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Apostila de Probabilidade e Estatistica_ESA_2009_2

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e 2 defeituosas. Retirando-se uma peça de forma 
aleatória, qual a probabilidade de que seja perfeita? 
S = { P1, P2, P3, D1, D2 } 
 
A = Peça perfeita 
P(A) = 
5
3
 = 0,60  60% 
 
Exemplo: 
 No lançamento de um dado, qual a probabilidade de ocorrência de uma face par? 
 
A = face par Espaço Amostral 
 P(A) = 
6
3
 = 0,50  50% 
 
 
Quanto maior o número de repetições de uma experiência, maior será a aproximação 
entre a freqüência relativa de ocorrência de um evento e a sua probabilidade teórica. 
 
Exemplo: 
 No lançamento de 2 dados qual a probabilidade de que a soma dos pontos seja 7? 
 
 Espaço Amostral 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 2 3 4 5 6 
1  
2 
3 
4 
5 
6 
2  
2 
3 
4 
5 
6 
3  
2 
3 
4 
5 
6 
4  
2 
3 
4 
5 
6 
5  
2 
3 
4 
5 
6 
6  
2 
3 
4 
5 
6 
 
2 
3 
4 
5 
6 
 
2 
3 
4 
5 
6 
 
2 
3 
4 
5 
6 
 
2 
3 
4 
5 
6 
 
2 
3 
4 
5 
6 
 
2 
3 
4 
5 
6 
x 
x 
x 
x 
x 
x 
A = 7 pontos 
P(A) = 
6
1
36
6

 = 0,1667  16,67% 
 
Pode ser calculado por: 
 adição ou  produto 
 13 
3.2 REGRA DE ADIÇÃO 
 
 Se 2 eventos são tais que: a ocorrência de um impede a ocorrência do outro, eles são 
denominados mutuamente exclusivos. A probabilidade de ocorrência de um (ou) do outro é 
determinada através da adição das probabilidades individuais. 
P (A  B) = P(A) + P(B) 
 
Exemplo: 
 Na retirada de um a carta de um baralho comum, qual a probabilidade de que seja rei 
ou valete? 
 Espaço Amostral 
 
Carta 
Naipe 
A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K 
ouro X X 
copa X X 
espada X X 
pau X X 
 
 Pela fórmula inicial: 
A = rei ou valete 
 
 P(A) = 
n
na
  P(A) = 
52
8
= 0,1538  15,38% 
 
 Pela fórmula da adição: 
A = rei 
B = valete 
 
 P(A  B) = P(A) + P(B) 
 P (A  B) = 
52
4
 + 
52
4
 = 
52
8
 = 0,1538 
 
 Se dois eventos podem ocorrer ao mesmo tempo durante a realização de uma 
experiência, a probabilidade de ocorrência de um ou do outro é determinada pela seguinte 
fórmula: 
 P(A  B) = P(A) + P(B) – P (A  B) 
 
P(A  B) = probabilidade de ocorrência de ambos. 
 
 
Exemplo: 
 
 Na retirada de uma carta de um baralho comum, qual a probabilidade que seja um rei 
ou uma carta de copas? 
 
 
 
 
 14 
 
Espaço Amostral 
Carta 
Naipe 
A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K 
copa X X X X X X X X X X X X X X 
espada X 
pau X 
ouro X 
 
 Fórmula inicial: 
A = rei ou copas 
 
P(A) = 
52
16
 = 0,3077  30,77% 
 
 
 Fórmula da adição: 
A = rei 
B = copas 
 
P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B) 
P(A  B) = 

13
4
26
8
52
16
52
1
52
13
52
4
 0,3077  30,77% 
 
 
 
3.3 REGRA DE MULTIPLICAÇÃO 
 
 Se dois eventos podem ocorrer ao mesmo tempo quando uma experiência é realizada e 
a ocorrência do segundo independe do fato de que o primeiro tenha ocorrido, eles são 
denominados eventos independentes. 
 A probabilidade de ocorrência de ambos (um “e” outro) é determinada através do 
produto das probabilidades individuais. 
 
P(A  B) = P(A) . P(B) 
 
Exemplo: 
 No lançamento de um dado duas vezes, qual a probabilidade de que a face 1 ocorra nas 
duas situações? Espaço Amostral 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fórmula inicial: 
A = face 1, face 1 
P(A) = 
36
1
 = 0,0278  2,78% 
 
 
 1 2 3 4 5 6 
1  
2 
3 
4 
5 
6 
2  
2 
3 
4 
5 
6 
3  
2 
3 
4 
5 
6 
4  
2 
3 
4 
5 
6 
5  
2 
3 
4 
5 
6 
6  
2 
3 
4 
5 
6 
 
2 
3 
4 
5 
6 
 
2 
3 
4 
5 
6 
 
2 
3 
4 
5 
6 
 
2 
3 
4 
5 
6 
 
2 
3 
4 
5 
6 
 
2 
3 
4 
5 
6 
x 
 15 
 Regra da multiplicação 
A = face 1 no primeiro lançamento 
B = face 1 no segundo lançamento 
 
P(A  B) = 
36
1
6
1
6
1

 = 0,0278  2,78% 
 
 Se a ocorrência do segundo evento depende do fato de que o primeiro tenha ocorrido, 
os eventos são considerados dependentes. A probabilidade de ocorrência de ambos (um e 
outro) é determinada pela seguinte fórmula: 
 
P(A  B) = P(A) . P(B/A) 
 Prob. de ocorrência de B considerando que A tenha ocorrido 
 
 Prob. de ocorrência de A 
 
 
Exemplo: 
 Uma caixa contém 3 peças perfeitas e 2 defeituosas. Retirando-se duas peças sem 
reposição, qual a probabilidade de que ambas sejam perfeitas. 
S = { P1, P2, P3, D1, D2 } 
 Fórmula inicial 
 
 !!
!
xnx
n
C xn


 
    2
60
1212
12345
!35!2
!52
5 


xxx
xxxx
C
  30% 
 
P(A  B) = P(A) . P(B/A) 
P(A  B) = 
20
6
4
2
5
3

 = 0,30  30% 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
Uma caixa contém cinco moedas, sendo três de ouro e duas de prata. A caixa também conte 
sete medalhas, sendo quatro de prata. 
 
1. Retirando-se apenas uma peça, de forma aleatória, qual a probabilidade de que: 
a) Seja uma peça qualquer de ouro? 
b) Seja uma moeda? 
c) Não seja medalha de prata? 
 
2. Retirando-se apenas uma peça, qual a probabilidade de que seja: 
a) uma medalha de ouro ou uma moeda de prata? 
b) Uma moeda, ou uma peça qualquer de ouro? 
 
 
 16 
 
3. Retirando-se duas peças, sem reposição, qual a probabilidade de que: 
a) Ambas sejam de ouro? 
b) Ambas sejam moedas? 
 
 
4. Uma caixa contém 5 bolas verdes, 4 brancas e 3 pretas. 
a) Retirando-se uma bola, qual a probabilidade de que: 
 Seja branca? 
 Não seja preta? 
 Seja branca ou preta? 
 
5. Retirando-se 2 bolas, sem reposição, qual a probabilidade de que: 
 Ambas sejam verdes? 
 A primeira seja branca e a Segunda preta? 
 Uma seja branca e a outra preta? 
 Ambas sejam da mesma cor? 
 
 
Considerando que os jogos da loteria esportiva sejam equilibrados, qual a probabilidade de 
acerto dos 13 pontos com um palpite triplo e um duplo. Nos demais jogos considerando 
palpite simples. 
 
 Coluna 1 Coluna do meio Coluna 2 
01 X X X 
02 X X 
03 X 
04 X 
05 X 
06 X 
07 X 
08 X 
09 X 
10 X 
11 X 
12 X 
13 X 
 
P = 


















SDT
3
1
3
2
3
3 
P = 


















1111
3
1
3
2
3
3 
P = 1 . 
441.531
2
177147
1
3
2

 
 17 
4. MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
 
 
As medidas de tendência central são usadas, para indicar um valor que tende a tipificar, 
ou a representar melhor, um conjunto de números. As três medidas mais usadas são a média, a 
mediana e a moda. 
 
 
4.1 A MÉDIA 
 
4.1.1 A média aritmética 
 
A média de uma amostra é representada pelo símbolo 
X
 (lê-se “x barra”), e seu cálculo 
pode expressar-se em notação sigma como segue: 
 


n
n
i
ixx
1