47784564-algebra-linear

Prévia do material em texto

A´LGEBRA LINEAR
Pedro Resende
Departamento de Matema´tica, Instituto Superior Te´cnico, Lisboa, Portugal
2010/2011
Capı´tulo 1
PROGRAMA
1. Sistemas de equac¸o˜es lineares e matrizes
1.1 Sistemas
1.2 Matrizes
1.3 Determinantes
2. Espac¸os vectoriais (ou espac¸os lineares)
2.1 Espac¸os e subespac¸os
2.2 Subespac¸os associados a matrizes
2.3 Isomorfismos
2.4 Independeˆncia linear, bases e dimensa˜o
2.5 Aplicac¸o˜es
3. Transformac¸o˜es lineares
3.1 Representac¸a˜o matricial
3.2 Equac¸o˜es lineares
3.3 Mudanc¸a de base
3.4 Vectores e valores pro´prios
4. Espac¸os Euclidianos
4.1 Produtos internos e me´tricas
4.2 Projecc¸o˜es e distaˆncias
4.3 Transformac¸o˜es lineares entre espac¸os Euclidianos
4.4 Aplicac¸o˜es
BIBLIOGRAFIA
1. L. Magalha˜es, A´lgebra Linear como Introduc¸a˜o a`
Matema´tica Aplicada, 1992, Texto Editora.
2. G. Strang, Linear Algebra and Its Applications, 1988, 3a.
ed., Academic Press.
3. S. Lipschutz, A´lgebra Linear, 1994, Schaum’s Outline
Series. McGraw-Hill.
4. T.M. Apostol, Ca´lculo, 1994, Vols. I e II. Reverte´.
5. G. Strang, Introduction to Linear Algebra, 2003,
Wellesley–Cambridge Press.
6. H. Anton, C. Rorres, Elementary Linear Algebra —
Applications Version, 1994, John Wiley & Sons.
HORA´RIOS DE DU´VIDAS
Sera˜o afixados em breve na pa´gina da cadeira, na barra lateral
esquerda com o tı´tulo “Hora´rios de Du´vidas”.
AVALIAC¸A˜O
TESTE 1: Nas aulas da 5a semana (18–23/10), com 40
minutos de durac¸a˜o.
TESTE 2: Sa´bado, 4/12/2010, com 50 minutos de durac¸a˜o.
TESTE 3: Sa´bado, 8/1/2011, com 90 minutos de durac¸a˜o.
Os treˆs testes sa˜o classificados com nu´meros inteiros de 0 a
20, respectivamente T1, T2 e T3. A classificac¸a˜o geral e´ o
nu´mero inteiro T de 0 a 20 que resulta de arredondar o valor
2T1+3T2+5T3
10
.
AVALIAC¸A˜O
PROVAS DE RECUPERAC¸A˜O:
No dia 25/1/2011 havera´ uma prova escrita de
recuperac¸a˜o, com durac¸a˜o ma´xima de 3 horas.
Os alunos que se apresentarem a esta prova
recebera˜o um enunciado correspondente a toda a
mate´ria, dividido em duas partes.
As classificac¸o˜es da primeira parte e da segunda
parte sa˜o nu´meros inteiros R12 e R3,
respectivamente, ambos de 0 a 20, havendo duas
opc¸o˜es de recuperac¸a˜o:
AVALIAC¸A˜O
RECUPERAC¸A˜O PARCIAL: O aluno entrega a prova ao fim de um
tempo ma´ximo igual a 90 minutos e assinala qual
das duas partes deve ser classificada:
I Se assinalar a primeira parte, no ca´lculo de T
o valor 2T1+3T2 e´ substituı´do por 5R12, se
este for superior;
I Se assinalar a segunda parte, no ca´lculo de T
o valor T3 e´ substituı´do por R3, se este for
superior.
RECUPERAC¸A˜O TOTAL: O aluno assinala ambas as partes e
ambas sa˜o classificadas. O valor T e´ substituı´do
pela me´dia arredondada de R12 e R3, se esta for
superior.
AVALIAC¸A˜O
INSCRIC¸O˜ES NAS PROVAS ESCRITAS:
Havera´, para cada prova escrita, um perı´odo de
inscric¸a˜o (no fe´nix), o qual decorrera´ durante a
semana da prova (que sera´ sempre num sa´bado)
desde as 8:00 de 2a feira ate´ ao meio dia da 4a
feira.
Todos os alunos que pretendem fazer uma prova
escrita devem inscrever-se, a fim de que seja feita
uma previsa˜o correcta do nu´mero de salas
necessa´rias e assim na˜o venham a faltar lugares
para todos.
A inscric¸a˜o na˜o e´ vinculativa: se um aluno se
inscrever e por qualquer raza˜o tiver de faltar a`
prova na˜o sofre qualquer penalizac¸a˜o. Mas, pelo
contra´rio, se um aluno na˜o se inscrever podera´
ver-se impedido de realizar a prova.
AVALIAC¸A˜O
AVALIAC¸A˜O CONTI´NUA: Durante o semestre sera´ avaliada a
resoluc¸a˜o de problemas pelos alunos nas aulas
de problemas. A classificac¸a˜o final desta
componente e´ um nu´mero inteiro P ∈ {0,1,2} que
contribui com uma bonificac¸a˜o para a nota global
N de acordo com a tabela seguinte:
I Se T ≤ 9 enta˜o N = T+P;
I Se 10≤ T ≤ 13 enta˜o N = T+ dP/2e;
I Se 14≤ T ≤ 15 enta˜o N = T+ bP/2c;
I Se 16≤ T enta˜o N = T.
AVALIAC¸A˜O
PROVA ORAL: Se N ≥ 18 o aluno pode fazer uma prova oral
(facultativa) em data a combinar oportunamente
com o responsa´vel da cadeira. A classificac¸a˜o da
prova oral e´ um nu´mero inteiro de 0 a 20.
APROVAC¸A˜O E CLASSIFICAC¸A˜O FINAL: Se tiver havido prova
oral, a classificac¸a˜o final F sera´ a da prova oral.
Caso contra´rio a classificac¸a˜o final sera´
F = min{17,N}. Ha´ aprovac¸a˜o na cadeira se e so´
se T3 ≥ 8 e F ≥ 10.
INI´CIO DAS AULAS
As aulas iniciam-se pontualmente 10 minutos depois da hora
indicada no hora´rio.
PROGRAMA
1. Sistemas de equac¸o˜es lineares e matrizes
1.1 Sistemas
1.2 Matrizes
1.3 Determinantes
2. Espac¸os vectoriais (ou espac¸os lineares)
2.1 Espac¸os e subespac¸os
2.2 Subespac¸os associados a matrizes
2.3 Isomorfismos
2.4 Independeˆncia linear, bases e dimensa˜o
2.5 Aplicac¸o˜es
3. Transformac¸o˜es lineares
3.1 Representac¸a˜o matricial
3.2 Equac¸o˜es lineares
3.3 Mudanc¸a de base
3.4 Vectores e valores pro´prios
4. Espac¸os Euclidianos
4.1 Produtos internos e me´tricas
4.2 Projecc¸o˜es e distaˆncias
4.3 Transformac¸o˜es lineares entre espac¸os Euclidianos
4.4 Aplicac¸o˜es
SISTEMAS DE EQUAC¸O˜ES LINEARES
EXPRESSO˜ES LINEARES:
I x+ y−3z
I 5z−2x
I 2y
EXPRESSO˜ES NA˜O LINEARES:
I 5x2+ y
I xyz
I 3
SISTEMA DE EQUAC¸O˜ES LINEARES:

2y+2z = 6
x+2y− z = 1
x+ y+ z = 4
I Me´todo da substituic¸a˜o
I Me´todo da reduc¸a˜o
ME´TODO DA ELIMINAC¸A˜O DE GAUSS
FIGURA: O alema˜o Carl Friedrich Gauss (30/04/1777 – 23/02/1855),
considerado por muitos um dos mais geniais matema´ticos de
sempre.
ME´TODO DA ELIMINAC¸A˜O DE GAUSS
2y + 2z = 6
x + 2y − z = 1
x + y + z = 4
x + 2y − z = 1
2y + 2z = 6 (Permuta´mos a primeira e a
segunda equac¸o˜es.)
x + y + z = 4
x + 2y − z = 1
2y + 2z = 6
(Subtraı´mos a primeira
equac¸a˜o da terceira.)
−y + 2z = 3
ME´TODO DA ELIMINAC¸A˜O DE GAUSS
x + 2y − z = 1
y + z = 3
(Dividimos por 2 ambos os la-
dos da segunda equac¸a˜o.)
−y + 2z = 3
x + 2y − z = 1
y + z = 3 (Adiciona´mos a segunda
equac¸a˜o a` terceira.)
3z = 6
x = 1
y = 1 (Aplica´mos o me´todo da
substituic¸a˜o.)
z = 2
ME´TODO DA ELIMINAC¸A˜O DE GAUSS COM MATRIZES
2y + 2z = 6
x + 2y − z = 1
x + y + z = 4
0x + 2y + 2z = 6
1x + 2y + (−1)z = 1
1x + 1y + 1z = 4
 0 2 2 61 2 −1 1
1 1 1 4

I Este quadro designa-se por matriz.
ME´TODO DA ELIMINAC¸A˜O DE GAUSS COM MATRIZES
2y + 2z = 6
x + 2y − z = 1
x + y + z = 4
Matriz aumentada do sistema:
 0 2 2 61 2 −1 1
1 1 1 4

Matriz dos coeficientes do sistema:
 0 2 21 2 −1
1 1 1

Matriz dos termos independentes do sistema:
 61
4

ME´TODO DA ELIMINAC¸A˜O DE GAUSS COM MATRIZES
 0 2 2 61 2 −1 1
1 1 1 4
→
 1 2 −1 10 2 2 6
1 1 1 4
→
 1 2 −1 10 2 2 6
0 −1 2 3

→
 1 2 −1 10 1 1 3
0 −1 2 3
→
 1 2 −1 10 1 1 3
0 0 3 6

→

x + 2y − z = 1
y + z = 3
3z = 6
ME´TODO DA ELIMINAC¸A˜O DE GAUSS COM MATRIZES
1. Podem permutar-se linhas da matriz aumentada sem que
a soluc¸a˜o do sistema se altere.
2. Pode adicionar-se a uma linha um mu´ltiplo de outra linha
(distinta) sem que a soluc¸a˜o do sistema se altere.
3. Pode multiplicar-se uma linha por um nu´mero diferente de
zero sem que a soluc¸a˜o do sistema se altere.
NU´MEROS COMPLEXOS
I Os nu´meros que surgem nos sistemas de equac¸o˜es
lineares e nas correspondentes matrizes podem ser de
va´rios tipos.
I Nesta disciplina vamos sobretudo considerar os nu´meros
racionais, os reais e os complexos.
I Os nu´meros racionais sa˜o representados por fracc¸o˜es m/n
em que m e n sa˜o nu´meros inteiros.
I Os nu´meros reais sa˜o definidos a partir dos racionais e
incluem nu´meros como pi = 3,141592654..., e= 2,71828...,
etc., e ha´ va´rias formas de os definir (uma sera´ vista em
CDI-I).
I Os nu´meros complexos sa˜o representados por pares de
nu´meros reais: o nu´mero (a,b) e´ usualmente representado
na forma z= a+ ib, onde a e´ a parte real de z e b e´ a parte
imagina´ria de z.
NU´MEROS COMPLEXOS
Podemos tambe´m representar o nu´mero complexo z= a+ ib
geometricamente no plano de Argand, em que a parte real e´
a abcissa e a parte imagina´ria e´ a ordenada (coordenadas
cartesianas):
NU´MEROS COMPLEXOSI Soma, subtracc¸a˜o e multiplicac¸a˜o de nu´meros complexos:
(a+ ib)+(c+ id) = (a+ c)+ i(b+d)
(a+ ib)− (c+ id) = (a− c)+ i(b−d)
(a+ ib)(c+ id) = (ac−bd)+ i(ad+bc)
(Ana´logo a operac¸o˜es com polino´mios a+bx e c+dx, onde
x e´ substituı´do por i e temos i2 =−1.)
I Divisa˜o de nu´meros complexos:
a+ ib
c+ id
=
(a+ ib)(c− id)
(c+ id)(c− id) =
ac+bd
c2+d2
+ i
bc−ad
c2+d2
.
I w= c− id e´ o conjugado de w= c+ id.
I Na divisa˜o usa´mos a igualdade ww= |w|2, onde
|w|=√c2+d2 e´ o mo´dulo de w.
NU´MEROS COMPLEXOS
A representac¸a˜o do nu´mero complexo z= a+ ib pode tambe´m
ser em coordenadas polares, com a= r cosθ e b= r senθ
(r = |z|):
NU´MEROS COMPLEXOS
Neste caso z e´ definido pela operac¸a˜o de exponenciac¸a˜o de
nu´meros complexos: z= reiθ (no ensino secunda´rio era usual a
notac¸a˜o r cisθ , onde “cis” corresponde a “cos ...isen”).
Multiplicac¸a˜o e divisa˜o de nu´meros complexos em
coordenadas polares:(
r1eiθ1
)(
r2eiθ2
)
= (r1r2)ei(θ1+θ2)(
r1eiθ1
)
/
(
r2eiθ2
)
= (r1/r2)ei(θ1−θ2)
NU´MEROS COMPLEXOS
I Os conjuntos dos nu´meros racionais, dos nu´meros reais e
dos nu´meros complexos denotam-se por Q, R e C,
respectivamente.
I Munidos das operac¸o˜es alge´bricas de soma,
multiplicac¸a˜o, divisa˜o, etc., teˆm a estrutura de um corpo
alge´brico. (Voltaremos a ver esta noc¸a˜o mais a` frente.)
I O corpo C distingue-se de Q e de R pelo facto de ser
completo. Por outras palavras, verifica-se o Teorema
Fundamental da A´lgebra:
Vamos rever o Teorema Fundamental da A´lgebra:
TEOREMA
Qualquer polino´mio com coeficientes complexos e grau
maior ou igual a 1 tem pelo menos uma raiz complexa.
COROLA´RIO
Para qualquer polino´mio p(z) = a0+a1z+ · · ·anzn de coeficientes
complexos com n≥ 1 existem z1, . . . ,zn ∈ C tais que
p(z) = an(z− z1) · · ·(z− zn) .
NOTA
z1, . . . ,zn sa˜o as raı´zes do polino´mio.
Para cada i, o nu´mero de factores em que ocorre a raiz zi e´ a
multiplicidade dessa raiz.
Capı´tulo 2
PROGRAMA
1. Sistemas de equac¸o˜es lineares e matrizes
1.1 Sistemas
1.2 Matrizes
1.3 Determinantes
2. Espac¸os vectoriais (ou espac¸os lineares)
2.1 Espac¸os e subespac¸os
2.2 Subespac¸os associados a matrizes
2.3 Isomorfismos
2.4 Independeˆncia linear, bases e dimensa˜o
2.5 Aplicac¸o˜es
3. Transformac¸o˜es lineares
3.1 Representac¸a˜o matricial
3.2 Equac¸o˜es lineares
3.3 Mudanc¸a de base
3.4 Vectores e valores pro´prios
4. Espac¸os Euclidianos
4.1 Produtos internos e me´tricas
4.2 Projecc¸o˜es e distaˆncias
4.3 Transformac¸o˜es lineares entre espac¸os Euclidianos
4.4 Aplicac¸o˜es
BIBLIOGRAFIA
L. Magalha˜es, A´lgebra Linear como Introduc¸a˜o a`
Matema´tica Aplicada, 1992, Texto Editora.
I Secc¸o˜es 1.2,1.5 e o inı´cio de 1.3.
REVISA˜O
2y + 2z = 6
x + 2y − z = 1
x + y + z = 4
Matriz aumentada do sistema:
 0 2 2 61 2 −1 1
1 1 1 4

Matriz dos coeficientes do sistema:
 0 2 21 2 −1
1 1 1

Matriz dos termos independentes do sistema:
 61
4

ME´TODO DA ELIMINAC¸A˜O DE GAUSS COM MATRIZES
 0 2 2 61 2 −1 1
1 1 1 4
→
 1 2 −1 10 2 2 6
1 1 1 4
→
 1 2 −1 10 2 2 6
0 −1 2 3

→
 1 2 −1 10 1 1 3
0 −1 2 3
→
 1 2 −1 10 1 1 3
0 0 3 6

→

x + 2y − z = 1
y + z = 3
3z = 6
ENTRADAS DUMA MATRIZ
I A=
 2 1 4 26 1 0 −10
−1 2 −10 −4

I A=
 a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34

I aij e´ a entrada da linha i e da coluna j.
I a23 = 0, a34 =−4, etc.
I Exemplo: linha 2 = [6 1 0 −10]
I Exemplo: coluna 2 =
 11
2

ME´TODO DA ELIMINAC¸A˜O DE GAUSS COM MATRIZES
REGRA DA PERMUTAC¸A˜O: Podem permutar-se linhas da matriz
aumentada sem que a soluc¸a˜o do sistema se
altere.
REGRA DA ELIMINAC¸A˜O: Pode adicionar-se a uma linha um
mu´ltiplo de outra linha (distinta) sem que a
soluc¸a˜o do sistema se altere.
REGRA DA MULTIPLICAC¸A˜O: Pode multiplicar-se uma linha por
um nu´mero diferente de zero sem que a soluc¸a˜o
do sistema se altere.
REGRA DA ELIMINAC¸A˜O
2x + y + 4z = 2
6x + y = −10
−x + 2y − 10z = −4
I Matriz aumentada do sistema:
 2 1 4 26 1 0 −10
−1 2 −10 −4

I Pivot = 2
I Adicionar a` segunda linha
−6
2
× (primeira linha) = [−6 −3 −12 −6] :
I
 2 1 4 20 −2 −12 −16
−1 2 −10 −4

REGRA DA ELIMINAC¸A˜O
 2 1 4 20 −2 −12 −16
−1 2 −10 −4

I Pivot = 2
I Adicionar a` terceira linha
−(−1)
2
× (primeira linha) =
[
1
1
2
2 1
]
:
I
 2 1 4 20 −2 −12 −16
0 52 −8 −3

REGRA DA ELIMINAC¸A˜O
 2 1 4 20 −2 −12 −16
0 52 −8 −3

I Segundo pivot = -2
I Adicionar a` terceira linha
−(5/2)
(−2) × (segunda linha) =
[
0 − 5
2
−15 −20
]
:
I
 2 1 4 20 −2 −12 −16
0 0 −23 −23

I O processo de eliminac¸a˜o terminou (o terceiro pivot teria
sido −23).
I Um pivot e´ necessariamente diferente de zero!
ESBOC¸O DE ALGORITMO (INSUFICIENTE)
I Seja A a matriz aumentada dum sistema.
I Se a11 6= 0 escolhe-se a11 como pivot para obter uma nova
matriz B com b21 = b31 = . . .= 0.
I Se b22 6= 0 escolher b22 como pivot para obter uma nova
matriz C com c32 = c42 = . . .= 0.
I Se c33 6= 0 escolher c33 como pivot, etc.
I Se alguma entrada que queremos usar como pivot for nula
podemos recorrer a` regra da permutac¸a˜o para tentar obter
um pivot va´lido.
I A regra da multiplicac¸a˜o e´ teoricamente desnecessa´ria
mas serve para simplificar os ca´lculos (e a`s vezes para
minorar problemas nume´ricos com arredondamentos).
I Um pivot na˜o tem de ser uma entrada aij com i= j como
nos exemplos anteriores:
A=
 2 1 4 20 0 −1 −10
0 0 1 −4
→
 2 1 4 20 0 −1 −10
0 0 0 −14

(A eliminac¸a˜o terminou e os pivots sa˜o 2, −1 e −14.)
I Neste caso a regra da permutac¸a˜o na˜o permite obter uma
matriz com um pivot na posic¸a˜o i= j= 2.
I O objectivo da eliminac¸a˜o de Gauss e´ obter uma matriz na
forma de “escada de linhas”, como veremos de seguida.
DEFINIC¸A˜O
Seja A uma matriz com m linhas e n colunas. Para cada i seja
zi o nu´mero total de zeros consecutivos a contar da esquerda
na linha i (ou seja, o maior nu´mero em {0, . . . ,n} tal que aij = 0
para qualquer j ∈ {0, . . . ,zi}).
Diz-se que A tem a forma de escada de linhas, ou que e´ uma
matriz em escada de linhas, se para quaisquer i,k ∈ {1, . . . ,m}
tais que i< k enta˜o:
I se zi = n enta˜o zk = n e
I se zi < n enta˜o zi < zk.
EXEMPLO
A matriz 
0 2 1 4 2
0 0 0 −1 −10
0 0 0 0 −14
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0

esta´ na forma de escada de linhas:
z1 = 1
z2 = 3
z3 = 4
z4 = 5 (= nu´mero de colunas)
z5 = 5
ALGORITMO
I Seja A uma matriz. Se z1 ≤ zi para qualquer linha i enta˜o o
primeiro pivot e´ a1j com j= z1+1.
I Em caso contra´rio, primeiro permuta-se a linha 1 com uma
linha i que tenha zi mı´nimo e so´ depois se escolhe o pivot
da primeira linha.
I Aplica-se a regra da eliminac¸a˜o com o primeiro pivot a
todas as linhas por forma a obter uma matriz B.
I Se z2 ≤ zi para qualquer linha i> 2 de B enta˜o o segundo
pivot e´ b2j com j= z2+1.
I Em caso contra´rio, primeiro permuta-se a linha 2 de B com
uma linha i> 2 que tenha zi mı´nimo e so´ depois se
escolhe o pivot da segunda linha.
I Assim por diante ate´ obter uma matriz na forma de escada
de linhas.
EXEMPLO / CARACTERI´STICA DE UMA MATRIZ
A=

0 2 2 6
1 2 −1 1
1 1 1 4
1 1 1 1
→

1 2 −1 1
0 2 2 6
1 1 1 4
1 1 1 1
→

1 2 −1 1
0 2 2 6
0 −1 2 3
0 −1 2 0

→

1 2 −1 1
0 2 2 6
0 0 3 6
0 0 3 3
→

1 2 −1 1
0 2 2 6
0 0 3 6
0 0 0 −3
= B
Ha´ quatro pivots: diz-se enta˜o que a matriz B (e, conforme
veremos adiante, tambe´m a matriz A) tem caracterı´stica igual a
4 (numa matriz em escada de linhas a caracterı´stica e´ igual ao
nu´mero de linhas na˜o nulas, ou seja, que teˆm pelo menos uma
entrada na˜o nula).
REVISA˜O
Um vector de Rn e´ uma lista de n nu´meros reais a= (a1, . . . ,an).
Vectores especiais e operac¸o˜es com vectores:
I Vector nulo: 0= (0, . . . ,0)
I Soma: a+b= (a1+b1, . . . ,an+bn)
I Produto por um escalar: ab= (ab1, . . . ,abn)
Exemplos: em R2 a interpretac¸a˜o geome´trica e´ a dos vectores
no plano: o vector nulo e´ a origem; a soma e´ definida pela
regra do paralelogramo; o produto por escalar altera o
comprimento e o sentidode um vector mas na˜o a direcc¸a˜o.
Ide´m para R3 e vectores no espac¸o.
DEFINIC¸A˜O
Uma soluc¸a˜o de um sistema de equac¸o˜es lineares em n
inco´gnitas x1, . . . , xn e´ um vector
(a1, . . . ,an) ∈ Rn
tal que todas as equac¸o˜es sa˜o verdadeiras se se substituir xi
por ai para cada i ∈ {1, . . . ,n}.
Um sistema diz-se:
I possı´vel se tiver pelo menos uma soluc¸a˜o.
I determinado se tiver exactamente uma soluc¸a˜o.
I indeterminado se tiver mais do que uma soluc¸a˜o.
I impossı´vel se na˜o tiver nenhuma soluc¸a˜o.
EXEMPLOS
Para as seguintes matrizes aumentadas (ja´ na forma de
escada de linhas) os respectivos sistemas sa˜o:
I

1 2 −1 1
0 2 2 6
0 0 3 6
0 0 0 −3

Impossı´vel — a carac-
terı´stica da matriz aumen-
tada e´ superior a` da matriz
dos coeficientes.
I

1 2 −1 1
0 2 2 6
0 0 3 6
0 0 0 0

Determinado (e portanto
possı´vel) com soluc¸a˜o (1,1,2)
— a caracterı´stica (de ambas as
matrizes) e´ igual ao nu´mero de
inco´gnitas.
I

1 2 −1 1
0 2 2 6
0 0 0 0
0 0 0 0
 Indeterminado (e portanto possı´vel)
SOLUC¸A˜O GERAL DE UM SISTEMA INDETERMINADO

1 2 −1 1
0 2 2 6
0 0 0 0
0 0 0 0
→

x + 2y − z = 1
2y + 2z = 6
0 = 0
0 = 0
A coluna da inco´gnita z (a terceira coluna) na˜o tem nenhum
pivot e portanto o valor de z na˜o fica determinado: podemos
considerar z uma inco´gnita livre e definir as outras inco´gnitas
em func¸a˜o de z, pelo me´todo da substituic¸a˜o:{
x+2(−z+3)− z = 1
y = −z+3 →
{
x = 3z−5
y = −z+3
O conjunto-soluc¸a˜o do sistema e´
{(x,y,z) ∈ R3 | x= 3z−5, y=−z+3} .
DESCRIC¸A˜O PARAME´TRICA DO CONJUNTO-SOLUC¸A˜O
O conjunto
{(x,y,z) ∈ R3 | x= 3z−5, y=−z+3}
e´ o conjunto dos vectores da forma
(3z−5,−z+3,z)= (3z,−z,z)+(−5,3,0)= z(3,−1,1)+(−5,3,0) .
A inco´gnita livre z e´ um paraˆmetro (neste caso u´nico) em
func¸a˜o do qual e´ definido o vector.

1 2 −1 2 3 1
0 2 2 0 2 6
0 0 0 2 2 0
0 0 0 0 0 0

→

x1 + 2x2 − x3 + 2x4 + 3x5 = 1
2x2 + 2x3 + 2x5 = 6
+ 2x4 + 2x5 = 0
0 = 0
As inco´gnitas livres sa˜o x3 e x5.
O grau de indeterminac¸a˜o e´ 2 = nu´mero de inco´gnitas livres =
nu´mero de inco´gnitas menos o nu´mero de pivots = nu´mero de
colunas da matriz dos coeficientes menos a caracterı´stica (de
ambas as matrizes).
(Nota: um sistema e´ determinado ⇐⇒ e´ possı´vel com grau de
indeterminac¸a˜o = 0.)

x1 + 2x2 − x3 + 2x4 + 3x5 = 1
2x2 + 2x3 + 2x5 = 6
+ 2x4 + 2x5 = 0
0 = 0
O conjunto-soluc¸a˜o e´ o conjunto dos vectores
(x1,x2,x3,x4,x5) ∈ R5 tais que
x1 = 3x3+ x5−11
x2 = −x3− x5+6
x4 = −x5
Na forma parame´trica ha´ dois paraˆmetros, x3 e x5:
(
x1︷ ︸︸ ︷
3x3+ x5−11,
x2︷ ︸︸ ︷
−x3− x5+6, x3,
x4︷︸︸︷−x5 , x5) = x3(3, −1, 1, 0, 0)
+ x5(1, −1, 0, −1, 1)
+ (−11, 6, 0, 0, 0)
PROPOSIC¸A˜O
Qualquer sistema indeterminado tem infinitas soluc¸o˜es.
Capı´tulo 3
PROGRAMA
1. Sistemas de equac¸o˜es lineares e matrizes
1.1 Sistemas
1.2 Matrizes
1.3 Determinantes
2. Espac¸os vectoriais (ou espac¸os lineares)
2.1 Espac¸os e subespac¸os
2.2 Subespac¸os associados a matrizes
2.3 Isomorfismos
2.4 Independeˆncia linear, bases e dimensa˜o
2.5 Aplicac¸o˜es
3. Transformac¸o˜es lineares
3.1 Representac¸a˜o matricial
3.2 Equac¸o˜es lineares
3.3 Mudanc¸a de base
3.4 Vectores e valores pro´prios
4. Espac¸os Euclidianos
4.1 Produtos internos e me´tricas
4.2 Projecc¸o˜es e distaˆncias
4.3 Transformac¸o˜es lineares entre espac¸os Euclidianos
4.4 Aplicac¸o˜es
BIBLIOGRAFIA
L. Magalha˜es, A´lgebra Linear como Introduc¸a˜o a`
Matema´tica Aplicada, 1992, Texto Editora.
I Secc¸a˜o 1.3.
COMPLEMENTO DA AULA PASSADA
DEFINIC¸A˜O
Um sistema diz-se homoge´neo se os termos independentes
forem todos nulos, ou seja, se a matriz aumentada for da forma
seguinte:  a11 · · · a1n 0... . . . ... 0
am1 · · · amn 0

PROPOSIC¸A˜O
Qualquer sistema homoge´neo e´ completamente definido pela
matriz dos coeficientes e e´ um sistema possı´vel cujo
conjunto-soluc¸a˜o conte´m o vector nulo. Se o sistema for
determinado enta˜o a (u´nica) soluc¸a˜o e´ o vector nulo.
COMPLEMENTO DA AULA PASSADA
TEOREMA
Seja A uma matriz e B uma matriz em escada de linhas obtida
de A aplicando as treˆs regras do me´todo de eliminac¸a˜o de
Gauss por uma ordem arbitra´ria. Qualquer que seja a matriz B
assim obtida o nu´mero de pivots e´ sempre o mesmo.
DEFINIC¸A˜O
A caracterı´stica de uma matriz A e´ o nu´mero de pivots de
qualquer matriz em escada de linhas B obtida de A pelo
me´todo de eliminac¸a˜o de Gauss.
MAIS TERMINOLOGIA PARA MATRIZES
I Uma matriz com m linhas e n colunas
A=
 a11 · · · a1n... . . . ...
am1 · · · amn

diz-se uma matriz m por n, ou uma matriz de dimensa˜o
m×n, ou simplesmente uma matriz m×n.
I Se m= n a matriz diz-se quadrada, caso contra´rio diz-se
rectangular.
I Se a matriz for quadrada a sua diagonal principal e´ a
lista (a11, . . . ,ann).
I Se m= 1 diz-se que A e´ uma matriz linha.
I Se n= 1 diz-se que A e´ uma matriz coluna.
I O conjunto de todas as matrizes m×n denota-se por
Matm×n.
VECTORES COMO MATRIZES COLUNA
Ha´ uma correspondeˆncia evidente entre os vectores
x= (x1, . . . ,xn)
de Rn e as matrizes coluna de dimensa˜o n×1
X =
 x1...
xn
 .
Por esta raza˜o chamaremos tambe´m vectores coluna a`s
matrizes coluna e usaremos tanto a notac¸a˜o X de matriz ou a
notac¸a˜o x de vector, para este tipo de matrizes, consoante as
circunstaˆncias.
VECTORES COMO MATRIZES COLUNA
SLOGAN
Nesta disciplina vamos usar a convenc¸a˜o
Rn = Matn×1 .
A notac¸a˜o de vector ou a notac¸a˜o de matriz sera˜o escolhidas
em func¸a˜o das circunstaˆncias.
Em particular os nu´meros reais sa˜o identificados com as
matrizes 1×1:
R= Mat1×1 .
(Tambe´m poderia estabelecer-se uma correspondeˆncia entre
vectores e matrizes linha, como e´ o´bvio, mas na˜o adoptaremos
essa convenc¸a˜o.)
OPERAC¸O˜ES COM MATRIZES
As operac¸o˜es de vectores de Rn (soma e produto por escalar)
podem ser definidas para matrizes mais gerais (desde que
tenham todas a mesma dimensa˜o):
DEFINIC¸A˜O
Sejam A e B duas matrizes m×n e seja r ∈ R. Definem-se as
matrizes A+B e rA da forma seguinte:
A+B =
 a11+b11 · · · a1n+b1n... . . . ...
am1+bm1 · · · amn+bmn

rA =
 ra11 · · · ra1n... . . . ...
ram1 · · · ramn

NOTAC¸O˜ES ALTERNATIVAS
I Usa-se por vezes a notac¸a˜o abreviada [aij] para denotar a
matriz A. Com esta notac¸a˜o, a soma e o produto por
escalar de matrizes sa˜o definidos por
[aij]+ [bij] = [aij+bij]
r[aij] = [raij] .
I Para qualquer expressa˜o E que represente uma matriz,
por exemplo A+(B+3C), a respectiva entrada da linha i e
da coluna j e´ usualmente denotada por (E )ij. Em particular
tem-se, portanto:
(A)ij = aij
(A+B)ij = aij+bij
(rA)ij = raij .
DEFINIC¸A˜O
Para qualquer dimensa˜o m×n denota-se por 0 a matriz nula
definida por (0)ij = 0, e por −A= (−1)A o sime´trico de A.
PROPOSIC¸A˜O
As operac¸o˜es com matrizes satisfazem as seguintes
propriedades:
ASSOCIATIVIDADE DA SOMA: A+(B+C) = (A+B)+C
COMUTATIVIDADE DA SOMA: A+B= B+A
ELEMENTO NEUTRO DA SOMA: A+0= A
ASSOCIATIVIDADE DO PRODUTO POR ESCALAR: (rs)A= r(sA)
SIME´TRICO DE UMA MATRIZ: A+(−A) = 0
ELEMENTO ABSORVENTE A` ESQUERDA: 0A= 0
ELEMENTO ABSORVENTE A` DIREITA: r0= 0
(Escrevemos habitualmente A−B em vez de A+(−B).)
OPERAC¸O˜ES ENVOLVENDO DIMENSO˜ES DIFERENTES
DEFINIC¸A˜O
A transposta de uma matriz A m×n e´ a matriz AT n×m
definida por
(AT)ij = aji .
Uma matriz A diz-se:
I sime´trica se A= AT ;
I anti-sime´trica se A=−AT .
PROPOSIC¸A˜O
Algumas propriedades:
(AT)T = A
(A+B)T = AT +BT
(rA)T = rAT
DEFINIC¸A˜O
Sejam A e B duas matrizes, respectivamente de dimenso˜es
m×p e p×n. O produto de A por B e´ a matriz AB de dimensa˜o
m×n definida da seguinte forma:
(AB)ij =
p
∑
k=1
aikbkj .
O produto AB so´ esta´ definido se o nu´mero de colunas de A for
igual ao nu´mero de linhas de B!
(AB)ij =
p
∑
k=1
aikbkj
EXEMPLO
Sejam x,y ∈ Rn. O produto interno (ou produto escalar) de x e y
(que generaliza o produto escalar de R2 ou R3 visto no ensino
secunda´rio) e´ o nu´mero real
x · y= x1y1+ . . .+ xnyn =
n
∑
i=1
xiyi .
Logo, o produto escalar dosvectores coincide com o produto
de matrizes
xTy=
[
x1 · · · xn
] y1...
yn
 .
EXEMPLO
Seja A uma matriz m×n e seja x ∈ Rn. Enta˜o tem-se
Ax=
 a11x1+ . . .+a1nxn...
am1x1+ . . .+amnxn
 .
Logo, o sistema de equac¸o˜es
a11x1+ . . .+a1nxn = b1
...
am1x1+ . . .+amnxn = bm
e´ equivalente a` equac¸a˜o matricial
Ax= b .
DEFINIC¸A˜O
Para qualquer dimensa˜o n×n denota-se por I a matriz
identidade (quadrada) definida por
(I)ij =
{
0 se i 6= j
1 se i= j
PROPOSIC¸A˜O
As operac¸o˜es com matrizes satisfazem as seguintes
propriedades:
ASSOCIATIVIDADE DO PRODUTO: A(BC) = (AB)C
DISTRIBUTIVIDADE A` ESQUERDA: A(B+C) = AB+AC
DISTRIBUTIVIDADE A` DIREITA: (B+C)A= BA+CA
ELEMENTO NEUTRO DO PRODUTO: AI = IA= A
ELEMENTO ABSORVENTE: A0= 0A= 0
TRANSPOSTA DUM PRODUTO: (AB)T = BTAT
OBSERVAC¸A˜O IMPORTANTE
O produto de matrizes na˜o e´ em geral comutativo, pois mesmo
para matrizes quadradas da mesma dimensa˜o pode ter-se
AB 6= BA:[
1 0
1 0
][
0 0
1 1
]
= 0 6=
[
0 0
2 0
]
=
[
0 0
1 1
][
1 0
1 0
]
Nota: existem matrizes A e B na˜o quadradas tais que os
produtos AB e BA tambe´m esta˜o ambos definidos (exercı´cio:
escreva um exemplo e mostre que se tem necessariamente
AB 6= BA).
Exercı´cio: Deˆ exemplos de matrizes quadradas A e B distintas,
com a mesma dimensa˜o, tais que AB= BA.
Capı´tulo 4
PROGRAMA
1. Sistemas de equac¸o˜es lineares e matrizes
1.1 Sistemas
1.2 Matrizes
1.3 Determinantes
2. Espac¸os vectoriais (ou espac¸os lineares)
2.1 Espac¸os e subespac¸os
2.2 Subespac¸os associados a matrizes
2.3 Isomorfismos
2.4 Independeˆncia linear, bases e dimensa˜o
2.5 Aplicac¸o˜es
3. Transformac¸o˜es lineares
3.1 Representac¸a˜o matricial
3.2 Equac¸o˜es lineares
3.3 Mudanc¸a de base
3.4 Vectores e valores pro´prios
4. Espac¸os Euclidianos
4.1 Produtos internos e me´tricas
4.2 Projecc¸o˜es e distaˆncias
4.3 Transformac¸o˜es lineares entre espac¸os Euclidianos
4.4 Aplicac¸o˜es
BIBLIOGRAFIA
L. Magalha˜es, A´lgebra Linear como Introduc¸a˜o a`
Matema´tica Aplicada, 1992, Texto Editora.
I Secc¸o˜es 1.3 e 1.6.
REVISA˜O
DEFINIC¸A˜O
Sejam A e B duas matrizes, respectivamente de dimenso˜es
m×p e p×n. O produto de A por B e´ a matriz AB de dimensa˜o
m×n definida da seguinte forma:
(AB)ij =
p
∑
k=1
aikbkj .
O produto AB so´ esta´ definido se o nu´mero de colunas de A for
igual ao nu´mero de linhas de B!
REVISA˜O
EXEMPLO
Seja A uma matriz m×n e seja x ∈ Rn. O sistema de equac¸o˜es
a11x1+ . . .+a1nxn = b1
...
am1x1+ . . .+amnxn = bm
e´ equivalente a` equac¸a˜o matricial
Ax= b .
DEFINIC¸A˜O
Para qualquer dimensa˜o n×n denota-se por I a matriz
identidade (quadrada) definida por
(I)ij =
{
0 se i 6= j
1 se i= j
PROPOSIC¸A˜O
As operac¸o˜es com matrizes satisfazem as seguintes
propriedades:
ASSOCIATIVIDADE DO PRODUTO: A(BC) = (AB)C
DISTRIBUTIVIDADE A` ESQUERDA: A(B+C) = AB+AC
DISTRIBUTIVIDADE A` DIREITA: (B+C)A= BA+CA
ELEMENTO NEUTRO DO PRODUTO: AI = IA= A
ELEMENTO ABSORVENTE: A0= 0A= 0
TRANSPOSTA DUM PRODUTO: (AB)T = BTAT
OBSERVAC¸A˜O IMPORTANTE
O produto de matrizes na˜o e´ em geral comutativo, pois mesmo
para matrizes quadradas da mesma dimensa˜o pode ter-se
AB 6= BA:[
1 0
1 0
][
0 0
1 1
]
= 0 6=
[
0 0
2 0
]
=
[
0 0
1 1
][
1 0
1 0
]
Nota: existem matrizes A e B na˜o quadradas tais que os
produtos AB e BA tambe´m esta˜o ambos definidos (exercı´cio:
escreva um exemplo e mostre que se tem necessariamente
AB 6= BA).
Exercı´cio: Deˆ exemplos de matrizes quadradas A e B distintas,
com a mesma dimensa˜o, tais que AB= BA.
MATRIZ INVERSA DE UMA MATRIZ QUADRADA
DEFINIC¸A˜O
Seja A uma matriz quadrada. Designa-se por inversa de A
uma matriz B (necessariamente da mesma dimensa˜o) tal que
AB= BA= I. Uma matriz A para a qual existe inversa diz-se
invertı´vel.
PROPOSIC¸A˜O
1. Qualquer matriz quadrada A tem quando muito uma matriz
inversa. Se existir, a inversa de A e´ denotada por A−1.
2. Se A e B forem invertı´veis enta˜o AB tambe´m e´ e tem-se
(AB)−1 = B−1A−1 .
3. Se A for invertı´vel enta˜o AT tambe´m e´ e tem-se
(AT)−1 = (A−1)T .
APLICAC¸A˜O AOS SISTEMAS DE n EQUAC¸O˜ES LINEARES A
n INCO´GNITAS
Seja A uma matriz quadrada de dimensa˜o n×n.
Se A for invertı´vel enta˜o o sistema linear
Ax= b
e´ determinado e a soluc¸a˜o e´
x= A−1b .
(Note-se a analogia com a soluc¸a˜o x= a−1b da equac¸a˜o ax= b
quando a 6= 0.)
ELIMINAC¸A˜O DE GAUSS–JORDAN
Seja A uma matriz quadrada n×n. Se o sistema
Ax= b
for determinado podemos encontrar a soluc¸a˜o usando os
passos do me´todo de eliminac¸a˜o de Gauss por forma a
transformar a matriz aumentada a11 · · · a1n b1... . . . ... ...
an1 · · · ann bn

numa com a forma [I | x], onde x e´ a soluc¸a˜o do sistema: 1 · · · 0 x1... . . . ... ...
0 · · · 1 xn

RESOLUC¸A˜O SIMULTAˆNEA DE VA´RIOS SISTEMAS
Seja A uma matriz dos coeficientes comum a k sistemas
diferentes:
Ax = b(1)
...
Ax = b(k)
Podemos fazer a eliminac¸a˜o de Gauss de uma so´ vez numa
matriz aumentada que inclui todos os vectores de termos
independentes: a11 · · · a1n b
(1)
1 · · · b(k)1
...
. . .
...
...
. . .
...
am1 · · · amn b(1)m · · · b(k)m

Capı´tulo 5
PROGRAMA
1. Sistemas de equac¸o˜es lineares e matrizes
1.1 Sistemas
1.2 Matrizes
1.3 Determinantes
2. Espac¸os vectoriais (ou espac¸os lineares)
2.1 Espac¸os e subespac¸os
2.2 Subespac¸os associados a matrizes
2.3 Isomorfismos
2.4 Independeˆncia linear, bases e dimensa˜o
2.5 Aplicac¸o˜es
3. Transformac¸o˜es lineares
3.1 Representac¸a˜o matricial
3.2 Equac¸o˜es lineares
3.3 Mudanc¸a de base
3.4 Vectores e valores pro´prios
4. Espac¸os Euclidianos
4.1 Produtos internos e me´tricas
4.2 Projecc¸o˜es e distaˆncias
4.3 Transformac¸o˜es lineares entre espac¸os Euclidianos
4.4 Aplicac¸o˜es
BIBLIOGRAFIA
L. Magalha˜es, A´lgebra Linear como Introduc¸a˜o a`
Matema´tica Aplicada, 1992, Texto Editora.
I Secc¸a˜o 1.6.
REVISA˜O — INVERSAS DE MATRIZES
DEFINIC¸A˜O
Seja A uma matriz quadrada. Designa-se por inversa de A
uma matriz B (necessariamente da mesma dimensa˜o) tal que
AB= BA= I. Uma matriz A para a qual existe inversa diz-se
invertı´vel.
PROPOSIC¸A˜O
Se A for invertı´vel qualquer sistema Ax= b e´ determinado e a
soluc¸a˜o e´ dada por x= A−1b.
REVISA˜O — ELIMINAC¸A˜O DE GAUSS–JORDAN
Seja A uma matriz quadrada n×n. Se o sistema
Ax= b
for determinado podemos encontrar a soluc¸a˜o usando os
passos do me´todo de eliminac¸a˜o de Gauss por forma a
transformar a matriz aumentada a11 · · · a1n b1... . . . ... ...
an1 · · · ann bn

numa com a forma [I | x], onde x e´ a soluc¸a˜o do sistema: 1 · · · 0 x1... . . . ... ...
0 · · · 1 xn

REVISA˜O — RESOLUC¸A˜O DE MU´LTIPLOS SISTEMAS
Seja A uma matriz dos coeficientes comum a k sistemas
diferentes:
Ax = b(1)
...
Ax = b(k)
Podemos fazer a eliminac¸a˜o de Gauss de uma so´ vez numa
matriz aumentada que inclui todos os vectores de termos
independentes: a11 · · · a1n b
(1)
1 · · · b(k)1
...
. . .
...
...
. . .
...
am1 · · · amn b(1)m · · · b(k)m

Suponha-se que cada um dos sistemas Ax= b(`) e´ possı´vel e
tem uma soluc¸a˜o x(`):
Ax(1) = b(1)
...
Ax(k) = b(k)
Enta˜o, sendo X e B as matrizes n× k e m× k definidas por
xij = x
(j)
i e bij = b
(j)
i , tem-se
AX = B .
Se A for uma matriz n×n invertı´vel (caso em que todos os
sistemas Ax= b sa˜o determinados) podemos resolver os k
sistemas de uma so´ vez por eliminac¸a˜o de Gauss–Jordan: a11 · · · a1n b
(1)
1 · · · b(k)1
...
. . .
...
...
. . .
...
an1 · · · ann b(1)n · · · b(k)n

→
 1 · · · 0 x
(1)
1 · · · x(k)1
...
. . .
...
...
. . .
...
0 · · · 1 x(1)n · · · x(k)n

Mas se A for invertı´vel tambe´m resulta de AX = B que
X = A−1B
e portanto concluı´mos que a eliminac¸a˜o de Gauss–Jordan
produz a seguinte transformac¸a˜o de matrizes:
[A | B]→ [I | A−1B] .
Em particular, tem-se
[A | I]→ [I | A−1] .
Podemos assim calcular a matriz inversa de uma forma
expedita pelo me´todo de Gauss–Jordan.
EXEMPLO
Vamos verificar que a matriz A=
[
2 1
2 2
]
tem inversa e vamos
calcular A−1. O primeiro passo e´ obter uma matrizem escada
de linhas: [
2 1 1 0
2 2 0 1
]
→
[
2 1 1 0
0 1 −1 1
]
Ha´ dois pivots (2 e 1) e portanto a inversa existe (o sistema
AX = I e´ determinado).[
2 1 1 0
0 1 −1 1
]
→
[
2 0 2 −1
0 1 −1 1
]
→
[
1 0 1 −1/2
0 1 −1 1
]
Portanto tem-se
A−1 =
[
1 −1/2
−1 1
]
.
DEFINIC¸A˜O
Seja A uma matriz quadrada n×n. Se por eliminac¸a˜o de Gauss
encontrarmos n pivots para A enta˜o A diz-se na˜o-singular.
caso contra´rio diz-se singular. (Por outras palavras, A e´
na˜o-singular se e so´ se a sua caracterı´stica for n.)
TEOREMA
Seja A uma matriz quadrada n×n. As seguintes afirmac¸o˜es
sa˜o equivalentes:
1. A e´ invertı´vel.
2. A e´ na˜o-singular.
OBSERVAC¸O˜ES
I Se A for uma matriz quadrada enta˜o o sistema
Ax= b
e´ determinado se e so´ se qualquer sistema
Ax= b′
for determinado.
I Esta afirmac¸a˜o e´ falsa para matrizes rectangulares: o
sistema que tem a matriz aumentada
 1 2 30 2 2
0 0 0
 e´
determinado mas
 1 2 30 2 2
0 0 1
 e´ impossı´vel.
MATRIZES ESPECIAIS
DEFINIC¸A˜O
Seja A uma matriz quadrada. Diz-se que a matriz A e´
triangular superior se i> j⇒ aij = 0.
EXEMPLO
I
 1 1 10 0 1
0 0 1
 e´ triangular superior.
I Qualquer matriz quadrada em escada de linhas e´
triangular superior (o exemplo anterior mostra que a
afirmac¸a˜o recı´proca e´ falsa).
PROPOSIC¸A˜O
Uma matriz triangular superior e´ invertı´vel se e so´ se tiver
todos os elementos da diagonal principal diferentes de zero.
Nesse caso a inversa tambe´m e´ uma matriz triangular superior.
DEFINIC¸A˜O
Seja A uma matriz quadrada. Diz-se que a matriz A e´
I triangular inferior se i< j⇒ aij = 0 (ou seja, AT e´
triangular superior);
I elementar se for triangular inferior com todas as entradas
da diagonal principal iguais a 1 e apenas uma entrada
abaixo da diagonal principal diferente de zero.
PROPOSIC¸A˜O
Uma matriz triangular superior e´ invertı´vel se e so´ se tiver
todos os elementos da diagonal principal diferentes de zero.
Nesse caso a inversa tambe´m e´ uma matriz triangular superior.
PROPOSIC¸A˜O
A inversa de uma matriz elementar obte´m-se trocando o sinal
da u´nica entrada na˜o-nula fora da diagonal principal.
EXEMPLO
 1 0 00 1 0
2 0 1
−1 =
 1 0 00 1 0
−2 0 1

DEFINIC¸A˜O
Uma matriz de permutac¸a˜o e´ uma matriz quadrada cujas
entradas sa˜o todas 0 ou 1, tal que em cada linha e em cada
coluna existe exactamente uma entrada com o valor 1.
(Equivalentemente, uma matriz que resulta da matriz
identidade por uma permutac¸a˜o das linhas, ou por uma
permutac¸a˜o das colunas.)
EXEMPLO  0 1 01 0 0
0 0 1

PROPOSIC¸A˜O
Se P for uma matriz de permutac¸a˜o enta˜o e´ invertı´vel e tem-se
P−1 = PT .
Capı´tulo 6
PROGRAMA
1. Sistemas de equac¸o˜es lineares e matrizes
1.1 Sistemas
1.2 Matrizes
1.3 Determinantes
2. Espac¸os vectoriais (ou espac¸os lineares)
2.1 Espac¸os e subespac¸os
2.2 Subespac¸os associados a matrizes
2.3 Isomorfismos
2.4 Independeˆncia linear, bases e dimensa˜o
2.5 Aplicac¸o˜es
3. Transformac¸o˜es lineares
3.1 Representac¸a˜o matricial
3.2 Equac¸o˜es lineares
3.3 Mudanc¸a de base
3.4 Vectores e valores pro´prios
4. Espac¸os Euclidianos
4.1 Produtos internos e me´tricas
4.2 Projecc¸o˜es e distaˆncias
4.3 Transformac¸o˜es lineares entre espac¸os Euclidianos
4.4 Aplicac¸o˜es
BIBLIOGRAFIA
L. Magalha˜es, A´lgebra Linear como Introduc¸a˜o a`
Matema´tica Aplicada, 1992, Texto Editora.
I Capı´tulo 5.
MOTIVAC¸A˜O — A´REAS DE PARALELOGRAMOS
Dados dois vectores x,y ∈ R2, seja
A (x,y)
o nu´mero real igual, em mo´dulo, a` a´rea do paralelogramo
determinado pelos vectores, com sinal igual ao do seno do
aˆngulo formado pelos vectores x e y (por esta ordem) — por
exemplo na figura seguinte tem-se A (x,y)> 0:
y
 x
ALGUMAS PROPRIEDADES DA FUNC¸A˜O A
ANULAC¸A˜O: A (x,x) = 0
ALTERNAˆNCIA: A (x,y) =−A (y,x)
NORMALIZAC¸A˜O: A (e1,e2) = 1
(
onde
{
e1 = (1,0)
e2 = (0,1)
)
ALGUMAS PROPRIEDADES DA FUNC¸A˜O A
LINEARIDADE A` ESQUERDA:
A (αx,y) = αA (x,y)
A (x+x′,y) = A (x,y)+A (x′,y)
Estas duas propriedades sa˜o equivalentes a` seguinte:
A (αx+βx′,y) = αA (x,y)+βA (x′,y)
Da mesma forma existe linearidade a` direita (respeitante a`s
somas e produtos por escalar na segunda varia´vel). O conjunto
dos dois tipos de linearidade designa-se por bilinearidade.
Volumes de paralelepı´pedos podem ser tratados de forma
ana´loga, por meio duma func¸a˜o
V
que a cada treˆs vectores x,y,z ∈ R3 atribui um nu´mero real
V (x,y,z) que em mo´dulo e´ igual ao volume do paralelepı´pedo
determinado pelos treˆs vectores. Teremos agora:
I Linearidade em cada uma das treˆs varia´veis.
I Anulac¸a˜o: V (x,y,z) = 0 se se tiver x= y ou x= z ou y= z.
I Alternaˆncia: V (x,y,z) =−V (y,x,z), etc. (o sinal muda
sempre que se permutarem duas das varia´veis).
I Normalizac¸a˜o: V (e1,e2,e3) = 1, onde e1 = (1,0,0),
e2 = (0,1,0) e e3 = (0,0,1).
DEFINIC¸A˜O
Uma func¸a˜o determinante de ordem n e´ uma func¸a˜o d que a
cada n vectores x1, . . . ,xn de Rn atribui um nu´mero real
d(x1, . . . ,xn)
satisfazendo as condic¸o˜es seguintes:
MULTILINEARIDADE: (= linearidade em cada uma das n
varia´veis)
d(x1, . . . ,αxi, . . . ,xn) = αd(x1, . . . ,xi, . . . ,xn) ;
d(x1, . . . ,xi+x′i, . . . ,xn) = d(x1, . . . ,xi, . . . ,xn)
+ d(x1, . . . ,x′i, . . . ,xn) .
ANULAC¸A˜O: d(x1, . . . ,xn) = 0 se existirem i 6= j tais que xi = xj.
NORMALIZAC¸A˜O: d(e1, . . . ,en) = 1, onde e1 = (1,0, . . . ,0),
e2 = (0,1,0, . . . ,0), . . . , en = (0, . . . ,0,1).
A alternaˆncia e´ uma propriedade derivada das anteriores:
0 = d(x1, . . . ,x+ y, . . . ,x+ y, . . . ,xn) (Anul.)
= d(x1, . . . ,x, . . . ,x, . . . ,xn)+d(x1, . . . ,x, . . . ,y, . . . ,xn)
+d(x1, . . . ,y, . . . ,x, . . . ,xn)+d(x1, . . . ,y, . . . ,y, . . . ,xn) (Mult.)
= d(x1, . . . ,x, . . . ,y, . . . ,xn)
+d(x1, . . . ,y, . . . ,x, . . . ,xn) (Anul.)
Nota: Na verdade a anulac¸a˜o tambe´m e´ consequeˆncia da
alternaˆncia, pois se x ocorre em duas posic¸o˜es diferentes
enta˜o trocando x com x nessas duas posic¸o˜es o valor da
func¸a˜o determinante na˜o se altera mas a alternaˆncia impo˜e
uma mudanc¸a de sinal:
d(x1, . . . ,x, . . . ,x, . . . ,xn) =−d(x1, . . . ,x, . . . ,x, . . . ,xn)
Logo, obtemos 2d(x1, . . . ,x, . . . ,x, . . . ,xn) = 0 e portanto
d(x1, . . . ,x, . . . ,x, . . . ,xn) = 0 .
FUNC¸O˜ES DETERMINANTE PARA MATRIZES
A nossa identificac¸a˜o de vectores com matrizes coluna
permite-nos pensar numa func¸a˜o determinante de ordem n
d : Rn× . . .×Rn→ R
como uma func¸a˜o definida sobre o conjunto das matrizes n×n:
d : Matn×n→ R .
Sendo A uma matriz n×n,
d(A)
e´ o mesmo que
d(x1, . . . ,xn) ,
onde, para cada j, o vector xj e´ a coluna j de A.
MATRIZES DE PERMUTAC¸A˜O
I Para qualquer func¸a˜o determinante d tem de ter-se
d(I) = 1.
I Se P for uma matriz de permutac¸a˜o que resulta de I por
um nu´mero k de trocas de colunas enta˜o tem de ter-se
d(P) = (−1)k.
I O nu´mero (−1)k designa-se por paridade da matriz de
permutac¸a˜o (qualquer outro nu´mero k′ de permutac¸o˜es
que levem de I a P tem de satisfazer (−1)k = (−1)k′ e
portanto a noc¸a˜o de paridade esta´ bem definida — a
paridade e´ um conceito associado a permutac¸o˜es em
geral).
PERMUTAC¸O˜ES
Seja C = {a1, . . . ,an} um conjunto de n objectos distintos
(nu´meros, colunas de uma matriz, etc.). Uma permutac¸a˜o de
C e´ uma func¸a˜o bijectiva
σ : C→ C .
Convencionando uma ordem para os elementos de C, por
exemplo
(a1, . . . ,an) ,
podemos representar as permutac¸o˜es σ por outras listas
ordenadas de elementos de C:
EXEMPLO
Seja C = {1,2,3,4}. Adoptando a lista (1,2,3,4) como
refereˆncia, a permutac¸a˜o σ : C→ C tal que σ(1) = 3, σ(2) = 4,
σ(3) = 1 e σ(4) = 2 e´ representada pela lista
(σ(1),σ(2),σ(3),σ(4)) = (3,4,1,2).
Notac¸a˜o simplificada: σi em vez de σ(i).
PROPOSIC¸A˜O
Seja σ uma permutac¸a˜o de {1, . . . ,n} e sejam k e k′ dois
nu´meros de trocas de elementos aos pares que transformam a
lista (1, . . . ,n) em (σ1, . . . ,σn). Enta˜o ambos os nu´meros k e k′
sa˜o pares ou ambos sa˜o ı´mpares.
DEFINIC¸A˜O
O nu´mero (−1)k ∈ {−1,1} da proposic¸a˜oanterior designa-se
por paridade ou sinal da permutac¸a˜o σ e denota-se por
sgn(σ). Se a paridade e´ 1 a permutac¸a˜o diz-se par, caso
contra´rio diz-se ı´mpar.
EXEMPLO
A permutac¸a˜o que transforma (1,2,3,4) em (1,3,4,2) e´ par:
(1,2,3,4)→ (1,3,2,4)→ (1,3,4,2) .
Da mesma forma dizemos que uma matriz de permutac¸a˜o P e´
par ou ı´mpar quando a permutac¸a˜o das colunas que
transforma I em P e´ par ou ı´mpar, respectivamente.
Dada uma matriz de permutac¸a˜o P de dimensa˜o n×n seja σ a
permutac¸a˜o de C = {1, . . . ,n} tal que para cada j ∈ C a coluna j
de P e´ igual a` coluna σj de I. Enta˜o as entradas de P que sa˜o
iguais a 1 sa˜o exactamente
pσ11, . . . , pσnn .
EXEMPLO
Seja
P=

0 1 0 0
0 0 1 0
1 0 0 0
0 0 0 1

As entradas iguais a 1 sa˜o p31, p12, p23, p44 e portanto a
permutac¸a˜o σ corresponde a` lista (3,1,2,4) e e´ par.
EXEMPLO
Seja
A=

0 a12 0 0
0 0 a23 0
a31 0 0 0
0 0 0 a44

e seja σ a mesma permutac¸a˜o do exemplo anterior. Se d for
uma func¸a˜o determinante de ordem 4 enta˜o pela
multinearidade temos
d(A) = a31a12a23a44d(P) = sgn(σ)a31a12a23a44 = a31a12a23a44 .
EXEMPLO
Seja d uma func¸a˜o determinante de ordem 2. Pela
multilinearidade, uma vez que (a11,a21) = a11(1,0)+a21(0,1) e
(a12,a22) = a12(1,0)+a22(0,1), temos
d
([
a11 a12
a21 a22
])
= a11a12d
([
1 1
0 0
])
+ a11a22d
([
1 0
0 1
])
+ a21a12d
([
0 1
1 0
])
+ a21a22d
([
0 0
1 1
])
= a11a22−a21a12 .
OBSERVAC¸O˜ES
O exemplo anterior mostra que existe uma e uma so´ func¸a˜o
determinante d de ordem 2. Para cada matriz A de dimensa˜o
2×2 temos
d(A) = a11a22−a21a12 .
Este resultado permite obter uma fo´rmula simples para a a´rea
de um paralelogramo:
PROPOSIC¸A˜O
A a´rea do paralelogramo determinado por dois vectores
x,y ∈ R2 e´ igual a
|x1y2− x2y1| .
MATRIZES 3×3
Da mesma forma se mostra que para qualquer ordem n existe
uma e uma so´ func¸a˜o determinante d.
Por exemplo, se A for uma matriz 3×3 ter-se-a´ d(A) igual a
uma soma de seis parcelas (correspondendo a`s seis
permutac¸o˜es de treˆs colunas):
d(A) = a11a22a33−a11a32a23+a31a12a23
− a31a22a13+a21a32a13−a21a12a33 .
PROPOSIC¸A˜O
O volume do paralelepı´pedo determinado por treˆs vectores
x,y,z ∈ R3 e´ igual a
|x1y2z3− x1y3z2+ x3y1z2− x3y2z1+ x2y3z1− x2y1z3| .
TEOREMA
Para cada n ∈ N existe uma e uma so´ func¸a˜o determinante d,
que e´ definida, para cada matriz A de dimensa˜o n×n, pela
fo´rmula seguinte, onde Sn e´ o conjunto das permutac¸o˜es de
{1, . . . ,n}:
d(A) = ∑
σ∈Sn
sgn(σ)aσ11 . . .aσnn .
DEFINIC¸A˜O
O determinante de uma matriz A de dimensa˜o n×n e´ o valor
atribuı´do a` matriz A pela u´nica func¸a˜o determinante de ordem
n. Denota-se este valor por detA ou det(A).
Outra notac¸a˜o: det(A) =
∣∣∣∣∣∣∣
a11 · · · an1
...
. . .
...
an1 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣.
EXERCI´CIO
Calcule o determinante seguinte:∣∣∣∣∣∣∣∣
1 0 0 0
0 2 1 0
0 3 0 4
0 0 0 2
∣∣∣∣∣∣∣∣
Capı´tulo 7
PROGRAMA
1. Sistemas de equac¸o˜es lineares e matrizes
1.1 Sistemas
1.2 Matrizes
1.3 Determinantes
2. Espac¸os vectoriais (ou espac¸os lineares)
2.1 Espac¸os e subespac¸os
2.2 Subespac¸os associados a matrizes
2.3 Isomorfismos
2.4 Independeˆncia linear, bases e dimensa˜o
2.5 Aplicac¸o˜es
3. Transformac¸o˜es lineares
3.1 Representac¸a˜o matricial
3.2 Equac¸o˜es lineares
3.3 Mudanc¸a de base
3.4 Vectores e valores pro´prios
4. Espac¸os Euclidianos
4.1 Produtos internos e me´tricas
4.2 Projecc¸o˜es e distaˆncias
4.3 Transformac¸o˜es lineares entre espac¸os Euclidianos
4.4 Aplicac¸o˜es
BIBLIOGRAFIA
L. Magalha˜es, A´lgebra Linear como Introduc¸a˜o a`
Matema´tica Aplicada, 1992, Texto Editora.
I Capı´tulo 5.
REVISA˜O
Uma func¸a˜o determinante de ordem n e´ uma func¸a˜o d que a
cada n vectores x1, . . . ,xn de Rn atribui um nu´mero real
d(x1, . . . ,xn)
satisfazendo as condic¸o˜es de multilinearidade, anulac¸a˜o e
normalizac¸a˜o (e em consequeˆncia tambe´m alternaˆncia).
Exemplos sa˜o:
I a a´rea orientada determinada por dois vectores de R2;
I o volume orientado determinado por treˆs vectores de R3.
Para qualquer n existe uma e uma so´ func¸a˜o determinante de
ordem n. (Vamos concluir isto hoje.)
Pensando em vectores como colunas de matrizes obtemos a
noc¸a˜o de determinante de uma matriz quadrada:
DEFINIC¸A˜O
O determinante de uma matriz A de dimensa˜o n×n e´ o valor
atribuı´do a` matriz A pela u´nica func¸a˜o determinante de ordem
n. Denota-se este valor por detA ou det(A).
Outra notac¸a˜o: det(A) =
∣∣∣∣∣∣∣
a11 · · · an1
...
. . .
...
an1 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣.
EXERCI´CIO
Calcule o determinante seguinte:∣∣∣∣∣∣∣∣
1 0 0 0
0 2 1 0
0 3 0 4
0 0 0 2
∣∣∣∣∣∣∣∣
TEOREMA
Para cada n ∈ N existe uma e uma so´ func¸a˜o determinante det,
que e´ definida, para cada matriz A de dimensa˜o n×n, pela
fo´rmula seguinte, onde Sn e´ o conjunto das permutac¸o˜es de
{1, . . . ,n}:
det(A) = ∑
σ∈Sn
sgn(σ)aσ11 . . .aσnn .
Demonstrac¸a˜o.
A unicidade demonstra-se como nos exemplos. Para a
existeˆncia demonstramos que det satisfaz os axiomas:
Multilinearidade: Suponha-se que a coluna j de A e´ a
combinac¸a˜o αx+βy. Todas as parcelas do somato´rio det(A)
conteˆm exactamente um factor aσjj da coluna j, que e´ da forma
αxσj +βyσj , pelo que se obte´m det(A) = α det(A1)+β det(A2)
onde A1 e A2 sa˜o as matrizes que se obte´m de A substituindo a
coluna j por x e por y, respectivamente.
Demonstrac¸a˜o.
(Continuac¸a˜o)
Anulac¸a˜o: Se a coluna j e a coluna k de A forem o mesmo
vector (mas j 6= k) enta˜o cada parcela aσ11 . . .aσjj . . .aσkk . . .aσnn
aparece duas vezes no somato´rio, com sinal trocado: mais
precisamente, tem-se
aσ11 . . .aσjj . . .aσkk . . .aσnn = aτ11 . . .aτjj . . .aτkk . . .aτnn
onde τ e´ igual a σ excepto que τj = σk e τk = σj e, como σ e τ
diferem exactamente numa troca, tem-se sgn(τ) =−sgn(σ).
Portanto det(A) = 0.
Normalizac¸a˜o: Tem-se det(I) = 1 porque a u´nica parcela na˜o
nula e´ o produto dos elementos da diagonal principal, que
corresponde a` permutac¸a˜o identidade, que e´ par.
LEMA
Qualquer matriz triangular tem determinante igual ao produto
das entradas da diagonal principal.
Em particular, uma matriz triangular tem determinante nulo se
e so´ se for uma matriz singular.
TEOREMA
Para qualquer matriz quadrada A tem-se
det(AT) = det(A) .
Demonstrac¸a˜o.
Cada parcela aσ11 . . .aσnn pode ser escrita com os factores
permutados na forma
aσ11 . . .aσnn = a1τ1 . . .anτn
onde τ = σ−1 e´ a permutac¸a˜o inversa de σ . Mas cada factor
ajτj e´ igual a (A
T)τjj e portanto tem-se
det(A) = ∑
σ∈Sn
sgn(σ)aσ11 . . .aσnn
= ∑
σ∈Sn
sgn(σ)(AT)τ11 . . .(A
T)τnn
= ∑
σ∈Sn
sgn(σ)(AT)σ11 . . .(A
T)σnn = det(A
T) ,
onde no fim a substituic¸a˜o de τ por σ e´ justificada pelo facto de
o conjunto {σ−1 | σ ∈ Sn} ser igual a Sn e para qualquer
permutac¸a˜o σ se ter sgn(σ) = sgn(σ−1).
CA´LCULO DE DETERMINANTES POR ELIMINAC¸A˜O DE
GAUSS
Como det(AT) = det(A) podemos trabalhar com as linhas de A
em vez das colunas.
Regra da eliminac¸a˜o para determinantes:∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 · · · an1
...
. . .
...
ai1
. . . ain
...
. . .
...
ak1+ rai1
. . . akn+ rain
...
. . .
...
an1 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 · · · an1
...
. . .
...
ai1
. . . ain
...
. . .
...
ak1
. . . akn
...
. . .
...
an1 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣︸ ︷︷ ︸
det(A)
+r
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 · · · an1
...
. . .
...
ai1
. . . ain
...
. . .
...
ai1
. . . ain
...
. . .
...
an1 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣︸ ︷︷ ︸
0
Regra da multiplicac¸a˜o para determinantes:∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 · · · an1
...
. . .
...
rai1
. . . rain
...
. . .
...
an1 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= r
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 · · · an1
...
. . .
...
ai1
. . . ain
...
. . .
...
an1 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= rdet(A)
Regra da permutac¸a˜o para determinantes:∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 · · · an1
...
. . .
...
ak1
. . . akn
...
. . .
...
ai1
. . . ain
...
. . .
...
an1 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=−
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 · · · an1
...
. . .
...
ai1
. . . ain
...
. . .
...
ak1
. . . akn
...
. . .
...
an1 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
EXERCI´CIOCalcule pelo me´todo de eliminac¸a˜o de Gauss o determinante
seguinte: ∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 1 1
1 2 1 2
0 1 2 3
−1 −1 2 3
∣∣∣∣∣∣∣∣
TEOREMA
det(A) = 0 ⇐⇒ A e´ singular.
Demonstrac¸a˜o.
Usando a regra da eliminac¸a˜o e a regra da permutac¸a˜o
podemos obter a partir de A uma matriz triangular superior A′.
Tem-se det(A′) = det(A) ou det(A′) =−det(A).
Portanto det(A) = 0 se e so´ se det(A′) = 0.
Como A′ e´ triangular a condic¸a˜o det(A′) = 0 e´ equivalente a A′
ser singular e portanto e´ equivalente a A ser singular.
TEOREMA
Sejam A e B matrizes quadradas n×n. Enta˜o
det(AB) = det(A)det(B).
Demonstrac¸a˜o.
Primeiro consideremos o caso em que B e´ na˜o-singular.
Podemos enta˜o definir a func¸a˜o f (A) = det(AB)det(B) .
Como as linhas da matriz produto AB sa˜o determinadas pelo
produto das linhas de A pela matriz B e´ fa´cil concluir que a
func¸a˜o f e´ uma func¸a˜o determinante das linhas de A, ou seja,
f (A) = det(AT) = det(A).
Portanto tem-se det(AB) = det(A)det(B).
Por outro lado, no caso em que B e´ singular enta˜o AB tambe´m
e´ singular e por isso tem-se det(AB) = 0 = det(A)det(B).
EXERCI´CIO
Justifique detalhadamente as seguintes afirmac¸o˜es da
demonstrac¸a˜o anterior:
I Se B e´ na˜o-singular enta˜o f (A) = det(AB)det(B) e´ uma func¸a˜o
determinante das linhas de A.
I Se B e´ singular enta˜o AB e´ singular. (Sugesta˜o: mostre
que existe x 6= 0 tal que (AB)x= 0.)
COROLA´RIO
Se A tiver inversa enta˜o det(A−1) = 1det(A) .
Demonstrac¸a˜o.
Se A tiver inversa tem-se
1 = det(I) = det(AA−1) = det(A)det(A−1).
Capı´tulo 8
PROGRAMA
1. Sistemas de equac¸o˜es lineares e matrizes
1.1 Sistemas
1.2 Matrizes
1.3 Determinantes
2. Espac¸os vectoriais (ou espac¸os lineares)
2.1 Espac¸os e subespac¸os
2.2 Subespac¸os associados a matrizes
2.3 Isomorfismos
2.4 Independeˆncia linear, bases e dimensa˜o
2.5 Aplicac¸o˜es
3. Transformac¸o˜es lineares
3.1 Representac¸a˜o matricial
3.2 Equac¸o˜es lineares
3.3 Mudanc¸a de base
3.4 Vectores e valores pro´prios
4. Espac¸os Euclidianos
4.1 Produtos internos e me´tricas
4.2 Projecc¸o˜es e distaˆncias
4.3 Transformac¸o˜es lineares entre espac¸os Euclidianos
4.4 Aplicac¸o˜es
BIBLIOGRAFIA
L. Magalha˜es, A´lgebra Linear como Introduc¸a˜o a`
Matema´tica Aplicada, 1992, Texto Editora.
I Capı´tulo 5.
REVISA˜O
TEOREMA
det(A) = ∑
σ∈Sn
sgn(σ)aσ11 . . .aσnn .
I Algoritmo baseado em permutac¸o˜es das colunas (ou das
linhas).
I Pouco u´til para ca´lculo excepto em casos especiais (muito
pouco eficiente), mas u´til ao demonstrar propriedades da
func¸a˜o determinante.
I No caso de matrizes 3×3 este me´todo e´ conhecido como
Regra de Sarrus e e´ computacionalmente razoa´vel
porque envolve um somato´rio com apenas seis parcelas.
I Algoritmo baseado em eliminac¸a˜o de Gauss:
computacionalmente eficiente.
REGRA DE SARRUS
detA = a11a22a33−a11a32a23+a31a12a23
− a31a22a13+a21a32a13−a21a12a33 .
Permutac¸o˜es pares: • •
•
  ••
•
  • •
•

Permutac¸o˜es ı´mpares: ••
•
  ••
•
  • •
•

detA = a11a22a33−a11a32a23+a31a12a23
− a31a22a13+a21a32a13−a21a12a33 .
Pondo as entradas da primeira linha em evideˆncia obtemos
detA= a11
∣∣∣∣ a22 a23a32 a33
∣∣∣∣−a12 ∣∣∣∣ a21 a23a31 a33
∣∣∣∣+a13 ∣∣∣∣ a21 a22a31 a32
∣∣∣∣ .
Pondo as entradas da segunda linha em evideˆncia obtemos
detA=−a21
∣∣∣∣ a12 a13a32 a33
∣∣∣∣+a22 ∣∣∣∣ a11 a13a31 a33
∣∣∣∣−a23 ∣∣∣∣ a11 a12a31 a32
∣∣∣∣ .
Etc.
O sinal de que e´ afectada cada uma das treˆs parcelas e´
determinado pelo sinal (−1)i+j de cada uma das entradas ij da
matriz:  + − +− + −
+ − +
 .
Outro exemplo: pondo as entradas da terceira coluna em
evideˆncia obtemos
detA=+a13
∣∣∣∣ a21 a22a31 a32
∣∣∣∣−a23 ∣∣∣∣ a11 a12a31 a32
∣∣∣∣+a33 ∣∣∣∣ a11 a12a21 a22
∣∣∣∣ .
E´ fa´cil generalizar estes factos para matrizes n×n, como
veremos de seguida.
FO´RMULA DE LAPLACE
DEFINIC¸A˜O
Seja A uma matriz n×n, com n≥ 2, e sejam i, j ∈ {1, . . . ,n}.
O menor-ij de A e´ a matriz Aij
(na˜o confundir com a entrada aij = (A)ij)
cuja dimensa˜o e´ (n−1)× (n−1) e que resulta de A pela
eliminac¸a˜o das entradas da linha i e da coluna j.
TEOREMA (FO´RMULA DE LAPLACE)
Seja A uma matriz n×n. Para qualquer i ∈ {1, . . . ,n} temos
det(A) =
n
∑
j=1
(−1)i+jaij det(Aij) .
NOTA
Como det(A) = det(AT) tambe´m temos a Fo´rmula de Laplace
“ao longo das colunas”: para qualquer j ∈ {1, . . . ,n} temos
det(A) =
n
∑
i=1
(−1)i+jaij det(Aij) .
EXERCI´CIO
Calcule pela regra de Laplace os seguintes determinantes:
1.
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 0 0 0
0 2 1 0
0 3 0 4
0 0 0 2
∣∣∣∣∣∣∣∣
2.
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 1 1
1 2 1 2
0 1 2 3
−1 −1 2 3
∣∣∣∣∣∣∣∣
NOTA
O ca´lculo de um determinante exclusivamente por meio da
fo´rmula de Laplace e´ em geral pouco eficiente
computacionalmente, uma vez que apenas se resume a`
reorganizac¸a˜o, por meio de uma regra de recorreˆncia, da
fo´rmula baseada em permutac¸o˜es.
Mas a fo´rmula de Laplace pode ser usada para decompor o
ca´lculo de um determinante em partes mais simples, por
exemplo em conjunto com a eliminac¸a˜o de Gauss, como no
seguinte exemplo em que se aplica a fo´rmula a` segunda linha:∣∣∣∣∣∣∣∣
1 2 3 4
0 0 2 0
4 4 4 4
9 7 1 2
∣∣∣∣∣∣∣∣=−2×
∣∣∣∣∣∣
1 2 4
4 4 4
9 7 2
∣∣∣∣∣∣= . . . (elim. Gauss)
Outras aplicac¸o˜es da fo´rmula de Laplace sa˜o teo´ricas, como
veremos de seguida.
EXEMPLO COMPLETO
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 2 3 4
0 0 2 0
4 4 4 4
9 7 1 2
∣∣∣∣∣∣∣∣ = −2×
∣∣∣∣∣∣
1 2 4
4 4 4
9 7 2
∣∣∣∣∣∣ (F. Laplace, linha 2)
= −2×
∣∣∣∣∣∣
1 2 4
0 −4 −12
0 −11 −34
∣∣∣∣∣∣ (Elim. Gauss, pivot 1)
= −2×1×
∣∣∣∣ −4 −12−11 −34
∣∣∣∣ (F. Laplace, coluna 1)
= −2×1× ((−4)× (−34)
−(−11)× (−12))
= −8
CO-FACTORES E MATRIZES INVERSAS
DEFINIC¸A˜O
Seja A uma matriz n×n e sejam i, j ∈ {1, . . . ,n}. O cofactor-ij
de A e´ o nu´mero
A′ij = (−1)i+j det(Aij) .
A matriz dos cofactores de A e´ a matriz cof(A) = [A′ij] cuja
entrada (cof(A))ij e´ o cofactor-ij de A.
Definindo a matriz B cuja entrada bij e´ o cofactor-ji de A
(note-se a permutac¸a˜o dos ı´ndices), ou seja, B= cof(A)T ,
podemos rescrever a fo´rmula de Laplace da seguinte forma:
det(A) =
n
∑
j=1
aij(−1)i+j det(Aij) =
n
∑
j=1
aijbji = (AB)ii .
(De igual modo, a fo´rmula de Laplace ao longo das colunas
permite concluir que (BA)jj = det(A).)
TEOREMA
Seja A uma matriz n×n na˜o-singular. Enta˜o
A−1 =
1
detA
(cofA)T .
Demonstrac¸a˜o.
Continuando a denotar (cofA)T por B, ja´ vimos que para
quaisquer i e j temos (AB)ii = (BA)jj = detA. Falta apenas
mostrar que se i 6= j enta˜o (AB)ij = (BA)ji = 0 para concluir que
AB= BA= (detA)I, ou seja, que A−1 = 1detAB como pretendido.
Demonstrac¸a˜o.
(Continuac¸a˜o)
Sejam enta˜o i 6= j. Temos
(AB)ij =
n
∑
k=1
aikbkj =
n
∑
k=1
aik(−1)j+k det(Ajk) .
Note-se que o menor-jk de A, que aparece neste somato´rio,
na˜o depende da linha j de A e por isso e´ igual ao menor-jk da
matriz A˜ que resulta de A se substituirmos a linha j de A pela
linha i.
Enta˜o o somato´rio pode rescrever-se assim:
n
∑
k=1
(A˜)jk(−1)j+k det(A˜jk) .
Demonstrac¸a˜o.
(Continuac¸a˜o)
Mas a soma ∑nk=1(A˜)jk(−1)j+k det(A˜jk) e´ precisamente o valor de
det(A˜) dado pela fo´rmula de Laplace aplicada a` linha j.
Uma vez que A˜ tem duas linhas (i e j) iguais resulta que
det(A˜) = 0 e por isso (AB)ij = 0.
De igual forma, usando a fo´rmula de Laplace aplicada a
colunas, se conclui que (BA)ji = 0.
Portanto AB= BA= (detA)I, como pretendı´amos provar.
EXERCI´CIO
Considere a matriz
A=
 1 1 11 0 1
2 3 4
 .
1. Calcule as entradas da primeira linha de cofA.
2. Calcule detA.
3. Se A for na˜o-singular calcule as restantes entradas de
cofA e calcule a matriz A−1.
Capı´tulo 9
PROGRAMA
1. Sistemas de equac¸o˜es lineares e matrizes
1.1 Sistemas
1.2 Matrizes
1.3 Determinantes
2. Espac¸os vectoriais (ou espac¸os lineares)
2.1 Espac¸os e subespac¸os
2.2 Subespac¸os associados a matrizes
2.3 Isomorfismos
2.4 Independeˆncia linear, bases e dimensa˜o
2.5 Aplicac¸o˜es
3. Transformac¸o˜es lineares
3.1 Representac¸a˜o matricial
3.2 Equac¸o˜es lineares
3.3 Mudanc¸a de base
3.4 Vectores e valores pro´prios
4. Espac¸os Euclidianos
4.1 Produtos internos e me´tricas
4.2Projecc¸o˜es e distaˆncias
4.3 Transformac¸o˜es lineares entre espac¸os Euclidianos
4.4 Aplicac¸o˜es
BIBLIOGRAFIA
L. Magalha˜es, A´lgebra Linear como Introduc¸a˜o a`
Matema´tica Aplicada, 1992, Texto Editora.
I Capı´tulo 5 e Secc¸a˜o 4.6.
REVISA˜O
DEFINIC¸A˜O
Seja A uma matriz n×n. O cofactor-ij de A e´ o nu´mero
A′ij = (−1)i+j det(Aij) ,
onde Aij e´ o menor-ij de A, ou seja, a matriz que resulta de A
se apagarmos a linha i e a coluna j.
A matriz dos cofactores de A e´
cof(A) = [A′ij] .
REVISA˜O
TEOREMA
A fo´rmula de Laplace ao longo da linha i e´:
det(A) = (linha i de A) · (linha i de cofA)
=
n
∑
j=1
aij (−1)i+j det(Aij)
= (A(cofA)T)ii .
A fo´rmula de Laplace ao longo da coluna j e´:
det(A) = (coluna j de cofA) · (coluna j de A)
=
n
∑
i=1
(−1)i+j det(Aij)aij
= ((cofA)T A)jj .
REVISA˜O
TEOREMA
Seja A uma matriz n×n. Enta˜o tem-se
A(cofA)T = (detA)I = (cofA)TA .
COROLA´RIO
Seja A uma matriz n×n na˜o-singular. Enta˜o
A−1 =
1
detA
(cofA)T .
REGRA DE CRAMER
A fo´rmula anterior para matrizes inversas permite-nos resolver
sistemas determinados pela chamada regra de Cramer, como
veremos de seguida.
Se A for uma matriz na˜o-singular enta˜o Ax= b e´ um sistema
determinado cuja soluc¸a˜o e´ x= A−1b.
Substituindo A−1 por 1detA(cofA)
T obte´m-se
xj =
1
detA
n
∑
i=1
(cofA)ijbi .
Uma vez que (cofA)ij na˜o depende da coluna j de A temos
(cofA)ij = (cofB)ij para qualquer i e qualquer matriz B que
apenas difira de A na coluna j.
Em particular, seja A(j) a matriz que resulta de A se
substituirmos a coluna j de A pelo vector b.
Tem-se enta˜o, para cada j,
n
∑
i=1
(cofA)ijbi =
n
∑
i=1
(cofA(j))ij(A(j))ij = detA(j) .
Obtivemos assim a regra de Cramer, que e´ uma fo´rmula para
calcular directamente a j-e´sima inco´gnita xj sem ter de calcular
todo o vector-soluc¸a˜o:
xj =
detA(j)
detA
.
EXERCI´CIO
Considere as matrizes
A=
 1 1 11 0 1
2 3 4
 , b=
 01
0
 , x=
 xy
z
 .
Calcule o valor de y determinado pelo sistema Ax= b.
(Ja´ vimos noutro exercı´cio que A e´ uma matriz na˜o-singular e
calcula´mos detA.)
RESOLUC¸A˜O
Ja´ calcula´mos detA=−2 noutra aula.
A matriz que resulta de substituir a segunda coluna de A pelo
vector b e´
A(2) =
 1 0 11 1 1
2 0 4
 ,
pelo que, pela regra de Cramer, a inco´gnita y (que corresponde
a` segunda coluna) tem o valor
y=
∣∣∣∣∣∣
1 0 1
1 1 1
2 0 4
∣∣∣∣∣∣
−2 =
+1×
∣∣∣∣ 1 12 4
∣∣∣∣
−2 =
1×4−2×1
−2 =−1 .
PRODUTO EXTERNO
DEFINIC¸A˜O
Sejam x,y ∈ R3 dois vectores. O produto externo de x e y e´ o
vector de R3 definido da seguinte forma:
x× y= (x2y3− y2x3, y1x3− x1y3, x1y2− y1x2) .
NOTA
x× y=
∣∣∣∣ x2 x3y2 y3
∣∣∣∣e1− ∣∣∣∣ x1 x3y1 y3
∣∣∣∣e2+ ∣∣∣∣ x1 x2y1 y2
∣∣∣∣e3
NOTA
Simbolicamente podemos escrever, pensando na fo´rmula de
Laplace aplicada a` primeira linha, a seguinte fo´rmula para o
produto externo:
x× y=
∣∣∣∣∣∣
e1 e2 e3
x1 x2 x3
y1 y2 y3
∣∣∣∣∣∣
(Note-se que na˜o esta´ definida uma noc¸a˜o de matriz cujas
entradas sa˜o vectores e por isso a notac¸a˜o acima e´ apenas
uma mnemo´nica!)
EXERCI´CIO
Verifique as seguintes propriedades:
NORMALIZAC¸A˜O:
I e1× e2 = e3
I e2× e3 = e1
I e3× e1 = e2
ANULAC¸A˜O: x×x= 0
ALTERNAˆNCIA: x× y=−y×x
BILINEARIDADE:
(αx)× y = α(x× y)
x× (αy) = α(x× y)
(x+x′)× y = x× y+x′× y
x× (y+ y′) = x× y+x× y′
EXERCI´CIO
Recorde (do ensino secunda´rio) que dois vectores x,y ∈ R3 sa˜o
ortogonais, ou perpendiculares (e escreve-se x⊥ y), se e so´
se o seu produto escalar for nulo:
x⊥ y ⇐⇒ x · y= 0 .
1. Mostre que se tem, para quaisquer x,y,z ∈ R3,
x · (y× z) =
∣∣∣∣∣∣
x1 x2 x3
y1 y2 y3
z1 z2 z3
∣∣∣∣∣∣ .
2. Mostre que x× y e´ ortogonal a x e a y.
NOTA
O produto externo tem ainda as propriedades seguintes (a
demonstrac¸a˜o sera´ feita oportunamente):
I O comprimento de x× y e´ igual a` a´rea do paralelogramo
definido por x e y.
I A orientac¸a˜o relativa do terno ordenado (x,y,x× y) e´
semelhante a` de (e1,e2,e3). Por outras palavras, esta
orientac¸a˜o e´ dada pela “regra da ma˜o direita”: se os dedos
da ma˜o direita acompanharem a rotac¸a˜o de x para y (no
sentido em que o aˆngulo e´ menor que pi) enta˜o x× y
aponta no sentido do polegar.
EXERCI´CIOS
Seja A uma matriz n×n (com n≥ 2).
1. Mostre que para qualquer nu´mero real r se tem
det(rA) = rn detA.
2. Mostre que A e´ singular se e so´ se cofA for singular.
3. Mostre que (detA)(det(cofA)) = (detA)n.
4. Mostre que se A for na˜o-singular enta˜o
det(cofA) = (detA)n−1.
5. Mostre que detA= 1 se e so´ se det(cofA) = 1.
Definindo, para uma matriz de permutac¸a˜o P qualquer,
sgn(P) =
{
+1 se P e´ par,
−1 se P e´ ı´mpar
(ou seja, sgn(P) e´ o sinal da correspondente permutac¸a˜o das
colunas), resolva o exercı´cio seguinte:
EXERCI´CIO
Seja P uma matriz de permutac¸a˜o n×n (com n≥ 2) e sejam
i, j ∈ {1, . . . ,n} tais que pij = 1.
1. Mostre que Pij tambe´m e´ uma matriz de permutac¸a˜o.
2. Esta conclusa˜o manter-se-ia se pij = 0? Explique.
3. Verifique, escolhendo uma matriz de permutac¸a˜o 4×4
arbitra´ria, que sgn(P) = (−1)i+j sgn(Pij). (Ou seja, P e´ par
se e so´ se os sinais da entrada ij e do menor Pij forem
iguais.)
(Na verdade tem-se sgn(P) = (−1)i+j sgn(Pij) para uma
matriz de permutac¸a˜o P qualquer.)
Capı´tulo 10
PROGRAMA
1. Sistemas de equac¸o˜es lineares e matrizes
1.1 Sistemas
1.2 Matrizes
1.3 Determinantes
2. Espac¸os vectoriais (ou espac¸os lineares)
2.1 Espac¸os e subespac¸os
2.2 Subespac¸os associados a matrizes
2.3 Isomorfismos
2.4 Independeˆncia linear, bases e dimensa˜o
2.5 Aplicac¸o˜es
3. Transformac¸o˜es lineares
3.1 Representac¸a˜o matricial
3.2 Equac¸o˜es lineares
3.3 Mudanc¸a de base
3.4 Vectores e valores pro´prios
4. Espac¸os Euclidianos
4.1 Produtos internos e me´tricas
4.2 Projecc¸o˜es e distaˆncias
4.3 Transformac¸o˜es lineares entre espac¸os Euclidianos
4.4 Aplicac¸o˜es
BIBLIOGRAFIA
L. Magalha˜es, A´lgebra Linear como Introduc¸a˜o a`
Matema´tica Aplicada, 1992, Texto Editora.
I Secc¸o˜es 2.1 e 2.2.
MOTIVAC¸O˜ES
I Ate´ agora recorda´mos que um “vector” e´ um elemento de
um espac¸o Rn com n= 1,2,3, . . ., e tambe´m adopta´mos a
convenc¸a˜o de identificar os vectores de Rn com as
matrizes coluna de Matn×1.
I Este conceito revelou-se u´til por exemplo ao definir o que
se entende por soluc¸a˜o de um sistema de equac¸o˜es
lineares e veremos que muito mais se pode dizer a este
respeito.
I No entanto este conceito de vector e´, em muitas
aplicac¸o˜es, insuficiente.
I Por exemplo, os vectores x ∈ Rn podem descrever-se por
meio de um nu´mero finito de “coordenadas” x1, . . . , xn. Sa˜o
necessa´rias exactamente n coordenadas para descrever
um vector e esta situac¸a˜o corresponde, como veremos, a
dizer que Rn e´ um espac¸o de dimensa˜o igual a n.
I Mas encontraremos situac¸o˜es em que sera˜o necessa´rios
vectores mais gerais, descritos por um nu´mero infinito de
coordenadas. Como veremos, um espac¸o formado por tais
vectores diz-se de dimensa˜o infinita.
I Ou, por vezes, encontraremos espac¸os que, mesmo
sendo de dimensa˜o igual a n, teˆm um aspecto
aparentemente muito diferente de Rn. Por exemplo,
conjuntos de soluc¸o˜es de certas equac¸o˜es diferenciais sa˜o
deste tipo: os “vectores” sa˜o func¸o˜es (por exemplo
func¸o˜es reais de varia´vel real).
I Para obter o conceito suficientemente geral de vector que
permita englobar ambos os aspectos mencionados vamos
recorrer a uma abordagem axioma´tica, estudando quais
devem ser as operac¸o˜es alge´bricas com vectores e quais
sa˜o as propriedades destas operac¸o˜es, descritas por
axiomas apropriados.
I (Ja´ vimos um exemplo do poder da abordagem axioma´tica
ao calcular a a´rea orientada de um paralelogramo a partir
da descric¸a˜o de um conjunto de axiomas que a func¸a˜o A
satisfaz.)
I Comec¸aremos por extrair as operac¸o˜es e axiomas
apropriados inspirando-nos no exemplo concreto de Rn.
DEFINIC¸A˜O
Um espac¸o vectorial real, ou espac¸o linear real, e´ um
conjunto V, cujos elementos sa˜o denominados vectores,
sobre o qual esta˜o definidas as operac¸o˜es seguintes
(satisfazendo os axiomas que descreveremos de seguida):
ADIC¸A˜O: Dadosx,y ∈ V existe um vector x+ y ∈ V,
designado por soma de x e y. (Esta operac¸a˜o
diz-se bina´ria.)
ZERO: Existe um vector 0 ∈ V designado por zero. (Esta
operac¸a˜o diz-se constante ou 0-a´ria.)
SIME´TRICO: Dado x ∈ V existe um vector −x ∈ V designado por
sime´trico de x. (Esta operac¸a˜o diz-se una´ria.)
Escrevemos x− y em vez de x+(−y).
MULTIPLICAC¸A˜O: Dado r ∈ R e x ∈ V existe um vector rx ∈ V,
designado por produto de r por x. (Operac¸a˜o
bina´ria heteroge´nea.)
DEFINIC¸A˜O
(Continuac¸a˜o) Os axiomas sa˜o os seguintes:
ASSOCIATIVIDADE DA SOMA: (x+ y)+ z= x+(y+ z).
COMUTATIVIDADE DA SOMA: x+ y= y+ x.
ELEMENTO NEUTRO: 0+ x= x.
ELEMENTO SIME´TRICO: x− x= 0.
ASSOCIATIVIDADE DA MULT.: r(sx) = (rs)x.
UNITARIDADE: 1x= x.
DISTRIBUTIVIDADE DIREITA: r(x+ y) = rx+ ry.
DISTRIBUTIVIDADE ESQUERDA: (r+ s)x= rx+ sx.
Nota 1: V e´ um grupo abeliano (primeiros quatro axiomas).
Nota 2: 0 e´ o u´nico elemento neutro; para cada vector x o
u´nico vector y tal que x+ y= 0 e´ o vector y=−x; e se x+ x= x
enta˜o x= 0.
Nota 3: 0x= 0 e (−1)x=−x.
EXEMPLO
1. Rn .
2. Matm×n .
3. RA = {func¸o˜es f : A→ R} .
(f +g)(a) = f (a)+g(a)
0(a) = 0
(−f )(a) = −(f (a))
(rf )(a) = r(f (a))
4. Mais uma convenc¸a˜o: R{1,...,n} = Rn .
Um vector x ∈ Rn corresponde a` func¸a˜o f : {1, . . . ,n}→ R
definida por f (1) = x1, . . . , f (n) = xn .
5. RN. Os vectores sa˜o as sucesso˜es de nu´meros reais,
que podemos encarar como “vectores infinitos”
(x1,x2,x3, . . .) (veremos que este e´ um exemplo de espac¸o
de dimensa˜o infinita).
EXEMPLO
6. Se A e B forem dois conjuntos, escreve-se
A×B= {(a,b) | a ∈ A, b ∈ B} .
(Por exemplo, R×R= R2.) Em particular,
{1, . . . ,m}×{1, . . . ,n} e´ o conjunto de pares ordenados (i, j)
de nu´meros naturais tais que i ∈ {1, . . . ,m} e j ∈ {1, . . . ,n} e
por isso podemos fazer a identificac¸a˜o
R{1,...,m}×{1,...,n} = Matm×n ,
segundo a qual a matriz A de dimensa˜o m×n corresponde
a` func¸a˜o f : {1, . . . ,m}×{1, . . . ,n}→ R definida por
f (i, j) = aij.
EXEMPLO
7. Se V e W forem dois espac¸os vectoriais reais enta˜o
V×W
e´ um espac¸o vectorial real com as operac¸o˜es
(v1,w1)+(v2,w2) = (v1+ v2,w1+w2)
zero = (0,0)
−(v,w) = (−v,−w)
r(v,w) = (rv,rw) .
8. R×R e´ exactamente o mesmo que o espac¸o R2.
9. Evidentemente, podemos identificar (R×R)×R com R3,
pois o vector ((x1,x2),x3) de (R×R)×R pode identificar-se
com (x1,x2,x3) ∈ R3.
AVISO
O conceito de “vector” agora definido e´ abstracto.
Na verdade na˜o definimos o que se entende por vector mas
sim por “espac¸o de vectores”.
Ou seja, apenas faz sentido dizer que um objecto e´ um vector
no contexto duma colecc¸a˜o da qual o objecto faz parte e que
tem as propriedades apropriadas.
DEFINIC¸A˜O
Definimos tambe´m as seguintes noc¸o˜es:
I Um espac¸o vectorial racional, ou espac¸o linear
racional tem uma definic¸a˜o em tudo ana´loga a` de espaco
vectorial real, mas com R substituı´do pelo conjunto dos
nu´meros racionais Q.
I Um espac¸o vectorial complexo, ou espac¸o linear
complexo tem uma definic¸a˜o em tudo ana´loga a` de
espaco vectorial real, mas com R substituı´do pelo conjunto
dos nu´meros complexos C.
NOTA
Uma vez que se tem as incluso˜es Q⊂ R⊂ C, qualquer espac¸o
vectorial complexo e´ tambe´m um espac¸o vectorial real e
qualquer espac¸o vectorial real e´ tambe´m um espac¸o vectorial
racional.
EXEMPLO
Os exemplos sa˜o em tudo semelhantes aos de espac¸o
vectorial real:
I Qn e Cn sa˜o respectivamente um espac¸o vectorial racional
e um espac¸o vectorial complexo.
I Dado um conjunto A definem-se os espac¸os de func¸o˜es
QA e CA, que sa˜o respectivamente um espac¸o vectorial
racional e um espac¸o vectorial complexo.
I CN e´ o espac¸o vectorial complexo das sucesso˜es de
nu´meros complexos.
I Se V e W sa˜o espac¸os racionais (resp. complexos) enta˜o
define-se o produto cartesiano V×W, que e´ um espac¸o
racional (resp. complexo).
I Os comenta´rios relativos a`s identificac¸o˜es, por exemplo
C{1,...,n} = Cn, ou Q× (Q× (Q×Q)) =Q4, sa˜o ana´logos.
MUDANC¸A DE ESCALARES
Ja´ referimos que qualquer espac¸o vectorial complexo e´
tambe´m um espac¸o vectorial real.
Por exemplo, C, que e´ um espac¸o vectorial complexo, e´
portanto tambe´m um espac¸o vectorial real, cujos vectores sa˜o
descritos exactamente por duas coordenadas independentes:
a parte real e a parte imagina´ria dum nu´mero complexo.
Como veremos, isto significa que C, enquanto espac¸o vectorial
real, tem dimensa˜o igual a 2 e por isso e´ “ana´logo” (dir-se-a´
“isomorfo”) a R2: cada vector a+ ib de C corresponde ao vector
(a,b) de R2 (o plano de Argand pode ser identificado com o
plano xy).
Um sistema de nu´meros com as propriedades apropriadas
para definir a noc¸a˜o de espac¸o vectorial, de que Q, R e C sa˜o
exemplos, diz-se um corpo alge´brico.
Nesta disciplina os corpos mais importantes sera˜o R e C.
PROPOSIC¸A˜O
Tudo o que foi visto a propo´sito de sistemas de equac¸o˜es
lineares, matrizes e determinantes, e´ va´lido quando R e´
substituı´do por Q ou C.
A partir daqui, nesta aula, faremos uma digressa˜o sobre o
conceito de corpo. Comec¸amos pela definic¸a˜o rigorosa, que
e´ a seguinte:
DEFINIC¸A˜O
Um corpo alge´brico, ou simplesmente um corpo, e´ um
conjunto K equipado com:
I uma estrutura de grupo abeliano (ou seja, operac¸o˜es “+”,
“0” e “−” com propriedades ana´logas a`s das
correspondentes operac¸o˜es dos espac¸os vectoriais);
I uma operac¸a˜o bina´ria associativa e comutativa de
multiplicac¸a˜o que a cada par de elementos x,y ∈ K faz
corresponder o produto xy;
I um elemento neutro denotado por 1 e designado por
unidade do corpo (ou seja, um elemento necessariamente
u´nico e tal que 1x= x);
I para cada x 6= 0 em K, um inverso x−1 (ou seja, um
elemento, necessariamente u´nico, tal que xx−1 = 1).
EXEMPLO
I Para cada nu´mero primo p o conjunto Zp = {0,1, . . . ,p−1}
dos nu´meros inteiros mo´dulo p e´ um corpo. Estes corpos
sa˜o finitos, ao contra´rio de Q, R e C.
I O corpo Z2 tem apenas dois elementos e pode
relacionar-se com a a´lgebra de Boole dos valores lo´gicos 0
e 1: a multiplicac¸a˜o corresponde a` conjunc¸a˜o e a soma
corresponde ao “ou exclusivo”.
DEFINIC¸A˜O
Um espac¸o vectorial sobre um corpo K e´ definido da mesma
forma que um espac¸o vectorial real mas com R substituı´do por
K.
EXEMPLO
Os exemplos ba´sicos de espac¸o vectorial sobre um corpo K
sa˜o novamente semelhantes aos de espac¸o vectorial real:
I Kn = {(k1, . . . ,kn) | k1, . . . ,kn ∈ K}.
I Dado um conjunto A temos o espac¸o de func¸o˜es
KA = {func¸o˜es f : A→ K}.
I Se V e W sa˜o espac¸os vectoriais sobre K enta˜o define-se
o produto cartesiano V×W, que e´ um espac¸o vectorial
sobre K.
I Os comenta´rios relativos a`s identificac¸o˜es, por exemplo
K{1,...,n} = Kn, ou (K×K)× (K×K) = K4, sa˜o ana´logos.
MATRIZES E DETERMINANTES SOBRE UM CORPO
ARBITRA´RIO
Quase tudo o que foi dito acerca de matrizes e determinantes e´
va´lido se substituirmos R por um corpo arbitra´rio.
A excepc¸a˜o: para certos corpos K pode acontecer que a
propriedade da anulac¸a˜o deixe de ser equivalente a`
alternaˆncia (mas a anulac¸a˜o implica sempre a alternaˆncia). Por
exemplo, isto acontece com o corpo Z2: se duas colunas duma
matriz A forem iguais enta˜o pela alternaˆncia concluı´mos
apenas det(A) =−det(A), ou seja, det(A)+det(A) = 0, e em Z2
isto pode acontecer com det(A) = 1.
Mais geralmente, a alternaˆncia e´ uma propriedade mais fraca
do que a anulac¸a˜o precisamente quando o corpo tem
caracterı´stica igual a 2:
DEFINIC¸A˜O
Diz-se que um corpo tem caracterı´stica n se n for o menor
nu´mero natural tal que a soma 1+ . . .+1 com n parcelas e´ igual
a 0; e diz-se que tem caracterı´stica 0 se na˜o existir nenhum
nu´mero natural n com essa propriedade.
EXEMPLO
Q, R e C teˆm caracterı´stica 0. O corpo finito Zp tem
caracterı´stica p.
PROPOSIC¸A˜O
Tudo o que foi dito a propo´sito de sistemas de equac¸o˜es
lineares, matrizes e determinantes e´ va´lido para qualquer
corpo de caracterı´stica diferente de 2.
Capı´tulo 11
PROGRAMA
1. Sistemas de equac¸o˜es lineares e matrizes
1.1 Sistemas1.2 Matrizes
1.3 Determinantes
2. Espac¸os vectoriais (ou espac¸os lineares)
2.1 Espac¸os e subespac¸os
2.2 Subespac¸os associados a matrizes
2.3 Isomorfismos
2.4 Independeˆncia linear, bases e dimensa˜o
2.5 Aplicac¸o˜es
3. Transformac¸o˜es lineares
3.1 Representac¸a˜o matricial
3.2 Equac¸o˜es lineares
3.3 Mudanc¸a de base
3.4 Vectores e valores pro´prios
4. Espac¸os Euclidianos
4.1 Produtos internos e me´tricas
4.2 Projecc¸o˜es e distaˆncias
4.3 Transformac¸o˜es lineares entre espac¸os Euclidianos
4.4 Aplicac¸o˜es
BIBLIOGRAFIA
L. Magalha˜es, A´lgebra Linear como Introduc¸a˜o a`
Matema´tica Aplicada, 1992, Texto Editora.
I Secc¸a˜o 2.2.
REVISA˜O
I Um espac¸o vectorial sobre um corpo K, ou espac¸o
linear sobre K, e´ um conjunto V, cujos elementos sa˜o
denominados vectores, sobre o qual esta˜o definidas
operac¸o˜es que incluem
I adic¸a˜o de vectores e
I multiplicac¸a˜o de vectores por elementos de K (os quais
sa˜o denominados escalares).
I (Nesta disciplina usaremos maioritariamente o caso K = R
ou K = C, mas outros casos podera˜o aparecer de vez em
quando, por exemplo K =Q ou K = Zp para algum p.)
I Todas as operac¸o˜es podem ser derivadas destas duas.
Em particular, os axiomas de espac¸o vectorial sa˜o tais que
V na˜o pode ser o conjunto vazio e para cada x ∈ V o
elemento 0 = 0x e´ o elemento neutro da adic¸a˜o e
−x= (−1)x e´ o elemento sime´trico (significando que V tem
a estrutura de grupo abeliano).
I Ale´m disso a multiplicac¸a˜o por escalar tambe´m e´
associativa, ou seja, tem-se r(sx) = (rs)x para quaisquer
r,s ∈ K e x ∈ V, unita´ria, ou seja, 1x= x para cada x ∈ V, e
distributiva sobre a soma em cada uma das varia´veis.
I O exemplo principal de espac¸o vectorial sobre K visto na
aula passada foi o do espac¸o das func¸o˜es f : A→ K, onde
A e´ um conjunto A fixo.
I Como vimos, este exemplo inclui muitos outros, em
particular os espac¸os Kn, que podem ser identificados com
K{1,...,n}.
I No caso K = R vimos que tambe´m o espac¸o Matm×n e´
deste tipo.
I Em geral, para um corpo K qualquer, designaremos o
espac¸o vectorial sobre K das matrizes m×n com entradas
em K por Matm×n(K). Este espac¸o pode ser identificado
com K{1,...,m}×{1,...,n}.
I Vimos tambe´m o produto cartesiano V×W de dois
espac¸os vectoriais V e W sobre o mesmo corpo K.
I Por exemplo, podemos identificar Km×Kn com Km+n, pois
cada vector
((x1, . . . ,xm),(y1, . . . ,yn)) ∈ Km×Kn
e´ o mesmo, a menos de mudanc¸a de pareˆnteses, que o
vector
(x1, . . . ,xm,xm+1, . . . ,xm+n) ∈ Km+n ,
em que xm+1 = y1, . . . , xm+n = yn.
I Vamos agora estudar mais exemplos e em simultaˆneo
introduzir a noc¸a˜o importante de subespac¸o de um
espac¸o vectorial.
EXEMPLO
Os seguintes conjuntos tambe´m sa˜o espac¸os lineares com as
operac¸o˜es habituais:
I O conjunto de todos os vectores de R2 que sa˜o mu´ltiplos
de (1,2).
I O conjunto de todas as matrizes A ∈Mat2×3(C) tais que
a12 = 0.
I O conjunto de todas as func¸o˜es contı´nuas f : R→ R.
Em todos estes casos toma´mos para espac¸o vectorial um
subconjunto de um espac¸o conhecido, respectivamente R2,
Mat2×3(C) e RR.
DEFINIC¸A˜O
Seja V um espac¸o vectorial sobre um corpo K. Um
subconjunto S⊂ V diz-se um subespac¸o vectorial de V se
satisfizer as seguintes condic¸o˜es relativamente a`s operac¸o˜es
de espac¸o vectorial definidas em V:
1. 0 ∈ S.
2. Se x,y ∈ S enta˜o x+ y ∈ S.
3. Se r ∈ K e x ∈ S enta˜o rx ∈ S.
PROPOSIC¸A˜O
Se S for um subespac¸o vectorial de V enta˜o S, com as mesmas
operac¸o˜es de V, tambe´m e´ um espac¸o vectorial sobre K.
EXEMPLO
I O conjunto de todas as func¸o˜es f : R→ R tais que f (2) = 0
e´ um subespac¸o de RR.
I O subconjunto de Mat2×3(C) formado pelas matrizes A tais
que a12 = 1 NA˜O e´ um subespac¸o porque a matriz nula
na˜o lhe pertence.
I Qualquer recta em R2 que passe pela origem define um
subespac¸o de R2.
I Qualquer plano em R3 que passe pela origem define um
subespac¸o de R3.
I Nenhuma recta em R2 que na˜o passe pela origem pode
ser um subespac¸o.
I A para´bola de equac¸a˜o y= x2 conte´m a origem mas na˜o e´
um subespac¸o de R2.
EXEMPLO
Sa˜o espac¸os vectoriais:
I O conjunto P(K) de todos os polino´mios
a0+a1x+a2x2+ . . .+anxn
com coeficientes ai ∈ K (subespac¸o de KK).
I O conjunto Pn(K) de todos os polino´mios de P(K) com
grau menor ou igual a n.
I O conjunto de todas as sucesso˜es de nu´meros reais {xn}
que satisfazem a relac¸a˜o de recorreˆncia xn+2 = xn+1+ xn
(subespac¸o de RN).
I O conjunto C(a,b) de todas as func¸o˜es contı´nuas
f : ]a,b[→ R, ou o conjunto C[a,b] de todas as func¸o˜es
contı´nuas f : [a,b]→ R (subespac¸os de R]a,b[ e R[a,b],
respectivamente).
I O subespac¸o Ck(a,b)⊂ C(a,b) de todas as func¸o˜es reais
com derivada contı´nua ate´ a` ordem k ≥ 1 em ]a,b[.
EXEMPLO
Sa˜o espac¸os vectoriais:
I O conjunto de todas as func¸o˜es y : ]a,b[→ R com segunda
derivada contı´nua e que sa˜o soluc¸o˜es da equac¸a˜o
diferencial
y′′+ ry′+ y= 0 .
(Subespac¸o de C2(a,b).)
I O conjunto-soluc¸a˜o de um sistema homoge´neo Ax= 0
(subespac¸o de Kn se a matriz A tiver n colunas).
DEFINIC¸A˜O
O conjunto-soluc¸a˜o do sistema homoge´neo cuja matriz dos
coeficientes e´ A designa-se por nu´cleo, ou espac¸o nulo, de A,
e denota-se por nuc(A).
EXEMPLO
O plano em R3 definido pela equac¸a˜o
x+ y− z= 0
e´ o nu´cleo da matriz [1 1 −1] e por isso e´ um subespac¸o de
R3.
Como a equac¸a˜o Ax= 0 significa que o produto interno
(1,1,−1) · (x,y,z) e´ nulo, deduz-se que este espac¸o e´,
geometricamente, o plano que passa pela origem e e´
perpendicular ao vector (1,1,−1).
EXEMPLO
I Se V ′ e V ′′ forem subespac¸os de um espac¸o vectorial V
sobre um corpo K enta˜o a intersecc¸a˜o V ′∩V ′′ tambe´m e´
um subespac¸o de V (e´ o maior subespac¸o de V contido
em V ′ e em V ′′).
I O conjunto-soluc¸a˜o do sistema{
x+ y− z = 0
x− y+ z = 0
e´ a recta que passa pela origem de R3 e que e´ a
intersecc¸a˜o dos dois subespac¸os (planos passando pela
origem de R3) definidos pelas equac¸o˜es x+ y− z= 0 e
x− y+ z= 0. Note-se que a intersecc¸a˜o e´ mesmo uma
recta, ou seja, os dois planos na˜o sa˜o coincidentes,
porque os vectores (1,1,−1) e (1,−1,1) na˜o sa˜o
colineares.
Assunto a retomar na pro´xima aula:
EXEMPLO
I Se V ′ e V ′′ forem subespac¸os de um espac¸o vectorial V
sobre um corpo K enta˜o o conjunto
V ′+V ′′ = {x+ y | x ∈ V ′, y ∈ V ′′}
e´ designado por soma de V ′ e V ′′ e tambe´m e´ um
subespac¸o de V (e´ o menor subespac¸o de V que conte´m
V ′ e V ′′).
Capı´tulo 12
PROGRAMA
1. Sistemas de equac¸o˜es lineares e matrizes
1.1 Sistemas
1.2 Matrizes
1.3 Determinantes
2. Espac¸os vectoriais (ou espac¸os lineares)
2.1 Espac¸os e subespac¸os
2.2 Subespac¸os associados a matrizes
2.3 Isomorfismos
2.4 Independeˆncia linear, bases e dimensa˜o
2.5 Aplicac¸o˜es
3. Transformac¸o˜es lineares
3.1 Representac¸a˜o matricial
3.2 Equac¸o˜es lineares
3.3 Mudanc¸a de base
3.4 Vectores e valores pro´prios
4. Espac¸os Euclidianos
4.1 Produtos internos e me´tricas
4.2 Projecc¸o˜es e distaˆncias
4.3 Transformac¸o˜es lineares entre espac¸os Euclidianos
4.4 Aplicac¸o˜es
BIBLIOGRAFIA
L. Magalha˜es, A´lgebra Linear como Introduc¸a˜o a`
Matema´tica Aplicada, 1992, Texto Editora.
I Secc¸a˜o 2.2.
REVISA˜O
I Vimos o conceito de subespac¸o de um espac¸o vectorial V
sobre um corpo K: e´ um subconjunto S⊂ V que satisfaz as
treˆs condic¸o˜es seguintes para quaisquer x,y ∈ S e qualquer
k ∈ K:
I 0 ∈ S
I x+ y ∈ S
I kx ∈ S
I Vimos va´rios exemplos, incluindo o de nu´cleo de uma
matriz A ∈Matm×n(K), que e´ um subespac¸o nuc(A)⊂ Kn
definido como o conjunto-soluc¸a˜o do sistema homoge´neo
Ax= 0.
EXEMPLO
O nu´cleo da matriz
A=
[
1 1 −1
1 −1 1
]
e´ a recta que passa pela origem de R3 e e´ a intersecc¸a˜o dos
dois planos que passam pela origem e sa˜o perpendiculares
aos vectores (1,1,−1) e (1,−1,1).
NOTA
Se B resulta de A por eliminac¸a˜o de Gauss enta˜o
nuc(B) = nuc(A) .
DEFINIC¸A˜O
Equac¸o˜es que relacionam as coordenadas dos vectores de Kn
de modo a definir um subconjunto S⊂ Kn dizem-se equac¸o˜es
cartesianas para S.
EXEMPLO
I No exemplo anterior