Lista de Cálculo 1 - Limite de uma Função

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CÁLCULO 1
AULA 01 
O LIMITE DE 
UMA FUNÇÃO 
CÁLCULO 1
NOÇÃO 
INTUITIVA DE 
LIMITES 
Vamos iniciar o estudo de 
limites com o problema da 
corrida do coelho e da 
tartaruga. 
REGULAMENTO DA CORRIDA
A tartaruga percorre a metade de cada 
distância percorrida pelo coelho. 
A tartaruga larga com 100 metros na 
frente do coelho. 
Portanto, a distância inicial entre eles é 
de 100m.
..........100m...........
Quando o coelho percorre 
100m, a tartaruga 
percorre 50m. 
Agora, a distância entre 
eles é de 50m. 
...........50m............
Quando o coelho percorre 
50m, a tartaruga percorre 
25m.
Agora, a distância entre eles 
é de 25m. 
...........25m............
Quando o coelho percorre 
25m, a tartaruga percorre 
12,5m.
Agora, a distância entre 
eles é de 12,5m. 
..........12,5m..........
Quando o coelho percorre 
12,5m, a tartaruga percorre 
6,25m.
Agora, a distância entre eles 
é de 6,25m. 
..........6,25m..........
Quando o coelho percorre 
6,25m; a tartaruga percorre 
3,125m.
Agora, a distância entre eles 
é de 3,125m. 
.........3,125m...........
A distância vai 
diminuindo.
O coelho se aproxima da 
tartaruga.
O coelho tende a 
encontrar a tartaruga.
PROBLEMA DO QUADRADO 
Consideremos uma figura de forma 
quadrada e de área igual a 1. 
Vamos desenvolver as seguintes 
etapas: 
Primeira etapa:
Hachurar metade dessa figura.
Área hachurada: 
𝟏
𝟐
𝒐𝒖 𝟎, 𝟓
Segunda etapa:
Hachurar metade do que sobrou em branco.
Área hachurada: 
𝟏
𝟐
+
𝟏
𝟒
=
𝟑
𝟒
𝒐𝒖
𝟎, 𝟓 + 𝟎, 𝟐𝟓 = 𝟎, 𝟕𝟓
Terceira etapa:
Hachurar metade do que sobrou em branco.
Área hachurada: 
𝟏
𝟐
+
𝟏
𝟒
+
𝟏
𝟖
=
𝟕
𝟖
𝒐𝒖
𝟎, 𝟓 + 𝟎, 𝟐𝟓 + 𝟎, 𝟏𝟐𝟓 = 𝟎, 𝟖𝟕𝟓
Continuando esse processo sucessiva e 
indefinidamente, a área hachurada vai 
preenchendo quase todo o quadrado 
inicial, isto é, a medida da área vai se 
aproximando de 1 ou tendendo a 1. 
½ , ¾ , 7/8, 15/16, 31/32, 63/64, 127/128, 
255/256,... 
0,5; 0,75; 0,875; 0,9375; 0,96875; 
0,984375; 0,9921875; 0,99609375; ... 
GRÁFICO DE FUNÇÃO 
Considere a função f : IR → IR, definida por f(x) = x + 2 . 
Construindo uma tabela aproximando-se de 3 pela 
esquerda e pela direita, temos: 
x f(x) x f(x)
2 3,9
2,3 3,5
2,5 3,2
2,9 3,1
2,99 3,01
2,999 3,001
2,9999 3,0001
2,99999 3,00001
GRÁFICO DE FUNÇÃO 
Considere a função f : IR → IR, definida por f(x) = x + 2 
Construindo uma tabela aproximando-se de 3 pela esquerda e pela 
direita, temos: 
x f(x) x f(x)
2 4 3,9 5,9
2,3 4,3 3,5 5,5
2,5 4,5 3,2 5,2
2,9 4,9 3,1 5,1
2,99 4,99 3,01 5,01
2,999 4,999 3,001 5,001
2,9999 4,9999 3,0001 5,0001
2,99999 4,99999 3,00001 5,00001
À medida que os valores de 
x se aproximam de 3, por 
valores menores que 3 (pela 
esquerda) ou por valores 
maiores que 3 (pela direita) 
os valores de f(x) se 
aproximam de 5. 
Indicamos:
lim
𝑥→3−
𝑓 𝑥 = 5
(limite de f(x) quando x tende a 3 
pela esquerda é igual a 5)
lim
𝑥→3+
𝑓 𝑥 = 5
(limite de f(x) quando x tende a 3 
pela direita é igual a 5) 
Esses limites são chamados limites 
laterais e, como são iguais, dizemos 
que neste caso existe o limite de f(x) 
quando x tende a 3, e escrevemos: 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟑
𝒇 𝒙 = 𝟓
Observação: 
quando dizemos x tende a 3, significa 
que x se aproxima de 3 pela esquerda 
ou pela direita, sem no entanto 
assumir o valor 3.
Definição
Suponha que f(x) seja definido quando está
próximo ao número a. (Isso significa que f é
definido em algum intervalo aberto que contenha
a, exceto possivelmente no próprio a.) Então
escrevemos 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒇 𝒙 = 𝑳 e dizemos “o limite de
f(x) quando x tende a a, é igual a L” se pudermos
tornar os valores de f(x) arbitrariamente próximos
de L (tão próximos de L quanto quisermos),
tornando x suficientemente próximo de a (por
ambos os lados de a), mas não igual a a.
Exercício 05 da página 89
Para a função f, cujo gráfico é dado, diga o 
valor de cada quantidade indicada, se ela 
existir. Se não existir, explique por quê.
𝒂 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟏
𝒇(𝒙)
𝒃 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟑−
𝒇(𝒙)
𝒄 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟑+
𝒇(𝒙)
𝒅 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟑
𝒇(𝒙)
𝒆 𝒇(𝟑)
Exemplo 
Faça a representação gráfica da função
f: IR → IR, definida por
𝒇 𝒙 = 
𝒙 + 𝟏, 𝒔𝒆 𝒙 < −𝟏
𝒙², 𝒔𝒆 − 𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟏
𝟐 − 𝒙, 𝒔𝒆 𝒙 > 𝟏
e verifique se existe o limite de f(x) quando x 
tende a -1 e quando x tende a 1. 
Limites Infinitos 
Encontre lim
𝒙→𝟎
𝟏
𝒙²
,
se existir
Limites Infinitos Encontre lim
𝒙→𝟎
𝟏
𝒙²
, se existir
TABELA
x 1/x²
±𝟏 1
±𝟎, 𝟓 4
±𝟎, 𝟐 25
±𝟎, 𝟏 100
±𝟎, 𝟎𝟓 400
±𝟎, 𝟎𝟏 10.000
±𝟎, 𝟎𝟎𝟏 1.000.000
À medida que x tende a 
zero, x² também tende a 
zero, e 
𝟏
𝒙²
fica muito grande. 
Limites Infinitos Encontre lim
𝒙→𝟎
𝟏
𝒙²
, se existir
A partir do gráfico 
parece que a função f(x)
pode se tornar 
arbitrariamente grande 
ao tornarmos os valores 
de x suficientemente 
próximos de zero. Assim, 
os valores de f(x) não 
tendem a um número, e 
não existe 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟎
𝟏
𝒙²
.
Para indicar esse tipo de 
comportamento usamos a notação 
𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟎
𝟏
𝒙²
= ∞
O símbolo 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒂
𝒇(𝒙) = −∞ pode 
ser lido das seguintes formas:
“o limite de f (x), quando tende a a, 
é menos é infinito” ou “f (x)
decresce ilimitadamente quando x
tende a a.” Como exemplo, temos 
𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟎
−
𝟏
𝒙²
= −∞
Definições similares podem ser dadas no 
caso de limites laterais 
𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒂−
𝒇(𝒙) = ∞ 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒂+
𝒇(𝒙) = ∞
𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒂−
𝒇(𝒙) = −∞ 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒂+
𝒇(𝒙) = −∞
lembrando que “𝒙 → 𝒂−” significa 
considerar somente os valores de x
menores que a, ao passo que “𝒙 → 𝒂+” 
significa considerar somente os valores de 
x maiores que a. 
Ilustrações desses quatro casos são apresentadas a seguir:
Definição
A reta x = a é chamada assíntota vertical 
da curva y = f(x) se pelo menos uma das 
seguintes condições estiver satisfeita:
𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒂−
𝒇(𝒙) = ∞ 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒂−
𝒇(𝒙) = −∞
𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒂+
𝒇(𝒙) = ∞ 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒂+
𝒇(𝒙) = −∞
𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒂
𝒇(𝒙) = ∞ 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒂
𝒇(𝒙) = −∞