Séries Numéricas

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Universidade Federal do Rio Grande - FURG
Instituto de Matemática, Estatística e Física - IMEF
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Séries Numéricas e de Funções
NOTAS DE AULA - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
André Meneghetti
(andre.imef@gmail.com)
(www.sites.google.com/site/andreimef)
(última atualização: 10 de Novembro de 2014)
ii
Conteúdo
1 Sequências numéricas 1
1.1 Definição de sequências numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Sequências vistas como funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Convergência de sequências numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Séries numéricas 9
2.1 Definição de séries numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Convergência de séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Séries especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.1 Série Geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.2 Série Harmônica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 Testes para séries numéricas 25
3.1 Teste da divergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Teste da comparação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3 Teste da integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.4 Teste da p-séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.5 Teste da razão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.6 Teste da raíz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.7 Teste da comparação dos limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.8 Teste da série alternada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.9 Teste da razão para convergência absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.10 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4 Série de potências 57
4.1 Definição de série de potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2 Intervalo de convergência e raio de convergência . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.4 Série de Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.5 Polinômios de Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.6 Interpretação gráfica dos polinômios de Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . 80
4.7 Derivando e integrando séries de potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.8 Séries de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.9 Polinômios de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.10 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5 Breve revisão de algumas funções 101
5.1 Função ímpar e função par . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.2 Função periódica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
iii
6 Série de Fourier 109
6.1 Séries de Fourier vistas informalmente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.2 Teorema de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.3 Exemplos de Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
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Prof. André Meneghetti 1 SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS
1 Sequências numéricas
1.1 Definição de sequências numéricas
Uma sequência numérica, ou simplesmente, uma sequência é uma sucessão interminável
de números, chamados termos.
São exemplos de sequências numéricas:
a) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, . . .
b) 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, . . .
c) 1,
1
2
,
1
3
,
1
4
,
1
5
,
1
6
,
1
7
,
1
8
, . . .
d) 1,−1, 1,−1, 1,−1, 1,−1, . . .
Qualquer lista infinita de números constitui uma sequência numérica, porém estaremos
interessados em estudar aquelas que seus termos estão relacionados.
a) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, . . . , n, . . .
b) 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, . . . , 2n, . . .
c) 1,
1
2
,
1
3
,
1
4
,
1
5
,
1
6
,
1
7
,
1
8
, . . . ,
1
n
, . . .
d) 1,−1, 1,−1, 1,−1, 1,−1, . . . , (−1)n, . . .
Note que em cada sequência existe uma relação entre os termos. Dizemos que os ter-
mos estão relacionados pelo termo geral. Os exemplos acima justificam a nomenclatura.
Notação: Muitas vezes é usada uma notação especial, envolvendo o termo geral, para
tornar a notação mais compacta. Vejamos como ficam os exemplos já citados:
a) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, . . . , n, . . . = {n}∞n=1
b) 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, . . . , 2n, . . . = {2n}∞n=1
c) 1,
1
2
,
1
3
,
1
4
,
1
5
,
1
6
,
1
7
,
1
8
, . . . ,
1
n
, . . . =
{
1
n
}∞
n=1
d) 1,−1, 1,−1, 1,−1, 1,−1, . . . , (−1)n, . . . = {(−1)n+1}∞
n=1
1
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Prof. André Meneghetti 1 SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS
1.2 Sequências vistas como funções
Uma maneira interessante de entender sequência é defini-las com funções, cujo o domínio
é N = {1, 2, 3, ....} e o valor da função é dado
pelo termo geral da série. Assim definida,
a sequência passa a ser a imagem da função.
Exemplo 1.2.1. A sequência 1, 2, 3, 4, . . . , n, . . . = {n}∞n=1
pode ser associada a função f(n) = n no qual n ∈ N.
5 10 15 20
n
5
10
15
20
n
Exemplo 1.2.2. A sequência 2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . = {2n}∞n=1
pode ser associada a função f(n) = 2n no qual n ∈ N.
5 10 15 20
n
10
20
30
40
2 n
2
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Prof. André Meneghetti 1 SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS
Exemplo 1.2.3. A sequência 1,
1
2
,
1
3
,
1
4
, . . . ,
1
n
, . . . =
{
1
n
}∞
n=1
pode ser associada a função f(n) =
1
n
no qual n ∈ N.
5 10 15 20
n
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
1
n
Exemplo 1.2.4. A sequência 1,−1, 1,−1, . . . , (−1)n, . . . = {(−1)n+1}∞
n=1
pode ser associada a função f(n) = (−1)n+1 no qual n ∈ N.
2 4 6 8 10 12 14
n
-1.0
-0.5
0.5
1.0
H-1Ln+1
3
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Prof. André Meneghetti 1 SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS
1.3 Convergência de sequências numéricas
Considere a sequêcia
a1, a2, a3, a4, a5, . . .
e o limite do termo geral lim
n→∞ an. Se
• lim
n→∞ an = número então dizemos que a sequência {an}
∞
n=1 converge;
• lim
n→∞ an 6= número então dizemos que a sequência {an}
∞
n=1 diverge.
Exemplo 1.3.1. Considere a sequência{
1
n
}∞
n=1
= 1,
1
2
,
1
3
,
1
4
, . . . ,
1
n
, . . .
Como o limite do termo geral tende a zero, isso é, como
lim
n→∞
1
n
= 0
então a sequência de números converge para zero, ou simplesmente, a sequêcia converge.
10 20 30 40 50
n
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
1
n
4
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-
IM
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-
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R
G
-
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-
FU
R
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-
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R
G
-
IM
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-
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Prof. André Meneghetti 1 SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS
Exemplo 1.3.2. Veja agora a sequência
1,−1, 1,−1, . . . , (−1)n, . . . = {(−1)n}∞n=0
Note que o limite limn→∞(−1)n simplesmente não existe. Logo dizemos que essa
sequência de números diverge, ou simplesmente, a sequência diverge.
Isso é,
@ lim
n→∞(−1)
n =⇒ {(−1)n}∞n=0 diverge
2 4 6 8 10 12 14
n
-1.0
-0.5
0.5
1.0
H-1Ln+1
Exemplo 1.3.3. Analogamente ao exemplo anterior, a sequência
2, 4, 8, 16, 32, . . . , 2n, . . . = {2n}∞n=1
também diverge, pois @ lim
n→∞(2n).
5 10 15 20
n
10
20
30
40
2 n
5
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
Prof. André Meneghetti 1 SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS
Exemplo 1.3.4. Verifique se a sequêcia
{
n
2n+ 1
}∞
n=1
converge ou diverge.
Resolução:
lim
n→∞
n
2n+ 1
=
1
2
, portanto a sequência converge.
5 10 15 20 25 30
n
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
n
2 n+1
Exemplo 1.3.5. Verifique se a sequêcia
{
(−1)nn
2n+ 1
}∞
n=1
converge ou diverge.
Resolução:
lim
n→∞
(−1)nn
2n+ 1
não existe, portanto a sequência diverge.
5 10 15 20 25 30
n
-0.4
-0.2
0.2
0.4
H-1Ln n
2 n+1
6
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
Prof. André Meneghetti 1 SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS
1.4 Exercícios
◦ Exercício 1. Em cada parte, ache a fórmula para o termo geral da sequência, come-
çando com n = 1.
a) 1,
1
3
,
1
9
,
1
27
, . . .
b) 1,−1
3
,
1
9
,− 1
27
, . . .
c)
1
2
,
3
4
,
5
6
,
7
8
, . . .
d)
1√
pi
,
4
3
√
pi
,
9
4
√
pi
,
16
5
√
pi
, . . .
◦ Exercício 2. Em cada item encontre o termo geral da sequência e escreve a sequência
forma compacta com índice começando em n = 0.
a) 1,−r, r2,−r3, . . . b) r,−r2, r3,−r4, . . .
◦ Exercício 3. Em cada item reescreve a sequência exibindo os cinco primeiros termos.
Logo após verifique se a sequência é convergente ou diverge, caso seja convergente calcule
qual é o valor para o qual ela converge.
a)
{
n
n+ 2
}∞
n=1
b) {2}∞n=1
c)
{
lnn
n
}∞
n=1
d) {1 + (−1)n}∞n=1
e)
{
(−1)n 2n
3
n3 + 1
}∞
n=1
f)
{
(n+ 1)(n+ 2)
2n2
}∞
n=1
g)
{
cos
(
3
n
)}∞
n=1
h)
{
n2e−n
}∞
n=1
i)
{(
n+ 3
n+ 1
)n}∞
n=1
◦ Exercício 4. Dadas as sequências abaixo as reescreva em formato compacto começando
com n = 1.
a)
1
2
,
3
4
,
5
6
,
7
8
, . . .
b)
1
3
,
1
9
,
1
27
,
1
81
, . . .
c)
(
1− 1
2
)
,
(
1
2
− 1
3
)
,
(
1
3
− 1
4
)
,
(
1
4
− 1
5
)
, . . .
d)
(√
2−
√
3
)
,
(√
3−
√
4
)
,
(√
4−
√
5
)
, . . .
7
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
Prof. André Meneghetti 1 SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS
RESPOSTAS
Exercício 1)
a)
1
3n−1 b)
(−1)n+1
3n−1
c)
2n− 1
2n d)
n2
pi1/(n+1)
Exercício 2)
a) {(−r)n}∞n=0 b)
{
(−1)n (r)n+1
}∞
n=0
Exercício 3)
a)
1
3
,
2
4
,
3
5
,
4
6
,
5
7
, . . .; converge, lim
n→∞
n
n+ 2
= 1
b) 2, 2, 2, 2, 2, . . .; converge, lim
n→∞ 2 = 2
c)
ln(1)
1
,
ln(2)
2
,
ln(3)
3
,
ln(4)
4
,
ln(5)
5
, . . .; converge, lim
n→∞
ln(n)
n
= 0
d) 0, 2, 0, 2, 0 . . .; diverge
e) −1, 16
9
,−54
28
,
128
65
,−250
126
, . . .; diverge
f)
6
2
,
12
8
,
20
18
,
30
32
,
42
50
, . . .; converge, lim
n→∞
1
2
(
1 +
1
n
)(
1 +
2
n
)
=
1
2
g) cos
(
3
1
)
, cos
(
3
2
)
, cos
(
3
3
)
, cos
(
3
4
)
, cos
(
3
5
)
, . . .; converge, lim
n→∞ cos
(
3
n
)
= 1
h) e−1, 4e−2, 9e−3, 16e−4, 25e−5, . . .; converge, lim
n→∞n
2e−n = 0
i) 2,
(
5
3
)2
,
(
6
4
)3
,
(
7
5
)4
,
(
8
6
)5
, . . .; converge, lim
n→∞
[
n+ 3
n+ 1
]
= e2
Exercício 4)
a)
{
2n− 1
2n
}∞
n=1
b)
{
1
3n
}∞
n=1
c)
{
1
n
− 1
n+ 1
}∞
n=1
d)
{√
n+ 1−√n+ 2}∞
n=1
8
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
Prof. André Meneghetti 2 SÉRIES NUMÉRICAS
2 Séries numéricas
2.1 Definição de séries numéricas
Uma série numérica, ou simplesmente série, é uma soma que envolve infinitos termos.
São exemplos de séries:
a) 1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
+ · · ·
b) 1 + 2 + 3 + 4 + · · ·
c) 1− 1 + 1− 1 + 1− · · ·
d) 1 +
1
2
+
1
3
+
1
4
+ · · ·
Assim como nas sequências, estaremos interessados nas séries em que os termos possuem
alguma relação, isso é, aqueles que possuem termo geral.
a) 1 +
1
2
+
1
4
+ · · ·+ 1
2n
+ · · · =
∞∑
n=0
1
2n
b) 1 + 2 + 3 + · · ·+ n+ · · · =
∞∑
n=1
n
c) 1− 1 + 1 + · · ·+ (−1)n+1 + · · · =
∞∑
n=1
(−1)n+1
d) 1 +
1
2
+
1
3
+ · · ·+ 1
n
+ · · · =
∞∑
n=1
1
n
Definição 2.1. A notação
∑∞
n=0 an significa o limite das somas parciais. Mais precisa-
mente
∞∑
n=0
an = lim
N→∞
N∑
n=0
an (1)
9
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
Prof. André Meneghetti 2 SÉRIES NUMÉRICAS
2.2 Convergência de séries
Definição 2.2. Dado a série numérica
∞∑
n=0
an = a0 + a1 + a2 + a3 + · · ·
dizemos que:
• a série converge se o limite lim
N→∞
N∑
n=0
an existe;
• a série diverge se o limite lim
N→∞
N∑
n=0
an não existe.
Exemplo 2.2.1. A série
∞∑
n=1
n2 = 1 + 4 + 9 + 16 + · · ·
diverge, pois
∞∑
n=1
n2 = lim
N→∞
N∑
n=1
n2 = 12 + 22 + 32 + 42 + · · · =∞
Logo,
∞∑
n=1
n2 diverge.
Exemplo 2.2.2. A série
∞∑
n=1
(−1)n+1 = 1− 1 + 1− 1 + · · ·
diverge, pois não existe o limite lim
N→∞
N∑
n=1
(−1)n+1.
10
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
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-
FU
R
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-
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E
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-
FU
R
G
-
Prof. André Meneghetti 2 SÉRIES NUMÉRICAS
Exemplo 2.2.3. Dizemos que a série
∞∑
n=0
1
2n
= 1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+ · · ·
converge, pois
0∑
n=0
1
2n
= 1
2∑
n=0
1
2n
= 1 +
1
2
+
1
4
= 1.75
3∑
n=0
1
2n
= 1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
= 1.9375 · · ·
Vemos que as somas parciais estão cada vez mais próximas de 2, mais precisamente,
quanto maior o número de termos somados melhor é a aproximação.
Ou seja, é possível mostrar que
N∑
n=0
1
2n
= 1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
+ · · ·+ 1
2N
≈ 2.
Além disso, também é verdade que a soma da série é exatamente 2.
∞∑
n=0
1
2n
= lim
N→∞
N∑
n=0
1
2n
= 1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
+ · · · = 2
Logo, argumentamos da seguinte forma:
Como
lim
N→∞
N∑
n=0
1
2n
= 2
então
lim
N→∞
N∑
n=0
1
2n
existe, logo
∞∑
n=0
1
2n
converge.
11
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E
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-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
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R
G
-
Prof. André Meneghetti 2 SÉRIES NUMÉRICAS
Exemplo 2.2.4. Verifique se a série
∞∑
n=1
(
1
n
− 1
n+ 1
)
converge ou diverge.
Resolução:
Note que
N∑
n=1
(
1
n
− 1
n+ 1
)
= 1− 1
2
+
1
2
− 1
3
+ · · ·+ 1
N
− 1
N + 1
.
Simplificando temos:
N∑
n=1
(
1
n
− 1
n+ 1
)
= 1
�
��−1
2�
��+
1
2�
��−1
3
+ · · ·
�
��+
1
N
− 1
N + 1
logo,
N∑
n=1
(
1
n
− 1
n+ 1
)
= 1− 1
N + 1
.
Portanto
∞∑
n=1
(
1
n
− 1
n+ 1
)
= lim
N→∞
N∑
n=1
(
1
n
− 1
n+ 1
)
= 1,
ou seja,
∞∑
n=1
(
1
n
− 1
n+ 1
)
= 1
A série converge.
12
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-
FU
R
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Prof. André Meneghetti 2 SÉRIES NUMÉRICAS
Exemplo 2.2.5. Verifique se a série
∞∑
n=1
(
n20 − (n+ 1)20) converge ou diverge.
Resolução:
Analogamente ao exemplo anterior, temos
N∑
n=1
(
n20 − (n+ 1)20) = 120���−220���+220���−320���+320���−420 + · · ·���+N20 − (N + 1)20 .
Isso é,
N∑
n=1
(
n20 − (n+ 1)20) = 1− (N + 1)20 .
Como
∞∑
n=1
(
n20 − (n+ 1)20) = lim
N→∞
N∑
n=1
(
n20 − (n+ 1)20) = lim
N→∞
1− (N + 1)20 = −∞,
então
∞∑
n=1
(
n20 − (n+ 1)20) = −∞.
Portanto, a série diverge.
13
IM
E
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-
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-
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Prof. André Meneghetti 2 SÉRIES NUMÉRICAS
2.3 Séries especiais
No estudo de séries numéricas existem duas séries que merecem destaque:
• Séries Geométricas
• Séries Harmônicas
2.3.1 Série Geométricas
São aqueles que cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por um número r,
chamado de razão.
a+ ar + ar2 + ar3 + · · · =
∞∑
n=0
arn
Convergência da Série Geométrica
Se r é razão de uma série geométrica, então temos a seguinte propriedade:
• se |r| ≥ 1 a série diverge;
• se |r| < 1 a série converge e sua soma é dada pela formula.
Além disso, quando |r| < 1, temos que
∞∑
n=0
a.rn =
a
1− r (2)
14
IM
E
F
-
FU
R
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-
IM
E
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-
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-
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R
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-
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E
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-
FU
R
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-
Prof. André Meneghetti 2 SÉRIES NUMÉRICAS
Provando a Fórmula (2)
Prova:
Uma série geométrica, assim como outro qualquer, converge se
∞∑
n=0
arn = lim
N→∞
N∑
n=0
arn = L,
no qual L ∈ R.
Considere as seguintes relações
N∑
n=0
arn = a+ ar + ar2 + · · ·+ arN−1 + arN (3)
Multiplicando ambos os lados da igualdade por r, obtemos
r
N∑
n=0
arn = ar + ar2 + · · ·+ arN−1 + arN+1 (4)
Agora, subtraindo (4)-(3) obtemos
N∑
n=0
arn − r
N∑
n=0
arn = a− arN+1 =⇒
(1− r)
N∑
n=0
arn = a− arN+1 =⇒
N∑
n=0
arn =
a− arN+1
1− r
Portanto,
∞∑
n=0
arn = lim
N→∞
N∑
n=0
arn = lim
N→∞
a− arN+1
1− r
Agora é fácil ver que se |r| > 1
N∑
n=0
arn = lim
N→∞
a− arN+1
1− r = ±∞
e que se |r| < 1
N∑
n=0
arn = lim
N→∞
a− arN+1
1− r =
a
1− r .
�
15
IM
E
F
-
FU
R
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-
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-
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-
Prof. André Meneghetti 2 SÉRIES NUMÉRICAS
Exemplo 2.3.1. A série
∞∑
n=0
(−2
5
)n
= 1− 2
5
+
22
52
− 2
3
53
+ · · ·
é uma série geométrica de razão r = −25 .
Como |r| = 25 < 1 a série converge e sabemos qual é a soma:
∞∑
n=0
(−2
5
)n
=
1
1− (−25) = 57
Exemplo 2.3.2. A série
∞∑
n=1
(
3
2
)n
=
3
2
+
(
3
2
)2
+
(
3
2
)3
+ · · ·
é uma série geométrica de razão r = 32 .
Como |r| = 32 ≥ 1 a série diverge.
2.3.2 Série Harmônica
A série harmônica é definida por
∞∑
n=1
1
n
= 1 +
1
2
+
1
3
+
1
4
+ · · · (5)
16
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-
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Prof. André Meneghetti 2 SÉRIES NUMÉRICAS
Proposição 2.1. A série Harmônica (5) diverge.
Prova:
∞∑
n=1
1
n
= 1 +
1
2
+
1
3
+
1
4
+ · · · =
1 +
1
2
+
(
1
3
+
1
4
)
+
(
1
5
+
1
6
+
1
7
+
1
8
)
+
(
1
9
+
1
10
+
1
11
+ · · ·
)
>
1 +
1
2
+
(
1
4
+
1
4
)
+
(
1
8
+
1
8
+
1
8
+
1
8
)
+
(
1
16
+
1
16
+
1
16
+ · · ·
)
=
1 +
1
2
+
1
2
+
1
2
+
1
2
+ · · ·
isso é
∞∑
n=1
1
n
> 1 + 1
2
+
1
2
+
1
2
+
1
2
+ · · · =∞
Logo a série harmônica diverge.
�
Exemplo 2.3.3. Verifique se a série
∞∑
n=1
4n+2
7n−1
converge ou diverge.
Resolução:
Essa série é geométrica. Vamos reescreve-la para melhor identifica-la
∞∑
n=1
4n+2
7n−1
=
∞∑
n=1
(
42
7−1
)(
4n
7n
)
= (42)(7)
∞∑
n=1
(
4
7
)n
.
A série geométrica possui razão r = 47 . Como |r| = 47 < 1, então a série converge e, além
disso, sabemos que a soma é
(42)(7)
∞∑
n=1
(
4
7
)n
= (42)(7)
4
7
1− 47
= (42)(7)
(
4
7
)(
3
7
) = (42)(7)(4
3
)
=
448
3
.
17
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
Prof. André Meneghetti 2 SÉRIES NUMÉRICAS
A seguir alguns exemplos que ajudarão na resolução dos exercícios propostos.
Exemplo 2.3.4. Verifique se a série
∞∑
n=1
1
(n+ 2) (n+ 3)
converge ou diverge.
Resolução:
Lembre que
∞∑
n=1
1
(n+ 2) (n+ 3)
= lim
N→∞
N∑
n=1
1
(n+ 2) (n+ 3)
.
Usando frações parciais temos que
1
(n+ 2) (n+ 3)
=
(
1
n+ 2
− 1
n+ 3
)
.
Isso é
∞∑
n=1
1
(n+ 2) (n+ 3)
= lim
N→∞
N∑
n=1
(
1
n+ 2
− 1
n+ 3
)
Logo
∞∑
n=1
1
(n+ 2) (n+ 3)
= lim
N→∞
(
1
3
−
�
��
1
4
+
�
��
1
4
−
�
��
1
5
+
�
��
1
5
−
�
��
1
6
+ · · ·+
�
�
��1
N + 2
− 1
N + 3
)
∞∑
n=1
1
(n+ 2) (n+ 3)
= lim
N→∞
(
1
3
− 1
N + 3
)
=
1
3
.
Logo a série converge.
18
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
Prof. André Meneghetti 2 SÉRIES NUMÉRICAS
Exemplo 2.3.5. Reescreva 5, 373737 . . . na forma de fração.
Resolução:
5, 373737 . . . = 5 + 0, 37 + 0, 0037 + 0, 000037 + . . .
5, 373737 . . . = 5 +
37
100
+
37
(100)2
+
37
(100)3
+ · · ·
5, 373737 . . . = 5 +
37
100
(
1 +
1
100
+
1
(100)2
+
1
(100)3
+ · · ·
)
5, 373737 . . . = 5 +
37
100
(
1
1− 1100
)
5, 373737 . . . = 5 +
37
��100
.
��100
99
5, 373737 . . . = 5 +
37
99
=
532
99
19
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
Prof. André Meneghetti 2 SÉRIES NUMÉRICAS
Exemplo 2.3.6. Para que valores de x a série
1
x2
+
2
x3
+
4
x4
+
8
x5
+ · · ·
converge?
Resolução:
1
x2
+
2
x3
+
4
x4
+
8
x5
+ · · · =
20
x2
+
21
x3
+
22
x4
+
23
x5
+ · · · =
1
22
[
22
x2
+
23
x3
+
24
x4
+ · · ·
]
=
1
4
.
22
x2
[
1 +
2
x
+
22
x2
+
23
x3
+ · · ·
]
=
1
x2
[
1 +
(
2
x
)
+
(
2
x
)2
+
(
2
x
)3
+ · · ·
]
Note que temos uma série geométrica de razão r = 2x . Portanto a série converge quando
|r| = 2|x| < 1, ou equivalentemente, quando
x ∈ (−∞,−2) ∪ (2,∞).
20
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
Prof. André Meneghetti 2 SÉRIES NUMÉRICAS
Exemplo 2.3.7. Calcule o valor da série
1
1.3
+
1
2.4
+
1
3.5
+ · · ·
Resolução:
1
1.3
+
1
2.4
+
1
3.5
+ · · · =
∞∑
n=1
[
1
(2n− 1) (2n+ 1) +
1
2n(2n+ 2)
]
=
lim
N→∞
N∑
n=1
[
1
(2n− 1) (2n+ 1) +
1
2n(2n+ 2)
]
=
lim
N→∞
N∑
n=1
(
1
2
2n− 1 +
−12
2n+ 1
+
1
2
2n
+
−12
2n+ 2
)
=
lim
N→∞
(
1
2
−
�
�1
6
+
1
4
−
�
�1
8
+
�
�1
6
−
�
�1
10
+
�
�1
8
−
�
�1
12
+ · · ·+
�
�
��1
4N − 2 −
1
4N + 2
+
�
�1
4N
− 1
4N + 4
)
=
3
4
Portanto,
1
1.3
+
1
2.4
+
1
3.5
+ · · · = 3
4
21
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
Prof. André Meneghetti 2 SÉRIES NUMÉRICAS
2.4 Exercícios
◦ Exercício 5. Encontre a forma fechada de cada uma das séries. (Isso é, com a notação
de somatório)
a) 2 +
2
5
+
2
52
+
2
53
+ · · ·
b)
1
4
+
2
4
+
22
4
+
23
4
+ · · ·
c)
1
2.3
+
1
3.4
+
1
4.5
+
1
5.6
+ · · ·
d) − 1
2.3
+
1
3.4
− 1
4.5
+
1
5.6
+ · · ·
◦ Exercício 6. Para cada item determine se a série converge ou diverge. Determine o
valor da soma daquelas que convergem.
a)
∞∑
n=1
(
−3
4
)n−1
b)
∞∑
n=1
(−1)n−1 7
6n−1
c)
∞∑
n=1
1
(n+ 2)(n+ 3)
Dica: Use frações parciais.
d)
∞∑
n=1
1
9n2 + 3n− 2
Dica: Fatore o denominador.
e)
∞∑
n=3
1
n− 2
Dica: Escreve os primeiros termos da série.
f)
∞∑
n=1
4n+2
7n−1
Dica: Ajuste os expoentes.
◦ Exercício 7. Expresse as seguintes dízimas periódicas como frações.
a) 0, 444444444444 . . .
b) 5, 373737373737 . . .
c) 0, 782178217821 . . .
d) 0, 232323232323 . . .
Dica: Reescreva as dízimas de maneira que formem progressões geométricas. Exemplo:
0, 23232323 . . . = 0, 23 + 0, 0023 + 0, 000023 + 0, 00000023 + · · ·
=
23
100
+
23
1002
+
23
1003
+
23
1004
+ · · ·
=
23
100
(
1 +
1
100
+
1
1002
+
1
1003
+ · · ·
)
=
23
100
(
1
1− 1100
)
=
23
100
(
100
99
)
=
23
99
22
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
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Prof. André Meneghetti 2 SÉRIES NUMÉRICAS
◦ Exercício 8. Para cada série abaixo encontre a forma fechada e verifique se a série
converge ou diverge. Se converge, determine qual é o valor da soma.
a) ln
(
1
2
)
+ ln
(
2
3
)
+ ln
(
3
4
)
+ · · ·+ ln
(
n
n+ 1
)
+ · · ·
b) ln
(
1− 1
4
)
+ ln
(
1− 1
9
)
+ ln
(
1− 1
16
)
+ · · ·+ ln
(
1− 1
(n+ 1)2
)
+ · · ·
Dica: Nesse exercício é necessário usar a definição
∞∑
n=1
an = lim
N→∞
N∑
n=1
an. Isso é, pri-
meiro determine a soma parcial até o n-ésimo termo e depois faça o limite.
a) Lembre da propriedade do logaritmo: ln(x) + ln(y) = ln(xy).
b) Verifique que essa série pode ser reescrita como sendo
∞∑
n=2
(
ln
(
n− 1
n
)
− ln
(
n
n+ 1
))
◦ Exercício 9. As séries abaixo são séries geométricas. Encontre a forma fechada de
cada uma delas e determine, para cada uma, quais são os valores de x que a série converge.
a) x− x3 + x5 − x7 + · · ·
b)
1
x2
+
2
x3
+
4
x4
+
8
x5
+ · · ·
c) e−x + e−2x + e−3x + e−4x + · · ·
Dica: Lembre que uma série geométrica converge se sua razão r, em módulo, é menor
que 1. Isso é, em cada item determine a razão e estude quais são os valores de x que
satisfazem a desigualdade |r| < 1.
◦ Exercício 10. Mostre que:
a)
∞∑
n=1
(
1
n
− 1
n+ 2
)
=
3
2
b)
1
1.3
+
1
2.4
+
1
3.5
+
1
4.6
+ · · · = 3
4
c)
1
1.3
+
1
3.5
+
1
5.7
+
1
7.9
+ · · · = 1
2
d) sen(x)− 1
2
sen2(x) +
1
4
sen3(x)− 1
8
sen4(x) + · · · = 2 sen(x)
2 + sen(x)
∀x ∈ R.
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Prof. André Meneghetti 2 SÉRIES NUMÉRICAS
RESPOSTAS
Exercício 5)
a) 2
∞∑
n=0
1
5n
b)
1
4
∞∑
n=0
2n
c)
∞∑
n=2
1
n(n+ 1)
d)
∞∑
n=2
(−1)n−1
n(n+ 1)
Exercício 6)
a) converge;
4
7
b) converge; 6
c) converge;
1
3
d) converge;
1
6
e) diverge
f) converge;
448
3
Exercício 7)
a)
4
9
b)
532
99
c)
869
1111
Exercício 8)
a)
N∑
n=1
ln
(
n
n+ 1
)
= − ln(n+ 1). Portanto
∞∑
n=1
ln
(
n
n+ 1
)
= lim
N→∞
N∑
n=1
ln
(
n
n+ 1
)
= lim
N→∞
(− ln(n+ 1)) = −∞. Logo diverge.
b)
∞∑
n=2
ln
(
1− 1
(n+ 1)2
)
= lim
N→∞
N∑
n=2
ln
(
1− 1
(n+ 1)2
)
= lim
N→∞
N∑
n=2
(
ln
(
n− 1
n
)
− ln
(
n
n+ 1
))
= − ln(2). Logo converge.
Exercício 9)
a)
x
1 + x2
e converge se x ∈ (−1, 1)
b)
1
x2 − 2x e converge se x ∈ (−∞,−2) ∪ (2,∞)
c)
1
ex − 1 e converge se x ∈ (0,∞)
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Prof. André Meneghetti 3 TESTES PARA SÉRIES NUMÉRICAS
3 Testes para séries numéricas
A seguir veremos alguns testes que são usados para verificar se uma série numérica
converge ou diverge. Antes disso apresentamos dois resultados que serão úteis no decorrer
da seção.
Axioma 3.1. (Axioma da Completude) Se um conjunto não vazio S de números reais
tiver uma cota superior, então ele terá uma cota superior mínima (chamada de supremo)
e se um conjunto não vazio S de números reais tiver uma cota inferior, então ele terá
uma cota inferior máxima (chamada de ínfimo).
Exemplo 3.0.1. No conjunto S = (0, 1) qualquer valor entre [1,∞) é cota superior de
S, no qual o supremo é 1.
Observação 3.1. O supremo (ou ínfimo) podem ou não pertencer ao conjunto S.
Resultado 3.1. Seja {an}∞n=1 uma sequência de números positivos, crescentes e limitados
superiormente. Então a sequência {an}∞n=1 converge.
Prova:
Como a sequência é limitada, existe M ∈ R+ tal que an ≤M . O conjunto S = {an|∀n ∈ N} certamente
é limitado superiormente, pois S ⊆ (0,M). Pelo axioma (3.1) S possui supremo. Seja a = supS. Vamos
mostrar que limn→∞ an = a.
Pela definição de supremo, dado ε > 0 existe n0 tal que a− ε < an0 < a. Como a sequência é crescente
para todos n > n0 temos que
a− ε < an0 < an < a < a+ ε =⇒
a− ε < an < a+ ε =⇒ |a− an| < ε =⇒
an −→ a.
�
Resultado 3.2. Seja {an}∞n=1 uma sequência de números positivos, decrescentes e limi-
tados inferiormente. Então a sequência {an}∞n=1 converge.
Prova:
Análogo ao anterior. Fica de exercício.
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Prof. André Meneghetti 3 TESTES PARA SÉRIES NUMÉRICAS
Resultado 3.3. Seja
∞∑
n=1
an uma série de termos positivos que é limitada superiormente.
Então
∞∑
n=1
an converge .
Prova:
Observe que definindo SN =
∑N
n=1 an temos que a sequência {Sn} é positiva e crescente. Como estamos
supondo que a série é limitada superiormente, então existe M ∈ R+ tal que
0 <
N∑
n=1
an︸ ︷︷ ︸
SN
<
∞∑
n=1
an < M =⇒ 0 < SN < M.
Pelo resultado (3.1) a sequência converge. Existe L ∈ R tal que
lim
n→∞
SN = L =⇒ lim
n→∞
N∑
n=1
an = L =⇒
∞∑
n=1
an = L.
�
Observação 3.2. Se uma série de termos positivos
∞∑
n=1
an diverge, então necessariamente
∞∑
n=1
an =∞. Você sabe explicar porque?
Resultado 3.4. Seja
∞∑
n=1
an uma série de termos negativos que é limitada inferiormente.
Então
∞∑
n=1
an converge .
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Prof. André Meneghetti 3 TESTES PARA SÉRIES NUMÉRICAS
3.1 Teste da divergência
i) Se lim
n→∞ an 6= 0, então
∞∑
n=1
an diverge;
ii) Se lim
n→∞ an = 0, então
∞∑
n=1
an pode convergir ou diverge (ou seja, é inconclusivo).
Prova:
Para provar (i) façamamos a seguinte afirmação:
Se
∞∑
n=1
an converge, então lim
n→∞
an = 0.
De fato, como
∞∑
n=1
an converge, então lim
N→∞
N∑
n=1
an = L ∈ R.
Observe que
N∑
n=1
an −
N−1∑
n=1
an = aN
Aplicando limite
lim
N→∞
N∑
n=1
an︸ ︷︷ ︸
L
− lim
N→∞
N−1∑
n=1
an︸ ︷︷ ︸
L
= lim
N→∞
aN
0 = lim
N→∞
aN
Note que agora já não faz mais sentido supor que existe uma série tal que lim
n→∞
an 6= 0 e
∞∑
n=1
an converge.
Nesse caso teríamos uma contradição, pois acabamos de provar que toda série convergente possui termo
geral tentendo a zero. Ou seja teríamos que ao mesmo tempo
limn→∞ an 6= 0 e limn→∞ an = 0
contrariando a unicidade do limite.
Para provar (ii), basta citarmos dois exemplos mostrando assim que o teste é inconclusivo. Duas séries
já conhecidas são:
•
∞∑
n=1
1
n
, série harmônica que sabemos ser divergente;
•
∞∑
n=0
1
2n
, série geométrica com razão r = 1/2 < 1, que sabemos ser convergente.
Observe que em ambos os casos o limite do termo geral é zero, ou seja, lim
n→∞
1
n
= 0 e lim
n→∞
1
2n
= 0.
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Prof. André Meneghetti 3 TESTES PARA SÉRIES NUMÉRICAS
Exemplo 3.1.1. A série
∞∑
n=1
n
n+ 1
diverge, pois lim
n→∞
n
n+ 1
= 1 6= 0
Exemplo 3.1.2. A série
∞∑
n=1
n diverge, pois lim
n→∞n =∞
Exemplo 3.1.3. Na série Harmônica
∞∑
n=1
1
n
=
1
1
+
1
2
+
1
3
+
1
4
+ · · ·
temos que lim
n→∞
1
n
= 0. Pelo teste da divergência isso não significa que a série converge
e nem que ela diverge. Nesse caso será necessário usar outro teste.
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Prof. André Meneghetti 3 TESTES PARA SÉRIES NUMÉRICAS
3.2 Teste da comparação
Sejam
∞∑
n=1
an e
∞∑
n=1
bn séries com termos não negativos, tais que an ≤ bn para todo n.
Logo,
∞∑
n=1
an ≤
∞∑
n=1
bn.
Além disso,
i) se
∞∑
n=1
an diverge, então
∞∑
n=1
bn diverge;
ii) se
∞∑
n=1
bn converge, então
∞∑
n=1
an converge.
Prova:
Sejam an e bn, tais que an ≤ bn. Ou seja,
a1 ≤ b1
a2 ≤ b2
a3 ≤ b3
. . .
aN ≤ bN
Somando temos
a1 + a2 + a3 + · · ·+ aN ≤ b1 + b2 + b3 + · · ·+ bN
N∑
n=1
an ≤
N∑
n=1
bn
Apliando limite em N
lim
N→∞
N∑
n=1
an ≤ lim
N→∞
N∑
n=1
bn
∞∑
n=1
an ≤
∞∑
n=1
bn
29
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Prof. André Meneghetti 3 TESTES PARA SÉRIES NUMÉRICAS
Para provar o item (i) suponhamos que
∞∑
n=1
an diverge. Como os termos são positivos, então se essa série
diverge é por que
∞∑
n=1
an =∞.
Logo,
0 ≤
∞∑
n=1
an︸ ︷︷ ︸
=∞
≤
∞∑
n=1
bn =∞.
Para provar o item (ii) suponhamos que
∞∑
n=1
bn converge. Isto significa que existe um número real L tal
que
∞∑
n=1
bn = L. Observe que L deve ser positivo, pois todos os termos da série são positivos.
Portanto,
0 ≤
∞∑
n=1
an ≤
∞∑
n=1
bn︸ ︷︷ ︸
=L
=⇒ 0 ≤
∞∑
n=1
an ≤ L.
Pelo resultado (3.3) a série
∞∑
n=1
an converge.
�
Exemplo 3.2.1. Verifique se a série
∞∑
n=1
1
n2 + n
converge ou diverge.
Resolução:
Vamos comprar a série acima com a p-série
∞∑
n=1
1
n2
.
Note que todos os termos, de ambas as séries, são não negativas.
Como
∞∑
n=1
1
n2
é uma p-série com p maior que 1, então essa série converge. Além disso,
0 ≤
∞∑
n=1
1
n2 + n
≤
∞∑
n=1
1
n2
logo, pelo teste da comparação,
∞∑
n=1
1
n2 + n
também converge.
30
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Prof. André Meneghetti 3 TESTES PARA SÉRIES NUMÉRICAS
3.3 Teste da integral
Seja
∞∑
n=1
an uma série com termos positivos. Se f(x) for uma função decrescente e con-
tinua (integrável) num certo intervalo [a,∞) tal que f(n) = an para todo n, então
∞∑
n=1
an e
∫ ∞
a
f(x)dx,
possuem mesmo comportamento, ou seja, ou ambas convergem, ou ambas divergem.
Prova:
Do enunciado vamos supor sem perda de generalidade que a = 1. Sejam
∞∑
n=1
an uma série com termos
positivos e decrescentes e f(x) uma função decrescente, continua e integrável num certo intervalo [1,∞)
tal que f(n) = an para todo n.
Observe a relação geométrica que existe entre a série e a função:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
f(x)
a3 a4 a5 a6 a7 a8
...
a2 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
f(x)
a3 a4 a5 a6 a7 a8
...
a2 
a1 
Pela ilustração acima fica fácil ver que
31
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Prof. André Meneghetti 3 TESTES PARA SÉRIES NUMÉRICAS
a2 ≤
∫ 2
1
f(x)dx ≤ a1
a2 + a3 ≤
∫ 3
1
f(x)dx
≤ a1 + a2
a2 + a3 + a4 ≤
∫ 4
1
f(x)dx ≤ a1 + a2 + a3
. . .
a2 + a3 + a4 + · · ·+ aN ≤
∫ N
1
f(x)dx ≤ a1 + a2 + a3 + · · ·+ aN−1
N∑
n=2
an ≤
∫ N
1
f(x)dx ≤
N−1∑
n=1
an
Aplicando limite em N
lim
n→∞
N∑
n=2
an ≤ lim
n→∞
∫ N
1
f(x)dx ≤ lim
n→∞
N−1∑
n=1
an
∞∑
n=2
an ≤
∫ ∞
1
f(x)dx ≤
∞∑
n=1
an
Se supormos que
∫ ∞
1
f(x)dx =∞, pela desigualdade∫ ∞
1
f(x)dx︸ ︷︷ ︸
∞
≤
∞∑
n=1
an
temos que
∑∞
n=1 an =∞.
Se supormos que
∫ ∞
1
f(x)dx = L (isso é, converge), pela desigualdade
∞∑
n=2
an ≤
∫ ∞
1
f(x)dx︸ ︷︷ ︸
L
0 ≤
∞∑
n=2
an ≤ L.
Novamente aplicamos o resultado (3.3) e concluímos que
∞∑
n=2
an converge.
�
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Prof. André Meneghetti 3 TESTES PARA SÉRIES NUMÉRICAS
Exemplo 3.3.1. Verifique se a série
∞∑
n=1
1
(4 + 2n)3/2
converge ou diverge.
Resolução:
Note que f(x) =
1
(4 + 2x)3/2
é decrescente e contínua em [1,∞). Além disso,
∫ ∞
1
1
(4 + 2x)3/2
dx = lim
b→∞
∫ b
1
1
(4 + 2x)3/2
dx =
lim
b→∞
1
2
∫ x=b
x=1
u−3/2du = lim
b→∞
1
2
[
u−1/2
−12
]x=b
x=1
=
lim
b→∞
[
− 1
4 + 2x1/2
]x=b
x=1
= lim
b→∞
[
−
(
1
4 + 2b
)1/2
+
(
1
4 + 2
)1/2]
=
1√
6
Ou seja, ∫ ∞
1
1
(4 + 2x)3/2
dx =
1√
6
,
logo a integral indefinida converge. Pelo teste da integral a série
∞∑
n=1
1
(4 + 2n)3/2
também converge.
Obs: O teste não afirma que o valor dessa série é 1√
6
. Apenas que a série também converge.
33
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Prof. André Meneghetti 3 TESTES PARA SÉRIES NUMÉRICAS
3.4 Teste da p-séries
Uma p-série é uma série que tem a forma
∞∑
n=1
1
np
= 1 +
1
2p
+
1
3p
+
1
4p
+ · · ·
onde p ∈ R+.
Em uma p-série temos que:
i) p ∈ [0, 1], a série diverge;
ii) p ∈ (1,∞), a série converge.
Prova:
Para demostrar o “teste da p-série” podemos usar o “teste da integral”.
Antes de iniciar observe que uma p-série satisfaz as hipóteses do teste da integral para qualquer valor
de p positivo.
1°)
∞∑
n=1
1
np
possui termos positivos X
2°) f(x) :=
1
xp
é contínua, integrável e decrscente em [1,∞) X
3°) f(n) =
1
np
X
Então, usaremos o teste da integral para verificar para quais valores de p a integral
∫ ∞
1
1
xp
dx converge
e para quais valores de p a mesma integral diverge. Lembre que essa integral possui o mesmo compor-
tamento da série, logo quando a integral converge a série converge e quando a integral diverge a série
diverge. ∫ ∞
1
1
xp
dx = lim
b→∞
∫ b
1
1
xp
dx
 Se p 6= 1
lim
b→∞
∫ b
1
1
xp
dx = lim
b→∞
[
x−p+1
−p+ 1
]b
1
=
1
−p+ 1 limb→∞
[
x−p+1
]b
1
=
1
−p+ 1 limb→∞
[
b−p+1 − 1−p+1] = 1−p+ 1 (−1 + limb→∞ b−p+1)
Isso é, se p 6= 1 ∫ ∞
1
1
xp
dx =
1
−p+ 1
(
−1 + lim
b→∞
b−p+1
)
34
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Prof. André Meneghetti 3 TESTES PARA SÉRIES NUMÉRICAS
A integral existe quando o limite existe. Note que
• Se −p+ 1 < 0 o limite existe, logo a integral existe, logo a série converge;
• Se −p+ 1 > 0 o limite não existe, logo a integral não existe, logo a série diverge.
 Se p = 1
∞∑
n=1
1
np
=
∞∑
n=1
1
n︸ ︷︷ ︸
série Harmônica
Portanto,
∫ ∞
1
1
xp
dx e
∞∑
n=1
1
np
comvergem para p ∈ (1,∞) e divergem para p ∈ (0, 1].
�
Exemplo 3.4.1. A série
∞∑
n=1
1
n3
= 1 +
1
23
+
1
33
+
1
43
+ · · ·
converge, pois é uma p-série com p = 3.
Exemplo 3.4.2. A série Harmônica
∞∑
n=1
1
n
= 1 +
1
2
+
1
3
+
1
4
+ · · ·
diverge, pois é uma p-série com p = 1.
Exemplo 3.4.3. A série
∞∑
n=1
1√
n
= 1 +
1√
2
+
1√
3
+
1√
4
+ · · ·
diverge, pois é uma p-série com p = 12 .
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