2 - Ondas

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ÓTICA 
Ondas I 
ONDAS 
ONDAS 
Ondas Mecânicas –são aquelas que necessitam de um 
meio material para se propagar, ou seja, uma 
perturbação em determinado meio material é causado 
por alguém ou por alguma fonte, e esta perturbação 
propaga-se de um ponto para o outro na forma de 
pulsos. 
Ondas Mecânicas 
Tipos de Onda Ondas Eletromagnéticas 
Ondas Materiais 
ONDAS 
Por exemplo: 
- Terremoto no fundo mar causa uma perturbação nas 
águas do oceano, e esta perturbação propaga-se 
até encontrar um continente, causando ondas gigantes 
conhecidas como tsunami; 
- (Movimento de Placas tectônicas que se propagam 
pela superfície terrestre provocando terremotos) 
- Uma onda em uma corda; 
- Ondas sonoras. 
 
ONDAS 
Observação: 
No vácuo não há propagação de ondas mecânicas, 
uma vez que o vácuo é a ausência de matéria numa 
certa região do espaço. 
O som é um dos principais representantes deste grupo 
de ondas. Pode assim ser considerado por que interfere 
diretamente na vida de todos os seres humanos e na 
grande maioria dos animais. 
 
ONDAS 
Ondas Eletromagnéticas - são aquelas que não 
necessitam de meio material para se propagar, elas 
podem se propagar tanto no vácuo como também em 
certos tipos de materiais. 
Exemplo: 
- Luz solar; 
- Micro-ondas; 
- Raios –X; 
- Ondas de rádio. 
 
ONDAS 
 
Ondas Materiais – Estas ondas estão associadas com 
elétrons, prótons e outras partículas fundamentais e até 
mesmo átomos e moléculas. 
ONDAS 
Quanto a direção de propagação, as ondas se classificam 
em: 
Ondas Transversais – são aquelas que tem a direção de 
propagação perpendicular a direção de vibração. 
Exemplo: Ondas eletromagnéticas. 
 
Ondas Longitudinais- são ondas em que a direção de 
propagação coincide com a direção de vibração. 
Exemplo: as ondas se propagam desta forma em líquidos e 
gases. 
 
ONDAS 
Tanto ondas transversais quanto ondas longitudinais são 
chamadas de ondas progressivas, pois ambas se 
propagam de um ponto para outro. 
 
 
Observe que é a onda 
que se movimenta de 
uma extremidade a 
outra, não o material 
através do qual a 
onda se movimenta. 
ONDAS 
ONDAS 
FASE 
TERMO OSCILATÓRIO 
DESLOCAMENTO 
TEMPO 
FREQUENCIA 
ANGULAR 
POSIÇÃO 
NUMERO DE ONDA 
ANGULAR 
AMPLITUDE 
ONDAS 
ONDAS 
Valor positivo 
extremo 
Valor negativo 
extremo 
ONDAS 
Vale ou Cava 
Pico ou crista 
ONDAS 
O deslocamento y será o mesmo. 
ONDAS 
x1 x1+λ 
ONDAS 
Número de onda angular 
ONDAS 
ONDAS 
t1+T t1 
O deslocamento y contra o 
tempo t em uma certa 
posição ao longo da corda 
fazendo x=0 
Frequência angular 
(radianos / segundo) 
Período (segundos) 
ONDAS 
VELOCIDADE DE UMA ONDA 
PROGRESSIVA 
A figura mostra dois 
instantâneos da onda da 
equação y(x,t)= ymsen(kx-wt), 
tomados com um pequeno 
intervalo de tempo Δt de 
separação. 
A onda se propaga no sentido positivo de x, todo 
formato da onda se movendo de uma distância Δx nessa 
direção durante um intervalo Δt. A razão Δx/ Δt (dx/dt) 
é a velocidade da onda v. 
VELOCIDADE DE UMA ONDA 
PROGRESSIVA 
Quando a onda se move, cada 
ponto da forma da onda se 
move, por exemplo o ponto A 
marcado sobre o pico, 
permanece com o seu 
deslocamento y. 
 
Ou seja, os pontos sobre a corda não mantêm seu os seus 
deslocamentos (valores de y(x,t)), mas os pontos sobre a 
forma da onda mantêm. 
 
VELOCIDADE DE UMA ONDA 
PROGRESSIVA 
Se o ponto A mantiver o seu 
deslocamento ao se mover, a 
fase (ângulo ou argumento) na 
equação 
 
 
permanece constante. 
 
 kx-ωt → constante 
Embora o argumento seja constante, tanto x como t 
variam. Quando t aumenta, x aumenta para manter o 
argumento constante. 
VELOCIDADE DE UMA ONDA 
PROGRESSIVA 
Para calcular a velocidade, 
temos que derivar a equação 
da posição. 
 
 kx-ωt → constante 
 
 
 
 
EXEMPLO 
Uma onda que se propaga ao longo de uma corda é 
descrita por : 
 
Na qual as constantes numéricas estão em unidades SI 
(0,00327 m, 72,1 rad/m e 2,72 rad/s). 
a) Qual a amplitude desta onda? 
b)Quais são o comprimento de onda, o periodo e a 
frequência desta onda? 
c)Qual a velocidade da onda? 
RESOLUÇÃO 
Primeiramente vamos ver que dados o problema nos 
forneceu.Comparando as duas equações: 
 
 
Temos: 
ym =0,00327m; K=72,1 rad/m ; ω=2,72 rad/s. 
a) Qual a amplitude da onda? 
ym =0,00327m 
 
 
RESOLUÇÃO 
b) Quais o comprimento de onda, período e 
frequência desta onda? 
Comprimento de onda λ 
 
 
Periodo T 
 
Frequência f 
 
 
 
RESOLUÇÃO 
b) Qual a velocidade desta onda? 
Velocidade desta onda v. 
 
 
EXEMPLO 
Suponha uma onda se propagando em uma corda 
com frequência igual a 1/π e número de onda igual 
a 1. Quando a fase da onda for π/2 o seu 
deslocamento é igual a 2. 
a) Qual a amplitude desta onda? 
b)Quais são o comprimento de onda, o período e a 
frequência angular desta onda e a velocidade? 
c)Escreva a equação que descreve esta onda. 
d)Faça o gráfico da equação de onda em função do 
tempo e em função da posição. 
 
RESOLUÇÃO 
Dados fornecidos pelo problema 
Frequência igual a 1/π. 
 
Número de onda igual a 1. 
K=1 
Quando a fase for igual a π/2, o deslocamento é igual a 2 
A fase é o ângulo da equação, ou seja, kx-ωt. 
Desta forma, 
 kx-ωt = π/2. 
Assim, 
 sen(kx-ωt)=sen(π/2)=1 
RESOLUÇÃO 
Como a equação da onda é dada por: 
 
 
Quando a fase for 
π/2 → kx-ωt = π/2 → sen(kx-ωt)=sen(π/2)=1 
o deslocamento é igual a 2, ou seja, y(x,t)=2. 
Assim, 
 
 
RESOLUÇÃO 
a) Qual a amplitude desta onda? 
 ym =2 m 
b)Quais são o comprimento de onda, o período e a 
frequência angular desta onda e a velocidade? 
Comprimento de onda λ 
 
 
O período T 
 
 
 
A frequência angular ω. 
 
 
Velocidade v 
 
 
c)Escreva a equação que descreve esta onda. 
 
 
 
 
 
d)Faça o gráfico da equação de onda em função do 
tempo e em função da posição. 
Gráfico em função do tempo. Gráfico em função da posição 
 
2 
- 2 
2π π t 
y 
T 
2 
- 2 
2π π x 
y 
λ 
ONDAS 
VELOCIDADE DA ONDA EM UMA CORDA ESTICADA 
No caso de ondas lineares, a velocidade das ondas mecânica 
depende exclusivamente de propriedades do meio através do 
qual a onda se propaga. 
→ Massa – Para haver energia cinética 
→ Elasticidade – Para haver energia 
potencial. 
Determinam a rapidez 
que a onda se propaga 
A velocidade v em função da tensão da corda e da massa por 
unidade de comprimento é dada por: 
ONDAS 
EXEMPLO 
Uma corda uniforme tem massa de 
0,3 kg e comprimento de 6m. A 
tensão se mantém na corda por um 
corpo de massa de 2kg pendurado 
numa extremidade. Ache a 
velocidade de um pulso de onda 
nessa corda. 
5m 
1m 
2Kg 
5m 
1m 
2Kg 
T 
P 
ONDAS 
ONDAS 
REFLEXÃO E TRANSMISSÃO DE ONDAS 
Sempre que uma onda progressiva atinge uma fronteira 
entre dois meios, parte da onda, ou toda ela, será refletida. 
Suponha uma corda fixa a uma parede. Quando o pulso 
atinge uma parede fixa é refletido suponha que o suporte 
que fixa a corda à parede é rígido, o pulso não transmite 
nenhuma perturbação para a parede). 
Pela terceira lei de Newton (lei de ação e reação). 
“Se um corpo A aplicar uma forçasobre um corpo B, receberá 
deste uma força de mesma intensidade e mesma direção e 
sentido contrário” 
ONDAS 
Desta forma, vai ocorrer a inversão do pulso na 
reflexão. Suponha que agora a corda esteja presa a 
um anel, que pode deslizar livremente num pino 
vertical, sem atrito. O pulso será refletido, mas neste 
caso não será invertido. 
A B 
FAB FBA 
ONDAS 
PROPAGAÇÃO DE UM ONDA EM MEIOS DIFERENTES 
Quando um pulso ondulatório se propaga do meio A para 
o meio B, e v A > v B , ( B é mais denso que A), o pulso se 
inverte na reflexão. kv. 
Mas se o pulso ondulatório se propaga do meio B para o 
meio A, o pulso não é invertido na reflexão. 
ONDAS 
ENERGIA E POTENCIA DE UMA ONDA PROGRESSIVA 
EM UMA CORDA. 
Quando produzimos uma onda em uma corda esticada, 
fornecemos energia para o movimento da corda. 
Quando a onda se afasta, ela transporta essa energia, 
na forma de energia cinética e de energia potencial 
elástica. 
ONDAS 
ENERGIA CINÉTICA. 
Um elemento da corda de 
massa dm, oscilando 
transversalmente em um 
movimento harmônico 
simples quando uma onda 
passa por ele, possui 
energia cinética associada 
à sua velocidade 
transversal. 
dm 
ONDAS 
Em 
Y=0 → velocidade transversal (energia cinética) é 
MÁXIMA. 
 
Y=Ym → velocidade transversal (energia cinética) é 
NULA. 
ONDAS 
ENERGIA POTENCIAL ELÁSTICA 
Quando um elemento de corda de comprimento dx 
oscila transversalmente, o seu comprimento aumentar e 
diminuir de maneira periódica para que o elemento de 
corda se ajuste à forma de onda senoidal. 
 
Y=0 → energia potencial é NULA. 
 
Y=Y m → energia potencial é MÁXIMA, 
ONDAS 
TRANSPORTE DE ENERGIA. 
Energia cinética 
MAXIMA 
Energia potencial 
elástica NULA 
Y=0 
Quando a onda se propaga ao longa da corda, 
forças devidas à tração na corda realizam trabalho 
continuamente para transferir a energia das regiões 
com energia para regiões sem energia. 
ONDAS 
TAXA DE TRANSMISSÃO DE ENERGIA 
Sabemos que a energia cinética é dada por: 
Desta forma, a energia cinética dk associada a um 
elemento de corda de massa dm é dada por: 
ONDAS 
velocidade 
Variação do espaço pelo tempo 
onde, 
como, 
ONDAS 
ONDAS 
ONDAS 
ONDAS 
Deslocamento que a 
corda estaria sujeita se 
cada onda estivesse se 
propagando sozinha 
ONDAS 
 
 
Ondas superpostas se 
somam algebricamente 
para produzirem uma 
onda resultante. 
Ondas superpostas não 
alteram de forma alguma 
a propagação de cada 
uma delas. 
 
Interferência de ondas 
Suponha duas ondas senoidais do mesmo 
comprimento de onda e mesma amplitude sejam 
enviadas no mesmo sentido ao longo de uma corda 
esticada. 
 
Aplicamos o principio de superposição. 
 
Que onda resultante teremos; 
 
A onda resultante depende do quanto as ondas 
estejam em fase (em concordância) uma em relação 
a outra. 
Interferência de ondas 
Vimos que, duas ondas senoidais de mesmo 
comprimento de onda e mesma amplitude estão em: 
FASE → Os picos e os vales das duas ondas estão 
alinhados → o deslocamento é duplicado, quando 
comparado o de uma das ondas atuando sozinha. 
ym 
ym 
2ym 
FORA DE FASE → Os picos de uma estão 
alinhados com os vales da outra →ao se 
combinarem, todos os pontos sã anulados → as 
ondas se interferem. 
Seja uma onda que se propaga ao longo de uma corda 
esticada dada por: 
 
 
 
E outra defasada da primeira por: 
 
 
As ondas possuem: 
 
→ Mesma frequência angular ω (consequentemente a 
mesma frequencia f . 
→ Mesmo número de onda angular k (ou seja, mesmo 
comprimento de onda λ). 
→ Mesma amplitude ym. 
y1(x,t) =ymsen (kx-ωt) 
y1(x,t) =ymsen (kx - ωt + φ) 
Ambas se propagam no sentido positivo do eixo x, com a 
mesma velocidade, dada por: 
 
 
Elas diferem apenas por um ângulo constante φ (constante 
de fase). 
 
Dizemos que estas ondas estão: 
 
→ Fora de fase por φ ; 
→ Elas possuem uma diferença de fase φ; 
→ Uma onda está com um deslocamento de fase de φ em 
relação à outra 
Pelo Principio da Superposição, a onda resultante é a 
soma algébrica de duas ondas que estão se interferindo e 
tem deslocamento. 
y’(x,t) = y1(x,t) + y2 (x,t) 
 
y’(x,t) = ymsen (kx-ωt) + ymsen (kx - ωt + φ) 
 
 y’(x,t) = ym[sen (kx-ωt) + sen (kx - ωt + φ)] 
 
Lembrando que 
 
y’(x,t) = ymsen (kx-ωt) + ymsen (kx - ωt + φ) 
 
Seja 
α = kx – ωt e β = kx - ωt + φ 
α + β = kx – ωt + kx - ωt + φ = 2kx - 2ωt + φ 
α - β = kx – ωt – (kx - ωt + φ) = kx – ωt – kx + ωt – 
φ = – φ 
Então 
 
 
 
 
 
 
Assim, 
y’(x,t) = ym[sen (kx-ωt) + sen (kx - ωt + φ)] 
 y’(x,t) = ym[sen (α) + sen (β)] 
 
 
Então 
 
 
 
 
 
 
 
 
E como cos (- φ) = cos (- φ), temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A onda resultante também é uma onda senoidal se 
propagando na direção crescente de x. Ela difere das 
ondas que estão interferindo em dois aspectos: 
→ Sua constante de fase (½) φ 
→ A amplitude y’m 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se 
→ φ = 0 rad = 0º → as duas ondas que estão interferindo 
estão exatamente em fase. O cos(0°)=1 então, 
 
 
 
 
 
 
 
ym 
ym 
2ym 
O gráfico desta onda resultante está esboçado a seguir. E 
observe que a amplitude da onda resultante é duas vezes a 
amplitude de cada onda que está interferindo. 
Esta é a maior 
amplitude que a onda 
resultante pode ter, 
pois o termo do 
cosseno tem valor 
máximo quando φ =0. 
INTERFERÊNCIA TOTALMENTE CONSTRUTIVA é a 
interferência que produz a maior amplitude possível. 
Se φ = π rad = 180º →as duas ondas que estão interferindo 
estão exatamente fora de fase. 
 cos[(½) φ] = cos (π /2) = 0 
e a amplitude da onda resultante é nula. 
 
 y‘(x,t) = 2ym cos (π /2) = 0 
 
 
 
 
INTERFERÊNCIA TOTALMENTE DESTRUTIVA é quando 
enviamos duas ondas ao longo da corda e não vemos nenhum 
movimento da corda 
 
Se φ = 2π rad = 360º →corresponde a uma onda em relação à 
outra onda de uma distância equivalente a um comprimento 
de onda. Desta forma a diferença de fase pode ser descrita 
tanto em termos de comprimento de onda quanto em termos 
de ângulos. 
 
Assim, diferença de fase podem ser descritas em termos 
de comprimento de onda quanto em termos de 
ângulos. 
 
INTERFERÊNCIA INTERMEDIÁRIA – é quando a 
interferência não é nem totalmente construtiva nem 
totalmente destrutiva. A amplitude a onda resultante está entre 
0 e 2ym. 
 
Duas ondas com mesmo comprimento de onda estão 
em fase se a sua diferença de fase for nula ou igual 
a qualquer número inteiro de comprimentos de 
onda. 
Desta forma, a parte inteira de qualquer diferença de 
fase expressa em comprimento de onda pode ser 
descartada. 
Exemplo: 
A diferença de fase de 0,2 comprimento de onda é 
equivalente em todos os aspectos a uma de 3,2 
comprimento de onda. 
Fasores 
 
Uma onda y(x,t) pode ser representada por um fasor. 
 
FASOR – é um vetor que possui módulo (intensidade) 
igual a amplitude ym da onda e que gira em torno de uma 
origem com uma velocidade angular igual a frequência 
angular ω da onda. A onda 
 
 y1(x,t) =ym1sen (kx- ωt) 
 
 
ym1 y1 
Representação da 
onda pelo fasor. 
 
 
 y1(x,t) =ym1sen (kx- ωt) 
 
 
A amplitude da onda, ym1, é a intensidade do fasor. 
Quando o fasor gira ao redor da origem a uma velocidade 
angular ω , a sua projeção y1 sobre o eixo vertical variasenoidalmente, de um máximo de ym1 passando por zero 
até um mínimo de –ym1 e volta a ym1. 
Esta variação corresponde à variação senoidal no 
deslocamento y1 de qualquer ponto ao longo da corda 
quando a onda passa por ele. 
ym1 y1 
Suponha duas ondas , y1(x,t) e y2(x,t), se propagando ao 
longo da mesma corda no mesmo sentido, podemos 
representá-las em um diagrama fasorial dadas por: 
 
y1(x,t) =ym1sen (kx- ωt) 
 
y2(x,t) =ym2sen (kx- ωt + φ) 
 
 
A segunda onda está defasada da primeira onda por uma 
constante de fase φ. 
Como os fasores giram à mesma velocidade angular ω, o 
ângulo entre os dois fasores é sempre φ. 
ym1 
y2 ym2 
y1 
Se 
φ > 0 → o fasor para a onda 2 estará atrasado em 
relação ao fasor para onda 1. 
φ < 0 → o fasor para a onda 2 estará avançado em 
relação ao fasor para onda 1. 
 
Como y1 e y2 possuem: 
 
→ O mesmo número de onda angular k. 
→ A mesma frequência angular ω. 
A equação resultante é dada por: 
 
y‘(x,t) = y’m sen (kx – ωt + β) 
 
ym → amplitude da onda resultante. 
β → constante de fase. 
Ondas Estacionárias 
Uma onda estacionária é produzida quando ocorre 
a interferência de duas ondas senoidais de mesma 
amplitude e mesmo comprimento de onda que se 
propagam em sentidos opostos ao longo de uma corda 
esticada. 
Ondas Estacionárias 
Suponha duas ondas de mesmo comprimento de 
onda e de mesma amplitude se propagando em 
sentidos opostos, uma para esquerda e outra para a 
direita. 
 
Aplicando o princípio da superposição, podemos 
observar que na onda resultante existem locais ao 
longo da corda que nunca se move, chamados de 
nós. E entre os nós adjacentes estão os antinós, 
onde a amplitude da onda resultante é máxima. 
Ondas Estacionárias 
A figura mostra o seguinte: 
a) Ondas se propagando para a esquerda; 
b) Ondas se propagando para a direita; 
c) Onda resultante (soma) aplicando graficamente o 
principio da superposição. 
 
Ondas Estacionárias 
Estes padrões de onda são chamados de ondas 
estacionárias porque os padrões de onda não se 
movem nem para direita nem para esquerda. E os 
locais de máximo e de mínimo não mudam. 
Ondas Estacionárias 
Sejam 
y1(x,t)= ym sen(kx-wt) 
y2(x,t)= ym sen(kx+wt) 
 
duas ondas que se propagam em sentidos opostos. 
Pelo principio da superposição, a onda resultante é 
dada por: 
y'(x,t)= y1(x,t)+y2(x,t)=ym sen(kx-wt)+ ym sen(kx+wt) 
 
Lembrando que: 
senα+senβ=2sen[½(α+β)]cos[ ½(α-β)] 
 
 
Ondas Estacionárias 
Seja 
α=kx – wt e β= kx+wt 
α+β=kx – wt + kx+wt=2kx 
α-β =kx – wt –( kx+wt)=kx – wt –kx-wt)=-2wt 
 
Então 
 
sen[½(α+β)]=sen[½(2kx)]=sen(kx) 
cos[ ½(α-β)]= cos[ ½(-2wt)]= cos(-wt)=cos(wt) 
 
Assim, 
y'(x,t)= 2 ym sen(kx)cos(wt) 
 
Ondas Estacionárias 
A equação 
 
y'(x,t)= 2 ym sen(kx)cos(wt) 
 
descreve uma onda estacionária. 
Onde, 
 y'(x,t)= 2 ym sen(kx)cos(wt) 
 
 
 
 
Como o valor do seno pode assumir valores negativos e 
positivos, e como a amplitude é sempre positiva, tomamos o 
valor absoluto da grandeza 2ymsen[½(kx)] como sendo a 
amplitude em x. 
Amplitude na 
posição 
Termo oscilatório Deslocamento 
Ondas Estacionárias 
Observe que em uma onda senoidal progressiva, a 
amplitude da onda é a mesma para todos os 
elementos de corda (para todos os pontos). O que não 
ocorre em uma onda estacionária, na qual o valor 
amplitude varia com a posição. 
Exemplo: A amplitude é nula para sen(kx)=0, ou seja, 
para valores: 
 
kx=nπ, para n=0, 1, 2,... 
 
Como k=(2 π)/λ, então 
kx=nπ → [(2 π)/λ]x=n → 2x = λn → x = nπ/2 
 
Ondas Estacionárias 
n=0, 1, 2, 3, .... 
A amplitude da onda estacionária possui um valor 
máximo de 2y, que ocorre para valores de kx que 
fazem com que |sen(kx)|=1. 
Posição dos nós 
n=0, 1, 2, 3, .... 
Ondas Estacionárias 
 
Como k=(2 π)/λ, então 
 
 → → 
 
 
 
 
 
 
Posição dos antinós 
Ondas Estacionárias 
Reflexão em um Contorno 
 
Podemos reproduzir uma onda estacionária em uma 
corda esticada permitindo que uma onda progressiva 
seja refletida na extremidade mais distante da corda 
de modo que ela se propague de volta para si mesma. 
A onda original incidente e a onda refletida podem ser 
descritas por: 
 
y1(x,t)= ym sen(kx-wt) 
y2(x,t)= ym sen(kx+wt) 
 
respectivamente. 
 
Ondas Estacionárias e Ressonância 
Considere uma corda que esteja esticada entre dois 
fixadores. Suponha que enviamos uma onda senoidal 
continua de uma certa frequência ao longo da corda 
para direita. 
 
Quando a onda atinge a extremidade ela se reflete e 
começa a se propagar de volta para a esquerda. 
 
Essa onda indo para a esquerda se sobrepõe então à 
onda que está se propagando para a direita. 
Ondas Estacionárias 
Quando a onda que está indo para esquerda atinge a 
outra extremidade, ela se reflete novamente e a onda 
que acabou de ser refletida começa a se propagar 
para a direita, se sobrepondo às ondas que estão indo 
para a esquerda e para a direita. 
 
Conclusão 
Em pouquíssimo tempo temos várias ondas progressivas 
se sobrepondo, que interferem umas com as outras. 
Ondas Estacionárias e Ressonância 
Para certas frequências, a 
interferência produz um padrão 
de ondas estacionárias com nós 
e grandes antinós. 
Podemos dizer que uma onda 
estacionária como esta é 
produzida na ressonância e 
que a corda ressoa nestas 
frequências particulares 
(frequências de ressonância). 
 
Ondas Estacionárias 
Se vibrarmos a corda em alguma outra frequência 
que não seja uma frequência de ressonância, não se 
produz uma onda estacionária. 
Desta forma, a interferência das ondas que se 
propagam para a direita com as que se propagam 
para a esquerda resulta em apenas pequenas 
oscilações da corda. 
Ondas Estacionárias e Ressonância 
Frequência de 
ressonância 
Ondas Estacionárias e Ressonância 
 
 
 
As frequências de ressonância são múltiplos inteiros 
da frequência de ressonância mais baixa. 
 para n=1 
 
Modo Fundamental ou Primeiro Harmônico- 
modo de oscilação com a frequência mais baixa 
(para n=1). 
Ondas Estacionárias e Ressonância 
Segundo Harmônico- modo de oscilação com n=2. 
 
Terceira Harmônico- modo de oscilação com n=3. 
 
As frequências associadas a estes modos são normalmente 
indicadas por: f1 , f2 , f3 e assim por diante. 
 
Serie Harmônica – conjunto de todos os modos de oscilação 
possíveis. 
 
n- número harmônico do enésimo harmônico. 
 
O fenômeno de ressonância é comum em todos os sistemas 
oscilantes e pode ocorrer em duas e três dimensões.