5. Transformações Lineares

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A´lgebra Linear II
Transformac¸o˜es Lineares
Exerc´ıcios
1. Defina Tranformac¸a˜o Linear.
2. Sejam V e W espac¸os vetoriais e T : V → W uma transformac¸a˜o linear. Mostre que T (0) = 0
e T (−v) = −T (v) para todo v ∈ V .
3. Quais das transformac¸o˜es abaixo sa˜o lineares? Justifique sua resposta.
(a) T : R→ R, T (x) = ax, onde a ∈ R;
(b) T : R2 → R, T (x, y) = x + y;
(c) T : R3 → R3, T (x, y, z) = (x, 2y, 0);
(d) T : R→ R3, T (x) = (x, 0);
(e) T : R4 → R3, T (x, y, z, w) = (x− w, y − w, x + z);
(f) T : M2×2(R)→ R, T (
(
a b
c d
)
) = a + d;
(g) T : M2×2(R)→M2×2(R), T (
(
a b
c d
)
) = ad− bd;
(h) T : M2×2(R)→ R4, T (
(
a b
c d
)
) = (a, b, c, d);
(i) T : M2×2(R)→ P3, T (
(
a b
c d
)
) = ax3 + bx2 + cx + d;
(j) T : P2 → P3, T (ax2 + bx + c) = ax3 + bx2 + cx.
4. Defina transformac¸a˜o linear injetiva, sobrejetiva e bijetiva.
5. Verifique quais das aplicac¸o˜es lineares da questa˜o 3 sa˜o injetivas, sobrejetivas e bijetivas.
6. Sejam V e W espac¸os vetoriais e T : V → W uma transformac¸a˜o linear. Defina o nu´cleo e a
imagem de T e mostre que ambos sa˜o subespac¸os de V e W respectivamente.
7. Encontre o nu´cleo e a imagem de cada uma das transformac¸o˜es lineares da questa˜o 3 e obtenha
bases para tais subespac¸os.
8. Sejam V e W espac¸os vetoriais e T : V →W uma transformac¸a˜o linear. Mostre que T e´ injetiva
se, e somente se, ker(T ) = 0.
9. Sejam V e W espac¸os vetoriais e T : V → W uma transformac¸a˜o linear. Mostre que T e´
injetiva se, e somente se, T leva vetores linearmente independentes em vetores linearmente
independentes.
10. Seja V um espac¸o vetorial de dimensa˜o finita n. Mostre que V e´ isomorfo ao Rn.
11. Enuncie e demonstre o Teorema do Nu´cleo e da Imagem.
12. Sejam V e W espac¸os vetoriais de mesma dimensa˜o finita n. Mostre que uma transformac¸a˜o
linear T : V →W e´ injetiva se, e somente se, e´ sobrejetiva e portanto um isomorfismo.
13. Sejam V e W espac¸os vetoriais, {v1, . . . , vn} uma base de V e w1, . . . , wn ∈ W . Mostre que
existe uma u´nica transformac¸a˜o linear T : V → W tal que T (v1) = w1, T (v2) = w2, . . .,
T (vn) = wn.
14. Encontre uma transformc¸a˜o linear T : R2 → R3 tal que T (1, 0) = (2,−1, 0) e T (0, 1) = (0, 0, 1).