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UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA
DISCIPLINA: TRANSPORTES
PROFESSOR: ALBERTO DE ARAUJO DAFICO
 Estudo da Espiral de Transição
 ______________________________
 em Curvas de Concordância Horizontal
 ____________________________________
A curva de transição mais comumente usada entre nós é a 
Clotóide ou Espiral de Cornu. Costuma-se também chamá-la de 
Espiral de Van Leber, por ter sido este engenheiro holandês o 
primeiro a empregá-la.
A equação expontânea desta curva é da seguinte forma:
 
r = C / l r - raio de curvatura
C - constante
l - comprimento de transição
isto é, uma curva tal que o raio de curvatura é inversamente 
proporcional ao comprimento da curva.
 Uma curva dotada de transição em espiral tem a forma da 
figura 01, onde TS é o ponto de tangência da espiral, SC o 
ponto de passagem da espiral para a curva circular ( ponto 
osculador ), CS o ponto de passagem da curva circular para o 
segundo ramo da espiral ( ponto osculador ) e ST o ponto de 
tangência do segundo ramo da espiral. Os dois ramos de espiral 
devem ser simétricos, porque o tráfego deve fazer-se nos dois 
sentidos, nas mesmas condições.
A) Tipos Clássicos de Transição:
 Quando se adota curva de transição, pode-se empregar os 3 
seguintes tipos de transição: a raio conservado, a centro 
conservado e a raio e centro conservado.
a) no primeiro caso ( raio conservado ), a curva circular 
de base mantém o seu raio e então é deslocada para permitir a 
introdução dos 2 ramos de transição ( fig. 44-a ). Este é o 
tipo de transição mais utilizado, pois não altera o raio pré-
1 / 10
estabelecido e nem a posição das tangentes. Será este o tipo 
de transição considerado neste estudo.
b) no segundo caso ( centro conservado ), mantém-se o 
centro e reduz-se o raio da curva de um certo valor , de 
modo a permitir a intercalação das curvas de transição ( fig. 
44-b ).
c) no terceiro caso ( raio e centro conservado ) mantém-
se o raio e a posição da curva circular, deslocam-se as 2 
tangentes contíguas paralelamente a si mesmas e intercalam-se 
os 2 ramos de transição ( fig. 44-c ).
B) Comprimento da Curva de Transição em Função do Incremento 
 de Aceleração Complementar:
 Num ponto M qualquer da curva de transição ( fig. 46 ), 
um veículo percorrendo esta curva com movimento uniforme está 
sujeito a uma aceleração centrípeta 
 2
 j = v / r
 A aceleração centrípeta j no ponto TS é nula ( j = 0 ), 
e no ponto SC é
 2
 jc = v / R , sendo R o raio comum à curva 
 circular e à espiral ( ponto 
 osculador ).
Para que não haja mudança brusca na aceleração, o que é 
perceptível ao movimento do veículo, produzindo choques em 
virtude da inércia, é necessário que a passagem da aceleração 
centrípeta de zero, no ponto TS, para jc no SC, se faça num 
tempo t , que não deve ser muito curto, para não produzir 
desconforto.
 Dividindo j por t , teremos a aceleração ( j2 ) na 
unidade de tempo, que se denomina "aceleração da aceleração 
centrípeta", também chamado "incremento da aceleração 
centrípeta". Temos então:
 2
 1 v
j2 = jc / t = ---.--- (1)
 t R
Para calcular ( t ) em função do comprimento ( lc ) da 
transição e da velocidade diretriz em m/s, basta exprimirmos 
algebricamente que os espaços percorridos em um movimento 
uniforme são proporcionais aos tempos de duração. Portanto 
2 / 10
teremos:
v.t = lc t = lc / v (2)
substituindo (2) em (1):
 3 3
 v v
j2 = ----- lc = -----
 R.lc j2.R
 transformando v (m/s) para V (Km/h), temos:
 3
 1 V
lc = ------- . --- (3)
 3 R
 3,6 .j2
a equação (3) nos dá o comprimento da curva de transição em 
função da velocidade diretriz ( V ) e da aceleração da 
aceleração centrípeta ( j2 ).
 Entre nós ( DNER e DERs Estaduais ) tem-se adotado j2 = 
0,6 o que dará:
 3
 V
lc = 0,036 ---
 R
 Da fórmula acima, observamos que quanto menor o valor de 
R, maior será o valor de lc, para que o valor de j2 seja 
constante.
 Se desejarmos maior segurança para o tráfego, ou maior 
conforto para o usuário, basta adotar valores menores para j2. 
Sugere-se aqui adotar-se j2 = 0,4 , o que irá fornecer 
valores mais amplos para lc .
 Podemos então admitir:
 3
 V
a) valor mínimo de lc = 0,036 ---
 R
 3
 V
b) valor normal de lc = 0,054 ---
 R
3 / 10
 Entenda-se como valor normal o desejável, por oferecer 
maior conforto e segurança, percentualmente 50% superior ao 
mínimo.
C) Cálculo dos Elementos da Curva de Transição em Espiral:
 
 a) Expressão do Ângulo Central da Espiral:
 Na figura 47, sendo OMc um ramo da transição em 
espiral, M um ponto deste ramo e dl o arco elementar em 
torno de M , temos:
dl = r.dS , sendo dS em radianos
dS = dl / r (4) da equação expontânea da espiral temos:
r = C / l
onde: r.l = R.lc = C
 R.lc
r = ---- (5)
 l
substituindo (5) em (4), temos:
 l.dl
dS = ---- 
 R.lc
integrando-se, temos:
 2
 l
S = ------
 2.R.lc
S - ângulo central da espiral correspondente a um ponto M 
qualquer da curva de transição ( em radianos ).
l - comprimento da transição para um ponto qualquer M, a 
partir da origem ( em metros ).
lc - comprimento total da transição ( em metros ).
R - raio do arco circular do projeto ( em metros ).
Para o ponto osculador Mc, teremos o ângulo central total da 
transição. Neste caso, sendo l = lc , temos:
4 / 10
 2 
 lc lc
Sc = ------ ---> Sc = ----
 2.R.lc 2.R
Sc - ângulo central total da transição ( em radianos ).
b) Expressões do Ângulo Central e do Desenvolvimento do 
 Arco Circular:
I = 2.Sc + 
 = AC - 2.Sc
I - deflexão das tangentes = (AC)
 - ângulo central do arco circular
OBS.: na fórmula acima usar unidades coerentes entre os 
diversos ângulos
 .R.
D = ------
 180
D - desenvolvimento do arco circular
 c) Cálculo das Coordenadas Cartesianas da Espiral:
da figura 47, temos:
dx = dl.senS
dy = dl.cosS
desenvolvendo senS e cosS em série, fazendo as integrações e 
colocando os termos das séries em função de S, vem:
 2 4 6
 l.S S S S
x = ---.( 1 - --- + --- - ----- + ... )
 3 14 440 25200
 2 4 6
 S S S
y = l.( 1 - --- + --- - ---- + ... )
 10 216 9360
5 / 10
Estas equações nos dão as coordenadas cartesianas de um ponto 
M, na forma de uma série rapidamente convergente, conforme se 
verifica o rápido crescimento do divisor dos termos das 
séries. Podemos, então, considerar somente os primeiros três 
termos das séries, para obtermos os valores das coordenadas ( 
x e y ) com erro menor que 1 milímetro. Portanto, as fórmulas 
na prática ficam:
 2 4
 l.S S S
x = ---.( 1 - --- + --- )
 3 14 440
 2 4
 S S
y = l.( 1 - --- + --- )
 10 216
onde S é dado em radianos, l em metros, x e y em metros.
 Para o ponto osculador Mc, temos S = Sc e l = lc , 
substituindo vem:
 2 4
 lc.Sc Sc Sc
xc = -----.( 1 - --- + --- )
 3 14 440