Cálculo (Volume 3)

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Cálculo (Volume 3)
Conteúdo
1 Capa 1
2 Sequências numéricas infinitas 2
2.1 Conceitos Iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 Evolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.3 Limites no infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3 Séries numéricas infinitas 4
3.1 Séries numéricas infinitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.1.1 Seqüência das somas parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.1.2 Série convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.1.3 Critério do termo geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.1.4 Teste da divergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.1.5 Séries geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.1.6 Propriedades de séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4 Série geométrica 6
4.1 Série Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4.1.1 Formalização matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4.2 Ver também . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
5 Séries de termos positivos 7
5.1 Séries de termos positivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5.1.1 Teste da integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5.1.2 Teste da comparação simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5.1.3 Teste da comparação por limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5.1.4 P-séries (Critério de Dirichelet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5.1.5 Teste da razão (Critério de d'Alembert) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5.1.6 Teste da raiz (Critério de Cauchy) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
6 Séries alternadas 8
6.1 Séries alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
6.1.1 Teste de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
6.1.2 Séries absolutamente convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
i
ii CONTEÚDO
6.1.3 Séries condicionalmente convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
6.1.4 Teste da razão para convergência absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
6.1.5 Teste da raiz para convergência absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
7 Aplicação de séries alternadas no cálculo numérico 9
7.1 Aplicação de séries alternadas no cálculo numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
8 Sequências e séries: Exercícios 10
9 Séries de potências 11
9.1 Séries de potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
10 Equações diferenciais primeira ordem 12
10.1 Fontes, contribuidores e licenças de texto e imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
10.1.1 Texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
10.1.2 Imagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
10.1.3 Licença . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Capítulo 1
Capa
1
Capítulo 2
Sequências numéricas infinitas
Wikiversidade - Disciplina: Cálculo IV
2.1 Conceitos Iniciais
Uma sequência pode ser entendida como um conjunto de
valores enumerados em uma ordem, de forma a estabe-
lecer uma lista. Esta lista é, usualmente, denotada como
an , genericamente devido ao fato de que cada elemento
pode ser identificado pela posição na lista. Temos, por
exemplo, a1, a2, a3, a4, · · · an , como uma representação
de uma sequência.
Vejamos alguns exemplos de sequências, notando que, a
princípio, não há uma regra clara para estabelecimento
de cada valor que os termos da mesma assumem:
{0, 1, 0, 3, 0, 5, 1, 7 · · · }{
1
3 ,
2
9 ,
3
27 · · ·
}{
pi
2 ,
3pi
2 ,
5pi
2 · · ·
}
Apesar de não haver uma exigência de que haja uma
equação que descreva o comportamento dos elementos de
uma sequência, as sequências que mantem uma relação
como regra para definição de sus termos são muito úteis
para o estudo do comportamento numérico. Demodo ge-
nérico, podemos dizer que o mais comum é estabelecer
uma relação do numero que designa o ítem da sequência
e o elemento. Por exemplo, podemos ter:
an =
n(n+1)
2
Esta sequência nos fornece para cada termo a somatória
dos números inteiros até o nésimo elemento da sequência.
A função sequência tem um gráfico onde os valores são
apresentados como pontos cuja magnitude é expressa em
y e o número do indice da sequência é expresso em x ,
vejamos o exemplo abaixo:
Podemos observar que os pontos representantes das am-
plitudes fazem com que o aspecto do gráfico de uma
sequência seja diferente do conjunto contínuo que nos
abituamos a observar em gráficos de funções. Enquanto
a função se mantém definida para R , a sequência define
valores em N∗ .
Observando o gráfico da sequência, vemos que a medida
que os números índice crescem as amplitudes se aproxi-
mam de um valor fixo em “y”. Esta característica torna-se
bastante útil para análise de tendências. Por este motivo
vamos analisar estas sequências com maior atenção.
2.2 Evolução
As sequências evoluem, dependendo do seu número se-
quencial n , de diversas formas. Esta evolução pode ser
classificada quando a equação da sequência é conhecida.
Podemos, nestes casos, verificar se a evolução da fórmula
leva a números em ordem crescente ou decrescente em
um intervalo ou durante sua evolução completa, do pri-
meiro elemento ao infinito.
Uma sequência é classificada como crescente quando,
para cada n , temos an < an+1 e decrescente quando
2
2.3. LIMITES NO INFINITO 3
an > an+1 . Este comportamento pode ser encontrado
em um trecho em particular da evolução, delimitado por
dois valores de n , ou em toda a evolução. Sob este con-
texto, uma sequência crescente ou decrescente pode ser
chamada de monotônica quando apresenta apenas um
dos comportamentos.
Vamos analisar a evolução da sequência: an = n+15n−2
a1 =
1+1
5(1)−2 =
2
3
a2 =
2+1
5(2)−2 =
3
8
a3 =
3+1
5(3)−2 =
4
12 =
1
3
a4 =
4+1
5(4)−2 =
5
18
a5 =
5+1
5(5)−2 =
6
23
ou seja, temos:
an =
{
2
3 ,
3
8 ,
1
3 ,
5
18 ,
6
23 , · · ·
}
Portanto, a sequência aparentemente indefinível algebri-
camente por uma expressão em função do índice, se mos-
tra redutível a uma equação. Estas séries redutíveis a
equações nos fornecem informações muito úteis, nos per-
mitindo encontrar relações e regras que podemos usar na
síntese de equações.
2.3 Limites no infinito
Temos sequências que se aproximam de valores quando
n tende a aumentar indefinidamente, ou seja, quando o
valor desta variável tende a infinito. Este comportamento
é similar ao encontrado quando analisamos funções que
tendem a valores quando levadas ao infinito. A única dife-
rença entre funções e sequências, quando analisadas sob
este aspecto, é o fato das sequências exigirem valores in-
teiros das variáveis, enquanto que funções admitem valo-
res reais para as mesmas.
Uma vez que temos a evolução de valores de sequências
similares a valores de funções, é plausível concluir que
limites em valores estritamente limitados a números in-
teiros possam levara análise de limites de forma seme-
lhante. Então vejamos como esta análise pode ser con-
duzida:
Conforme fizemos o estudo de limites no infinito no Vo-
lume 1, temos N como um número tomado sob a abs-
cissa inteira, ou seja, um número inteiro. Uma vez que
tomamos este número, façamos a sequência an evoluir a
números maiores e observamos que estes se aproximam
de um valor M , quanto mais alto seja N mais proximo
deM a sequência an se estabelece:
an > M sempre que n > N
Desta forma, os valores tomados para a sequência são in-
teiros e o número M tem a única obrigação de estar de-
finido para um valor N . Portanto, podemos arbitrar va-
lores cada vez maiores paraM dentro do limite estabele-
cido. Neste intervalo, qualquer valor de N inteiro leva a
valores que se aproximam deM por parte de an .
O fato de ser possível encontrar este limite nos reporta
a informação de convergência, ou seja dizemos que uma
sequência converge quando é possível encontar um limite
no infinito, caso contrário dizemos que a sequência di-
verge. Portanto, podemos classificar as sequências como
convergentes ou divergentes de acordo com a existência
do limite no infinito ou sua inexistência.
Encontremos o limite quanto n tende a infinito, para a
sequênca do exemplo acima:
limn→∞ an = limn→∞ n+15n−2 :
limn→∞ an = limn→∞ 1+
1
n
5− 2n
limn→∞ an = 15
Desta forma o resultado acima nos fornece a certeza de
que podemos arbitrar valores para a variável de forma a
conseguir a precisão que queiramos para a sequência e
que sempre teremos valores mais próximos deste limite a
medida que o valor da variável aumenta.
Capítulo 3
Séries numéricas infinitas
Wikiversidade - Disciplina: Cálculo IV
3.1 Séries numéricas infinitas
Quando temos que representar um número de forma li-
teral, por meio de equação infinita, podemos lançar mão
de um recurso interessante, a série. Ela consiste de uma
soma de parcelas literais significativas onde cada valor de
parcela é um valor sequencial. Podemos dizer que a série
é a somatória de uma sequência numérica simples, a qual
se torna uma nova sequência.
Definição: Seja {an} uma seqüência numérica. Chama-
mos de série numérica a soma descrita da seguinte forma:∑+∞
n=1 an = a1 + a2 + a3 + . . .+ an + . . .
Observemos que n , como termo livre, pode assumir o
valor que arbitremos, o que fornece um valor da série para
cada valor inteiro que arbitremos. Assim, se tivermos um
valor de série para cada n , temos uma nova seqUência
gerada pela série.
3.1.1 Seqüência das somas parciais
Seja∑ an uma série. Chamamos de seqüência das somas
parciais a seqüência Sn , onde
S1 = a1
S2 = a1 + a2 = S1 + a2
S3 = a1 + a2 + a3 = S2 + a3
...
Sn = a1 + a2 + . . .+ an = Sn−1 + an
3.1.2 Série convergente
Definição: Seja∑ an uma série e Sn a sua seqüência de
somas parciais.
• Se limn→∞ Sn = S, |S| < ∞ , a série é dita con-
vergente e tem soma S ;
• Caso contrário, a série diverge
Note que esta constataçào não é tão clara para muitas das
séries. Para estas, temos que recorrer a diversos recursos
de análise matemática, dentre os mais conhecidos temos
a indução.
3.1.3 Critério do termo geral
Se∑ an é uma série convergente, então limn→∞ an = 0
3.1.4 Teste da divergência
Se limn→∞ an 6= 0 , então a série
∑
an diverge.
3.1.5 Séries geométricas
São séries do tipo∑ a · rn−1 .
A série geométrica:
• Converge se e só se a = 0 ou |r| < 1 .
• Se a = 0 , então ∑ a · rn−1 = 0 (indepen-
dentemente do valor de r ). Se |r| < 1 , então∑
a · rn−1 = a1−r .
A prova é feita por indução. Façamos um ensaio parcial
da série, definindo as parcelas algebricamente:
Sn = a+ ar + ar
2 + · · ·+ arn−1
Se multiplicarmos a equação por r :
rSn = ar + ar
2 + · · ·+ arn−1 + arn
Subtraímos as duas equações acima e obtemos:
(1− r)Sn = a(1− rn)
Finalmente, temos rn = 0 se |r| < 1 e limn→∞Sn . O
que nos revela que a série converge para:
Sn =
a
1−r
4
3.1. SÉRIES NUMÉRICAS INFINITAS 5
3.1.6 Propriedades de séries
• Sejam∑ an e∑ bn duas séries convergentes. En-
tão∑(an ± bn) =∑ an ±∑ bn converge
• Se∑ an converge (diverge) e k 6= 0 , então∑ k ·
an = k
∑
an converge (respectivamente, diverge)
(se k = 0 , então∑ k · an = 0 converge)
• Se∑ an converge e∑ bn diverge, então∑(an ±
bn) diverge
• Sejam as séries∑ an e∑ bk tais que bk = an a par-
tir de algum n. Então ambas as séries têm o mesmo
comportamento.
Capítulo 4
Série geométrica
4.1 Série Geométrica
A série geométrica é uma sequência numérica muito im-
portante para a matemática e para o estudo do cálculo
já que a partir dela pode-se expressar várias funções em
séries de potência infinitas. Essa série também é chamada
de progressão geométrica ou simplesmente PG (veja al-
guns exemplos no livro de matemática elementar). Refe-
rências a esta série podem ser encontradas no trabalho de
Malthus e em várias formas da natureza como em conchas
de caracóis.
4.1.1 Formalização matemática
Termo geral
an = c · rn.
Onde c é uma constante qualquer.
Soma dos n primeiros termos:
Sn = c
∑n
k=0 r
k.
4.2 Ver também
•
AWikipédia tem mais sobre este assunto:
Série geométrica Wikipedia
6
Capítulo 5
Séries de termos positivos
Wikiversidade - Disciplina: Cálculo IV
5.1 Séries de termos positivos
∑
an; an > 0, ∀n
5.1.1 Teste da integral
Seja∑ an uma série de termos positivos. Seja f(x) uma
função positiva, contínua e decrescente para x ≥ 1 , e tal
que f(n) = an , para n ≥ 1 . Então a série
∑
an =∑
f(x) = f(1) + f(2) + . . . :
• Converge, se ∫ +∞
1
f(x) dx convergir;
• Diverge, se ∫ +∞
1
f(x) dx divergir.
5.1.2 Teste da comparação simples
Sejam ∑ an e ∑ bn , an, bn > 0 , tais que an ≥ bn .
Então:
• Se∑ an converge, então∑ bn converge
• Se∑ bn diverge, então∑ an diverge
5.1.3 Teste da comparação por limite
Sejam∑ an e∑ bn , an, bn > 0 , tais que an ≥ bn . Se:
• limn→∞ anbn = k, k 6= 0 , então as séries têm omesmo comportamento
• limn→∞ anbn = 0 , então a série
∑
an converge se a
série∑ bn converge
• limn→∞ anbn = +∞ , então a série
∑
an diverge se
a série∑ bn diverge
5.1.4 P-séries (Critério de Dirichelet)
Uma série do tipo∑ 1np converge se p > 1 e diverge se
p ≤ 1 . Essas séries são conhecidas como p-séries, e são
comumente usadas em testes de comparação.
5.1.5 Teste da razão (Critério de
d'Alembert)
Seja∑ an uma série, onde an > 0 . Então:
limn→∞ an+1an = k
• Se k < 1, a série converge
• Se k > 1, a série diverge
• Se k = 1, nada se pode concluir
5.1.6 Teste da raiz (Critério de Cauchy)
Seja∑ an uma série, onde an > 0 . Então:
limn→∞ n√an = k
• Se k < 1, a série converge
• Se k > 1, a série diverge
• Se k = 1, nada se pode concluir
7
Capítulo 6
Séries alternadas
Wikiversidade - Disciplina: Cálculo IV
6.1 Séries alternadas
São séries da forma:∑
(−1)n+1an = a1 − a2 + a3 − a4 + . . .
ou∑
(−1)nan = −a1 + a2 − a3 + a4 − . . .
6.1.1 Teste de Leibniz
Seja a série alternada ∑(−1)n+1an , an > 0 . Se
limn→∞ an = 0 e an > an+1,∀n , então a série con-
verge e a sua soma não ultrapassa o primeiro termo.
6.1.2 Séries absolutamente convergentes
Uma série numérica∑ an é absolutamente convergente
se a série dos módulos, ∑ |an| = |a1| + |a2| + . . . ,
converge.
Teorema: Se uma série numérica∑ an é absolutamente
convergente, então é convergente.
6.1.3 Séries condicionalmente convergen-
tes
Uma série ∑ an convergente, mas não absolutamente
convergente, é chamada de condicionalmente conver-
gente.
6.1.4 Teste da razão para convergência ab-
soluta
Seja∑(−1)nan uma série numérica. Então
limn→+∞
∣∣∣an+1an ∣∣∣ = k
• Se k < 1, a série converge
• Se k > 1, a série diverge
• Se k = 1, nada se pode concluir
6.1.5 Teste da raiz para convergência ab-
soluta
Seja∑(−1)nan uma série numérica. Então
limn→+∞ n
√|an| = k
• Se k < 1, a série converge
•Se k > 1, a série diverge
• Se k = 1, nada se pode concluir
8
Capítulo 7
Aplicação de séries alternadas no cálculo
numérico
Wikiversidade - Disciplina: Cálculo IV
7.1 Aplicação de séries alternadas
no cálculo numérico
Definição: Dada uma série ∑ an que converge, cuja
soma é S, a diferença entre S e a sua soma parcial de
ordem n é chamada de resto.
Notação: Rn = S − Sn
Teorema: Seja∑(−1)n+1an, an > 0, ∀an , uma série
alternada convergente. Então o módulo do erro, Rn , co-
metido ao aproximarmos a soma da série S pela soma
parcial Sn , é numericamente inferior ao elemento an+1
, ou seja, |Rn| < an+1
9
Capítulo 8
Sequências e séries: Exercícios
1. Suponha que a n-ésima soma parcial de uma série
seja dada por sn = 2− 13n .
a) Esta série converge? Em caso afirma-
tivo, para qual valor?
b) Qual é a fórmula do n-ésimo termo da
série?
2. Determine o valor para o qual as séries abaixo con-
vergem:
∞∑
n=0
3
4n
∞∑
n=1
(
2
e
)n
∞∑
n=2
1
n2 − n
∞∑
n=1
(−1)n2n−1
3n
3. Determine se as séries abaixo convergem ou diver-
gem:
∞∑
n=1
1
n2
∞∑
n=0
1
2n
∞∑
n=1
n
n2 + 1
∞∑
n=2
1
lnn
∞∑
n=0
n!
2n
∞∑
n=1
cospin
n
∞∑
n=3
(−1)n
n lnn− 1
4. Determine se as séries abaixo convergem condicio-
nalmente, convergem absolutamente ou divergem:
a)∑∞n=1 (−1)n√n
b)∑∞n=2 (−1)n lnnn
c)∑∞n=2 (−1)nn(lnn)2
d)∑∞n=1 (−1)n2nen−1
e)∑∞n=1 (−1)nsin2 n
f)∑∞n=1 (−1)nn!(2n)!
g)∑∞n=1 (−1)ne1/narctann
10
Capítulo 9
Séries de potências
Wikiversidade - Disciplina: Cálculo IV
9.1 Séries de potências
Uma série de potências é uma série do tipo∑∞n=0 an(x−
a)n = a0 + a1(x − a) + a2(x − a)2 + . . . (série de
potências de x− a ), em que a e an são constantes.
Observação: Note que não se trata de uma série numé-
rica. Uma série desse tipo pode convergir para alguns
valores de x e divergir para outros valores. Assim, faz
sentido falar em _domínio de convergência_, Dc , que é
o conjunto dos valores de x que tornam a série conver-
gente.
Teorema: Seja a série ∑∞n=0 an(x − a)n com raio de
convergência r , isto é, a série converge no intervalo
aberto (a−r, a+r) . Então, chamando∑∞n=0 an(x−a)n
de f(x) , temos:
• f(x) é contínua em (a− r, a+ r)
• ∃f ′(x) tal que f ′(x) =∑∞n=1 n · an(x− a)n−1
• ∃H(x) tal que H(x) =∫
(
∑∞
n=0 an(x− a)n) dx =
∑∞
n=0
an(x−a)n+1
n+1
Dica: Para determinar a soma de séries de potências, é
comum partir de uma das seguintes séries:∑∞
n=0 x
n = 11−x se |x| < 1∑∞
n=0
xn
n! = e
x
Através de processos como substituição de variáveis, mul-
tiplicação, integração e diferenciação, efetuados em am-
bos os membros da igualdade, é possível chegar à série
cuja soma queremos determinar.
11
Capítulo 10
Equações diferenciais primeira ordem
Uma equação diferencial de primeira ordem é uma equa-
ção em que as incógnitas são funções e essa equação en-
volve a primeira derivada da incógnita. Assim, podemos
definir uma equação diferencial de primeira ordem como:
F(t,y,y')=0
em que t é a variável independente, y é uma função de-
pendente de t e ao mesmo tempo a incógnita da equação
e y' é a primeira derivada de y.
Uma equação diferencial de primeira ordem pode ser
classificada também de acordo com o seu tipo (ordinária
ou parcial) e quanto a linearidade (linear ou não-linear).
Exemplo de equação diferencial de primeira ordem:
(t-3)y'+(5t+2)y+(2t²+t)=0
Esta é uma equação diferencial ordinária linear de pri-
meira ordem.
12
10.1. FONTES, CONTRIBUIDORES E LICENÇAS DE TEXTO E IMAGEM 13
10.1 Fontes, contribuidores e licenças de texto e imagem
10.1.1 Texto
• Cálculo (Volume 3)/Capa Fonte: https://pt.wikibooks.org/wiki/C%C3%A1lculo_(Volume_3)/Capa?oldid=260638 Contribuidores: Mar-
cos Antônio Nunes de Moura, Master, He7d3r, Thiago Marcel e Anónimo: 1
• Cálculo (Volume 3)/Sequências numéricas infinitas Fonte: https://pt.wikibooks.org/wiki/C%C3%A1lculo_(Volume_3)/Sequ%C3%
AAncias_num%C3%A9ricas_infinitas?oldid=244755 Contribuidores: Marcos Antônio Nunes de Moura e Abacaxi
• Cálculo (Volume 3)/Séries numéricas infinitas Fonte: https://pt.wikibooks.org/wiki/C%C3%A1lculo_(Volume_3)/S%C3%A9ries_
num%C3%A9ricas_infinitas?oldid=239157 Contribuidores: LeonardoG, Rodrigo Rocha~ptwikibooks, Jayme~ptwikibooks, Marcos
Antônio Nunes de Moura, Dante Cardoso Pinto de Almeida, Thiago, Master, He7d3r, He7d3r.bot e Anónimo: 5
• Cálculo (Volume 3)/Série geométrica Fonte: https://pt.wikibooks.org/wiki/C%C3%A1lculo_(Volume_3)/S%C3%A9rie_geom%C3%
A9trica?oldid=248317 Contribuidores: Marcos Antônio Nunes de Moura, Jorge Morais, Albmont, He7d3r, MGFE Júnior, Mateus Zanetti,
Abacaxi e Anónimo: 1
• Cálculo (Volume 3)/Séries de termos positivos Fonte: https://pt.wikibooks.org/wiki/C%C3%A1lculo_(Volume_3)/S%C3%A9ries_de_
termos_positivos?oldid=228616 Contribuidores: LeonardoG, Rodrigo Rocha~ptwikibooks, Marcos Antônio Nunes de Moura, Dante Car-
doso Pinto de Almeida, Thiago, He7d3r, He7d3r.bot e Anónimo: 3
• Cálculo (Volume 3)/Séries alternadas Fonte: https://pt.wikibooks.org/wiki/C%C3%A1lculo_(Volume_3)/S%C3%A9ries_alternadas?
oldid=212618 Contribuidores: LeonardoG, Rodrigo Rocha~ptwikibooks, Marcos Antônio Nunes de Moura, Dante Cardoso Pinto de Al-
meida, Thiago, He7d3r, He7d3r.bot e Anónimo: 3
• Cálculo (Volume 3)/Aplicação de séries alternadas no cálculo numérico Fonte: https://pt.wikibooks.org/wiki/C%C3%A1lculo_
(Volume_3)/Aplica%C3%A7%C3%A3o_de_s%C3%A9ries_alternadas_no_c%C3%A1lculo_num%C3%A9rico?oldid=212619 Contri-
buidores: LeonardoG, Rodrigo Rocha~ptwikibooks, Marcos Antônio Nunes de Moura, Dante Cardoso Pinto de Almeida, Thiago, He7d3r
e He7d3r.bot
• Cálculo (Volume 3)/Sequências e séries: Exercícios Fonte: https://pt.wikibooks.org/wiki/C%C3%A1lculo_(Volume_3)/Sequ%C3%
AAncias_e_s%C3%A9ries%3A_Exerc%C3%ADcios?oldid=291456 Contribuidores: Albmont, He7d3r.bot e Dcljr
• Cálculo (Volume 3)/Séries de potências Fonte: https://pt.wikibooks.org/wiki/C%C3%A1lculo_(Volume_3)/S%C3%A9ries_de_pot%
C3%AAncias?oldid=212620 Contribuidores: LeonardoG, Rodrigo Rocha~ptwikibooks, Marcos Antônio Nunes de Moura, Dante Cardoso
Pinto de Almeida, Andreamado~ptwikibooks, Thiago, Albmont, He7d3r e He7d3r.bot
• Cálculo (Volume 3)/Equações diferenciais primeira ordem Fonte: https://pt.wikibooks.org/wiki/C%C3%A1lculo_(Volume_3)/Equa%
C3%A7%C3%B5es_diferenciais_primeira_ordem?oldid=243894 Contribuidores: Abacaxi e Anónimo: 1
10.1.2 Imagens
• Ficheiro:Merge-arrows.svg Fonte: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/52/Merge-arrows.svg Licença: Public domain
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10.1.3 Licença
• Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0
	Capa
	Sequências numéricas infinitas
	Conceitos Iniciais
	Evolução 
	Limites no infinito 
	Séries numéricas infinitas
	Séries numéricas infinitas
	Seqüência das somas parciais
	Sérieconvergente
	Critério do termo geral
	Teste da divergência
	Séries geométricas
	Propriedades de séries
	Série geométrica
	Série Geométrica 
	Formalização matemática 
	Ver também 
	Séries de termos positivos
	Séries de termos positivos
	Teste da integral
	Teste da comparação simples
	Teste da comparação por limite
	P-séries (Critério de Dirichelet)
	Teste da razão (Critério de d'Alembert)
	Teste da raiz (Critério de Cauchy)
	Séries alternadas
	Séries alternadas
	Teste de Leibniz
	Séries absolutamente convergentes
	Séries condicionalmente convergentes
	Teste da razão para convergência absoluta
	Teste da raiz para convergência absoluta
	Aplicação de séries alternadas no cálculo numérico
	Aplicação de séries alternadas no cálculo numérico
	Sequências e séries: Exercícios
	Séries de potências
	Séries de potências
	Equações diferenciais primeira ordem
	Fontes, contribuidores e licenças de texto e imagem
	Texto
	Imagens
	Licença