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2)dydx (s)
R 1
�2
R 3x+2
x2+4x dydx
(i)
R 2
0
R 3
1 jx� 2j sen ydxdy (t)
R 4
0
R y�4
2
�p4�y xydxdy
(j)
R �
0
R cos y
�1 x sen ydxdy (u)
R 1
0
R x2
0 sen
�
x3
�
dydx
(k)
R 1
0
R p1�x2
0 ydydx (v)
R 1
0
R 1=y
1 lnx dxdy +
R 1
0
R 2
1 lnx dxdy
2. Em cada caso, decomponha a região em regiões verticais simples ou horizontais simples e escreva
a integral dupla
RR
D f (x; y) dA nas duas ordens.
CAPÍTULO 4 INTEGRAL MÚLTIPLA 147
3. Em cada caso, esboce a região D e calcule a integral dupla
RR
D f (x; y) dA: Escolha a ordem de
integração de modo a tornar o cálculo mais simples.
(a) D = f(x; y) 2 R2 : 0 � x � 1 e 2x � y � 2g; f = exp(y2).
(b) D = f(x; y) 2 R2 : 0 � y � 8 e 3py � x � 2g; f = xy.
(c) D = f(x; y) 2 R2 : x � 0 e 1 � x2 + y2 � 2g; f = x2.
(d) D = f(x; y) 2 R2 : �1 � x � 2 e �p4� x2 � y � 4� x2g; f = 1.
4. Ao calcular o volume de um sólido 
 abaixo de um paraboloide e acima de certa região D do
plano xy, obteve-se a seguinte expressão:
vol (
) =
Z 1
0
Z y
0
�
x2 + y2
�
dxdy +
Z 2
1
Z 2�y
0
�
x2 + y2
�
dxdy:
Identi…que a região D, expresse vol (
) por uma integral dupla com a ordem invertida e calcule
o volume.
5. Identi…que o sólido 
 cujo volume é dado pela expressão
vol (
) =
Z 1
0
Z p1�x2
0
(1� x) dydx
e em seguida calcule vol (
) :
6. Em cada caso, use integral dupla e calcule a área da região D indicada na …gura.
7. Calcular, por integral dupla, o volume do sólido delimitado acima pelo cilindro x2 + z2 = a2,
abaixo pelo plano xy e nos lados pelos planos y = x e y = 2x:
148 CÁLCULO DE VÁRIAS VARIÁVEIS A. A. e SILVA & M. P. MATOS
8. Calcular o volume da cunha cortada do primeiro octante pelo cilindro z = 12� 3y2 e pelo plano
x+ y = 2:
4.1.6 Mudança de Variável em Integral Dupla
Ao calcular uma integral por substituição, na verdade efetuamos uma mudança de variável para
obter uma primitiva. Mais precisamente, se f : [a; b] ! R é uma função contínua e g : [c; d] ! R é
uma função derivável, com derivada g0 integrável, e, além disso, g(c) = a e g (d) = b, entãoZ g(d)
g(c)
f (x) dx =
Z d
c
f (g (u)) g0 (u) du:
Exemplo 4.22 Por meio de uma mudança de variável, calcular a integral simplesZ 1
0
p
1� x2 dx:
Solução Se f (x) =
p
1� x2, 0 � x � 1; então com a substituição x = g(u) = senu, obtemos
f (g(u)) =
p
1� sen2 u = cosu e g0 (u) = cosu; 0 � u � �=2;
e, portanto, Z 1
0
p
1� x2dx =
Z �=2
0
cos2 udu =
1
2
Z �=2
0
(1 + cos(2u))du =
�
4
�
Para deduzirmos uma fórmula de mudança de variável para integral dupla, deixe-nos considerar
uma transformação T : R2 ! R2
T :
(
x = x (u; v)
y = y (u; v) ;
onde as funções coordenadas x (u; v) e y (u; v) têm derivadas parciais de primeira ordens contínuas em
uma região Ruv do plano uv e suponhamos que o Jacobiano
J (T ) =
����� xu xvyu yv
�����
não se anula em Ruv. A transformação T é localmente invertível e, como estabelece o Teorema da
Função Inversa, as coordenadas da inversa u = u (x; y) e v = v (x; y) têm derivadas parciais de primeira
ordem contínuas na região Rxy = T (Ruv), imagem de Ruv pela transformação T: Usaremos a Figura
4.17 como orientação para a dedução da fórmula. Se r (u; v) = x (u; v) i + y (u; v) j é o vetor posição
do ponto Q (x; y) e a região Rxy for particionada pelas curvas de nível u = c1 e v = c2; então a área
elementar dxdy será aproximada pela área do paralelogramo de lados a = rudu e b = rvdv. Temos
a = rudu = xui+ yuj e b = rvdv = xvi+ yvj
e, consequentemente,
a� b = (ru � rv) dudv =
�������
i j k
xu yu 0
xv yv 0
������� dudv = [(xuyv � xvyu) dudv]k:
CAPÍTULO 4 INTEGRAL MÚLTIPLA 149
Logo, as áreas elementares dxdy e dudv estão relacionadas por
dxdy = ja� bj = jJ (T )j dudv (4.13)
e se f (x; y) é uma função integrável sobre a região Rxy, então da de…nição de integral dupla, resultaZZ
Rxy
f (x; y) dxdy �
mX
i=1
nX
j=1
f (xi; yj) dxdy
�
mX
i=1
nX
j=1
f (x (ui; vj) ; y (ui; vj)) jJ(ui; vj)j dudv
�
ZZ
Ruv
f (x (u; v) ; y (u; v)) jJ(T )j dudv:
Figura 4.17: Mudança de variável
Formalmente, temos o seguinte resultado:
Teorema 4.23 (Mudança de Variável) Seja f : D � R2 ! R uma função com derivadas parciais
de primeira ordem contínuas em um domínio D, contendo a região Rxy: Se as funções x = x(u; v) e
y = y(u; v) têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas na região Ruv e o Jacobiano J(u; v)
não se anula em Ruv, entãoZZ
Rxy
f (x; y) dxdy =
ZZ
Ruv
f (x (u; v) ; y (u; v)) jJ(u; v)j dudv: � (4.14)
A fórmula (4.14) é conhecida como Fórmula de Mudança de Variável em integral dupla.
Observação 4.24 Se a transformação T : R2 ! R2 de…nida por T (u; v) = (x (u; v) ; y (u; v)) for
localmente invertível, vimos como consequência do Teorema 3:54 que
J(u; v) � J(x; y) = 1
e, se for conveniente, podemos usar a fórmula de mudança de variável (4:14) na ordem inversa. Se
a transformação T tem Jacobiano J (T ) constante (isso ocorre com as transformações lineares) e a
função f (x; y) � 1, segue de (4:14) que
A (Rxy) = A (T (Ruv)) = jJ jA (Ruv) (4.15)
e o Jacobiano pode ser visto como fator de relação entre as áreas de Rxy e Ruv:
150 CÁLCULO DE VÁRIAS VARIÁVEIS A. A. e SILVA & M. P. MATOS
Exemplo 4.25 Calcular a integral dupla da função f (x; y) = exp
�
y � x
y + x
�
sobre a região D delimi-
tada pelas retas x+ y = 1, x+ y = 2, x = 0 e y = 0.
Solução Se considerarmos u = y � x e v = y + x, teremos
x = 12(v � u) e y = 12(u+ v)
e a transformação (linear) T (u; v) = (x; y) tem Jacobiano
J(T ) =
@(x; y)
@(u; v)
=
����� �1=2 1=21=2 1=2
����� = �1=2:
Além disso, sendo T linear ela transforma retas em retas e um cálculo direto nos dá:
x+ y = 1) v = 1; x+ y = 2) v = 2; x = 0) v = u e y = 0) v = �u
e a Figura 4.18 expõe as regiões de integração Rxy e Ruv.
Figura 4.18: Regiões de integração Rxy e Ruv:
Da fórmula de mudança de variável (4.14), resulta
ZZ
D
exp
�
y � x
y + x
�
dA = 12
ZZ
Ruv
eu=vdudv = 12
Z 2
1
�Z v
�v
eu=vdu
�
dv
= 12
Z 2
1
�
veu=v
���v
�v
�
dv = 12
�
e� 1e
� Z 2
1
vdv = 34
�
e� 1e
�
: �
Exemplo 4.26 Com a mudança de coordenadas u = y � x e v = y + x, calcularZZ
jxj+jyj��
(x+ y)2 [sen (x� y)]2 dA:
Solução A transformação linear T (u; v) = (x; y) transforma o quadrado Ruv : [��; �] � [��; �] na
região Rxy : jxj+ jyj � �, como mostra a Figura 4.19.
CAPÍTULO 4 INTEGRAL MÚLTIPLA 151
Figura 4.19: Regiões de integração Rxy e Ruv:
Temos
J(T�1) =
@(u; v)
@(x; y)
=
����� 1 11 �1
����� = �2
de onde segue que J (T ) = �1=2 e da fórmula (4.14), resultaZZ
Rxy
(x+ y)2 [sen (x� y)]2 dA = 12
ZZ
Ruv
u2 (sen v)2 dudv = 12
Z �
��
�Z �
��
u2 (sen v)2 du
�
dv
= 12
Z �
��
�
1
3u
3
��
�� (sen v)
2 dv = �
3
3
Z �
��
(sen v)2 dv
= �
3
3
Z �
��
1
2 (1� cos 2v) dv = �4=3: �
Exemplo 4.27 Calcular, por integral dupla, a área da elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1, a > 0 e b > 0.
Solução Se representarmos por Rxy a região delimitada pela elipse, isto é,
Rxy = f(x; y) 2 R2 : x
2
a2
+
y2
b2
� 1g;
então a área da região Rxy é dada por A (Rxy) =
RR
Rxy
dxdy: O cálculo da integral dupla torna-se
mais simples por meio de uma mudança de variáveis que transforma a elipse em uma circunferência.
Consideremos, então, a transformação linear x = au e y = bv; com Jacobiano
J =
@(x; y)
@(u; v)
=
����� a 00 b
����� = ab;
que leva a região Rxy sobre o disco compacto
Ruv = f(x; y) 2 R2 : u2 + v2 � 1g
e usemos a fórmula de mudança de variáveis. Temos
A (Rxy) =
ZZ
Rxy
dxdy = ab
ZZ
Ruv
dudv: (4.16)
A integral dupla que aparece do lado direito de (4.16) nada mais é do que