Aula_5_Trabalho_energia

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Física I
2º Semestre de 2013
Instituto de Física- Universidade de São Paulo
Aula – 5 Trabalho e energia
Professor: Valdir Guimarães 
E-mail: valdirg@if.usp.br 
Fone: 3091.7104
Trabalho realizado por uma força constante
 Diferentemente do conceito intuitivo, o trabalho está associado com 
a transferência de energia devido a uma força.
 Trabalho é uma grandeza escalar (positiva ou negativa).
 Trabalho é realizado sobre um corpo por uma força, quando o ponto 
de aplicação da força se desloca.
 O trabalho realizado sobre um corpo é positivo se energia é 
transferida para esse corpo.
xFW 
W é o Trabalho realizado 
xFxFW x  cos
Trabalho realizado por diversas forças
O trabalho total sobre um sistema é a soma do trabalho realizado por 
cada força.
 332211 xFxFxFW xxx
Se o trabalho é realizado sobre uma partícula, então todos os 
deslocamentos são idênticos.
xFxFFFW
xresxxx
 )( 321 
0W
No SI, a unidade para o Trabalho é o Joule (J) 
1 J = 1 N.m
Se a aceleração é nula, então
O teorema do Trabalho-Energia Cinética
Quando forças realizam trabalho sobre uma partícula, o resultado é uma 
variação da energia cinética da partícula.
Se a força resultante é constante, a aceleração é constante.
Teorema do Trabalho-Energia Cinética:
xres maF x 
Definimos a energia cinética como sendo:
xavv xif  2
22 )(
2
1 22
ifx vv
x
a 


)(
2
1 22
ifres vv
x
mF
x



iftotal
ifres
KKW
mvmvxF
x

 22
2
1
2
1
2
2
1
mvK 
KWtotal 
No SI, a unidade para a Energia Cinética é o Joule (J)
O teorema do Trabalho-Energia Cinética
Suponha que voce tenha que puxar um trenó de massa 80 kg, com uma
força de 180 N a 40° em relação à horizontal.
(a) Qual o trabalho que voce irá realizar?
(b) Qual a rapidez do trenó após se deslocar 5,0 m, tendo partido do
repouso?
(a)
smv
m
W
v
mvmvW
f
total
f
iftotal
/2,4
2
2
1
2
1
2
22



JW
xFxFW
total
xtotal
689
cos

 
(b)
O Trabalho realizado por força variável
Frequentemente as forças têm intensidade ou direção de aplicação 
variável.
Para força constante, temos
Numericamente igual a área sob a curva Fx versus x
 

i
ixi
x
xFW
0
lim

f
i
x
x
xdxFW
Se a força varia com x, podemos dividir o 
movimento em pequenas seções. 
nCttv )(
1
1
1)()( 

 
n
n
Ctdttvtx
nCtx 
1 nCnt
dt
dx
Integralderivada

2
1
)()()( 12
t
t
dttvtxtx
Integrais definidas
attv )(
  )()()( 212221221112
2
1
2
1
atatatdtattxtx
t
t
t
t
 
suponha
O Trabalho realizado por uma mola (Lei de Hooke)
Considere um bloco sob a ação de uma mola.
A força exercida pela mola é dada pela Lei de Hooke
22
22
2
2
1
2
1
2
1
22
)(
fi
x
x
if
x
x
x
x
x
x
x
kxkxW
xx
kxkxdxkW
dxkxdxFW
f
i
f
i
f
i
f
i













Note que a força não é constante e varia com x. 
O Trabalho realizado por uma mola (Lei de Hooke)
Considere um bloco sob a ação de uma mola com k=400N/m.
A força exercida pela mola é dada pela Lei de Hooke
J
kxxxkxarea
5.02/)05.0(400
2/2/)(
2
2
1121


Área sob a curva Fx versus x
J
x
k
xx
kxkxdxk
dxkxdxFW
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
i
f
i
5.0
222
)(
2
1
2
1
2
22
2
1
2
1
2
1










O Produto Escalar – Movimento tridimensional
O trabalho depende da componente da força na direção do movimento.
dlFdlFdW cos// 
Esta combinação de dois vetores 
com o cosseno do ângulo entre suas 
orientações é chamada de Produto 
Escalar dos vetores.
cosABBA 

Produto escalar
O Produto Escalar
Ou alternativamente,
cosABBA 

)ˆˆˆ()ˆˆˆ( kBjBiBkAjAiABA zyxzyx 

Mas, como:
0ˆˆ
1ˆˆ


ji
ii
zzyyxx BABABABA 

O Produto Escalar
a) Determine o ângulo entre os vetores
a) Determine a componente de A na direção de B.
cosABBA 

20,6 mBABABA yyxx 

mjiA )ˆ0,2ˆ0,3( 
 mjiB )ˆ0,3ˆ0,4( 

AB
BA


cos
mAAAAA yx 0,13
22 

mBBBBB yx 0,5
22 

333,0cos 
 71
B
BA
A


cos
mA 2,1cos 
a)
b)
O Trabalho em notação de Produto Escalar
Considerando-se deslocamentos infinitesimais (dl)
dlFdlFdW cos// 
ldFdW


Para um deslocamento de uma 
posição 1 para uma posição 2, o 
trabalho realizado é
 
2
1
P
P
ldFW

Esta integral é conhecida como 
Integral de Linha.
Uma partícula sofre um deslocamento 
Durante esse deslocamento, uma força constante 
atua sobre a partícula. Determine 
(a) o trabalho realizado pela força 
(b) a componente da força na direção do deslocamento.
ldFdW


Como a força é constante
 
2
1
P
P
ldFW

mjil )ˆ0,50,2( 

NjiF )ˆ0,40,3( 

JjijiW 0,14)ˆ0,50,2()ˆ0,40,3( 
lFlFW //

l
lF
F


//
2952 22 l
NF 6,2// lFldFW
P
P
 
 2
1
Dois esquiadores partem de um mesmo ponto em uma colina e chegam na 
base da colina, através de caminhos diferentes. Um caminho é mais 
curto e íngreme do que o outro. Qual esquiador terá maior velocidade 
no ponto de chegada?
22
2
1
2
1
iftotal mvmvKW 
Os esquiadores podem ser tomados como partículas, 
portanto vale o Teorema do Trabalho-Energia Cinética.
Temos a força peso e a força normal.
gntotal WWW 
0
0


n
nn
W
ldFdW

mghymgW
jyixjmgW
lFldFldFW
ldFdW
g
g
gggg
gg





)ˆˆ(ˆ


O mesmo para os 
dois esquiadores.
2
2
1
ftotal
gtotal
mvW
mghWW


ghv f 2
2
fmvmgh
Potência
A taxa, ou seja, a variação temporal do trabalho que uma força realiza é
chamada de Potência (P). Em outras palavras, a Potência é a taxa de
transferência de Energia, através da realização de um Trabalho.
ldFdW


vFP


Dois motores que elevam uma certa carga até uma dada altura
gastam a mesma quantidade de energia, mas a potência é
maior para a força que realiza o trabalho no menor tempo.
No SI, a unidade para a Potência é o Watt (W) 1 W = 1 J/s
As companhias de energia elétrica usam o kW.h como unidade de energia. Esta é 
a energia transferida em 1 hora a uma taxa constante de 1 kW.
1 kW.h = (103W)(3600s) = 3,6x106 W.s = 3,6 MJ
Potência
dt
ld
v



dtvFdW


vF
dt
dW 

dtvld


Exemplo
Um pequeno motor é usado para operar como um elevador que levanta 
uma carga de tijolos que pesa 500 N até a altura de 10 m, em 20 s, com 
rapidez constante. O elevador pesa 300 N. Qual é a potência 
desenvolvida pelo motor?
FvFvvFP  cos
W
s
m
NP 400
20
10
)800( 
tijoloselevador PPF 
Funny car
Funny car
A potencia de um motor é a taxa com a qual o motor pode realizar trabalho.
O trabalho está relacionado com
a variação da energia cinética.
dt
dW
P 
PdtdKdW 
 
tK
PdtdK
00
Ptmv
PtK


2
2
1
2/1
2







m
Pt
v
dKdW 
if KKKW 
Precisamos agora relacionar a potencia do funny car com a distância
percorrida e o tempo. Veja que a velocidade não é constante.
Dvdtxt
 
0
Distância em função da velocidade e potencia. 
 
ttt
dtt
m
P
dt
m
Pt
vdtD
0
2/12/1
0
2/1
0
)
2
()
2
(
2/32/1
3
2
)
2
( t
m
P
D 
3/13/2 )
2
()
2
3
(
P
m
Dt 