IEC082-Aula01

Prévia do material em texto

Prof. Dr. Alexandre Passito 
passito@icomp.ufam.edu.br 
1 Parte do material cedido pelos Professores Fabíola Guerra/ Arilo – DCC/UFAM. 
}  Quem sou eu? 
◦  Alexandre Passito de Queiroz 
◦  Doutor em Informática 
◦  passito@icomp.ufam.edu.br 
}  Quem são vocês? 
◦  Nome? 
◦  Período? 
◦  Subárea que estão interessados? 
◦  Expectativas? 
2 
3 
O que é o Cálculo 
Numérico ? 
}  Conjunto de ferramentas ou métodos usados para se obter a 
solução de problemas matemáticos de forma aproximada. 
}  Esses métodos se aplicam principalmente a problemas que 
não apresentam uma solução exata, portanto precisam ser 
resolvidos numericamente. 
}  Metodologia de resolução de problemas matemáticos 
utilizando computadores. 
◦  Dada uma modelagem matemática para um dado problema, ele será 
resolvido por um método matemático descrito por um algoritmo. 
4 
5 
Exemplo: 
 
Circuito elétrico composto de uma fonte de tensão e 
um resistor. 
0=⋅− iRV
R
Vi = Solução exata 
Introdução de um diodo no circuito: 
( ) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+= 1ln
sI
i
q
kTiv 01ln =⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−⋅−
sI
i
q
kTiRV
Solução utilizando 
métodos numéricos 
V 
R 
i 
V 
R 
D i 
6 
Por que produzir 
resultados numéricos? 
1.  Um problema de Matemática pode ser resolvido 
analiticamente, mas esse método pode se tornar 
impraticável com o aumento do tamanho do 
problema. 
 
 Exemplo: solução de sistemas de equações lineares. 
7 
2.  A existência de problemas para os quais não existem 
métodos matemáticos para solução (não podem ser 
resolvidos analiticamente). 
 
 Exemplos: 
 
 a) não tem primitiva em forma simples; 
 
 b) não pode ser resolvido analiticamente; 
 
 c) equações diferenciais parciais não lineares podem ser 
resolvidas analiticamente só em casos particulares. 
8 
∫ dxex
2
22 tyy +=ʹ′
Solução numérica x Solução Analítica. 
• Pode ser calculada mesmo que não exista a solução 
analítica. 
• Nem sempre gera resultados exatos, mas pode ser obtida 
com grau crescente de exatidão. 
Solução Numérica 
• Resultados são dados em termos de funções matemáticas, o 
que gera resultados exatos. 
• Pode não existir. 
Solução Analítica 
9 
}  Os métodos numéricos buscam soluções aproximadas para 
as formulações matemáticas. 
}  Nos problemas reais, os dados são medidas e, como tais, não 
são exatos. Uma medida física não é um número, é um 
intervalo, pela própria imprecisão das medidas. Daí, trabalha-
se sempre com a figura do erro, inerente à própria medição. 
}  Os métodos aproximados buscam uma aproximação do que 
seria o valor exato. Dessa forma é inerente aos métodos se 
trabalhar com a figura da aproximação, do erro, do desvio. 
10 
Função do Cálculo Numérico na Engenharia 
 
 
 
“Buscar solucionar problemas técnicos através de 
métodos numéricos 
⇒ modelo matemático” 
11 
Análise do Resultados 
Solução Numérica 
Elaboração do Algoritmo Codificação do Programa Processamento do Programa 
Modelagem Matemática 
Definição do problema 
Etapas na resolução de um problema 
12 
Análise do Resultados 
Solução Numérica 
Elaboração do Algoritmo Codificação do Programa Processamento do Programa 
Modelagem Matemática 
Definição do problema 
Etapas na resolução de um problema 
13 
Influência dos Erros nas Soluções 
Exemplo 1: Falha no lançamento de mísseis 
(25/02/1991 – Guerra do Golfo – míssil Patriot) 
14 
}  Na noite de 25 de Fevereiro de 1991 o sistema 
de detecção de ataques inimigos falhou, não 
conseguindo intersectar um míssil Scud lançado 
pela Arábia Saudita. O míssil iraquiano matou 
28 militares americanos e feriu outros 98. 
}  Esta falha grave no sistema de defesa deveu-se 
a erro no radar do sistema Patriot e no software 
que o suportava, reduzindo-se no fim, a um 
erro de arredondamento no cálculo e na 
medição do tempo. 
Influência dos Erros nas Soluções 
Exemplo 1: Falha no lançamento de mísseis 
(25/02/1991 – Guerra do Golfo – míssil Patriot) 
15 
Erro de 0,34 s no cálculo do tempo de 
lançamento (ARREDONDAMENTO) 
Limitação na representação 
numérica (24 bits) 
Representação da velocidade do míssil 
atacante e do tempo em números reais 
Influência dos Erros nas Soluções 
 
Exemplo 2: Explosão de foguetes 
(04/06/1996 – Guiana Francesa – foguete Ariane 5) 
16 
Erro de trajetória 36,7 s 
após o lançamento 
Limitação na representação 
numérica (64 bits/ 16 bits) 
Prejuízo: U$ 7,5 bilhões 
 Aplicações de cálculo numérico na engenharia. 
 
}  Determinação de raízes de equações 
}  Interpolação de valores tabelados 
}  Integração numérica, entre outros. 
17 
}  Objetivos 
}  Ementa da Disciplina 
}  Metodologia, Técnicas de Ensino 
}  Recursos Didáticos 
}  Avaliação 
}  Configuração do Curso 
}  Bibliografia 
18 
}  Fornecer condições para que os alunos possam 
conhecer, calcular, utilizar e aplicar métodos numéricos 
na solução de problemas de engenharia. 
}  Estudar a construção de métodos numéricos, analisar 
em que condições se pode ter a garantia de que os 
resultados computados estão próximos dos exatos, 
baseados nos conhecimentos sobre os métodos. 
19 
}  Visão de Engenharia x de Matemática/Computação 
◦  Conceitos e entendimentos básicos de Calculo Numérico 
–  Exemplos de custos de “erros numéricos” 
–  Incrementação do perfil profissional 
◦  Noções de precisão e eficiência nas soluções 
◦  Introdução dos métodos tradicionais 
◦  Aplicação de ferramentas disponíveis 
20 
•  Motivação e Ferramenta de Suporte 
•  Representação binária de números inteiros e reais 
•  Representação de um número na base dois 
•  Conversão Decimal >> Binário 
•  Ponto fixo e ponto flutuante 
•   Forma normalizada 
•  Erro relativo máximo de um número em ponto 
flutuante 
•  Erros: Existência e Propagação 
•  Erro: existência 
•  Erro: propagação 
Módulo I – Computação Numérica 
Computação Numérica 
• Conceitos Fundamentais e Sistemas Triangulares 
• Método Direto 
• Método de Eliminação de GAUSS 
• Decomposição LU 
• Método de Jordan 
• Métodos Iterativos Estacionários 
• Análise de Erro na solução de sistemas 
Módulo II – Sistemas Lineares 
• Isolamento de Raízes 
• Método da Bisseção 
• Métodos baseados em aproximação linear 
• Métodos baseados em tangente 
• Comparação entre os métodos 
Módulo III - Raízes de Equações 
Computação Numérica 
•  Polinômios Interpoladores 
•  Polinômio de Lagrange 
•  Polinômio de Newton 
•  Polinômio de Gregory-Newton 
Módulo IV – Interpolação Polinomial 
•  Regressão Linear Simples 
•  Regressão Linear Múltipla 
•  Qualidade do Ajuste 
•  Interpolação x Regressão 
Módulo V – Ajuste de Curvas 
Computação Numérica 
• Fórmulas de Newton-Cotes 
• Quadratura de Gauss-Legendre 
Módulo VI – Integração Numérica 
• Método da Série de Taylor 
• Método de Euler 
• Métodos de Runge-Kutta 
• Sistema de equações de Primeira Ordem 
• Equação de Segunda Ordem 
• Condição de contorno 
Módulo VII - Resolução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias 
Computação Numérica 
§  Aulas Expositivas; 
§  Aulas Práticas em Laboratório (*); 
§  Seminários de Pesquisa; 
§  Atividades individuais e em grupo. 
(*) o aluno deve buscar isso durante a disciplina 
25 
}  Quadro branco; 
}  Retroprojetor, Datashow; 
}  Laboratório de Informática; 
}  Programas de Simulação (Matlab, Octave). 
26 
}  Contínua, mediante avaliações individuais; 
}  Trabalhos interativos de pesquisa extraclasse 
individual e em grupo; 
}  Avaliações em sala, individual eem grupo, 
em relação ao grau de comprometimento e 
participação do aluno. 
27 
}  2 provas parciais individuais (PP) 
}  2 listas de exercício (LE) 
}  1 seminário de pesquisa (SP) 
}  Participação do aluno em sala de aula (PS) 
◦  Trabalhos e exercícios passados em sala + participação 
durante as aulas 
}  1 prova final (PF) 
Computação Numérica 
}  Nota de cada PP 
◦  NPPX = (75% . PPX) + (25% . LEX) 
}  Média Parcial 
◦  MP = (NPP1+NPP2+SP+PS)/4 
 
}  Média Final 
◦  MF = (2xMP + PF)/3 
◦  Se o aluno tirar >=7,5 em MP pode optar por não fazer a PF 
}  APROVADO 
◦  (Presença >= 75%) E (Média Final >= 5) 
}  REPROVADO 
◦  Caso contrário 
Computação Numérica 
}  PP1 e LE1: Módulo I 
}  PP2 e LE2: Módulo II 
}  PF: Módulos I a IV (um pouco mais de ênfase 
nos módulos III e IV) 
Computação Numérica 
}  Módulo V: Ajuste de Curvas 
◦  Fundamentação e Aplicações 
◦  Métodos para ajuste de curvas 
}  Módulo VI – Integração Numérica 
◦  Métodos para integração numérica 
}  Módulo VII - Resolução Numérica de Equações 
Diferenciais Ordinárias 
◦  Métodos de resolução de equações diferenciais e ordinárias 
Computação Numérica 
}  cn-ufam.weebly.com 
 
}  https://www.facebook.com/groups/cnufam/ 
32 
}  Presença: 
◦   Regulamento da UFAM 
–  Aluno deve ter o mínimo de 75% de presença para 
 ser aprovado (Cap. VI, Art. 77). 
–  Nenhuma falta será abonada (Cap. VI, Art. 77). 
}  Celulares: 
◦  Desligado durante a aula, seminário e avaliações 
}  Provas: 
◦  Individuais 
}  Seminário: 
◦  Tema a ser sorteado entre os grupos 
33 
Ò  CAMPOS FILHO, F.F., Algoritmos Numéricos, 2ª 
Edição. LTC Editora (2007). 
Ò  BARROSO, L. C.; Barroso, M. M. de A; Campos Filho, F. 
F.; Carvalho, M. L. B. de; Maia, M. L., Cálculo 
Numérico (com aplicações), 2ª Edição. Editora Harbra 
(1987) 
Ò  RUGGIERO, Márcia A. Gomes e Vera Lúcia da Rocha 
Lopes, "Cálculo Numérico - Aspectos Teóricos e 
Práticos", Editora McGraw-Hill do Brasil Ltda, 1988. 
Computação Numérica