2. Subespaços Vetoriais

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A´lgebra Linear II
Subespac¸os Vetoriais
Exerc´ıcios
1. Defina subespac¸o vetorial.
2. Seja V um espac¸o vetorial. Mostre que:
(a) Se W1, . . . ,Wn sa˜o subespac¸os de V , enta˜o W1 ∩ . . . ∩Wn e´ um subespac¸o de V ;
(b) W1 ∪W2 e´ um subespac¸o de V se, e somente se, W1 ⊂W2 ou W1 ⊃W2;
(c) O conjunto W1 + W2 = {v ∈ V ; v = w1 + w2, w1 ∈W1, w2 ∈W2} e´ um subespac¸o de V .
Quando W1 ∩W2 = {0}, enta˜o W1 + W2 e´ chamado a soma direta de W1 com W2, denotado
por W1 ⊕W2.
3. Mostre que:
(a) As retas que passam pela origem sa˜o subespac¸os vetoriais do Rn;
(b) Os hiperplanos que passam pela origem sa˜o subespac¸os do Rn;
(c) Mostre que a soluc¸a˜o de um sistema linear homogeˆneo e´ um subespac¸o vetorial do Rn.
4. Quais dos conjuntos definidos abaixo sa˜o subespac¸os vetoriais? Justifique sua resposta.
(a) A = {(x, y, z, t) ∈ R4;x + y = 0, z − t = 0};
(b) B = {(x, y, z, t) ∈ R4; 2x + y − t = 0, z = 0};
(c) C = {(x, y, z) ∈ R3; z = 3x, x = 2y};
(d) D = {(x, y, z) ∈ R3;xy = 0};
(e) E = {(x, y) ∈ R2;x2 + 3x = y2 + 3y};
(f) O conjunto F ⊂ Rn dos vetores v = (x, 2x, . . . , nx), onde x ∈ R e´ arbitra´rio;
(g) O conjunto dos vetores de Rn cujas coordenadas formam uma progressa˜o aritme´tica;
(h) O conjunto dos vetores de Rn cujas coordenadas formam uma progressa˜o geome´trica;
(i) O conjunto dos vetores de Rn cujas coordenadas formam uma progressa˜o aritme´tica de
raza˜o fixada;
(j) O conjunto dos vetores de Rn cujas coordenadas formam uma progressa˜o geome´trica de
raza˜o fixada;
5. Considere M2×2(R) o espac¸o vetorial das matrizes reais. Quais dos subconjuntos de M2×2(R)
abaixo sa˜o subespac¸os vetoriais? Justifique sua resposta.
(a) O subconjunto das matrizes diagonais;
(b) O subconjunto das matrizes sime´tricas;
(c) O subconjunto das matrizes anti sime´tricas;
(d) O subconjunto das matrizes triangulares inferiores;
(e) O subconjunto das matrizes triangulares superiores;
(f) O subconjunto das matrizes invers´ıveis.
6. Seja F(R;R) o espac¸o vetorial das func¸o˜es reais de uma varia´vel. Quais dos subconjuntos de
F(R;R) abaixo sa˜o subespac¸os vetoriais? Justifique sua resposta.
(a) O subconjunto C0(R) das func¸o˜es cont´ınuas;
(b) O subconjunto D(R) das func¸o˜es deriva´veis.