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Máximos e Mínimos http://estvirtual.com.br Definição (Máximos e Mínimos Locais) Uma função f tem um máximo local (ou máximo relativo) em c se )()( xfcf ≥ quando x estiver nas proximidades de c . [ Isso significa que )()( xfcf ≥ para todo x em algum intervalo aberto contendo c ]. Analogamente, f tem um mínimo local (ou mínimo relativo) em c se )()( xfcf ≤ quando x estiver próximo de c . No gráfico acima 3x e 5x são mínimos locais; enquanto 2x e 4x são máximos locais. Definição (Máximos e Mínimos Absolutos) Uma função f tem um máximo absoluto (ou máximo global) em c se )()( xfcf ≥ para todo x do domínio de f . O número )(cf é chamado valor máximo de f . Analogamente, f tem um mínimo absoluto (ou mínimo global) em c se )()( xfcf ≤ para todo x do domínio de f . O número )(cf é chamado valor mínimo de f . Os valores máximos e mínimos de f são chamados valores extremos de f . Nos gráficos acima 1 é mínimo global de f ; 3 é máximo global de g ; enquanto h não possui máximo, nem mínimo globais! O 2 é o valor mínimo que a função f atinge e 4 é o valor máximo que a função g atinge. Os pontos de máximo ou mínimo estão no domínio (eixo x ) enquanto os valores máximo ou mínimo estão na imagem (eixo y ) Definição (Ponto crítico) Um ponto crítico (número crítico) de uma função f é um ponto c no domínio de f onde 0)(' =cf . Ou seja, um ponto crítico de uma função é um ponto do domínio dessa função que anula sua primeira derivada. Um resultado que irá nos interessar é que Se f tiver um máximo ou mínimo local em c , então c será ponto crítico de f . 2x 4x )( 1xf )( 4xf 5x 3x 1x 1 2 3 4 )(xfy = )(xgy = )(xhy = Máximos e Mínimos http://estvirtual.com.br Isso significa que quando estivermos procurando por máximos e mínimos de uma função a primeira coisa a fazer é encontrar os pontos críticos dessa função, porque se ela tiver máximo e/ou mínimo tem quer ser um ponto crítico! Pelo que vimos até agora, podemos encontrar os máximos e mínimos de uma função (se eles existirem!) usando o Teste da Primeira Derivada Suponha que c seja um ponto crítico de uma função contínua f , ou seja, 0)(' =cf . (a) Se o sinal de )(' xf for positivo para todo cx < e o sinal de )(' xf for negativo para todo cx > ( 'f muda de positiva para negativa em c ), então f tem um máximo local em c (b) Se o sinal de )(' xf for negativo para todo cx < e o sinal de )(' xf for positivo para todo cx > ( 'f muda de negativa para positiva em c ), então f tem um mínimo local em c (c) Se o sinal de )(' xf for negativo para todo cx < e o sinal de )(' xf continuar negativo para todo cx > ;ou se o sinal de )(' xf for positivo para todo cx < e o sinal de )(' xf continuar positivo para todo cx > ( 'f não muda de sinal em c ), então f não tem mínimo local, nem máximo local em c Vimos que podemos conhecer a concavidade do gráfico de uma função usando a segunda derivada da função, Teste da Concavidade (a) Se 0)('' >xf para todo x em um intervalo I , então o gráfico de f tem concavidade para cima no intervalo I (b) Se 0)('' <xf para todo x em um intervalo I , então o gráfico de f tem concavidade para baixo no intervalo I . A partir do teste da concavidade, podemos encontrar os máximos e mínimos de uma função usando a segunda derivada Teste da Segunda Derivada (a) Se 0)(' =cf e 0)('' >cf , então f tem um mínimo local em c . (b) Se 0)(' =cf e 0)('' <cf , então f tem um máximo local em c . Dois comentários antes de terminarmos: I. No teste da derivada segunda estamos supondo que ''f é contínua em uma vizinhança de c . II. O teste da derivada segunda não garante nada quando 0)('' =cf . Então quando estivermos procurando por máximos e mínimos de uma função f e, usando a derivada segunda encontrarmos 0)('' =cf , vamos esquecer esse teste e fazer o Teste da Primeira Derivada.
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