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Apostila de Probabilidade e Estatistica_ESA_2009_2

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deve ser o tamanho mínimo de uma amostra que será utilizada na estimação da 
idade média de uma população muito grande, de pessoas adultas, sabendo-se, por exemplo, 
que o desvio padrão é de 5 anos? Adotar o Intervalo de Confiança (IC) de 95% e o E de 1 ano. 
 
 
 
 
 
Cálculos: 
= 100 – 95 = 5% (0,05) /2 = 0,025 
Z (/2) = z (0,025) = 1,96 
σ = 5 anos 
E = 1 ano 
 
 
 
1.1.6 Cálculo do tamanho de uma amostra – Estimação de média (População finita) 
 
Qual deve ser o tamanho mínimo de uma amostra que será utilizada na estimação da 
idade média de uma população N = 400, de pessoas adultas, sabendo-se, por exemplo, que o 
desvio padrão é de 5 anos? Adotar o Intervalo de Confiança (IC) de 95% e o E de 1 ano. 
 
 
 
 
 
Cálculos: 
= 100 – 95 = 5% (0,05) /2 = 0,025 
Z (/2) = z (0,025) = 1,96 
σ = 5 anos 
E = 1 ano 
 
 
 
 
2,80
)]07,01(x07,0x)96,1[()1400(x)05,0(
400x)]07,0(1[x)07,0(x96,1
n
22
2




  2
E
2/Z
n 




 

97
1
5x)96,1(
n
2







22
2
)x2/Z()1N(E
Nx)2/Z(
n



78
)5x96,1()1400(1
400x)5x96,1(
n
22
2



 7 
2. FERRAMENTAS BÁSICAS DE CÁLCULO ESTATÍSTICO 
 
2.1 DADOS BRUTOS 
 
Quando se faz „n‟ observações diretas em um fenômeno coletivo ou observam-se as 
respostas a uma pergunta em uma coleção de „n‟ questionários, obtém-se uma seqüência de 
„n‟ valores numéricos. Tal seqüência é denominada dados brutos. 
Representando por X a característica é observada no fenômeno coletivo ou na pergunta do 
questionário, estão x1 representa o valor da característica obtida na primeira observação do 
fenômeno coletivo ou o valor da característica observado no primeiro questionário; x2 
representa o valor da característica X na Segunda observação do fenômeno coletivo ou o valor 
da característica X observada no segundo questionário e assim sucessivamente. 
Desta forma, os dados brutos podem ser representados por X: x1, x2, x3, ..., xn. 
Esta seqüência de valores apresenta-se de modo completamente desordenada. 
De modo geral, pode-se afirmar que: 
Dados Brutos é uma seqüência de valores numéricos não organizados, obtidos diretamente da 
observação de um fenômeno coletivo. 
 
2.2 ROL 
 
É o arranjo dos dados brutos em ordem de grandeza crescente ou decrescente. 
 
Ex: Uma farmácia verificou o grau de satisfação de seus clientes com as seguintes notas 7, 5, 
9, 8, 7, 6, 9. 
Neste exemplo, X representa as notas e pode ser apresentada na forma: 
 
X: 7, 5, 9, 8, 7, 6, 9 (Dados Brutos) 
 
Ou X: 5, 6, 7, 7, 8, 9, 9 (Rol) ou X: 9, 9, 8, 7, 7, 6, 5 (Rol) 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
Construa o Rol para a seqüência de dados brutos: 
 
1- A: 5, 6, 3, 8, 2, 7, 4 
 
2 – B: 2,4 ; 3,1 ; 5,3 ; 2,9 ; 4,5 ; 0,8 ; 3,6 
 
3 – C: 3, 3, 6, 5, 5, 7, 8, 6, 6, 5 
 
 
 
 
 8 
2.3 NOTAÇÃO SIGMA –  
 


n
i
ix
1
 
 
 
 
 
 
 Muitos dos processos estatísticos (a maioria) exigem o cálculo da soma de um 
conjunto de números. Usa-se a letra maiúscula grega  para denotar a soma. Assim, se uma 
variável x tiver os valores 1, 5, 6 e 9, então x= 21. Analogamente, se as despesas y com um 
produto forem $8,82 em janeiro, $12,01 em fevereiro e $2,10 em março, então y= $22,93 
 
 Exemplo 1 - Se os valores de x são 2, 4, 5, 6 e 8 calcule: a) x; b) x
2
; c) (x)
2
. 
 
 
 
 Solução: 
 a) x = 2+4+5+6 +8 = 25 
 
 b) x
2
= 2
2
+4
2
+5
2
+6
2
 +8
2
= 4+16+25+36+64 = 145 
 
 c) (x)
2
= 25
2
 = 625 
 
 
Se apenas uma parte dos valores é que deve ser somada, usam-se índices para indicá-
los. Assim, 


5
1i
ix
 significa a soma dos valores da variável x começando com o primeiro 
(i=1) e terminando com o quinto (i=5): 


5
1i
ix
= x1 + x2 + x3 + x4 + x5 


n
i
ix
1
 significa que devemos somar n (todas) observações; costuma-se escrever 
abreviadamente como Xi ou X. 
 
 
Exemplo 2 – Utilizando os dados apresentados, calcule: 
 
 
 
Lê-se: “somatório 
de xi, para i 
variando de 1 a n” 
ou “soma de xi, 
para i variando de 
1 a n“ 
O primeiro elemento dos 
termos a serem somados 
i é uma observação individual da série. 
x é o nome dos termos a serem somados 
 é a instrução para somar 
n é o último elemento a ser somado 
Escores 
Cada número de x é um escore 
 9 
Dados: 
 a) 

2
1i
ix
 b) 

4
2i
ix
 
 
c) 

11
7i
ix
 d)  ix 
 
 
 
 
 
 Solução: a) 

2
1i
ix
 8+2=10 
 
 b) 

4
2i
ix
 2+3+6=11 
 
 c) 

11
7i
ix
 9+4+5+4+1=23 
 
 d)  ix 8+2+3+6+7+8+9+4+5+4+1=57 
 
 Trabalhando em sentido inverso, podemos utilizar esse método para abreviar a soma 
de um conjunto de dados: 
 1) x1+ x2 + x3 se escreve 

3
1i
ix
 
 2) x8 + x9 + x10 + x11 se escreve 

11
8i
ix
 
 
 Às vezes é possível simplificar uma soma, levando em conta uma ou mais dentre as 
propriedades seguintes: 
1) Quando cada valor de uma variável deve ser multiplicada ou dividida por uma constante, 
essa constante pode ser aplicada após os valores serem somados. 
cx
 = c 
 x
 
i xi 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
8 
2 
3 
6 
7 
8 
9 
4 
5 
4 
1 
 57 
 
a 
b 
c 
 10 
 Assim, 
 


4
1
2
i
ix
 = 2x1+ 2x2+ 2x3+ 2x4 = 2 (x1+x2+x3+x4) = 2 

4
1i
ix
 
Por exemplo: 
 3(2)+3(8)+3(4) = 3(2+8+4) = 42 
 
2) A soma de uma constante (isto é, uma constante somada n vezes) é igual ao produto da 
constante pelo número n de vezes que ela ocorre. 
 


n
i
ci
1
 = nc 
 Por exemplo: 
 


6
1
5
i
i
= 5+5+5+5+5+5 = 30 ou 6(5) = 30 
 
3) A soma de uma soma (ou diferença) de duas variáveis é igual à soma (ou diferença) das 
somas individuais das duas variáveis: 
 



n
i
ii yx
1
2 )(
=


n
i
ix
1
2
+ 


n
i
iy
1
 
 



n
i
ii yx
1
2 )(
=


n
i
ix
1
2
 –


n
i
iy
1
 
 Por exemplo: 
 
 
  (x-y) = 9 
 x - y = 20-11 = 9 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) Calcule as seguintes expressões: (n é o número de observações) 
 
 a)
Y
 
 b) 
 2Y
 
 c) 
2








Y
 
 
 
i x y (x-y) 
1 
2 
3 
4 
8 
3 
4 
5 
5 
2 
0 
4 
3 
1 
4 
1 
 20 11 9 
 
y 
12 
8 
7 
9 
10 
22 
5 
17 
 
 11 
 
2) Calcule as seguintes quantidades: 
 
 a) 
 ix
 
 
 
 b) 
 if
 
 
 
 c) 
 ii xf
 
 
 
 d) 
2
 ii xf
 
 
 
 
3) Sendo 
 
 Calcular: 
 
a) 
 x
 b) 
 y
 
 
c) 
 xy
 d) 
 2x
 
 
e) 
   yx
 f) 
  1x
 
i fi xi 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
5 
7 
9 
13 
6 
4 
10 
11 
14 
18 
22 
25 
 
x: 3 5 7 9 10 12 16 20 
y: 2 4 6 8 11 13 17 21 
 
 12 
3. PROBABILIDADE (NOÇÕES BÁSICAS) 
 
 
3.1 INTRODUÇÃO 
 
 A probabilidade de que um evento “A” ocorra é igual ao número de casos favoráveis a 
ocorrência de “A” dividido pelo número total de casos possíveis. 
 
 P(A) = 
n
nA
 
 
Exemplo: 
 Uma caixa contém 3 peças perfeitas