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Incerteza numa medida experimental

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Incerteza numa medida experimental
COMPLEMENTO 3
C E D E R J163
Incerteza numa medida experimental
7RGD�YH]�TXH�XP�H[SHULPHQWDGRU�UHDOL]D�XPD�PHGLGD��R�UHVXOWDGR�TXH�HOH�REWpP�QmR�
é apenas um número. Essa medida possui unidades, e possui também o que chamamos 
de incerteza da medida, ou erro da medida. 
8PD�PHGLGD�H[SHULPHQWDO�GHWHUPLQD�GD�PHOKRU�PDQHLUD�SRVVtYHO�XP�YDORU�GD�
JUDQGH]D�ItVLFD�²�FXMR�YDORU�H[DWR�p�VHPSUH�GHVFRQKHFLGR��$�H[SUHVVmR�TXH�p�IRUQHFLGD�
para o resultado da medida deve indicar esse fato, e isso é feito através da determinação 
da incerteza experimental. 
A incerteza em uma medida representa, entre outras, a impossibilidade de 
FRQVWUXomR�GH�LQVWUXPHQWRV�DEVROXWDPHQWH�SUHFLVRV�²�XPD�UpJXD�TXH�OHLD�ELOLRQpVLPRV�GH�
centésimos de milímetro, ou menores – e de existência de observadores absolutamente 
H[DWRV��4XDQGR�WHPRV�XPD�UpJXD�HP�QRVVD�PmR��R�TXH�SRGHPRV�DÀUPDU�p�TXH�H[LVWH�
XPD�UHJLmR��XPD�IDL[D�GH�YDORUHV dentre os quais o nosso resultado está.
8P�H[HPSOR�HVWi�DSUHVHQWDGR�QD�´ UpJXDµ�PRVWUDGD�QD�)LJXUD�&�����$�UpJXD�HVWi�
GLYLGLGD�HP�XQLGDGHV��H�R�REMHWR�HVWi�PRVWUDGR��,PDJLQHPRV��LQLFLDOPHQWH��TXH�R�QRVVR�
PpWRGR�GH�PHGLGD�VHMD�DEVROXWDPHQWH�FRUUHWR��,VVR�VLJQLÀFD�TXH�²�QHVWH�FDVR�²�QmR�
QRV�HQJDQDPRV�QD�GHÀQLomR�GR�TXH�p�R�]HUR�GD�PHGLGD��H�TXH�DV�XQLGDGHV�IRUQHFLGDV�
pelo fabricante são precisas. 
4XDO�p��HP�XQLGDGHV�GD�UpJXD��R�FRPSULPHQWR�GHVWH�REMHWR"
3RGHPRV�DÀUPDU�´FRP�FHUWH]Dµ�TXH�R�YDORU�PHGLGR�HVWi�HQWUH���H���XQLGDGHV��
0DLV�SURYDYHOPHQWH��HQWUH�����H���XQLGDGHV��,VVR�VLJQLÀFD�TXH�QmR�SRGHPRV�HVFUHYHU�
´R� UHVXOWDGR�YDOH� ����XQLGDGHVµ�²� LVVR� DEVROXWDPHQWH�QmR� HVWDULD� FRUUHWR��0DV�SR-
GHPRV�GL]HU�´R�UHVXOWDGR�HVWi�HQWUH�����H����µ��H�H[SUHVVi�OR�FRPR�´����“����µ��2X�
WDOYH]�DOJR�FRPR�´����“����µ��VH�WLYHUPRV�PXLWD�FRQÀDQoD�HP�QyV�PHVPRV�H�QD�UpJXD�
apresentada.
Assim, qualquer medida experimental representa uma IDL[D�GH�YDORUHV. Essa faixa 
é sempre expressa por um YDORU�FHQWUDO e por uma ODUJXUD�HP�WRUQR�GHVVD�IDL[D��H�XP�
JUDX�GH�FRQÀDELOLGDGH da medida está naquela faixa. A existência dessa faixa não é um 
´HUURµ��e�DOJR�LQWUtQVHFR�D�TXDOTXHU�SURFHVVR�GH�PHGLGD��H�GHFRUUH�GDV�OLPLWDo}HV�GR�
equipamento utilizado, do método de medida escolhido e da habilidade e capacidade 
do experimentador.
Figura C3.1
Incerteza numa medida experimental
C E D E R J 164
INTRODUÇÃO ÀS
CIÊNCIAS FÍSICAS 1CIÊNCIAS FÍSICAS 1
Podemos fazer uma estimativa simples para essa incerteza ou erro experimental no 
FDVR�GH�PHGLGDV�TXH�VmR�IHLWDV�GLUHWDPHQWH���FRPR�SDUD�R��WDPDQKR�PHGLGR�FRP�D�UpJXD�
citado acima. O nosso processo de medida é comparar o comprimento do objeto com 
XP�SDGUmR��IRUQHFLGR�SHOD�UpJXD��(�LVVR�VLJQLÀFD�GHWHUPLQDU�QD�UpJXD�RV�GRLV�H[WUHPRV�
TXH�FRUUHVSRQGHP�DR�´LQtFLRµ�H�DR�´ÀQDOµ�GR�REMHWR�FXMR�FRPSULPHQWR�TXHUHPRV�
PHGLU��2�FRPSULPHQWR�p�D�GLIHUHQoD�HQWUH�HVVDV�GXDV�GHWHUPLQDo}HV��RX�HQWmR�D�OHLWXUD�
GLUHWD�QD�UpJXD�GR�´ÀQDOµ�VH�FRORFDPRV�R�]HUR�GD�UpJXD�QR�´LQtFLRµ��GH�QRVVR�REMHWR��
4XDOTXHU�IDEULFDQWH�GH�XP�LQVWUXPHQWR�GH�PHGLGD�GLYLGH�VHX�LQVWUXPHQWR�GD�PHOKRU�
PDQHLUD�TXH�SRGH��$VVLP��VH�HOH�QmR�ID]�VXEGLYLV}HV�DOpP�GR�PLOtPHWUR�QXPD�UpJXD�p�
porque seu instrumento não pode fazer corretamente leituras inferiores ao milímetro. 
3RUWDQWR��XPD�ERD�UHJUD�LQLFLDO�p�REVHUYDU�D�IDL[D�GHÀQLGD�SHOR�IDEULFDQWH��9HMDPRV�R�
H[HPSOR�DVVRFLDGR�j�PHGLGD�GR�WDPDQKR�GD�EDUUD�GD�)LJXUD�&����
8PD�OHLWXUD�UD]RiYHO�GD�UpJXD�SDUD�GHVFUHYHU�R�WDPDQKR�GD�EDUUD�GD�)LJXUD�����
VHULD�XP�YDORU�HQWUH������H������FP��HVVD�UpJXD�ID]�OHLWXUDV�HP�FHQWtPHWURV���(VFUHYH-
ríamos o tamanho do objeto então como
WDPDQKR�GR�REMHWR� �������“������FP
Com essa expressão, estamos indicando que o nosso valor está dentro da IDL[D 
FRP�YDORU�FHQWUDO������FP�H�ODUJXUD������²�R��´HUUR�H[SHULPHQWDOµ�
2V� ItVLFRV� H[SHULPHQWDLV� FRQYHQFLRQDP�TXH�� VRE� DV� FRQGLo}HV�PDLV�XVXDLV�GH�
UHDOL]DomR�GH�PHGLGDV��D�ODUJXUD�H[SUHVVD�XP�JUDX�GH�FRQÀDQoD�GH�FHUFD�GH�����²�LVWR�
p��D�SUREDELOLGDGH�GH�TXH�R�UHVXOWDGR�ÀTXH�QD�IDL[D�FRQVLGHUDGD���HQWUH�R�YDORU�FHQWUDO�
PDLV�D�ODUJXUD�H�R�YDORU�FHQWUDO�PHQRV�D�ODUJXUD���p�GH������(�WDPEpP�TXH�Ki�������GH�
SUREDELOLGDGH�GH�R�UHVXOWDGR�VHPSUH�HVWDU�QD�IDL[D�GHÀQLGD�SRU�WUrV�YH]HV�D�ODUJXUD�
Esse assunto será bastante explorado em disciplinas posteriores, e envolve 
FRQFHLWRV�HVWDWtVWLFRV��6XJHULPRV�D�OHLWXUD�GR�WH[WR�GH�9XROR1 citado como referência 
caso haja o desejo de aprofundamento no assunto.
Figura C3.2
1 José Henrique Vuolo, )XQGDPHQWRV�GD�7HRULD�GH�(UURV.
Incerteza numa medida experimental
COMPLEMENTO 3
C E D E R J165
No caso de medidas indiretas, isto é, medidas que não são feitas diretamente 
a partir de uma leitura de um instrumento, como por exemplo o perímetro ou a área 
GR�REMHWR�DFLPD��WHPRV�XP�FRQMXQWR�GH�UHJUDV�SDUD�FDOFXODU�HVVDV�LQFHUWH]DV�²�R�TXH�
chamamos de FiOFXOR�GD�SURSDJDomR�GRV�HUURV��9RFr�HVWXGDUi�HVVDV�UHJUDV�H�VXDV�MXVWLÀFDWLYDV�
HP�FXUVRV�SRVWHULRUHV��DTXL�LQGLFDUHPRV�VHPSUH�FRPR�SURFHGHU�SDUD�ID]HU�XP�FiOFXOR��
pelo menos estimado, dessa incerteza, ou melhor, da IDL[D�GH�YDORUHV em que temos uma 
FRQÀDQoD���GH�����²�SRGHPRV�SRU�HQTXDQWR�´DUUHGRQGDU�SDUD�FLPDµ��SHQVDQGR��HP�
������GH�HQFRQWUDU�R�QRVVR�UHVXOWDGR�
A questão da incerteza na medida nos remete a um outro assunto, meio espinhoso 
– DOJDULVPRV�VLJQLÀFDWLYRV��7UDGX]LQGR��DR�GHWHUPLQDU�XPD�YHORFLGDGH�D�SDUWLU�GD�
medida da distância percorrida e do tempo decorrido,
GLVWkQFLD�SHUFRUULGD� �����“�����P
WHPSR�GHFRUULGR� �����“�����V
obtemos
YHORFLGDGH� ���������������
2QGH�SDUDU"��2QGH�DSUR[LPDU"��'HYHPRV�HVFUHYHU�����RX������RX�������RX���"��6H�
QmR�VDEHPRV�ID]HU�D�FKDPDGD�´ SURSDJDomR�GR�HUURµ��HVVD�SHUJXQWD�p�GH�GLItFLO�UHVSRVWD��
6H�D�SURSDJDomR�IRU�HVWLPDGD��H�WRPDUPRV�D�LQFHUWH]D�FRP�XP�~QLFR�DOJDULVPR��REWHPRV�
para a velocidade 
YHORFLGDGH� ������������������“������P�V
Ou seja, se aceitamos a idéia de faixa de valores, é claro que o resultado que 
melhor expressa a velocidade é 
YHORFLGDGH� �����“�����P�V
6y� ID]� VHQWLGR� HQWmR� H[SUHVVDU� D� YHORFLGDGH� FRP�GRLV� DOJDULVPRV� ²� Vy� GRLV�
DOJDULVPRV�´ WrP�VLJQLÀFDGRµ��LVWR�p��VmR�VLJQLÀFDWLYRV��$�LQFOXVmR�GH�RXWURV�DOJDULVPRV�
SHUGH�R�VHQWLGR��SRLV�R�VHJXQGR�²�R���²�Mi�p�LQFHUWR��R�UHVXOWDGR�HVWi�QD�IDL[D�HQWUH�����
H������7DPEpP�D�PHGLGD�GD�GLVWkQFLD�Vy�WHP�GRLV�DOJDULVPRV�VLJQLÀFDWLYRV��D�IDL[D�GH�
YDORUHV�p�HQWUH�����H�����P��H�D�PHGLGD�GR�WHPSR�GHFRUULGR�FRUUHVSRQGH�j�IDL[D�HQWUH�����
H�����V��$V�GXDV�PHGLGDV�RULJLQDLV�SRVVXHP�GRLV�DOJDULVPRV�VLJQLÀFDWLYRV�²�UD]RDYHOPHQWH�
R�UHVXOWDGR�GD�GLYLVmR�GDV�GXDV�WDPEpP�Vy�Gi�GRLV�DOJDULVPRV�VLJQLÀFDWLYRV�
Assim, passamos a entender que todas as vezes que dizemos que um resultado 
´YDOH����µ�R�TXH�TXHUHPRV�GL]HU�p�TXH�R�~OWLPR�DOJDULVPR�´p�GXYLGRVRµ��LVWR�p��WHPRV�
XPD�IDL[D�GH�YDORUHV�HVWLPDGD�HQWUH�����H������SRGHULD�DWp�VHU�PDLRU���(�Dt�GL]HPRV�TXH�
QRVVR�UHVXOWDGR�SRVVXL�GRLV�DOJDULVPRV�VLJQLÀFDWLYRV��VH�HVFUHYrVVHPRV�������D�IDL[D�
FRUUHVSRQGHULD�D������H������²�H�LVVR�p�FRPSOHWDPHQWH�GLIHUHQWH�
Incerteza numa medida experimental
C E D E R J 166
INTRODUÇÃO ÀS
CIÊNCIAS FÍSICAS 1CIÊNCIAS FÍSICAS 1
6H�UHÁHWLUPRV�SRU�XP�LQVWDQWH�VREUH�HVVHV�FRQFHLWRV��YHPRV�TXH�HOHV�WrP�PDLV�
OyJLFD�GR�TXH�SDUHFH��$�LGpLD�SULQFLSDO� p�TXH�DR� UHDOL]DUPRV�XPD�PHGLGD� H[SHULPHQWDO�QmR�
GHWHUPLQDPRV�XP�YDORU�H[DWR��H�VLP�XPD�IDL[D�GH�YDORUHV��FRP�FRQYHQo}HV�D�UHVSHLWR�GR�VLJ-
QLÀFDGR�GH�FDGD�XP�GRV�HOHPHQWRV�TXH�FRPS}HP�HVVD�IDL[D���3RUWDQWR��TXDOTXHU�TXH�
VHMD�D�IRUPD�TXH�HVFROKHPRV�SDUD�H[SUHVVDU�HVVH�YDORU��D�IRUPD�UHSUHVHQWD�HVVD�IDL[D��6H�
HVFROKHUPRV�D�QRWDomR�PDLV�XVDGD������“�������HVWDPRV��LQIRUPDQGR�GH�PDQHLUD�FODUD�H�
LQHTXtYRFD�R�TXH�TXHUHPRV��6H�HVFROKHUPRV�Vy�IRUQHFHU�R�YDORU�����D�LQIRUPDomR�HVWi�
um pouco mais escondida, mas ainda está lá.
Arredondamento de dados 
2�Q~PHUR�GH�DOJDULVPRV�TXH�GHYHP�DSDUHFHU�HP�XP�UHVXOWDGR�H[SHULPHQWDO�depende da incerteza neste resultado. Precisamos saber, então, como devemos escrever 
a incerteza de uma medida.
1mR�Ki�XPD�UHJUD�PXLWR�EHP�GHÀQLGD�SDUD�R�Q~PHUR�GH�DOJDULVPRV�VLJQLÀFDWL-
YRV�TXH�GHYHP�VHU�LQGLFDGRV�QD�LQFHUWH]D�GH�XP�UHVXOWDGR�H[SHULPHQWDO��*HUDOPHQWH�
VmR�XVDGRV�XP�RX�GRLV�DOJDULVPRV�VLJQLÀFDWLYRV��1R�FDVR�GD�LQFHUWH]D�FRPHoDU�SHORV�
DOJDULVPRV���RX����D�LQFHUWH]D�GHYH�WHU�GRLV�DOJDULVPRV�VLJQLÀFDWLYRV��QRV�RXWURV�FDVRV�
D�LQFHUWH]D�SRGH�VHU�GDGD�SRU�XP�RX�GRLV�DOJDULVPRV�VLJQLÀFDWLYRV��
Por uma questão de simplicidade vamos utilizar sempre a incerteza com 
XP��DOJDULVPR�VLJQLÀFDWLYR��9HMD�RV�H[HPSORV�D�VHJXLU��
Valores da incerteza obtidos 
na máquina de calcular
Valores da incerteza aproximados 
FRP���DOJDULVPR�VLJQLÀFDWLYR
������� ����
������� ����
������ ����
����� ����
������ ���
1,25 1
Incerteza numa medida experimental
COMPLEMENTO 3
C E D E R J167
2V�YDORUHV�GDV�LQFHUWH]DV�DSUR[LPDGRV�IRUDP�REWLGRV�XWLOL]DQGR�VH�DV�VHJXLQWHV�
UHJUDV�GH�DUUHGRQGDPHQWR��
‡�6H�R�Q~PHUR�VHJXLQWH�DR�VLJQLÀFDWLYR�IRU�PDLRU�GR�TXH���R�VLJQLÀFDWLYR�DX-
menta de 1.
‡�6H�R�Q~PHUR�VHJXLQWH�DR�VLJQLÀFDWLYR� IRU�PHQRU�GR�TXH���R�VLJQLÀFDWLYR�p�
PDQWLGR�]HUR�YRFr�DXPHQWD�R�VLJQLÀFDWLYR�GH����
‡�6RPHQWH�QR�FDVR�HP�TXH�R�Q~PHUR�VHJXLQWH�IRU���RX���VHJXLGRV�GH�]HUR�p�TXH�
VH�ID]�XPD�UHJUD�HVWDWtVWLFD��6H�R�VLJQLÀFDWLYR�IRU�SDU�HOH�p�PDQWLGR�H�VH�IRU�tPSDU�HOH�
aumenta de 1 .
9HMD�RV�H[HPSORV�GH�DUUHGRQGDPHQWRV�GH�RXWURV�YDORUHV�XVDQGR�DV�UHJUDV�DFLPD�
PDV�XWLOL]DQGR�PDLV�DOJDULVPRV�VLJQLÀFDWLYRV�
‡���4��DUUHGRQGDQGR�R���Gi�����SRUTXH�R�Q~PHUR�VHJXLQWH�D�HOH�p���TXH�p�PHQRU�
do que 5.
‡����8��DUUHGRQGDQGR�R���GD�FDVD�GR�FHQWpVLPR�Gi������SRUTXH�R�Q~PHUR�VHJXLQWH�
p���TXH�p�PDLRU�GR�TXH���
‡���6����DUUHGRQGDQGR�R���GD�FDVD�GR�GpFLPR�Gi�����SRUTXH�R�Q~PHUR�VHJXLQWH�
a ele é 4 que é menor do que 5.
‡���6����DUUHGRQGDQGR�R����GD�FDVD�GR�GpFLPR�Gi�����SRUTXH�R�Q~PHUR�VHJXLQWH�
DR�VLJQLÀFDWLYR�p���VHJXLGR�GH�RXWURV�Q~PHURV�GLIHUHQWHV�GH�]HUR�
‡���6����DUUHGRQGDQGR�R���GD�FDVD�GR�GpFLPR�Gi�����SRUTXH�WHPRV������DSyV�R�
Q~PHUR����H���p�SDU�
‡���7����DUUHGRQGDGR�R���GD�FDVD�GRV�GpFLPRV�Gi�����SRUTXH�WHPRV�����DSyV�R�
Q~PHUR���H���p�LPSDU�
‡����7��DUUHGRQGDQGR���GD�FDVD�GR�FHQWpVLPR�Gi������SRUTXH�WHPRV�DSHQDV���
DSyV�R���H����p�tPSDU�
‡����2��DUUHGRQGDQGR�R���GD�FDVD�GR�FHQWpVLPR�Gi������SRUTXH�WHPRV�DSHQDV���
após o 2 e 2 é par. 
Incerteza numa medida experimental
C E D E R J 168
INTRODUÇÃO ÀS
CIÊNCIAS FÍSICAS 1CIÊNCIAS FÍSICAS 1
9DPRV�XWLOL]DU�R�H[SHULPHQWR���GR�0yGXOR���SDUD�H[HPSOLÀFDU como os 
dados de um experimento devem ser arredondados em ICF1. 
7DEHOD��
D�>FP@ GD�>FP@ E�>FP@ GE�>FP@ G�>FP@ GG�>FP@
���� ��� ���� ��� ���� ����
3DUD�HVFUHYHU�R�YDORU�GH�XPD�JUDQGH]D�FRP�R�Q~PHUR�GH�DOJDULVPRV�VLJQLÀFD-
WLYRV�FRUUHWRV�p�QHFHVViULR�FRQKHFHU�R�YDORU�GD�VXD�LQFHUWH]D�H�DUUHGRQGDU�D�JUDQGH]D�
na mesma casa em que foi arredondada a incerteza. Observe que o arredondamento 
GDV�PHGLGDV�GLUHWDV�UHSUHVHQWDGDV�QD�7DEHOD���IRUDP�UHDOL]DGRV�QDV�PHVPDV�FDVDV�GH��
suas incertezas. 3RU�H[HPSOR��R�DUUHGRQGDPHQWR�QD�LQFHUWH]D�ƤE�HVWi�QD�FDVD�GH�
décimo do centímetro e arredondamento no valor de b também está na casa 
GR�GpFLPR�GR�FHQWtPHWUR��2�DUUHGRQGDPHQWR�QD�LQFHUWH]D��ƤG�HVWi�QD�FDVD�GR�
centésimo do centímetro e o arredondamento na incerteza em d está na casa 
GR�FHQWpVLPR�GR�FHQWtPHWUR��
Por isto, para se escrever o valor de L no experimento 1 é necessário calcular a 
incerteza em L�H�DUUHGRQGD�OD�FRP�DSHQDV���DOJDULVPR�VLJQLÀFDWLYR��$�VHJXLU�GHYH�VH�
arredondar o valor de L�GH�DFRUGR�FRP�R�DUUHGRQGDPHQWR�GH�VXD�LQFHUWH]D��1D�7DEHOD�
��IRUDP�FRORFDGRV�DOJXQV�YDORUHV�REWLGRV�QR�H[SHULPHQWR���FRP�D�FDOFXODGRUD��1D�
7DEHOD���RV�YDORUHV�GH�L e da incerteza em L (GL��IRUDP�DUUHGRQGDGRV��
7DEHOD��
/�>FP@ L
PDQ
�>FP@ Lmin�>FP@ G/�>FP@
��������� ������������ �������« �����������
7DEHOD��
/�>FP@ G/�>FP@
��� ���
Incerteza numa medida experimental
COMPLEMENTO 3
C E D E R J169
2EVHUYH�TXH�QD�DSUR[LPDomR�RV�DOJDULVPRV�VLJQLÀFDWLYRV�GD�LQFHUWH]D�HP�/�H�GH�
G/�VmR�GLIHUHQWHV��HP�/�WHPRV���DOJDULVPRV�VLJQLÀFDWLYRV�H�HP�G/�WHPRV���DOJDULVPR�
VLJQLÀFDWLYR��0DV�RV�GRLV�YDORUHV�VmR�HVFULWRV�VRPHQWH�DWp�R�GpFLPR�GH�FHQWtPHWUR�
Referência
José Henrique Vuolo, )XQGDPHQWRV�GD�7HRULD�GH�(UURV��(GLWRUD�(GJDUG�%OFKHU�/WGD�

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