ApostilaHP12C_47 paginas

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Matemática Financeira com 
HP 12C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Professor: Denis Chelegati de Castro 
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Sumário 
1ª PARTE - PROGRAMA .............................................................................................................................................. 4 
BÁSICO ....................................................................................................................................................................... 4 
1 – CONCEITOS DA HP 12C ......................................................................................................................................... 5 
1.1 Ligando e Desligando ........................................................................................................................................ 5 
1.2 Indicação de Bateria Fraca ................................................................................................................................ 5 
1.3 Teste da calculadora ......................................................................................................................................... 5 
1.4 Operações Básicas ............................................................................................................................................ 5 
1.5 Teclas de Função .............................................................................................................................................. 6 
1.6 Registros da HP................................................................................................................................................. 6 
1.7 Média Aritmética .............................................................................................................................................. 7 
1.8 Média Ponderada ............................................................................................................................................. 7 
1.9 Teclas de Percentual ......................................................................................................................................... 8 
1.10 Teclas de Data ................................................................................................................................................ 9 
2 – CONCEITOS DO DINHEIRO .................................................................................................................................. 10 
2.1 Valor do Dinheiro no Tempo .......................................................................................................................... 10 
2.2 Juros ............................................................................................................................................................... 10 
2.3 Conceitos Básicos ........................................................................................................................................... 10 
3 – JUROS SIMPLES ................................................................................................................................................... 11 
3.1 Capitalização através de Juros Simples ........................................................................................................... 11 
3.2 Fórmulas para se calcular juros simples ......................................................................................................... 12 
3.3 Taxa equivalente de juros simples .................................................................................................................. 13 
4 – JUROS COMPOSTOS............................................................................................................................................ 14 
4.1 Capitalização através de Juros Compostos ..................................................................................................... 14 
4.2 Utilizando as teclas de atalho ......................................................................................................................... 15 
4.3 – SÉRIES UNIFORMES DE PAGAMENTOS......................................................................................................... 17 
4.4 – Séries postecipadas e antecipadas ............................................................................................................... 18 
5 – EXERCÍCIOS ......................................................................................................................................................... 23 
 
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2ª PARTE - PROGRAMA AVANÇADO ........................................................................................................................ 25 
1 – SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO ............................................................................................................................. 26 
1.1 – Sistema Francês de Amortização – Sistema Price ........................................................................................ 26 
1.2 – Sistema de Amortização Constante - SAC .................................................................................................... 29 
1.3 – Sistema de Amortização Misto .................................................................................................................... 30 
1.4 – Sistema de Amortização Americano ............................................................................................................ 30 
2 – TAXA DE JUROS .................................................................................................................................................. 31 
2.1 – Taxa Nominal x Taxa Efetiva ........................................................................................................................ 31 
2.2 – Taxa Desconto x Taxa Efetiva ....................................................................................................................... 34 
2.3 – Taxa de Juros Reais ...................................................................................................................................... 34 
3 – PERPETUIDADE ................................................................................................................................................... 36 
4 – AVALIAÇÃO DE INVESTIMENTO .......................................................................................................................... 37 
4.1 – Análise de um Investimento ........................................................................................................................ 37 
4.2 – Taxa Interna de Retorno – TIR (IRR) ............................................................................................................. 37 
4.3 – Valor Presente Líquido – VPL (NPV) ............................................................................................................. 40 
4.4 – Utilizando TIR e VPL ..................................................................................................................................... 43 
5 – EXERCÍCIOS .........................................................................................................................................................44 
 
 
 
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1ª PARTE - PROGRAMA 
BÁSICO 
 
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1 – CONCEITOS DA HP 12C 
 
1.1 Ligando e Desligando 
A tecla ON liga e desliga a calculadora. Se não for desligada manualmente, ela se desligará 
automaticamente de 8 a 17 minutos após a sua ultima utilização. 
 
 
1.2 Indicação de Bateria Fraca 
Indica a condição de bateria fraca através de um asterisco (*). 
 
 
1.3 Teste da calculadora 
 Teste 1 
Com a máquina desligada, pressiona-se a tecla X e ON. 
Se solta primeiramente a tecla ON e logo em seguida X e deverá aparecer: 
 
-8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 
user f g BEGIN GRAD D.MY C PRMG 
 
 Teste 2 
 Com a máquina desligada, pressiona-se a tecla ÷ e ON. 
Se solta primeiramente a tecla ON e logo em seguida ÷ 
Aparecerão pontinhos, e o usuário deverá ir pressionando todas as teclas, uma a uma, 
começando do lado esquerdo para o direito, de cima para baixo, apertando o ENTER 
duas vezes. No final o número 12 irá aparecer. 
 
 
1.4 Operações Básicas 
 Na HP 12C, a forma de se efetuar as operações é diferente das calculadoras normais. 
Primeiro será dado entrada no primeiro valor da conta. Em seguida, ao invés de se colocar o sinal 
e depois os números seguintes como nas calculadoras comuns, será feito o inverso na HP 12C, 
colocando-se primeiro o número e depois o sinal. Após o sinal ser pressionado, o resultado já irá 
aparecer no visor: Vamos ver o exemplo para o seguinte cálculo: 
15 x 4 ÷ 3 + 857 – 95. 
 
Tecle Visor OBS 
15 enter 15,00 Coloca o valor base 
4 x 60,00 Multiplicação 
3 ÷ 20,00 Divisão 
857 + 877,00 Soma 
95 - 782,00 Subtração 
 
 Uma tecla é muito importante é a tecla ENTER. Ela será usada sempre que uma nova 
operação. Além do mais, ela será muito usada para uma visão dos registro, como veremos a 
seguir. 
 
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1.5 Teclas de Função 
 
CLX – Limpa o conteúdo do visor, 
 
f CLx – apaga todos os registros da máquina, 
 
f – aciona os comandos em laranja, que ficam acima das teclas, 
 
g – aciona os comandos em azul, que ficam abaixo das teclas, 
 
CHS - Inverte o sinal, 
 
STO - (STORE) Armazena na memória, sempre seguida por uma tecla numérica, 
 
RCL - (RECALL) - Tecla utilizada para recuperar a memória. 
 
f número – define o número de casas decimais que irá aparecer no visor (padrão 2) 
 
 
1.6 Registros da HP 
 A calculadora HP-12C possui 4 registradores, os quais são usados para o armazenamento 
dos números durante o cálculo. O último registro vai ser sempre o que estiver no visor, mesmo 
que não seja teclado ENTER ao final de sua digitação. Com os números nos registros, pode-se 
fazer as operações utilizando-os. 
 
Exemplo 
1 enter 
5 enter 
9 enter 
60 + + + 
75 
 
R↓ - troca entre os registradores 
 
X<>Y - troca entre o último e penúltimo registrador 
 
 
 
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1.7 Média Aritmética 
 Na média aritmética, cada item tem o mesmo peso. Divide-se a soma de todos os itens 
pela quantidade do mesmo 
Ex1 – Qual a média aritmética do exemplo abaixo? 
Produto A – R$ 1,00 
Produto B – R$ 5,00 
Produto C – R$ 9,00 
Produto D – R$ 60,00 
Tecle Visor OBS 
1 enter 1,00 Coloca o valor base 
5 + 6,00 Soma 
9 + 15,00 Soma 
60 + 75,00 Soma 
4 ÷ 6,00 Média 
 
 
1.8 Média Ponderada 
 Na média ponderada, cada item é multiplicado por seu peso, e em seguida dividido pelo 
somatório total de pesos. 
Ex1 – Imaginamos que foram vendidos as seguintes quantidades de cada produto. Qual a 
média ponderada? 
Produto A – R$ 1,00 – 15 quantidades 
Produto B – R$ 5,00 – 30 quantidades 
Produto C – R$ 9,00 – 12 quantidades 
Produto D – R$ 60,00 – 3 quantidades 
 
Tecle Visor OBS 
15 enter 15,00 Quantidade 
30 + 45,00 Soma 
12 + 57,00 Soma 
3 + 60,00 Soma 
STO 0 60,00 Somatório das quantidades 
 
Tecle Visor OBS 
1 enter 1,00 Preço 
15 x + 15,00 Primeiro Fator 
5 enter 5,00 Preço 
30 x + 150,00 Segundo Fator 
9 enter 9,00 Preço 
12 x + 108,00 Segundo Fator 
60 enter 60,00 Preço 
3 x + 180,00 Segundo Fator 
RCL 0 60,00 Somatório das quantidades 
÷ 7,55 Média Ponderada 
 
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1.9 Teclas de Percentual 
 
% - Calcula percentagem de um número, isto é calcula X% de Y 
Ex: 12% de 1500 
Tecle Visor OBS 
1500 enter 1.500,00 Coloca o valor base 
12 % 180,00 Valor relativo ao percentual 
 
% - Calcula variação percentual entre dois números. 
Ex1 - Apliquei R$ 5.000,00 e resgatei R$ 5.300,00. Qual o percentual de lucro? 
Tecle Visor OBS 
5000 enter 5.000,00 Coloca o valor base 
5300 % 6,00 Percentual relativo à variação 
 
Ex2 – Vendi por R$ 5.300,00 um produto que custou R$ 5.000,00. Qual a margem de 
lucro? 
Tecle Visor OBS 
5300 enter 5.300,00 Coloca o valor base 
5000 % CHS 5,66 Margem de Lucro 
 
Ex3 - Calcular qual o percentual de prejuízo de um especulador que aplicou R$ 8.000,00 e 
alguns dias depois resgatou R$ 7.900,00. 
Tecle Visor OBS 
8000 enter 8.000,00 Coloca o valor base 
7900 % -1,25 Percentual relativo à variação 
 
%T - Calcula o percentual sobre o total. 
Ex1 - Sobre um salário de R$ 2.120,00 terei que recolher R$ 169,60 de IR. Qual a 
percentagem de IR sobre o salário? 
Tecle Visor OBS 
2120 enter 2.120,00 Coloca o valor base 
169,60 %T 8,00 Percentual relativo ao Total 
 
 
 
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1.10 Teclas de Data 
 
g D.MY – Acerta a fórmula de calculo para o modo brasileiro de datas dd/mm/aaaa (aparece na 
tela) 
 
g M.DY – Acerta a fórmula de calculo para o modo americano de datas mm/dd/aaaa (não aparece 
na tela) 
 
g DYS - Calcula a diferença de dias corridos entre duas datas. 
Ex1 – Quantidade de dias entre 15/11/1995 e 01/12/2006 
Tecle Visor OBS 
15,111995 enter 15,11 Coloca o data base 
01,122006 g DYS 4.034 Número de dias corridos (base 365) 
 
 
g DATE - Calcula uma data futura ou passada 
Ex1 – Considerando que hoje é 15/03/2004, que data será daqui a 72 dias? 
Tecle Visor OBS 
15,032004 enter 15,03 Coloca o data base 
72 g DATE 26,05,2004 3 Data futura 
OBS: o número que aparece após a data é o dia da semana que aquela se refere: 1 = 
Segunda, 2 = terça, 3 = quarta, 4 = quinta, 5 = sexta, 6 = sábado e 7 = domingo 
 
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2 – CONCEITOS DO DINHEIRO 
 
2.1 Valor do Dinheiro no Tempo 
Ao longo do tempo o valor do dinheiro muda, quer em função de sua desvalorização devido à inflação, 
quer em função da existência de alternativas de investimento que possibilitarão o recebimento de alguma 
remuneração sobre a quantia envolvida. 
 
2.2 Juros 
Rendimento obtido (pago) por um indivíduo que tenha aplicado (ou tomado emprestado) uma quantia sob 
determinadas condições. 
 
Exemplo 1: Você aplica R$ 200,00 na poupança. Ao final de 1 mês,observa que o valor estava R$ 215,00. 
O valor dos juros total é de R$ 15,00. 
 
Exemplo 2: Você compra uma TV 20” em uma loja. O vendedor lhe dá como opção de pagamento o preço 
a vista de R$ 500,00, ou 12 parcelas mensais de R$ 50,00, com a primeira para 30 dias. Logo, a prazo 
será pago R$ 600,00. Ou seja, R$ 500,00 pela TV e mais R$ 100,00 de juros total no período 
 
2.3 Conceitos Básicos 
 
Principal ou Valor Presente (present value): corresponde ao valor do dinheiro hoje, ou seja, na 
data-zero. É representado por PV, 
 
Juros: valor gerado pelo dinheiro no valor presente ao longo de um determinado período, 
conforme descrição acima, 
 
Montante: é igual ao Principal + Juros. É tudo aquilo que foi pago ou recebido. 
 
Período Total: corresponde ao tempo entre a data-zero e a data futura final. 
Número de períodos de capitalização: corresponde à quantidade de vezes que ocorre uma 
capitalização ou resgate/pagamento dentro do período total. É importa que cada período parcial 
contenha o mesmo número de tempo (dias, meses, anos, etc). É representado por n. 
 
Taxa de juros (interest rate): corresponde à taxa de juros que será usado no cálculo da 
capitalização. É representado por i. Deve estar na mesma unidade de tempo de n. 
Pagamentos ou resgates: corresponde aos valores que, nos períodos, será pagos ou 
resgatados do plano de capitalização. É representado por PMT. 
 
Valor Futuro (future value): corresponde a movimentação de valores no final do período. No caso 
de um pagamento com parcelas mensais que não sobre nada para pagar no final, o valor futuro é 
0, sendo diferente do montante. No caso de uma aplicação onde saca-se todo o valor no final do 
período é igual ao montante. Preste atenção que o Valor futuro não é necessariamente igual ao 
Montante. É representado por FV 
 
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3 – JUROS SIMPLES 
 
3.1 Capitalização através de Juros Simples 
 
“A taxa de juros incidirá apenas e sempre sobre o valor principal, independente do período de 
tempo em que se estiver.” 
 
Ex 1: Você faz uma aplicação inicial de R$ 150,00, que renderá 5% a.m. durante 3 meses, sendo 
que depois você terá que sacar seu dinheiro. Não há novas aplicações intermediárias. Qual o será 
o valor do rendimento ao final de sua aplicação, sendo que o regime é de juros simples? Qual a 
taxa de juros do rendimento? Qual o montante final acumulado? 
 
Mês 1 
Tecle Visor OBS 
f CLx 0,00 Limpa registradores 
150 enter 150 principal 
5 % 7,50 Juros do período 
 
Mês 2 
Tecle Visor OBS 
150 enter 150 principal 
5 % 7,50 Juros do período 
 
Mês 3 
Tecle Visor OBS 
150 enter 150 principal 
5 % 7,50 Juros do período 
 
Juros Total 
Tecle Visor OBS 
7,5 enter 7,50 Juros período 1 
7,5 + 15,00 Juros período 1 + 2 
7,5 + 22,50 Juros período 1 + 2 + 3 
Então o valor do rendimento será de R$ 22,50 
 
Tecle Visor OBS 
f CLx 0,00 Limpa registradores 
22,5 enter 22,50 Juros total 
150 ÷ 0,15 Taxa de juros do período 
100 x 15,00 Taxa de juros do período 
A taxa de juros do rendimento será de 15% 
 
Tecle Visor OBS 
f CLx 0,00 Limpa registradores 
22,5 enter 22,50 Juros total 
150 + 172,50 Montante acumulado 
Logo o montante final acumulado ser obtido será de R$ 172,50 
 
 
 
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3.2 Fórmulas para se calcular juros simples 
 
Como nos juros simples a taxa será sempre aplicada sobre o valor principal, logo: 
 
J = PV x i x n 
FV = PV + (PV x i x n) 
 
Onde: 
J = valor do juros total 
PV = valor presente 
i = taxa de juros por período (considerando que já está no modo decimal) 
n = número de períodos 
FV = valor futuro 
 
Modelo Rápido 
Tecle Visor OBS 
f CLx 0,00 Limpa registradores 
150 enter 150,00 Valor principal 
5 % 7,50 juros de cada período 
3 x 22,50 juros do período total 
+ 172,50 Montante acumulado 
 
Ex 2: Em 01/04/2007, você irá pegar um empréstimo de R$ 300,00, com vencimento para 
31/03/2008. Você escolheu pagar a dívida toda no final, sem parcelas, com capitalização mensal 
pelo regime de juros simples. A financeira disse que naquela data, o valor que você terá que 
pagar será de R$ 696,00. Qual o valor total de juros a ser pago? Qual a taxa de juros total da 
operação? Qual a taxa de juros mensal? 
PV = 300,00 
FV = 696,00 
n = 12 meses 
 
Total de juros a ser pago 
Tecle Visor OBS 
f CLx 0,00 Limpa registradores 
696 enter 696,00 Valor Futuro 
300 - 396,50 juros do período total 
 
Taxa de juros total da Operação 
Tecle Visor OBS 
300 enter 300,00 Principal 
696 % 132,00 Taxa de juros total do período 
12 ÷ 11,00 Taxa de juros mensais 
 
Logo 
Tecle Visor OBS 
300 enter 300,00 Principal 
11 % 33,00 Juros mensal 
 
Taxa de juros mensal 
J = PV x i x n  i = J . 
 PV x N 
 
 
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13 
3.3 Taxa equivalente de juros simples 
 
Dizem-se equivalentes duas taxas que, em períodos diferentes, geram o mesmo resultado de 
capitalização. Para descobrir, devemos trazer os valores para o presente ou futuro, o que for 
melhor na operação. Se em ambos os casos, os valores se tornarem iguais, as taxas serão 
equivalentes. 
 
Ex1: As taxas de juros de 10% a.m. e 120% a.a. são equivalentes, usando juros simples? 
Para resolver isso, vamos utilizar um valor presente de R$ 100,00 e ver qual o valor futuro em 
ambos os casos: 
 
a) i = 10% a.m. 
PV = 100 
n = 12 
FV = PV + (PV x i x n)  100 + (100 x 0,10 x 12) 
FV = 220,00 
 
b) i = 120% a.a. 
PV = 100 
n = 1 
FV = PV + (PV x i x n)  100 + (100 x 1,20 x 1) 
FV = 220,00 
 
Como nos dois casos o FV = 220,00, logo podemos dizer que as taxas de juros 10% a.m. e 120% 
a.a. capitalizadas através de juros simples são equivalentes. 
 
Para achar uma taxa equivalente, é só fazer uma regra de 3, conforme mostrado a seguir. Mas é 
importante que o período esteja sempre na mesma unidade de tempo. 
 
iQ = nQ onde: iQ = taxa de juros que queremos 
iT nT iT = taxa de juros que temos 
 nQ = período que queremos (estar no mesmo tempo que o T) 
 nT =período que temos 
 
Ex2: Você fica devendo R$ 1.500,00 no cheque especial, só voltando a cobrir a conta 13 dias 
depois. Considerando que o banco cobra 9% de juros a.m., através do regime simples, quanto de 
juros você deverá pagar ao banco? 
 
PV = 1.500,00 n = 13 dias i = 9% a.m. J = ? 
 
Vamos achar i para 13 dias 
iQ = nQ  iQ = 13 dias 
iT nT 9% 30 dias 
 
Logo: 
iQ = 13 x 9% / 30  iQ = 3,90% para 13 dias 
 
Agora é só aplicar este valor ao principal que você irá achar quanto de juros deverá ser pago. 
Tecle Visor OBS 
F CLx 0,00 Limpa registradores 
1500 enter 1.500,00 Principal 
3,90 % 58,50 Total de juros a ser pago 
 
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14 
4 – JUROS COMPOSTOS 
 
4.1 Capitalização através de Juros Compostos 
 
“A taxa de juros incidirá sobre o montante acumulado ao final do período anterior. Diferente dos 
juros simples, que era juros + juros, agora será juros vezes juros, ou, como é mais conhecido, 
juros sobre juros.” 
 
Ex 1: Você faz uma aplicação inicial de R$ 150,00, que renderá 5% a.m. durante 3 meses, sendo 
que depois você terá que sacar seu dinheiro. Não há novas aplicações intermediárias. Qual o será 
o valor do rendimento ao final de sua aplicação, sendo queo regime é de juros compostos? Qual 
a taxa de juros do rendimento? Qual o montante final acumulado? 
 
Tecle Visor OBS 
f CLx 0,00 Limpa registradores 
150 enter 150 principal 
5 % 7,50 Juros do período 
+ 157,50 Montante no período 1 
5 % 7,88 Juros do período 
+ 165,38 Montante no período 2 
5 % 8,27 Juros do período 
+ 173,63 Montante acumulado 
150 - 23,63 Valor do juros total 
150 ÷ 0,16 Taxa juros total em decimal 
100 x 15,76 Taxa juros total em percent 
O montante final da aplicação será de R$ 173,64 
O valor final de rendimento é de R$ 23,64 
A Taxa total final de juros é de 15,76% 
 
Vamos comparar: 
 Juros Simples Juros Compostos 
PV 150,00 150,00 
n 3 3 
i 5% a.m. 5% a.m. 
J 22,50 23,64 
FV 172,50 173,64 
 
 
Fórmulas para se calcular juros compostos 
 
A fórmula para cálculo é: 
J = PV x ((1+ i)n - 1) FV = PV x (1+ i)
n
 i = (FV / PV)
 1/n
 - 1 
 
Onde: 
J = valor do juros total PV = valor principal 
i = taxa de juros por período (considerando que já está no modo decimal) 
n = número de períodos 
 
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15 
Ex 2: Em 01/04/2007, você irá pegar um empréstimo de R$ 300,00, com vencimento para 
31/03/2008. Você escolheu pagar a dívida toda no final, sem parcelas, com capitalização mensal 
pelo regime de juros compostos. A financeira disse que a taxa de juros mensais será de 11% a.m. 
Qual o valor futuro da operação? Qual a taxa de juros total da operação? 
 
PV = 300,00 
n = 12 meses 
i = 11% a.m. 
Tecle Visor OBS 
f CLx 0,00 Limpa registradores 
11 enter 11,00 Taxa mensal em percente 
100 ÷ 0,11 Taxa mensal em decimal 
1 + 1,11 Índice de multiplicação 
12 y
x
 3,50 Número de períodos 
300 x 1.049,54 Montante acumulado 
 
Vamos comparar: 
 Juros Simples Juros Compostos 
PV 300,00 300,00 
n 12 12 
i 11% a.m. 11% a.m. 
J 396,00 749,54 
FV 696,00 1.049,54 
Quanto maior o tempo, maior a diferença entre juros simples e composto 
 
4.2 Utilizando as teclas de atalho 
 
Como vimos nos capítulos anteriores, o segredo está em saber distinguir cada um dos itens que 
compõem a fórmula do cálculo. Para os casos onde se utiliza o regime de juros composto, a HP 
12C já traz as teclas para facilitar o trabalho do usuário. Mesmo assim, é importante que o usuário 
saiba avaliar bem os componentes, pois sem eles será impossível fazer as contas. 
 
Vamos agregar agora o conceito de fluxo de caixa, que, de modo superficial é bastante simples. 
Quando sai dinheiro de você, através de uma aplicação ou pagamento, o sinal é negativo, pois 
está saindo. Quando o dinheiro entra para você, através de um resgate de alguma aplicação ou 
através do produto que se está adquirindo, o sinal é positivo. O exemplo de Fluxo de Caixa pode 
ser visto no diagrama a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 Como convenção, o sinal negativo estará sempre com o Valor Presente (PV). 
- 1.000,00 
150,00 150,00 150,00 150,00 150,00 150,00 150,00 150,00 
0 2 3 4 5 6 1 7 8 
 
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Vamos pegar nossos exemplos anteriores: 
Ex 1: Você faz uma aplicação inicial de R$ 150,00, que renderá 5% a.m. durante 3 meses, sendo 
que depois você terá que sacar seu dinheiro. Não há novas aplicações intermediárias. Qual o será 
o valor do rendimento ao final de sua aplicação, sendo que o regime é de juros compostos? Qual 
a taxa de juros do rendimento? Qual o montante final acumulado? 
PV = 150,00 
i = 5 
n =3 
FV = ? (com FV, ficará fácil achar o valor de juros total da operação e a taxa de juros total) 
 
Vamos usar agora as teclas que a própria HP 12C oferece. Elas têm o mesmo nome de cada item 
estudado. 
Tecle Visor OBS 
f CLx 0,00 Limpa registradores 
150 CHS PV -150,00 Valor Presente (com sinal invertido) 
5 i 5,00 Taxa mensal em percente 
3 n 3,00 Número de períodos 
FV 173,64 Montante acumulado 
Ou seja, o Montante final acumulado será de R$ 173,64. Compare com o primeiro exercício e veja 
se o valor não é o mesmo. Importante salientar que a ordem não importa, contanto que o valor 
que a tecla com o valor que você deseja saber seja apertada por último. 
 
Ex 2: Em 01/04/2007, você irá pegar um empréstimo de R$ 300,00, com vencimento para 
31/03/2008. Você escolheu pagar a dívida toda no final, sem parcelas, com capitalização mensal 
pelo regime de juros compostos. A financeira disse que naquela data, o valor que você terá que 
pagar será de R$ 1.049,54. Qual a taxa de juros mensal? 
PV = 300,00 
n = 12 meses 
FV = 1.049,54 
i = ? 
 
Tecle Visor OBS 
f CLx 0,00 Limpa registradores 
300 CHS PV -300,00 Valor Presente (com sinal invertido) 
12 n 12,00 Número de períodos 
1049,54 FV 1.049,54 Montante acumulado 
i 11,00 Taxa mensal em percente 
Logo, a taxa de juros mensal é de 11% a.m. (é importante notar que a taxa de juros já sai em 
percentual, e não em decimal). 
 
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17 
4.3 – SÉRIES UNIFORMES DE PAGAMENTOS 
 
 Até agora vimos uma movimentação de dinheiro apenas no começo ou final dos períodos. 
Mas o mais comum é que tenhamos resgates ou pagamentos intermediários. Para isso, a 
calculadora HP 12C tem uma facilidade para cálculo destes pagamentos. Mas para isso, é 
necessário que eles sejam do mesmo valor, ou seja, uniformes. A tecla para prestações é a PMT. 
Como possíveis exemplos, temos uma aplicação mensal no mesmo valor, uma prestação de uma 
compra efetuada, etc. 
 
Vamos à prática: 
 
Ex1: Seu filho acaba de nascer. Você planeja fazer uma poupança para a faculdade dele, 
devendo acumular o valor de R$ 15.000,00 quando ele fizer 18 anos. Quanto deve ser aplicado 
mensalmente, considerando que se consiga obter 1,00% de rendimento ao mês? 
 
Temos: 
PV = 0 
FV = 15.000 
i = 1,00% a.m. 
n = 18 x 12 = 216 meses 
PMT = ? 
 
Tecle Visor OBS 
F CLx 0,00 Limpa registradores 
15000 FV 15.000,00 Valor Futuro 
1 i 1,00 taxa de juros mensal 
216 n 216,00 Período equivalente 
PMT 19,79 Aplicação mensal 
Logo, deve-se aplica o valor de R$ 19,79 ao mês, durante 18 anos 
 
Ex2: Num anúncio do jornal, é anunciado um celular no valor de R$ 680,00 a vista, ou em 12 
parcelas de R$ 68,00. Qual o valor principal? Qual a taxa de juros? 
 
Temos: 
PV = 680 
PMT = 68 
n = 12 meses 
 
Tecle Visor OBS 
F CLx 0,00 Limpa registradores 
680 CHS PV 680,00 Valor Presente 
68 PMT 68,00 Prestação 
12 n 12,00 Período equivalente 
i 2,92 Taxa de juros 
Logo, a taxa de juros mensal é de 2,92% 
 
 
 
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4.4 – Séries postecipadas e antecipadas 
 
 Nos cálculo trabalhados que envolviam prestações mensais, o primeiro sempre acontecia 
ao final do primeiro período, e nunca na data zero. Chamamos isso de séries postecipadas. Mas, 
caso aconteça da primeira prestação ser a vista, não é necessários novos cálculos. A HP 12C 
permite que isso seja rapidamente resolvido. Estas são chamadas de séries antecipadas. Como 
exemplo de séries postecipadas, temos a maioria dos financiamentos. Já nas séries antecipadas, 
temos o IPTU e o IPVA. 
 
A HP 12C vem com função padrão para série postecipada. Para trocar para série antecipada 
clique em g 7 (g BEG). No visor irá aparecer a palavra BEGIN. Para voltar ao modo postecipado 
clique em g 8 (g END). Vamos ver o exemplo do celular se a primeira parcela fosse a vista, ou 
seja, antecipada. 
 
Temos: 
PV = 680PMT = 68 
n = 12 meses 
 
Tecle Visor OBS 
F CLx 0,00 Limpa registradores 
g BEG 0,00 Cálculo antecipado 
680 CHS PV 680,00 Valor Presente 
68 PMT 68,00 Prestação 
12 n 12,00 Período equivalente 
i 3,50 Taxa de juros 
Logo, a taxa de juros mensal é de 3,50% 
 
 
Ex2: Considere um carro com um IPVA de R$ 1.200,00, para pagamento em 3 vezes iguais, 
sendo uma entrada e mais 2 parcelas, ou com 10% de desconto a vista. Qual a juros embutido na 
operação? 
 
PV = 1.200,00 – 10%= 1.080,00 
N = 3 
PMT = 400,00 
Modo antecipado 
 
Tecle Visor OBS 
F CLx 0,00 Limpa registradores 
g BEG 0,00 Cálculo antecipado 
1080 CHS PV 1.080,00 Valor Presente 
400 PMT 400,00 Prestação 
3 n 3,00 Período equivalente 
i 11,55 Taxa de juros 
Logo, a taxa de juros mensal é de 11,55% 
 
 
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Agora vamos imaginar que seu banco faça um financiamento de até R$ 1.000,00 cobrando uma 
taxa de 4%a.m.. Qual seria a prestação a ser paga? 
 
PV = 1.200,00 – 10%= 1.080,00 – 400,00 = 680 
N = 2 
i = 4 %a.m. 
Modo postecipado 
 
Tecle Visor OBS 
F CLx 0,00 Limpa registradores 
g END 0,00 Cálculo postecipado 
680 CHS PV 680,00 Valor Presente 
4 i 4,00 Taxa de juros 
2 n 2,00 Período equivalente 
PMT 360,53 Prestação 
Logo, a prestação mensal seria de R$ 360,53, menor que financiando pelo governo. 
 
Ex3: Numa propaganda de jornal, um carro Astra está anunciado à R$ 31.790,00 a vista ou 1 + 60 
parcelas de R$ 941,00. Ainda segundo o anúncio, o juros cobrado é de 2,02% ao mês. Os juros 
cobrados corresponde a realidade, considerando que os valores estão corretos? 
 
PV = 31.790,00 
N = 61 meses 
PMT = 941,00 
i = ???%a.m. 
Modo antecipado 
 
Tecle Visor OBS 
F CLx 0,00 Limpa registradores 
g BEG 0,00 Cálculo antecipado 
31790 CHS PV 31.790,00 Valor Presente 
941 PMT 941,00 Prestação 
61 n 61,00 Período equivalente 
i 2,25 Taxa de juros 
Logo, a taxa realmente cobrada por mês é de 2,25%, e não de 2,02%
 
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20 
4.5 Taxa equivalente de juros compostos 
 
Ex1: As taxas de juros de 10% a.m. e 120% a.a. são equivalentes, usando regime de juros 
composto? 
 
Utilizando-se de um valor presente de R$ 100,00, logo: 
 
Caso 1 PV = 100 
n = 12 
i = 10% a.m. 
FV = 313, 84 
 
Caso 2 PV = 100 
n = 1 
i = 120% a.a. 
FV = 220,00 
 
De cara, como vemos que os números são diferentes, podemos dizer que as 10% a.m. e 120% 
a.a. não são equivalentes. Vamos lembrar, que no regime de juros simples, sua taxa incide 
sempre sobre o principal, logo, seus juros, independente do prazo, vão incidir sempre sobre o 
mesmo valor presente. No caso de juros compostos, o principal muda a cada período, ou seja, 
cada juros incide sobre um valor presente diferente, tornando suas taxas equivalentes mais 
complicadas de serem calculadas. 
 
No exemplo anterior, através do cálculo do FV, vemos que a taxa total de juros é de 213,84% a.a., 
ou seja, este valor é equivalente à 10% a.m. Por lógica, vemos que a taxa equivalente a 120% a. 
a. será menor que 10% a.m., já que a mesma se capitalizará mais rápida que no caso dos juros 
simples. 
 
A equivalência pode ser feita entre todas as medidas de tempo: dias, semanas, meses, 
semestres, anos, etc, mas é de suma importância que antes dos cálculos decidamos com qual 
unidade de tempo será trabalhada. Veremos agora como calcular taxas equivalentes. 
 
 nQ / nT 
iQ = {(1 + iT) - 1} x 100 Deve-se lembrar que as taxas, neste caso, devem ser em 
casas decimais, e não percentual. Ex: 5% = 0,05 
 
 
Onde: 
iQ = taxa de juros que queremos, em decimal 
iT = taxa de juros que temos, em decimal 
nQ = período que queremos (estar na mesma tempo que o B) 
nT =período que temos 
 
 
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Vamos à dois exercícios de exemplo: 
 
Ex1: Qual a taxa equivalente em meses, anos e dias para uma taxa de 12% ao semestre? 
 
Lembrando da fórmula: 
 nQ / nT 
iQ = (1 + iT) - 1 
 
O que temos: iT = 12%as nT = 6 meses 
 
 
 
Caso 1: iQ = ??%a.m. nQ = 1 mês 
iT = 12%as nT = 6 meses 
 
Pela regra: nQ / 6 1 / 6 
iQ = (1 + 0,12) - 1  iQ = (1 + 0,12) - 1 
 
Na HP 12C 
Tecle Visor OBS 
F CLx 0,00 Limpa registradores 
1 enter 1,00 
0,12 + 1,12 iT 
1 enter 1,00 Período equivalente 
6 ÷ 0,17 Período total 
y
x
 1,02 
1 - 0,02 Taxa em decimal 
100 x 1,91 Taxa em percentual 
Taxa ao mês = 1,91% a.m. 
 
 
Caso 2: iQ = ??%a.a. nQ = 1 ano => 2 semestres 
iT = 12%as nT = 1 semestre 
 
Pela regra: nQ / 1 2 / 1 
iQ = (1 + 0,12) - 1  iQ = (1 + 0,12) - 1 
 
Tecle Visor OBS 
F CLx 0,00 Limpa registradores 
1 enter 1,00 
0,12 + 1,12 iT 
2 enter 2,00 Período equivalente 
1 ÷ 2,00 Período total 
y
x
 1,25 
1 - 0,25 Taxa em decimal 
100 x 25,44 Taxa em percentual 
Taxa ao ano = 25,44% a.a. 
 
 
 
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Caso 3: iQ = ??%a.d. nQ = 1 dia 
iT = 12%as nT = 180 dias 
 
Pela regra: nQ / 180 1 / 180 
iQ = (1 + 0,12) - 1  iQ = (1 + 0,12) - 1 
 
Tecle Visor OBS 
F CLx 0,00 Limpa registradores 
1 enter 1,00 
0,12 + 1,12 iT 
1 enter 1,00 Período equivalente 
180 ÷ 0,01 Período total 
y
x
 1,00 
1 - 0,001 Taxa em decimal 
100 x 0,06 Taxa em percentual 
Taxa ao dia = 0,06% a.d. 
 
 
 
 
 
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5 – EXERCÍCIOS 
 
Parte 1 
 
1 - João comprou uma moto para pagamento único em 6 meses. Considerando-se o preço a vista 
de R$ 3.270,00 e taxa de juros de 0,75% ao mês, quanto pagará no vencimento, considerando 
juros simples e compostos? 
R: R$ 3.417,15 a juros simples e R$ 3.419,94 a juros compostos. 
 
 
2 - Um investimento de R$ 20.000,00 proporcionou, após 3 meses juros de R$ 1.000,00. Qual a 
taxa mensal recebida, em juros simples e juros compostos? 
R: 1,67% a.m. a juros simples e 1,64% a.m. a juros compostos. 
 
 
3 - Determinar os Juros de uma aplicação, no valor de R$ 200.000,00, a taxa de juros de 1,75% 
ao mês, durante 5 meses, em juros simples e juros compostos? 
R: R$ 17.500,00 nos juros simples e R$ 18.123,31 nos juros compostos. 
 
 
4 - A que taxa se deve emprestar R$ 50.000,00 para em 8 meses, se ter um montante de R$ 
90.000,00, considerando juros simples? E considerando juros compostos? 
R: 10,00% a.m. a juros simples e 7,62% a.m. a juros compostos. 
 
 
5 - Qual o montante acumulado em 6 anos, a uma taxa de 10% ao ano no regime de juros 
simples, a partir de um principal de R$ 100.000,00? E no regime de juros compostos? 
R: R$ 160.000,00 nos juros simples e R$ 177.156,10 nos juros compostos. 
 
 
6 - Qual foi o capital aplicado que produziu o montante de R$ 123.000,00, pela taxa de 5,67% ao 
mês no prazo de 10 meses, através de juros compostos? 
R: R$ 70.857,86 
 
 
7 – Você está há 9 meses sem pagar o cartão de crédito. Sua dívida de compras, no vencimento 
inicial, era de R$ 580,00. A administradora do cartão de crédito cobra juros de 8% ao mês. Qual o 
valor da dívida agora se aplicarmos o regime de juros simples? E o regime de juros composto? 
R: R$ 997,60 com juros simples e R$ 1.159,42 com juros compostos.PDCA CONSULTORIA E TREINAMENTOS 
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Parte 2 
 
1 - Vilson comprou um presente para sua mãe por R$ 163,50. Como não teve recursos no 
momento, parcelou em 5 meses com um no ato a juros de 1% ao mês. Qual o valor da parcela? 
R: R$ 33,35 
 
2 - Qual a taxa mensal que está sendo cobrada na concessão do empréstimo de R$ 8.000,00 
para a aquisição de um automóvel, a ser ressarcido em 12 prestações mensais de R$ 949,45, 
sendo a primeira em 30 dias? 
R: 5,91% 
 
3 - Um computador está sendo anunciado por R$ 1.500,00 a vista ou, sem entrada, em dez 
prestações de R$ 166,80, vencendo a primeira em 30 dias após a data da compra. Qual a taxa de 
juros com que a loja opera? 
R: 1,98% 
 
4 - Clemente comprou um aparelho de som em 5 parcelas a taxa de 1,5% ao mês. Considerando-
se o valor a vista de R$ 131,00 qual o valor das parcelas, sendo que a primeira deverá ser a 
vista? 
R: R$ 26,99 
 
5 - Gilberto comprou um televisor por 10 pagamentos de R$ 30,00. Considerando-se uma taxa de 
juros de 3% a m e uma parcela no ato, qual seria o valor a vista do bem? 
R: R$ 263,58 
 
6 - Rudi comprou uma impressora por 12 pagamentos de R$ 100,00. Considerando-se que o valor 
a vista é de R$ 900,00, e uma taxa de juros de 7%, qual o valor residual? 
R: R$ 238,13 (neste caso, será pago a última parcela mais o residual ao mesmo tempo) 
 
7 - Paulo comprou um carro de R$ 12.000,00 com 30% de entrada e o restante em 10 
pagamentos mensais a taxa de 20% ao ano. Qual o valor da parcela? 
R: R$ 912,34 
 
8 - Qual é a prestação de um empréstimo de R$ 5.000,00 a ser amortizado em 12 parcelas 
mensais, sendo a primeira dada como entrada, a uma taxa de 5,8% ao mês. 
R: R$ 557,53 
 
9 - Qual o valor que poderei tomar emprestado, se posso pagar mensalmente sem entrada, uma 
prestação de R$ 600,00 durante 4 meses, sabendo-se que a taxa de juros é de 5% ao mês? 
R: R$ 2.127,57 
 
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25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2ª PARTE - PROGRAMA 
AVANÇADO 
 
 
 
 
 
 
 
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26 
1 – SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO 
 
Como vimos no módulo básico, uma dívida assumida pode ser quitada através de prestações (PMT) pagas durante 
um determinado período n, capitalizadas por um taxa de juros i. Como exemplo, uma dívida de R$ 1.000,00 com juros 
de 2,923% a.m. pode ser paga em 12 parcelas de R$ 100,00. Mas como a HP 12C facilita muito nosso trabalho, 
muitas vezes não nos damos conta de como e quando os juros são cobrado nesta transação. 
 
No exemplo acima, serão pagos 12 parcelas de R$ 100,00. Isso dá um total de R$ 1.200,00 de valor pago pela 
dívida, mas, fragmentando-se esse valor, será pago R$ 1.000,00 pelo valor principal mais R$ 200,00 de juros. O 
truque está em saber que os juros não serão pagos de uma vez apenas, mas, serão diluídos dentro de cada 
prestação. Ou seja, dentro de cada R$ 100,00 existem 2 partes: os juros e uma parcela. Esta parcela amortiza o 
principal, daí o nome desse sistema, que vai abatendo a parcela do principal até que a dívida seja extinta, ser 
chamado de Amortização. 
 
Dentre os tipos de amortização, veremos 4: Sistema Francês de Amortização (Sistema Price), Sistema de 
Amortização Constante, Sistema de Amortização Misto e Sistema Americano de Amortização. A diferença entre os 4 
sistemas está no cálculo da parcela de amortização, variando de sistema para sistema. Como os juros são sempre 
calculados sobre o saldo devedor, seu critério de cálculo será sempre igual. 
 
1.1 – Sistema Francês de Amortização – Sistema Price 
 
O Sistema Price é o mais utilizado atualmente. É através dele que é calculado o exemplo acima. Além de ser de mais 
fácil entendimento, é também o de mais simples controle, visto que as prestações são sempre iguais. Mas é também 
o sistema onde o devedor paga um valor maior de juros. Isso porque, apesar da prestação ser fixa, o valor mensal 
dos juros e das parcelas variam mensalmente. 
 
Conforme aprendemos o cálculo desta tabela é feito rapidamente pela HP 12C. Neste sistema, o valor da prestação é 
fixo. Mas apesar de não vermos a fórmula, o valor da parcela e dos juros não são fixos. Veja na tabela como 
funcionam: 
 
Mês Juros Amortização Prestação Saldo Devedor 
- 1.000,00 
1 29,23 70,77 100,00 929,23 
2 27,16 72,84 100,00 856,39 
3 25,03 74,97 100,00 781,42 
4 22,84 77,16 100,00 704,26 
5 20,58 79,42 100,00 624,84 
6 18,26 81,74 100,00 543,11 
7 15,87 84,13 100,00 458,98 
8 13,42 86,58 100,00 372,40 
9 10,88 89,12 100,00 283,28 
10 8,28 91,72 100,00 191,56 
11 5,60 94,40 100,00 97,16 
12 2,84 97,16 100,00 0,00 
Total 200,00 1.000,00 1.200,00 
 
Como pode ser observada, a primeira parte da prestação são os juros calculados sobre o saldo devedor, a segunda 
parte é a parcela que paga o principal. Como o saldo devedor vai diminuindo ao longo do tempo, os juros também 
vão diminuindo, sendo que ocorre o oposto com a parcela relativa ao principal, visto que a prestação permanece fixa. 
Ao final do período, a dívida é finalizada. 
 
 
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27 
Para se chegar a esta tabela, vamos ao cálculo: No final do mês 1, aplica-se a taxa de juros (2,923%) sobre o saldo 
devedor, que no caso é R$ 1.000,00. Isso vai gerar em juros de R$ 29,23. Como a prestação é de R$ 100,00, a 
diferença entre prestação e juros R$ 100,00 – R$ 29,23 = R$ 70,77 será a parcela que irá amortizar o principal. Com 
isso, o saldo devedor para o mês 2 será de R$ 1.000,00 – R$ 70,77 = R$ 929,23. No final do mês 2, os juros (de 
2,923%) serão calculados sobre o novo saldo devedor de R$ 929,23, gerando um valor de juros de R$ 27,16. A 
parcela a ser amortizada é o valor da prestação menos os juros, ou seja, R$ 100,00 – R$ 27,16 = R$ 72,84. Com 
isso, o saldo devedor para o mês seguinte será de R$ 856,39, e assim sucessivamente. 
 
Pode-se reparar neste modelo, até o mês 6, de um total de R$ 600,00 já pagos, R$ 143,11 foram relativos a juros e 
R$ 456,89 foram relativos ao principal. Ou seja, na metade do período, mais da metade dos juros devido já foi paga 
enquanto menos da metade do principal foi amortizado. Isso acontece porque o saldo devedor demora a cair. Vamos 
tentar fazer a conta na mão: 
 
Mês Juros Amortização Prestação Saldo Devedor 
- 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
12 
Total 
 
Agora vamos usar a HP 12C para montar a tabela. Primeiro temos que incluir os dados na calculadora. 
 
Tecle Visor OBS 
f CLx 0,00 Limpa os registradores 
g END 0,00 Cálculo antecipado 
1000 CHS PV 1000,00 Valor Presente 
2,923 i 2,923,00 Taxa de juros 
12 n 12,00 Período equivalente 
PMT 100,00 Prestação 
 
Com os dados lançados, agora vamos passar a utilizar as teclas f Amort e x<>y e RCL PV. Estas teclas servirão 
para nos ajudar a montar a tabela dada acima. 
 
Tecle Visor OBS 
1 f AMORT 29,23 Valor dos juros no 1º mês 
x<>y 70,77 Valor da amortização no 1º mês 
RCL PV 929,23 Saldo devedor ao final do 1º mês 
1 f AMORT 27,16 Valor dos juros no 2º mês 
x<>y 72,84 Valor da amortização no 2º mês 
RCL PV 856,39 Saldo devedor ao final do 2º mês 
 
 
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Como podemos observar, a cada vez que colocamos 1 f AMORT, a HP 12C nos fornece as informações do período 
seguinte. Vamos tentar montar agora utilizando a calculadora. 
 
Mês Juros Amortização Prestação Saldo Devedor 
- 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
12 
Total 
 
Mas e se quisermos saber quanto ainda teremos que pagar depois de pagar a 7ª parcela, por exemplo? Vamos 
seguir a mesma linha de raciocínio. Vamos lançar os dados da operação e depois seguir o mesmo procedimento. 
 
Tecle Visor OBS 
7 f AMORT 158,99 Valor dos juros entre o 1º e o 7º mês 
x<>y 541,01 Valor da amortização ocorrida entre o 1º e o 7º mês 
RCL PV 458,99 Saldo devedor ao final do 7º mês 
1 f AMORT 13,42 Valor dos juros no 8º mês 
x<>y 86,58 Valor da amortização no 8º mês 
RCL PV 372,41 Saldo devedor ao final do 8º mês 
 
Ou seja, o número de amortizações que você colocar será o número de períodos para frente que a calculadora irá 
calcular. 
 
 
 
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29 
1.2 – Sistema de Amortização Constante - SAC 
 
Neste sistema, a parcela relativa à amortização será fixa. Ela será achada dividindo-se o valor do principal pelo 
número de parcelas: 
 
Amort = PV 
 n 
 
É muito comum confundir o SAC com prestações fixas. Lembre-se que uma prestação, ou parcela, é constituído de 
amortização e juros. Neste caso, a amortização é constante, mas os juros e consequentemente a parcela não são. 
Isso porque a amortização vai diminuir o principal mais rapidamente, como veremos a seguir na tabela: 
 
Mês Juros Amortização Prestação Saldo Devedor 
- 1.000,00 
1 29,23 83,33 112,56 916,67 
2 26,79 83,33 110,12 833,34 
3 24,36 83,33 107,69 750,01 
4 21,92 83,33 105,25 666,68 
5 19,49 83,33 102,82 583,35 
6 17,05 83,33 100,38 500,02 
7 14,62 83,33 97,95 416,69 
8 12,18 83,33 95,51 333,36 
9 9,74 83,33 93,07 250,03 
10 7,31 83,33 90,64 166,70 
11 4,87 83,33 88,20 83,37 
12 2,43 83,37 85,80 0,00 
Total 189,99 1.000,00 1.189,99 
 
Apesar de mais difícil de fazer, visto que tem que ter o apoio de uma planilha eletrônica ou papel, o devedor paga 
menos juros. Isso acontece porque o valor da parcela de amortização é fixa, diminuindo o saldo devedor mais 
rapidamente e gerando menos juros no final. Neste sistema, ao chegar ao meio do período o devedor já terá quitado 
metade da dívida. 
 
Para se chegar a esta tabela, vamos ao cálculo: No final do mês 1, aplica-se a taxa de juros (2,923%) sobre o saldo 
devedor, que no caso é R$ 1.000,00. Isso vai gerar em juros de R$ 29,23. Como a parcela de amortização é de 1/12 
do principal, que é igual a R$ 83,33, a prestação do mês um será a soma de juros mais parcela  R$ 83,33 + R$ 
29,23 = R$ 112,56. Como a parcela amortiza o principal, o saldo devedor do mês seguinte será de R$ 916,67, onde 
será incidida a taxa de juros para o mês 2. 
 
 
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1.3 – Sistema de Amortização Misto 
 
O Sistema Misto é bastante simples, mas é necessário o conhecimento dos dois sistemas anteriores. Neste sistema, 
o valor dos juros mensais e o valor das parcelas mensais é uma média aritmética entre o Sistema Francês de 
Amortização e o Sistema de Amortização Constante, conforme vemos na tabela a seguir: 
 
Mês Juros Amortização Prestação Saldo Devedor 
- 1.000,00 
1 29,23 77,05 106,28 922,95 
2 26,98 78,08 105,06 844,87 
3 24,70 79,15 103,84 765,72 
4 22,38 80,24 102,63 685,47 
5 20,04 81,37 101,41 604,10 
6 17,66 82,53 100,19 521,57 
7 15,25 83,73 98,97 437,84 
8 12,80 84,96 97,75 352,88 
9 10,31 86,22 96,54 266,66 
10 7,79 87,52 95,32 179,14 
11 5,24 88,87 94,10 90,27 
12 2,63 90,27 92,90 0,00 
Total 195,00 1.000,00 1.195,00 
 
No primeiro mês os juros nos dois sistemas são iguais, logo no misto será igual. Já parcela tem no Price o valor de 
R$ 70,77 e no Constante R$ 83,33. A média entre os dois é de R$ 77,05. Com isso a prestação será o somatório dos 
juros e da parcela, que será de R$ 106,28. No segundo mês, os juros no sistema price e constante são, 
respectivamente, R$ 27,16 e R$ 26,79, sendo sua média aritmética R$ R$ 26,98. Já as parcelas no sistema price é 
de R$ 72,84 e no sistema constante é de R$ 83,33, com média de R$ 78,08. Logo a prestação é de R$ 105,06, e 
assim sucessivamente. 
 
1.4 – Sistema de Amortização Americano 
 
Este sistema tem seu uso mais comum em títulos federais. Neste, não há amortização do principal nas prestações 
mensais, apenas no final do período. Só o pagamento de juros. Como não há amortização, não há mudança do saldo 
devedor e com isso os juros são sempre iguais, como se fosse um juros simples. Confira tabela a seguir: 
 
Mês Juros Amortização Prestação Saldo Devedor 
- 1.000,00 
1 29,23 0,00 29,23 1.000,00 
2 29,23 0,00 29,23 1.000,00 
3 29,23 0,00 29,23 1.000,00 
4 29,23 0,00 29,23 1.000,00 
5 29,23 0,00 29,23 1.000,00 
6 29,23 0,00 29,23 1.000,00 
7 29,23 0,00 29,23 1.000,00 
8 29,23 0,00 29,23 1.000,00 
9 29,23 0,00 29,23 1.000,00 
10 29,23 0,00 29,23 1.000,00 
11 29,23 0,00 29,23 1.000,00 
12 29,23 1.000,00 1.029,23 0,00 
Total 350,76 1.000,00 1.350,76 
 
 
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31 
2 – TAXA DE JUROS 
 
2.1 – Taxa Nominal x Taxa Efetiva 
 
Atualmente há no Brasil uma lei que diz que em todos os anúncios de produtos financiados é necessário se expor a 
taxa mensal e a taxa anual. Mas existem duas formas da taxa anual ser exposta: Da forma nominal e da forma 
efetiva. 
 
Ambas são apresentadas na mesma forma de tempo; o que varia é a forma de capitalização. Enquanto uma é 
capitalizada usando taxa equivalente de juros simples, a outra usa equivalência de juros compostos. Descrevemos a 
taxa nominal como uma simples apresentação, visto que ela não paga ou cobra o que anuncia. Já taxa efetiva é 
aquilo que efetivamente se paga ou recebe. Usualmente, é apresentado em taxas anuais com capitalizações 
inferiores à um ano. 
 
Para transformar uma taxa nominal em taxa efetiva, deve-se descapitalizar a taxa apresentada por equivalência de 
juros simples, achando uma taxa mensal efetiva e depois capitalizar por equivalência de juros compostos, achando a 
taxa efetiva anual. 
 
Exemplo 1: 
Em um financiamento de 1 ano que prevê uma taxa nominal de 48% a.a. com capitalização mensal, qual a taxa 
mensal e qual a taxa efetiva ao ano? 
 
Nesta primeira etapa, o que simplesmente devemos fazer é achar a taxa equivalente de juros simples, de ano para 
mês. Lembrando a fórmula: 
 
iA = nA onde: iA = taxa de juros que queremos 
iB nB iB = taxa de juros que temos 
 nA = período que queremos (estar no mesmo tempo que o B) 
 nB =período que temos 
 
Então: 
 IQ = 1 mês logo  iA = 48% / 12  iA = 4,00%a.m. 
48 1 ano = 12 meses 
 
Ou seja, uma taxa nominal de 48% a.a. corresponde a uma taxa mensal efetiva de 4% a.m. 
 
Na segunda etapa, vamos achar novamente a taxa ao ano, mas desta vez a taxa efetiva. Para isso vamos usar a 
fórmula de taxa equivalente de juros compostos, como lembrado: 
 
 nA / nB 
iA = {(1 + iB) - 1} x 100 Deve-se lembrar que as taxas, neste caso, devem ser em 
casas decimais, e não percentual. Ex: 5% = 0,05 
 
Onde: 
iA = taxa de juros que queremos, em decimal 
iB = taxa de juros que temos, em decimal 
nA = período que queremos (estar na mesma tempo que o B)nB =período que temos 
 
Então: 
 iA = ??%a.a. nA = 1 ano = 12 meses 
iB = 4%a.m. nB = 1 mês 
 
 
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32 
Logo: 12 / 1 
iA = {(1 + 0,04) - 1} x 100 
Na HP 12C 
Tecle Visor OBS 
1 enter 1,00 
0,04 + 1,04 IT 
12 enter 12,00 Período equivalente 
1 ÷ 12,00 Período total 
y
x
 1,60 
1 - 0,60 Taxa em decimal 
100 x 60,10 Taxa em percentual 
Ou seja, uma taxa nominal de 48%aa em 12 meses é igual a uma taxa efetiva de 60,10%aa. 
 
 
Exemplo 2: 
Um anúncio diz que um carro sai por R$ 20.000,00 à vista ou em 12 parcelas mensais de R$ 1.833,60, com taxa 
nominal de 18% a.a. Perguntas: o anúncio diz a verdade? Se sim, qual a taxa efetiva? 
 
Bom, vamos seguir as etapas observadas no exemplo 1. Em primeiro lugar, vamos achar a taxa efetiva mensal para 
se fazer o cálculo financeiro, usando equivalência de juros simples. 
 
Então: 
 iA = 1 mês logo  iA = 18% / 12  iA = 1,50%a.m 
18% 1 ano = 12 meses 
 
Agora faremos a conta financeira, utilizando as teclas de atalho. 
Tecle Visor OBS 
F CLx 0,00 Limpa registradores 
20000 CHS PV 20.000,00 Valor Presente 
1,5 i 1,50 taxa de juros mensal 
12 n 12,00 Períodos de capitalização 
PMT 1.833,60 Pagamentos mensais 
Então podemos dizer que o comerciante está anunciando corretamente. 
 
Na segunda etapa, para calcular a taxa efetiva, vamos utilizar a equivalência de juros compostos. 
 
Então: 
 iA = ??% a.a. nA = 1 ano = 12 meses 
iB = 1,5% a.m. nB = 1 mês 
 
Logo: 12 / 1 
iA = {(1 + 0,015) - 1} x 100 
Na HP 12C 
Tecle Visor OBS 
1 enter 1,00 
0,015 + 1,02 iB 
12 enter 12,00 Período equivalente 
1 ÷ 12,00 Período total 
y
x
 1,20 
1 - 0,20 Taxa em decimal 
100 x 19,56 Taxa em percentual 
Ou seja, a taxa efetiva do financiamento é de 19,56% a.a. 
 
 
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33 
Exemplo 3: 
Um banco lhe propõe uma aplicação em um CDB. Aplicando R$ 2.000,00, você poderá sacar o dinheiro no prazo de 
1 ano e terá capitalização mensal a uma taxa nominal de 15% a.a. Qual a taxa efetiva? De quanto será o seu saque 
ao final de 12 meses? (Fazendo agora um pouco mais rápido:) 
 
1ª Etapa 
iA = nA  iA = 1 mês logo  iA = 15% / 12  iA = 1,25%a.m 
iB nB 15% 12 meses 
 
Na HP12C 
Tecle Visor OBS 
F CLx 0,00 Limpa registradores 
2000 CHS PV 2.000,00 Valor Presente 
1,25 i 1,25 taxa de juros mensal 
12 n 12,00 Períodos de capitalização 
FV 2.321,51 Valor futuro 
Você irá receber o valor de R$ 2.321,51. 
 
2ª Etapa 
 12 / 1 
iA = {(1 + 0,0125) - 1} x 100 
 
Na HP 12C 
Tecle Visor OBS 
1 enter 1,00 
0,15 + 1,01 iB 
12 enter 12,00 Período equivalente 
1 ÷ 12,00 Período total 
y
x
 1,16 
1 - 0,16 Taxa em decimal 
100 x 16,08 Taxa em percentual 
Ou seja, a taxa efetiva do financiamento é de 16,08% a.a. 
 
Como não existem movimentações mensais, vamos comprovar a taxa efetiva, usando as teclas da HP12C: 
VP = 2.000,00 
Montante = 2.321,51 
 
Tecle Visor OBS 
2000 enter 2.000,00 Coloca o valor base 
2.321,51 % 16,08 Percentual relativo à variação (taxa efetiva) 
Taxa efetiva do financiamento é de 16,08% a.a. 
 
 
 
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34 
2.2 – Taxa Desconto x Taxa Efetiva 
 
Simplificando, a primeira transforma o valor futuro em valor presente, enquanto a segunda transforma valor presente 
em valor futuro. Vamos ao exemplo. 
 
Exemplo 1: 
Um banco lhe promete um Título de CDB prefixado, no valor de R$ 1.000,00, com taxa de desconto de 20%. Qual a 
taxa efetiva de retorno na operação? (independente do período aplicado) 
 
 
Valor Futuro = 1000,00 
Taxa de desconto = 20% 
 
Valor a ser pago ao banco por este título: 
Tecle Visor OBS 
1000 enter 1.000,00 Coloca o valor base 
20,00 % 200,00 Valor relativo ao desconto 
- 800,00 Valor já descontado 
Ou seja, você irá pagar por este título R$ 800,00. 
 
Agora é só fazer a conta inversa. Você irá pagar R$ 800,00 por um título e irá receber em um prazo determinado R$ 
1.000,00. Qual é a taxa efetiva de retorno desta operação? 
Tecle Visor OBS 
800 enter 800,00 Coloca o valor base 
1.000 % 25,00 Taxa efetiva de retorno 
 
Ou seja, pagando R$800,00 e recebendo R$ 1.000,00, sua rentabilidade será de 25%. 
 
2.3 – Taxa de Juros Reais 
 
Apesar da baixa inflação que existe no Brasil, sempre buscamos aplicações que rendam mais que a mesma. Ou uma 
reposição salarial igual ou superior à inflação. A esta diferença entre taxa de inflação e taxa efetiva, conhecida 
também como taxa aparente, se dá o nome de taxa real. Apesar de ser dita diferença, não é se subtraindo uma pela 
outra que achamos a taxa real. Vejamos o exemplo: 
 
Exemplo 1: 
Uma aplicação feita de R$ 100,00 agora vale R$ 120,00. Ou seja, conforme cálculo abaixo, obteve-se uma taxa 
efetiva de 20%. Mas no mesmo período, a inflação acumulada foi de 12%. Qual a taxa real? 
Tecle Visor OBS 
100 enter 100,00 Coloca o valor base 
120 % 20,00 Taxa efetiva de retorno 
 
Para facilitar a compreensão, vamos imaginar que este valor tivesse sido aplicado em um título que pagasse o 
mesmo que a inflação. 
Tecle Visor OBS 
100 enter 100,00 Coloca o valor base 
12 % 12,00 Valor relativo ao desconto 
+ 112,00 Valor com inflação 
 
Agora vamos diminuir o valor efetivo obtido menos o valor obtido pela inflação 
Tecle Visor OBS 
120 enter 120,00 Coloca o valor base 
112 - 8,00 Valor do juros real 
 
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35 
 
Assim, o valor dos juros real é de R$ 8,00. Para se descobrir qual a taxa de juros real, não se pode dividir os R$8,00 
pelo valor de R$ 100,00, mas sim pelos R$ 112,00, que é o valor inicial mais inflação. Logo: 
Tecle Visor OBS 
112 enter 112,00 Coloca o valor base 
8 T% 7,14 Taxa de juros real 
Logo, a taxa de juros real é de 7,14% 
 
Para facilitar, podemos usar a seguinte fórmula, lembrando que tem-se que estar em valores decimais: 
 
1 – % efetivo = [ { (1 + inflação) x (1 + real) } – 1 ] x 100 
2 – % real = { (1 + efetivo) – 1 } x 100 
 (1+ inflação) 
 
Então, usando o exemplo anterior: 
 
% real = { (1 + 20%) – 1 } x 100  { (1 + 0,20) – 1 } x 100 
 (1+ 12%) (1+ 0,12) 
 
% real = { (1,20) – 1 } x 100  { (1,07) – 1 } x 100 
 (1,12) 
 
% real = { 0,07 } x 100  7,14% 
 
Na HP 12C 
Tecle Visor OBS 
1 enter 1,00 
20 % + 1,20 taxa efetiva em decimal 
1 enter 1,00 
12 % + 1,12 taxa inflação em decimal 
÷ (os valores já estão nos registradores) 1,07 Taxa real em decimal 
1 - 0,07 Taxa real em decimal 
100 x 7,14 Taxa real em percentual 
 
 
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36 
3 – PERPETUIDADE 
 
Vamos imaginar que você possua R$ 150.000,00 e que esteja diante de duas oportunidades de investimento. Na 
primeira, você compra um imóvel neste valor com locação garantida no valor de R$ 950,00. Na segunda você aplica 
este dinheiro na poupança e tem um retorno médio mensal de 0,60% a.m., sendo que todo o rendimento será sacado 
para utilizações diversas. Qual a melhor aplicação? 
 
Para facilitar a resposta, vamos analisar as características dos dois investimentose ver as semelhanças: 
1 – Os valores mensais não são reinvestidos; 
2 – Em ambos, não há valorização do principal; 
3 – Não há previsão de uso do valor principal. 
 
Com estas premissas atendidas, podemos dizer que os eventos acima correspondem a uma PERPETUIDADE. 
 
O cálculo da mesma é bem simples. 
 
i% = PMT x 100 
 PV 
 
Logo nos exemplos acima: 
 
i% = 950 x 100 => i = 0,63% 
 150.000 
 
Como na poupança a taxa de rendimento é de 0,60%, logo valeria a pena comprar o imóvel para o aluguel. Ou 
podemos chegar a esta mesma conclusão achando quanto seria o rendimento mensal da aplicação da poupança. 
 
0,60% = PMT x 100 => PMT = 900,00 
 150.000 
 
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37 
4 – AVALIAÇÃO DE INVESTIMENTO 
 
4.1 – Análise de um Investimento 
 
Diariamente nos deparamos com diversas oportunidades de investimento, seja na compra de algum produto, seja em 
aplicações, ou ainda, em algum novo negócio. Mas antes de aproveitarmos estas oportunidades, é necessário avaliar 
se as mesmas são realmente verdadeiras ou se escondem armadilhas. 
 
Antes de tudo, para se analisar um investimento, é necessário a montagem de um fluxo de caixa. Relembrando, um 
fluxo de caixa trata do conjunto de entradas e saídas de valores de uma pessoa (física ou jurídica) ao longo do 
tempo. As entradas corresponderão aos recebimentos enquanto as saídas corresponderão aos pagamentos ou 
reembolsos. 
 
Em situações mais usuais, como produtos de lojas e financiamentos, estes investimentos tem fluxo de pagamentos 
uniformes, podendo ser analisados com o que foi aprendido até o momento. Mas existem situações onde os fluxos 
não são uniformes, assim como as taxas de juros em cada período. Para estes fluxos, vamos focar em 2 processos 
de análises para determinar a qualidade de um investimento. 
 
4.2 – Taxa Interna de Retorno – TIR (IRR) 
 
Como vimos na descrição de utilização do conceito de Fluxo de Caixa para cálculo das variáveis financeiras, a 
mesma pode ser de 3 tipos: sem prestações intermediárias, com prestações intermediárias uniformes e com 
prestações intermediárias diferenciadas. Anteriormente, com uma série uniforme de pagamentos, faríamos os 
seguintes cálculos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PV = 1.000,00 PMT = 150,00 FV = 0 n = 8 Total pago = R$ 1.200,00 
E acharíamos i = 4,24% a.m. 
 
Exemplo 1 
Mas, e quando tivermos o seguinte de fluxo de caixa? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PV = 1.000,00 PMT = diversos FV = 0 n = 8 Total pago = R$ 1.200,00 
Qual a taxa de juros da operação = ??? a.m. 
1.000,00 
150,00 150,00 150,00 150,00 150,00 150,00 150,00 150,00 
0 2 3 4 5 6 1 7 8 
1.000,00 
50,00 50,00 
150,00 150,00 
250,00 
150,00 150,00 
250,00 
0 2 3 4 5 6 1 7 8 
 
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38 
Uma mudança importante neste novo formato é relativa à taxa de juros. As prestações podem ser diferentes porque, 
ou os fluxos de caixa são diferentes, ou então. porque a taxa de juros muda mês a mês. Para esta forma de cálculo, 
vamos gerar uma taxa média que reflita todos os meses. A essa taxa damos o nome de TIR – Taxa Interna de 
Retorno (IRR – Interest Return Rate, em inglês). Assim, mesmo com os fluxos diferentes, saberemos qual a taxa 
media de aplicação do fluxo. Mas é importante que os fluxos estejam na mesma medida de tempo 
 
Para calcular o exemplo acima, precisamos antes de tudo fragmentar o fluxo de caixa, na ordem em que o mesmo 
aparece. Com isso, temos: 
Mês 0  PV = 1.000,00 
Mês 1  PMT = R$ 150,00 
Mês 2  PMT = R$ 150,00 
Mês 3  PMT = R$ 250,00 
Mês 4  PMT = R$ 150,00 
Mês 5  PMT = R$ 150,00 
Mês 6  PMT = R$ 50,00 
Mês 7  PMT = R$ 50,00 
Mês 8  PMT = R$ 250,00 
 
Podemos então resumir da seguinte forma: 
Fluxo 0  PV = 1.000,00 
Fluxo 1  PMT = R$ 150,00  n=2 
Fluxo 2  PMT = R$ 250,00  n=1 
Fluxo 3  PMT = R$ 150,00  n=2 
Fluxo 4  PMT = R$ 50,00  n=2 
Fluxo 5  PMT = R$ 250,00  n=1 
 
Neste resumo podemos observar que, para o cálculo via HP, podemos incluir os valores mês a mês, ou, para facilitar, 
incluir os fluxos e durante quantos períodos eles ocorrem. Para tanto algumas teclas novas serão aprendidas: 
CFo – (g PV) – Fluxo na data 0 = PV (não esquecendo que PV é negativo - CHS) 
CFj – (g PMT) – Fluxo nas datas posteriores 
Nj – (g FV) – número de vezes que cada fluxo acontece 
IRR – (f FV) – taxa interna de retorno 
NPV – (f PV) – cálculo do valor presente líquido 
 
Cálculo dos juros 
O que faremos a seguir é informar à HP 12C o fluxo de caixa da operação, lembrando que o fluxo na data zero é igual 
PV que deve ter sinal trocado. Com o fluxo na memória da máquina, após nosso comando ela irá calcular a taxa 
interna (média) de retorno (IRR), nos dando o resultado já em percentual ao mês. 
Tecle Visor OBS 
f CLx 0,00 Limpa registradores 
1000 CHS g CFo -1.000,00 Coloca o fluxo na data zero 
150 g CFj 150,00 Coloca o valor do fluxo 1 
2 g Nj 2,00 Insere a quant
ade
 de parcelas no fluxo 1 
250 g CFj 250,00 Coloca o valor do fluxo 2 
1 g Nj 1,00 Insere a quant
ade
 de parcelas no fluxo 2 
150 g CFj 150,00 Coloca o valor do fluxo 3 
2 g Nj 2,00 Insere a quant
ade
 de parcelas no fluxo 3 
50 g CFj 50,00 Coloca o valor do fluxo 4 
2 g Nj 2,00 Insere a quant
ade
 de parcelas no fluxo 4 
250 g CFj 250,00 Coloca o valor do fluxo 5 
1 g Nj 1,00 Insere a quant
ade
 de parcelas no fluxo 5 
f IRR 4,42% Taxa média de juros mensal 
A resposta apresentada significa que investindo em um determinado negócio R$ 1.000,00 e recebendo um 
determinado fluxo pré-estabelecido, na média obterei uma rentabilidade de 4,42% a.m. 
 
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39 
 
Exemplo 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Transformando em números: 
Mês 0  PV = 1.000,00 
Mês 1  PMT = R$ 350,00 
Mês 2  PMT = R$ 0,00 
Mês 3  PMT = R$ 0,00 
Mês 4  PMT = R$ 0,00 
Mês 5  PMT = R$ 450,00 
Mês 6  PMT = R$ 150,00 
Mês 7  PMT = R$ 150,00 
Mês 8  PMT = R$ 450,00 
 
Podemos então resumir da seguinte forma: 
Fluxo 0  PV = 1.000,00 
Fluxo 1  PMT = R$ 350,00  n=1 
Fluxo 2  PMT = R$ 0,00  n=3 
Fluxo 3  PMT = R$ 450,00  n=1 
Fluxo 4  PMT = R$ 150,00  n=2 
Fluxo 5  PMT = R$ 450,00  n=1 
 
Na HP12C 
Tecle Visor OBS 
f CLx 0,00 Limpa registradores 
1000 CHS g CFo -1.000,00 Coloca o fluxo na data zero 
350 g CFj 350,00 Coloca o valor do fluxo 1 
0 g CFj 0,00 Coloca o valor do fluxo 2 
3 g Nj 3,00 Insere a quant
ade
 de parcelas no fluxo 2 
450 g CFj 450,00 Coloca o valor do fluxo 3 
150 g CFj 150,00 Coloca o valor do fluxo 4 
2 g Nj 2,00 Insere a quant
ade
 de parcelas no fluxo 4 
450 g CFj 450,00 Coloca o valor do fluxo 5 
f IRR 9,25% Taxa média de juros mensal 
Neste caso, mesmo nos meses onde não havia fluxo, este era considerado como fluxo zero, respeitando assim o 
prazo de tempo entre os períodos. Com isso, um investimento igual ao do Exemplo 1, de R$ 1.000,00 teria obtido 
uma rentabilidade média de 9,25% a.m. 
 
Como definição, a TIR é a taxa que torna o Valor Presente Líquido igual a zero, como verificado no próximo capítulo. 
 
1.000,00 
150,00 150,00 
450,00 
350,00 
450,00 
0 2 3 4 5 6 1 7 8 
 
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40 
4.2.1 – Custo de Oportunidade 
O custo de oportunidade, ou custo K, na verdade éum taxa que representa o retorno mínimo que um investidor exige 
para entrar em um negócio. Por exemplo, você entraria em um negócio que rendesse menos que a poupança? É 
claro que não, pois obteria um retorno médio menor que o da poupança, mas com mais risco. 
 
Imaginando que a poupança ofereça um custo de oportunidade de 5% a.m., claramente o Exemplo 1 não seria um 
negócio interessante, porque ele está abaixo do custo de oportunidade. Já o exemplo 2 seria uma boa oportunidade, 
pois o retorno do mesmo está bem acima do custo de oportunidade. 
 
O custo de oportunidade é normalmente calculado somando uma taxa de ativo livre de risco mais um prêmio de risco. 
O entendimento de custo de oportunidade é importante para o entendimento do Valor Presente Líquido. 
 
4.3 – Valor Presente Líquido – VPL (NPV) 
 
Vamos ver novamente o Exemplo 1 do item anterior, mas desta vez sem valor inicial: 
 
Mês 0  PV = 0,00 
Mês 1  PMT = R$ 150,00 
Mês 2  PMT = R$ 150,00 
Mês 3  PMT = R$ 250,00 
Mês 4  PMT = R$ 150,00 
Mês 5  PMT = R$ 150,00 
Mês 6  PMT = R$ 50,00 
Mês 7  PMT = R$ 50,00 
Mês 8  PMT = R$ 250,00 
 
 Podemos então resumir para a seguinte forma: 
Fluxo 1  PMT = R$ 150,00  n=2 
Fluxo 2  PMT = R$ 250,00  n=1 
Fluxo 3  PMT = R$ 150,00  n=2 
Fluxo 4  PMT = R$ 50,00  n=2 
Fluxo 5  PMT = R$ 250,00  n=1 
 
A diferença do fluxo anterior, é que neste vc não sabe qual é o valor presente. Para achar o valor presente, teremos 
que informar qual a taxa de juros mensal média. Como no exemplo, usemos a taxa de 4,42% a.m. 
 
HP 12C 
Tecle Visor OBS 
f CLx 0,00 Limpa registradores 
150 g CFj 150,00 Coloca o valor do fluxo 1 
2 g Nj 2,00 Insere a quant
ade
 de parcelas no fluxo 1 
250 g CFj 250,00 Coloca o valor do fluxo 2 
1 g Nj 1,00 Insere a quant
ade
 de parcelas no fluxo 2 
150 g CFj 150,00 Coloca o valor do fluxo 3 
2 g Nj 2,00 Insere a quant
ade
 de parcelas no fluxo 3 
50 g CFj 50,00 Coloca o valor do fluxo 4 
2 g Nj 2,00 Insere a quant
ade
 de parcelas no fluxo 4 
250 g CFj 250,00 Coloca o valor do fluxo 5 
1 g Nj 1,00 Insere a quant
ade
 de parcelas no fluxo 5 
4,42 i 4,42 Taxa média de juros mensal 
f NPV 1.000,19 Valor presente líquido do fluxo apresentado 
Logo, conforme demonstrado no Exercício 1 do item anterior, para o fluxo apresentado aplicando uma taxa média de 
4,42%, o Valor Presente Líquido será igual a R$ 1.000,00, visto que o meu fluxo inicial foi 0. 
 
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41 
 
Exemplo 1 
Agora vamos imaginar a seguinte situação, usando novamente o exemplo 1 do item anterior. Um outro negócio lhe 
promete o mesmo fluxo de caixa, sendo que a taxa de oportunidade de mercado também é de 4,42%, mas ao invés 
de você ter que investir R$ 1.000,00, você teria que investir R$ 800,00. Qual seria o VPL? 
 
O Fluxo teria a seguinte cara: 
Mês 0  PV = 800,00 
Mês 1  PMT = R$ 150,00 
Mês 2  PMT = R$ 150,00 
Mês 3  PMT = R$ 250,00 
Mês 4  PMT = R$ 150,00 
Mês 5  PMT = R$ 150,00 
Mês 6  PMT = R$ 50,00 
Mês 7  PMT = R$ 50,00 
Mês 8  PMT = R$ 250,00 
 
 Podemos então resumir para a seguinte forma: 
Fluxo 0  PV = 800,00 
Fluxo 1  PMT = R$ 150,00  n=2 
Fluxo 2  PMT = R$ 250,00  n=1 
Fluxo 3  PMT = R$ 150,00  n=2 
Fluxo 4  PMT = R$ 50,00  n=2 
Fluxo 5  PMT = R$ 250,00  n=1 
Na HP12C 
Tecle Visor OBS 
f CLx 0,00 Limpa registradores 
800 CHS g CFo -800,00 Coloca o fluxo na data zero 
150 g CFj 150,00 Coloca o valor do fluxo 1 
2 g Nj 2,00 Insere a quant
ade
 de parcelas no fluxo 1 
250 g CFj 250,00 Coloca o valor do fluxo 2 
1 g Nj 1,00 Insere a quant
ade
 de parcelas no fluxo 2 
150 g CFj 150,00 Coloca o valor do fluxo 3 
2 g Nj 2,00 Insere a quant
ade
 de parcelas no fluxo 3 
50 g CFj 50,00 Coloca o valor do fluxo 4 
2 g Nj 2,00 Insere a quant
ade
 de parcelas no fluxo 4 
250 g CFj 250,00 Coloca o valor do fluxo 5 
1 g Nj 1,00 Insere a quant
ade
 de parcelas no fluxo 5 
4,42 i 4,42 Taxa média de juros mensal 
f NPV 200,19 Valor presente líquido do fluxo apresentado 
Logo o VPL do investimento é de R$ 200,00, ou seja, ele é positivo, nos dizendo ser uma boa oportunidade. 
 
Analisando o que acabamos de calcular, vimos anteriormente que, para obtermos aquele fluxo com uma taxa de 
oportunidade de 4,42%, deveríamos investir o valor de R$ 1.000,00. Mas na prática, investimos R$ 800,00, o que nos 
dá um valor presente líquido positivo de R$ 200,00, que é a diferença entre os dois. 
 
Em outras palavras, o exercício já me fornece um Valor Presente, que seria o valor de investimento, e eu tenho uma 
taxa de custo de oportunidade. O que eu preciso avaliar é se: 
1 – o VPL do projeto é positivo, mostrando que a taxa de retorno é maior do que a taxa de oportunidade; 
2 – o VPL do projeto é neutro, mostrando que a taxa de retorno é igual à taxa de oportunidade; 
3 – o VPL do projeto é negativo, mostrando que a taxa de retorno é menor do que a taxa de oportunidade; 
 
Se a repostas for estiver entre as alternativas 1 ou 2, o projeto é viável, mas se a resposta for a alternativa 3, o 
projeto é inviável. 
 
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42 
 
Exemplo 2 
 
Foi-me apresentado a seguinte oportunidade de investimento abaixo. Considerando que eu tenha um custo de 
oportunidade de 15%a.a., eu devo ou não entrar no projeto? 
 
Mês 0  PV = 1.000,00 
Mês 1  PMT = R$ 350,00 
Mês 2  PMT = R$ 0,00 
Mês 3  PMT = R$ 0,00 
Mês 4  PMT = R$ 0,00 
Mês 5  PMT = R$ 450,00 
Mês 6  PMT = R$ 150,00 
Mês 7  PMT = R$ 150,00 
Mês 8  PMT = R$ 450,00 
 
Vamos resumir da seguinte forma e depois usar a HP12C: 
Fluxo 0  PV = 1.000,00 
Fluxo 1  PMT = R$ 350,00  n=1 
Fluxo 2  PMT = R$ 0,00  n=3 
Fluxo 3  PMT = R$ 450,00  n=1 
Fluxo 4  PMT = R$ 150,00  n=2 
Fluxo 5  PMT = R$ 450,00  n=1 
 
Tecle Visor OBS 
f CLx 0,00 Limpa registradores 
1000 CHS g CFo -1.000,00 Coloca o fluxo na data zero 
350 g CFj 350,00 Coloca o valor do fluxo 1 
0 g CFj 0,00 Coloca o valor do fluxo 2 
3 g Nj 3,00 Insere a quant
ade
 de parcelas no fluxo 2 
450 g CFj 450,00 Coloca o valor do fluxo 3 
150 g CFj 150,00 Coloca o valor do fluxo 4 
2 g Nj 2,00 Insere a quant
ade
 de parcelas no fluxo 4 
450 g CFj 450,00 Coloca o valor do fluxo 5 
15 i 15,00 Taxa média de juros mensal 
f NPV -203,58 Valor presente líquido do fluxo apresentado 
Como o VPL é negativo, significa que o retorno do investimento será abaixo do que o custo de oportunidade e , 
portanto, não é um investimento rentável (se lembrarmos do Exercício 2 do item anterior, veremos que o retorno seria 
de 9,25%). 
 
 
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43 
4.4 – Utilizando TIR e VPL 
 
É importante salientar que ambas as análises são importantes. Mas, se feitas separadamente, podem gerar 
distorções. Por isso, deve-se, sempre que possível, buscar efetuar as duas análises. 
 
Exemplo 1 
 
Considerando o custo de oportunidade de 10% a.a., ache qual o melhor projeto. 
 
Projeto A Projeto B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos primeiro calcular a TIR de ambos os projetos. 
 
Projeto A Projeto B 
Tecle Visor Tecle Visor 
f CLx 0,00 f CLx 0,00 
1000 CHS g CFo -1.000,00 1000 CHS g CFo -1.000,00 
600 g CFj 600,00 400 g CFj 400,00 
420 g CFj 420,00 460 g CFj 460,00 
360 g CFj 360,00 600 g CFj 600,00 
f IRR 20,00 f IRR 20,00 
 
Apesar de fluxos diferentes, ambos tem a mesma Taxa Interna de Retorno, de 20% a.a. Então, pela TIR a escolha