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Máximos e Mínimos 
 
http://estvirtual.com.br 
 
 Definição (Máximos e Mínimos Locais) 
 
Uma função f tem um máximo local (ou máximo relativo) em c se )()( xfcf ≥ quando 
x estiver nas proximidades de c . [ Isso significa que )()( xfcf ≥ para todo x em algum 
intervalo aberto contendo c ]. Analogamente, f tem um mínimo local (ou mínimo relativo) 
em c se )()( xfcf ≤ quando x estiver próximo de c . 
 
 
 
 
 
 
No gráfico acima 3x e 5x são mínimos locais; enquanto 2x e 4x são máximos locais. 
 Definição (Máximos e Mínimos Absolutos) 
 
Uma função f tem um máximo absoluto (ou máximo global) em c se )()( xfcf ≥ para 
todo x do domínio de f . O número )(cf é chamado valor máximo de f . Analogamente, 
f tem um mínimo absoluto (ou mínimo global) em c se )()( xfcf ≤ para todo x do 
domínio de f . O número )(cf é chamado valor mínimo de f . Os valores máximos e 
mínimos de f são chamados valores extremos de f . 
 
 
 
 
 
Nos gráficos acima 1 é mínimo global de f ; 3 é máximo global de g ; enquanto h não 
possui máximo, nem mínimo globais! 
O 2 é o valor mínimo que a função f atinge e 4 é o valor máximo que a função g atinge. 
Os pontos de máximo ou mínimo estão no domínio (eixo x ) enquanto os valores máximo ou 
mínimo estão na imagem (eixo y ) 
 Definição (Ponto crítico) 
 
Um ponto crítico (número crítico) de uma função f é um ponto c no domínio de f onde 
0)(' =cf . 
Ou seja, um ponto crítico de uma função é um ponto do domínio dessa função que anula 
sua primeira derivada. 
Um resultado que irá nos interessar é que 
Se f tiver um máximo ou mínimo local em c , então c será ponto crítico de f . 
2x 4x 
)( 1xf 
)( 4xf 
5x 3x 1x 
1 
2 
3 
4 
)(xfy = )(xgy = )(xhy = 
 
 Máximos e Mínimos 
 
http://estvirtual.com.br 
 
Isso significa que quando estivermos procurando por máximos e mínimos de uma função a 
primeira coisa a fazer é encontrar os pontos críticos dessa função, porque se ela tiver 
máximo e/ou mínimo tem quer ser um ponto crítico! 
Pelo que vimos até agora, podemos encontrar os máximos e mínimos de uma função (se 
eles existirem!) usando o 
 Teste da Primeira Derivada 
Suponha que c seja um ponto crítico de uma função contínua f , ou seja, 0)(' =cf . 
(a) Se o sinal de )(' xf for positivo para todo cx < e o sinal de )(' xf for negativo para 
todo cx > ( 'f muda de positiva para negativa em c ), 
então f tem um máximo local em c 
(b) Se o sinal de )(' xf for negativo para todo cx < e o sinal de )(' xf for positivo para 
todo cx > ( 'f muda de negativa para positiva em c ), 
então f tem um mínimo local em c 
(c) Se o sinal de )(' xf for negativo para todo cx < e o sinal de )(' xf continuar 
negativo para todo cx > ;ou se o sinal de )(' xf for positivo para todo cx < e o sinal 
de )(' xf continuar positivo para todo cx > ( 'f não muda de sinal em c ), 
então f não tem mínimo local, nem máximo local em c 
 
Vimos que podemos conhecer a concavidade do gráfico de uma função usando a segunda 
derivada da função, 
 Teste da Concavidade 
(a) Se 0)('' >xf para todo x em um intervalo I , então o gráfico de f tem 
concavidade para cima no intervalo I 
(b) Se 0)('' <xf para todo x em um intervalo I , então o gráfico de f tem 
concavidade para baixo no intervalo I . 
 
A partir do teste da concavidade, podemos encontrar os máximos e mínimos de uma função 
usando a segunda derivada 
 Teste da Segunda Derivada 
(a) Se 0)(' =cf e 0)('' >cf , então f tem um mínimo local em c . 
(b) Se 0)(' =cf e 0)('' <cf , então f tem um máximo local em c . 
 
Dois comentários antes de terminarmos: 
I. No teste da derivada segunda estamos supondo que ''f é contínua em uma 
vizinhança de c . 
II. O teste da derivada segunda não garante nada quando 0)('' =cf . Então quando 
estivermos procurando por máximos e mínimos de uma função f e, usando a 
derivada segunda encontrarmos 0)('' =cf , vamos esquecer esse teste e fazer o 
Teste da Primeira Derivada.

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