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ESTRUTURASESTRUTURAS
Estruturas Mariane Lima Alves
John Kennedy Fonsêca Silva
Roberto Vicente Silva de Abreu
Mariane Lima Alves
John Kennedy Fonsêca Silva
Roberto Vicente Silva de Abreu
GRUPO
SER
EDUCACIONAL
gente criando o futuro
Caro aluno, nesta unidade de ensino se inicia o estudo de análise estrutural. É impor-
tante que o engenheiro civil entenda como se comportam as estruturas quando são 
sujeitas ao uso e às situações para as quais foram calculadas e projetadas. A engenha-
ria estrutural trata do planejamento, projeto, execução da construção ou reparo dos 
sistemas estruturais.
O sistema físico é constituído por elementos interligados capazes de suportar e trans-
mitir ações ou um conjunto de ações e esforços. O sistema estrutural é composto pela 
parte resistente da edi� cação: vigas, pilares e laje. A análise estrutural, portanto, 
consiste em chegar aos resultados reais usando métodos matemáticos identi� cando 
os esforços dos elementos, as possíveis reações e tensões, conhecendo o sistema e o 
comportamento da estrutura existente.
Hoje, com os avanços tecnológicos, há e� cientes softwares disponíveis para calcular 
a estrutura. Mesmo assim, isso não anula o conhecimento necessário para a análise 
crítica do projeto, usando o software apenas para auxílio. O resultado de aprendiza-
gem desta unidade é a aplicação e análise dos conceitos básicos relativos às tensões, 
ações e esforços.
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© Ser Educacional 2021
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Mariane Lima Alves
John Kennedy Fonsêca Silva
Roberto Vicente Silva de Abreu
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ASSISTA
Indicação de filmes, vídeos ou similares que trazem informações comple-
mentares ou aprofundadas sobre o conteúdo estudado.
CITANDO
Dados essenciais e pertinentes sobre a vida de uma determinada pessoa 
relevante para o estudo do conteúdo abordado.
CONTEXTUALIZANDO
Dados que retratam onde e quando aconteceu determinado fato;
demonstra-se a situação histórica do assunto.
CURIOSIDADE
Informação que revela algo desconhecido e interessante sobre o assunto 
tratado.
DICA
Um detalhe específico da informação, um breve conselho, um alerta, uma 
informação privilegiada sobre o conteúdo trabalhado.
EXEMPLIFICANDO
Informação que retrata de forma objetiva determinado assunto.
EXPLICANDO
Explicação, elucidação sobre uma palavra ou expressão específica da 
área de conhecimento trabalhada.
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Unidade 1 - Morfologia das estruturas e ações em estruturas
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 14
Definições básicas............................................................................................................... 15
Classificação dos elementos estruturais .................................................................... 15
Ações: classificação ........................................................................................................... 30
Tipos de carga ................................................................................................................. 31
Esforços ............................................................................................................................ 32
Classificação dos esforços internos ............................................................................ 33
Conversão de sinais ............................................................................................................. 33
Sintetizando ........................................................................................................................... 37
Referências bibliográficas ................................................................................................. 38
Sumário
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Sumário
Unidade 2 - Vigas Gerber e pórticos planos
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 41
Vigas Gerber .......................................................................................................................... 42
Reações de apoio ............................................................................................................ 45
Diagramas de esforços solicitantes ............................................................................. 48
Pórticos planos ..................................................................................................................... 56
Equilíbrio estático ............................................................................................................ 58
Esforços seccionais ........................................................................................................ 59
Barras inclinadas ............................................................................................................ 61
Sintetizando ........................................................................................................................... 66
Referências bibliográficas ................................................................................................. 67
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Sumário
Unidade 3 - Arcos e grelhas
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 69
Arcos ....................................................................................................................................... 70
Terminologia ..................................................................................................................... 70
Breve história sobre a evolução de construções em arcos 71
Tipos de arcos .................................................................................................................. 73
Análise de esforços solicitantes em arcos isostáticos ............................................ 79
Grelhas ................................................................................................................................... 84
Classificação quanto ao equilíbrio estático ............................................................... 87
Análise de grelhas isostáticas ...................................................................................... 89
Sintetizando ........................................................................................................................... 93
Referências bibliográficas ................................................................................................. 94
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Sumário
Unidade 4 - Treliças
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 96
Treliças ...................................................................................................................................pelas linhas em vermelhos) sobre 
o diagrama de corpo livre da estrutura.
Representar uma estrutura valendo-se de um diagrama de corpo livre sig-
nifi ca redesenhá-la empregando uma notação padrão, na qual os elementos 
lineares são representados por linhas, as cargas são representadas por setas, 
as rótulas são representadas por círculos e os apoios, por triângulos que, por 
sua vez, possuem algumas pequenas variações para diferenciá-los em do 1° e 
do 2° gênero.
ESTRUTURAS 53
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DIAGRAMA 4. DIAGRAMA DE ESFORÇOS CORTANTES
A construção do diagrama de momento fletor assemelha-se bastante à 
construção do diagrama de forças cortantes, no entanto, há uma particulari-
dade no Brasil: o eixo positivo do momento fletor é apontado para baixo, en-
quanto ele é apontado para cima na maioria dos demais países do mundo. A 
justificativa para empregar essa convenção é que, dessa forma, o diagrama de 
momento fletor se assemelha à configuração deformada da estrutura. Logo, se 
livros de origem estrangeira, mesmo traduzidos, forem consultados, os gráfi-
cos de momento fletor das estruturas estão “invertidos”, como se estivessem 
de cabeça para baixo. Já os de origem nacional apresentam o diagrama com o 
eixo positivo do momento fletor apontado para baixo.
Para construção do gráfico, são empregados os resultados de momento fletor 
obtidos com o método das seções. No ponto A, o valor do momento fletor é zero pois 
não há braço de alavanca se ali for aplicada uma seção partindo-se da esquerda para 
12,00
1,25 1,25
2,00 kN
A B E F C D
0,60 kN
0,60 kN
0,60 kNy
x
1,00 kN
1,00 kN
1,40 kN
1,40 kN
-1,40 kN
-1,40 kN
-1,00 kN
-1,00 kN -1,00 kN
-0,60 kN
-0,60 kN
0,60 kN2,40 kN
y [kN]
x [m]
2,40 kN
2,00 kN 2,00 kN
1,25 1,251,00 2,50 2,50 1,00
ESTRUTURAS 54
SER_ENGPROD_ESTRU_UNID2.indd 54 11/06/2021 12:09:23
a direita. Já no ponto B, local no qual foi feita a primeira seção, com distância de 1,25 
m do ponto A, existe um momento fletor calculado com o valor de 0,75 kNm. 
Como visto, uma carga pontual gera uma equação do 1° grau como resultado 
de diagrama de momento fletor. Sendo assim, o primeiro trecho do diagrama 
de momento fletor é construído ligando o marco zero do gráfico (0,00 m; 0,00 
kNm) ao ponto constituído pelas coordenadas 1,25 m (eixo x) e 0,75 kNm (eixo y). 
O próximo trecho é construído da mesma maneira, ligando o ponto anterior ao 
ponto constituído pelas coordenadas de 2,50 m (local onde a segunda seção foi 
aplicada) e de -1,00 kNm (resultado do momento fletor para a segunda seção). O 
mesmo procedimento é realizado até chegar à extremidade direita da viga.
DIAGRAMA 5. DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR
1,25
2,00 kN
0,60 kN
y [kN]
x [m]
y [kNm]
0,60 kN2,40 kN
0,75 kNm
0,75 kNm 0,75 kNm
0,75 kNm
2,50 kNm
2,50 kNm
-1,00 kNm
-1,00 kNm -1,00 kNm
-1.00 kNm
2,40 kN
2,00 kN 2,00 kN
1,251,25 1,252,50 2,501,00 1,00
12,00
A B E F C D
y
x
ESTRUTURAS 55
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Pórticos planos
Os pórticos planos isostáticos são estruturas constituídas por associação 
entre vigas (inclinadas ou não) e pilares (inclinados ou não). Da associação, se 
resulta uma estrutura bidimensional que trabalha de forma monolítica, em que 
o carregamento num determinado ponto da estrutura infl uencia o comporta-
mento de todos os seus elementos. Um exemplo clássico de pórticos são as 
estruturas de concreto armado moldado in loco de edifi cações de múltiplos 
pavimentos, formadas por elementos lineares dispostos de maneira tridimen-
sional e, na maioria das vezes, hiperestáticas.
O sistema construtivo das estruturas faz com que todas as suas partes 
estejam interligadas, gerando um comportamento monolítico. O Diagrama 
6 traz um exemplo de pórtico plano, tratando-se de uma obra provisória 
composta por uma rampa de acesso a um patamar, estabelecido por um 
tabuleiro apoiado sobre um pilar. A rampa e o tabuleiro são representados 
por vigas, sendo que existem dois carregamentos – duas motocicletas, uma 
sobre a rampa e outra sobre o patamar, que geram cargas verticais que 
apontam para baixo.
Além disso, no pilar, há incidência de vento, que gera um carregamento la-
teral horizontal apontando para a direita. O pilar está apoiado sobre uma fun-
dação, embora não esteja ligado a ela de maneira rígida, formando um apoio 
do primeiro gênero (ou apoio fi xo) ao restringir as translações nas direções 
horizontais (x) e verticais (y), mas não impedindo a rotação em torno do eixo z.
A rampa está apoiada sobre a fundação por meio de um aparelho de 
apoio, o que restringe apenas as movimentações verticais (eixo y), mas deixa 
livre as movimentações horizontais (eixo x) e a rotação em torno do eixo z. 
Desse modo, se tem uma reação do primeiro gênero (ou apoio móvel). Nos 
cálculos, cada motocicleta tem o peso de 2000 N e a carga devido ao vento 
tem um valor de 1000 N.
EXPLICANDO
A ABNT NBR 6120:2019 estabelece as ações mínimas a serem considera-
das no projeto de estruturas de edifi cações, qualquer que seja sua classe 
e destino, salvo os casos previstos em Normas Brasileiras específi cas.
ESTRUTURAS 56
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DIAGRAMA 6. PÓRTICO PLANO
2,00
F1
F2
F2
HA
VA VD
2,00
1000,0 N
1000,0 N
y
x
18
12
,5
 N
21
87
,5
 N
2000,0 N
2000,0 N
2,00
A
A
B
B
C
C
D
D
2,00
2,00
2,00
2,00
2,00
2,00
2,00
2,00
2,00
1,
50
1,
50
1,
50
1,
50
1,
50
1,
50
ESTRUTURAS 57
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Equilíbrio estático
No processo de resolução de um 
pórtico plano, de início, são calculadas 
as reações de apoio para, depois, mon-
tar os diagramas de esforços normal, 
cortante e de momento fl etor. Assim, 
são usadas as equações 2, 3 e 4 para calcula HA, VA e VD. Aplicando o somatório 
de forças em x (equação 2), se obtém o valor de HA = -1000 N:
a Fx = 0˚ (2)
HA + F1 = 0
HA + 1000 N = 0
HA = -1000 N
Aplicando, por seu turno, o somatório de forças em y, se chega à equação 9, 
que possui duas incógnitas:
a Fy = 0˚ (3)
-F2 - F2 + VA + VD = 0
-2000 N - 2000 N + VA + VD = 0
VA + VD = 2000 N + 2000 N
VA + VD = 4000 N (9)
Aplicando o somatório de momentos em torno do eixo z, considerando o 
ponto A como referência, é calculado o valor de VD:
a Mz = 0˚ (4)
-F1(1,50 m) - F2(2,00 m) - F2(6,00 m) + VD(8,00 m) = 0
-1000 N(1,50 m) - 2000 N(2,00 m) - 2000 N(6,00 m) + VD(8,00 m) = 0
VD = 2187,50 N
VD = 1000 N(1,50 m) + 2000 N(2,00 m) + 2000 N(6,00 m)
(8,00 m)
Com o valor de VD em mãos e substituindo-o na equação 9, consegue-se 
obter o valor de VD:
VA + VD = 4000 N (9)
VA + 2187,51 N = 4000 N
VA = 4000 N - 2187,51 N
VA = 1812,50 N
ESTRUTURAS 58
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Esforços seccionais
O método de construção dos diagramas de esforço normal, cortante e de 
momento fl etor para o pórtico é similar ao empregado para a construção dos 
diagramas para a viga. A única diferença aqui é construir, também, o diagrama 
de esforço normal. O esforço normal é o carregamento do elemento ao longo 
de seu eixo longitudinal e possui duas convenções: tração, considerada positi-
va, e compressão, negativa.
A tração é visualizada quando o elemento se estende sob aplicação de car-
gas, enquanto a compressão é percebida quando o elemento se comprime sob 
aplicação de cargas. O Diagrama 7 expõe o método das seções aplicado ao 
pilar e à viga que compõem o pórtico. De maneira similar ao que foi feito na 
viga Gerber, quando houver mudança no carregamento ou na geometria da es-
trutura, é aplicado um corte na seção, para que os valores de esforço normal, 
cortante e de momento fl etor sejam calculados.
Há, porém, uma particularidade muito importante na análise dos pórti-
cos na aplicação do método das seções e na construção dos diagramas de 
esforços internos. Na viga Gerber, foi defi nida a colocação doeixo x ao longo 
da direção horizontal e do eixo y ao longo da direção vertical, uma vez que o 
eixo x acompanha o comprimento do elemento analisado, enquanto o eixo y 
é utilizado para avaliar a magnitude do esforço em estudo – normal, cortante 
ou momento fl etor. 
No caso dos pórticos, a orientação muda com a orientação do elemento 
que compõe o pórtico e que é analisado em determinado momento. Em 
outras palavras, se um pilar vertical está sendo analisado, o eixo x, que 
acompanha a geometria do elemento, é ao longo da direção ver-
tical, enquanto o eixo y, o eixo dos esforços, é na direção ho-
rizontal. O mesmo ocorre quando uma viga inclinada é ana-
lisada, com o eixo x acompanhando a inclinação 
da viga, ao passo que o eixo y é perpendicular 
ao eixo x. A orientação dos eixos apresenta 
variação ao longo do pórtico, a depender da 
orientação do elemento estrutural que é estu-
dado no momento.
ESTRUTURAS 59
SER_ENGPROD_ESTRU_UNID2.indd 59 11/06/2021 12:09:24
DIAGRAMA 7. MÉTODO DAS SEÇÕES APLICADO A PÓRTICOS PLANOS
1812,5 N
1000,0 N
y [N]
x [m]
A
1,
50
1,
50
1,
50
1812,5 N
1000,0 N
1000,0 N
y [N]
x [m]
A
1,
50
1,
50
1812,5 N
1000,0 N
1000,0 N
B
A
2,00
y [N]
x [m]
1812,5 N
1000,0 N
1000,0 N
2000,0 N
B
A
2,00
1,
50
2,00
1,
50
y [N]
x [m]
ESTRUTURAS 60
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No pilar, foram feitos dois cortes na seção transversal – um por causa da apli-
cação de carga horizontal de -1000 N decorrente do vento e outro por causa da 
mudança na geometria da estrutura passando de pilar para viga. Na viga, tam-
bém foram feitos dois cortes na seção transversal – um por causa do carregamen-
to vertical de -2000 N, decorrente da motocicleta, e outro por causa da mudança 
na geometria da estrutura, passando de viga horizontal para viga inclinada.
Barras inclinadas
O conceito de barras inclinadas pode ser explicado dentro do exemplo do 
pórtico. No Diagrama 8, são mostrados dois cortes realizados na barra inclina-
da, um decorrente da aplicação da carga vertical de -2000 N e outro decorrente 
da mudança na geometria da estrutura, que se encontra com seu apoio móvel 
em sua extremidade direita.
DIAGRAMA 8. MÉTODO DAS SEÇÕES APLICADO À PÓRTICOS PLANOS COM BARRAS INCLINADAS
x [m]
x [m]
2000,0 N 
2000,0 N 
2000,0 N 
B 
B 
A 
A 
C
C
1000,0 N 
1000,0 N 
1000,0 N 
1000,0 N 
18
12
,5
 N
 
18
12
,5
 N
 
1,
50
1,
50
1,
50
1,
50
2,00
2,00
2,00
2,00
2,00
2,00 2,00
y [N]
y [N]
ESTRUTURAS 61
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Um aspecto importante é que, como a barra encontra-se inclinada, os car-
regamentos que geram esforços sobre ela seguem sua inclinação. Todas as 
cargas atuantes na estrutura devem ser decompostas numa parcela paralela 
à direção da barra (gerando esforços normais) e outra perpendicular à direção 
da barra (gerando esforços cortantes). O momento fletor, por sua vez, é calcu-
lado com as forças atuando em suas direções originais, pois o momento fletor 
independe da direção na qual a força se aplica, desde que se possa conhecer 
o valor braço de alavanca correspondente – que é a distância perpendicular 
entre a força aplicada e o ponto de análise.
A distância perpendicular pode ser reconhecida quando se imagina uma 
reta de dimensões infinitas passando através da direção de aplicação da força. 
A menor distância entre essa reta e o ponto onde o momento fletor está sendo 
calculado é a distância perpendicular. Para a decomposição das forças, primei-
ro se encontram os valores de seno e cosseno do ângulo formado entre a dire-
ção da força e a direção da barra inclinada. Para as cargas verticais, o ângulo é 
chamado de α e, para as cargas horizontais, de β.
sen(α) = = 0,804
5
sen(β) = = 0,603
5
cos(α) = = 0,603
5
cos(β) = = 0,804
5
Para encontrar o componente da força paralela à barra, basta multiplicar 
o valor da carga (independente se é vertical ou horizontal) pelo cosseno do 
ângulo formado entre a direção da força e a direção da barra. Já para encontrar 
o componente da força perpendicular à barra, basta multiplicar o valor carga 
(independente se é vertical ou horizontal) pelo seno do ângulo formado entre 
a direção da força e a direção da barra.
O Diagrama 9 mostra as forças já decompostas nos diagramas de corpos 
livres feitos para mostrar os dois cortes na barra inclinada. Após a decomposi-
ção das forças, os valores de esforço cortante e de esforço normal podem ser 
calculados nos dois diagramas de corpos livres construídos, pois as forças ou 
estão paralelas à barra ou estão perpendiculares à barra.
ESTRUTURAS 62
SER_ENGPROD_ESTRU_UNID2.indd 62 11/06/2021 12:09:25
DIAGRAMA 9. DIAGRAMA DE ESFORÇO CORTANTE
Os resultados a seguir mostram os valores de esforço normal, calculados 
para cada um dos cortes realizados. N1 e N2 são referentes ao pilar, N3 e N4 são 
referentes à viga e N5 e N6 são referentes à barra inclinada. O somatório de es-
forços normais é bem simples de ser feito, basta verificar quais cargas atuam 
na direção da barra em análise e somá-las, caso estejam tracionando a barra, 
ou subtraí-las, caso estejam comprimindo a barra.
α
α
α
α
α
β
β
β
β
1200,0 N
1200,0 N
1200,0 N
1600,0 N
1600,0 N
1600,0 N
1450,0 N
1450,0 N
800,0 N
800,0 N
800,0 N
800,0 N
600,0 N
600,0 N
600,0 N
600,0 N
1087,5 N
1087,5 N
A
A
B
B
C
C
2,00
2,00
2,00
2,00
1,
50
1,
50
1,
50
1,
50
2,00
2,00 2,00
y [N]
y [N]
x [m]
x [m]
ESTRUTURAS 63
SER_ENGPROD_ESTRU_UNID2.indd 63 11/06/2021 12:09:25
N1 = -1812,5 N
N2 = -1812,5 N 
N3 = 1000,0 N - 1000,0 N = 0
N4 = 1000,0 N - 1000,0 N = 0
N5 = 1087,5 N + 800,0 N - 800,0 N - 1200,0 N = -112,5 N
N6 = 1087,5 N + 800,0 N - 800,0 N - 1200,0 N = -112,5 N 
O cálculo do esforço cortante segue a mesma metodologia empregada du-
rante o cálculo da viga Gerber, devendo-se atentar apenas para a direção do 
elemento que está sendo analisado.
V1 = 1000,0 N
V2 = 1000,0 N - 1000,0 N = 0
V3 = 1812,5 N
V4 = 1812,5 N - 2000,0 N = -187,5 N
V5 = 1450,0 N - 600,0 N + 600,0 N - 1600,0 N = - 150,0 N
V6 = 1450,0 N - 600,0 N + 600,0 N - 1600,0 N- 1600,0 N = - 1750,0 kN
Da mesma forma, o cálculo dos momentos fletores segue a mesma me-
todologia do cálculo realizado para a vigas Gerber, com atenção à correta es-
pecificação do braço de alavanca, o que pode criar alguma confusão no caso 
dos pórticos. Todavia, imaginando que existe uma reta de dimensões infinitas 
passando através da direção da força e, medindo a menor distância entre essa 
reta e o ponto no qual o momento está sendo calculado, é possível obter o 
braço de alavanca.
Outra dúvida que pode surgir é se o sinal do momento fletor deve ser consi-
derado positivo ou negativo. Da mesma forma que na viga Gerber, se as fibras 
inferiores (em relação ao eixo x) estiverem sendo tracionadas, o momento fle-
tor é negativo. Uma boa metodologia é imaginar a estrutura se deformando 
com a aplicação do carregamento em análise, possibilitando ver se as fibras 
inferiores se tracionam ou comprimem.
M1 = 1000,0 N(1,50 m) = 1500,0 Nm
M2 = 1000,0 N(3,00 m) - 1000,0 N(1,50 m) = 1500,0 Nm
M3 = 1825,5 N(2,00 m) + 1000,0 N(3,00 m) - 1000,0 N(1,50 m) = 5125,0 Nm
M4 = 1825,5 N(4,00 m) + 1000,0 N(3,00 m) - 1000,0 N(1,50 m) - 2000,0 N(2,00 m) = 4750,0 Nm
M5 = 1825,5 N(6,00 m) + 1000,0 N(1,50 m) - 2000,0 N(4,00 m) = 4375,0 Nm
M5 = 1825,5 N(8,00 m) + 1000,0 N(1,50 m) - 2000,0 N(6,00 m) - 2000,0 N(2,00 m) = 0
ESTRUTURAS 64
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Dispondo dos valores de esforço normal (N), esforço cortante (V ) e de mo-
mento fletor (M), os diagramas são esboçados, empregando a mesma metodo-
logia dos diagramas para a viga Gerber. A única diferença está no fato de que 
a orientação dos gráficos sempre muda de acordo com a orientação da barra 
analisada, conforme já mencionado. Em suma, em pilares que estão na vertical, 
o eixo x acompanhao alinhamento do pilar. Nas vigas ho rizontais, o eixo x per-
manece na horizontal, como já é empregado. Para as barras inclinadas, o eixo x 
acompanha a inclinação da barra. O eixo x sempre é utilizado para representar 
o comprimento do elemento, enquanto o eixo y, sempre perpendicular ao eixo 
x, é utilizado para representar os esforços (normal, cortante e momento fletor).
DIAGRAMA 10. DIAGRAMAS DE ESFORÇOS INTERNOS
-125,5 N
-150,0 N
-1312,5 N
-1750,0 N
4750 Nm
-1
82
5,
5 
N
-187,5 N
1825,5 N
5125,0 Nm
15
00
,0
 N
m
15
00
,0
 N
m
1500,0 Nm
4750,0 N
4375 N
10
00
,0
 N
y [N]
y [N]
y [N]
y [N]
y [N]
y [N]
y [N]
y [N]
y [N]
x [m]
x [m]
x [m]
x [m]
x [m]
x [m]
x [m]
x [m]
x [m]
ESTRUTURAS 65
SER_ENGPROD_ESTRU_UNID2.indd 65 11/06/2021 12:09:25
Sintetizando
Nesta unidade, foram analisados conceitos fundamentais relativos ao com-
portamento mecânico dos elementos estruturais mais empregados em obras 
de construção civil. As principais características de cada elemento foram estu-
dadas, bem como foram descritos os procedimentos necessários para a reali-
zação do cálculo das reações de apoio e dos esforços internos.
Para as vigas Gerber, os procedimentos necessários à determinação das 
reações de apoio se assemelham aos empregados para a obtenção das rea-
ções de apoio de qualquer estrutura isostática comum, com a diferença de que, 
no caso das vigas Gerber, é necessário proceder a modulação da estrutura em 
vários trechos. Com as reações determinadas, os esforços internos e os diagra-
mas são feitos de maneira convencional.
Em relação aos pórticos, o protocolo de cálculo é o mesmo realizado paras 
as demais estruturas, sendo que a única diferença reside no fato de que o eixo 
das abscissas para a construção dos diagramas sempre acompanha a direção 
longitudinal do elemento. Já para as barras inclinadas, a única particularidade 
existente consiste em decompor as forças de modo que fiquem com parcelas 
perpendiculares e/ou paralelas à direção do elemento que está sendo analisado.
ESTRUTURAS 66
SER_ENGPROD_ESTRU_UNID2.indd 66 11/06/2021 12:09:25
Referências bibliográficas
ABNT – ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6120: ações 
para o cálculo de estruturas de edificações. Rio de Janeiro: ABNT, 2019.
ABNT – ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 7187: projeto 
de pontes de concreto armado e de concreto protendido: procedimento. Rio de 
Janeiro: ABNT, 2003. Disponível em: . 
Acesso em: 22 fev. 2021.
ESTRUTURAS 67
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ARCOS E GRELHAS
3
UNIDADE
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Objetivos da unidade
Tópicos de estudo
 Apresentar os diferentes tipos de arcos;
 Analisar arcos isostáticos;
 Classificar grelhas quanto ao equilíbrio estático;
 Analisar os esforços internos das grelhas.
 Arcos 
 Terminologia
 Breve história sobre a evolução 
de construções em arcos 
 Tipos de arcos
 Análise de esforços solicitantes 
em arcos isostáticos
 Grelhas
 Classificação quanto ao 
equilíbrio estático
 Análise de grelhas isostáticas
ESTRUTURAS 69
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Arcos
Arcos são elementos estruturais 
parabólicos construídos para vencer 
grandes vãos. Eles possuem restri-
ção de movimento nas extremidades. 
Leet et al. (2018, n. p.) defi nem arcos 
como elementos estruturais em que 
a compressão axial é preponderante. 
Eles são utilizados em diversos tipos 
de estruturas, como pontes, barra-
gens e edifícios diversos. 
Uma das propriedades fundamentais desses elementos é que os es-
forços solicitantes preponderantes são os de compressão normal à seção 
transversal. Eles atuam como um cabo invertido porque enquanto os cabos 
são responsáveis por resistirem apenas a esforços de tração, os arcos utili-
zam a sua geometria côncava voltada para baixo para resistirem apenas à 
compressão. 
A preponderância nos esforços de compressão, nesse tipo de elemento 
estrutural, ocasiona a redução nos esforços fl etores, que geralmente é o es-
forço predominante em elementos estruturais que buscam vencer grandes 
vãos, como em vigas. A geometria dos arcos possibilita que os esforços ver-
ticais sejam transferidos majoritariamente pelos eixos dos elementos. En-
tretanto, em algumas situações, os esforços laterais resultantes nos apoios 
são elevados, e isso pode inviabilizar a construção de apoios adequados 
para suportar as reações de apoio, fazendo com que outras alternativas 
construtivas sejam mais efi cientes.
Terminologia
Apesar de haver diversos tipos de arcos e cada variação apresentar dife-
rentes números de elementos e componentes, na Figura 1 é possível ver os 
elementos que são comumente encontrados em estruturas em arcos. O arco 
mostrado é um exemplo de arco construído em blocos:
ESTRUTURAS 70
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Aduela
Aduela
Arranque
Extradorso
Intradorso
Fle
ch
a
Pé
 d
ire
ito
Imposta
Chave
Figura 1. Terminologia dos elementos de um arco. Fonte: SOUZA, 2019, p. 20. (Adaptado).
Em que:
• Chave: ponto de travamento do arco. Geralmente, esse tipo de elemento 
se encontra no ponto mais elevado do arco;
• Arranque: primeiro elemento que conecta o arco ao suporte; 
• Aduela: elemento em forma de cunha que apresenta face externa conve-
xa em relação ao exterior do arco, e face interna côncava em relação à parte 
interior do arco; 
• Extradorso: face exterior do arco;
• Intradorso: face interior do arco;
• Flecha: dimensão vertical do nível inferior do arranque até a face inferior 
da chave.
Breve história sobre a evolução de construções em arcos
Segundo Connor e Faraji (2016, n. p.), os primeiros arcos construídos com 
fi nalidade estrutural foram feitos por volta de 4000 a.C., no Egito e na Grécia. 
Esses primeiros arcos eram construídos por meio de um sistema de camadas 
de blocos em que a abertura era decrescente à medida que a altura da parede 
era elevada. Esse tipo de arco é denominado arco falso. Na Figura 2, é possível 
ver um tipo de arco falso: 
ESTRUTURAS 71
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Figura 2. Sistema de arco falso. Fonte: CONNOR; FARAJI, 2016, p. 490. (Adaptado).
Bloco chave
Suporte Suporte
Figura 3. Sistema de arco em blocos. Fonte: CONNOR; FARAJI, 2016, p. 491. (Adaptado).
Ainda de acordo com Connor e Faraji (2016, n. p.), os arcos desenvolvidos 
para suportar carregamentos verticais sobre um vão foram desenvolvidos por 
volta de 3000 a.C., pelos egípcios. Os blocos são travados e confinados, de 
modo que o carregamento vertical é transferido pelo arco por meio de forças 
normais de compressão através dos blocos, como é mostrado na Figura 3: 
Por volta de 300 a.C., os romanos aperfeiçoaram as técnicas de construções 
de arcos de alvenaria. A qualidade dessas construções era tão elevada que al-
guns desses arcos ainda estão em boas condições de estabilidade. Os roma-
nos usaram esse tipo de elemento estrutural em diversos tipos de estruturas, 
como edifícios, pontes e aquedutos (CONNOR; FARAJI, 2016).
Devido às limitações quanto aos vãos alcançados com arcos em alve-
naria, o desenvolvimento de arcos sobre vãos com elevadas dimensões 
se deu juntamente com o desenvolvimento de materiais mais resistentes, 
ESTRUTURAS 72
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como o aço. No final do século XVIII, os arcos passaram a ser construídos 
de materiais metálicos. No final do século XIX, a emergência de estrutu-
ras em concreto armado impulsionou a produção de pontes sobre arcos 
com arquiteturas mais agradáveis esteticamente, devido ao fato de que o 
concreto armado ofereceu maior versatilidade às construções dos arcos 
(CONNOR; FARAJI, 2016).
Atualmente, o uso de arcos tem sido visto, principalmente, em pontes.Os arcos são mais agradáveis esteticamente do que as treliças, por exem-
plo. Em pontes onde há a necessidade de vencer grandes vãos, as treliças 
e os arcos são opções viáveis. As pontes em arco podem ser construídas 
com os arcos sendo posicionados tanto na parte inferior da laje do tabu-
leiro da ponte, quanto na parte superior. 
No caso de pontes com tabuleiro na parte superior, as cargas de peso 
próprio e cargas móveis são transferidas para a parte superior 
do arco (extradorso) por meio de elementos verticais 
em compressão. Em pontes onde o tabuleiro se en-
contra na parte inferior do arco, há a necessidade 
de tirantes que conectam o tabuleiro ao arco. Es-
ses tirantes estarão tracionados. 
Tipos de arcos
Geralmente, arcos podem ser classifi cados quanto a forma (arco pleno, 
arco segmentar, arco catenário, arco parabólico etc.), quanto a função na es-
trutura (arcobotante, arco diafragma, arco formalete, arco de ogiva, arco de 
cruzeiro etc.), quanto ao método de resistência ao empuxo horizontal (arco 
de fundação, arco reforçado e arco atirantado) e quanto ao grau de esta-
ticidade. É importante destacar que todas essas classifi cações são impor-
tantes, mas para os objetivos deste curso, apenas a última categoria será 
apresentada com mais detalhes. 
A classifi cação dos arcos quanto o grau de estaticidade se dá pela análise 
dos tipos de apoios e quantidade de rótulas que a estrutura possui. Dentre 
os principais tipos de arcos, pode-se destacar três: arcos biarticulados, ar-
cos triarticulados e arcos com extremidades fi xas.
ESTRUTURAS 73
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EXPLICANDO
O grau de estaticidade de uma estrutura, ou elemento estrutural, é 
calculado com uma subtração. Diminui-se o número total de reações 
externas da estrutura (ou elemento) do número de equações de 
equilíbrio estático. Podemos ter três resultados: se for negativo, a 
estrutura é hipostática, havendo menos reações do que a equação 
de equilíbrio, o que deve ser evitado. Se o resultado for zero, a estru-
tura é considerada isostática, já que o número de reações é igual de 
equações em equilíbrio. Finalmente, se a subtração resultar em valor 
positivo, ela é considerada hiperestática, já que há mais incógnitas 
do que equações e métodos avançados, que devem ser usados para 
a análise dessas estruturas. 
Arcos biarticulados
Os arcos biarticulados são estruturas que possuem rótulas apenas nos 
apoios e, por isso, são mais rígidas. Entretanto, estruturas mais rígidas são 
suscetíveis a esforços extras decorrentes de variações de temperatura, re-
calques do solo e erros de fabricação. Esse tipo de arco é uma estrutura 
indeterminada por causa das quatro reações de apoio. 
Reações de apoio
Os arcos biarticulados, como o nome sugere, possuem duas rótulas, ou 
dois apoios, do tipo pino ou fixo. Esse tipo de suporte oferece restrição de 
movimento em duas direções, horizontal (x) e vertical (y). Sendo assim, em 
cada suporte, duas incógnitas são esperadas quando a análise desses arcos 
é desenvolvida. Como há a possibilidade de calcular o equilíbrio estático 
com três equações de equilíbrio:
(1)
(2)
(3)
Pode-se afirmar que um arco biarticulado é hiperestático do grau 1, 
porque, para a análise, há quatro incógnitas para apenas três equações de 
equilíbrio. 
Dessa forma, não é possível realizar uma análise completa dos esforços 
solicitantes de um arco biarticulado apenas com as três equações de equilí-
brio, e métodos mais avançados baseados em deformações, como o método 
do trabalho virtual ou o método da força, são mais adequados. 
ESTRUTURAS 74
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A B
VA VB
HB
Articulação
HA
Figura 4. Arco biarticulado. Fonte: LEET et al., 2018, p. 246. (Adaptado).
Arcos triarticulados
Os arcos triarticulados diferem dos biarticulados por possuírem uma rótula 
extra. Geralmente, essa rótula é construída no centro do arco. Com a adição 
dessa rótula extra, o arco se torna uma estrutura estaticamente determinada 
por causa da reação de equilíbrio extra que pode ser aplicada na rótula. Isso tor-
na esse tipo de arco mais flexível que o arco biarticulado, e as deformações po-
dem ser mais elevadas. Entretanto, esse tipo de arco apresenta menor sensibili-
dade para as variações de temperatura, recalques do solo e erros de fabricação. 
Reações de apoio
Os arcos triarticulados possuem três rótulas ou apoios fixos. Sendo assim, 
é possível fazer uma análise completa das reações de apoios de um arco triar-
ticulado apenas com as equações de equilíbrio. Isso se deve ao fato de que a 
rótula central, como mostra a Figura 5, adiciona uma equação de equilíbrio 
extra. Essa equação extra é:
(4)
Sabe-se que em uma rótula, o somatório dos momentos é igual a zero e, 
com isso, um arco triarticulado é classificado como uma estrutura isostática.
Figura 5. Arco triarticulado. Fonte: LEET et al., 2018, p. 246. (Adaptado).
VA VB
HA
HB
A B
ESTRUTURAS 75
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EXPLICANDO
As rótulas são soluções construtivas que geralmente são usadas 
para prevenir a transferência de momentos fletores. Por exemplo, em 
uma conexão entre viga e pilar, pode ser que o engenheiro projetista 
deseje que não haja momento fletor sendo aplicado no pilar e, assim, 
adota-se que a ligação entre pilar e viga seja executada de modo que 
haja uma rótula. Essa solução diminui as dimensões do pilar, poque a 
falta do momento fletor faz com que o dimensionamento do pilar leve 
em consideração apenas a compressão normal simples. Entretanto 
a não distribuição do momento no pilar faz com que os momentos 
fletores na viga sejam ainda maiores e as dimensões da viga podem 
ser maiores do se a ligação entre pilar e viga fosse engastada. As-
sim, o engenheiro pode analisar as duas situações e ver qual é mais 
vantajosa em relação ao custo benefício. 
Arcos biengastados
Um arco com extremidades fixas é o mais rí-
gido dos três apresentados aqui. A vantagem 
desse elemento estrutural é possuir maior 
rigidez em relação às deformações, porém 
ele é ainda mais sensível aos problemas já 
apresentados nos arcos biarticulados, poden-
do apresentar problemas quanto às variações 
térmicas e recalques de fundação. Nesse tipo de estrutura, 
as fundações localizadas abaixo dos apoios tendem a ser robustas para re-
sistirem aos momentos gerados nos apoios. Por possuírem ainda mais rea-
ções de apoio, os arcos biengastados possuem grau de estaticidade ainda 
mais elevados do que os arcos biarticulados. 
Reações de apoio
Os arcos biengastados são caracterizados por apresentarem engastes 
nos dois apoios laterais. Cada engaste possui três reações, uma vertical, 
uma horizontal e um momento. No total, um arco biengastado possui seis 
reações de apoio e, com isso, ele é considerado uma estrutura hiperestática 
de grau 3. Quanto maior o grau de estaticidade de uma estrutura, maior a 
rigidez dessa estrutura. Sendo assim, dentre os três tipos de arcos apre-
sentados nessa seção, os arcos biengastados são os que possuem maior 
resistência a deformações.
ESTRUTURAS 76
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Figura 6. Arco com extremidades fixas. Fonte: LEET et al., 2018, p. 246. (Adaptado).
Deformações em arcos e barras curvas
A deformação de um arco depende principalmente do tipo de estrutura 
e dos apoios utilizados. Dentre os tipos de arcos apresentados nas seções 
anteriores, os arcos triarticulados são os mais flexíveis, porque apresen-
tam uma rótula central, e comparados aos arcos biarticulados para o mes-
mo carregamento, os arcos triarticulados apresentam maiores deforma-
ções. Entretanto, por serem mais flexíveis, eles são menos afetados por 
recalques de fundação, por exemplo. 
Os arcos biengastados apresentam a maior rigidez dentre os três ti-
pos apresentados anteriormente. Quando comparados aos outros tipos, 
os arcos biengastados são mais resistentesà deformação, mas em caso 
de recalques diferenciais do solo, eles são mais afetados do que os outros 
tipos. Além disso, produzir um suporte que se assemelhe e se comporte 
como um engaste ideal para ser base de um arco biengastado pode ser 
uma tarefa mais complicada do que construir um suporte semelhante a 
um apoio fixo. 
Na Figura 7, são apresentados os estados de deformações de cada tipo 
de arco. Na Figura 7a, um arco biarticulado é mostrado, e é possível ver 
que a deformação desse tipo de arco se dá por flambagem assimétrica. Na 
Figura 7b, um arco triarticulado é mostrado, e nota-se que a deformação 
da estrutura ocorre por uma flambagem simétrica em que a rótula central 
se desloca verticalmente para baixo. Na Figura 7c, um arco biengastado é 
mostrado, e é notório o efeito do engaste na deformação da estrutura. As 
deformações próximas de um engaste são zero, e isso é visto na Figura 7. 
No arco triengastado, a deformação é por flambagem assimétrica. 
HA HB
VBMB
BA
VA MA
ESTRUTURAS 77
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Em relação às diferenças entre estruturas isostáticas e hiperestáticas, 
é importante notar que estruturas hiperestáticas, ou estaticamente inde-
terminadas, possuem uma distribuição de momentos mais otimizada ao 
longo da estrutura. Por exemplo, uma viga com um apoio fixo e um rolete, 
ou seja, isostática, possuirá um momento máximo no centro da viga maior 
do que a mesma viga sendo suportada por dois engastes. Isso se dá pelo 
Figura 7. Deformação de arcos de acordo com o tipo: biarticulado (a), triarticulado (b) e biengastado (c). Fonte: SILVA, 
2016, p. 22, 24, 27. (Adaptado).
q
q
q
A
B
C
ESTRUTURAS 78
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fato que os engastes ajudam na distribuição dos momentos. Com menores 
momentos atuando na seção transversal de um elemento estrutural, o di-
mensionamento da seção transversal pode resultar em peças com meno-
res dimensões. Além disso, uma estrutura com vínculos excedentes pode 
gerar maior segurança em relação às deformações e movimentos dos ele-
mentos estruturais. 
Dentre as vantagens de uma estrutura isostática em relação a uma hipe-
restática, pode-se citar que os esforços internos em uma estrutura isostática 
são dependentes, unicamente, dos carregamentos e geometria dos elemen-
tos estruturais. Em estruturas hiperestáticas, os esforços internos dependem 
da rigidez dos elementos e das propriedades dos materiais utilizados. 
Além disso, as estruturas isostáticas, como citado anteriormente, pos-
suem maior fl exibilidade quanto a deformações. Por exemplo, uma estru-
tura isostática pode suportar melhor os recalques de fundação e variações 
de temperatura quando comparada a uma estrutura hiperestática. É im-
portante destacar que as estruturas hiperestáticas podem resistir a todas 
essas deformações, desde que sejam projetadas para tal. 
Cada tipo de estrutura e formulação de estabilidade 
tem as suas peculiaridades, mas é essencial que todos os 
tipos de carregamentos e deformações sejam conside-
rados, e que o elemento estrutural seja dimensionado 
levando em consideração todos os cenários possíveis. 
Análise de esforços solicitantes em arcos isostáticos
O diagrama mostrado na Figura 8a é de um arco triarticulado com um car-
regamento pontual. Como explicado no subtópico anterior, esse tipo de arco é 
isostático e, com isso, é possível solucionar tanto as reações quanto os esfor-
ços internos por meio das equações de equilíbrio. Assim como em vigas Ger-
ber, estruturas que possuem rótulas ao longo de sua seção transversal podem 
ser desmembradas, simplifi cando, assim, a análise, como visto na Figura 8b. 
As reações na rótula são apenas verticais e horizontais uma vez que em uma 
rótula o momento é igual a zero. 
ESTRUTURAS 79
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HA
VA VB
H
P
HB
L
Rótula
BA
C
L-xx
HA
HC
HC
HB
VC
VBVA
VC
HH
P
A
L/2L/2 - xx
L/2
C
A
B
Figura 8. Arco triarticulado com carregamento pontual (a) e estrutura simplificada (b). (Adaptado). 
Primeiramente, pode-se utilizar as equações de momento tanto para o pon-
to A, quanto para a rótula em C, a fim de encontrar o valor das reações tanto 
em A, quanto em C, em função de P. Para isso, temos (momentos que causam 
rotação no sentido anti-horário são considerados positivos):
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(1)
(11)
(2)
(12)
ESTRUTURAS 80
SER_ENGPROD_ESTRU_UNID3.indd 80 11/06/2021 13:42:07
Com esses resultados, é possível utilizar as equações de equilíbrio no 
lado direito do arco mostrado na Figura 8b para solucionar os valores das 
reações: 
(13)
(14)
(8)
(15)
(16)
(17)
(1)
(18)
Fy = 0 (2)
(19)
Com esses resultados, é possível encontrar os valores de HA, VA, HB e VB em 
função das variáveis P, H, x e L, que geralmente são conhecidas. Sabendo que 
HB é igual a HC e VB é igual a VC, pode-se igualar as equações e encontrar HB em 
função de P, x e L: 
(20)
(21)
(22)
(23)
Usando esse valor, o valor de HB pode ser estimado:
(24)
Com os valores de VB e HB, pode-se estimar o valor de VA e HA:
(25)
(26)
ESTRUTURAS 81
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Exemplo 1: baseando-se na análise desenvolvida anteriormente, calcula-
remos as reações de apoio e a força normal de compressão no ponto D (seção 
entre o apoio A e o ponto de aplicação da força de 10 kN) desenvolvida no arco 
da Figura 9. Os dados do problema são:
• P vale 10 kN;
• x vale 10 m;
• H vale 10 m;
• L vale 40 m.
VA
HA HB
VB
Rótula
40 m
10 m
10 m
26.6°
y = -10x2/(20)2
10 kN
A
D
C
B
10 m 20 m
Figura 9. Exemplo de arco triarticulado com carregamento pontual. (Adaptado).
Por meio da equação (23):
(27)
Por meio da equação (24):
(28)
Por meio da equação (25):
(29)
Por meio da equação (26):
(30)
ESTRUTURAS 82
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O valor negativo de ND indica que o vetor mostrado para esse esforço, na 
Figura 10, foi representado na direção oposta e, com isso, ND é uma força de 
compressão, por estar comprimindo a seção em D. Pela análise dos resultados 
do exemplo 1, pode-se notar que o arco apresenta esforços cortantes e de 
momento fletor. 
Isso está diretamente relacionado ao tipo de carregamento empregado no 
exemplo 1. Como a carga não era simétrica e distribuída, era esperado que 
houvessem esforços de cisalhamento e flexão. Em arcos com carregamentos 
distribuídos e simétricos, geralmente os esforços predominantes são os nor-
mais de compressão, e os outros esforços são menores ou nulos. 
A resolução de arcos isostáticos com carregamentos uniformes ao longo da 
curvatura do arco segue um procedimento similar ao apresentado no exemplo 
1. Entretanto, nas equações de equilíbrio, ao invés de uma força unitária e pon-
tual, é esperado que mais termos sejam incluídos nos cálculos. 
Em arcos onde há simetria de geometria, suportes e carrega-
mentos, a compressão pura simples é esperada e esse tipo de 
geometria é denominada funicular. 
Na Figura 10, os resultados alcançados anteriormente são usados para o 
cálculo do esforço de compressão na seção transversal do arco no ponto D. O 
esforço normal de compressão no ponto D pode ser calculado pelo somatório 
de esforços normais ao longo do eixo do arco:
(31)
(32)
5 kN
7.5 kN
5 x sen26.6
= 2.24 kN
5 x cos26.6
= 4.47 kN
7.5 x sen26.6
= 3.36 kN
7.5 x cos26.6
= 6.71 kN
D D
M M
Q Q
ND
ND
26.6º
eix
o
Figura 10. Análise dos esforços internos. 
ESTRUTURAS 83
SER_ENGPROD_ESTRU_UNID3.indd 83 11/06/2021 13:42:08
Grelhas
Segundo Martha (2010, n. p.), o início do desen-
volvimento da análise das estruturas se deu com 
estruturas chamadas de reticuladas. Esses tipos 
de estruturas são as que podem ser represen-
tadas por meio de barras de eixo reto. Barras 
são definidas como elementos estruturais 
em que uma das dimensões é claramente 
muito maior do queas outras duas. Nesse 
caso, o comprimento do elemento é muito 
maior do que as outras dimensões. Um exem-
plo de estrutura reticulada é uma grelha plana. Esse tipo de estrutura é 
composta por barras contínuas e com carregamentos perpendiculares ao 
plano dos elementos. 
Sabe-se que seis equações de equilíbrio da estática regem um siste-
ma de forças em equilíbrio no espaço (tridimensional), uma vez que pode 
haver um somatório de forças e momentos para cada eixo (ΣFx, ΣFy, ΣFz, 
ΣMx, ΣMy e ΣMz todos iguais a zero). Entretanto, como em grelhas planas há 
apenas forças perpendiculares, algumas dessas equações de equilíbrio se 
tornam obsoletas. Suponha que uma grelha esteja contida nos eixos x e 
y da Figura 11, e as forças P1, Pi e Pn sejam forças aplicadas nessa grelha. 
É notório que nenhuma dessas forças causará qualquer esforço nas di-
reções x ou y, porque essas forças estão aplicadas apenas no eixo z. Desse 
modo:
(1)
(2)
(33)
Passam a não serem necessárias para a análise de grelhas. Sendo assim, 
na análise de grelhas planas, é necessário apenas o uso de três equações de 
equilíbrio:
(34)
(35)
(36)
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Pn
Pi
P1
O
x
y
z
Figura 11. Representação da direção e eixos de aplicação de cargas em uma grelha plana. Fonte: SÜSSEKIND, 1987, 
p. 275. (Adaptado).
O diagrama mostrado na Figura 12 é a representação de uma grelha plana 
com carregamento distribuído (q). Como explicado anteriormente, as forças ou 
carregamentos devem ser aplicadas perpendicularmente ao plano da grelha. 
A grelha está contida no plano definido pelos eixos x e y, e o carregamento é 
aplicado na direção do eixo z. 
É possível notar que os apoios influenciam diretamente o tipo de deforma-
ção causada pela aplicação do carregamento. Do lado direito da grelha, a de-
formação é vertical, representada por Δz, e sem rotação. Isso se dá pelo fato de 
que o apoio naquele lado é do tipo fixo e não acrescenta qualquer resistência à 
rotação. Do outro lado, a grelha possui um suporte engastado, que gera restri-
ção à rotação. Por isso, duas rotações são representadas: a primeira é causada 
pela rotação em torno do eixo x (θx) e a segunda em torno do eixo y (θy). 
Em relação às reações de apoio, nota-se que não existem reações na di-
reção do eixo x ou y, como explicado no parágrafo referente a Figura 11. Há 
apenas reações verticais na direção do eixo z (VA e VB). A reação de momento Mx
A 
é causada pelo momento gerado no engaste por causa do carregamento q. A 
reação de momento My
A representa o momento torsor, gerado no engaste por 
causa do carregamento q. 
ESTRUTURAS 85
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MA
Y
MA
X VA
Z
Y X
VB
q
Δz
0y
0x
Figura 12. Eixos, reações, carregamento, rotações e deslocamentos em uma grelha plana. Fonte: MARTHA, 2010, p. 32. 
(Adaptado).
DICA
Diferentemente do momento fletor, que é causado por rotação da seção 
transversal de um elemento estrutural em relação a um eixo contido pela 
seção transversal, o momento torsor é causado pela rotação da seção 
transversal em torno do seu próprio eixo longitudinal. É importante en-
tender e saber calcular os momentos torsores em elementos estruturais, 
porque para o cálculo e dimensionamento de uma estrutura, seja de aço, 
concreto armado ou madeira, é imprescindível que a estrutura seja re-
sistente o suficiente para aguentar esse tipo de esforço. Negligenciar os 
momentos torsores pode causar diversos tipos de problemas estruturais e 
até o colapso total de uma estrutura. 
Na Figura 13, é possível ver a mesma grelha apresentada na Figura 12, en-
tretanto, o objetivo da Figura 13 é mostrar os esforços internos da grelha. Caso 
um corte seja feito em uma das barras da grelha, haverá os seguintes esforços 
internos:
• Q: esforço cortante (em algumas literaturas, essa simbologia pode mudar 
e é comum encontrar as letras Q e V sendo usadas para representar esforços 
cortantes);
• M: momento fletor;
• T: momento torsor.
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Q
Q
T
T
M
M
X
Z
y
Figura 13. Eixos, reações, carregamento, rotações e deslocamentos em uma grelha plana com foco nos esforços inter-
nos da grelha. Fonte: MARTHA, 2010, p. 33. (Adaptado).
Classificação quanto ao equilíbrio estático
Apesar do equilíbrio estático de uma estrutura ser classifi cado de acordo 
com a análise do número de reações de apoio em relação ao número de equa-
ções de equilíbrio, é necessária a análise das restrições aos movimentos que os 
apoios oferecem à estrutura. Uma estrutura está restringida quando os apoios 
oferecem condições sufi cientes para que a estrutura tenha resistências a todos 
os tipos de movimentos, sejam de translação ou rotação.
Geralmente, em estruturas que são convencionalmente representadas em 
duas dimensões, como por exemplo uma viga isostática, utilizam-se as três 
equações de equilíbrio (as equações (1), (2) e (3)) para a determinação do grau 
de estaticidade. Entretanto, como explicado anteriormente, no caso de grelhas 
planas, não existem forças sendo aplicadas na direção do eixo x ou y e, por con-
sequência, as três equações de equilíbrio a serem utilizadas são:
(33) 
(34)
(35)
ESTRUTURAS 87
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Sendo que o número de incógnitas ou reações de apoio dependem do tipo 
de apoios aplicados em cada estrutura. 
O grau de estaticidade de uma grelha plana pode ser calculado pela sub-
tração entre o número de incógnitas, ou reações, e o número de equações de 
equilíbrio. Porém, é importante notar que essa subtração pode indicar uma 
estrutura como sendo isostática ou hiperestática, mas os apoios não apre-
sentaram condições suficientes de restrição ao movimento da estrutura em 
relação a alguma direção. Se isso acontecer, a estrutura deve ser considerada 
hipostática. 
Veja, na Figura 14, alguns exemplos de variações de apoios em grelhas 
planas. Propõe-se que cada uma dessas estruturas seja analisada quanto ao 
grau de estaticidade.
Na Figura 14a, temos:
ni (número de incógnitas) = 3 (reações de engaste: momento fletor, momento 
torsor e reação vertical) + (1 reação no apoio fixo: reação vertical) = 4 
(37)
ne (número de equações de equilíbrio: (38)
ne (número de equações de equilíbrio: (38)
ne (número de equações de equilíbrio: (38)
Grau de estaticidade = ni - ne = 4 - 3 = 1 (grelha hiperestática de grau 1) (39)
Grau de estaticidade = ni - ne = 4 - 3 = 1 (grelha hiperestática de grau 1) (39)
Grau de estaticidade = ni - ne = 2 - 3 = -1 (grelha hipostática) (42)
A verificação de restrição ao movimento é igual aos apoios oferecerem re-
sistência a movimentos em todos as direções possíveis.
Na Figura 14b, temos:
ni (número de incógnitas) = 3 (reações de engaste: momento fletor, momento 
torsor e reação vertical) + 1 (reação no apoio do tipo rolete: reação vertical) = 4 
(40)
ni (número de incógnitas) = 1 (reação no apoio fixo: reação vertical) + 1 (reação 
no apoio do tipo rolete: reação vertical) = 2 
(41)
A verificação de restrição ao movimento é igual aos apoios oferecerem re-
sistência a movimentos em todos as direções possíveis.
Na Figura 14c, temos:
ESTRUTURAS 88
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A verifi cação de restrição ao movimento é igual aos apoios não oferecerem 
resistência a movimentos em todos as direções possíveis. Apesar de os apoios 
apresentarem restrição ao movimento vertical, eles não oferecem quaisquer 
restrições à rotação, e a grelha, certamente, irá rotacionar verticalmente por 
causa do peso próprio e colapsar. 
Na Figura 14d, temos:
ne (número de equações de equilíbrio: (38)
Grau de estaticidade = ni - ne = 6 - 3 = 3 (grelha hiperestática de grau 3) (44)
ni (número de incógnitas ) = 3 (reações de engaste: momento fletor, momento 
torsor e reação vertical) + 3 (reações de engaste: momento fletor, momentotorsor e reação vertical) = 6
(43)
A verifi cação de restrição ao movimento é igual aos apoios oferecerem re-
sistência a movimentos em todos as direções possíveis
Análise de grelhas isostáticas
A análise de grelhas se dá de forma similar a análise de outras estruturas. 
Inicialmente, é importante construir um diagrama de corpo livre com todas as 
dimensões, carregamentos e apoios. Posteriormente, o grau de estaticidade 
da estrutura é determinado e, com isso, o engenheiro pode escolher o método 
de análise. 
Figura 14. Grelhas com diferentes confi gurações de apoios. 
a
b
c d
A
B
C
D
ESTRUTURAS 89
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No caso de grelhas isostáticas, o uso das equações de equilíbrio é suficiente para 
o cálculo das reações de apoio e dos esforços internos. Para grelhas hiperestáticas, 
o engenheiro pode fazer uso de algum software para a análise ou utilizar métodos 
mais avançados, como o método da força e o método dos deslocamentos. 
A grelha mostrada na Figura 15 é uma simples representação de uma estrutura 
isostática com uma força pontual na extremidade. Para a compreensão da análise a 
ser desenvolvida para esse exemplo, é importante entender que uma grelha plana é 
constituída por barras contínuas. Sendo assim, qualquer corte ou seção feita ao lon-
go das barras da grelha, deve ser suportada por um engaste, indicando que aquela 
seção é completamente restringida em todas as direções. 
A análise da grelha apresentada na Figura 15 se dará em três partes: barra A-B, 
barra B-C e barra C-D. 
1 kN
1 kN
1 kN
1 kN
10 kN-m
10 kN-m
C
A
C
B
D
B
MD
MB
MC
VD
VB
VC
A B
C D
10 m 10 m
10 m
Figura 15. Análise de reações de apoio e esforços internos de uma grelha plana.
ESTRUTURAS 90
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Barra A-B
Como explicado anteriormente, o corte feito no ponto B gera um engaste. 
Sendo assim, a estrutura representada pela barra A-B ainda é uma estrutura 
isostática, e pode ser resolvida com o uso das equações de equilíbrio. 
(33)
(45)
(34)
(46)
A terceira equação de equilíbrio (equação (35)) não é necessária nessa barra, 
porque não há nenhuma força que causará algum momento em relação ao eixo y. 
Barra B-C
Para a análise da barra B-C, é importante entender que as reações encontra-
das para B são transferidas para o ponto B na barra B-C. Analisando a estrutura 
desmembrada, na Figura 15, pode-se notar que a reação VB foi descarregada no 
ponto B da barra B-C. O momento MB é transferido em forma de momento tor-
sor, uma vez que a força de 1 kN torce a barra B-C com uma alavanca de 10 m. 
Com esses valores de forças e momentos, é possível encontrar os valores de 
VC e MC:
(33)
(47)
(35)
(48)
(33)
A segunda equação de equilíbrio (equação (34)) não é necessária nessa barra, 
já que não há nenhuma força que causará algum momento em relação ao eixo x. 
Barra C-D
O processo para o cálculo dos esforços e reações para a barra C-D segue um 
procedimento similar ao da barra B-C. O momento MC é transferido em forma 
de momento torsor, uma vez que a força de 1 kN torce a barra C-D com uma 
alavanca de 10 m. Com esses valores de forças e momentos, é possível encon-
trar os valores de VD e MD:
(49)
(34)
(50)
ESTRUTURAS 91
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A terceira equação de equilíbrio (equação (35)) não é necessária nessa bar-
ra, porque não há nenhuma força que causará algum momento em relação ao 
eixo y.
Apesar de o exemplo anterior ter sido simples, a metodologia a ser utilizada 
para problemas contendo carregamentos mais complexos, como combinações 
de forças pontuais e carregamentos distribuídos, é similar. 
Caso a grelha seja hiperestática, ou seja, apresente mais incógnitas do que 
equações de equilíbrio, há a necessidade do uso de métodos mais avançados 
de análise. Entre alguns exemplos dessas metodologias, po-
de-se citar o método das forças e deslocamentos. O avanço 
da computação propicia diversas possibilidades do uso de 
programas computacionais para a análise de estruturas 
hiperestáticas também. 
ESTRUTURAS 92
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Sintetizando
Nessa unidade, foram apresentados dois tipos de estruturas que são comu-
mente utilizadas em construções: arcos e grelhas. A primeira parte da unidade 
apresentou uma breve história do desenvolvimento dos arcos estruturais e a sua 
classificação quanto aos tipos de apoios e rótulas internas (biarticulado, triarti-
culado e biengastado). Posteriormente, um exemplo sobre o cálculo de reações 
de apoios e esforços internos em arcos triarticulados foi mostrado. 
Em relação às grelhas, a unidade foi usada para explanar um sistema de for-
ças no espaço. Anteriormente, todas as estruturas apresentadas estavam sen-
do representadas e analisadas em duas dimensões. Entretanto, para a análise 
de grelhas, é necessário considerar a estrutura em três dimensões e isso afeta 
diretamente o tipo de equações de equilíbrio a serem utilizadas. Um simples 
exemplo de cálculo de grelhas isostáticas foi usado para exemplificar o uso das 
equações de equilíbrio. 
É importante destacar que os exemplos mostrados nesta unidade foram de 
estruturas isostáticas, mas muitas das estruturas encontradas em arcos e gre-
lhas são hiperestáticas e a análise e cálculo dessas estruturas requerem mais 
conhecimentos de métodos de análise de estruturas hiperestáticas. Esses méto-
dos são conteúdo de disciplinas mais avançadas, mas o conhecimento adquirido 
aqui, com estruturas isostáticas, é de grande importância para o entendimento 
de estruturas hiperestáticas. Além do mais, atualmente, existem muitos tipos de 
software para analisar de forma mais detalhada estruturas hiperestáticas.
Os objetivos da unidade foram alcançados e as peculiaridades dos tipos e 
análises de arcos e grelhas isostáticas foram apresentadas. Os conhecimentos 
adquiridos aqui serão necessários em unidades e disciplinas posteriores. 
ESTRUTURAS 93
SER_ENGPROD_ESTRU_UNID3.indd 93 11/06/2021 13:42:09
Referências bibliográficas
CONNOR, J. J.; FARAJI, S. Fundamental of structural engineering. 2. ed. [s. l.]: 
Springer, 2016.
LEET, K. M. et al. Fundamentals of structural analysis. 5. ed. New York: McGra-
w-Hill, 2018.
MARTHA, L. F. Análise de estruturas: conceitos e métodos básicos. 2. ed. [s. l.]: 
Elsevier, 2010.
NUNES, P. C. C. Teoria do arco de alvenaria: uma perspectiva histórica. 2009. 
176 p. Dissertação (Mestrado) - Universidade de Brasília, Brasília, 2009.
SILVA, T. D. Modelos para análise da força crítica de flambagem em ar-
cos circulares. 2016. 115 p. Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal de 
Uberlândia, Uberlândia, 2016. Disponível em: . Acesso em: 27 abr. 2021.
SOUZA, M. M. Q. Investigação de estruturas arqueadas pela teoria da está-
tica gráfica. 2019. 61 p. Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal de Ouro 
Preto - Escola de Minas, Ouro Preto, 2019. Disponível em: . Acesso em: 27 abr. 2021.
SÜSSEKIND, J. C. Curso de análise estrutural. 7. ed. São Paulo: Globo, 1987, v. 3.
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TRELIÇAS
4
UNIDADE
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Objetivos da unidade
Tópicos de estudo
 Introduzir os conceitos e aplicações de treliças;
 Apresentar e exemplificar as metodologias para o cálculo dos esforços axiais 
em treliças planas; e
 Apresentar e exemplificar o uso de treliças espaciais.
 Treliças 
 Tipos de treliças
 Classificação quanto à 
formação e ao equilíbrio estático
 Barra de esforços nulos
 Processos de análise
 Análise de treliças espaciais
ESTRUTURAS 96
SER_ENGPROD_ESTRU_UNID4.indd 96 11/06/2021 13:53:22Treliças
Treliças planas são estruturas reticuladas compostas por barras representa-
das em um mesmo plano. A estrutura deve ser formada por um sistema estável 
e duas considerações devem ser feitas:
• As articulações entre barras são feitas de modo que a conexão nas extremi-
dades seja perfeita; e
• As cargas pontuais são aplicadas nos nós, apenas. 
Geralmente, as treliças possuem elementos organizados de forma triangular 
e, como os nós e apoios são simplifi cados, de modo que não haja transferências 
de momentos ou qualquer atrito, as barras possuem apenas esforços axiais de 
tração ou compressão. Consequentemente, a seção transversal dos membros 
da treliça tende a ser menor e mais esbelta.
Em relação ao desenvolvimento das primeiras treliças, o material usado por 
volta de 1800 era a madeira, até que a tecnologia de elementos em ferro fundi-
do foi desenvolvida. A revolução industrial impulsionou a construção de pontes 
mais robustas, que resistiam aos trens com cargas maiores. O desenvolvimen-
to de treliças mais resistentes seguiu esse desenvolvimento. Nesse período, os 
projetistas deram seus nomes às treliças por eles desenvolvidas, é por isso que 
existem treliças com nome. Na Figura 1, algumas dessas treliças são mostradas.
Howe
Fink
Whipple Warren
Pratt
Parker
Figura 1. Treliças com nomes. Fonte: CONNOR; FARAJI, 2016, p. 57. (Adaptado).
ESTRUTURAS 97
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Tipos de treliças
Treliças de telhado
Um dos usos mais comuns de treliças planas se dá em telhados. As treliças 
são colocadas nas extremidades dos telhados e conectadas por travessas, 
como mostrado no primeiro exemplo da Figura 1, Howe. Em telhados mais 
longos, é possível utilizar mais de duas treliças para que as cargas nas tra-
vessas sejam menores e que existam mais suportes para resistir as cargas 
externas. Como mostrado no exemplo de Howe, as travessas são apoiadas 
nos nós da treliça para que apenas esforços axiais sejam gerados nos elemen-
tos da treliça. Em algumas construções mal executadas e mal planejadas, os 
construtores apoiam as travessas fora dos nós, o que pode causar esforços 
de momento fl etor nas barras da treliça. Deve se evitar essa prática pois, 
geralmente, as barras de uma treliça não são projetadas para resistir momen-
tos. Isso pode comprometer a estabilidade e resistência de toda a estrutura 
do telhado.
EXPLICANDO
Não é raro encontrar treliças com cargas sendo aplicadas fora dos nós. 
Esses casos são vistos principalmente em construções de telhados em 
que não existe projeto ou responsável técnico. Em muitos desses casos, 
essas treliças são construídas com seções robustas e com desperdício de 
materiais, o que faz com que elas possam resistir aos esforços causados 
por chuvas e ventos. Por isso, o projeto e detalhamento dos elementos de 
uma treliça são fundamentais, pois otimizam o uso de materiais e fazem 
com que a estrutura funcione como projetada.
As cargas externas aplicadas no telhado, como, por 
exemplo, cargas de vento, são aplicadas nas travessas de 
modo que a distribuição dessas cargas seja feita por meio 
de áreas de infl uência. No caso da estrutura mostrada na 
Figura 2a, a área de infl uência para a travessa em DD ’ é 
calculada por meio da multiplicação do comprimento 
do telhado e a largura de infl uência. Essa largura é 
a soma entre a metade da distância entre C e D e a 
metade da distância entre D e E. 
ESTRUTURAS 98
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Na Figura 2b, uma representação da treliça mostrada na Figura 2a é pro-
posta e pode-se notar que as reações causadas pelas travessas são aplicadas 
nos nós, perpendicularmente às barras do banzo superior. Essas cargas, que 
podem ser tanto de vento quanto de chuva, ou combinações das duas, geram 
as reações nas travessas e depois são transferidas para vigas e pilares por 
meio dos apoios da treliça.
Em relação aos carregamentos causados por ventos, primeiramente, o te-
lhado pode sofrer pressão quando o vento está pressionando ou impactando 
os elementos da superfície ao qual ele está sendo aplicado. Posteriormente, 
de acordo com a geometria e aerodinâmica da construção, o vento pode cau-
sar sucção das superfícies do telhado, fazendo com que os elementos se des-
prendam da estrutura. Cargas de vento aplicadas como pressão são cargas 
distribuídas com o sinal positivo que causam compressão no banzo superior 
de uma treliça de telhado e tração no banzo inferior. A sucção causa o efeito 
oposto, uma vez que ela tem sinal negativo. Ou seja, na sucção, a carga distri-
buída tende a ter vetores indo na direção contrária em relação à superfície a 
qual ela está sendo aplicada.
Treliça de telhadoA
A
b)
a)
Travessa
B
B
C
C
D
D
D’
E
E
Figura 2. Treliça de telhado. Fonte: HIBBELER, 2005, p. 221. (Adaptado).
ESTRUTURAS 99
SER_ENGPROD_ESTRU_UNID4.indd 99 11/06/2021 13:53:24
Treliças de pontes
Um dos usos comuns de treliças é em pontes, como mostrado na Figura 3a. 
Como se pode observar, as longarinas são elementos colocados abaixo do piso e 
que se estendem ao longo da ponte. Ou seja, o comprimento das longarinas é igual 
ao comprimento da ponte. As transversinas, como o nome indica, são elemen-
tos estruturais colocados abaixo das longarinas, visando a distribuição das cargas 
para as treliças. O comprimento das transversinas é igual à largura da ponte.
A
Transversina
b)
a)
Treliça da ponte
Longarina
Piso
B
C
D
E
Figura 3. Treliça de ponte. Fonte: HIBBELER, 2005, p. 221. (Adaptado).
A B C D E
ESTRUTURAS 100
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Neste tipo de sistema estrutural, as cargas tanto de peso próprio quan-
to dos automóveis sobre o piso são descarregadas primeiramente nas lon-
garinas e, posteriormente, nas transversinas. Como esperado, as transver-
sinas são conectadas nos nós do banzo inferior da treliça. Isso auxilia para 
que as reações causadas nas extremidades das transversinas não sejam 
descarregadas no meio de uma barra da treliça, uma vez que, como expli-
cado anteriormente, para evitar momentos fletores nos elementos de uma 
treliça, as cargas devem ser aplicadas nos nós. A Figura 3b mostra a repre-
sentação de uma das treliças com as cargas pontuais descarregadas pelas 
transversinas sobre os nós.
É importante destacar que, em pontes ou telhados de comprimento ele-
vado, ou seja, que buscam vencer elevados vãos, as deformações por varia-
ções de temperatura ou por aplicação de cargas devem ser consideradas. 
O uso de apoio do tipo rolete, por exemplo, que não oferece resistência ao 
deslocamento horizontal, é uma das soluções pois permite que a estrutura 
possa sofrer expansão ou contração. 
Classificação quanto à formação e ao equilíbrio estático
As treliças podem ser classifi cadas quanto à formação e ao equilíbrio está-
tico. Na Figura 4, são mostrados os diferentes tipos de treli-
ças. As simples são formadas pela adição de duas barras, 
conectando dois nós existentes a um terceiro nó. Por 
exemplo, o nó D da Figura 4a é formado pela adição de 
duas barras, uma vinda de B e uma vinda de C. Esse pro-
cesso é repetido até que todos os elementos das treliças 
sejam posicionados.
As treliças compostas são constituídas de combi-
nações de treliças simples, como mostrado na Figu-
ra 4b. As treliças complexas, mostradas na Figura 
4c e 4d, são aquelas que não são nem simples 
nem compostas. As treliças complexas podem ser 
construídas por meio de combinações de elementos 
triangulares, quadriláteros e/ou poligonais. 
ESTRUTURAS 101
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Treliça
simples
Treliça
simplesB D
A C
a)
c)
b)
d)
E
Figura 4. Classificação de treliças quanto à formação. Fonte: LEET et al., 2017, p. 134-135. (Adaptado).
Antes de iniciar qualquer análise de uma treliça, é importante saber se ela 
é estável e determinada. Caso a treliça seja instável, ou seja,não ofereça con-
dições de estabilidade para que os elementos possam suportar as cargas ex-
ternas e de peso próprio de modo equilibrado, não deve ser utilizada e tanto a 
geometria quanto as condições de apoio devem ser revisadas.
O cálculo do grau de indeterminação estática de uma treliça auxilia na sua 
classificação entre: instável, estaticamente determinada e estaticamente inde-
terminada. Existem duas equações de equilíbrio disponíveis em cada nó: ΣFX = 
0 e ΣFY = 0. Sendo assim, a classificação é feita de acordo com a Equação 1. Essa 
equação é similar ao grau de estaticidade de uma estrutura. A formulação da 
equação se dá por número total de incógnitas menos o número total de equa-
ções disponíveis. 
G = r + b - 2n (1)
ESTRUTURAS 102
SER_ENGPROD_ESTRU_UNID4.indd 102 11/06/2021 13:53:25
Onde,
• G: grau de indeterminação;
• r: quantidade de reações desconhecidas; e
• n: número de nós.
Se G 0, a estrutura é considerada estaticamente 
indeterminada. Isso indica que apenas as equações de equilíbrio estático não 
são suficientes para calcular todas as incógnitas da treliça e, portanto, métodos 
avançados devem ser aplicados.
Para exemplificar as explicações anteriores, tomemos alguns exemplos do 
cálculo do grau de indeterminação de treliças planas. As treliças utilizadas para 
cada caso são mostradas na Figura 5.
A B
(a)
A B
(b)
ESTRUTURAS 103
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Figura 5. Treliça de ponte. Fonte: LEET et al., 2017, p. 153. (Adaptado).
C G F
EBA
(c)
BA
(d)
A B(e)
A B C
(f)
D
ESTRUTURAS 104
SER_ENGPROD_ESTRU_UNID4.indd 104 11/06/2021 13:53:25
Figura 5a
 b = 8; r = 4; n = 6 (2)
b + r = 12; 2(n) = 12
b + r = 2n (estaticamente determinada)
Aparentemente, a treliça é estaticamente determinada, como calculado an-
teriormente. Entretanto, a falta de uma barra central que possa transferir os 
esforços verticais faz com que essa treliça seja considerada instável. Quadros 
planos geralmente tendem a ser vulneráveis aos esforços e podem sofrer co-
lapso. A colocação de uma barra inclinada, conectando um vértice a outro do 
quadro plano central, seria suficiente para que essa treliça fosse estável.
Figura 5b
 b = 21; r = 3; n = 10 (3)
b + r = 24; 2(n) = 20 
b + r > 2n (estaticamente indeterminada)
A estrutura é estaticamente indeterminada de grau 4. As reações de apoio 
podem ser determinadas para qualquer tipo e combinação de carregamentos 
externos usando as três equações de equilíbrio estático. Entretanto, as duas 
equações de equilíbrio disponíveis para cada nó não são suficientes para de-
terminar os esforços internos de cada barra. Assim, métodos mais avançados 
devem ser utilizados. É possível notar que a indeterminação é resultante da 
adição das duas diagonais (em forma de x) em cada quadro da treliça. É possível 
remover uma diagonal em cada quadro para que a estrutura seja estaticamen-
te determinada.
Figura 5c
 b = 16; r = 4; n = 10 (4)
b + r = 20; 2(n) = 20
b + r = 2n (estaticamente determinada)
Apesar da equação do grau de estabilidade ter indicado que a treliça é esta-
ticamente determinada, a parte direita da treliça está formando um sistema de 
forças paralelas com a parte esquerda. A barra CD é uma conexão entre essas 
duas partes, e qualquer força aplicada no nó F, por exemplo, pode causar um 
levantamento da parte esquerda da treliça. Isso deve ser evitado, uma vez que 
é desejável que todos os elementos de uma treliça permaneçam estáticos. As-
sim, a treliça deve ser considerada instável.
ESTRUTURAS 105
SER_ENGPROD_ESTRU_UNID4.indd 105 11/06/2021 13:53:25
Figura 5d
 b = 6; r = 3; n = 5 (5)
b + r = 9; 2(n) = 10
b + rexemplifi cado nas próximas seções.
Entretanto, é importante apresentar alguns conceitos básicos sobre os es-
forços internos em barras de uma treliça. A Figura 7 mostra a representação 
de uma barra tracionada (Figura 7a) e de uma barra comprimida (Figura 7b). A 
tração causa o alongamento da barra e a compressão, seu encurtamento. Por 
isso, as forças internas na barra tracionada são representadas saindo da barra, 
e as forças internas na barra comprimida são representadas entrando na barra.
Nó A
Nó A
(a)
(b)
Nó B
Nó B
A
A
T
C C C C
TT T
B
B
Figura 7. Treliça de ponte. Fonte: LEET et al., 2017, p. 136. (Adaptado).
Outro conceito importante é o de que a força interna em uma barra é 
constante em todos os locais da barra. Ou seja, caso uma seção seja feita en-
tre o nós A e B, a mesma força representada em A deve ser representada em 
B. Ou seja, supondo que FAB seja a força de tração da barra AB representada 
no nó A, a mesma força deve ser representada em B, mas com o nome de FBA 
pois a seta vai de B para A. FAB e FBA são a mesma força, mas são representadas 
em nós diferentes e a nomenclatura das forças geralmente se dá de modo 
que a sequência das letras segue a sequência de onde a força sai para onde 
ela está indo.
ESTRUTURAS 108
SER_ENGPROD_ESTRU_UNID4.indd 108 11/06/2021 13:53:26
Método dos nós
Neste método, deve-se fazer um corte ou seção em volta de um nó cortando 
todas as barras que se conectam a ele. Cada barra cortada deve ser representada 
por uma força. Geralmente, essas forças são representadas como sendo de tra-
ção, ou seja, saindo do nó. Entretanto, a convenção da direção do esforço interno 
pode ser determinada pelo projetista. Após os cálculos dos esforços através das 
equações de equilíbrio do nó, um sinal negativo indica que a força deve estar na 
direção contrária. Neste documento, sempre que houver um corte em uma barra, 
a força nessa barra será adotada como sendo de tração. Assim, caso o cálculo des-
sa força resulte em um valor negativo, essa força é de compressão. Como as forças 
em um nó constituem um sistema de forças concorrentes, existem duas equações 
de equilíbrio disponíveis para o cálculo dos esforços internos nas barras: ΣFX = 0 e 
ΣFY = 0. O somatório de momentos não é utilizado porque, como as forças passam 
pelo mesmo ponto (o nó), nenhuma das forças causa momento em relação ao nó.
DICA
Ao início da análise dos esforços axiais nos membros de uma treliça pelo 
método dos nós, é recomendável que todas as barras nulas sejam iden-
tificadas. Isso facilita o cálculo dos outros elementos, uma vez que essa 
identificação pode possibilitar mais opções para o início dos cálculos. 
Além disso, em alguns casos, uma treliça estaticamente indeterminada 
pode ser resolvida unicamente com o uso do método dos nós dependendo 
do grau de estaticidade.
Para o entendimento da aplicação do método dos nós, a treliça mostrada 
na Figura 8 será analisada quanto aos esforços internos e às reações de apoio. 
É importante destacar que o ângulo formado entre as barras pode ser repre-
sentado de duas maneiras: pela indicação de um valor nominal do ângulo ou 
por um triângulo retângulo representando a inclinação. A conversão dos es-
forços de cada barra para a direção de um eixo deve ser feita utilizando as leis 
da trigonometria (seno, cosseno e tangente). Para os exemplos utilizados nas 
próximas seções, os ângulos são representados por um triângulo retângulo 
com lados 3, 4 e 5. Assim, o seno e cosseno do ângulo serão representados por 
frações. Por exemplo, na Figura 8 é mostrado um nó com uma força inclinada 
e, para que as componentes dessa força sejam aplicadas nas equações de equi-
líbrio, deve-se usar seno e cosseno do ângulo θ.
ESTRUTURAS 109
SER_ENGPROD_ESTRU_UNID4.indd 109 11/06/2021 13:53:26
As componentes são calculadas da seguinte maneira:
FAB_x = FAB ∙ cos θ = FAB ∙ (4/5) (8)
FAB_y = FAB ∙ sen θ = FAB ∙ (3/5) (9)
θ
5
FAB
4
3
Figura 8. Treliça plana com cargas pontuais aplicadas no banzo superior.
O detalhamento de cada nó e as forças em cada barra são mostrados na 
Figura 9. Seguindo as recomendações sobre como iniciar o 
cálculo de esforços internos em treliças planas, é possível 
notar que existem diversas possibilidades para a ordem de 
cálculo das incógnitas. Depois de encontrar as reações de 
apoio utilizando as três equações de equilíbrio externo, 
pode-se iniciar o cálculo das forças internas tanto no nó 
A como no E, os apoios. Ambos os nós possuem ape-
nas duas incógnitas e elas podem ser encontradas 
com a utilização das duas equações de equilíbrio dos 
nós: ΣFX = 0 e ΣFY = 0.
ESTRUTURAS 110
SER_ENGPROD_ESTRU_UNID4.indd 110 11/06/2021 13:53:26
Figura 9. Detalhamento dos esforços em cada nó. 
Primeiramente, as reações de apoio devem ser calculadas:
 ΣME = 0 (10)
-10kN ∙ (4m) – 10kN ∙ (8m) - 10kN ∙ (12m) - VE ∙ (16m) = 0
VE = 15kN
ΣFY = 0
VA + VE - 30 kN = 0
VA = 15 kN
(c)
FCD
FCG
FCB C
10 kN
(f)
FFG FFE
FFD
F
(h)
H
FHA FHG
FHB
(d)
FDC
FDE
FDF
FDG
D
10 kN
55
4 4
33
(a)
VA
HA
FAH
FAB
A 35
4
(b)
FBH
FBG
FBC
FAB
10 kN
B
3 35 5
4 4
(e)
FEF
FED
VE
E
5
4
3
(g)
FGH
G
FGB
FGC FGD
FGF
55 33
44
ESTRUTURAS 111
SER_ENGPROD_ESTRU_UNID4.indd 111 11/06/2021 13:53:26
ΣFx = 0
HA = 0
Agora, cada nó será analisado separadamente:
Nó A (Figura 9a):
 ΣFy = 0 (11)
FAB ∙ (3/5) + 15kN = 0
FAB = -25kN
ΣFx = 0
FAB ∙ (4/5) + FAH + HA = 0
FAH = 20Kn
Nó B (Figura 9b):
 ΣFy = 0 (12)
–FAB 
* (3/5) – FBG * (3/5) – FBH – 10kN = 0
Sabendo que FAB = -25 kN, FBH = 0kN,
FBG = 8,3kN
ΣFx = 0
–FAB ∙ (4/5) + FBG ∙ (4/5) + FBC = 0
FBC = -26,6kN
Nó C (Figura 9c):
 ΣFy = 0 (13)
-FCG -10kN = 0
FCG = -10kN
ΣFx = 0
Sabendo que FCB = FBC = -26,6kN,
FCD + FCB = 0
FCD = -26,6kN
Nó D (Figura 9d): 
 ΣFy = 0 (14)
–FDE ∙ (3/5) – FDG ∙ (3/5) – FDF – 10Kn = 0
Sabendo que FDE = FED = -25kN, FDF = FFD = 0kN,
FDG = 8,3kN
ΣFx = 0
–FDC ∙ (4/5) – FDG ∙ (4/5) + FDE = 0
FDC = -26,6kN
ESTRUTURAS 112
SER_ENGPROD_ESTRU_UNID4.indd 112 11/06/2021 13:53:26
Nó E (Figura 9e):
 ΣFy = 0 (15)
FED ∙ (3/5) + 15kN = 0
FED = -25kN
ΣFx = 0
FED ∙ (4/5) + FEF = 0
Sabendo que FED = -25kN,
FEF = 20kN
Nó F (Figura 9f):
 ΣFy = 0 (16)
FFD = 0
ΣFx = 0
FFE - FFG = 0
Sabendo que FFE = FEF = 20kN,
FFG = 20kN
Nó H (Figura 9h):
 ΣFy = 0 (17)
FHB = 0
ΣFx = 0
-FHA + FHG = 0
Sabendo que FAH = FHA = 20kN,
FHG = 20kN
Note que não houve a necessida-
de do cálculo do nó G, uma vez que 
todas as forças desse nó já foram so-
lucionadas por meios da resolução 
dos outros nós. Entretanto, pode-se 
utilizar as equações de equilíbrio no 
nó G para conferir se os resultados 
das forças proporcionam o equilíbrio 
do nó. Ou seja, se os somatórios das 
forças na direção dos eixos x e y de-
vem ser iguais a zero.
ESTRUTURAS 113
SER_ENGPROD_ESTRU_UNID4.indd 113 11/06/2021 13:53:27
-25
.0 -25.0
8.3 8.3
20.0 
15
.0
 k
N
15
.0
 k
N
20.0 
-26.6 -26.6
-1
0.
0
20.0  20.0 
-0
.0
-0
.0
Figura 10. Treliça plana com cargas pontuais aplicadas no banzo superior. 
Figura 11. Resultados da análise de esforços internos. 
Método das seções
Assim como no método dos nós, o método das seções é utilizado para o cál-
culo de esforços internos de barras da treliça. Entretanto, enquanto no método 
dos nós procura-se calcular os esforços internos de todas as barras, o método 
das seções busca encontrar esses esforços para barras específicas da treliça. 
Por exemplo,97
Tipos de treliças ............................................................................................................... 98
Classificação quanto à formação e ao equilíbrio estático ..................................... 101
Barra de esforços nulos ............................................................................................... 106
Processos de análise .................................................................................................... 108
Análise de treliças espaciais ...................................................................................... 116
Sintetizando ......................................................................................................................... 122
Referências bibliográficas ............................................................................................... 123
SER_ENGPROD_ESTRU_UNID1.indd 7 11/06/2021 11:43:02
SER_ENGPROD_ESTRU_UNID1.indd 8 11/06/2021 11:43:02
Caro aluno, nesta unidade de ensino se inicia o estudo de análise estrutural. 
É importante que o engenheiro civil entenda como se comportam as estrutu-
ras quando são sujeitas ao uso e às situações para as quais foram calculadas e 
projetadas. A engenharia estrutural trata do planejamento, projeto, execução 
da construção ou reparo dos sistemas estruturais.
O sistema físico é constituído por elementos interligados capazes de supor-
tar e transmitir ações ou um conjunto de ações e esforços. O sistema estrutural 
é composto pela parte resistente da edifi cação: vigas, pilares e laje. A análise 
estrutural, portanto, consiste em chegar aos resultados reais usando métodos 
matemáticos identifi cando os esforços dos elementos, as possíveis reações e 
tensões, conhecendo o sistema e o comportamento da estrutura existente.
Hoje, com os avanços tecnológicos, há efi cientes softwares disponíveis para 
calcular a estrutura. Mesmo assim, isso não anula o conhecimento necessário 
para a análise crítica do projeto, usando o software apenas para auxílio. O re-
sultado de aprendizagem desta unidade é a aplicação e análise dos conceitos 
básicos relativos às tensões, ações e esforços.
Aceita este desafi o?
ESTRUTURAS 9
Apresentação
SER_ENGPROD_ESTRU_UNID1.indd 9 11/06/2021 11:43:02
A Deus, que me deu a vida e a sabedoria diária.
Aos meus pais, Tito e Rosana, por todo o aprendizado e apoio desde o 
primeiro momento de vida.
A professora Mariane Lima Alves é 
graduada em Engenharia Civil e espe-
cialista em Estruturas. Possui conheci-
mento de campo por já ter participado 
de grandes obras como shoppings, edi-
fícios comerciais, residenciais e hotéis. 
Atua na área de pós obra, prestando 
assistência técnica a empreendimentos 
comerciais, acompanhando a trabalha-
bilidade das estruturas e funcionamen-
to do edifício construído.
Currículo Lattes:
http://lattes.cnpq.br/2526414557921218
ESTRUTURAS 10
A autora
SER_ENGPROD_ESTRU_UNID1.indd 10 11/06/2021 11:43:02
Este material é dedicado a todos os estudantes que o utilizarem, com a 
esperança de que seja útil à formação desses futuros profi ssionais. Espero 
que seja uma leitura agradável e prazerosa!
O professor John Kennedy Fonsêca 
Silva é mestre em Estruturas e Constru-
ção Civil pela Universidade de Brasília 
(UnB, 2020) e graduado em Engenharia 
Civil pelo Centro Universitário de Patos 
de Minas (Unipam, 2017).
Currículo Lattes:
http://lattes.cnpq.br/5026086297505346
O autor
ESTRUTURAS 11
SER_ENGPROD_ESTRU_UNID1.indd 11 11/06/2021 11:43:03
Dedico esse material a todos que me ajudaram a sair de uma condição de 
pobreza extrema até chegar a uma universidade nos Estados Unidos. 
O professor Roberto Vicente Silva 
de Abreu é mestre em Engenharia Ci-
vil pelo Florida Institute of Technology 
(2019) e graduado em Engenharia Civil 
pela UNIFACIG (2016).
Currículo Lattes:
http://lattes.cnpq.br/0390781136043856
ESTRUTURAS 12
O autor
SER_ENGPROD_ESTRU_UNID1.indd 12 11/06/2021 11:43:03
MORFOLOGIA DAS 
ESTRUTURAS E AÇÕES 
EM ESTRUTURAS
1
UNIDADE
SER_ENGPROD_ESTRU_UNID1.indd 13 11/06/2021 11:43:11
Objetivos da unidade
Tópicos de estudo
 Classificar os elementos estruturais;
 Analisar as ações em estruturas.
 Definições básicas 
 Classificação dos elementos 
estruturais
 Ações: classificação 
 Tipos de carga
 Esforços
 Classificação dos esforços 
internos
 Conversão de sinais 
ESTRUTURAS 14
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Definições básicas
Suportar e transmitir cargas sem exceder os esforços dos elementos é o 
fator principal da análise e do cálculo estrutural que gera a garantia da segu-
rança, durabilidade da estrutura, economia durante a construção, estética ou 
até mesmo aspectos ambientais, de acordo com método construtivo sugerido. 
Para analisar a capacidade da estrutura, é preciso determinar os esforços so-
licitantes internos e, por isso, é importante relembrar as representações de 
vínculos e reações representados no Quadro 1. 
QUADRO 1. REPRESENTAÇÃO E DEFINIÇÃO DE FORÇAS
Vínculos Representação Restrições ou reações
Móvel
ou V
Fixo
V
H
Engaste
ou
M
MóvelMóvel
FixoFixo
ou
H
V
V
EngasteEngaste
ouou
M
Fonte: SANTOS, 2018. (Adaptado).
Classificação dos elementos estruturais
A classifi cação dos elementos estruturais, segundo o seu formato, se defi ne 
por suas grandezas, dadas pelas três dimensões principais do elemento: com-
primento, altura e espessura. Esses elementos são classifi cados como unidi-
mensionais, bidimensionais e tridimensionais.
ESTRUTURAS 15
SER_ENGPROD_ESTRU_UNID1.indd 15 11/06/2021 11:43:12
Elementos unidimensionais
Quando duas dimensões participam da mesma grandeza e são menores 
que a terceira dimensão, temos uma estrutura linear, em formato de barra reta 
ou curva, que são os pilares, escoras, vigas, tirantes e nervuras, nomeados de 
elementos unidimensionais e apresentados no Diagrama 1.
DIAGRAMA 1. REPRESENTAÇÃO DE VIGAS
ℓ3 
ℓ2 
ℓ1 
bw = ℓ3 
ℓ3 
ℓ2 
ℓ1 
h
Fonte: FUSCO, 1981.
Vigas
Pela definição da NBR 6118, de 2014, vigas “são elementos lineares em 
que a flexão é preponderante”. As vigas são barras retas e horizontais que 
recebem reações das lajes, de outras vigas, de paredes de alvenaria e, even-
tualmente, de pilares. A função das vigas é dar estabilidade à estrutura, 
vencendo os vãos e transmitindo as ações que recebem, para os apoios, ou 
seja, os pilares.
As ações são perpendiculares ao seu eixo longitu-
dinal e concentradas ou distribuídas em toda a exten-
são da estrutura. Elas recebem forças normais de 
compressão ou de tração, na direção do eixo lon-
gitudinal. Assim como as lajes e os pilares, fazem 
parte do sistema de contraventamento (sistema 
de proteção de edificações contra a ação do vento).
ESTRUTURAS 16
SER_ENGPROD_ESTRU_UNID1.indd 16 11/06/2021 11:43:12
Essa proteção contra o vento, 
como o próprio nome diz, é respon-
sável por proporcionar a estabilidade 
global dos edifícios às ações solicita-
das verticais e horizontais. Uma viga é 
composta por estribos, chamados de 
armaduras transversais, e por barras 
longitudinais, chamadas de armadu-
ras longitudinais. A quantidade e o 
tipo ou diâmetro da barra de aço é 
dimensionada por meio do cálculo es-
trutural. A viga é um elemento linear, 
com seções transversais ao longo de 
sua extensão, sujeita a momento fle-
tor ou força cortante (forças normais). 
Nesse contexto, há dois tipos de laje: viga em balanço ou viga apoiada.
Pilares
Elemento linear, com seções transversais ao longo de seu comprimento su-
jeitas a forças normais de compressão de modo uniforme. São os elementos 
estruturais de extrema importância nas estruturas, seja na capacidade de re-
sistência dos edifícios ou no aspecto de segurança.
Além da transmissão das cargas verticais para os elementos de fundação e 
solo, os pilares, assim como as vigas, fazem parte da proteção de contraven-
tamento, responsável por garantircaso seja desejável encontrar apenas as forças internas nas bar-
ras CD, GD e GF da treliça mostrada na Figura 10, o método dos nós pode ser 
usado. Porém, neste caso, o método das seções proporciona mais agilidade 
devido ao número reduzido de cálculos a ser efetuado. Para o cálculo de FCD, FGD 
e FGF, pode-se passar uma seção (a-a ’ da Figura 12) que corte essas três barras 
10
.0
 k
N
3.
00
 m
A
B DC
H
4.00 m 4.00 m 4.00 m 4.00 m
16.00 m
F EG
10
.0
 k
N
10
.0
 k
N
ESTRUTURAS 114
SER_ENGPROD_ESTRU_UNID4.indd 114 11/06/2021 13:53:27
e pode se usar as equações de equilíbrio global. Essa metodologia se baseia na 
teoria de que, se uma estrutura está em equilíbrio, todos os elementos e partes 
dessa estrutura também estarão em equilíbrio. Assim, as equações de equilí-
brio podem ser utilizadas tanto para um lado como para o outro da treliça. Ou 
seja, tanto o diagrama de corpo livre do lado direito da seção pode ser utilizado 
quanto o lado esquerdo.
Figura 12. Exemplo do método da seção. 
Não existem limitações quanto ao número de barras a serem cortadas por 
uma seção, mas, comumente, cortam-se, no máximo, três barras, pois existem 
três equações de equilíbrio disponíveis. Além disso, existem duas peculiarida-
des sobre a direção das barras cortadas, e ambas são mostradas na Figura 12. 
A primeira se dá quando duas das barras cortadas são paralelas, e a terceira é 
inclinada em relação às outras duas. Isso facilita o cálculo da força inclinada por-
que o somatório das forças na direção vertical é suficiente para encontrar o valor 
da força inclinada. Observa-se a segunda peculiaridade quando a extensão de 
uma força ao longo da direção à qual é aplicada intercepta outra força. A Figura 
12 mostra isso com FGD e FCD se interceptando no ponto D. Essa configuração de 
barras faz com que o somatório de momento no ponto D seja suficiente para 
3.
00
 m
4.00 m
VA = 15 kN
4.00 m
G
HA
C
FCD
FGD
FGF
D
a
a’
B
10
.0
 k
N
10
.0
 k
N
ESTRUTURAS 115
SER_ENGPROD_ESTRU_UNID4.indd 115 11/06/2021 13:53:27
encontrar o valor de FGF, uma vez que o momento sobre um ponto causado por 
uma força aplicada naquele ponto é zero. Assim, o momento de FCD e FGD sobre 
o ponto D é zero e a única força restante na equação de momentos é a força FGF.
O cálculo de FCD, FGD e FGF será realizado a seguir por meio das três equações 
de equilíbrio externo:
 ΣFy = 0 (18)
FGD ∙ (3/5) -10kN – 10kN + 15kN = 0
FGD = 8,3kN
ΣMD = 0
FGF ∙ 3m + 10kN ∙ 4m + 10kN ∙ 8m -15kN ∙ 12m = 0
FGF = 20kN
ΣMA = 0
FGD ∙ (3/5) ∙ 8m – FCD ∙ 3m – 10kN ∙ 8m – 10kN ∙ 4m = 0
Sabendo que FGD = 8,3kN,
FCD = -26,6kN
Os valores das forças FCD, FGD e FGF encontrados pelo método das seções coin-
cidem com os valores dessas mesmas forças encontradas pelo método dos 
nós, como mostrado na seção anterior.
DICA
Geralmente, em treliças que possuem cargas aplicadas verticalmente 
para baixo, o banzo superior estará submetido a esforços de compressão 
e o banzo inferior estará submetido à esforços de tração. O tipo de esforço 
das diagonais depende da posição do carregamento e da inclinação de 
cada diagonal.
Análise de treliças espaciais
As treliças espaciais se diferenciam das planas pelo fato de elas serem repre-
sentadas em um sistema de eixos em três dimensões. As barras são ligadas em 
cada nó, assim como anteriormente, mas agora a representação das posições 
e dimensões das barras devem ser representadas em três dimensões. A treliça 
espacial mais simples possível é um tetraedro, formado por quatro faces triangu-
lares, como mostrado na Figura 13.
ESTRUTURAS 116
SER_ENGPROD_ESTRU_UNID4.indd 116 11/06/2021 13:53:28
P
Figura 13. Treliça espacial simples. 
É importante destacar que cada barra representada por dois ou mais ei-
xos deve ter o esforço axial interno representado por notação vetorial. Sendo 
assim, dado uma barra que seja representada pelos três eixos, a componente 
na direção x é representada com um vetor unitário i, na direção y por j, e na 
direção z por k.
Assim como em treliças planas, tanto o método dos nós quanto o das se-
ções podem ser usados para o cálculo dos esforços internos. No método dos 
nós, para cada nó, três equações de equilíbrio estão disponíveis: ΣFX = 0, ΣFY = 
0 e ΣFZ = 0. É recomendável que o cálculo seja iniciado por um nó que possua 
uma força conhecida e, no máximo, três forças desconhecidas. No método das 
seções existem seis equações de equilíbrio: ΣFX = 0, ΣFY = 0, ΣFZ = 0, ΣMX = 0, ΣMY 
= 0 e ΣMZ = 0.
Uso de treliças espaciais
As treliças espaciais podem ser utilizadas em telhados e pontes, assim como 
as treliças planas. Entretanto, pela maior dificuldade de fabricação e instalação, 
os projetistas optam por utilizá-las em casos especiais, onde busca-se vencer 
vãos elevados, sem muitas possibilidades de apoio intermediário. Elas são vis-
tas com muita frequência em telhados de aeroportos, rodoviárias e galpões, 
por exemplo.
ESTRUTURAS 117
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A Figura 14 mostra quatro exemplos de treliças espaciais. Pode-se notar 
que o galpão mostrado na Figura 14a possui um telhado que cobre uma área 
elevada e não existem muitos apoios internos. Os suportes das treliças estão 
na parte lateral. Isso é possível por conta da distribuição de cargas gerada pela 
treliça. A Figura 14b mostra um telhado de uma estação de ônibus suportado 
por treliças espaciais. Além desses dois exemplos, outras estruturas, como te-
lhados de quadras de esportes e torres de transmissão, são tipos de estruturas 
que utilizam treliças espaciais e são facilmente encontradas no cotidiano.
Os exemplos mostrados na Figura 14c e 14d são de estruturas formadas 
por treliças espaciais também, mas elas são estruturas mais únicas e que não 
são encontradas facilmente no cotidiano: a Torre Eiffel, na Figura 14c, e a roda 
gigante, na Figura 14d.
A
C
B
D
Figura 14. Treliças espaciais. Fonte: Shutterstock. Acesso em: 14/05/2021.
Determinação do grau de estabilidade
Determina-se o grau de estabilidade de treliças espaciais de forma similar 
ao método apresentado anteriormente. Entretanto, como a treliça está em três 
dimensões, existem três equações de equilíbrio disponíveis para cada nó. Por-
tanto, ao invés de 2n, têm-se agora 3n para determinar o grau de estabilidade 
de uma treliça espacial.
ESTRUTURAS 118
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G = r + b - 3n
Se G 0 tende a indicar 
que a treliça é estaticamente indeterminada pois existem mais incógnitas do 
que equações. Entretanto, a verificação quanto às restrições oferecidas pelos 
apoios deve ser realizada da mesma forma como quando G = 0.
Cálculo de esforços internos
A treliça espacial mostrada na Figura 15 possui dois tipos de apoios/conexões 
que devem ser descritos. Nos nós B, C e D existem apenas uma barra conectan-
do o nó da treliça a um suporte do tipo fixo. Assim, existe apenas uma força de 
reação em cada um desses nós. Entretanto, no nó E, a estrutura está apoiada 
diretamente no apoio fixo e, assim, esse nó possui duas reações de apoio.
Figura 14. Exemplo de treliça espacial. Fonte: HIBBELER, 2005, n.p. (Adaptado).
30º
B
Z
A
D
E
X
C
2 kN
2 m
2 m
5 kN
y
2 m
ESTRUTURAS 119
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Deseja-se calcular os esforços axiais em cada barra e utilizar-se-á o método 
dos nós. Como o nó A possui apenas três incógnitas, a análise se iniciará por ele.
Nó A:
É possível notar que no nó A existe apenas a força de2 kN aplicada ao longo 
de y. Como não existem outras forças sendo aplicadas tanto na direção x quan-
to na z, as componentes x e z da força na barra inclinada (FAE) são zero e com 
isso, pode-se afirmar que FAE é igual a zero.
 ΣFY = 0 (19)
FAB – 2kN = 0
FAB = 2kN
ΣFX = 0
FAE = 0
ΣFZ = 0
FAC = 0
Nó B:
O apoio em B produz uma reação na mesma direção da barra, ligando a 
treliça ao apoio. Essa reação (RB) é contida pelos eixos x e y. Relembrando que 
cos 30º = 0,866, sen 30º = 0,5, cos 45º = sen 45º = 0,707. A força FBE pode ser decom-
posta em: FBEx = FBEy = FBE ∙ cos 45º = 0,707FBE.
 ΣFY = 0 (20)
RB ∙ sen 30º - 2kN = 0
RB = 4kN
ΣFX = 0
-RB ∙ cos 30º + 0,707 FBE = 0
FBE = 4,89kN
ΣFZ = 0
-FBD + 5kN – 0,707 FBE = 0
FBD = -1,53kN
Nó C:
Não existem forças aplicadas na direção x. Assim, a força FCE é igual a zero.
 ΣFX = 0
 
 (21)
FCE = 0
ESTRUTURAS 120
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Nó D:
Não existem forças aplicadas na direção x ou y. Assim, ambas as forças FDE e 
FDC são iguais a zero.
 ΣFX = 0 (22)
FDE = 0
ΣFY = 0
FDC = 0
ESTRUTURAS 121
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Sintetizando
As treliças são estruturas muito utilizadas em construções do cotidiano 
por conta de sua versatilidade e bom uso de materiais. Elas são formadas por 
barras esbeltas, conectadas por meio de nós. Além disso, possuem elementos 
organizados de maneira triangular, o que permite o alcance da estabilidade 
desses elementos em relação aos deslocamentos.
As treliças planas, como o nome indica, são definidas por um plano. Ou 
seja, em duas dimensões. Elas são comumente usadas em telhados e pontes e 
podem ser projetadas e analisadas com o uso do método dos nós e o método 
das seções. Uma das premissas fundamentais para o projeto de treliças é a de 
que as forças devem ser aplicadas nos nós. Caso sejam aplicadas fora dos nós, 
a otimização e uso dos materiais de forma eficiente pode ficar comprometida.
No método dos nós, faz-se um corte em volta de cada nó da treliça e as 
barras cortadas são substituídas por forças, que podem ser de tração ou com-
pressão. Este método é o mais indicado quando se deseja calcular os esforços 
internos de todas as barras da treliça. Para o cálculo de cada esforço em cada 
barra, pode-se utilizar os somatórios de forças em x e y. É possível utilizar esses 
dois somatórios em cada nó.
No método das seções, pode-se cortar qualquer parte da treliça, mas, no 
máximo, três barras. O método das seções é mais indicado quando se deseja 
encontrar apenas os esforços internos de algumas barras específicas da treliça. 
Após traçar o corte, as equações de equilíbrio externo (somatório de forças em 
x e y e somatório de momentos em cada apoio) podem ser utilizadas para a 
determinação das forças em cada barra cortada.
As treliças espaciais são definidas por um sistema de três eixos. Sendo as-
sim, os esforços internos em cada barra possuem múltiplos componentes. É 
isso que diferencia este tipo de treliça das treliças planas, uma vez que, no caso 
das treliças planas, os esforços axiais são definidos apenas por dois eixos. A 
formulação de treliças tridimensionais impacta também as equações de equi-
líbrio. A estrutura deve estar em equilíbrio em relação aos três eixos. Ou seja, 
três somatórios de forças (em x, y e z) devem ser verificados, assim como os 
somatórios de momentos para esses mesmos eixos.
ESTRUTURAS 122
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Referências bibliográficas
CONNOR, J. J.; FARAJI, S. Fundamentals of structural engineering. 2. ed. [s.l.]: 
Springer, 2016.
HIBBELER, R. C. Estática: mecânica para engenharia. 14. ed. [s.l.]: Pearson, 2005.
LEET, K. M. et al. Fundamentals of structural analysis. 5. ed. Nova Iorque: Mc-
Graw-Hill, 2017.
ESTRUTURAS 123
SER_ENGPROD_ESTRU_UNID4.indd 123 11/06/2021 13:53:32a estabilidade global dos edifícios às ações 
verticais e horizontais. Há diferentes classificações para os pilares e é o cálculo 
estrutural que define qual o tipo de pilar a ser usado.
Pilar interno, de borda e de canto
O pilar interno tem compressão simples, em que a 
excentricidade é desprezada. Nos pilares de borda, as 
solicitações correspondem à flexão composta, em que 
a excentricidade é admitida em uma direção. Já nos 
pilares de canto, as excentricidades iniciais ocor-
rem na borda, uma vez que são submetidos a uma 
flexão oblíqua.
ESTRUTURAS 17
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Pilar de 
canto 
Pilar de 
borda
Pilar 
interno 
DIAGRAMA 2. CLASSIFICAÇÃO DE PILARES
Fonte: VANDERLEI, 2008, p. 5. (Adaptado).
Pilar parede
São elementos verticais, em que as dimensões da seção 
transversal são submetidas à compressão, além de serem 
maiores ou da mesma altura de um pavimento. A espessu-
ra é pequena e compatível com as paredes e vigas.
Pórticos
Os pórticos são elementos forma-
dos pela junção de pilares e vigas. A es-
trutura reticulada é submetida a carre-
gamentos contidos em seu plano, com 
barras conectadas, articuladas ou rígi-
das. Estão sujeitas a momento fletor 
ou torçor e força cortante. A diferença 
do pórtico para um sistema formado 
por vigas apoiadas em pilares é que, 
no pórtico, a união entre viga e pilar é rígida, o que faz com que as ações sobre 
um único elemento – o pórtico – sejam refletidas nos outros elementos. Apesar 
da rigidez das ligações, os pórticos são deslocáveis no sentido horizontal.
ESTRUTURAS 18
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H
L
P P
Δ
DIAGRAMA 3. PÓRTICO DESLOCÁVEL
Fonte: FUSCO, 1981.
Estruturas acima de três pavimen-
tos podem apresentar deslocamentos 
e tendem a assumir valores significa-
tivos. Com isso, a ligação rígida entre 
vigas e pilares do pórtico pode não 
corresponder à estabilidade necessá-
ria para a edificação. Neste caso, há a 
necessidade de travar a estrutura por 
meio das diagonais de contraventa-
mento, que tornam os pórticos indes-
locáveis. A estrutura diagonal é execu-
tada em concreto armado quando a 
diagonal é somente solicitada à com-
pressão e em aço, quando as solicita-
ções são tração e compressão.
ESTRUTURAS 19
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DIAGRAMA 4. PÓRTICO INDESLOCÁVEL
Fonte: FUSCO, 1981.
Treliças
A treliça é uma estrutura reticulada, sujeita a carregamentos instalados em seu 
plano, aplicados em seus nós articulados, sujeitando-se apenas às forças normais 
de tração ou compressão.
A sua estrutura é baseada no triângulo, com maior resistência aos esforços de 
flexão, sendo formada apenas por hastes unidas entre si e pelas suas extremidades. 
Essas hastes transmitem apenas força axial e, por serem articuladas, são chamadas 
de nós. Em cada extremidade deve haver um nó, ligado a uma ou mais hastes.
Figura 1. Treliças metálicas. Fonte: Shutterstock. Acesso em: 15/09/2020.
ESTRUTURAS 20
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As treliças são feitas de aço e de madeira. Quando executadas com aço, suas 
hastes com seções transversais de várias formas, são denominadas cantoneiras 
e podem ser de abas iguais, ou desiguais e ainda podem ter uma combinação 
composta com as duas opções. Em casos de treliças metálicas, elas têm suas liga-
ções feitas por chapas de aço, nas quais são soldadas, rebitadas ou parafusadas.
Elementos bidimensionais
São os elementos de superfície, sendo os mais comuns, as lajes, paredes, 
placas e chapas ou um elemento curvo, chamado de casca – como exemplificado 
na Figura 2 pelo Auditório Simón Bolívar. As forças são perpendiculares ao plano 
da estrutura e nas paredes, as ações permanentes que são o próprio peso, per-
manecem no plano da estrutura.
Figura 2. Auditório Simón Bolívar. Fonte: Shutterstock. Acesso em: 15/09/2020.
Lajes
Lajes são estruturas que realizam o compartilhamento entre pavimentos 
de uma edificação, podendo dar suporte a contrapisos ou funcionar como teto. 
Sua concepção estrutural é de uma placa, com duas dimensões e cargas trans-
versais, é submetida à flexão. Lajes mais esbeltas são seguras quanto à ruptu-
ra, mas geram flechas ou vibrações excessivas.
A laje é o elemento totalmente plano, capaz de transmitir o seu peso pró-
prio, além de toda a carga sobreposta que são as pessoas, pisos, paredes e mó-
veis nela apoiados. A laje é responsável por transmitir essas ações para as vigas 
de apoio em suas bordas e, consequentemente, para os pilares da estrutura.
ESTRUTURAS 21
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Tipos de lajes
Laje maciça
A laje maciça em geral, dispõe de dimensões de largura e comprimento mui-
to maiores que a terceira dimensão denominada de espessura. Uma das van-
tagens da laje maciça é o isolamento acústico que proporciona aos usuários. 
Entretanto, as lajes maciças têm grande contribuição no consumo de concreto, 
sendo que metade de sua composição é armadura de aço e a outra metade de 
concreto, podendo ser montadas no próprio local.
A solução mais comum entre as lajes é a maciça, por ser uma placa de con-
creto armado, utilizada em pequenos vãos e de espessura pequena. É usada 
em áreas maiores, mas gera um peso próprio excessivo e também um certo 
desperdício quando equiparada com outro modelo. As lajes maciças podem 
ser vinculadas nas vigas e armadas de dois modos:
• Apoiadas em todas as direções;
• Apoiada em duas direções.
A técnica de construção da laje maciça segue uma sequência de montagem: 
• Execução das escoras e do assoalho para apoio da estrutura;
• Locação da armadura, respeitando os espaçamentos da armadura e forma;
• Locação das tubulações, eletrodutos e caixas de passagem para facilitar as 
instalações elétricas e hidráulicas, evitando quebras e retrabalhos posteriores 
(quebrar para realizar as instalações);
• Execução da concretagem, podendo ser concreto usinado ou produzido 
na obra, dependendo da disponibilização de mão de obra, quantidade neces-
sária de material e extensão da laje:
• É necessário umedecer as formas antes da concretagem;
• Manusear o movimento de vibração do concreto, com a ferramenta 
correta para a homogeneização;
• O concreto é preparado na betoneira, em obras 
de menor escala, ou comprado pronto, sendo neces-
sário o uso de caminhões bomba.
• Nivelamento da laje com desempenadeira;
• Manusear com guias que ajudam a manter 
o nível em toda a extensão da laje, tornando-se 
totalmente plana.
ESTRUTURAS 22
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• Acabamento:
• Aguardar o tempo de cura do concreto;
• Executar a retirada das guias que nivelam a forma;
• Realizar a desforma do madeirite;
• Retirar escoras conforme indicado em projeto.
EXPLICANDO
Escoras são estruturas provisórias capazes de segurar as formas de 
concreto da laje, até o processo de cura do concreto. Após o cálculo es-
trutural, o engenheiro projetista informa qual o tempo determinado para a 
retirada gradativa das escoras. A retirada não pode ocorrer em uma única 
vez e deve ser feita conforme indicado no projeto.
Laje cogumelo
De acordo com a NBR 6118, “lajes cogumelo, são lajes apoiadas diretamente 
em pilares com capitéis, enquanto lajes lisas são as apoiadas nos pilares sem 
capitéis”. Produzidas no concreto armado ou no concreto protendido, são uti-
lizadas para lajes com grandes vãos. Apesar disso, são classificadas como um 
tipo de laje cara, pois sua larga espessura requer um alto consumo de arma-
dura em aço e concreto. Esses elementos estão representados no Diagrama 5.
Laje
Laje lisa Laje cogumelo
CapitelPilar
DIAGRAMA 5. DEFINIÇÃO DE ESTRUTURAS
Fonte: PEIXOTO, 2015, p. 5.
Laje nervurada
As lajes nervuradas são formadas por conjuntos de vigas e podem ter ner-
vuras, cubetas de polipropileno em uma ou duas direções. É recomendada para 
vencer grandes vãos, sem pilares nem vigasintermediárias. Um espaço destinado 
ESTRUTURAS 23
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a escritórios ou salas pode ser modelado com a combinação desta laje e paredes 
em gesso acartonado.
É um sistema versátil por ser usado em todos os pés direitos. Os vazios são 
obtidos com moldes plásticos removíveis disponíveis no mercado em diversos 
tipos e dimensões ou pela colocação de material inerte perdido, como isopor ou 
peças cerâmicas.
A desforma das cubetas ocorre logo após a cura de concreto, respeitando a re-
tirada das escoras, conforme indicado no projeto. Ao utilizar esta forma de EPS, se 
tem uma estética melhor do produto final, agregando valor por meio de formas 
especiais, por chapas de madeirite ou compensado associado a blocos de EPS.
EXPLICANDO
O gesso acartonado diz respeito a placas de gesso utilizadas para aca-
bamentos de forro ou paredes, em geral internas, disponível na versão 
comum ou para áreas molhadas. As placas de gesso são produzidas por 
meio de uma mistura de gesso, água e aditivos. O gesso acartonado é uti-
lizado em ambientes nos quais se deseja um acabamento mais moderno e 
sofisticado. Além de ter um excelente acabamento, outras vantagens são 
a rapidez na execução, a leveza do material e a fácil aplicação.
Figura 3. Laje nervurada. Fonte: SANT’ANNA, 2018.
Laje treliçada
É o sistema construtivo mais comum em residências aqui no Brasil. É uma 
solução que utiliza vigotas de concreto, com armaduras no formato de treliça. 
São colocadas sobre elas material de enchimento para deixar seu peso próprio 
mais leve e, por fim, é realizada uma concretagem. Quando utiliza EPS, se de-
nomina laje de isopor.
ESTRUTURAS 24
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Após a concretagem, é considerada um tipo de laje nervurada, unidirecio-
nal ou bidirecional. Essa laje tem o peso próprio ainda menor que a maciça, 
reduzindo a demanda de formas, mas tendo como consequência o aumento de 
resíduos gerados em canteiros.
Figura 4. Vigas treliçadas para laje de piso de concreto armado e bloco de argila. Fonte: Shutterstock. Acesso em: 15/09/2020.
O enchimento incorporado na laje é executado com bloco cerâmico, mais 
usado neste tipo de laje e conhecido como lajota, bloco de concreto ou bloco 
de isopor. Todos esses enchimentos não produzem dano algum à armadura da 
laje. O enchimento é executado com materiais leves, sem função estrutural ou 
de resistência, pois ficam abaixo da linha neutra e permitem aumentar a altura 
da laje, encapando toda a estrutura de armadura.
Laje alveolar
Esta é outra solução que envolve pré-fabricados. Seu nome se dá pela pre-
sença de dutos no interior das placas pré-moldadas. A vantagem da sua utili-
zação está no cronograma da obra, uma vez que acaba reduzindo o tempo por 
ser uma peça que chega pronta. Prédios altos podem ser concebidos com lajes 
alveolares, todavia, caso seja utilizada como piso, é necessário um contrapiso 
de regularização.
O uso da laje alveolar se dá em função da padronização das peças e da 
sustentabilidade, uma vez que, por conta dos alvéolos, a laje requer uma es-
pessura menor de aço e concreto, deixando-a mais leve e oferecendo maior 
estabilidade dimensional na estrutura.
ESTRUTURAS 25
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Mesa infeior 
Alma ou 
nervura 
Alvéolos
Mesa superior 
Capa
h
Figura 5. Acabamento final das lajes alveolares. Fonte: BPM, 2015, p. 5.
Escadas
 As escadas são elementos de suma importância para a movimentação de 
pessoas em edificações de múltiplos pavimentos. Na concepção de uma esca-
da, o engenheiro ou arquiteto a dimensiona de modo que ela proporcione um 
nível aceitável de conforto ao usuário, além de segurança e acessibilidade. As 
escadas se classificam de acordo com os vários formatos e é preciso avaliar o 
projeto e o espaço do edifício para escolher o melhor tipo:
• Retangulares armadas transversalmente, longitudinalmente ou em cruz;
• Com ou sem patamar, em qualquer altura da escada;
• Com laje em balanço;
• Em viga reta, com degraus em balanço;
• Com degraus engastados um a um (escada em cascata);
• Com lajes ortogonais;
• Com lances adjacentes.
No dimensionamento da geometria das escadas, é utilizado o intervalo en-
tre 60 e 64 cm para a soma do piso e duas vezes o espelho, de acordo com a 
fórmula de Blondel:
Sendo: 
P = piso;
E = espelho.
60 ≤ p + 2 · e ≤ 64 (1)
ESTRUTURAS 26
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No cálculo estrutural, e para melhor dimensionar o elemento, as ações são 
consideradas verticais por m² de projeção horizontal. O peso próprio da escada 
é calculado pela soma da espessura da laje inclinada com o volume dos degraus. 
A carga varia com o uso da escada, conforme é indicado na NBR 6120, de 1980: 
• Escadas com acesso público: 3,0 kN/m²;
• Escadas sem acesso público: 2,5 kN/m².
Estes são os valores mínimos para o cálculo, oscilando para mais, a depender 
de cada projeto. Assim como o peso próprio, o revestimento é considerado como 
uma carga vertical por metro quadrado de projeção horizontal. Ele varia de acor-
do com o material que o arquiteto detalhou em seu projeto. Na ausência dessa 
informação, é recomendado utilizar uma carga de revestimento de 1,0 kN/m².
Elementos tridimensionais
Os elementos têm os mesmos tamanhos de grandeza nas três dimensões. 
São estruturas de volume chamadas de elementos de fundação, que transmi-
tem toda a carga recebida da estrutura para o solo, separadas em duas catego-
rias: fundações diretas e indiretas.
Figura 6. Fundação rasa (ou direta) de uma casa em comparação à fundação profunda (ou indireta) de um edifício. 
Fonte: Wikimedia Commons, 2007. Acesso em: 15/09/2020.
Fundações diretas
São consideradas aquelas em que a transmissão da carga é feita preponde-
rantemente pela base, sem a necessidade de equipamentos de grande porte, 
sendo classificadas como fundações diretas, sapatas, e radier.
ESTRUTURAS 27
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Sapatas
Dando seguimento às fundações, as sapatas, de acordo com a NBR 6122, de 
2010, são definidas como elemento de fundação superficial, de concreto arma-
do, dimensionado de modo que as tensões de tração nele resultantes sejam 
resistidas pelo emprego de armadura especialmente disposta para este fim e 
se apresentando em dois tipos: sapata isolada e sapata corrida.
A sapata isolada, como o próprio nome atribui, é um elemento de fundação 
que trabalha pontualmente sobre o solo. É utilizada em terrenos que apresen-
tam uma boa taxa de trabalho, e quando a carga a ser distribuída é relativamente 
pequena. Em geral, são amarradas umas às outras através de cintas ou vigas bal-
drames. Já a sapata corrida é executada em terreno de grande resistência, para 
pequenas construções, abaixo e ao longo das paredes com função estrutural.
Radier
É uma fundação utilizada em terrenos com pouca firmeza, quando a cama-
da fraca de solo é muito profunda. Atua como uma laje, construída sob toda ex-
tensão da obra, no chão. Porém, uma vez que suas medidas são estabelecidas 
e é efetuada sua construção, não pode haver alteração sobre seu posiciona-
mento. A execução do radier é simples e não requer mão de obra especializada, 
quando o subsolo atende aos requisitos mínimos:
• Escavar o terreno até a cota de implantação, garantindo o nivelamento correto;
• Lançar um lastro de concreto magro (espessura mínima de 5,0 cm), a fim 
de evitar contaminações indesejáveis;
• Concretar o radier, seguindo as especificações do projeto. Basicamente, 
resume-se em regularizar o terreno e concretar o radier.
Fundações indiretas
É chamada de indireta porque o elemento de fundação transmite a carga 
da construção ao terreno pela sua base, pela sua superfície lateral, 
ou pela combinação das duas. A sua utilização ocorre quando as 
camadas do solo não apresentam uma resistência equivalente à 
necessidade do projeto estruturale, como consequên-
cia, se buscam camadas mais profundas. Conforme 
apresentado no Diagrama 6, a carga proveniente 
de um pilar é transmitida para um conjunto de es-
tacas, por meio de um bloco de coroamento. 
ESTRUTURAS 28
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Bloco de 
coroamento 
Pilar 
Estaca
DIAGRAMA 6. PILAR COM BLOCO DE COROAMENTO E ESTACAS
Fonte: BARRETO, 2017, p. 19. (Adaptado).
Estacas
Estacas são elementos destinados a transmitir as 
ações ao solo por meio do atrito ao longo da superfície 
de contato e pelo apoio da ponta inferior no solo. De 
concreto armado ou metálicas, são pré-fabricadas ou 
moldadas in loco. Para que haja estabilidade é neces-
sário que a estaca e o solo resistam à carga aplica-
da. Há vários tipos de estacas no mercado, mas as 
mais usuais são:
• Hélice contínua;
• Raiz;
• Franki;
• Pré-moldadas de concreto;
• Perfis laminados.
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Bloco de coroamento
Segundo a NBR 6118, o bloco de coroamento é o elemento estrutural que tem 
a função de receber a carga do pilar e distribuir de maneira equivalente ao con-
junto de estacas que repousam abaixo dele. Para que isso ocorra, é necessário 
que o bloco seja extremamente rígido e que o centro de gravidade do bloco e do 
conjunto das estacas seja exatamente o mesmo. Quando isso não acontece, a 
excentricidade é gerada e a carga fi ca desbalanceada. Conforme a necessidade 
de projeto, as cargas são distribuídas em mais de uma estaca. No caso dos tubu-
lões, o bloco faz a transposição de cargas dos pilares para o fuste dos tubulões.
Tubulão
É um elemento de fundação moldado in loco, que consiste na escavação e 
concretagem de um poço, e pelo encamisamento da estrutura do fuste com 
anéis de concreto ou tubos de aço.
Executados em céu aberto, com ou sem escoramento e a ar comprimido, 
com revestimento metálico ou de concreto, o tubulão é empregado em situa-
ções que precisam suportar cargas elevadas, como na construção de pontes, 
edifícios e em áreas com difi culdade de adoção de técnicas mais mecanizadas.
A escavação de tubulões a céu aberto geralmente é manual, dependente de 
uma equipe. Vale ressaltar que o trabalho envolve riscos e exige o atendimento 
a normas de segurança, em relação ao uso de equipamentos de proteção indi-
vidual e verifi cação da presença de gases no solo.
Já os tubulões de ar comprimido são executados em solos menos coesivos, 
por esse motivo a técnica prevê a escavação acompanhada do revestimento. 
Além de suportar grandes cargas, seu diferencial é ser utiliza-
do em solos permeáveis, abaixo no lençol freático.
Essa fundação ainda é muito utilizada no Brasil, porém, 
em alguns países já foi proibida por colocar em risco a vida 
de pessoas durante a elaboração e checagem do fuste.
Ações: classificação
As ações, ou cargas, são responsáveis por introduzir ou modifi car um es-
forço interno de uma estrutura. Classifi cadas como permanentes, variáveis e 
excepcionais, conforme a NBR 6118, as ações permanentes são constantes, e 
ESTRUTURAS 30
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atuam na estrutura por toda vida. Elementos estruturais que atuam nessa clas-
sifi cação são paredes, vigas, pilares e revestimentos.
As ações variáveis são desdobradas em normais e especiais, porém, dentro 
das normais constam as ações acidentais, também chamadas de sobrecarga, 
que agem na estrutura e ocorrem em função do uso. O vento é uma ação nor-
mal, mas não é considerado como uma sobrecarga por agir independentemen-
te da fi nalidade de uso da edifi cação.
As ações ainda podem ser estáticas ou dinâmicas. As estáticas são constan-
tes, ou seja, não variam com o tempo. Já as dinâmicas são inter-
mitentes e, se o efeito dessa ação for desprezível, são chama-
das de estáticas ou quase estáticas. São chamadas ações 
estáticas a ação de veículos em uma ponte, ações de origem 
térmica, o peso de móveis em uma laje e o empuxo da terra. 
Tipos de carga
Para efetuar os cálculos de esforços 
nas estruturas, é necessário conside-
rar como as cargas atuam em diversos 
elementos estruturais, se concentra-
das ou distribuídas. Carga concentra-
da é a que atua sobre uma superfície 
pequena, de maneira pontual, e trans-
mitida por meio de um pilar, ou sobre 
uma viga, apoiada em outra.
Já a carga distribuída é considerada 
a que age ao longo de uma superfície 
ou uma linha, como uma carga trans-
mitida por uma parede em uma laje, 
ou uma laje que transmite sua carga 
para uma viga e até mesmo o peso 
próprio de uma viga. As unidades utilizadas nas cargas são: kN/m, kgf/m N/m. 
A carga distribuída sobre uma superfície é ação do peso próprio de lajes e de 
folhas. De modo geral elas são uniformes.
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Esforços
Os esforços internos surgem em uma determinada seção para que esse 
elemento permaneça em equilíbrio. Para que se entenda como esses esforços 
ocorrem, uma barra reta em equilíbrio, em que atuam as forças e as reações 
que ocorrem no engastamento: F1, F2 e M, como na Figura 7a.
Visto que a barra está em equilíbrio, se ela for dividida e analisada a fundo, 
é possível notar que a seção divisória atua como um engastamento, que equili-
bra os esforços internos de cada parte. As reações em cada seção divisora são 
iguais e de sentido inverso, como se observa na Figura 7b.
Figura 7. Cilindro com forças e momentos representados. Fonte: MORILLA, [s. d.], p. 16-17. (Adaptado).
F2 F2
F1
F1
L
M
F2
F2
Plano da seção
M = F2 • ℓ 
L - ℓ 
L 
F2
F2
F1
F1
F1
F1
M
M = F2 • ℓ 
A
B
ESTRUTURAS 32
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Classificação dos esforços internos
A força perpendicular à seção transversal da barra é denominada como for-
ça normal. Quando esse vetor sai do plano, é chamado de força normal de tra-
ção, porque ele estica a barra. Quando ele entra na seção, é chamado de força 
normal de compressão, por tender a encurtar a barra. De modo geral, a força 
normal é representada pela letra N e quando a mesma coincide com o eixo 
baricêntrico da barra, também denominado como força axial.
A força contida no plano da seção, que tende a deslizar uma em relação 
à outra, nas direções de y e z, fazendo um movimento de corte, se chama de 
força cortante ou força de cisalhamento e é representada pela letra V. Já o 
momento na direção de x, quando a força transversal tende a girar em tor-
no do eixo x, produz o momento torçor ou momento de torção. Quando os 
momentos estão em My e Mz, a barra acaba sendo fl exionada, gerando os 
momentos fl etores.
EXPLICANDO
A força axial está sujeita à tração com compressão, ou seja, a barra pode 
ser puxada ou comprimida. Quando a barra é comprimida, o esforço de 
compressão acentua a barra provocando um efeito de curvatura e esse 
feito faz com que haja deslocamentos laterais. Este fenômeno é chamado 
de fl ambagem axial.
Conversão de sinais
Forças
A força normal (N) é positiva quando traciona a barra. Já a força cortante 
(V ) é positiva quando o binário formado pelas forças em duas seções opostas 
tem o giro em sentido horário.
Momentos
O momento torçor é considerado positivo quando o ve-
tor que o representa, sai da seção. Já os momentos em y 
e z são positivos quando tracionam as fi bras da barra dos 
lados positivos dos seus respectivos eixos.
ESTRUTURAS 33
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Noções de equilíbrio estático
Se o número de incógnitas é menor do que o de equações, a estrutura é 
hipostática, se o número de incógnitas é igual ao de equações, a estrutura é 
isostática e, se o número de incógnitas é maior do que o de equações, a estru-
tura é hiperestática. Não obstante, um fator que une todas essas estruturas 
é que, em geral, elas não têm estabilidade.
Vento
A NBR 6118 determina que os esforços devidos à ação do vento devem ser 
considerados.Apesar da ação do vento constituir uma ação dinâmica, a nor-
ma de vento permite uma simplificação na qual essa carga pode ser conside-
rada estática. Por seu turno, a NBR 6123, de 1988, define uma velocidade bási-
ca do vento (VO) que varia de acordo com a região do Brasil a ser considerada.
A velocidade básica do vento é a velocidade de uma rajada de três se-
gundos com probabilidade de 63% de ser excedida pelo menos uma vez em 
50 anos, considerada à altura de 10 m acima do terreno em campo aberto 
e sem obstruções. Obtida a velocidade básica do vento (VO), é possível de-
terminar a velocidade de incidência na edificação, chamada de velocidade 
característica (VK).
A velocidade característica considera aspectos particulares, como topo-
grafia do local, rugosidade do terreno, altura da edificação, suas dimensões, 
tipo de ocupação e risco de vida. A velocidade característica do vento VK é 
calculada com base na equação 2:
Na qual:
S1 = fator que leva em conta a topografia do terreno;
S2 = fator que considera a rugosidade do terreno, dimensões da edificação 
e altura acima do terreno;
S3 = fator que leva em conta o grau de segurança requerido e a vida útil da 
edificação; 
VO = velocidade básica do vento.
Velocidade básica do vento VO 
A velocidade básica do vento (VO) é uma propriedade característica de cada 
localidade. A NBR 6123 apresenta, de forma gráfica, as isopletas da velocidade 
básica do vento no Brasil.
VK = VOS1S2S3 (2)
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Figura 8. Isopleta de velocidade básica na unidade de m/s. Fonte: ABNT, 1988.
Frente à demanda por edificações cada vez mais altas e esbel-
tas, os projetos de estruturas necessitam de modelos matemáti-
cos cada vez mais refinados no que tange à estabilidade global, 
visto que as ações horizontais oriundas do vento au-
mentam de acordo com altura da edificação, o que 
gerou a necessidade de conceber estruturas mais 
rígidas para atenuar os deslocamentos impostos 
pelas ações horizontais.
ESTRUTURAS 35
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Toda estrutura deve atender requisitos mínimos, como capacidade de resis-
tir aos esforços solicitantes, desempenho em serviço, utilização e durabilidade. 
A consideração das ações horizontais nas estruturas é imprescindível para a 
análise correta do comportamento e da estabilidade global da estrutura. Para 
tanto, é necessário considerar, além das ações verticais já citadas, as diver-
sas ações horizontais que solicitam a estrutura, como o vento, o desaprumo 
e, quando existente, os abalos sísmicos, pois tais ações geram deslocamentos 
na estrutura.
A problemática referente à instabilidade de estruturas, 
ocasionada por solicitações de compressão, pode estar dis-
posta de forma centrada ou excêntrica. A avaliação e clas-
sificação da instabilidade estrutural também será realiza-
da levando em consideração o comportamento do material.
ESTRUTURAS 36
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Sintetizando
Nesta unidade, foram estudados os aspectos primordiais no que tange às 
estruturas. Entender a morfologia da classificação das estruturas é primordial 
para o cálculo estrutural, já que deste cálculo depende todo o resto da obra, 
sem esquecer da estabilidade da construção ao longo dos anos, independente-
mente do seu uso e conservação.
Ao compreender sua classificação, se entende como funciona uma cons-
trução e qual o papel de cada elemento na estrutura, desde a fundação até a 
última laje. Por isso, é fundamental obedecer a parâmetros que garantem a 
estabilidade e a qualidade na construção, de modo que falhas sejam evitadas 
no presente e no futuro.
Cada elemento tem a sua ação ou esforço, que precisa ser estudado até obter 
o maior entendimento possível sobre o assunto, bem como as reações dos ma-
teriais e forças externas como o vento. Contudo, cabe lembrar que, em especial 
nas edificações mais altas, quanto mais alta a edificação, maior o rigor com a 
estrutura, já que a influência de fatores como o vento é mais preponderante.
Portanto, os temas e elementos abordados no tocante às estruturas e seus 
conceitos fundamentais são rotineiros para a elaboração de qualquer projeto 
ou execução de uma obra e, por isso mesmo, são objetos de atenção, dada a 
sua importância na construção como um todo.
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Referências bibliográficas
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cálculo de estruturas de edificações. Rio de Janeiro, ABNT, 1980. Disponível 
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ção de fundações. Rio de Janeiro, ABNT, 2010. Disponível em: . Acesso em: 15 set. 2020.
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MORILLA, J. C. Estática nas estruturas. Disponível em: . Acesso em: 15 set. 2020.
ESTRUTURAS 38
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PEIXOTO, A. M F. Cálculo e detalhamento de lajes maciças, nervuradas e li-
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ESTRUTURAS 39
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VIGAS GERBER E 
PÓRTICOS PLANOS
2
UNIDADE
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Objetivos da unidade
Tópicos de estudo
 Analisar o comportamento estrutural das vigas Gerber, dos pórticos planos e 
de barras inclinadas.
 Vigas Gerber
 Reações de apoio
 Diagramas de esforços solici-tantes
 Pórticos planos
 Equilíbrio estático
 Esforços seccionais
 Barras inclinadas
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Vigas Gerber
As vigas Gerber são estruturas que possuem rótulas articuladas, inseri-
das com o objetivo de garantir que a estrutura se comporte de maneira isostá-
tica, tornando as vigas Gerber ligadas ao conceito de estruturas isostáticas. 
As rótulas articuladas são inseridas porque impedem que ocorra transferência 
de momento fl etor M [N · m] de uma parte para outra da estrutura. O mo-
mento fl etor consiste na tendência de rotação da estrutura e possui dois ele-
mentos: a força F [N] e o braço de alavanca d [m]. O produto entre esses dois 
componentes fornece o valor do momento fl etor:
M = F · d (1)
As estruturas são consideradas isostáticas quando suas reações de apoio 
podem ser calculadas utilizando as equações fundamentais da estática, fazen-
do a montagem de um simples sistema de equações lineares que pode facil-
mente ser resolvido com manipulação algébrica. Os únicos parâmetros que 
são necessárias para a realização dos cálculos são os carregamentos e a geo-
metria da estrutura. Tratando-se de estruturas planas (bidimensionais) exis-
tem três equações fundamentais, resumidas pelas equações 2, 3 e 4.
Sendo assim, em estruturas isostáticas usuais, é possível calcular até três rea-
ções de apoio desconhecidas que, no caso das vigas, em geral são duas reações ver-
ticais, VA e VB, e uma horizontal, HA ou HB. As estruturas hiperestáticas bidimensio-
nais, por sua vez, têm mais de três incógnitas (reações de apoio), ou seja, possuem 
mais incógnitas que as equações disponíveis para sua resolução. Portanto, devem 
ser resolvidas empregando-se outros métodos, para além dos carregamentos e da 
geometria da estrutura, sendo necessário conhecer também a geometria da seção 
transversal e as propriedades dos materiais constituintes da estrutura:
a Fx = 0˚ (2)
a Fy = 0˚ (3)
a Mz = 0˚ (4)
Quando as equações 2, 3 e 4 são atendidas, isto signifi ca que a estrutura está 
estática (em equilíbrio). Ou seja, todas as forças na direção de x (horizontal) e de y 
(vertical) se anulam e todas as tendências de rotação em torno do eixo z (o eixo per-
pendicular às direções x e y) também se anulam. Se qualquer uma das três equações 
não for atendida, existe um esforço externo resultante e a estrutura está em movi-
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mento. Com isso, ela deixa de ser uma estrutura e passa a ser um mecanismo. Neste 
caso, se as equações 2 e 3 não forem atendidas, a estrutura sofre um translado. Se 
for a equação 4 a que não for atendida, isso resulta numa rotação na estrutura.
Há algumas vantagens em se empregar estruturas isostáticas, como a mo-
dulação das estruturas em várias partes menores. A maioria das estruturas de 
concreto armado pré-moldado são confeccionadas dessa maneira, o que tem 
como consequência o fato de que, se uma das partes moduladas apresentar pro-
blema (deslocamento vertical de um pilar por falha na fundação), o problema 
não é transferido para as outras partes da estrutura, o que não acontece nas 
estruturas hiperestáticas pois, como todas as partes estão conectadas, as falhas 
numa parte da estrutura são transferidas para outras partes. Tal comportamen-
to das estruturas hiperestáticas é chamado de comportamento monolítico, 
pois toda a estrutura se comporta como se fosse uma só. A maioria das estrutu-
ras de concreto armado moldado in loco são consideradas monolíticas.
Outra vantagem apresentada pelas estruturas isostáticas refere-se ao fato 
delas se deformarem quando submetidas à variação de temperatura. Tais de-
formações não geram tensões internas quem podem causar falhas na estru-
tura, uma vez que toda a estrutura está livre para se deformar. É interessante 
destacar que estruturas isostáticas são calculadas empregando equações da 
estática, a partir de um simples sistema linear. Já nas estruturas hiperestáticas, 
os métodos para sua resolução são bem mais complicados, como o Método da 
Força Unitária ou o Método dos Deslocamentos.
O Diagrama 1 é um tabuleiro de uma ponte de concreto armado apoiada 
sobre pilares. A estrutura é composta por um tabuleiro de 12 m de comprimento, 
apoiado sobre quatro pilares, com um deles tendo apoio do tipo fixo (2º gênero) 
e com apoios do tipo móvel (1º gênero) nos outros três pilares. A viga recebe três 
carregamentos com valor de 2,00 kN cada, que são representados por três moto-
cicletas, além de três gravuras: (A) uma estrutura hiperestática, (B) uma estrutura 
isostática e (C) uma estrutura isostática dividida em três partes.
A estrutura isostática é igual à hiperestática, exceto pelo fato de que possui 
duas rótulas articuladas em seu tabuleiro (representado por uma viga). As rótu-
las são simbolizadas pelos círculos inseridos nos pontos E e F. A estrutura dividi-
da em três partes é a própria estrutura isostática, mas dividida em três partes 
(um trecho lateral esquerdo, um trecho central e um trecho lateral direito). 
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EXPLICANDO
A ABNT NBR 7187:2003 fixa os requisitos que devem ser obedecidos no 
projeto, na execução e no controle das pontes de concreto armado e de 
concreto protendido, excluídas aquelas em que se empregue concreto 
leve ou outros concretos especiais.
DIAGRAMA 1. VIGA GERBER
1,25
1,25
1,25 1,25y
x
1,25
1,25
1,25
1,25
1,25 1,25
1,00
1,00 1,00
1,00
1,25
1,25
3,50
3,50 3,50
2,50
2,50 2,50
3,50
2,50
12,00
12,00
F
F
F
F
F
F
F
F
F
A
A
A
B
B
B
E
E
E
F
F
F
C
C
C
D
D
D
HA
HA
HA
VA
VA
VA
VB
VB
VB
RA
RE RF
RF
VC
VC
VC
VD
VD
VD
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Embora seja muito importante conhecer os principais conceitos teóricos so-
bre as vigas Gerber, o estudo sobre esse tipo de estrutura tem predominância 
prática. Na formação do engenheiro, é imprescindível que se dominem as ha-
bilidades necessárias para o cálculo das reações de apoio e para a construção 
dos diagramas de esforço cortante e de momento fl etor. Logo, o exemplo de 
estrutura apresentado no Diagrama 1 é um guia de todo o estudo sobre vigas 
Gerber, de modo a tornar o engenheiro apto para o cálculo das reações de 
apoio e para construir os diagramas de esforços internos.
Assim, focando na última gravura do Diagrama 1, existem três trechos (es-
querdo, central e direito) que se comportam de maneira independente em rela-
ção aos momentos fl etores. Cada trecho pode ser analisado de maneira indivi-
dual durante a realização dos cálculos das reações de apoio, mas é conveniente 
observar que quando a estrutura é dividida em três partes, em virtude da pre-
sença das rótulas, surgem as reações RE e RF.
Tais reações, chamadas de reações virtuais, são introduzidas da mesma 
maneira que os trechos laterais sustentam e “empurram” o trecho central para 
cima, bem como o trecho central se apoia e “empurra” os trechos laterais para 
baixo. Trata-se de uma consequência simples da Terceira Lei de Newton, cha-
mada de lei da ação e reação. Durante o processo de resolução das vigas Ger-
ber essas reações sobre as rótulas sempre são consideradas.
Reações de apoio
O primeiro passo na análise de uma viga Gerber consiste em calcular as rea-
ções de apoio – ou seja, VA, VB e HA – utilizando estrutura já dividida em trechos 
menores e aplicando as equações 2, 3 e 4 em cada um dos trechos. Após isso, 
um pequeno sistema linear é montado e resolvido com manipulação algébrica.
Trecho lateral esquerdo
Começando pelo trecho lateral esquerdo e pelo somatório de forças na di-
reção x, o valor de HA é calculado. Como não existem forças horizontais atuando 
nessa estrutura, o valor de HA é igual a zero:
a FX = 0˚ (2)
HA = 0
ESTRUTURAS 45
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Aplicando o somatório de forças na direção y, têm-se as forças VA e VB atuan-
do na vertical e apontando para cima, sendo positivas. As forças F e RE, verticais e 
apontando para baixo, são negativas. Fazendo uma simples manipulação algébrica, 
obtém-se a equação 5, que ainda não pode ser resolvida, pois possui três incógnitas:
a Fy = 0˚ (3)
VA + VB - F - RE = 0
VA + VB - 2,00 kN - RE =0
VA + VB - RE = 2,00 kN (5)
O somatório de momentos é calculado num ponto aleatório escolhido sobre a 
estrutura. No entanto, recomenda-se que a escolha recaia sobre um ponto no qual 
várias forças atuam, fazendo com que a equação obtida tenha uma menor quantida-
de de incógnitas e possa ser resolvida de maneira mais fácil. Deste modo, optou-se 
por empregar o ponto A. No cálculo das reações de apoio, o momento é positivo 
quando tende a rotacionar a estrutura no sentido anti-horário.
Ao fixar a estrutura no ponto A e aplicar o carregamento F, observa-se que a 
estrutura tende a rotacionar no sentido horário, portanto, o momento gerado pelo 
referido carregamento é negativo. Vale se atentar para o valor do braço de alavanca, 
calculado com base na distância perpendicular entre a força aplicada e o ponto de 
análise escolhido. Assim, ao realizar o somatório de momentos em torno do eixo z 
(eixo perpendicular), a equação 6 é obtida, tendo duas incógnitas, cujos valores ain-
da não podem ser calculados:
a Mz = 0˚ (4)
-F(1,25 m) + VB(2,50 m) - RE(3,50 m) = 0
-2,00 kN(1,25 m) + VB(2,50 m) - RE(3,50 m) = 0
-2,50 kNm + VB(2,50 m) - RE(3,50 m) = 0
VB(2,50 m) - RE(3,50 m) = 2,50 kNm (6)
Trecho central
Analisando o trecho central, existem três forças atuantes: a força F (motocicleta), que 
aponta para baixo, e as forças RE e RF (rótulas), que apontam para cima. Ao aplicar-se a 
equação 2, como não existem forças horizontais atuantes, o somatório em x é nulo:
a Fx = 0˚ (2)
Aplicando a equação 3, obtém-se a equação 7, que possui duas incógnitas e 
não pode ser resolvida por enquanto:
a FY = 0˚ (3)
ESTRUTURAS 46
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RE - F + RF = 0
RE - 2,00 kN + RF = 0
RE + RF = 2,00 kN (7)
Ao aplicar o somatório de momentos empregando a equação 4 e escolhendo 
o ponto E, é possível determinar o valor da reação RF, pois foi a única incógnita 
remanescente:
a Mz = 0˚ (4)
-F(2,50 m) + RF(5,00 m) = 0
-2,00 kN(2,50 m) + RF(5,00 m) = 0
RF = 1,00 kN
RF =
2,00 kN(2,50 m)
5,00 m
Substituindo-se o valor de RF na equação 7, se obtém RE:
RE + RF = 2,00 kN
RE + 1,00 kN = 2,00 kN
RE = 2,00 kN - 1,00 kN
RE = 1,00 kN (7)
Dispondo do valor RE e substituindo-o na equação 6, se calcula VB:
VB(2,50 m) - RE(3,50 m) = 2,50 kNm
VB(2,50 m) - 1,00 kN(3,50 m) = 2,50 kNm
VB = 2,40 kN
VB =
2,50 kNm + 1,00 kN(3,50 m)
(2,50 m)
(6)
Com o valor de VB e de RE em mãos, é calculado o valor de VA com a aplica-
ção dos valores de VB e de RE na equação 5. Fazendo uma simples manipulação 
algébrica, temos:
VA + VB - RE = 2,00 kN
VA + 2,40 kN - 1,00 kN = 2,00 kN
VA = 2,00 kN - 2,40 kN + 1,00 kN
VA = 0,60 kN (5)
A última parte da estrutura a ser calculada consiste no trecho lateral direito, 
que possui apenas duas incógnitas, que são VC e VD. Iniciando a aplicação das 
equações fundamentais da estática pelo somatório de forças em x, a partir da 
equação 2, nenhuma força atua nesta direção, logo, seu somatório é nulo:
ESTRUTURAS 47
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a Fx = 0˚ (2)
Dando sequência aos cálculos, o somatório de forças em y, presente na 
equação 3, é aplicado e dá origem à equação 8, contendo as incógnitas VD e VC:
a Fy = 0˚ (3)
-RF + VC - F- VD = 0
-1,00 kN + VC - 2,00 kN + VD = 0
VC + VD = 1,00 kN + 2,00 kN
VC + VD = 3,00 kN (8)
Em seguida, aplicando-se o somatório de momentos em torno do eixo z, 
considerando-se o ponto D como referência, pode-se obter o valor de VC.
a Mz = 0˚ (4)
RF(3,50 m) - VC(2,50 m) + F(1,25 m) = 0
1,00 kN(3,50 m) - VC(2,50 m) + 2,00 kN(1,25 m) = 0
VC = 2,4 kN
-VC =
-1,00 kN(3,50 m) - 2,00 kN(1,25 m)
(2,50 m)
Dispondo do valor de VC e substituindo-o na equação 8, é calculado o valor de VD:
VC + VD = 3,00 kN
2,4 kN + VD = 3,00 kN
VD = 3,00 kN - 2,40 kN
VD = 0,60 kN (8)
Como a estrutura apresentada no Diagrama 1 é simétrica – suas duas me-
tades direita e esquerda são iguais, como se fossem o refl exo uma da outra –, 
os valores de suas reações de apoio são também simétricos. No entanto, por 
questões didáticas, se optou por calculá-los, pois a maioria das estruturas não 
é simétrica e exige o cálculo de todas as suas reações de apoio.
Diagramas de esforços solicitantes
Os diagramas de esforços solicitantes seguem a mesma lógica das equa-
ções fundamentais da estática. Para as vigas Gerber, o somatório de forças em 
x, visto na equação 2, gera o Diagrama de Esforços Normais (DEN). O somató-
rio de forças em y demonstrado na equação 3, por sua vez, gera o Diagrama de 
Esforços Cortantes (DEC) e o somatório de forças em z, presente na equação 4,
ESTRUTURAS 48
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gera o Diagrama de Momento Fletor (DMF). No exemplo analisado, o DEN é 
nulo porque não existem esforços horizontais atuando na estrutura.
Os diagramas são montados utilizando-se o método das seções, visto no 
Diagrama 3, que consiste em imaginar que, nos locais indicados com um sím-
bolo em formato de “S”, existe um engaste ou uma reação de 3º gênero que 
restringe as translações horizontais (ao longo do eixo x), verticais (ao longo do 
eixo y) e a rotação da estrutura (em torno do eixo z). A colocação do símbolo “S” 
indica uma seção de cálculo em que foi realizado um corte.
Em cada uma das seções de cálculo, são medidas as forças normais, cortan-
te e de momento fletor e um aspecto importante diz respeito às convenções 
de sinais. No processo de resolução de estruturas isostáticas, a maioria esma-
gadora dos erros são provenientes de confusões por causa das convenções de 
sinais, já que os cálculos em si são muto simples de serem feitos.
Na construção dos diagramas, se a seção estiver tracionada pela força nor-
mal, o esforço normal é positivo e, se ela estiver comprimida pela força normal, o 
esforço normal é negativo. O esforço cortante é positivo caso, com a aplicação da 
força cortante, a seção tenda a rotacionar em sentido horário – se tender a rota-
cionar em sentido anti-horário, o esforço cortante é negativo. Se o momento fle-
tor tracionar as fibras inferiores da estrutura, o momento fletor é positivo. Caso 
o momento fletor comprima as fibras inferiores da estrutura, ele é negativo.
As convenções de sinal adotadas constam no Diagrama 2 e podem variar de autor 
para autor ou de país para país, embora a convenção apresentada seja a mais usual 
na literatura técnica específica sobre o tema. Na resolução de um exercício de caráter 
dissertativo, é recomendável que se desenhe a convenção de sinais a ser utilizada 
durante a resolução. Basta desenhar algo semelhante ao apresentado no Diagrama 
2 e o examinador está ciente da convenção utilizada e isso evita que a resolução do 
exercício perca pontos por falta de padronização das convenções empregadas.
DIAGRAMA 2. SINAIS PARA ESFORÇO NORMAL, CORTANTE E MOMENTO FLETOR
N
M V
ESTRUTURAS 49
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Há duas maneiras de construir diagramas de esforços internos: (a) da es-
querda para a direta, (b) ou da direita para a esquerda. As duas maneiras são 
similares e resultam no mesmo produto, mas são calculadas de modos diferen-
tes. Por ser a metodologia mais comum na literatura técnica específica sobre o 
tema, é empregada aqui a metodologia de cálculo da esquerda para a direita. 
Outro aspecto importante é saber em que ponto as seções de corte devem ser 
aplicadas. Elas são aplicadas apenas em duas situações muito específicas: mu-
dança na geometria da estrutura ou mudança no carregamento (tipo ou valor).
DIAGRAMA3. MÉTODO DAS SEÇÕES APLICADO À VIGA GERBER
1,25
0,60 kN
0,60 kN
0,60 kN
0,60 kN
0,60 kN
0,60 kN
y
2,40 kN
2,40 kN
2,40 kN
2,40 kN
2,40 kN
2,40 kN
1,25
1,25
1,25
1,25
1,25
1,25
1,25
1,25
1,25
1,25
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,25
1,25 1,25
2,50
2,50
2,50
2,50
2,50
2,50
2,50
2,00 kN
2,00 kN
2,00 kN
2,00 kN
2,00 kN
2,00 kN
2,00 kN
2,00 kN 2,00 kN
A
A
A
A
A
A
B
B
B
B
E
E
E
E
F
F
F
C
C
x
ESTRUTURAS 50
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O Diagrama 3 mostra a aplicação do método das seções à viga em estudo. A 
viga possui sete forças atuando sobre ela, sendo três carregamentos externos 
e quatro reações de apoio. Dando início à análise partindo da extremidade es-
querda em direção à extremidade direita, começa-se com uma carga aplicada 
de 0,60 kN sobre a extremidade esquerda da viga (ponto A). Após percorrer 
1,25 m, existe uma carga aplicada de 2,00 kN – considera-se que a seção é 
cortada a uma distância infinitesimal antes da aplicação da próxima carga (ou 
antes da mudança na geometria).
Logo, na prática, a próxima carga não entra na análise daquela seção. O 
mesmo procedimento repete-se até que toda a viga seja percorrida. Depois 
que todos os pontos de análise da seção estão definidos, são calculados os 
esforços: normal, cortante de momento fletor em cada uma das seções de 
corte, cujos valores são anotados e utilizados durante a construção dos dia-
gramas de esforços internos.
EXPLICANDO
O conhecimento dos esforços internos é importante para o dimensiona-
mento das estruturas de concreto. Os valores de esforço cortante e de 
momento fletor definem, por exemplo, a quantidade e a qualidade do aço e 
do concreto empregado em elementos estruturais constituídos por vigas.
Conforme já comentado, no caso da viga Gerber em estudo, não se tem dia-
grama de esforço normal, porque não existem forças horizontais atuando. O 
exemplo é condizente com a maioria das situações práticas, pois grande parte 
das vigas possuem apenas esforço cortantes e momento fletor atuante. Contu-
do, caso surja uma viga com forças horizontais atuantes, basta aplicar o conhe-
cimento desenvolvido no estudo de pórticos nessa viga, pois o pro-
cedimento de análise é similar, dado que os pórticos apresentam 
algumas particularidades, detalhadas mais adiante. 
Com todas as seções definidas, se calcula o cortante 
V e do momento fletor M em cada uma dessas se-
ções, numeradas de 1 a 6. A seguir, são mostrados 
os cálculos do esforço cortante em cada uma das 
seis seções definidas para a viga Gerber em estudo:
ESTRUTURAS 51
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V1 = 0,60 kN
V2 = 0,60 kN - 2,00 kN = -1,40 kN
V3 = 0,60 kN - 2,00 kN + 2,40 kN = 1,00 kN
V4 = 0,60 kN - 2,00 kN + 2,40 kN - 2,00 kN = -1,00 kN
V5 = 0,60 kN - 2,00 kN + 2,40 kN - 2,00 kN + 2,40 kN = 1,40 kN
V6 = 0,60 kN - 2,00 kN + 2,40 kN - 2,00 kN + 2,40 kN - 2,00 kN = -0,60 kN
A seguir, são e expostos os cálculos do momento fletor em cada uma das 
seis seções definidas para a viga Gerber em análise:
M1 = 0,60 kN(1,25 m) = 0,75 kNm
M2 = 0,60 kN(2,50 m) - 2,00 kN(1,25 m) = -1,00 kNm
M3 = 0,60 kN(6,00 m) - 2,00 kN(4,75 m + 2,40 kN(3,50 m) = 2,50 kNm
M4 = 0,60 kN(9,50 m) - 2,00 kN(8,25 m) + 2,40 kN(7,00 m) - 2,00 kN(3,50 m) = - 1,00 kNm
M5 = 0,60 kN(10,75 m) - 2,00 kN(9,50 m) + 2,40 kN(8,25 m)
- 2,00 kN(4,75 m + 2,40 kN(1,25 m) = 0,75 kNm
M6 = 0,60 kN(17,00 m) - 2,00 kN(15,75m) + 2,40 kN(14,50 m)
- 2,00 kN(8,50 m) + 2,40 kN(2,50 m) - 2,00 kN(1,25 m) = 0,00 kNm
Após fazer os cálculos dos valores de esforço cortante e de momento fle-
tor em cada uma das seções da viga, a próxima etapa consiste em construir os 
diagramas, gráficos nos quais o eixo x (abscissas) representa o comprimento da 
viga e o eixo y (ordenadas) representa o valor do esforço (cortante ou normal). 
O formato dos diagramas de esforços depende do tipo de carga que está sendo 
aplicada e existem três formas de concentrar cargas em estruturas (há outras 
formas cuja ocorrência, no entanto, é mais rara): cargas pontuais, cargas unifor-
memente distribuídas (em formato retangular) e cargas em formato triangular.
No esforço cortante, as cargas pontuais geram gráficos em forma de cons-
tante. As cargas uniformemente distribuídas (constantes) geram gráficos em 
formato de curvas do 1° grau (retas) e as cargas em formato triangular geram 
diagramas em formato de equações do 2º grau (parábolas). No caso do mo-
mento fletor, as cargas pontuais geram gráficos em formato de curvas do 1° 
grau (retas), as cargas uniformemente distribuídas (constantes) geram gráficos 
em formato de curvas do 2° grau parábolas e as cargas em formato triangular 
(retas) geram gráficos em formato de curvas do 3° grau. O Quadro 1 sintetiza 
as principais formas de aplicação de cargas em estruturas e os formatos de 
diagramas de momento fletor e de esforço cortante alcançados.
ESTRUTURAS 52
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Carga Momento fl etor Esforço cortante
Pontual Equação do 1° grau (reta) Constante
Retangular Equação do 2° grau (parábola) Equação do 1° grau (reta)
Triangular Equação do 3° grau Equação do 2° grau (parábola)
PontualPontual
Retangular
Pontual
Retangular
Triangular
Retangular
TriangularTriangularTriangular
Equação do 1° grau (reta)
Equação do 2° grau (parábola)
Equação do 1° grau (reta)
Equação do 2° grau (parábola)
Equação do 1° grau (reta)
Equação do 2° grau (parábola)
Equação do 1° grau (reta)
Equação do 2° grau (parábola)
Equação do 3° grau
Equação do 1° grau (reta)
Equação do 2° grau (parábola)
Equação do 3° grau
Equação do 1° grau (reta)
Equação do 2° grau (parábola)
Equação do 3° grau
Equação do 1° grau (reta)
Equação do 2° grau (parábola)
Equação do 3° grau
Equação do 1° grau (reta)
Equação do 2° grau (parábola)
Equação do 3° grau
Equação do 2° grau (parábola)
Equação do 3° grau
Equação do 2° grau (parábola) Equação do 1° grau (reta)
Equação do 2° grau (parábola)
Constante
Equação do 1° grau (reta)
Equação do 2° grau (parábola)
Constante
Equação do 1° grau (reta)
Equação do 2° grau (parábola)
Constante
Equação do 1° grau (reta)
Equação do 2° grau (parábola)
Equação do 1° grau (reta)
Equação do 2° grau (parábola)
Equação do 1° grau (reta)
Equação do 2° grau (parábola)
Equação do 1° grau (reta)
Equação do 2° grau (parábola)
Equação do 1° grau (reta)
Equação do 2° grau (parábola)Equação do 2° grau (parábola)
QUADRO 1. FORMATO DOS DIAGRAMAS DE ESFORÇOS INTERNOS
Cargas pontuais podem ser encontradas em diversas situações, como num 
pilar que descarrega sobre uma viga de transição ou num tirante de aço que 
se pendura em viga metálica. As cargas uniformemente distribuídas também 
são facilmente obtidas, como em paredes externas de edifi cações que descar-
regam sobre vigas laterais, ou lajes que se apoiam sobre vigas de borda. Já 
as cargas triangulares são encontradas em solos que se apoiam em muros de 
arrimo ou em águas que se apoiam em barragens de gravidade.
O Diagrama 4 apresenta o diagrama de esforço cortante para a viga em 
estudo. O diagrama se inicia com o valor de 0,60 kN, que é mantido cons-
tante até o local onde esse valor foi calculado, isto é, até a primeira seção 
de cálculo. Como é uma carga pontual, o valor do seu esforço cortante é 
constante, conforme já foi comentado, assim como todas as demais cargas 
que atuam sobre essa estrutura. Em seguida, o valor muda para -1,40 kN, 
valor calculado para a segunda seção, que é mantido constante até o local 
de cálculo da segunda seção. 
Após isso, é colocado o valor encontrado para a terceira seção, mantido 
constante até o local de cálculo da terceira seção. O restante do diagrama de 
esforços cortantes segue o mesmo padrão de construção até a extremidade 
direito da estrutura. Ao fi nal, depois da construção do gráfi co, é bastante usual 
sobrepor o gráfi co construído (representado