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em que D é a região da
Figura 5.23, delimitada por um retângulo de lados paralelos aos eixos coordenados.
Figura 5.23: Região retangular D.
A fronteira de D é a curva simples, fechada e parcialmente regular, formada pelos segmentos de
reta 
1; 
2; 
3 e 
4, isto é, @D = 
1 + 
 + 
3 + 
4: Temos pela propriedade aditiva queI
@D
Ldx+Mdy =
4X
i=1
I
i
Ldx+Mdy: (5.19)
Sobre o segmento 
1, temos y = c; dy = 0, a � x � b e, portanto,I
1
Ldx+Mdy =
Z b
a
L (x; c) dx:
Sobre o segmento 
2, temos x = b; dx = 0, c � y � d e, portanto,I
2
Ldx+Mdy =
Z d
c
M (b; y) dy:
Sobre o segmento 
3, temos y = d; dy = 0, a � x � b e, portanto,I
3
Ldx+Mdy = �
Z b
a
L (x; d) dx:
Sobre o segmento 
4, temos x = a; dx = 0, c � y � d e, portanto,I
4
Ldx+Mdy = �
Z d
c
M (a; y) dy:
O sinal "�" que …gura nas integrais sobre 
3 e 
4 é devido a orientação. De (5.19), resultaI
@D
Ldx+Mdy =
�
�
Z b
a
[L (x; d)� L (x; c)]dx
�
+
�Z d
c
[M (b; y)�M (a; y)] dy
�
(5.20)
CAPÍTULO 5 INTEGRAL DE LINHA 215
e aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo15 a cada integral do lado direito de (5.20), encontramosI
@D
Ldx+Mdy = �
Z b
a
�Z d
c
Ly (x; y) dy
�
dx+
Z d
c
�Z b
a
Mx (x; y) dx
�
dy
=
Z b
a
Z d
c
[Mx (x; y)� Ly (x; y)] dydx =
ZZ
D
(Mx � Ly) dA: �
Exemplo 5.56 Com auxílio do Teorema de Green, calcular a integral de linhaI
@D
3xydx+ 2x2dy;
onde D é a região delimitada pela reta y = x e a parábola y = x2 � 2x.
Solução A região D é do tipo vertical simples, e está ilustrada na Figura 5.24; ela é descrita pelas
desigualdades D : 0 � x � 3; x2 � 2x � y � x:
Figura 5.24: Região D entre as curvas y = x e y = x2 � 2x.
As componentes da forma diferencial são L = 3xy e M = 2x2; de modo que Mx �Ly = 4x� 3x; e
usando o Teorema de Green, obtemosI
@D
3xydx+ 2x2dy =
ZZ
D
xdxdy =
Z 3
0
�Z x
x2�2x
xdy
�
dx =
Z 3
0
x2 (3� x) dx = 27
4
: �
Exemplo 5.57 Os possíveis valores para a integral de linhaI
�ydx+ xdy
x2 + y2
;
onde 
 é uma circunferência que não passa pela origem, são �2� e 0. De fato, se 
 é uma circun-
ferência centrada na origem de raio ", com orientação positiva, vimos no Exemplo 5.42 que a integral
tem valor 2�. Invertendo a orientação, o valor da integral passa a ser �2�: Por outro lado, se a
circunferência 
 não envolve a origem, podemos usar o Teorema de Green na região D; delimitada
por 
; e considerando que Ly =Mx; em D, resultaI
Ldx+Mdy =
ZZ
D
(Mx � Ly) dxdy = 0:
Ressaltamos que o Teorema de Green não se aplica, se a circunferência 
 envolver a origem. �
15Teorema Fundamental do Cálculo:
R b
a
Gx (x; �) dx = G (b; �)�G (a; �) ; G de class C1:
216 CÁLCULO DE VÁRIAS VARIÁVEIS A. A. e SILVA & M. P. MATOS
Exemplo 5.58 Calcular
I
ydx + 3xdy, onde 
 resulta da interseção do cone z =
p
x2 + y2 com o
plano z = 2:
Solução A curva 
 é a circunferência de raio R = 2, situada no plano z = 2, com centro C (0; 0; 2).
Pelo Teorema de Green, temosI
ydx+ 3xdy =
ZZ
D
(3� 1)dxdy = 2A (D) = 8�: �
5.5.1 Regiões Multiplamente Conexas
Desejamos usar o Teorema de Green para calcular a integral de linhaI
�ydx+ xdy
x2 + y2
;
ao longo de uma curva simples, fechada e parcialmente regular 
, que envolve a origem, como ilustrado
na Figura 5.25.
Figura 5.25: Região D multiplamente conexa.
O Teorema de Green não pode ser aplicado diretamente, tendo em vista que a forma não é de classe
C1; na região delimitada pela curva 
: Para contornar a situação, consideramos uma circunferência
centrada na origem, de raio " > 0, su…cientemente pequeno, de modo que 
" \ 
 = ?, e um segmento
de reta servindo de ponte de ligação, entre as curvas 
 e 
": Com esses artifícios, construimos uma
região simplesmente conexa D; com fronteira @D = 
+ 
"+ 
1+ 
2; de modo que a forma diferencial
é exata e de classe C1; em D [ @D: Como 
2 = �
1; temos queZ
1
Ldx+Mdy +
Z
2
Ldx+Mdy = 0
e, portanto, Z
@D
Ldx+Mdy =
Z
Ldx+Mdy +
Z
"
Ldx+Mdy: (5.21)
Do Teorema de Green, resultaI
@D
Ldx+Mdy =
ZZ
D
(Mx � Ly) dxdy = 0
e de (5.21), obtemos I
�ydx+ xdy
x2 + y2
= �
I
"
�ydx+ xdy
x2 + y2
= 2�;
CAPÍTULO 5 INTEGRAL DE LINHA 217
conforme encontramos no Exemplo 5.42.
Para encerrar esta seção, analisaremos a aplicabilidade do Teorema de Green, no caso em que a
região multiplamente conexa D tem dois buracos, como na Figura 5.26.
Figura 5.26: Região D com dois buracos.
Se F = L (x; y) i+M (x; y) j é um campo de classe C1; na região D[@D, obtemos a partir do Teorema
de Green a seguinte relação:ZZ
D
(Mx � Ly) dA =
I
Ldx+Mdy +
I
2
Ldx+Mdy +
I
5
Ldx+Mdy:
Se o campo F for conservativo, então Mx � Ly = 0 e teremosI
Ldx+Mdy +
I
2
Ldx+Mdy +
I
5
Ldx+Mdy = 0:
Observamos que 
3 = �
1 e 
6 = �
4, de modo queI
1
Ldx+Mdy +
I
5
Ldx+Mdy = 0 e
I
4
Ldx+Mdy +
I
6
Ldx+Mdy = 0:
5.5.2 Aplicações do Teorema de Green
Cálculo de Áreas Planas
Seja D uma região do plano xy; delimitada por uma curva 
, simples, fechada e parcialmente
regular. Se considerarmos no Teorema de Green L (x; y) � 0 e M (x; y) = x, obteremosI
xdy =
ZZ
D
dA = A (D) : (5.22)
Da mesma forma, considerando L (x; y) = �y e M (x; y) � 0, resulta
�
I
yddx =
ZZ
D
dA = A (D) : (5.23)
Finalmente, somando (5.22) e (5.23), membro a membro, obtemos
A(D) =
1
2
I
xdy � ydx: (5.24)
Exemplo 5.59 (área da elipse) Calcular, por integral de linha, a área da região D limitada pela
elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1; a > 0; b > 0:
218 CÁLCULO DE VÁRIAS VARIÁVEIS A. A. e SILVA & M. P. MATOS
Solução Considerando a parametrização
x = a cos t e y = b sen t; 0 � t � 2�;
da elipse, obtida no Exemplo 5.19, segue da fórmula (5.22) que
A =
Z 2�
0
a (cos t) b (cos t) dt = ab
Z 2�
0
cos2 tdt = �ab: �
Exemplo 5.60 (área em coordenadas polares) Calcular a área da cardioide de equação polar
r = a(1� cos �); a > 0, 0 � � � 2�:
Solução Em coordenadas polares r e �, temos x = r cos � e y = r sen � e, portanto,
dx = cos �dr � r sen �d� e dy = sen �dr + r cos �d�:
Assim, em coordenadas polares, a fórmula da área (5.24) se escreve
A(D) =
1
2
I
[r cos �(sen �dr + r cos �d�)� r sen �(cos �dr � r sen �d�)] = 1
2
I
r2d�;
onde a região D é delimitada pela curva 
, simples, fechada e parcialmente regular. No caso da
cardioide, obtemos
A(D) =
a2
2
I
(1� cos �)2d� = 3�
2
a2: �
Fluxo e Circulação por Integral Dupla
Suponhamos que o campo bidimensional F (x; y) = L (x; y) i +M (x; y) j representa o campo de
velocidades de um ‡uido, e que desejamos medir a quantidade de ‡uido que atravessa a curva 
, na
unidade de tempo. Observando a Figura 5.27, vemos que a quantidade de ‡uido (‡uxo) que atravessa
a porção ds; na direção da normal, é medida pela área do retângulo de base ds e altura F � n, onde
n = T� k é a normal unitária exterior à curva 
.
Figura 5.27: Fluxo do campo F:
O ‡uxo total do campo F através de 
; na direção n, é, portanto,Z
(F � n)ds: (5.25)
CAPÍTULO 5 INTEGRAL DE LINHA 219
A integral (5.25) denomina-se a integral do ‡uxo do campo F ao longo de 
. Considerando que
Tds = (dx) i+ (dy) j+ (dz)k, obtemos
n = T� k =
�������
i j k
dx dy dz
0 0 1
������� = (dy) i� (dx) j
e, dessa forma, obtemos a seguinte regra para o cálculo do ‡uxo do campo F:Z
(F � n)ds =
Z
(Li+M j) � [(dy) i� (dx) j] ds =
Z
Ldy �Mdx: (5.26)
Quando a curva 
 for fechada, a integralI
(F �T)ds =
I
Ldx+Mdy (5.27)
denominar–se-á circulação do campo F ao longo de 
. Além disso, o trabalho total realizado por um
campo de forças F, para deslocar uma partícula ao longo de 
; do