cartesiano
C8.
Combinação
M3.C8
M3.C9
PM78 - A1.AD1.M3.C8
PM79 - A1.AD1.M3.C9PM80 - A1.AD2.M3.C8
PM81 - A1.AD2.M3.C9
PM82 – A2.AD3.M3.C8
PM83 – A2.AD3.M3.C9
PM84 – A2.AD4.M3.C8
PM85 – A2.AD4.M3.C9
PM86 – A2.AD5.M3.C8
PM87 – A2.AD5.M3.C9
PM88 – A3.AD6.M3.C8
PM89 – A3.AD6.M3.C9
PM90 – A3.AD7.M3.C8
PM91 – A3.AD7.M3.C9
PM92 – A3.AD8.M3.C8
PM93 – A3.AD8.M3.C9
PM94 – A4.M3.C8
PM95 – A4.M3.C9
PM96 – A5.M3.C8
PM97 – A5.M3.C9
PM98 – A6.M3.C8
PM99 – A6.M3.C9
A5.
Transformação de
relações
C9. Área
A6.
135
Classes Aditivas
(A)
Extensões
Aditivas
Classes e
Extensões
Eixos
Multiplicativos
(M)
Classes
Multiplicativas
Eixos e
Classe
s
Problemas Mistos
(PM)
Composição de
relações
M4. Função bilinear - M4
PM100 - A1.AD1.M4
PM101 - A1.AD2.M4
PM102 – A2.AD3.M4
PM103 – A2.AD4.M4
PM104 – A2.AD5.M4
PM105 – A3.AD6.M4
PM106 – A3.AD7.M4
PM107 – A3.AD8.M4
PM108 – A4.M4
PM109 – A5.M4
PM110 – A6.M4
M5. Proporção
multiplicativa - M5
PM111 - A1.AD1.M5
PM112 - A1.AD2.M5
PM113 – A2.AD3.M5
PM114 – A2.AD4.M5
PM115 – A2.AD5.M5
PM116 – A3.AD6.M5
PM117 – A3.AD7.M5
PM118 – A3.AD8.M5
PM119 – A4.M5
PM120 – A5.M5
PM121 – A6.M5
Fonte: da pesquisa
136
3. 7 O CAMPO CONCEITUAL DE FUNÇÃO EM ASCENSÃO
Essa seção foi desenvolvida para trazer os primeiros resultados que o
GePeDiMa vem identificando em relação ao possível Campo Conceitual da Função
Afim.
Várias pesquisas (AMPLATZ, 2020; CALADO, 2020; CAMILI, 2021; DA SILVA, 2021;
DEZILIO, REZENDE, 2022; LORENCINI, 2019; MIRANDA, 2019; PAVAN, 2010; PERON DA
SILVA, 2021; RODRIGUES, 2021; SCHMITT ZANELLA, REZENDE, 2022; ZANATTA, REZENDE,
2022) têm mostrado que o conceito de Função Afim tem sido solicitado na resolução
de situações que envolvam o Campo Conceitual Multiplicativo e de Problemas Mistos.
Nesse contexto, Pavan, Nogueira e Kato (2009) e Pavan (2010) foram as
primeiras a estabelecer relações entre as situações multiplicativas e as ideias-base
de função com crianças do 5º. Ano do Ensino Fundamental – Anos Iniciais. As autoras
adotaram como ideias-base os conceitos de variável, dependência, correspondência,
regularidade e generalização. Os resultados da pesquisa apontaram que os sujeitos
da pesquisa estabelecem relações intuitivas entre as situações de estrutura
multiplicativa e as ideia-base envolvidas no conceito de função.
Lorencini (2019) investigou as possibilidades inclusivas de uma sequência
didática sobre Função Afim em “[…] que procedimentos e representações gráficas são
descritos em língua natural (oral ou escrita) por duplas de alunos, de uma turma do 2º
ano do Ensino Médio, de um colégio da rede pública de ensino, no qual estuda uma
aluna com baixa visão grave” (LORENCINI, 2019, p. 6). De acordo com a autora, a
maioria dos alunos não tinham o conceito de Função Afim solidificado, pois os
indicativos sobre as formas operatórias e predicativas apareceram de forma isolada.
Além disso, foi possível identificar a mobilização das ideias-base de dependência,
regularidade, variável e correspondência pelos alunos (LORENCINI, 2019).
Amplatz (2020, p. 9), em sua dissertação de mestrado, analisou a
aprendizagem de estudantes sobre Função Afim por meio de uma sequência didática
ligada à interpretação global de propriedades figurais, segundo a teoria dos registros
de representação semiótica de Raymond Duval. De acordo com a autora, os
participantes “[…] passaram a reconhecer a Função Afim em diferentes registros de
representação e a transitar entre eles”. Além disso, eles manifestaram “[…] o
desenvolvimento de uma visão integrada entre as variáveis visuais de representação
137
no registro gráfico e as suas respectivas unidades simbólicas significativas no registro
simbólico algébrico” (AMPLATZ, 2020, p. 9).
Calado (2020), em sua dissertação de mestrado, investigou os conhecimentos
relacionados à generalização mobilizados por estudantes da Educação Básica. A
pesquisa foi aplicada em uma turma de 32 alunos do 9º ano do Ensino Fundamental
de uma escola pública no interior do Paraná. De acordo com a autora, os resultados
da investigação apontaram que a sequência didática permitiu desvendar as
estratégias de resolução dos alunos, sendo identificados doze teoremas em ação
implícitos, sete relativos a conhecimentos verdadeiros e cinco de conhecimentos
equivocados. Calado (2020, p. 7), identificou que, entre os “[…] conhecimentos
errôneos, três estão relacionados especificamente à generalização, os demais
teoremas em ação falsos dizem respeito a casos particulares das situações, etapa
necessária para se chegar ao processo de generalização”.
Peron da Silva (2021), em sua tese de doutorado, investigou as contribuições
de uma sequência de problemas de Estruturas Multiplicativas, baseadas na TSD,
proporcionam na compreensão das ideias-base de função por alunos de quinto ano.
A autora identificou “[...] que os grupos manifestaram a forma operatória do
conhecimento com mais facilidade que a forma predicativa e que quanto mais
consciente o aluno estiver de sua forma operatória, mais condição terá para manifestar
a forma predicativa” (PERON DA SILVA, 2021, p. 13)
Rodrigues (2021), em sua dissertação de mestrado, analisou os invariantes
operatórios associados ao conceito de função mobilizados por alunos do 5º ano do
Ensino Fundamental, por meio da resolução de Problemas Mistos do tipo proporção
simples e transformação de medidas. Foram propostos quatro Problemas Mistos para
serem resolvidos individualmente por 12 alunos do 5º ano do Ensino Fundamental.
Segundo a autora, os Problemas Mistos elaborados pertenciam às subclasses
diferentes da classe proporção simples e transformação de medidas. Rodrigues
(2021, p. 7) identificou “[...] a mobilização de quinze (15) teoremas em ação
verdadeiros e dois (2) teoremas em ação falsos; associados a eles, foram identificados
dezesseis (16) conceitos em ação”. Além disso, a maioria dos teoremas em ação
mobilizados era composta por propriedades isomórficas da função linear. Por fim,
Rodrigues (2021, p. 7) identificou a mobilização das seguintes ideias-base de função:
“[…] correspondência, dependência, variável, regularidade e da ideia de
138
proporcionalidade”.
Krug e Nogueira (2022) realizaram um levantamento da presença das ideias
base de função na apresentação do conteúdo matemático Função Afim pela coleção
“Contato Matemática”, aprovada pelo PNLD 2018. Os autores buscaram também
identificar se as situações-problema envolvendo Função Afim, possibilitam a
mobilização das ideias-base de função (correspondência, regularidade, variável,
dependência, generalização). Krug e Nogueira (2022, p. 1) indicaram que, “[…] tanto
na parte teórica quanto nas atividades resolvidas e propostas, nem todas as ideias
base estão contempladas, tanto quantitativa quanto qualitativamente”. Além disso, os
autores consideraram que o conteúdo teórico e atividades práticas do conceito de
Função Afim precisam ser complementados pelo professor.
Essas investigações e outras ainda desenvolvimento têm apontado para a
possibilidade de existência de um Campo Conceitual da Função Afim. Tais pesquisas,
advindas do GePeDima, têm representado a maior parte das investigações atuais
sobre funções e os processos cognitivos envolvidos na aprendizagem dos estudantes.
Assim, faz-se necessário criar um constructo teórico que sustente essas
pesquisas e oriente a realização de trabalhos futuros. Nesse contexto, um passo
importante a ser dado, que é o objetivo desta tese, é identificar e caracterizar as
situações, conceitos organizadores, ideias-base e representações do conceito de
função. Portanto, no próximo capítulo, utilizando os estudos já realizados sobre
funções, incluindo aqui os mais recentes trabalhos publicados do GePeDiMa,
buscamos identificar, ou ao menos conjecturar, quais situações, conceitos
organizadores, ideias-base e representações do.............................................. 129
3. 6 OS PROBLEMAS MISTOS .................................................................................. 131
3. 7 O CAMPO CONCEITUAL DE FUNÇÃO EM ASCENSÃO ................................... 136
CAPÍTULO 4 – CARACTERIZANDO E ARTICULANDO O QUARTETO ........................ 139
4. 1 SITUAÇÕES ........................................................................................................ 139
4. 2 CONCEITOS ORGANIZADORES ....................................................................... 142
4. 3 IDEIAS-BASE ...................................................................................................... 144
4. 4 REPRESENTAÇÕES .......................................................................................... 146
4. 5 ESTABELECENDO AS RELAÇÕES ENTRE O QUARTETO E AS PERSPECTIVAS
............................................................................................................................ 148
4.5.1 Situações ...................................................................................................... 159
4.5.2 Conceitos organizadores e Ideias-base ........................................................ 161
4.5.3 Representações ........................................................................................... 166
4. 6 IMPLICAÇÕES AO ENSINO DE MATEMÁTICA.................................................. 168
4.6.1 Algumas considerações ................................................................................ 168
4.6.2 Discussões a partir dos resultados obtidos ................................................... 171
REFLEXÕES FINAIS ......................................................................................................... 176
REFERÊNCIAS ................................................................................................................. 184
15
INTRODUÇÃO
Enquanto professor do Ensino Superior, lecionando no curso de Licenciatura
em Matemática por mais de 10 anos em disciplinas do início ao final do curso, pude
identificar dificuldades dos estudantes em compreender os conceitos e resolver
diferentes situações acerca de funções. Em particular, estudantes ingressantes do
curso de Licenciatura em Matemática apresentam dificuldades nos conceitos
vinculados às funções polinomiais de primeiro e segundo grau, funções exponenciais
e logarítmicas, bem como funções modulares e trigonométricas.
Pesquisas que buscaram fazer o mapeamento dessas dificuldades (ARTIGUE,
1992; BERGERON, HERSCOVICS, 1982; DE ARMAS, 2016; DREYFUS, EISENBERG, 1982;
1987; ELIA, PANAOURA, ERACLEOUS, GAGATSIS, 2007; HEDRICK, 1938; HERSCOVICS,
1989; HITT-ESPINOSA, Fernando, 1998; JITENDRA, HARWELL, KARL, SLATER, SIMONSON,
NELSON, 2016; JONES, 2006; LUE, 2005; OLIVEIRA, 2006; POSTELNICU, 2011; RAMOS,
CURI, 2014; SALDANHA, 1995; SZANYI, 2016; YERUSHALMY, 2000) têm identificado que
a natureza desses obstáculos está na falta de diversidade de situações que permitam
os estudantes mobilizarem diferentes conceitos prévios e a falta de uma estrutura
hierárquica que mostre aos professores quais conceitos prévios devem ser adquiridos
pelos estudantes antes de adentrar no conceito de função.
Levando em consideração ainda que, de um lado, o ensino de funções está,
predominantemente, pautado no uso de representações algébricas (APUD, 2014;
COCHRAN, 2008; DAHER, ANABOUSY, 2015; ERDOGAN, 2014; KABAEL, TANISLI, 2010;
KREBS, 1999; MOUSOLIDES, GAGATSIS, 2004; PIERCE, 2005; ROMBERG, FENNEMA,
CARPENTER, 1993; SCHWARTZ, 1987; SCHWARTZ, YERUSHALMY, 1992; USISKIN, 1988;
YERUSHALMY, 2000), que o foco está em técnicas, algoritmos e propostas sem vínculo
com o cotidiano (CAMPITELI, CAMPITELI, 2006; DOORMAN, DRIJVERS, GRAVEMEIJER,
BOON, REED, 2012; GOLDENBERG, 1988), que os procedimentos de ensino são
baseados numa concepção estrutural (CRAHAY, WANLIN, ISSAIEVA, LADURON, 2010;
DREYFUS, EISENBERG, 1987; HAMDAN, 2006; SFARD, 1987; 1989), que o uso de
definições tem sido considerado crucial para compreender o conceito de função
(CHAQUIAM, 2021; DA ROSA, DA COSTA, 2013; DREYFUS, VINNER, 1982; LAUDARES,
2013; MALIK, 1980; SANTOS DE SOUZA, SOUZA, 2018; TALL, 1988; TALL, VINNER, 1981;
VINNER, 1983; VINNER, DREYFUS, 1989), que matemáticos posteriores aos estudos do
16
grupo de Bourbaki ou mais conhecido como Nicolas Bourbaki1 não reconheceram
gerações anteriores que desenvolveram conceitos de função (VINNER, DREYFUS,
1989), que uma das dificuldades na aprendizagem de funções é fazer as mudanças
nos registros de representação, ou seja, articular entre diferentes representações,
como da algébrica para a gráfica (BALTUS, 2010; CONFREY, SMITH, 1991; DE BOCK,
NEYENS, VAN DOOREN, 2016; DE BOCK, VAN DOOREN, VERSCHAFFEL, 2015; ELIA,
PANAOURA, ERACLEOUS, GAGATSIS, 2007; EVEN, 1998; GAGATSIS, SHIAKALLI, 2004; HITT-
ESPINOSA, Fernando, 1998; JANVIER, 1983; LOBATO, BOWERS, 2000; MOORE-RUSSO,
GOLZY, 2005; MOSS, BOYCE, LAMBERG, 2020; RONDA, 2015; SCHWARZ, BRUCKHEIMER,
1988; SCHWARZ, DREYFUS, BRUCKHEIMER, 1990; WILKIE, 2016; YERUSHALMY, 1991;
YOU, 2006), que estudantes entendem que uma função deve sempre ser definida por
uma expressão analítica (CARLSON, 1998; CHAZAN, YERUSHALMY, LEIKIN, 2008;
CLEMENT, 2001; SIERPINSKA, 1992) e que professores consideram o ensino de funções
uma “nova” Matemática (GAUDIN, 2002; MARKOVITS, EYLON, BRUCKHEIMER, 1986;
SCHWARZ, DREYFUS, 1995), demandam um estudo detalhado do modo de ensino e de
aprendizagem de professores e estudantes.
E que, por outro lado, pesquisas têm mostrado que historicamente o conceito
de função “nasceu” das relações entre magnitudes variáveis (BUENO, VIALLI, 2009;
CHORLAY, 2009; 2011; CIANI, NOGUEIRA, BERNS, 2019; FRANCO, SILVA, 2017; GÖK,
ERDOĞAN, ÖZDEMIR ERDOĞAN, 2019; JONES, 2006; KJELDSEN, PETERSEN, 2013;
KLEINER, 1993; MACIEL, CARDOSO, 2014; MALIK, 1980; OLIVEIRA, VIANA, ROSA, 2012;
ORTIZ, 2015; PIRES, 2016; ROCHA, 2008; SÁ, SOUZA, SILVA, 2003; SASTRE VÁZQUEZ,
REY, BOUBÉE, 2008; SIERPINSKA, 1988; 1989; SILVA, MIRANDA, CABRAL, 2019;
TRINDADE, MORETTI, 2000; ZUFFI, 2001; 2016), que existem diferentes níveis de
entendimento do conceito de função (ANDRADE, 2019; BERGERON, HERSCOVICS, 1982;
JURDAK, EL MOUHAYAR, 2013; MORU, 2008; ORTON, 1970; THOMAS, 1969), que o ensino
de funções envolve a utilização de visualizações dinâmicas (FERREIRA, 1998; ROLFES,
ROTH, SCHNOTZ, 2020), que o ensino de funções não pode ser realizado em uma única
etapa (BOYER, 1946; SCHRAMM, 1965; VINNER, 1983; VINNER, DREYFUS, 1989); é
imprescindível esforços para melhorar a compreensão dos conceitos prévios
necessários para o estudante adquirir o conceito de função, bem como permitir aos
1 Nicolas Bourbaki é, na verdade, um pseudônimo usado por um grupo de matemáticos. Como a
literatura traz nesse formato, optou-se por mantê-la.
17
professores terem mais clareza sobre quais situações devem ser propiciadas a esses
estudantes, de modo que consigam ter domínio sobre este conceito.
Nesse esforço por melhorias no ensino e na aprendizagem de funções,
considerando que a Teoria dos Campos Conceituais (VERGNAUD, 1989; 1990; 1992;
1993; 1996b; 1996d; 2002; 2003; 2007; 2009c; 2017b; 2017c; 2019) tem trazido
resultados positivos para a melhoria no aprendizado de estudantes com situações que
envolvam os Campos Aditivo e Multiplicativo (ALTOÉ, FREITAS, 2019; BARRETO, REGES,
BATISTA, BARRETO, 2017; CARVALHO, CASTRO FILHO, MAIA, PINHEIRO, 2016; CEBOLA,
BROCARDO, 2019; ESPINDOLA, DE MOURA, 2018; GARCÉS, HIDALGO, 2019; GITIRANA,
CAMPOS, MAGINA, SPINILLO, 2014; GONZÁLEZ-CALERO, ARNAU, LASERNA-BELENGUER,
2015; GRANDO, NIEMANN, 2015; LEVAIN, 1992; MAGINA, SANTANA, CAZORLA, CAMPOS,
2010; MAGINA, SANTOS, MERLINI, 2014; MARTÍNEZ MELLO, ROJAS GARZÓN, ROJAS
RODRÍGUEZ, 2018; MORO, 2005; ORDÓÑEZ, MORENO, 2018; PAVAN, 2010; PAVAN,
NOGUEIRA,conceito de função que não estão
presentes na imbricação entre os Campos Conceitual das Estruturas Aditivas e
Multiplicativas e dos Problemas Mistos.
139
CAPÍTULO 4 – CARACTERIZANDO E ARTICULANDO O QUARTETO
“O progresso fundamental tem a ver com a
reinterpretação de ideias básicas”.
Alfred Whitehead
Neste capítulo, a partir do tripleto situações, invariantes operatórios e
representações, estabelecido por Vergnaud (1989; 1990; 1993; 1996c; 1996b; 1996d)
nos propomos a caracterizar o quarteto: situações, conceitos organizadores, ideias-
base e representações (S, CO, IB, R), a partir dos pressupostos da Teoria do Campo
Conceitual.
Na sequência, o quarteto é articulado às perspectivas histórica, cognitiva e
didática. Por fim, e partir das articulações estabelecidas, algumas implicações para o
ensino são postas.
4. 1 SITUAÇÕES
Ao longo do tempo, a psicologia behaviorista adotou o par estímulo/resposta
para compreender a forma de aprendizagem dos sujeitos. Vergnaud (2009b) critica
essa postura e adota o par situação/esquema como abordagem para realizar o estudo
de habilidades, práticas e experiências complexas.
Para o autor, “[...] uma situação não é um estímulo, e um esquema não é uma
resposta simples” (VERGNAUD, 2009b, p. 1). Para ele, uma situação não é um objeto
do mundo, mas sim uma oportunidade de colocar um problema (para um sujeito ou
vários), e o conceito de esquema não esgota o conceito de sujeito (VERGNAUD, 2009b).
Uma situação é sempre composta de várias condições, muitas vezes
numerosas e contrastantes; as situações, em geral, são compostas de várias tarefas
e de muitos elementos (VERGNAUD, 2017c). A atividade do sujeito em determinada
situação depende não apenas das mudanças das condições, mas também dos
valores das condições inalteradas. As características da atividade então
implementadas pelo sujeito dependem desses valores, modificados ou não
https://www.pensador.com/autor/alfred_whitehead/
140
(VERGNAUD, 2009b).
A situação é o que um esquema aporta,ou seja, ele sempre inclui um ou vários
objetivos a serem alcançados. Desta forma, uma situação é um conjunto de objetos,
relações e condições, em que o sujeito pode se engajar em uma atividade intencional,
e eventualmente mobilizar recursos pré-existentes ou estabelecer novos para resolvê-
la. No contexto da sala de aula, uma situação pode ser mais ou menos interessante e
problemática. Cabe ao professor desenvolver situações mais instigantes (VERGNAUD,
2009b).
O conceito de situação se nutre do conceito de esquema, assim como o de
esquema se sustenta do de situação. A experiência é uma sequência de situações
encontradas no decorrer da vida e das formas de organização (esquemas) da
resolução dessas situações (VERGNAUD, 2009b).
Para o autor, o par situação/esquema dificilmente é separável porque as
situações não são em si mesmas suficientes, nem mesmo são as que precedem tudo,
pois a atividade do sujeito é imediatamente invocada. As situações são a entrada do
significado, mas não são o significado em si mesmas. A realidade é composta de
objetos e relações, e o significado desses objetos e relações é o que está em jogo,
por meio do crivo das situações. É possível compreender que são as relações da
representação com o real, por meio das situações e das conceituações que organizam
a atividade na situação (VERGNAUD, 2009b).
Vergnaud (2009b) chama a atenção para a questão da relação entre as
situações organizadas com vista à aprendizagem e às situações de referência que
são as situações tratadas pelos profissionais.
Vergnaud (2017b, p. 14) afirma que “[...] duas ideias são muito importantes em
Brousseau [...]. A primeira delas é a ideia de situação. Brousseau afirmou que se
aprende em situação e, portanto, [...] o mais importante é a escolha das situações que
vai propor ao aluno”. A segunda ideia se refere a contrato didático, ou seja, um sistema
daquilo que tanto o professor como os alunos esperam uns dos outros.
Segundo o autor, o conceito de situação não é o de situação didática de
Brousseau (2002), mas, o de tarefa, sendo “[…] qualquer situação complexa pode ser
analisada como uma combinação de tarefas” (VERGNAUD, 1996b, p. 167). À essa ideia
de situação de Brousseau, o autor diz que agrega “[…] à de uma classe de situações.
Essa ampliação é bastante importante porque associa à ideia de eskema que é uma
141
forma organizada de agir frente a uma classe de situações” (VERGNAUD, 2017b, p. 15).
Para o autor, a complexidade está atrelada aos próprios conceitos matemáticos
envolvidos numa situação, porém, admite que outros fatores, como a linguística e a
forma do enunciado de uma situação, são pertinentes para a complexidade, contudo,
considera que o papel desses fatores está subordinado ao próprio conceito
matemático (SANTANA, ALVES, NUNES, 2015).
De acordo com Santana, Alves e Nunes (2015, p. 1165) é necessário “[...]
oportunizar o contato do aprendiz com diversas situações, de modo a contemplar
maiores condições de ampliação e desenvolvimento cognitivo. Os processos
cognitivos e as respostas dadas pelo sujeito são funções das situações com as quais
é confrontado”. Para Vergnaud (1990) a variedade e a história são fatores importantes
no contexto da situação.
Para cada Campo Conceitual, há uma variedade de situações e os
conhecimentos dos estudantes que são acomodados pelas situações que vão sendo
progressivamente dominadas. Vergnaud (1990) afirma que são as situações que dão
sentido aos conceitos, tornando-se o ponto de entrada para um dado Campo
Conceitual. Entretanto, apenas um conceito precisa de uma multiplicidade de
situações para se tornar significativo, assim como uma única situação necessita de
múltiplos conceitos para ser analisada.
Do ponto de vista da história, o conhecimento dos alunos é formado a partir do
contato do estudante com a situação, o que ocorre de maneira progressiva e demanda
tempo. Assim, as conceitualizações são moldadas pelas situações que encontramos;
se encontramos somente situações limitadas, e não uma ampla variedade, não haverá
nenhuma razão para desenvolver conhecimentos mais gerais. Entre as condições, o
fato de incluir situações muito variadas e cada vez mais complexas é absolutamente
decisivo para a conceitualização pelo aluno (VERGNAUD, 2017c). Por isso, é preciso
que o estudante seja estimulado inicialmente por classes de situações mais simples
e, paulatinamente sejam apresentadas situações mais complexas, até o domínio
completo do Campo Conceitual (VERGNAUD, 1990).
Portanto, a escolha das situações a serem oferecidas aos alunos é o primeiro
e mais importante ato de mediação do professor. No nosso contexto, estamos
interessados naquelas situações que deram origem a novos conceitos ou despertaram
o interesse dos matemáticos de cada época para aprimorar os já existentes.
142
E como definido, são as situações que dão sentido aos conceitos; no nosso
caso, estamos interessados em compreender as situações que dão sentido aos
conceitos organizadores da função.
4. 2 CONCEITOS ORGANIZADORES
Pastré, Mayen e Vergnaud (2006) consideram que qualquer situação, da mais
simples à mais complexa, possui uma estrutura conceitual formada por quatro
elementos: 1) conceitos organizadores, 2) indicadores, 3) classes de situações e 4)
estratégias esperadas.
No caso específico do primeiro elemento, os conceitos organizadores, os
autores os dividem em conceitos organizadores pragmáticos e conceitos
organizadores. Os conceitos pragmáticos possuem três propriedades: 1) do ponto de
vista de sua origem, ele é construído na ação, ou seja, sua origem não é teórica, mas
prática. Esse conceito não emana de um saber, mas de uma atividade, 2) do ponto de
vista da sua função, um conceito pragmático é um conceito organizador da ação, na
medida em que permite identificar emqual classe de situações um ator se encontra,
3) de uma dimensão social, um conceito pragmático é reconhecido como organizador
da ação pela comunidade profissional (PASTRÉ, MAYEN, VERGNAUD, 2006).
Os conceitos organizadores da ação nem sempre são de origem pragmática,
são conceitos científicos que exercerão a função de conceitos organizadores. Há de
se destacar que os conceitos científicos/conceitos organizadores são “pragmatizados”
para serem os organizadores de um esquema, cujo objetivo é resolver uma situação-
problema. Pode-se dizer que eles constituem a base para que o indivíduo faça um
diagnóstico da situação e possa tomar as decisões necessárias a fim de resolvê-la.
Pastré, Mayen e Vergnaud (2006) afirmam que os conceitos organizadores
pragmáticos da ação do sujeito - implícitos ou explícitos, são os invariantes operatórios
que se tornam então os conceitos-em-ação e os teoremas-em-ação que caracterizam
um domínio de ação. Para os autores, “[...] a função primeira desses conceitos é guiar
a ação, permitindo um diagnóstico preciso da ação ao selecionar a informação
pertinente que vai possibilitar este diagnóstico” (PASTRÉ, MAYEN, VERGNAUD, 2006, p.
24).
143
Pastré, Mayen e Vergnaud (2006), para mostrar como os conceitos
organizadores ora são pragmáticos ora são conceitos científicos, dá o exemplo de
como os trabalhadores conduzem uma prensa de injeção de material plástico. Quando
esses profissionais adquirem as competências necessárias para executar seu
trabalho no “fazer”, esses conceitos são pragmáticos e organizam a ação de
execução. A passagem dessa competência, na maioria das vezes se dá pela
transmissão oral dos mais experientes, utilizando demonstrações (o como fazer pelo
exemplo) e enunciações. Os especialistas enunciam ao mesmo tempo que mostram,
por exemplo: Está vendo, ali, está enchendo; está com muito enchimento. Os
trabalhadores falam sobre o conceito de “enchimento”, mas não o definem. O mais
importante para eles é a transmissão de uma competência; a definição formal, no caso
o conceito organizador na forma de conceito científico, cabe aos pesquisadores
estabelecerem (PASTRÉ, MAYEN, VERGNAUD, 2006).
Os conceitos organizadores permitem hierarquizar todas as tarefas de uma
situação. Do ponto de vista pragmático ou do indivíduo em ação numa determinada
tarefa para uma dada situação, o conjunto dos conceitos (organizadores pragmáticos)
que organizam a ação e servem para guiá-la é designado por “estrutura conceitual da
situação” (PASTRÉ, 1999). Dentro dessa estrutura há conceitos que podem ser de
origem pragmática (conceitos organizadores pragmáticos) ou científica (conceitos
organizadores), sendo eles essenciais no desenvolvimento da ação, permitindo
notadamente um bom diagnóstico da situação.
A partir dos estudos realizados por Pastré, Mayen e Vergnaud (2006) e
Vergnaud (2019), consideramos os conceitos mobilizados pelos estudantes como
conceitos organizadores pragmáticos.
Vergnaud (2019) afirma que alguns dos conceitos organizadores das Estruturas
Aditivas são: “[...] quantidades discretas e contínuas, medida, estado/transformação,
comparação significado/significante, composição binária (medidas, transformações,
relações), operação unitária, inversão, número natural/número relativo e
posição/abscissa/valor algébrico” (VERGNAUD, 2019, p. 12).
No contexto das Estruturas Multiplicativas, o autor acrescenta para além dos
conceitos organizadores das Estruturas Aditivas: “[...] análise dimensional, espaço
vetorial, combinação linear, dependência e independência” (VERGNAUD, 2019, p. 12)
Assim, estamos interessados nos conceitos organizadores de origem científica
144
da função, pois neles estão inseridas as ideias-base.
4. 3 IDEIAS-BASE
No capítulo anterior, foi visto que alguns pesquisadores têm buscado identificar
quais conceitos são necessários para compreender o conceito de função. Ao longo do
tempo vários termos foram utilizados para descrever tais conceitos, como os
subsunçores ou organizadores prévios (AUSUBEL, 2003; LIMA, PONTES, 2009; MOREIRA,
2012). No grupo do GePeDima, já foram utilizados termos como: ideias básicas
(CASTRO, 2012; CASTRO, RODRIGUES, 2013; PAVAN, 2010; PAVAN, NOGUEIRA, KATO,
2009; 2010), conhecimentos prévios (RORATTO, 2009), ideias base (sem hífen)
(AMPLATZ, 2020; CALADO, 2020; CIANI, NOGUEIRA, BERNS, 2019; DA SILVA, 2021; DA
SILVA, NOGUEIRA, 2021; LORENCINI, 2019; LORENCINI, NOGUEIRA, REZENDE, 2020;
MIRANDA, 2019; NOGUEIRA, REZENDE, 2018; 2019; PERON DA SILVA, 2021; REZENDE,
2018; REZENDE, NOGUEIRA, CALADO, 2020) e ideias-base (RODRIGUES, 2021).
Alguns desses textos já publicados caracterizaram as ideias-base como
conceitos mobilizados pelos estudantes e necessários para o aprendizado de um
determinado conceito (NOGUEIRA, REZENDE, 2018; 2019). Entretanto, como visto na
seção anterior, temos os conceitos organizadores pragmáticos e os conceitos
organizadores, os primeiros relacionados ao sujeito e os demais ao conceito científico
(PASTRÉ, 1999; PASTRÉ, MAYEN, VERGNAUD, 2006; 2019). Nesse contexto, assumimos
as ideias-base como as associadas ao conhecimento científico e, quando mobilizadas
pelo sujeito, consideramos como ideias-base pragmáticas, uma vez que o sujeito em
ação, mobiliza ideias-base, que são conceitos científicos, pragmatizando-as como
conceitos-em-ação, para organizar e resolver a situação-problema.
A partir dessa discussão, adotamos como ideias-base aqueles conceitos
científicos já aceitos pela comunidade científica e que são essenciais ao
estabelecimento dos demais conceitos. As ideias-base constituem os conceitos
primários de outro conceito, ou seja, elas subsidiam a elaboração do conceito em
consideração. Dito de outra forma, a elaboração de um conceito está subordinada à
mobilização pelo sujeito, das respecttivas ideias-base, sem elas o sujeito não
conceitualiza.
Identificamos, em nossa revisão bibliográfica nas perspectivas histórica e
145
cognitiva do conceito de função, que as ideias-base não se alteram ao longo do tempo,
o que mudam são os conceitos organizadores que, mesmo científicos, são adaptados
a partir das novas situações que são impostas aos indivíduos.
Nesse contexto, trazemos no Quadro 20 a relação de alguns trabalhos de
autores que pesquisam ou pesquisaram sobre o tema e suas respectivas noções de
conceitos subordinadores do conceito de Função Afim, ou para nós, as ideias-base.
Quadro 20 – Conceitos entendidos como ideias-base da Função Afim
Autor Conceitos
(CARAÇA, 1998),
(CIANI, NOGUEIRA, BERNS, 2019),
(DA SILVA, NOGUEIRA, 2021),
(KRUG, NOGUEIRA, 2022),
(LORENCINI, NOGUEIRA, REZENDE, 2020),
(NOGUEIRA, REZENDE, 2018)
(NOGUEIRA, REZENDE, 2019),
(PAVAN, 2010),
(PAVAN, NOGUEIRA, KATO, 2009)
(PAVAN, NOGUEIRA, KATO, 2010)
(PERON DA SILVA, 2021),
(PERON DA SILVA, NOGUEIRA, REZENDE, 2019),
(REZENDE, 2018),
(REZENDE, NOGUEIRA, CALADO, 2020),
(MIRANDA, 2019)
variável, dependência, regularidade,
correspondência e generalização
(TINOCO, 2002),
(CASTRO, 2012),
(MENDES, CASTRO, RODRIGUES, 2012)
variável, dependência, regularidade e
generalização
(CASTRO, RODRIGUES, 2013) Incógnita, variável, generalização
(CAMPITELI, CAMPITELI, 2006)
proporcionalidade, dependência, continuidade,
descontinuidade, relação, variável, regularidade,
correspondência e generalização
Fonte: da pesquisa
A conjectura aqui é de que as ideias-base, em si mesmas, apresentadas no
quadro anterior, não são suficientes para determinar o conceito de função, porque elas
são invariantes ao longo do tempo e, o conceito de função, como já visto no Capítulo
2, sofreu e vem sofrendo modificações ao longo da história, admitindo novas
interpretações, novos conceitos organizadores e, consequentemente novas
representações.
Nessa conjuntura, é essencial entender o que são representações e qual é seu
papel ao longodo desenvolvimento dos conceitos, sejam eles organizadores ou não.
146
4. 4 REPRESENTAÇÕES
Os objetos matemáticos não são apreensíveis senão mediante representações
e assim, além das representações naturais como os símbolos numéricos, as formas
geométricas, a escrita algébrica, diferentes formas de apresentação de dados como
tabelas, diagramas, gráficos contribuem para a compreensão conceitual e eficiência
operacional.
Mas, como caracterizar a representação? A Teoria dos Campos Conceituais
fornece respostas para essa questão amplamente debatida na literatura (LEVAIN,
DIDIERJEAN, 2017).
Representação é atividade e não apenas um repertório de conceitos e formas
simbólicas. A representação não é um dicionário, nem mesmo uma biblioteca; os
esquemas são parte integrante da representação: são mais do que formas
internalizadas de ação, pois organizam a ação e, além disso, a atividade (VERGNAUD,
1999).
Vergnaud (2017c, p. 66) frisa que um esquema “[…] é composto de regras
(implícitas ou explícitas) mas estas regras são necessariamente determinadas pela
representação (implícita ou explícita) das relações em cena na situação tratada, ou
seja, para uma análise de ordem categorial: objetos, propriedades, relações”.
A representação é fundamental no processo de aquisição do conhecimento,
pois ela é uma das componentes do esquema que permite ao indivíduo analisar e
categorizar uma situação e assim, a representação não se reduz à noção de símbolo
ou de signo, pois ela remete também ao conceito (VERGNAUD, 2009a).
Vergnaud (2009c) afirma que quatro componentes diferentes da representação
podem ser distinguidas, não como independentes uma da outra, mas de naturezas
distintas: (1) o fluxo da consciência, (2) a linguagem e outros conjuntos de símbolos,
(3) conceitos e categorias e (4) conjuntos e subconjuntos de esquemas.
Sobre a primeira componente, o autor diz que “[…] todo sujeito tem alguma
experiência do fluxo da consciência. É a prova mais óbvia da existência da
representação como fenômeno psicológico, ainda que não nos forneça uma
concepção justa e suficiente”. Para ele, “[…] o fluxo quase permanente de imagens
(visuais, auditivas, cinestésicas, somaestéticas) acompanha tanto as horas de vigília
e o sonho, quanto alguma consciência dos próprios gestos e palavras, às vezes
147
apenas esboçados na mente” (VERGNAUD, 2009c, p. 92).
Vergnaud (2009c, p. 92) afirma que a “[...] percepção ser um componente da
representação é importante para a teoria psicológica, pois é no estudo da percepção
que se vê o papel essencial dos conceitos e categorias na seleção da informação”.
Na segunda componente, linguagem e outros conjuntos de símbolos, Vergnaud
(2009c, p. 92) alega que “[...] sem palavras e símbolos, a representação e a
experiência não podem ser comunicadas. Além disso, o pensamento é muitas vezes
acompanhado, ou mesmo conduzido, por processos linguísticos e simbólicos”. Na
área de matemática, “[…] as notações numéricas e algébricas efetuam um papel muito
importante nos processos de conceituação e raciocínio, embora não sejam conceitos
em si”. A forma predicativa (a representação) é essencial, mesmo que não seja a
primeira forma de conhecimento (VERGNAUD, 2009c, p. 92).
Os conceitos e categorias, geram o sistema pelo qual colhemos informações,
com o propósito de conduzir nossa atividade da maneira mais relevante. Para o autor,
esse significado de representação não é tão direto quanto os dois primeiros, pois se
baseia na tese de que a percepção é um componente importante da representação,
mesmo quando não temos palavras para associar aos objetos e relações de que
depende a organização de nossa atividade (VERGNAUD, 2009c).
O autor enfatiza que é esencial distinguir conceituar de simbolizar “[…] até o
ponto em que a compreensão de palavras e frases por diferentes pessoas,
principalmente alunos e professores, não seja simplesmente uma relação binária
significante/significado, mas ternária com a interpretação privilegiada por invariantes
operacionais” (VERGNAUD, 2009c, p. 93).
Para exemplificar essa distinção, o autor traz o exemplo da fórmula de cálculo
do volume de um prisma 𝑉 = 𝐴 ∙ 𝐻, em que V = volume do prisma, A = área da base
e H = altura do prisma. Os alunos, ao necessitarem utilizar essa fórmula podem ler e
intepretar de modos diferentes. Eles podem, por exemplo, compreender que, para
calcular o volume devem conhecer a área e a altura e, na sequência, multiplicar uma
pela outra; ou que, para calcular a altura deve conhecer o volume e a área, e, depois,
dividir o volume pela área; ou ainda, que o volume é proporcional à área quando a
altura é mantida constante e à altura quando a área é mantida constante.
Conforme aponta Vergnaud (2009c, p. 93), a última intepretação “[…] exige
muito mais do que entender as operações de multiplicação e divisão e o significado
148
das letras. Nem sempre é mencionado nos livros escolares; no entanto, é a própria
razão para a fórmula” e enfatiza “[…] qualquer que seja a parte dos símbolos no
processo de conceituação, não se deve confundir conceitos e símbolos”.
A última componente, a de conjuntos e subconjuntos de esquemas, é entendida
a partir de uma noção de que a representação é uma atividade dinâmica. Ela não
estática como uma estátua numa praça, ela é “[…] um recurso funcional: organiza e
regula a ação e a percepção; ao mesmo tempo, é também o produto da ação e da
percepção” (VERGNAUD, 2009c, p. 93).
Nesse sentido, a forma operatória do conhecimento deve ser considerada como
uma componente da representação. “Os esquemas são essenciais: organizam gestos
e ações no mundo físico, assim como a interação com os outros, a conversa e o
raciocínio”. De acordo com autor, essa organização hierárquica abre espaço para a
causalidade e o inesperado: “[…] esquemas e subesquemas são frequentemente
chamados por aspectos contingentes de situações; é o caráter recíproco de sua
função adaptativa” (VERGNAUD, 2009c, p. 94).
É essencial que se reconheca a função central da atividade no desenvolvimento
da representação, das competências e dos conceitos. A linguagem e os símbolos
desempenham um papel importante no processo de conceituação. Os pesquisadores
identificam conceituação e simbolização como se a atividade de escrita e simbolização
fossem componentes suficientes do conhecimento, em particular, do conhecimento
matemático (VERGNAUD, 2009c).
Assim, uma vez compreendido o nosso quarteto, temos condições de realizar
articulações com ele.
4. 5 ESTABELECENDO AS RELAÇÕES ENTRE O QUARTETO E AS
PERSPECTIVAS
No Quadro 21 estabelece-se uma relação entre as situações à época que
levaram os matemáticos a compreenderem o conceito de função, com suas
representações e seus conceitos organizadores (que envolvem outros conceitos
anteriores, outras representações, teoremas etc.).
Assumimos que, apesar de não ser possível pensar em um Campo Conceitual
individual, podemos inferir a forma com que cada matemático ou grupo de
149
matemáticos de um determinado período, concebiam e representavam o conceito de
função a partir das situações que lhe eram propostas. Assim, decidimos trazer no
quadro todos os matemáticos que foram apresentados nesta tese. O objetivo de trazer
todos os protagonistas é para mostrar como as concepções individuais alteravam (e
ainda alteram) a forma de conceber o conceito de função cientificamente. Isto pode
ser corroborado por diversas alusões a duelos científicos que os matemáticos
travavam, principalmente a partir do século XVI. Desses “duelos”, o conceito de
função, as representações e as situações foram sendo alterados ao longo do tempo
para o que conhecemos hoje.
Os conceitos organizadores que emergiram estão identificadas no Quadro 21.
Eles são resultado de análise histórica da evolução do conceito de função. Entretanto,
estamosinteressados em compreender os conceitos organizadores e as ideias-base
associados aos conceitos organizadores pragmáticos e aos invariantes operatórios
mobilizados pelo sujeito em ação (PASTRÉ, MAYEN, VERGNAUD, 2006). Para isso,
precisamos recorrer à perspectiva cognitiva, que nos dará pistas de que o processo
cognitivo tem sido acompanhado pela evolução histórica do conceito. A análise aqui
se dá a partir, da epistemologia genética de Jean Piaget, das outras teorias derivadas
dela (Quadro 9) e principalmente da Teoria dos Campos Conceituais de Gérard
Vergnaud.
150
Quadro 21 – Conceitos organizadores de Função identificadas ao longo do tempo
Ano
Matemático ou
Civilização
Noção ou concepção ou
definição
Situações e trabalhos
desenvolvidos
Conceitos organizadores
idenficados
Representações
identificadas
~ 2000 𝑎. 𝐶.
Mesopotâmios,
Gregos, Egípcios,
hindus e
Chineses
Casos particulares de
dependências entre duas
grandezas
Cálculo de recíprocos, áreas,
cubos, raízes quadradas e
cúbicas, volumes.
Relações entre cordas, senos,
arcos e ângulos.
Relações entre lados de
triângulos, raio, círcunferências,
pesos e alturas.
*dependência24, *grandeza,
correspondência, razão (linear
e trigonométrica), proporção,
ordem
Verbal (oral) e escrita,
tabular
~2000 𝑎. 𝐶 𝑎 ~1000 𝑑. 𝐶. 25 - -
- - -
~1000 𝑑. 𝐶. Abûl-Wefâ
Uma razão trigonométrica de
senos, cossenos e tangentes
Astronomia
razão (trigonométrica),
*tangente, *seno, *cosseno
(EVES, 2011), dependência,
correspondência,
regularidade, ordem
Verbal (oral) e escrita,
tabular
~1400 𝑎 1500 𝑑. 𝐶.
Idade Média
(Nicolau de
Oresme)
Caso particulares de
dependências entre duas
grandezas na forma
geométrica, taxas, razões
Cálculo de velocidades,
acelerações, taxas, forças,
resistências, coeficientes de
proporcionalidade
*dependência, *grandeza,
correspondência, *razão,
proporção, *taxa, regularidade,
ordem
Verbal (oral) e escrita,
Figuras geométricas
1579 François Viète Identidades trigonométricas
Resolução de triângulos planos e
esféricos, resolução de equações
de grau elevado
*identidade, razão
(trigonométrica), proporção,
dependência,
correspondência,
regularidade, ordem
Verbal (oral) e escrita,
Tabular
1665 Isaac Newton
Qualquer relação entre
variáveis
Queda de corpos, problemas
envolvendo cinemática
*Variável, fluentes (*relações),
correspondência,
dependência, grandeza,
proporção, trigonometria,
regularidade, ordem
Verbal (oral) e escrita,
curvas geométricas,
plano cartesiano
1667 James Gregory
Uma quantidade obtida de
outras quantidades por uma
sucessão de operações
Transformações algébricas,
óptica, teorema binomial,
expansão de funções em séries,
*quantidade (grandeza),
*operação algébrica,
*sucessor (ordem),
Verbal (oral) e escrita,
Equações
24 Os conceitos com * são aqueles que já estão presentes nas próprias definições dadas pelos matemáticos à época. Os demais são inferências a partir dos
textos apresentados.
25 Nesse período não encontramos nas referências textos e matemáticos que tenham trazido alguma contribuição na noção de função. Isso não significa que
esse período foi vazio de ideias ou matemáticos que tratavam da noção de função, mas apenas que é necessária uma pesquisa mais apurada desse
período.
151
Ano
Matemático ou
Civilização
Noção ou concepção ou
definição
Situações e trabalhos
desenvolvidos
Conceitos organizadores
idenficados
Representações
identificadas
algébricas ou por outra
operação imaginável.
astronomia
transformação, binômio,
correspondência, séries,
dependência, trigonometria,
ordem
1673
Gottfried Wilhelm
Leibniz
Qualquer quantidade variando
de ponto a ponto de uma
curva
Characteristica generalis (um tipo
de Matemática universal), cálculo
infinitesimal, cálculo integral,
teoria das envoltórias26
*variável, *quantidade
(grandeza), tangente,
correspondência,
dependência, integral,
diferencial, trigomometria,
ordem, regularidade
Verbal (oral) e escrita,
Figuras geométricas,
Curvas geométricas,
plano cartesiano,
Pictórica
1697 Johann I Bernoulli
Quantidades formadas usando
expressões algébricas e
transcendentais de variáveis e
constantes
Aplicações ao cálculo, como
fenômenos ópticos relacionados
com reflexão e refração,
determinação das trajetórias
ortogonais de uma família de
curvas, retificação de curvas e
quadratura de áreas por meio de
séries, trigonometria analítica, o
cálculo exponencial (EVES, 2011,
p. 465)
*expressão algébrica,
*variável, *constantes,
*quantidade (grandeza),
séries, trigonometria, plano
cartesiano, geometria
analítica, dependência,
correspondência,
regularidade, ordem
Verbal (oral) e escrita,
Expressões
algébricas, Curvas,
Gráfico
1714
Gottfried Wilhelm
Leibniz
Quantidades que dependem
de uma variável
Characteristica generalis (um tipo
de Matemática universal), cálculo
infinitesimal, cálculo integral,
teoria das envoltórias
*variável, *dependência,
*quantidade (grandeza),
integral, diferencial,
trignometria, dependência,
correspondência,
regularidade, ordem
Verbal (oral) e escrita,
Integral, expressão
analítica
1718 Johann I Bernoulli
Função de uma certa variável
como uma quantidade que é
composta por alguns modos
vindos de variáveis e
constantes
Aplicações ao cálculo, como
fenômenos ópticos relacionados
com reflexão e refração,
determinação das trajetórias
ortogonais de uma família de
curvas, retificação de curvas e
quadratura de áreas por meio de
séries, trigonometria analítica, o
cálculo exponencial (EVES, 2011,
p. 465)
curvas, séries, *variável,
*constantes, *quantidade
(grandeza), séries,
trigonometria, plano
cartesiano, geometria
analítica, dependência,
correspondência,
regularidade, ordem
Verbal (oral) e escrita,
Gráfico, curvas,
expressão analítica,
séries
1747
Jean Le Rond
D’Alembert
A dependência funcional é
uma noção geométrica. Uma
Problema das cordas vibrantes,
sistemas de equilíbrio e
*dependência, *fórmula,
*relação, *curvas, *superfícies,
Verbal (oral) e escrita,
Fórmula, Equação
26 Envoltórias são curvas que não pertencem à uma família de curvas planas e são tangentes a todas as curvas da família.
152
Ano
Matemático ou
Civilização
Noção ou concepção ou
definição
Situações e trabalhos
desenvolvidos
Conceitos organizadores
idenficados
Representações
identificadas
função não é somente uma
fórmula, mas está relacionada
a curvas e superfícies
movimento de fluídos. *geometria, equações
diferenciais parciais,
correspondência,
regularidade, ordem
Diferencial Parcial,
Curvas, Superfícies
1748 Leonhard Euler
Fórmula ou expressão
analítica composta de
qualquer modo por meio de
uma quantidade variável e
números ou quantidades
constantes que representam a
relação entre as variáveis.
Problema das cordas vibrantes, a
teoria lunar, a das marés, o
problema dos três corpos da
mecânica celeste, o problema da
atração de elipsoides, a
hidráulica, a construção de
navios, questões de artilharia e
teoria musical (EVES, 2011)
*quantidade (grandeza),
*fórmula, *expressão,
*variável, *constante, *relação,
dependência, *geometria
analítica, raízes, exponenciais,
logaritmos, trigonometria,
polinômios, séries de
potências, derivadas,
integrais, equações
diferenciais parciais,
dependência,
correspondência,
regularidade, ordem
Verbal (oral) e escrita,
Fórmula, Expressão
analítica, equação
diferencial parcial,
cruvas, gráficos
1755 Leonhard Euler
Se 𝑥 denota uma quantidade
variável, então todas as
quantidades que dependem
de 𝑥 de qualquer modo ou são
determinadas por ela são
chamadas de suas funções.
Se algumas quantidades
dependem de outras de tal
forma que, se estas últimas
forem alteradas, as primeiras
também sofrerão alterações,então as primeiras
quantidades são chamadas de
funções das últimas.
Problema das cordas vibrantes, a
teoria lunar, a das marés, o
problema dos três corpos da
mecânica celeste, o problema da
atração de elipsoides, a
hidráulica, a construção de
navios, questões de artilharia e
teoria musical (EVES, 2011)
*quantidade (grandeza),
*variável, *dependência, série
de potências, razão, soma de
senos, equação diferencial
parcial, séries de potências,
derivadas, integrais, equações
diferenciais parciais,
correspondência,
regularidade, ordem
Verbal (oral) e escrita,
Expressão analítica,
séries, equação
diferencial parcial
1797
Joseph-Louis
Lagrange
Qualquer expressão útil para
cálculo em que essas
variáveis se relacionem de
qualquer maneira.
Representação da função por
meio da série de Taylor,
equações de um sistema
dinâmico, resolução de equações
diferenciais ordinárias e parciais
(EVES, 2011)
*variável, *expressão, séries,
equações diferenciais
ordinárias e parciais, *relação,
dependência,
correspondência,
regularidade, ordem
Verbal (oral) e escrita,
expressão analítica,
séries, equações
diferenciais ordinárias
e parciais
1806
Joseph-Louis
Lagrange
Uma combinação de
operações que devem ser
realizadas em quantidades
Representação da função por
meio da série de Taylor,
equações de um sistema
*quantidade (grandeza),
*desconhecido (variável?),
séries, equações diferenciais
Verbal (oral) e escrita,
Expressão analítica,
séries, equações
153
Ano
Matemático ou
Civilização
Noção ou concepção ou
definição
Situações e trabalhos
desenvolvidos
Conceitos organizadores
idenficados
Representações
identificadas
conhecidas para obter os
valores de quantidades
desconhecidas, e que estas
últimas são propriamente
apenas o último resultado do
cálculo.
dinâmico, resolução de equações
diferenciais ordinárias e parciais
(EVES, 2011)
ordinárias e parciais, *relação,
dependência,
correspondência,
regularidade, ordem
diferenciais ordinárias
e parciais,
1821
Augustin-Louis
Cauchy
Uma função é definida por
uma expressão analítica (se
for explícita) ou por uma
equação ou sistema de
equações (se for implícita); ela
pode ser definida apenas para
uma faixa restrita da variável
independente.
Convergência e divergência de
séries infinitas, teoria das funções
reais e complexas, equações
diferenciais, determinantes,
probabilidade e física-Matemática
(EVES, 2011)
*expressão analítica, *sistema
de equações, *equações
implícitas e explícitas,
*variável, domínio, séries,
determinantes, equações
diferenciais, probabilidade,
convergência, divergência,
dependência,
correspondência,
regularidade, ordem
Verbal (oral) e escrita,
Expressão analítica,
equações diferenciais,
gráficos, sistema de
equações,
1822
Jean-Baptiste
Joseph Fourier
A função 𝑓(𝑥) representa uma
sucessão de valores ou
ordenadas
Teoria do calor, séries, acústica,
óptica, eletrodinâmica,
termodinâmica, análise
harmônica, problemas sobre vigas
e pontes e na solução de
equações diferenciais (EVES,
2011)
*sucessão (ordem),
*ordenadas, variável, intervalo,
correspondência, série de
senos e cossenos, equações
diferenciais, dependência,
regularidade
Verbal (oral) e escrita,
Gráfico,Plano
Cartesiano, séries,
equações diferenciais,
expressão analitica
1829
Johann Peter
Gustav Lejeune
Dirichlet
𝑦 é uma função de uma
variável 𝑥, definida no
intervalo 𝑎contínuas, funções
contínuas (EVES, 2011)
*objeto, *classe, *expressão,
*igualdade, *continuidade
Verbal (oral) e escrita,
expressão lógica
1903 Bertrand Russell
A função descritiva é o objeto
que está em relação a y:
𝑅′𝑦 = 𝐷𝐸𝐹 (𝜄𝑥)(𝑥 𝑅 𝑦). 𝑅′𝑦 é
uma função de y, mas não
uma função proposicional; nós
a chamaremos de função
descritiva. Todas as funções
ordinárias da Matemática são
desse tipo.
Igualar a Matemática à lógica,
paradoxo de Russell (BOYER,
1974)
*relação, *objeto, *proposição
Verbal (oral) e escrita,
conjuntos, expressão
lógica
1908 Ernst Zermelo
Sempre que a função
proposicional 𝛷(𝑥) é definida
para todos os elementos de
um conjunto 𝑀, 𝑀 possui um
subconjunto 𝑀𝛷 contendo
Axioma da escolha
*proposição, *conjunto,
*subconjunto, *elementos,
vazio, *igualdade, *axiomas
Verbal (oral) e escrita,
conjuntos, expressão
lógica
156
Ano
Matemático ou
Civilização
Noção ou concepção ou
definição
Situações e trabalhos
desenvolvidos
Conceitos organizadores
idenficados
Representações
identificadas
como elementos precisamente
aqueles elementos 𝑥 de 𝑀
para os quais 𝛷(𝑥) é
verdadeiro.
1908
Godfrey Harold
Hardy
Função é uma relação entre
duas variáveis 𝑥 e 𝑦 tal que
alguns valores de 𝑥 de
qualquer forma correspondem
a valores de 𝑦.
Complexidade computacional,
hierarquias (BOYER, 1974)
*variáveis, *relação,
*correspondência,
dependência, regularidade,
ordem
Verbal (oral) e escrita,
conjuntos, expressão
lógica
1914 Felix Hausdorff
Função é um par ordenado
(𝑎, 𝑏) como {{𝑎, 1}, {𝑏, 2}}
Topologia dos conjuntos de
pontos, espaços topológicos de
Hausdorff27, unificação da
Matemática (BOYER, 1974)
relação, *par ordenado,
correspondência, conjuntos,
subconjunto compacto,
espaço métrico, espaço
topológico, topologia de
pontos , dependência,
regularidade, ordem
Verbal (oral) e escrita,
conjuntos, pares
ordenados
1917
Constantin
Carathéodory
Uma regra de
correspondência de um
conjunto A para números
reais.
Teoria das equações diferenciais
parciais, análise complexa
(métrica de Carathéodory), teoria
da medida e da integração,
cálculo variacional, ótica
geométrica, termodinâmica
(GEORGIADOU, 2004)
*regra de correspondência,
*conjuntos, *números reais,
equações diferenciais parciais,
análise complexa, cálculo
varacional, números
complexos
Verbal (oral) e escrita,
conjuntos, equações
diferenciais, plano
cartesiano
1921
Kazimierz
Kuratowski
Função é uma relação, ou
seja, é um par ordenado (𝑎, 𝑏)
como ({{𝑎, 𝑏}, {𝑎}}
Fundamentação axiomática da
topologia, problema do contínuo
irredutível, topologia
*relação, *par ordenado,
*topologia, continuidade,
irredutibilidade
Verbal (oral) e escrita,
conjuntos, pares
ordenados
1922
Thoralf Albert
Skolem
Uma expressão finita
construída a partir de
proposições elementares da
forma 𝑎 e 𝑏 ou 𝑎 = 𝑏 por
meio das cinco operações
(conjunção lógica, disjunção,
negação, quantificação
universal e quantificação
existencial).
Equações diofantinas, teoria dos
grupos, teoria dos reticulados,
lógica, teoria dos conjuntos,
automorfismos de álgebras
simples (BRADY, 2000)
*expressão, *proposição,
*conjunção, *disjunção,
*negação, *quantificador
universal, *quantificador
existencial, *equação, teoria
de conjuntos, teoria de
reticulados, automorfismo
Verbal (oral) e escrita,
expressão, expressão
lógica
1924
Moses
Schönfinkel
Combinadores são funções de
ordens mais altas que aplicam
em outras funções.
Lógica combinatória (MEDVEDEV,
1991)
*combinador, proposição,
lógica
Verbal (oral) e escrita,
expressão lógica
27 Um espaço de Hausdorff (ou espaço separado) é um espaço topológico no qual quaisquer dois pontos distintos têm vizinhanças disjuntas.
157
Ano
Matemático ou
Civilização
Noção ou concepção ou
definição
Situações e trabalhos
desenvolvidos
Conceitos organizadores
idenficados
Representações
identificadas
1925
John Von
Neumann
Uma função pode ser
considerada como um
conjunto de pares, e um
conjunto como uma função
que pode assumir dois valores
(VAN HEIJENOORT, 1967)
Teoria dos operadores, teoria
quântica, teoria dos jogos,
econometria (BOYER, 1974)
correspondência, *conjunto,
par ordenado
Verbal (oral) e escrita,
conjuntos, expressão
boolena, expressão
lógica
1927 David Hilbert
Função é uma função lógica,
ou seja, 𝐴(𝑎) → 𝐴(𝜀(𝐴)), em
que 𝜀(𝐴) representa um objeto
da qual a proposição 𝐴(𝑎)
certamente vale, se vale para
qualquer objeto (VAN
HEIJENOORT, 1967).
Espaço de Hilbert, Curva de
Hilbert, equações integrais,
problemas de Hilbert, teoria
algébrica dos invariantes, teoria
dos números algébricos,
problema de Dirichlet e o cálculo
de variações, teoria espectral,
(BOYER, 1974)
*proposição, variável,
conjuntos
Verbal (oral) e escrita,
Representação
Gráfica, lógica
1939 Nicolas Bourbaki
Uma regra de
correspondência entre dois
conjuntos.
Axiomatização da Matemática,
teoria dos conjuntos, álgebra,
topologia, espaços vetoriais
topológicos, integração (BOYER,
1974)
*correspondência, *conjuntos,
imagem, domínio, teoria dos
conjutos, integral, espaços
vetoriais, relação
Verbal (oral) e escrita,
conjuntos, expressão
lógica, Diagrama de
Venn, plano
cartesiano
1939 Nicolas Bourbaki
Sejam E e F dois conjuntos,
que podem ou não ser
distintos. Uma relação entre
um elemento variável 𝑥 de E e
um elemento variável 𝑦 de F é
chamada de relação funcional
em 𝑦 se, para todo 𝑥 em E,
existe um único 𝑦 em F, que
está na relação dada com 𝑥
(BOURBAKI, 1957).
Axiomatização da Matemática,
teoria dos conjuntos, álgebra,
topologia, espaços vetoriais
topológicos, integração (BOYER,
1974)
*conjuntos, *relação,
*unicidade, domínio,
contradomínio, imagem,
*variável, *lógica
(quantificadaores), integral,
espaços vetoriais
Verbal (oral) e escrita,
pares ordenados,
conjuntos, Diagrama
de Venn, plano
cartesiano
1952 Stephen Kleene
No sentido mais geral, uma
função (de valor único) 𝑓 ou
𝑓(𝑥) ou 𝑦 = 𝑓(𝑥) de uma
variável 𝑥 é uma
correspondência por 𝑦 que, a
cada elemento 𝑥 de um
conjunto 𝑋 corresponde um
único elemento 𝑦 de um
conjunto 𝑌 (KLEENE, 1952).
Lógica Matemática, teoria da
computabilidade, hierarquia de
Kleene, a álgebra de Kleene, o
fecho de Kleene, o teorema da
recursão de Kleene, teorema do
ponto fixo de Kleene
*varaviável, *correspondência,
*conjunto, *unicidade,
domínio, imagem,
contradomínio, *lógica
(quantificadaores), relação
Verbal (oral) e escrita,
pares ordenados,
conjuntos, Diagrama
de Venn, plano
cartesiano
1954 Nicolas Bourbaki
Uma função é um triplo 𝑓 =
(𝐹, 𝐴, 𝐵). Aqui 𝐹 é um grafo
Axiomatização da Matemática,
teoria dos conjuntos, álgebra,
*grafo, *conjunto, *pares,
teoria dos conjuntos,
Verbal (oral) e escrita,
pares ordenados,
158
Ano
Matemático ou
Civilização
Noção ou concepção ou
definição
Situações e trabalhos
desenvolvidos
Conceitos organizadores
idenficados
Representações
identificadas
funcional, significando um
conjunto de pares onde dois
pares não têm o mesmo
primeiro membro.
topologia, espaços vetoriais
topológicos, integração (BOYER,
1974)
topologia, espaços vetoriais,
integral
conjuntos, grafo
Fonte: da pesquisa
159
4.5.1 Situações
De acordo com a Teoria dos Campos Conceituais são as situações que dão
sentido aos conceitos e, um único conceito, precisa de uma variedade de situações
para se tornar significativo. Além disso, admitimos que os dois contextos, o histórico,
referente ao esforço de matemáticos e simpatizantes em resolver situações cotidianas
e não cotidianas e o oriundo dos esforços de psicólogos por compreender
cognitivamente o processo de aquisição do conceito de função se configuram como
ambientes deresolução de situações-problema que proporcionaram e proporcionam
mudanças no conceito de função.
Na quarta coluna do Quadro 21, temos o primeiro contexto - histórico, as
situações e os trabalhos que foram os gatilhos para que os matemáticos ao longo dos
anos desenvolvessem o conceito de função, destacando situações-problema que
foram chave tanto para filiações quanto para rupturas desse desenvolvimento,
influenciando, inclusive, na natureza do conceito de função.
Os problemas de física relacionados à aceleração, velocidades e taxas foram
desencadeadores das primeiras representações gráficas da noção explícita de
função. O problema da corda vibrante foi um divisor de águas, pois ele motivou os
matemáticos à época a encontrarem soluções utilizando novos conceitos e
aprimorando outros. Esse foi o caso da função, em que conseguiram estabelecer que
uma equação diferencial parcial ou uma série infinita poderiam ser associadas a uma
função.
Uma situação mais ampla, que favoreceu a concepção de função que
conhecemos hoje, foi a busca pela sistematização da Matemática em estruturas. Essa
problemática despertou o interesse de muitos matemáticos que, aliados as ideias
crescentes da axiomatização da Matemática por expressões lógicas, levou a
constituição da função como uma relação entre elementos de dois conjuntos, com
regras bem específicas.
No segundo contexto, o Quadro 22 foi elaborado e, a partir dele, identificamos
as situações-problema ou trabalhos relacionados que dizem respeito à compreensão
do processo de elaboração do conceito de função.
160
Quadro 22 – Situações-problema de função resolvidos e a serem resolvidos do ponto de vista psicológico
Situação ou trabalho Autores
A ordenação de uma série de objetos (PIAGET, GRIZE, SZEMINSKA, BANG, 1968)
A substituição de lugar de uma flor a partir de tamanhos
diferentes
(PIAGET, GRIZE, SZEMINSKA, BANG, 1968)
O deslocamento de posições em trilhos coloridos (PIAGET, GRIZE, SZEMINSKA, BANG, 1968)
A passagem da função constituída de aplicações para a
equivalência de classes
(PIAGET, GRIZE, SZEMINSKA, BANG, 1968)
A passagem das regularidades para as proporcionalidades (PIAGET, GRIZE, SZEMINSKA, BANG, 1968)
Análise de regularidades espontâneas (PIAGET, GRIZE, SZEMINSKA, BANG, 1968)
Análise de correspondências ordinais e hiperordinais (PIAGET, GRIZE, SZEMINSKA, BANG, 1968)
A passagem da proporcionalidade para função (PIAGET, GRIZE, SZEMINSKA, BANG, 1968)
Estágio dos estudantes em relação ao conceito de função (THOMAS, 1969)
A compreensão de relações, equações e funções (WAGNER, 1981)
O papel da intuição na apreensão dos conceito de função (DREYFUS, EISENBERG, 1982)
O processo de edificação da noção de função como um
esquema conceitual
(BERGERON, HERSCOVICS, 1982)
O que é uma função? (DREYFUS, VINNER, 1982)
O que é uma função? (VINNER, 1983)
Hierarquia das estratégias de resolução de problemas na
aquisição do conceito de função linear
(RICCO, 1982)
Estágios para dominar o conceito de função (MARKOVITS, EYLON, BRUCKHEIMER, 1986)
O significado de variável (SCHOENFELD, ARCAVI, 1988)
As concepções de função (SIERPINSKA, 1988)
Tipificação do conceito de função (VINNER, DREYFUS, 1989)
Resolução de problemas envolvendo função num amiente
informatizado
(SCHWARZ, DREYFUS, BRUCKHEIMER, 1990)
A natureza das dificuldades relacionadas as representações
algébrica e gráfica
(ARTIGUE, 1992)
O que é função? (NOGUÈS, 1992/1993)
Dificuldades relacionadas as diferentes representações de
função
(HITT-ESPINOSA, Fernando, 1998)
Função como covariação (RÊGO, 2000)
Ideias de dependência funcional entre variáveis (PÉREZ, DEULOFEU, 2000)
Transposição didática do conceito de função (AMRA, 2004)
Efeito do estudo histórico de função na parendizagem (REED, 2007)
Compreensão das representações algébrica e por par
ordenado
(MONOYIOU, GAGATSIS, 2010)
Conceito de função em livros didáticos (ROSS, 2011)
Concepção de função (PIRES, MERLINI, MAGINA, 2015)
A construção do conceitos de variável e dependência (PEÑA, 2016)
Concepções errôneas de função (NUNES, SANTANA, 2017)
Construção de um Modelo Epistemológico para o ensino e
aprendizagem de função
(RODRIGUES, MENEZES, SANTOS, 2017)
Fonte: da pesquisa
As situações e trabalhos apresentados no Quadro 22 nos trazem um panorama
das pesquisas em relação ao processo de aquisição do conceito de função. Nos
primeiros trabalhos, aqueles de Piaget, Grize, Szeminska e Bang (1968), o enfoque
estava na constituição inicial das estruturas funcionais do conceito de função. Após
esses trabalhos, os pesquisadores estavam interessados em temas que se
aproximavam mais do conceito de função na sala de aula e na situação em ação. Os
trabalhos tratavam diretamente sobre a concepção de função, estágios de
aprendizagem, tipificações de função e representações de função.
Essas pesquisas, à medida que traziam resultados novos, permitiam
161
compreender de uma forma mais ampla, tanto o processo de aprendizagem do
conceito de função, como as componentes presentes. A Teoria dos Campos
Conceituais e a Teoria de Registros de Representação são exemplos de teorias que,
com suas situações de pesquisa, influenciaram a concepção do conceito de função.
Uma mudança profunda foi a compreeensão de que um conceito não é mais
interpretado apenas por meio de uma definição, mas por um Campo Conceitual.
4.5.2 Conceitos organizadores e Ideias-base
No âmbito dos conceitos organizadores, é possível reconhecer que eles
mudam ao longo do tempo, contudo, existem conceitos organizadores que perpassam
o tempo e, que portanto, são estruturas primárias de outros conceitos, ou seja,
constituem o que já chamamos anteriormente de ideias-base. Assim, para estabelecer
as ideias-base do conceito de função, o primeiro passo foi estabelecer o conceito de
função e, para isso, nos sustentamos na teoria dos campos conceituais para qual,
para definir um conceito é necessário mais do que uma definição, é necessário
estabelecer as situações, os invariantes e as representações.
Uma vez articulados os conceitos organizadores no Quadro 22, buscamos
realizar uma análise daqueles presentes nas Estruturas Aditivas, Multiplicativas e nos
Problemas Mistos, na busca de indicativos sobre quais são as ideias-base do conceito
de função. Admitimos que, as ideias-base do conceito de Função Afim estão presentes
nos demais tipos de função. Assim, supondo que existam relações entre a Função
Afim e os Campos Aditivos e Multiplicativos e, os Problemas Mistos, se encontrarmos
as ideias-base da Função Afim, a título de exemplo, temos condições de inferir que as
demais funções também possuem as mesmas ideias-base.
O Quadro 23 se propõe a elucidar os conceitos organizadores que se fazem
presentes nos Problemas Mistos e que também estão presentes nas Estruturas
Aditiva e Multiplicativa.
Quadro 23 – Conceitos organizadores identificados nas Estruturas Aditivas e Multiplicativas e, nos Problemas
Mistos
Estruturas Aditivas Estruturas Multiplicativas Problemas Mistos
Conceitos
organizadores
Quantidades discretas e
contínuas, medidas,
tranformação,
comparação, composição
binária, operação unitária,
inversão, números,
Proporção simples e
proporção múltipla,
função linear e n-linear,
relação escalar direta e
inversa, quociente e
produção de dimensões,
Proporção simples e proporção
múltipla, função linear e n-linear,
relação escalar direta e inversa,
quociente e produção de
dimensões, combinação linear e
aplicação linear, fração, relação,
162
Estruturas Aditivas Estruturas Multiplicativas Problemas Mistos
posições, abscissa, valor
algébrico
combinação linear e
aplicação linear, fração,
relação, número racional,
múltiplo e divisor
número racional, múltiplo e divisor,
quantidades discretas e contínuas,
medidas, tranformação,
comparação, composiçãobinária,
operação unitária, inversão,
números, posições, abscissa, valor
algébrico
Fonte: da pesquisa
Pelo Quadro 23 construído a partir de textos anteriores de Gérard Vergnaud e
colaboradores, pudemos hipotetizar os conceitos organizadores dos Problemas
Mistos a partir da junção das Estruturas Aditivas e Multiplicativas. Uma vez realizadas
essas inferências, busca-se no próximo quadro, articular os conceitos organizadores
dos Problemas Mistos com as possíveis idéias-base de Função Afim (e,
consequentemente de função), advindas das perspectivas histórica e cognitiva.
Quadro 24 – Conceitos organizadores nos Problemas Mistos e nas Funções
Estrutura Perspectiva Histórica Perspectiva Cognitiva28
Problemas Mistos -
Proporção simples, proporção múltipla, função
linear, função n-linear, relação escalar direta,
relação escalar inversa, quociente, produção
de dimensões, combinação linear, aplicação
linear, fração, relação, número racional,
múltiplo, divisor, quantidades discretas,
quantidades contínuas, medidas,
tranformação, comparação, composição
binária, operação unitária, inversão, números,
posições, abscissa, valor algébrico.
Função
Correspondência, razão,
dependência, grandeza, proporção,
variável, grafos, conjuntos, pares
ordenados, unicidade, domínio,
imagem, contradomínio,
homomorfismo, proposição, objetos,
classes, argumentos, integral,
inverso, continuidade, séries,
equação, expressão analítica,
sistema de equações, quantidades,
derivadas, curvas, superfícies, regra
de correspondência, regularidade,
generalização, incógnita
Ordem, relações unívocas, pares ordenados,
transitividade instrumental, transitividade
operatória, generalização dedutiva,
conservação, reversibilidade, dependências,
equivalência, categorias, diferentes tipos de
correspondências, aplicação, inclusão,
conjuntos, variável, proporcionalidade,
vocabulário, simbolismo, propriedades de
operações, propriedades internas das funções
(domínio, imagem, contradomínio, diferentes
classes de funções – lineares, quadráticas,
trigonométricas, limitadas, contínuas, injetivas,
sobrejetivas, bijetivas, explícitas, implícitas,
recursivas, entre outras)
Fonte: da pesquisa
A partir do Quadro 24, podemos estabelecer algumas aproximações entre os
28 A perspectiva cognitiva começou a partir do século XX, quando temos os primeiros trabalhos de
Jean Piaget sobre funções e os trabalhos de Gérard Vergnaud sobre problemas mistos.
163
conceitos organizadores identificados na perspectiva histórica e na perspectiva
cognitiva para os Problemas Mistos e para as Funções Afim.
A primeira inferência que podemos fazer é que, existe um Campo Conceitual
de Função Afim e, logicamente de Função (em geral) e ele não está contido no dos
Problemas Mistos - situações que necessitam das Estruturas Aditivas e Multiplicativas
– que se situa nas imbricações entre esses dois campos. O inverso acontece, ou seja,
os Problemas Mistos estão contidos no Campo Conceitual de Função, pois podemos
encontrar intersecções entre seus conceitos organizadores, como proporcionalidade,
dependência e correspondência. Os conceitos organizadores comuns nos fornecem
indícios de que, além de serem conceitos organizadores, eles constituem ideias-base.
Nos Problemas Mistos, ao compararmos com Funções Afim, não encontramos
os seguintes conceitos organizadores: variável, grafos, conjuntos, pares ordenados,
domínio, imagem, contradomínio, proposição, objetos, classes, argumentos, integral,
séries, equação, expressão analítica, derivadas, regularidade, generalização (na
perspectiva histórica), ordem, transitividade instrumental, transitividade operatória,
generalização dedutiva, conservação, equivalência, categorias, diferentes tipos de
correspondências, inclusão, proporcionalidade, vocabulário, simbolismo,
propriedades de operações, propriedades internas das funções (diferentes classes de
funções – quadráticas, trigonométricas, limitadas, injetivas, sobrejetivas, bijetivas,
explícitas, implícitas, recursivas, entre outras). Se acrescentarmos ao Quadro 24 os
resultados já obtidos por Rodrigues e Rezende (2019; 2021), das ideias-base
identificadas nos Problemas Mistos: correspondência, dependência, variável,
regularidade e proporcionalidade, mais algumas intersecções podem ser exibidas
entre os Problemas Mistos e as Funções Afim.
A partir dos conceitos organizadores identificados no Quadro 20 (que já estão
dispostos como ideias-base), Quadro 21, Quadro 23 e Quadro 24, identificamos os
conceitos organizadores que estão presentes ao longo de toda evolução histórica e
cognitiva do conceito de função, conforme Quadro 25. Esses conceitos organizadores,
uma vez que se mantém, são candidatos a serem ideias-base.
Quadro 25 – Candidatos a Ideias-base presentes nas perspectivas histórica e cognitiva simultaneamente
Perspectiva Histórica Perspectiva Cognitiva Ideias presente em ambas
Classes
Diferentes tipos de funções
(lineares, quadráticas,
trigonométricas, limitadas,
Diferentes de tipos (classes) de
funções
Conjuntos Conjuntos Conjuntos
164
Perspectiva Histórica Perspectiva Cognitiva Ideias presente em ambas
Conservação Conservação Conservação
Continuidade Contínuas Contínuas
Correspondência Correspondência Correspondência
Dependência Dependência Dependência
Domínio Domínio Domínio
Generalização Generalização Generalização
Homorfismo Equivalência Equivalência
Imagem Imagem Imagem
Inverso Reversibilidade Reversibilidade
Contradomínio Contradomínio Contradomínio
Pares ordenados Pares ordenados, ordem Ordem
Proporção Proporcionalidade Proporcionalidade
Razão Razão Razão
Regularidade Regularidade Regularidade
Relações Relações Relações
Variável Variável Variável
Fonte: da pesquisa
Assim, inferimos que os candidatos às ideias-base de Função Afim (e Função)
são: diferentes tipos de classe, conjuntos, conservação, continuidade,
correspondência, dependência, domínio, generalização, equivalência, imagem,
reversibilidade, contradominio, ordem, proporcionalidade, razão, regularidade,
relações e variável.
Uma primeira análise nos diz que os diferentes tipos de classe, domínio,
imagem e contradomínio são conceitos que necessitam da noção de conjunto,
portanto, os descartamos como ideias-base. O conjunto é uma coleção de algo, em
que esses algos tenham alguma semelhança, nesse caso, o conjunto precisa do
conceito de semelhança, que está representado aqui pelos conceitos de
correspondência, reversibilidade e conservação.
A proporcionalidade é um conceito que depende dos conceitos de razão,
relação, correspondência e equivalência. Quando a proporcionalidade pode ser
generalizada, ela depende, além da razão, relação, correspondência e equivalência,
dos conceitos de continuidade (no sentido de permanência), ordem, regularidade e
variáveis.
Os conceitos de relação, conservação, continuidade, ordem e reversibilidade
são necessários ao conceito de correspondência termo a termo entre dois conjuntos,
como entendida de forma usual em Matemática. Piaget e Garcia (1987), a partir de
um experimento que em que disponibilizaram para as crianças um conjunto de
pequenos peixes de diversos tamanhos e um determinado número de “bolas” de
comida para peixes de tamanhos igualmente distintos, solicitando que elas
distribuíssem essa comida aos peixes em função das necessidades de cada um;
165
identificaram que, as crianças inicialmente seriavam cada um dos conjuntos
separadamente, ou seja, os peixes e a comida em ordem de dimensões, cada um.
Após essa seriação interna, eles estabeleciam a correspondência termo a termo entre
os dois conjuntos, ou seja, cada peixe com sua respectiva “bola” de comida.
Esse experimento nos mostra que, para estabelecer uma correspondência
entre diferentes conjuntos, as crianças precisavam ter incorporadas as noções de
relação,conservação, continuidade e ordem. A conservação e a continuidade, aqui
entendidas no sentido de permanecer, permitem que a criança estabeleça uma ordem
entre cada peixe e também, entre cada “bola” de comida. Uma vez estabelecida essa
relação de ordem, a criança precisa reconhecer que existe uma relação entre o
tamanho do peixe e a “bola” de comida. Uma vez compreendido isso, a criança
estabelece uma correspondência entre cada peixe e sua “bola” de comida. Para ter
certeza dessa operação, a criança precisa executar o processo de reversibilidade, ou
seja, conforme apontam Piaget (1976) e Piaget, Grize, Szeminska e Bang (1968), esse
processo está associado à identificação de que existe uma correspondência biúnivoca
entre duas grandezas, no caso, entre os peixes e “bola” de comida.
Desta forma, se considerarmos correspondência como ideia-base, os conceitos
de relação, conservação, continuidade, ordem e reversibilidade precisam ser retirados
de nossa relação, sendo considerados como conhecimentos prévios, assim como,
foram considerados os conceitos de número e as estruturas aditivas e multiplicativas.
Entretanto, a correspondência, é ela própria, um conceito necessário para a
constituição do número, posto que é essencial à contagem. A correspondência, não
pode, em função do corte realizado, ser considerada ideia-base de função (e seus
organizadores como relação, conservação, continuidade, no sentido de permanência,
ordem e reversibilidade), por constituir o conceito organizador do número e, este ser
organizador do Campo Conceitual das Estruturas Aditivas, não pode, em função da
restrição realizada, ser considerada ideia-base de função.
Desse modo, apesar de todas as ideias-base dos conceitos atinentes aos
Campos Conceituais das Estruturas Aditivas e Multiplicativas poderem ser, também,
ideias-base de função, destacamos aqui, às que se constituiriam, também, conceitos
organizadores do Campo Conceitrual de Função em geral e da função afim, em
particular, a saber, os conceitos de dependência, generalização, regularidade e
variável.
166
A dependência está relacionada ao estabelecimento de uma relação entre
grandezas variáveis. A variável está associado ao reconhecimento de que uma
grandeza varia. Caraça (1951, p. 120), define o conceito de variável da seguinte forma:
“Seja 𝐸 um conjunto qualquer de números, [...], e convencionemos representar
qualquer dos seus elementos por um símbolo, por ex.: 𝑥. A este símbolo
representativo de qualquer dos elementos do conjunto 𝐸 chamamos de variável”.
O conceito de regularidade é estabelecido quando se identifica nas relações
entre grandezas, padrões de correspondência e dependência ordenados. O conceito
de reversibilidade é associado à identificação de que há uma correspondência
biúnivoca entre duas grandezas. O sujeito é capaz de associar a grandeza A com a
grandeza B, assim como a grandeza B com a grandeza A, nessas ordens. O conceito
de generalização é estabelecido quando o conceito de regularidade acrescido do
conceito de conservação, permite inferir que a relação entre as duas grandezas não
é alterada com o tempo.
Portanto, como dito, assumimos como ideias-base de funções os conceitos de
dependência, generalização, regularidade e variável.
4.5.3 Representações
A partir do Quadro 21, é possível identificar que, ao longo do tempo, a
representação verbal e escrita é aquela que perdura; até porque, uma das formas de
comunicar qualquer resultado matemático passa pela via oral ou utilizando a língua
natural. No Quadro 26, organizamos, a partir das perspectivas cognitiva e didática, os
autores com os resultados das suas pesquisas sobre tipificação de funções.
Quadro 26 – Tipificação identificadas das Representações de Funções a partir das Perspectivas Cognitiva e
Didática
Autor Tipificação das Representações
(DREYFUS, EISENBERG, 1982)
1) tabelas,
2) diagrama de flechas,
3) gráficos,
4) fórmulas,
5) descrições verbais e escritas.
(MARKOVITS, EYLON, BRUCKHEIMER, 1986)
1) verbal,
2) diagrama de flechas,
3) algébrica,
4) gráfica.
(ROSS, 2011)
1) representação simbólica,
2) 𝑦 = 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜,
3) 𝑥 e 𝑦 implícitas,
4) 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜,
5) representação de função recursiva,
6) equação com outras variáveis,
167
Autor Tipificação das Representações
7) representação gráfica,
8) gráfico contínuo,
9) gráfico suave,
10) gráfico de dispersão,
11) representação numérica,
12) representação tabular,
13) representação em par ordenado,
14) notação 𝑓(𝑥),
15) representação de uma máquina de função,
16) representação de um diagrama de mapeamento
(Diagrama de John Venn),
17) descrição verbal,
18) representação física.
(SANTOS, BARBOSA, 2017)
1) tabular,
2) diagrama,
3) algébrica,
4) gráfica,
5) generalização de padrão,
6) formal
No Quadro 27 compilamos, a partir do Quadro 21, cinco períodos os quais
consideramos serem adequados para estabelecer uma tipificação das representações
de funções. A determinação do período de tempo, teve como critério mudanças
significativas nas representações. Por exemplo, a partir de 1665 houve a introdução
de representações que até então não eram utilizadas, tais como: Plano Cartesiano,
Equações e Expressões Algébricas.
Quadro 27 – Tipificação identificadas das Representações de Funções a partir da Perspectiva Histórica
Ano Representações identificadas29
~ 2000 𝑎. 𝐶. a 1579 Verbal (oral) e escrita, Tabular, Curvas Geométricas
1665 𝑎 1714
Plano Cartesiano, Equações, Pictórica, Expresões Algébricas, Gráfico, Expressão
Analítica
1718 𝑎 1822 Séries, Fórmula, Equação Diferencial Parcial, Superfícies, Sistema de Equações
1829 𝑎 1952
Par Ordenado, Expressão Lógica, Integral, Expressão Booleana, Diagrama de Venn,
Conjuntos
1954 𝑎𝑡é ℎ𝑜𝑗𝑒30 Grafos
Fonte: da pesquisa
Em relação às representações, foi possível caracterizar algumas que, não
estão nas referências clássicas, ou, se estão, não lhes são dadas a devida ênfase;
isso se reflete nos livros didáticos, e, por consequência, na sala de aula; são elas:
integral, séries, equações diferenciais parciais, curvas (e não os gráficos), superfícies,
equações booleanas e combinadores lógicos.
29 Para diminuir a poluição do quadro, todas as representações anteriores não são colocadas na
sequência, pois estamos admitindo que as representações já eram de conhecimento dos
matemáticos posteriores.
30 Esse “até hoje” significa ter adotado as tipificações que utilizamos no texto até o momento da
defesa da tese.
168
Algumas dessas representações são trabalhadas no Ensino Superior, contudo,
sem dar ênfase ao caráter funcional delas, pois, nem sempre são articuladas com o
conceito de função pelos professores.
4. 6 IMPLICAÇÕES AO ENSINO DE MATEMÁTICA
A partir das articulações realizadas entre o quarteto (situação, conceito
organizador, ideia-base e representação) e as três perspectiva: histórica, cognitiva e
didática, é possível trazer algumas implicações ao ensino de Matemática.
4.6.1 Algumas considerações
Inicialmente cabe ressaltar que, os textos encontrados sobre as possibilidades
de ensino de funções, tratavam, em sua grande maioria, da Educação Básica. Aliado
a isso, as propostas didáticas eram acompanhadas de análises, principalmente, para
identificar as representações que os alunos reconheciam e desenvolviam. Nos textos
também é possível identificar que os autores realizaram análises de livros ou
entrevistas com professores e alunos; tendo como principal resultado, a constatação
que as aulas sobre funções são geralmente iniciadas com a parte algébrica, com
conceitos anteriores atrelados à teoria de conjuntos.
Esse resultado vai contra o movimento histórico e cognitivo, pois conforme foi
visto, a parte algébrica foi desenvolvida posteriormente ao processo aritmético e
geométrico (MEDVEDEV,1991; YOUSCHKEVITCH, 1976). Do ponto de vista cognitivo,
vimos que as primeiras ideias de pensamento funcional dependem da compreensão
completa da transitividade instrumental e operatória (PIAGET, GRIZE, SZEMINSKA, BANG,
1968), ou seja, trata-se mais de um processo aritmético que algébrico.
Em alguns textos como os de Cha (1999), Lietzmann (1932), Lennes (1932) e
Even (1988), eles realizaram estudos com professores sobre a melhor forma de
ensinar o conceito de funções. Muitos achavam conveniente ensinar por meio de
pares ordenados, por “parecer” mais dinâmico; outros que a abordagem por meio dos
pares ordenados era mais estática e menos intuitiva, ou seja, não havia (e acredito
que não haja ainda) um consenso sobre as melhores abordagens a serem utilizadas
em sala de aula.
169
Um aspecto interessante encontrado por Cha (1999) são os tipos de definições
que os livros didáticos americanos do século XX utilizavam. O resultado dessa
investigação mostra quatro diferentes formas de definir função, o que corrobora com
as pesquisas envolvendo professores, nas quais não havia um consenso sobre como
trabalhar o conceito de funções. Isso parece ser consequência da falta de pesquisas
que separem o pensamento funcional do conceito de função. Essa não separação
acarreta compreensões parciais, e às vezes, equivocadas do conceito de função. Isso
implica em ensinar, por exemplo, teoria dos conjuntos, antes mesmo de trabalhar com
as ideias-base anteriores, que irão preparar o aluno para o pensamento funcional,
para depois disso, ensinar, se necessário (KLEINER, 1989; KLEINER, 1993), a partir de
uma abordagem mais conjuntista e lógica.
Kleiner (1993) também discute a importância de se trabalhar no Ensino
Superior com as mais diversas compreensões de função, incluindo as séries e as
equações diferenciais, que, como vimos, historicamente foram essenciais no
desenvolvimento do conceito de função.
Schwarz e Dreyfus (1995) discutem a utilização de softwares no ensino de
função. Como vimos, George Boole, com sua lógica booleana e, Von Neummann, com
sua teoria dos operadores, desenvolveram os computadores a partir das novas
concepções desenvolvidas por eles, de função. Nesse contexto, eles também
permitiram a criação de um novo tipo de representação, a representação
computacional, que trouxe mais um aspecto a ser analisado do ponto de vista didático.
Nesse momento, cabe uma reflexão sobre as novas representações que os
computadores trouxeram. Entre elas, e que não foi citada em nenhum texto, é a
representação na forma de código de programação. É possível escrever funções por
meio de algoritmos que utilizam as mais variadas sintaxes, a depender do software
utilizado. Essas representações fazem parte do atual cenário do conceito de funções
e devem ser colocadas em evidência, pois o conceito de função é novamente
adaptado aos problemas contextuais e, consequentemente, históricos.
Fato é que, Félix Klein, travou uma batalha para realizar uma revolução do
ensino de funções. Como resultado, Dreyfus e Eisenberg (1983; 1987) provocou uma
mudança no ensino do conceito de função para outras estratégias, como: meio de
diagrama de flechas, gráficos, tabelas, problemas de palavras, par ordenado e uma
combinação entre elas. Essa mudança, por mais interessante que possa parecer,
170
ainda está enraizada na concepção de função do século XVIII em diante, pautada em
relações envolvendo conjuntos e pautada na lógica.
Entretanto, seria uma interpretação errônea do ponto de vista histórico atribuir
apenas às representações analíticas e geométricas da função o principal papel na
compreensão do conceito de função. Aspectos numéricos são essenciais no
aprendizado de funções, como por exemplo, tabelas e cálculos e mais, em situações
“do mundo real”, valores numéricos “concretos” estão tácitos nas expressões
algébricas e nas curvas geométricas.
Por exemplo, matemáticos dos séculos XVII e XVIII passavam muito tempo
realizando operações aritméticas, procurando padrões e relações. Newton preencheu
diversas páginas com longos cálculos aritméticos (PONTE, 1992). A pesquisa de Ponte
(1984) constatou que na interpretação das relações funcionais fornecidas no
experimento por meio de gráficos cartesianos, os alunos recorriam a estratégias de
raciocínio numérico, com as quais se sentiam mais seguros. Do ponto de vista
cognitivo, para esses alunos, os números são entidades primitivas primordiais para os
conceitos matemáticos mais abstratos (PONTE, 1992).
No contexto da sala de aula, pode-se discutir que, as dificuldades que os alunos
experimentam na sala de aula podem advir da pressão à qual eles são impostos para
lidar com conceitos mais abstratos. Assim, é necessário “[...] construir e analisar
tabelas, calcular valores numéricos, desenvolver um senso quantitativo e adquirir uma
noção do que são aproximações aceitáveis e inaceitáveis” (PONTE, 1992, p. 7).
Essas estratégias estão alicerçadas na evolução do conceito de função ao
longo do tempo, o que torna o processo de ensino aparentemente mais conectado.
Tais estratégias, se aliadas a teorias de aprendizagem que mostrem cognitivamente
como o indivíduo pode aprender de forma mais adequadas, são essenciais para a
prática pedagógica no ensino de função.
Um exemplo disso foram os resultados de Kjeldsen e Petersen (2013), os quais
mostraram que é possível utilizar fontes históricas como potenciais agentes que criam
conflitos cognitivos e, portanto, têm potencial para causar mudanças nos esquemas
dos estudantes. Devido a esse tipo de incompatibilidade, é possível, por exemplo,
ativar os dois fatores de conflito cognitivo sugeridos por Tall (1988; 1991) e Tall e
Vinner (1981), o conceito imagem e conceito definição, pois, o aluno sendo posto em
conflito com seu conceito imagem a definição de conceito, os força a articular e refletir
171
sobre sua própria concepção, levando-os a refletir sobre o conceito de função em um
nível estrutural (KJELDSEN, PETERSEN, 2013).
Entre tais teorias, a Teoria dos Campos Conceituais tem se mostrado profícua
para o ensino das Estruturas Aditivas e Multiplicativas. No caso de funções, temos
visto que, ao mapear as situações, os conceitos organizadores, as ideias-base e as
representações do Campo Conceitual de Função, o aprendizado tem se tornado mais
completo, uma vez que dá um ferramental teórico e mesmo metodológico para o
professor realizar suas escolhas didáticas.
4.6.2 Discussões a partir dos resultados obtidos
Nesta seção, a partir dos resultados obtidos, dos resultados anteriores dos
trabalhos do GePeDiMa, da Base Nacional Comum Curricular (BNCC) e da
caracterização dos níveis de função de Bergeron e Herscovics (1982), apresentamos
uma proposta de quais conceitos organizadores, ideias-base e representações podem
complementar o estudo de funções.
De acordo com a BNCC, na etapa do Ensino Fundamental, as diferentes áreas
da Matemática reúnem […] um conjunto de ideias fundamentais que produzem
articulações entre eles: equivalência, ordem, proporcionalidade,
interdependência, representação, variação e aproximação” (BRASIL, 2017, p.
266). O documento cita a proporcionalidade como um exemplo de conceito que deve
estar acoplado ao estudo de: “operações com os números naturais; representação
fracionária dos números racionais; áreas; funções; probabilidade etc.” (BRASIL, 2017,
p. 266).
Das ideias fundamentais presentes na BNCC, apenas a ideia de aproximação
não está associada com as ideias-base propostas aqui. As demais ideias, em nossa
perspectiva, estão presentes em em estruturas anteriores, como a Aditiva e a
Multiplicativa.
Na unidade temática Números, os alunos precisam ser postos em contato com
situações significativas que desenvolvam “[…] o processo de construção da noção de
número […]”, “[…] as ideias de aproximação, proporcionalidade, equivalênciaKATO, 2010; SANTANA, CAZORLA, SANTOS, 2019; SANTOS, RODRIGUES, 2019;
TEIXEIRA, CAMPOS, VASCONCELLOS, GUIMARÃES, 2011; TURNER, JUNK, EMPSON, 2007;
VERGNAUD, 1986), que o possível Campo Conceitual de Função não está estabelecido
(AMPLATZ, 2020; CALADO, 2020; CAMILI, 2021; CUNHA, FERREIRA, 2020; DA SILVA, 2021;
LORENCINI, 2019; MIRANDA, 2019; MIRANDA, REZENDE, NOGUEIRA, 2021; NOGUEIRA,
REZENDE, 2018; 2019; PERON DA SILVA, 2021; REZENDE, 2018; RODRIGUES, 2021), de
que estudantes da Educação Básica até o Ensino Superior apresentam problemas
com o conceito de funções e os seus conceitos prévios(COMIN, 2005; DEMAROIS, 1998;
DIAS, ANDRADE, CAMPOS, 2019; DOUADY, 2011; DREYFUS, EISENBERG, 1983; DREYFUS,
VINNER, 1982; HOLLAR, 1996; LUE, 2005; SOUZA, 2016,Munshower, 1938 #1327); a
pertinência de um estudo que procure trazer à tona o desenvolvimento e evolução do
conceito de função, justifica-se, sobretudo, por oferecer algumas respostas aos
problemas enfrentados pelos professores em sala de aula para ensinar tal conceito.
Além disso, pensar no corpo de saberes do conceito de função pode ajudar outros
pesquisadores a validar os modelos operativos2 mobilizados pelos estudantes na
resolução de situações que envolvam função e o possível Campo Conceitual atrelado
a ela.
Destarte, sabendo que no Brasil existem poucos grupos de pesquisa que têm
2 Segundo Pastré, Mayen e Vergnaud (2006, p. 31), o modelo operativo designa a representação feita
por um sujeito de uma situação na qual ele está engajado para transformá-la.
18
investido no estabelecimento de constructos teóricos para o possível Campo
Conceitual de Função, este entendido como o conjunto de situações, de conceitos e
representações associados ao conceito de função, esta tese está inserida em (e
compõe) um projeto maior realizado pelo GePeDiMa – Grupo de Estudos e Pesquisas
em Didática da Matemática3 ligado ao Programa de Pós-Graduação em Educação em
Ciências e Educação Matemática – PPGECEM da Universidade Estadual do Oeste
do Paraná – UNIOESTE cujo objetivo é mapear o processo de desenvolvimento do
conceito de função buscando “[…] identificar conhecimentos mobilizados por sujeitos
de diferentes idades quando resolvem situações problemas referentes a este Campo
Conceitual” (NOGUEIRA, REZENDE, 2019, p. 196), ou seja, busca-se estabelecer o
possível Campo Conceitual de Função Afim, na perspectiva da teoria dos Campos
Conceituais.
Na busca por contribuir para que o GePeDiMa atinja esse objetivo maior,
estamos interessados em responder às seguintes perguntas de pesquisa: por que é
possível inferir a existência do Campo Conceitual das Funções? Quais são as
situações, conceitos organizadores, ideias-base e representações envolvidas neste
Campo Conceitual?
Para responder a essas perguntas, temos como objetivo geral identificar e
caracterizar as situações, conceitos organizadores, ideias-base e representações do
conceito de função. Assim, para alcançar tal objetivo, precisamos estipular outros
objetivos. Inicialmente, precisamos realizar uma pesquisa bibliográfica sobre a
evolução do pensamento funcional até chegar ao conceito de função, uma vez que,
ao compreender as mudanças conceituais sofridas ao longo do tempo, temos, ao
menos por hipótese, condições de identificar e caracterizar as situações, os conceitos
organizadores, as ideias-base e as representações que foram sendo necessárias ao
longo dos anos para estabelecer e formalizar o conceito de função como o
conhecemos. É necessário também, caracterizar o que são conceitos organizadores
e ideias-base e como eles se diferenciam de conceitos organizadores pragmáticos e
invariantes operatórios4.
Na busca por esse quarteto, utilizamos a teoria dos Campos Conceituais de
Vergnaud (1989) para nos orientar no estabelecimento das articulações entre
3 Para maiores informações acesse: https://prpgem.wixsite.com/gepedima.
4 Esses conceitos estão descritos nos Capítulos 3 e 4.
https://prpgem.wixsite.com/gepedima
19
conceitos organizadores e ideias-base e os chamados conceitos organizadores
pragmáticos e invariantes operatórios, conceitos estes que servem ao sujeito para
guiar suas ações na tentativa de resolver uma situação estabelecida. No capítulo
quatro estabelecemos as diferenças entre tais conceitos.
Em relação à busca pelo mapeamento desse quarteto, assumimos o que
Ferreira (2002) aponta, a saber, que muitos pesquisadores, ao buscarem um
mapeamento sobre trabalhos em determinada área do conhecimento, identificam que
não há uma clareza sobre a totalidade dos estudos e pesquisas, nem mesmo reflexões
holísticas que levem ao aprofundamento do assunto. Nesse sentido, a multiplicidade
de perspectivas e pluralidades de uma determinada área do conhecimento não trarão
colaboração efetiva se não houver uma articulação nas análises advindas de outras
áreas do conhecimento, bem como de articulações que busquem integrar
estruturalmente os estudos e resultados dessas pesquisas.
Um primeiro passo para essa integração, portanto, consiste em realizar uma
revisão analítica e crítica dessas perspectivas e resultados de pesquisas. Dessa
maneira, no contexto apresentado, foi realizado um estudo sobre o Estado da Arte do
conceito de função, de suas representações, situações geradoras, conceitos
organizadores e ideias-base.
Instituídos o problema de pesquisa e os objetivos, nos próximos capítulos nos
aprofundamos nos procedimentos metodológicos descrevendo nosso caminho
percorrido (capítulo 1), os fundamentos históricos, didáticos e cognitivos do conceito
de função (capítulo 2), aTeoria dos Campos Conceituais (capítulo 3), a caracterização
do quarteto (capítulo 4) e, por fim, apresentamos nossas considerações.
20
CAPÍTULO 1 – O MOVIMENTO METODOLÓGICO ADOTADO
“Não há só um método para estudar as
coisas”.
Aristóteles
Toda pesquisa, por mais simples que seja, apresenta um, ou mais caminhos
que foram percorridos. O nosso movimento, que muitas vezes sofreu desvios,
mudanças de direção e até mesmo a busca por atalhos, foi inicialmente realizada de
forma heurística. Muitas foram as idas e vindas que serviram para mostrar um possível
caminho. Nesse percurso, muitos dos passos iniciais adotados foram mais intuitivos e
em busca de uma estruturação do trabalho cujo tema e objetivos sofreram profundas
mudanças ao longo desses cinco anos.
Inicialmente, o trabalho tinha como tema central identificar os invariantes
operatórios (VERGNAUD, 1989; 1990; 1993; 1996b; 2003; 2009c) de Função Afim de
estudantes dos anos iniciais da Educação Básica até os do Ensino Superior. Nesse
cenário, foi necessário realizar estudos sobre Campos Conceituais, sobre livros
históricos relacionados à evolução do conceito de função, como também de aspectos
relacionados a entrevistas semiestruturadas baseadas no Método Clínico de Piaget
(CARRAHER, 1983; PIAGET, 1973) sustentadas em instrumentos de produção de dados
constituídos por sequências de situações-problema envolvendo Função Afim e pelas
análises das respostas.
Posteriormente, com a possibilidade de realizar o estágio doutoral sanduíche
nos Estados Unidos, a pesquisa passou a ter um caráter mais global e comparativo
entre estudantes brasileiros e americanos, sendo num primeiro momento, dos anos
iniciais até o Ensino Superior. E o instrumento de produção de dados também acabou
sendo alterado para Grupos Focais (KRUEGER, 1998a; 1998b; 1998c; KRUEGER,
CASEY, 2009; KRUSZELNICKA, KING, 1998; MORGAN, 1998a; 1998b). Contudo, no
decorrer do caminho, dada a quantidade de dados que seriam necessários coletar e
analisar, verificou-se que não haveria tempo hábil para a pesquisa e optou-se por
realizar apenas com estudantes do Ensino Superior dos cursos de licenciatura em
Matemática e Pedagogia. Nesse percurso foi realizado um estudo piloto com três
estudantes de um curso de Pedagogia, bem como com doise
ordem” (BRASIL, 2017, p. 268).
As ideias matemáticas fundamentais associadas à unidade temática Geometria
são: construção, representação e interdependência. Na unidade Grandezas e
172
Medidas, espera-se que contribua “[…] para a consolidação e ampliação da noção de
número, a aplicação de noções geométricas e a construção do pensamento algébrico”
(BRASIL, 2017, p. 273).
Na unidade Álgebra, a BNCC sugere a “[…] noção intuitiva de função pode ser
explorada por meio da resolução de problemas envolvendo a variação proporcional
direta entre duas grandezas (sem utilizar a regra de três)” (BRASIL, 2017, p. 270)
A partir dessas informações montamos o Quadro 28, a seguir. Nas situações é
apenas dado um exemplo de como um enunciado poderia começar em cada nível. No
caso dos conceitos organizadores, não esgotamos todas as possibilidades. E nas
representações, utilizamos as que identificamos no Quadro 27.
Quadro 28 – Níveis de função e o Quarteto – Ensino Fundamental (Anos Iniciais)
Quarteto
Entendimento
Intuitivo
Matematização Abstração Formalização
Situações
Observe a
sequência …
Complete a tabela
e construa um
gráfico …
Escreva uma
expressão que dê a
área…
Determine o
domínio, imagem,
….
Conceitos
organizadores
O conceito de
número, Sistema
de numeração,
Números naturais,
números ordinais,
gráficos
Padrões figural e
numérico,
regularidades em
sequências
recursivas
formadas por
figuras, objetos e
números naturais
Relação de igualdade
em uma expressão
analítica
-
Ideias-base dependência regularidade generalização Todas
Representações
Verbal (oral) e
escrita, Tabular,
Diagrama de Venn,
Pictórica
Expressões,
Curvas
Geométricas,
Gráfico, Par
odenado, Plano
Cartesiano
Expressões
algébricas
Todas
Fonte: da pesquisa
No Ensino Fundamental – Anos Finais, na temática Números, há de se ampliar
a noção de número para o conjunto dos inteiros, racionais e irracionais. Espera-se
também que os alunos desenvolvam o conceito de porcertagem.
Na unidade temática Álgebra, as ideias matemáticas fundamentais vinculadas
são: “[…] equivalência, variação, interdependência e proporcionalidade por sua vez,
tem como finalidade o desenvolvimento de um tipo especial de pensamento –
pensamento algébrico” (BRASIL, 2017, p. 270). Nessa unidade os alunos precisam
identificar “[…] regularidades e padrões de sequências numéricas e não numéricas”,
estabelecer “[…] leis matemáticas que expressem a relação de interdependência entre
grandezas em diferentes contextos, bem como criar, interpretar e transitar entre as
173
diversas representações gráficas e simbólicas” (BRASIL, 2017, p. 270).
Ainda na temática Álgebra, a BNCC também sugere que
[…] os alunos devem compreender os diferentes significados das variáveis
numéricas em uma expressão, estabelecer uma generalização de uma
propriedade, investigar a regularidade de uma sequência numérica, indicar
um valor desconhecido em uma sentença algébrica e estabelecer a variação
entre duas grandezas. É necessário, portanto, que os alunos estabeleçam
conexões entre variável e função e entre incógnita e equação (BRASIL, 2017,
p. 270-271).
As ideias matemáticas fundamentais associadas à temática Geometria são,
principalmente, a construção, a representação e a interdependência (BRASIL, 2017).
Dessas discussões, montamos o Quadro 29.
Quadro 29 – Níveis de função e o Quarteto – Ensino Fundamental (Anos Finais)
Quarteto
Entendimento
Intuitivo
Matematização Abstração Formalização
Situações
Observe a
sequência …
Complete a tabela
e construa um
gráfico …
Escreva uma
expressão que dê a
área…
Determine o
domínio, imagem,
….
Conceitos
organizadores
O conceito de
número, Sistema
de numeração,
Números naturais,
números ordinais,
gráficos
Padrões figural e
numérico,
regularidades em
sequências
recursivas
formadas por
figuras, objetos e
números naturais
Relação de igualdade
em uma expressão
analítica
-
Ideias-base dependência regularidade generalização Todas
Representações
Verbal (oral) e
escrita, Tabular,
Diagrama de Venn,
Pictórica
Expressões,
Curvas
Geométricas,
Gráfico, Par
odenado, Plano
Cartesiano
Expressões
algébricas
Todas
Fonte: da pesquisa
No Ensino Médio, a BNNC propõe que “[…] os estudantes devem desenvolver
habilidades relativas aos processos de investigação, de construção de modelos e de
resolução de problemas” e, portanto, “[….] devem mobilizar seu modo próprio de
raciocinar, representar, comunicar, argumentar e, com base em discussões e
validações conjuntas, aprender conceitos e desenvolver representações e
procedimentos cada vez mais sofisticados” (BRASIL, 2017, p. 529).
Uma das competências específicas da Matemática e suas Tecnologias, na
BNCC é “[…] compreender e utilizar, com flexibilidade e precisão, diferentes registros
de representação matemáticos (algébrico, geométrico, estatístico, computacional
etc.), na busca de solução e comunicação de resultados de problemas” (BRASIL,
2017, p. 531). Essas discussões permitiram desenvolver o Quadro 30.
174
Quadro 30 – Níveis de função e o Quarteto – Ensino Médio
Quarteto Entendimento
Intuitivo
Matematização Abstração Formalização
Situações Observe a
sequência …
Complete a tabela
e construa um
gráfico …
Escreva uma
expressão que dê a
área…
Determine o
domínio, imagem,
….
Conceitos
organizadores
O conceito de
número, Sistema
de numeração,
Números naturais,
números ordinais,
gráficos
Padrões figural e
numérico,
regularidades em
sequências
recursivas
formadas por
figuras, objetos e
números naturais
Relação de igualdade
em uma expressão
analítica
Domínio, Imagem,
propriedades
(injetora,
sobrejetora,
bijetora),
monotônica,
contínua, tipos de
função (afim,
quadrática,
exponencial,
logarítmica,
trigonométrica)
Ideias-base dependência regularidade generalização Todas
Representações Verbal (oral) e
escrita, Tabular,
Diagrama de Venn,
Pictórica
Expressões,
Curvas
Geométricas,
Gráfico, Par
odenado, Plano
Cartesiano
Expressões
algébricas
Todas
Fonte: da pesquisa
No Parecer Técnico do Conselho Nacional de Educação sobre as diretrizes
curriculares para os cursos de Matemática, é esperado do egresso do curso de
Matemática que ele tenha a “[…] habilidade de identificar, formular e resolver
problemas na sua área de aplicação, utilizando rigor lógico-científico na análise da
situação-problema” (BRASIL, 2001, p. 3).
A título de exemplo e parâmetro, o Projeto Pedagógico do Curso de
Licenciatura em Matemática da UTFPR – Toledo possui oito disciplinas que vão
trabalhar da noção de função até às últimas definições que incluem Equações
Diferenciais e Séries, a saber: Tópicos de Matemática A, Tópicos de Matemática B,
Funções Reais de uma Variável Real, Cálculo A, Cálculo B, Sequências e Séries,
Equações Diferenciais Ordinárias e Álgebra.
Dentre as diferentes disciplinas, elencamos alguns objetivos focados no
conceito de função e pensamento funcional: “[…] Desenvolver a capacidade de
analisar, relacionar, comparar, classificar, sintetizar, avaliar, abstrair, generalizar e
criar matematicamente; adquirir hábitos de rigor e precisão, de ordem e clareza e de
uso correto da linguagem matemática” e continua “[…] Procurar, selecionar e formular
hipóteses, interpretar informações e prever resultados relativos ao problema; associar
funções e seus limites” (TOLEDO, 2017, p. 45).
175
A partir dessas considerações, temos o Quadro 31 como resultado das
articulações entre o quarteto e a tipificação de função no Ensino Superior.
Quadro 31 – Níveis de função e o Quarteto – Ensino Superior
Quarteto Entendimento
Intuitivo
Matematização Abstração Formalização
Situações Observe a
sequência …
Complete a tabela
e construa um
gráfico …
Escreva uma
expressão queestudantes de um curso
de licenciatura em Matemática, todos brasileiros.
Uma vez nos Estados Unidos, a pandemia acabou mudando os planos
https://www.pensador.com/autor/aristoteles/
21
novamente, posto que as universidades e escolas passaram a desenvolver atividades
a distância ou permanecerem completamente fechadas. Nesse período conseguimos
realizar um estudo piloto, online, via ZOOM, com um estudante de Ensino Superior da
Universidade de Rutgers, em Newark, New Jersey, que estava fazendo o curso para
formação de professores. Contudo, a dificuldade em conseguir estudantes para
realizar a entrevista foi o principal motivo para, mais uma vez, alterarmos o caminho.
A escolha passou a ter um caráter mais teórico, sem a necessidade de recorrer
a terceiros, nesse contexto, os estudantes, as instituições e os comitês de ética (Brasil
e Estados Unidos). Perante o exposto, e a partir de leituras já realizadas sobre
Campos Conceituais e a evolução do conceito de função considerando-se reflexões
realizadas pelo GEPeDiMa, acerca da possível existência do Campo Conceitual da
Função Afim, optou-se por investigar a existência do Campo Conceitual das Funções,
a partir de situações, conceitos organizadores, ideias-base e representações que não
estão no Campo Conceitual das Estruturas Aditivas e Multiplicativas e, dos Problemas
Mistos.
1. 1 A ESCOLHA METODOLÓGICA
No contexto exposto e considerando que estamos interessados em identificar
e caracterizar o quarteto do conceito de função, a saber os conceitos organizadores,
as ideias-base, as representações e as situações, adotamos o Estado da Arte como
fio condutor da primeira parte da pesquisa, que buscou identificar as modificações que
este conceito sofreu ao longo dos anos.
O Estado da Arte se consolidou como um estudo sobre a produção de uma
determinada área, cujo objetivo principal é se posicionar sobre o que tem sido
produzido e, a partir disso, decidir sobre os próximos passos (MONTOYA, 2005).
Para além de um mero mapeamento descritivo o Estado da Arte é um “[...]
conhecimento sistematizado e, a maneira como é produzido, além de suas lacunas,
facetas e resultados” também possui como característica aprofundar e analisar
estudos de diferentes áreas e temáticas num determinado campo científico. O caráter
holístico desse tipo de pesquisa revela sua expressão crítica e analítica (SANTOS,
SANTOS, SERIQUE, LIMA, 2020, p. 211).
22
Ferreira (2002), num artigo em que discute as pesquisas denominadas Estado
da Arte, define essas investigações como aquelas com caráter bibliográfico,
objetivando “[…] discutir a produção acadêmica em diferentes campos do
conhecimento”. Tais pesquisas têm caráter inventariante e descritivo. Palacio,
Granados e Villafáñez (2016) também se aproximam da mesma definição ao
afirmarem que o Estado da Arte é uma modalidade de pesquisa documental que
permite o estudo do conhecimento escrito e acumulado numa determinada área
específica. A finalidade deste tipo de pesquisa é dar significado ao material
encontrado.
Num artigo sobre o Estado da Arte como metodologia de investigação, Gómez
Vargas, Galeano Higuita e Jaramillo Muñoz (2015) consideram que o Estado da Arte
é definido por três etapas: recuperar para descrever, compreender e, recuperar para
transcender reflexivamente. Recuperar para descrever significa buscar e criar um
inventário da produção acadêmica até então publicada; nesse caso, é realizada uma
avaliação descritiva de tudo que foi publicado. Uma vez realizada essa descrição, é
necessário compreender as teorias desses textos e clarificar as noções conceituais
que são abordadas. A próxima etapa, recuperar para transcender, consiste em, a partir
da compreensão do que já foi produzido, recuperar o conhecimento já produzido e
realizar novas perguntas, críticas, sistematizações e interpretações, a fim de avançar
na área investigada.
Pesquisas do tipo Estado da Arte, possuem abordagens qualitativa e
quantitativa. De um lado elas podem apresentar numericamente o número de
publicações utilizando para isso de testes estatísticos, por outro, podem realizar uma
análise de tais dados utilizando métodos qualitativos, como por exemplo, a Análise de
Conteúdo (BARDIN, 1977), a Análise do Discurso (ORLANDI, 2005), dentre outras.
Assim, o Estado da Arte “[...] consiste um em tipo de pesquisa bibliográfica de
caráter panorâmico, tomado de expressão crítica e analítica e assumindo abordagem
quanti-qualitativa” (SANTOS, SANTOS, SERIQUE, LIMA, 2020, p. 212). Essa última
definição passou a se tornar dominante no meio acadêmico expandindo a abrangência
não apenas para assuntos tecnológicos e práticos, mas também para assuntos de
conhecimento teórico.
Palacio, Granados e Villafáñez (2016), definem os diversos objetivos de uma
pesquisa Estado da Arte: 1) obter dados essenciais das abordagens teóricas do objeto
23
de estudo, tendências e perspectivas metodológicas; 2) descrever o atual estado de
desenvolvimento do objeto de pesquisa; 3) ampliar o conhecimento sobre o que foi
investigado, de modo a fornecer argumentos para justificar o escopo de uma
investigação; 4) contribuir para a construção de uma linguagem comum entre
interessados no assunto pesquisado; 5) estudar a evolução do problema; 6) gerar
novas interpretações e posições críticas em torno do objeto de pesquisa; 7) determinar
e comparar as várias abordagens dadas ao mesmo problema; 8) identificar os
subtemas que se consideram pertinentes; 9) organizar o material existente de modo
sistematizado; e, 9) identificar as lacunas relacionadas ao objeto investigado.
Para construção de um Estado da Arte, Botero (2000, p. 39) define cinco
princípios que orientam uma investigação:
Princípio de propósito. Relacionado à necessidade de propor objetivos de
pesquisa previamente concebidos.
Princípio de coerência. Aponta para a unidade interna do processo em
relação às fases, atividades e dados que constituem a matéria-prima da
investigação.
Princípio da fidelidade. Com base na coleta de informações (não deixando de
fora nenhuma instituição referenciada desde o início para a realização do
trabalho) e na transcrição confiável dos dados.
Princípio de integração. Envolvido na avaliação qualitativa que se faz de cada
uma das unidades de análise, dos núcleos temáticos e do todo.
Princípio de compreensão. Isso possibilita a construção teórica do todo em
uma perspectiva global para poder oferecer conclusões de forma sintética
sobre o estado geral do sujeito.
Do ponto de vista da finalidade do Estado da Arte, Gómez Vargas, Galeano
Higuita e Jaramillo Muñoz (2015, p. 432) apontam quatro níveis: “[...] nível 1:
reconhecer e obter conhecimento; nível 2: construir conhecimento ou contribuir para
a episteme; nível 3: compreender um fenômeno; e nível 4: criar uma estrutura
conceitual ou um balanço documental”. Nos níveis 2 e 4, a finalidade é encontrar as
teorias presentes na área de investigação para, a partir delas, utilizá-las como base
conceitual em novas investigações, incluindo aqui a possibilidade de construir um
instrumento metodológico próprio de pesquisa.
Botero (2000) ainda define alguns limites para esse tipo de pesquisa. Para a
autora, há quatro limitantes: tempo, material investigado, espaço e os integrantes do
coletivo. Todos esses limitantes dizem respeito às escolhas que serão necessárias
pelo pesquisador, uma vez que nenhum deles é um recurso infinito.
Gómez Vargas, Galeano Higuita e Jaramillo Muñoz (2015) apresentam os
passos para a construção de uma investigação do tipo Estado da Arte. Para os autores
há três passos ou fases a serem desenvolvidas: planejamento, desenho e gestão e,
24
análise, elaboração e formalização. Na primeira etapa, de planejamento,
[...] se condicionam os requisitos e demandas administrativas para a
realização da pesquisa, estabelece-se o tema a serinvestigado, embora não
necessariamente na forma de uma pergunta de pesquisa, e realiza-se uma
primeira varredura documental onde são escolhidas algumas fontes-chave
relacionadas ao tema. Com a leitura desses primeiros textos, apreende-se
um pouco o panorama do tema de pesquisa que dá ao pesquisador a
possibilidade de passar de um tema a um objeto de pesquisa. Com ele, é
possível construir a questão norteadora, os objetivos, a justificativa e as
categorias de busca para o universo, os critérios para a seleção da amostra
e a escolha dos centros documentais a serem analisados e a possibilidade
de realização ou não de entrevistas (p. 435).
Na segunda etapa, de desenho e gestão, “[...] são estabelecidos o universo, a
amostra, as categorias de análise e é realizada a leitura linear” (GÓMEZ VARGAS,
GALEANO HIGUITA, JARAMILLO MUÑOZ, 2015, p. 436). A última fase, de análise,
elaboração e formalização, diz respeito a encontrar “[...] similaridades, diferenças,
conjunturas, tendências e todos os tipos de informações úteis para a pesquisa” (p.
436).
Já George Reyes (2019) apresenta um esquema que segundo ele, “[...] pode
ajudar a consolidar o Estado da Arte como produto de investigação científica de
caráter analítico-interpretativo categorizado em cinco momentos: 1) semente, 2)
aproximação ao objeto de estudo, 3) contexto e inventário, 4) analítico e, 5)
interpretativo” (p. 2). O autor continua:
[...] o primeiro propõe a necessidade de se estabelecer uma postura
epistemológica, no segundo é feito a abordagem do objeto de estudo, no
terceiro é escolhido um espaço temporal e é feita a catalogação das fontes
bibliográficas, no quarto é feita a articulação entre eixos de análises e tipos
de investigação para definir as particularidades metodológicas e
interpretativas dos trabalhos realizados por outros autores, por fim, no quinto
momento, sintetiza-se a coerência teórica que subjaz ao estado atual de um
problema científico (GEORGE REYES, 2019, p. 5).
No primeiro momento, a semente - que pode ser entendida como a ideia original
ou a motivação inicial, o investigador precisa compreender a postura epistemológica
que o guiará em sua pesquisa. Nesse momento, o pesquisador precisa ter clareza
sobre sua postura, ou seja, como entende a realidade e o objeto de pesquisa, os
princípios de construção do conhecimento, e as técnicas e instrumentos que irá utilizar
para alcançar o objeto de conhecimento (GUEVARA PATIÑO, 2016). Nesse sentido, o
pesquisador pode adotar algumas posturas epistemológicas, tais como as citadas por
Guevara Patiño (2016, p. 172) “[...] a teoria crítica, o feminismo, o convencionalismo
ou construcionismo social e, o positivismo”.
25
No segundo momento, a aproximação ao objeto de estudo, se dá após a etapa
da escolha da posição epistemológica, nesse momento, [...] é a hora de definir o objeto
de estudo, que representa um ato investigativo de extrema importância no desenho
de um produto de pesquisa (GEORGE REYES, 2019, p. 7). Precisa-se então, definir para
quem se dirige o discurso, realizar as primeiras reflexões sobre o objeto de estudo,
alinhar-se à postura paradigmática adotada na etapa anterior, problematizar e interagir
com a problemática, construir o marco metodológico e refletir sobre as escolhas da
pesquisa (GEORGE REYES, 2019).
No contexto e inventário, terceiro momento da elaboração de um Estado da
Arte, são definidos os limites da pesquisa, como tempo, espaço, locais de pesquisa,
indicadores e argumentos de validação. No quarto momento, analítico, realiza-se a
classificação da informação dentro dos parâmetros estabelecidos no momento
anterior. Por fim, no quinto momento, interpretativo, realiza-se a interpretação dos
eixos e categorias estabelecidos no momento anterior. Nessa etapa, realiza-se uma
reconstrução teórica, com geração de novos conhecimentos do tema pesquisado.
George Reyes (2019) apresenta uma imagem (Figura 1) que sintetiza esses
momentos apontados por ele como fundamentais para se construir um Estado da Arte.
Figura 1 – Proposta de estratégia para desenhar um Estado da Arte
Fonte: George Reyes (2019, p. 12, tradução nossa)
Tendo como background os momentos apontados por George Reyes (2019),
conforme Figura 1, adotamos como postura epistemológica construtivista, para a qual,
ao se construir um Estado da Arte, deve ser realizada uma aproximação ao
conhecimento de forma dialógica e comunicativa, recuperando de forma reflexiva as
diferentes leituras que são realizadas, levando em consideração os marcos histórico,
26
social, teórico e cultural nos quais o texto está inserido.
Em relação ao momento dois, de aproximação do objeto de estudo, esse
Estado da Arte é de interesse de pesquisadores da área de Educação Matemática, de
professores e futuros professores de Matemática da Educação Básica e Ensino
Superior. Assim, a problematização dessa pesquisa se enquadra dentro de uma busca
incessante por melhoria no ensino e na aprendizagem do conceito de função.
Na construção do marco metodológico, utilizamos os aspectos de uma
pesquisa qualitativa para a reflexão dos dados e uma “busca por esgotamento”. O
processo consiste em uma vez encontrado um texto, ir às referências e procurar, para
os mesmos descritores, os textos que são utilizados. Esse processo se repete até que
não haja mais textos novos e comece a se repetir os textos. Nessa proposta de “busca
por esgotamento”, consideramos que: 1) por se tratar de uma procura visual, pode
acontecer de um outro texto não estar presente, 2) o acesso à referência foi realizado
muitas vezes para além das bases de dados mencionadas, 3) nem todas as
referências foram encontradas, 4) a escolha muitas vezes não foi apenas pelos
mesmos descritores, pois à medida que a pesquisa avançou, outros descritores se
tornaram indispensáveis.
No terceiro momento, do contexto e do inventário, realizamos uma busca
relacionada ao conceito de função e de Campo Conceitual. A “busca por esgotamento”
foi realizada em diferentes bases de dados, dentre as quais podemos citar: Banco de
Teses e Dissertações da CAPES, Education EBSCO, Eric EBSCO, Rutgers
University, Web of Science (CLARIVATE), Google Scholar, Scielo e Sucupira. Com
exceção da base Rutgers University, as demais puderam ser acessadas via
Comunidade Acadêmica Federada - CAFe.
Os descritores utilizados foram: “função”, “function”, “funktiokäsityksestä”,
“fonction”, “funktionen”, “funcíon”, “Campo Conceitual”, “conceptual field”, “champs
conceptuels”, “los campos conceptuales”. Novos descritores foram aparecendo ao
longo da pesquisa e foram incorporados como: “Vergnaud”, “Estruturas Aditivas”,
“Estruturas Multiplicativas”, “pensamento funcional”, “variáveis” e suas traduções nos
demais idiomas considerados, a saber, inglês, francês, espanhol e, em alguns casos,
o alemão. A partir dessas buscas realizamos novamente uma categorização para os
descritores, conforme apresentado na Figura 2.
27
Figura 2 – Categorização dos textos encontrados
Fonte: da pesquisa
No quarto momento, o analítico, com os dados encontrados, as primeiras
análises dos textos sobre funções e campos conceituais foram realizadas. Essa
análise é pautada em estudos descritivos, reflexivos, de constatação e de construções
teóricas. No quinto e último momento, de interpretação, realizamos categorizações,
classificações e reconstruções teóricas do objeto de estudo.
1. 2 O MAPA DA TESE
Nesse capítulo apresentamos e discutimos os principais conceitos e etapas do
Estado da Arte. Utilizando as etapas de George Reyes (2019) como orientação e
assumindo uma postura construtivista, explicitamos as bases de dados e os
descritores que utilizamos para formar o corpus de nossa pesquisa.
Uma vez estabelecido o caminho metodológico adotado (Figura 3), no próximo
capítulo, como um primeiro resultado de nossa categorização dostextos encontrados
sobre função, apresentamos três perspectivas, que consideramos para a
compreensão do desenvolvimento do conceito de função, a saber: perspectiva
histórica, perspectiva cognitiva e perspectiva didática.
28
Figura 3 – Mapa da Tese
Fonte: da pesquisa
29
CAPÍTULO 2 – REVISITANDO O CONCEITO DE FUNÇÃO
“A Matemática é uma atividade humana,
um fenômeno social, parte da cultura; ela
se desenvolveu historicamente, e só é
inteligível dentro do contexto social no qual
é praticada”.
Reuben Hersh
No movimento de análise dos textos encontrados sobre função, constatamos
que eles podem ser categorizados sob três perspectivas distintas5: a) histórica, para
se referir àqueles textos que procuram de algum modo, explicitar o conceito de função,
sem estabelecer relações com o ensino do conceito e de textos que trazem um
retrospecto da história do conceito de função; b) cognitiva, para se referir a textos que,
de algum modo, realizaram experimentos com estudantes ou trouxeram análises do
experimento de outros, buscando compreender o conceito de função a partir dos
resultados produzidos por esses experimentos e; c) didática, para se referir aos textos
que suscitam aspectos do ensino de função, como teorias de aprendizagem que
podem ser utilizadas pelo professor no processo de ensino.
Nas próximas seções, apresentamos discussões que estes textos6 suscitaram
sobre conceito de função nas três perspectivas: histórica, cognitiva e didática.
2. 1 PERSPECTIVA HISTÓRICA
Tratar historicamente qualquer conceito é difícil e, algumas vezes, até mesmo
impossível. Uma parte dos textos ao longo da história podem ter se perdido e a falta
de acesso ao acervo de determinadas base de dados, são fatores que nos levam a
considerar que, qualquer reconstrução histórica é incompleta.
Nesse movimento de pesquisa, muitos foram os caminhos seguidos.
Inicialmente buscamos textos clássicos, dos períodos em que se encontram as
5 Os textos analisados foram categorizados, quando identificável, em mais de uma perspectiva, uma
vez que consideramos que os textos podem ter mais de um propósito.
6 Optamos por deixar nesse capítulo apenas textos que não estivessem diretamente ligados à Teoria
dos Campos Conceituais e função concomitantemente, pois no próximo capítulo, dedicado
inteiramente à TCC, fazemos uma discussão e análise alinhadas ao tema.
30
origens do conceito de função. Depois, constatamos que seria um trabalho hercúleo
seguir nesse processo de coleta de textos. Invertemos então o processo e procuramos
por textos recentes que tratassem sobre a história, a gênese ou a epistemologia do
conceito de função.
Esse caminho percorrido se mostrou mais profícuo, uma vez que, os textos
atuais já fizeram algum tipo de levantamento prévio de autores clássicos. Isso facilitou
na busca por mais referenciais que pudessem levar aos textos antigos. Além disso,
as análises já realizadas por esses autores (BOYER, 1946; CHA, 1999; KLEINER, 1989;
KLEINER, 1993; KLINE, 1972b; MALIK, 1980; NOGUÈS, 1992/1993; REED, 2007; RÊGO,
2000; SÁ, SOUZA, SILVA, 2003; SASTRE VÁZQUEZ, REY, BOUBÉE, 2008; SIERPINSKA,
1988; 1992; SILVA, MIRANDA, CABRAL, 2019; YOUSCHKEVITCH, 1976; YOUSCHKEVITCH,
DEMIDOV, 1983) nos ajudaram a formular nossas próprias análises e, realizar algumas
críticas.
No caminho do mais atual para o mais antigo, encontramos o texto de Silva,
Miranda e Cabral (2019), que busca realizar uma reconstrução histórica do conceito
de função. Os autores fazem uma pesquisa cujo período vai da antiguidade até os
anos de 2019. Eles expõem que “[…] as evidências da aplicação do comportamento
funcional datam desde muito antes de Cristo. Cerca de 2000 a. C. mesopotâmios e
babilônios usavam tábuas para registrar cálculos em tabelas para resolução de
problemas do cotidiano” (SILVA, MIRANDA, CABRAL, 2019, p. 492).
A partir desse texto, não é possível afirmar que o conceito de função existia
antes do século XVI, talvez, possamos dizer que havia uma noção de pensamento
funcional ou comportamento funcional. Por noção, adotamos a perspectiva de Barros
(2016), de que, ao longo dos diversos trabalhos histórico-científicos desenvolvidos,
uma noção é gradualmente transformada em conceito, à medida que a comunidade
científica a aceita e a incorpora.
Podemos assim dizer que, a noção pode ser vista em alguns momentos como
um conceito em seu “[...] devir inicial, como um protoconceito em busca de sintonia,
na qual se almeja aquele momento em que a noção abandonará a zona de penumbra
para se iluminar com discussões mais sistematizadas” (BARROS, 2016, p. 67).
Também poderíamos adotar o termo instinto de funcionalidade adotado por
Rêgo (2000), para diferenciar a noção de função ou pensamento funcional ou
comportamento funcional do conceito de função, ao mostrar que “[…] não havia nesta
31
época [referindo-se ao período dos babilônios e gregos] a noção geral de função de
quantidades variáveis, como hoje concebemos, mas idéias (sic) acerca de relações
especiais, entre elementos específicos. Estes elementos eram, quase sempre, entes
geométricos” (RÊGO, 2000, p. 52, acréscimos nossos).
Qualquer que seja o termo adotado, o principal aspecto é deixar claro que
diferenciamos o conceito de função da antiguidade - ou instinto de funcionalidade
segundo (BELL, 1945) - do conceito de função da contemporaneidade. No presente
texto, adotamos como conceito de função apenas aquele posterior a Johann Peter
Gustav Lejeune Dirichlet (1837) e Nicolas Bourbaki (1939) e, anterior a isso, utilizamos
como sinônimos os termos noção de função ou pensamento funcional.
Silva, Miranda e Cabral (2019) argumentam que a linha do tempo da construção
do conceito de função pode ser dividida em quatro períodos distintos: a) Antiguidade,
b) Idade Média, c) Período Moderno e d) Período Contemporâneo.
De maneira distinta, Youschkevitch (1976), ao caracterizar a evolução do
conceito de função até meados do século XIX, apresenta apenas três períodos
distintos: 1) antiguidade, 2) idade média e 3) período moderno.
(1) Antiguidade, fase em que o estudo de casos particulares de dependências
entre duas grandezas ainda não havia isolado noções gerais de grandezas e
funções variáveis.
(2) A Idade Média, a fase em que, na ciência europeia do século XIV, essas
noções gerais se exprimiram definitivamente tanto em formas geométricas
como mecânicas, mas em que, como também na antiguidade, cada caso
concreto de dependência entre duas quantidades foi definida por uma
descrição verbal, ou por um gráfico em vez de uma fórmula.
(3) A Época Moderna, fase em que, a partir do final do século XVI e,
sobretudo, durante o século XVII, começaram a prevalecer as expressões
analíticas das funções, a classe das funções analíticas geralmente expressas
por somas de série de potência infinita, logo se tornando a principal classe
utilizada (YOUSCHKEVITCH, 1976, p. 39).
Boyer (1946) e, posteriormente Sierpinska (1988; 1989; 1992; 1994)
distinguiram vários estágios epistemológicos no desenvolvimento histórico da noção
de função, contudo, sem atrelar aos períodos históricos tal qual o conhecemos.
32
Figura 4 - Estágios no desenvolvimento da noção de função
Fonte: Adaptado de Sierpinska (1988, p. 569)
Na Figura 4, a autora dividiu o desenvolvimento epistemológico da noção ao
conceito de função em seis estágios: I – Uma ideia implícita de transformação de
pontos ou relações entre grandezas7 (T), II – T descrita por tabelas numéricas, III – T
descrita por proporções, IV – T descrita por equações, V – descrita por gráficos e
equações e, VI – uma elaborada ideia explícita de relações entre variáveis.
Na antiguidade, diversos autores tentaram explicar as origens da noção de
função da época. Por exemplo, Eves (2011) afirma que os babilônios, os egípcios, os
hindus e chineses usavam tabelas paraestabelecer correspondências. Kleiner (1993,
p. 184) afirma que os babilônios “[…] eram ávidos fazedores de tábuas”. Eles
dominavam tabelas de recíprocos, áreas, cubos, raízes quadradas, raízes cúbicas e
outras. Um exemplo de tábua é de Plimpton 322, nela há três colunas, nas quais, duas
delas contêm uma sequência de hipotenusas e catetos de triângulos retângulos de
lados inteiros.
Reed (2007) afirma que, no livro Almagesto, de Ptolomeu, há tabelas
estabelecendo correspondências entre cordas, senos, arcos e ângulos. Rêgo (2000)
afirma que Heráclito, Zenão de Eléa e Aristóteles foram os primeiros a estudar
processos de alteração de quantidade e qualidade, sugerindo uma ideia de “mudança”
(nos valores das noções de relação funcional) e não de generalização. Malik (1980)
7 A tradução do termo grandeza do inglês para o português pode assumir dois significados, o de
grandeza (física) e o de tamanho. No contexto histórico consideramos magnitude como grandeza
(física).
uma ideia implícita
de transformação
(T) de pontos ou
relações entre
magnitudes
T descrita por
tabelas numéricas
T descrita por
proporções
T descrita por
equações
T descrita por
gráficos e
equações
uma elaborada e
explícita ideia de
relações entre
variáveis
?????
Estágio 1 Estágio 2
Estágio 7
Estágio 3
Estágio 4 Estágio 5 Estágio 6
33
chama essa mudança de variação de quantidades.
Romberg, Fennema e Carpenter (1993), afirmam que os gregos do século III a.
C., usavam razões e proporções numa ampla variedade de problemas que envolviam
relações, como por exemplo, a correspondência dos lados de triângulos similares, o
raio de um círculo e a circunferência dele, pesos e alturas numa balança de equilíbrio.
Youschkevitch (1976, p. 44) afirma que quaisquer que sejam as causas sociais
ou econômicas que deram origem ao conceito de função, “[…] o pensamento
matemático da antiguidade não criou nenhuma noção geral de quantidade variável ou
de função”. Na mesma linha de raciocínio, Sastre Vázquez, Rey e Boubée (2008, p.
143) consideram que “[…] os gregos lidavam com problemas que implicavam a noção
de função, mas não conseguiam reconhecê-la, muito menos simbolizá-la”.
Os gregos, na ausência do conceito de função, usavam, primordialmente, a
proporcionalidade na elaboração e resolução de equações. Este aspecto vai perdurar
até a Idade Média e Renascimento (FOSSA, 2011).
Os estudos de áreas, volumes, comprimentos e o desenvolvimento de tabelas
trigonométricas semelhantes às atuais no período grego podem ser considerados
como um primeiro movimento para a noção de função, ou ainda, o estudo das relações
entre grandezas geométricas (SASTRE VÁZQUEZ, REY, BOUBÉE, 2008).
Abû’l-Wefâ, matemático árabe do século X, se tornou conhecido pela sua
tradução dos textos de Diofanto, mas sobretudo por ter sido um dos primeiros a
introduzir a noção de função tangente em trigonometria e desenvolver tábuas de
senos e tangentes com incrementos de 15’ (EVES, 2011).
No período Medieval, em específico nos séculos XIII e XIV, matemáticos da
época, com destaque para Nicolau de Oresme, tentaram construir uma teoria geral da
cinemática, que ficou conhecida como teoria da latitude das formas (SIERPINSKA,
1989). Os matemáticos das universidades de Paris e Oxford realizaram diversas
discussões sobre velocidades, acelerações, e outras taxas que “mudavam”. Nicolau
de Oresme tentou “[…] representar graficamente a maneira pela qual uma quantidade
variava com outra” (BOYER, 1946, p. 9). Oresme (1966) buscou introduzir uma
representação bidimensional da velocidade mudando com o tempo. De acordo com
Reed (2007), ele conseguiu mostrar geometricamente que o significado aritmético das
velocidades inicial e final do movimento com aceleração uniforme é equivalente ao
movimento com velocidade uniforme. Nicolau de Oresme compreendeu que “[...] um
34
retângulo corresponde à velocidade uniforme e um triângulo corresponde a
aceleração uniforme” (REED, 2007, p. 59).
Segundo Peña (2016), Nicolau de Oresme distingue três tipos diferentes de
figuras ou configurações Figura 5: a) uniformemente uniformes (representada por
meio de um retângulo), b) uniformemente deformadas (representadas por um triângulo
ou um trapézio, dependendo da intensidade inicial da qualidade) e, c) disformemente
disforme (representada por meio de um lado curvo).
Figura 5
(a)
Figura 5
(b)
Figura 5
(c)
Figura 5 – Representações gráficas de Oresme
Fonte: adaptado de (PEÑA, 2016)
Nicolau de Oresme desenhou um gráfico velocidade pelo tempo, no qual os
pontos de uma linha horizontal representam os instantes sucessivos de tempo
(comprimento), e para cada instante ele traça um segmento perpendicular à linha
35
horizontal (que ele chamou de latitude), cujo comprimento representa a velocidade
naquele instante; a esse tipo de gráfico ele nomeou de figura uniformemente uniforme.
Por meio do raciocínio geométrico, Nicolau de Oresme buscou representar o
movimento uniformemente uniforme, de modo que, os extremos superiores desses
segmentos de velocidade cubram a área correspondente a um retângulo (PEÑA, 2016).
Apesar dessas tentativas, como podemos ver na Figura 6 e, a partir de uma
análise de Sierpinska (1989) é possível afirmar que essas tentativas eram mais
qualitativas do que quantitativas, sem a presença de uma forma analítica.
Figura 6 - Tentativa de Nicolau de Oresme em representar duas quantidades que variam
Fonte: Traduzido de Sierpinska (1989, p. 11)
Boyer (1946) chama a atenção para as várias tentativas de Nicolau de Oresme
em tentar estabelecer relações entre a força e a resistência de um corpo em queda
livre. Podemos verificar uma dessas tentativas no trecho da tradução do latim para o
inglês, do livro De proportionibus proportionum and Ad pauca respicientes de Nicolau
de Oresme.
Notamos primeiro que duas razões de força e resistência estão relacionadas
geométrica ou exponencialmente. Mas o próprio expoente é uma razão de
velocidades que expressa uma relação aritmética entre as velocidades que
surgem das duas razões de força e resistência. Assim, para Bradwardine,
qualquer progressão geométrica (começando com a unidade) expressa como
razões sucessivas de força e resistência pode ser utilizada, e para quaisquer
duas razões selecionadas na progressão, a razão de velocidades é dada
pelos termos correspondentes na progressão aritmética composta por
números naturais, que estão numerando sucessivamente os termos da série
geométrica (ORESME, 1966, p. 17-18).
Apesar das diversas tentativas de Nicolau de Oresme considerar que a queda
de um corpo é proporcional ao tempo; ele não conseguiu calcular o coeficiente de
36
proporcionalidade, nem mesmo descrever de forma simultânea as descrições
analíticas, a partir de representações gráficas, que segundo Sierpinska (1989), não
ajudavam muito na explicação do fenômeno. Entretanto, ainda assim, Nicolau de
Oresme representou graficamente uma lei da física (KLEINER, 1993).
Noções gerais de relações de dependência entre quantidades variáveis foram
expressas na Idade Média através do uso de termos geométricos ou descrições
verbais (YOUSCHKEVITCH, 1976). Viète, matemático do século XVI, em seu livro Canon
mathematicus seu ad triangula (1579) estabeleceu identidades trigonométricas entre
seno, cosseno, tangente, secante e cossecante, além de desenvolver um método por
aproximações sucessivas para resolução de uma equação cúbica (EVES, 2011).
Matemáticos e cientistas como Galileu, Isaac Newton e Kepler estudaram
problemas físicos associados ao movimento durante o final do século XVI e início do
século XVII (KLINE, 1972a; MALIK, 1980; YOUSCHKEVITCH, 1976).
René Descartes, Isaac Newton e Leonhard Euler acreditavam que uma função
poderia ser caracterizada em termos de (uma ou mais) curvas geométricas naturais -
contínuos naturaisMais conteúdos dessa disciplina
Lista Limites 3- numeros primos
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