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lista IV - Dependencia Linear, Independencia Linear e Base

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A´lgebra Linear II
Dependeˆncia Linear, Independeˆncia Linear e Base
Exerc´ıcios
1. Defina independeˆncia e dependeˆncia linear.
2. Mostre que u = (1, 2, 3), v = (4, 5, 6) e w = (7, 8, 9) em R3 sa˜o linearmente dependentes.
3. Mostre que u = (1, 1, 1), v = (1, 2, 1) e w = (2, 1, 2) sa˜o linearmente dependentes.
4. Mostre que as matrizes
(
1 1
0 0
)
,
(
1 0
0 1
)
e
(
1 1
1 1
)
sa˜o linearmente independentes.
5. Prove que os polinoˆmios p(x) = x3 − 5x2 + 1, q(x) = 2x4 + 5x − 6 e r(x) = x2 − 5x + 2 sa˜o
linearmente independentes.
6. No espac¸o P3 dos polinoˆmios de grau ≤ 3, verifique se os polinoˆmios p(x) = x3 − 3x2 + 5x+ 1,
q(x) = x3− x2 + 6x+ 2 e r(x) = x3− 7x2 + 4x sa˜o linearmente dependentes ou independentes.
7. Prove que {1, ex, e2x, e3x, e4x} e´ um conjunto linearmente independentes no espac¸o C∞(R).
(Sugesta˜o: Dada uma combinac¸a˜o linear nula, derive-a, depois divida por ex e prossiga.)
8. Defina base de um espac¸o vetorial.
9. Mostre que {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} e´ uma base de R3.
10. Mostre que as matrizes
(
1 0
0 0
)
,
(
0 1
0 0
)
,
(
0 0
1 0
)
e
(
0 0
0 1
)
constituem uma base de
M2×2(R).
11. Mostre que {1, x, x2x3} e´ uma base de P3.
12. Mostre que u = (1, 1, 1), v = (1, 2, 3) e w = (1, 4, 9) formam uma base de R3. Exprima cada
um dos vetores e1, e2, e3 da base canoˆnica de R3 como combinac¸a˜o linear de u, v e w.
13. Mostre que os polinoˆmios 1, x− 1 e x2− 3x+ 1 formam uma base de P2. Exprima o polinoˆmio
2x2 − 5x + 6 como combinac¸a˜o linear dos elementos dessa base.
14. Mostre que os vetores u = (1, 1) e u = (−1, 1) formam uma base de R2. Exprima cada um dos
vetores e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1) como combinac¸a˜o linear dos elementos dessa base.
15. Os polinoˆmios p1(x) = 1−x3, p2(x) = (1−x2), p3(x) = 1−x e p4(x) = 1 constituem uma base
de P3?

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