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53017002-Apostila-de-Controle-Linear-I

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Exemplo: para os valores do exemplo anterior teremos 
 
)4(
)5)(2()()( 2 

ss
ssksHskG 
 
 Os zeros são: z1=-2 e z2=-5 
 Os pólos são: P1=P2=0 e P3=-4 
 
 No plano imaginário os pólos são representados por “X” e os zeros por “O”. 
 A aplicação da regra 2 neste caso será: 
 
 
 
 
 
 
 
 167
 
 
 Esta regra é facilmente obtida verificando-se a condição de ângulo da equação 
1+kG(s)H(s)=0, que pode ser reescrita na forma: 
 
0,1)()(  ksHskG 
 Para que esta equação seja verdadeira, o ângulo deverá ser: 
 
 
 
Nota: A condição de módulo da equação característica do root locus é 
 
1)()(1)()(  sHskGsHskG 
Nota: Na figura acima, G(s)H(s) é avaliada em um ponto s=so através do uso de vetores que 
unem cada pólo e cada zero ao ponto so em H(s) G(s). Vamos ilustrar com um exemplo 
numérico: 
 Seja 
)8(
)3()()( 

s
ssGsH e queremos avaliar 
ossH(s)G(s) : 
 
 
 
 Neste caso: 
 
 
mas (so+3) e (so+8) são os vetores x e y, respectivamente, mostrados abaixo: 
 
● so 
o 
 
 
 
 
 168
 
 
 Logo, 
. Se transladarmos x horizontalmente de -3 e y de -8 teremos: 
 
 
 
 O que não muda os ângulos α e β e resulta nos vetores ,, yex que ligam o zero e pólo 
de G(s)H(s) ao ponto so. 
 Note que os módulos de x e y não mudam com a translação ou seja: ,, yyexx  . 
 
Regra 3 – Quando k se aproxima de +∞, os ramos do “root-locus” que tendem a infinito e 
assintotam retas com inclinação 
1...,,2,1,0,18012 

zp
o
zp
NNi
nn
i 
 
sendo np – número de pólos de G(s)H(s) 
 nz – número de zeros de G(s)H(s) 
 Verificação: Considere 
)4)(1(
)()(  sss
ksHskG , temos: np=3 e nz=0. no plano complexo 
teremos: 
 
 
 
 
8
 
 
 
 
 169
 
 
 Fazendo o ponto P crescer infinitamente, e para verificar se pertence ao root-locus, 
vamos reescrever a figura acima: 
 
 
 
 O ponto P pertencerá ao “root-locus”, se 
 
 
 
Sendo que p→∞,   321 , logo: 
 
 
 
Logo, 
3
180)12(
3
)180)(12( oo ii  
Porém, np-nz=3 então: 
 
...,1,0,180)12( 
 i
nn
i
zp
o
 
 
 Retornando ao exemplo, os ângulos das assíntotas serão: 
 
...,1,0,60)12(
03
180)12( 0 
 iii o 
 
 
 
 
 
 170
 Para ooo ieii 30021801;600   
 ooo ieii 30031802;601   
 Porém, das relações trigonométricas temos as seguintes equivalências: 
oooooo 30060,30060,180180  
 Logo: ooo e 18060,60 321   . 
 
Regra 4 – O ponto de partida das assíntotas é o centro de gravidade (C.G.) da configuração 
de pólos e zeros de G(s)H(s), ou seja: 
 
zp nn
zerospólos
CG 
  
 Exemplo: Para o sistema do exemplo anterior, onde 
)4)(1(
1)()(  ssssHsG , teremos : 
 - np=3 e nz=0; 
 - os pólos são: p1=0, p2=-1 e p3=-4; 
 - os zeros são: nenhum. 
Logo, 
3
5
03
0)410( 
CG 
Então: 
 
 
Regra 5 – Os pontos nos quais os ramos do “root-locus” deixam (ou entram) o eixo real são 
determinados utilizando-se a seguinte relação 
 
  0))()(( 1 sHsG
ds
d 
 No exemplo descrito anteriormente, teremos: 
 
 
 
 
 171
 
)1)(4(
1)()(  ssssHsG 
Então,   sssssssHsG 45)1)(4()()( 231  
Logo, 
 
   04103)45()()( 2231  sssss
ds
dsHsG
ds
d 
As soluções são: s1=-0,4648 
 e 
 s2=-2,8685 (desprezado pois não pertence ao root-locus) 
 
 O root-locus será: 
 
 
 
Regra 6 – Duas raízes deixam ou entram no eixo real com ângulos o90 . 
 
Regra 7 – O “root-locus” é simétrico em relação ao eixo real. 
 Isto decorre do fato de que as raízes de um polinômio de coeficientes reais ou são reais 
ou pares complexos conjugados. 
 
Regra 8 – para se determinar o ganho k associado a um ponto p do “root-locus”, deve-se 
utilizar a condição de módulo da equação: 
 
0)()(1  sHskG 
 Que pode ser colocada numa forma mais direta reescrevendo-se a equação acima: 
-
 
 
 
 
 172
 
1)()( sHskG 
 Pela condição de módulo temos: 
 
1)()(1 sHsGk 
 
como 0<k<+∞ temos: 
 
1)()(1 sHsGk 
 
 Para s=p teremos: 
 
ps
ps sHsG
ksHsGk

  )()(
11)()( 11 
 
 Exemplo: Suponha que no sistema da fig.1, as funções de transferência são: 
s
sHe
s
sG 1)(
1
1)(  . 
 Calcule o máximo valor de k de tal forma que os pólos de malha fechada do sistema 
fiquem dentro do círculo. Trace o “root-locus” do sistema para ajudar. 
 Neste caso, teremos: 
)1(
)()(  ss
ksHskG . 
 Temos: pólos: p1=0 e p2=1 
 zeros: nenhum 
 np=2 Nz∞=2-0=2 
 nz=0 
 - Ângulo das assíntotas: 
 
o
zp nn
i 90180)12( 
 
 
 - CG das assíntotas: 
 
2
1
02
010 

 
zp nn
zerospólos
CG 
 
 - Ponto de partida: 
 
  
2
1012)(0)()( 21  ssss
ds
dsHsG
ds
d 
 
 O “root-locus” 
 
 
 
 
 173
 
 
 
 Veremos mais adiante que um sistema discreto será estável se as raízes da F.T.M.F. 
ficar dentro do círculo unitário. Isto é respeitado se e somente se 0<k<ko. Para determinar ko, 
iremos utilizar a regra 8, sendo que o ponto de cruzamento do “root-locus” com o círculo 
unitário é: 
 
 
 
 Pela regra 8, a condição de módulo é: 
 
11
2
3
2
1.0
2
3
2
1
1
1 






 jj
zp
pp
k m
i
i
n
j
j
o 
 
 Logo, para que o sistema discreto seja estável, é necessário que: 0<k<1. 
 Obs: Este não é o critério de estabilidade para sistemas contínuos no tempo. 
Regra 9: Os ângulos de saída (chegada) de pólos (aos zeros) são determinados a partir do 
condição geral de ângulo. 
ko 
 
 
 
 
 174
 Exemplo: Seja 
)41)(41(
)2()()(
jsjss
sksHskG 
 
 Neste caso: Nz∞=3-1=2, portanto teremos 2 assíntotas. 
 O esboço inicial do “root-locus” é: 
 
 
 
 Precisa-se determinar o ângulo  com o qual o “root-locus” deixa os pólos complexos. 
Para isto, verificamos qual é o ângulo de um ponto P próximo a esse pólo, fazendo: 
 
 
 
 Pela condição de ângulo, teremos: 
 
 Se a distância entre p e o pólo for nula, ou seja r→0, os ângulos serão: 
 
 
 Logo, substituindo esses valores na equação de ângulo, teremos: 
75,96º - ө - 104,04 - 90º=(2i+1).180º 
 Para º08,2980  i , que é ângulo de partida dos pólos. 
 
 
 
 
 175
 O “root-locus” será: 
 
 
 
Exemplo: Suponha que no sistema da Fig. 1, tenhamos: 
)1(
)5,0()()( 

ss
sksHskG . Trace o “root-
locus”. 
 Este sistema tem dois pólos e um zero, é conhecido que neste caso, o “root-locus” é um 
círculo centrado no zero. Para determinar o raio basta calcular o ponto de partida com a 
relação: 
 
  0))()(( 1 sHsG
ds
d (regra 5) 
 Neste caso, 
 
0
)5,0(
)1( 




s
ss
ds
d 
05,00
)5,0(
)()5,0)(12( 2
2
2

 ss
s
ssss 
 Então: s1=0,366 
 S2=-1,366 
 O “root-locus” será: 
 
o
 
 
 
 
 176
 
 
 Este sistema tem os mesmo pólos que o do exemplo dado na regra 8, mais um zero em -
0,5. Comparando os dois “root-locus” dos exemplos, percebe-se que a presença do zero ‘atrai’ 
o “root-locus”. 
 No próximo capítulo, serão apresentadas as especificações de um sistema de controle e 
os principais métodos de projeto de controladores. 
Exercício: Trace o root locus de cada um dos três sistema: 
)1(
1)()() 11  sssHsGi 
 
)1(
)4()()() 22 

ss
ssHsGii 
 
)4)(1(
1)()() 33  ssssHsGiii 
 Conclua que zeros atraem o R-L e pólos repelem o R-L. 
 
Regra 10 – O ponto onde o root locus cruza o eixo imaginário é obtido fazendo-se s=jω na 
equação característica. 
Exemplo: Na Figura 1, suponha que 3 2( ) 3 2
kkG s
s s s
   e