TC_cap_1_g

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Notas de Aula
Teoria de Controle
Sistemas em Malha Fechada
Prof. Dr. Joa˜o V. da Fonseca Neto a
a Universidade Federal do Maranha˜o - Av. dos Portugueses s/n - 65.080-040 - Sa˜o Luı´s,
Ma, Brazil - email: jviana@dee.ufma.br
Resumo
Apresenta-se os fundamentos de sistemas em malha aberta e fechada para o desenvolvi-
mento de modelos de sistemas dinaˆmicos. As equac¸o˜es diferenciais ordina´rias e as leis que
regem os sistemas do mundo real (tais como: Newton e Kirchoff ) sa˜o utilizados para rep-
resentar Sistemas Eletromecaˆnicos, Te´rmicos e Aeroespaciais. As simulac¸o˜es dos modelos
sa˜o orientadas para CAD de controle, tais como: LabVIEW e MATLAB.
Key words: Modelos de Sistemas Dinaˆmicos, sistemas Mecaˆnicos, Sistemas Te´rmicos,
Circuitos Ele´tricos e Sistemas Eletromecaˆnicos.
Conteu´do
1 Introduc¸a˜o 2
2 Configurac¸a˜o de Sistemas de Controle 2
3 Modelagem e Controle 5
4 Teoria e Experimentos Computacionais 5
5 Modelagem e Realimentac¸a˜o 5
5.1 Modelo do Veı´culo 6
5.2 Lei de Controle 7
6 Exercı´cios 9
6.1 Simulac¸a˜o no MATLAB 9
1 Curso de Graduac¸a˜o em Eng. Ele´trica/UFMA- Setembro 2011
6.2 Modelo de Translac¸a˜o de um Sistema Dinaˆmico 12
6.3 Simulac¸a˜o no LabVIEW 12
7 Preparac¸a˜o das Aulas e Leituras 12
Refereˆncias 12
1 Introduc¸a˜o
O objetivo deste Capı´tulo e´ mostrar as vantagens e desvantagens dos sistemas de
controle realimentado em comparac¸a˜o ao sistemas de controle em malha aberta.
Mostra-se as propriedades em malhas aberta e fechada do sistemas de controle por
meio da ana´lise qualitativa de um modelo matema´tico em equac¸o˜es diferenciais
ordina´rias (EDO) com o apoio de simulac¸o˜es. Enfatisa-se o comportamento do
sistema em relac¸a˜o as perturbac¸o˜es na planta e as variac¸o˜es nos seus paraˆmetros.
Inicialmente, mostra-se as primeiras definic¸o˜es e aplicac¸o˜es da teoria de controle
em sistemas dinaˆmicos que sa˜o representados por func¸o˜es racionais.
O Problema de Controle:
Considera a existeˆncia de um sistema dinaˆmico que deve ser controlado, o seu
comportamento e´ dependente do tempo e respondem as influeˆncias do seu meu
ambiente. O sistema de controle percebe entradas e saı´das, a partir desta percepc¸a˜o
projeta-se uma entrada que satisfaz os objetivos predefinidos pelo projetista. Estes
objetivos consistem das especificac¸o˜es do projetista. Em termos de mundo real,
estes objetivos sa˜o traduzidos para varia´veis matema´ticas que representam veloci-
dade de veı´culos, temperaturas, posic¸a˜o de antenas, etc.
2 Configurac¸a˜o de Sistemas de Controle
As principais propriedades das configurac¸o˜es ba´sicas de um sistema de controle
em malha aberta e fechada sa˜o discutidas em termos quantitativos e qualitativo. A
configurac¸a˜o ba´sica de um sistema de malha aberta e´ apresentada na Figura 1.
Na Figura 2 apresenta-se diagrama de blocos de sistema de controle em malha
fechada. Observa-se que o processo e atuador sa˜o modelados como um u´nico ele-
mento que e´ chamado de planta.
Os blocos do controlador, atuadores e sensores sa˜o representados pelas func¸o˜es de
transfereˆncia C(s), G(s) e H(s), respectivamente. Estas func¸o˜es de transfereˆncia
2
∑
+
+
Y (s)R(s)
U(s)c
R(s)ref
W (s)
C(s)MA G(s)Pre
Filtro
1
Figura 1. Diagram de Blocos de Sistema de Controle em Malha Aberta.
replacemen
∑
∑∑
+
+
+
+
+
−
Y (s)
V (s)
Ym(s)
E(s) Uc(s)R(s)
W (s)
C(s)MF G(s)
H(s)
1
Figura 2. Diagrama de Blocos de Sistema de Controle em Malha Fechada.
sa˜o representadas por func¸o˜es racionais que sa˜o dadas por
G(s)=
N(s)p
D(s)p
(1)
C(s)=
N(s)c
D(s)c
(2)
H(s)=
N(s)h
D(s)h
(3)
Considerando a forma canoˆnica com realimentac¸a˜o unita´ria (H(s) = 1) e os sinais
da perturbac¸a˜o e do ruı´do do sensor sa˜o nulos, temos que a func¸a˜o de transfereˆncia
do sistema de malha fechada e´ dado por
Y (s)
R(s)
=
N(s)c
D(s)c
N(s)p
D(s)p
1
1 + N(s)c
D(s)c
N(s)p
D(s)p
(4)
Apo´s os cancelamento entre o polinoˆmios temos que a func¸a˜o de transfereˆncia de
3
malha fechada e´ dada por
Y (s)
R(s)
=
N(s)cN(s)p
D(s)cD(s)p +N(s)cN(s)p
(5)
Ainda,
Y (s)
R(s)
=
N(s)MF
D(s)MF
(6)
sendo
N(s)MF =N(s)cN(s)p (7)
D(s)MF =D(s)cD(s)p +N(s)cN(s)p (8)
O polinoˆmio do denominadorD(s)MF e´ chamado de polinoˆmio caracterı´stico P (s),
sendo utilizado para avaliar a estabilidade do sistema.
A lei de controle u(s)c do tipo PID vem sendo utilizada ha´ mais de 50 anos com
grande aceitac¸a˜o na academia e na indu´stria. Esta lei u(s)c de controle e´ establecida
pela equac¸a˜o proporcional-integral-diferencial que e´ dada por
uc(t)=KP +
1
TI
∫
e(t)dt+ Td
de(t)
dt
(9)
Aplicando a Transformada de Laplace, temos que
U(s)c
E(s)
=KP +
1
sTI
+ Tds (10)
Em termos de polinoˆmios a func¸a˜o de transfereˆncia do controlador e´ dada por
U(s)c
E(s)
=
Tds
2 +KP s+ T
−1
I
s
(11)
sendo
4
N(s)c=Tds
2 +KP s+ T
−1
I (12)
D(s)c= s (13)
3 Modelagem e Controle
Neste texto a modelagem refere-se ao levantamento ou determinac¸a˜o dos paraˆmetros
de equac¸o˜es diferenciais ordina´rias, estes sa˜o determinados por meio equac¸o˜es
matema´ticas e tabelas com paraˆmetros experimentais. Como tambe´m, podem ser
determinados pela me´todos da teoria de identificac¸a˜o de sistemas. O controle refere-
se a determinac¸a˜o de leis matema´ticas que guiam o sistema dinaˆmico para impor a
especificac¸o˜es de projeto.
Os passos para o projeto de sistemas de controle em tempo continuo sa˜o ilustra-
dos para um modelo de 1a ordem. Como tambe´m, apresentamos a modelagem do
sistema dinaˆmico que baseia-se na 2a Lei de Newton. O segundo passo, consiste
na determinac¸a˜o da lei de controle que deve impor uma dinaˆmica especificada.
Esta dinaˆmica consiste promover os meios que alteram as repostas transito´ria e de
regime permanente do sistema.
4 Teoria e Experimentos Computacionais
ATeoria aborda to´picos de Sistemas Dinaˆmicos, Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias,
Func¸a˜o de Transfereˆncia, Po´los, Zeros, Respostas ao Impulso e Degrau e ToolBox
de Controle do MATLAB.
Os Experimentos Computacionais esta˜o relacionados com a modelagem com-
putacional de sistemas dinaˆmicos para fins de projeto de controladores PID meio
de equac¸o˜es diferenciais ordina´rias e descric¸a˜o em func¸a˜o de transfereˆncia.
As abordagens para acompanhar o desenvolvimento do to´pico, Sistemas de Contro-
le em Malha Fechada, proposto neste Capitulo pode ser consultada nas seguintes
refereˆncia bibliogra´ficas: Ogata [6], Franklin [4], Dazzo [1] e Dorf [4].
5 Modelagem e Realimentac¸a˜o
Este desenvolvimento apresenta noc¸o˜es de modelagem e de realimentac¸a˜o que po-
dem ser encontrados nas refereˆncias [4] e [6]. Os conceitos de realimentac¸a˜o sa˜o
ilustrados para o controle de velocidade de um veı´culo, conforme apresentado na
5
Figura 3. O projetista deve determinar uma lei de controle para inferir no compor-
tamento da velocidade.
u(t)
x(t)
1
Figura 3. Controle de Velocidade de um Veı´culo.
Determina-se o modelo em EDO que tem como saı´da a varia´vel a ser controlada
que e´ a velocidade. Para fins de projeto de sistemas de controle, o automo´vel e´
representado por um corpo rı´gido (massam e atrito viscoso b).
Tarefas:
(1) Determine-
1 - Func¸a˜o de transfereˆncia V
Vr
.
2 - A representac¸a˜o no Espac¸o de Estado, tendo u como entrada e v
(velocidade) como varia´vel estado.
(2) Exercı´cio Computacional, utilizando o MATLAB (CAD similar)
1 - Determine a resposta para um degrau unita´rio vr aplicado ao
modelo de velocidade do automo´vel.
2 - Considerar m = 1000 kg e b = 50 N· s/m.
(3) Ajuste do GanhoK- Utilizando tentativa e erro. Determine o valor
de K que conduza a uma convergeˆncia ra´pida na direc¸a˜o do sinalde refereˆncia.
5.1 Modelo do Veı´culo
O modelo matema´tico para fins de controle de posic¸a˜o e velocidade e´ levantado a
partir da 2a Lei de Newton que para esta aplicac¸a˜o e´ representada por
∑
Fi=m
dv(t)
dt
(14)
sendo Fi o conjunto das forc¸as que devido a sua relevaˆncia sa˜o selecionadas para
compor o modelo. O paraˆmetro m e varia´vel v(t) representam a massa e veloci-
dade do veı´culo, respectivamente. A partir do diagrama de corpo rı´gido da Figura
4, determina-se a equac¸a˜o diferencial ordina´ria (EDO) que representa o comporta-
6
mento da velocidade. A equac¸a˜o diferencial que tem a velocidade como varia´vel de
saı´da e u(t)c como entrada e´ dada por
˙v(t) +
b
m
v(t)=
1
m
u(t)c (15)
u(t) Ve´ıculo
M Fa(t)
x˙(t)
x(t)
1
Figura 4. Diagrama de Corpo Rı´gido da Forc¸as em um Corpo de Massa M Veı´culo.
5.2 Lei de Controle
Conforme a func¸a˜o de transfereˆncia Eq. (16) do controlador PID. temos que em
termos de polinoˆmios a func¸a˜o de transfereˆncia do controlador proporcional e´ dada
por
U(s)c
E(s)
=
N(s)c
D(s)c
= Kp (16)
sendo
N(s)c=KP (17)
D(s)c=1 (18)
O conceito de realimentac¸a˜o da saı´da, Figura 5, e´ ilustrado para a lei de controle
proporcional que e´ dada por
7
uc(t)=K(Vr(t)− y(t)) (19)
O diagrama de blocos com realimentac¸a˜o unita´ria da Figura 5 e´ utilizada para
mostrar as principais vantagem da realimentac¸a˜o. Este diagrama e´ obtido do dia-
grama da Figura 2 paraH(s) igual 1 e para os sinais nulos de ruı´do e de perturbac¸a˜o.
∑
+
−
Y (s)
y
m
(t)
E(s)
U
c
(s)
V
r
(s)
Controle Planta
C(s) G(s)
1
Figura 5. Diagrama de Blocos com Realimentac¸a˜o Unita´ria.
A aplicac¸a˜o da transformada de Laplace na Equac¸a˜o (15), conduz a func¸a˜o de trans-
fereˆncia que representa a dinaˆmica do veı´culo, a func¸a˜o de transfereˆncia e´ dada por
Y (s)
Uc(s)
=
1
m
1
s+ b/m
(20)
A Equac¸a˜o (15), a EDO do processo e´ inserida no diagrama de malha fechada da
Figura 5 e considerando o ganho proporcional da Equac¸a˜o (19), tem-se o diagrama
de blocos da Figura 6 que mostra o esquema de controle em malha fechada para
um sistema de primeira ordem. O bloco de primeira ordem representa a func¸a˜o de
transfereˆncia da velocidade.
Figura 6. Diagrama de Blocos em Malha Fechada para Controle de Velocidade.
Em forma de varia´veis de estado, o modelo da velocidade do automo´vel e´ dada por
v˙=−
[
b
m
]
v +
[
1
m
]
vr (21)
y= [1] v (22)
Ainda, a descric¸a˜o no espac¸o de estado e´ dada por
8
x˙=Ax+Bu (23)
y=Cx (24)
sendo x a velocidade que dada por v˙ na Equac¸a˜o (21), as matrizes dadas por
A=−
[
b
m
]
B=
[
1
m
]
C = [1]
6 Exercı´cios
Os exercı´cios propostos esta˜o orientados para motivar o aprendizado de te´cnicas
computacionais para implementac¸o˜es de func¸o˜es de transfereˆncias e a avaliac¸a˜o
do comportamento do sistema dinaˆmico para respostas ao degrau. Como tambe´m,
sugere-se a soluc¸a˜o de exercı´cios que contemplam a aplicac¸a˜o das leis fı´sicas para
comporem os sistemas de dinaˆmicos que sa˜o representados por equac¸o˜es diferen-
ciais e que sa˜o descritos por func¸o˜es de transfereˆncia e espac¸o de estado.
6.1 Simulac¸a˜o no MATLAB
As func¸o˜es de transfereˆncia relacionadas com Equac¸a˜o (20) sa˜o codificadas no
script com estruturas e func¸o˜es do ambiente MATLAB. A construc¸a˜o e primeira
ana´lise do comportamento do sistema e´ realizada pela implementac¸a˜o sequencial
dos scripts do MATLAB dos Quadros 1, 2, 3 e 4. Observe que os blocos represen-
tam as realizac¸o˜es computacionais de func¸o˜es de transfereˆncia com suas operac¸o˜es
com controladores, respostas ao sinal degrau unita´rio e visualizac¸o˜es do comporta-
mento das respostas ao sinal de refereˆncia.
Quadro 1 - Func¸a˜o de Transfereˆncia de Malha Aberta
9
% FT de Primeria ordem
clear all
home;
% ---------------
m = 100.;
u = 1;
b = 5;
num =[1/m];
den =[1 b/m];
FT_ordem_1_MA = tf(num,den)
t=0:0.1:100;
% ----- Malha Aberta
fig = 0;fig = fig + 1;
figure(fig);
step(FT_ordem_1_MA,t);
Quadro 2- Func¸a˜o de Transfereˆncia de Malha Fechada
% ----- Malha Fechada
K_p = 10;
sys_MF1 = feedback(K_p*FT_ordem_1_MA,1,-1)
fig = fig + 1;
figure(fig)
step(sys_MF1,t)
Quadro 3 - Variac¸o˜es do Ganho ProporcionalK
% -----------
fig = fig + 1;figure(fig);
[yMA] = step(FT_ordem_1_MA,t);
[yMF1] = step(sys_MF1,t);
K_p = 50; sys_MF2 = feedback(K_p*FT_ordem_1_MA,1,-1);
[yMF2] = step(sys_MF2,t);
K_p = 100; sys_MF3 = feedback(K_p*FT_ordem_1_MA,1,-1);
[yMF3] = step(sys_MF3,t);
Quadro 4- Resposta ao Degrau Unita´rio
plot(t,yMA,’r’,t,yMF1,’g’,t,yMF2,’b’,’LineWidth’,2,...
’MarkerEdgeColor’,’k’,...
’MarkerFaceColor’,’g’,...
’MarkerSize’,10)
grid
legend(’MA’,’K=10’,’K=50’);
axis([0 40 0 1.1]);
print(’-depsc’,’-tiff’,’-r300’,’fig_02_MF_K_cap_1’)
% -----------
fig = fig + 1;figure(fig);
%subplot(1,2,2);
plot(t,yMF1,’r’,t,yMF2,’g’,t,yMF3,’b’,’LineWidth’,2,...
’MarkerEdgeColor’,’k’,...
’MarkerFaceColor’,’g’,...
’MarkerSize’,10)
grid
legend(’K=10’,’K=50’,’K=100’,0);
axis([0 40 0 1.1]);
print(’-depsc’,’-tiff’,’-r300’,’fig_02_MF_K_cap_1’)
10
6.1.1 Tarefas
Tarefa 1- Implemente os scripts dos Quadros 1, 2, 3, e 4
Tarefa 2- Avalie e emita um parecer sobre o comportamento da saı´da Y para
variac¸o˜es do ganho Kp, levando em considerac¸a˜o os gra´ficos da Figura 7, temos a
resposta ao degrau para o Sistema em Malha Fechada, considerando os seguintes
valores de ganho,K = {10, 50, 100 }.
0 5 10 15 20 25 30 35 40
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
K=10
K=50
K=100
Figura 7. Resposta ao Degrau para Variac¸o˜es deK no Sistema em Malha Fechada.
Tarefa 3- Leia o conteu´do da ana´lise e realize observac¸o˜es criticas sobre o conteu´do.
Ana´lise: Variac¸o˜es do Ganho K
1 - Observa-se que quanto maior o valor de K melhor e´ desempenho
do sistema, sem condic¸o˜es rı´gidas de projeto.
2 - Aumentado o ganho K tambe´m resulta na necessidade de uma
maior acelerac¸a˜o.
3 - Observe que o erro deste esquema aumenta consideravelmente
para o menores valores de K. O controle integral e´ utilizado para
eliminar este erro.
11
Ana´lise: Desempenho baseado em convergeˆncia e erro de regime
- Para este problema um compromisso razoa´vel entre a reac¸a˜o (con-
vergeˆncia) da resposta e os erros de regime permanente, pode serK=
1000, correspondendo a 5 segundos e um erro de regime permanente
de 5%.
6.2 Modelo de Translac¸a˜o de um Sistema Dinaˆmico
Dado o diagrama de blocos de um dado sistema que esta´ representado pela Figura8,
desenvolver:
a - Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
b - Func¸a˜o de Transfereˆncia
c - Espac¸o de Estado.
Figura 8. Diagramas para Modelagem de um Sistema Dinaˆmico.
6.3 Simulac¸a˜o no LabVIEW
Realizar a implementac¸a˜o dos scripts no LabVIEW dos Quadros 1, 2, 3 e 4. Com-
parar as tarefas 1 2 3 do item Simulac¸a˜o no MATLAB.
7 Preparac¸a˜o das Aulas e Leituras
As aulas sa˜o preparadas a partir das seguintes refereˆncias: [4] [6] [1] [2] [3] [5].
Como tambe´m aconselhamos a leitura dos referidos livros.
12
Refereˆncias
[1] HOUPS Constantine H. D’AZZO, John J. Ana´lise e projeto de sistemas de controle
lineares. Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 1984.
[2] Gene F. Franklin, David J. Powell, and Abbas Emami-Naeini. Feedback Control of
Dynamic Systems. Prentice Hall PTR, Upper Saddle River, NJ, USA, 2001.
[3] Gene F. Franklin, David J. Powell, and Abbas Emami-Naeini. Feedback Control of
Dynamic Systems. Prentice Hall PTR, Upper Saddle River, NJ, USA, 2006.
[4] J. David Powell Gene F Franklin and Abbas Emami-Naeini. Feedback Control of
Dynamic Systems. Addison-Wesley Publishing Company, Menlo Park, California,
1994.
[5] Benjamin C. Kuo and Farid Golnaraghi. Automatic Control Systems. John Wiley &
Sons,Inc., New York, NY, USA, 2002.
[6] Katsuhiko Ogata. Engenharia de Controle Moderno. Ed. Rio de Janeiro: Prenttice -
Hall do Brasil,, 1998.
13