Transformada de Laplace

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Universidade Federal do Rio Grande - FURG
Instituto de Matemática, Estatística e Física - IMEF
Transformada de Laplace
NOTAS DE AULA - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
André Meneghetti
(andre.imef@gmail.com)
(www.sites.google.com/site/andreimef)
(última atualização: 4 de Janeiro de 2015)
Conteúdo
1 Transformada de Laplace 1
1.1 Transformadas básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Transformada inversa de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Transformada de uma derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Transformada de Laplace em EDO’s 19
2.1 Resolvendo uma EDO com TL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Resolvendo um sistema de EDO’s com TL . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 Teoremas de translação 31
3.1 Teorema de translação no eixo s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 Função de Heaviside ou degrau unitário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3 Teorema de translação no eixo t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4 Outras propiedades 49
4.1 Derivadas das transformadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.2 Convolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.3 Transformada da convolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.4 Forma inversa da transformada de convolução . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.5 Transformada de uma integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.6 Transformada de uma função periódica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.7 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
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Prof. André Meneghetti 1 TRANSFORMADA DE LAPLACE
1 Transformada de Laplace
Seja f : [0,∞) → R. Definimos a transformada de Laplace da função f(t) (notação
L {f(t)}) por
L {f(t)} =
∫ ∞
0
e−stf(t)dt (1)
Observação 1.1. A transformada de Laplace é uma função que depende apenas de s.
Por esse motivo é comum denotar a transformada por
F (s) = L {f(t)} (2)
Observação 1.2. Nem toda a função possui transformada de Laplace. Dizemos que
uma função f(t) possui transformada de Laplace se a integral
∫ ∞
0
e−stf(t)dt converge
para algum valor de s.
Definição 1.1. Uma função f é dita de ordem exponencial c se existem constantes
c,M > 0 e T > 0 tais que |f(t)| ≤Mect para todo t > T .
Exemplo 1.0.1. A função cos(t) é de ordem exponencial c = 1, pois cos(t) ≤Mect para
todo t ≥ 0 tomando M = 1, c = 1.
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Teorema 1.1. Se f(t) for contínua no intervalo [0,∞) e de ordem exponencial c, então
L {f(t)} existe para s > c.
Prova:
Como f(t) é de ordem exponencial c, existem M,T, c > 0 tais que f(t) ≤Mect para todo t > T .
Por definição
L {f(t)} = lim
b→∞
∫ b
0
f(t)e−stdt.
Observe que
lim
b→∞
∫ b
0
f(t)e−stdt =
∫ T
0
f(t)e−stdt+ lim
b→∞
∫ b
T
f(t)e−stdt.
Seja A(b) =
∫ b
T
f(t)e−stdt.
Afirmação 1: A(b) é limitada.
De fato,
|A(b)| =
∣∣∣∣∫ b
T
f(t)e−stdt
∣∣∣∣ ≤ ∫ b
T
|f(t)|e−stdt ≤
∫ b
T
Mecte−stdt =M
∫ b
T
e(c−s)tdt.
Geometricamente,
∫ b
T
e(c−s)tdt é a área total da função positiva e(c−s)t no intervalo (T, b). Então, é
claro que se b < B, temos que
∫ b
T
e(c−s)tdt <
∫ B
T
e(c−s)tdt.
Impondo a condição (c− s) < 0, temos que lim
B→∞
∫ B
T
e(c−s)tdt converge, ou seja,
|A(b)| ≤
∫ b
T
e(c−s)tdt ≤ lim
B→∞
∫ B
T
e(c−s)tdt = L.
Ou seja, |A(b)| ≤ L com L ∈ (0,∞).
Afirmação 2: O limite lim
b→∞
A(b) existe.
Sejam
f+(t)
{
f(t) se f(t) > 0
0 se f(t) ≤ 0
f−(t)
{
0 se f(t) ≥ 0
(t) se f(t) < 0
Note que f(t) = f+(t) + f−(t). Multiplicando ambos os lados da igualdade por e−st, obtemos
f(t)e−st = f+(t)e−st + f−(t)e−st.
O esboço abaixo mostra a ideia.
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Além disso, ∫ b
T
f(t)e−stdt =
∫ b
T
f+(t)e−stdt+
∫ b
T
f−(t)e−stdt
Definimos agora
A+(b) =
∫ b
T
f+(t)e−stdt,
A−(b) =
∫ b
T
f−(t)e−stdt.
Note que |A(b)| = A+(b)−A−(b). Observe que A−(b) ∈ (−L, 0] e A+(b) ∈ [0, L). O esboço abaixo ajuda
a entender.
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Por construção A+(b) é uma função positiva, monótona, crescente e limitada, logo lim
b→∞
A+(b) existe.
Também por construção a função A−(b) é negativa, monótona, decrescente e limitada, logo lim
b→∞
A−(b)
existe.
Visto que
A(b) = A+(b) +A−(b)
então
lim
b→∞
A(b) = lim
b→∞
A+(b) + lim
b→∞
A−(b)︸ ︷︷ ︸
Esse limite existe!
logo existe lim
b→∞
A(b) = lim
b→∞
∫ b
T
f(t)e−stdt.
Por último, obeserve que ∫ T
0
f(t)e−stdt+ lim
b→∞
∫ b
T
f(t)e−stdt =
lim
b→∞
[∫ T
0
f(t)e−stdt+
∫ b
T
f(t)e−stdt
]
=
lim
b→∞
[∫ b
0
f(t)e−stdt
]
= L {f(t)}
que existe, desde que s > c.
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Teorema 1.2. Se α e β são constantes, então
L {αf(t) + βg(t)} = αL {f(t)}+ βL {g(t)} (3)
para todo s tal que as transformadas de f(t) e g(t) existam.
Prova:
L {αf(t) + βg(t)} =
∫ ∞
0
[αf(t) + βg(t)] e−stdt
α
∫ ∞
0
e−stf(t)dt︸ ︷︷ ︸
L{f(t)}
+β
∫ ∞
0
g(t)e−stdt︸ ︷︷ ︸
L{g(t)}
= αL {f(t)}+ βL {g(t)}
�
1.1 Transformadas básicas
Existem uma infinidade de funções que possuem transformadas de Laplace. Vamos co-
meçar estudando a transformada de algumas funções elementares, mais precisamente das
funções constante, polinômio, seno, cosseno, seno hiperbólico e cosseno hiperbólico.
Vamos chamar de transformadas básicas as transformadas de algumas funções ele-
mentares.
 L {1} = 1
s
s > 0
 L {tn} = n!
sn+1
s > 0
 L
{
eat
}
=
1
s− a s > a
 L {sen(at)} = a
s2 + a2
s > a
 L {cos(at)} = s
s2 + a2
s > a
 L {senh(at)} = a
s2 − a2 s > |a|
 L {cosh(at)} = s
s2 − a2 s > |a|
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-
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E
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-
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-
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F
-
FU
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Prof. André Meneghetti 1 TRANSFORMADA DE LAPLACE
Prova:
 Seja f(t) = 1.
Pela definição (1)
L {f(t)} =
∫ ∞
0
e−stf(t)dt
logo,
L {1} =
∫ ∞
0
e−st1dt =
[
e−st
−s
]∞
0
Supondo que −s < 0, ou equilalentemente, se s > 0 a integral imprópria converge:
L {1} = (0)−
(
1
−s
)
=
1
s
Portanto se s > 0
L {1} = 1
s
 Seja f(t) = tn.
L {tn} =
∫ ∞
0
e−sttndt
L {tn} =
[
tn
e−st
(−s) − nt
n−1 e
−st
−s2 + n(n− 1)t
n−2 e
−st
−s3 − · · ·+ (−1)
nn!t0
e−st
(−s)n+1
]∞
0
L {tn} =
[
e−st
(
− t
n
s
− nt
n−1
s2
− n(n− 1)t
n−2
s3
− · · · − n!
sn+1
)]∞
0
Supondo que −s < 0, ou equilalentemente, se s > 0 a integral imprópria converge:
L {tn} = (0)−
(
− n!
sn+1
)
=
n!
sn+1
Portanto se s > 0
L {tn} = n!
sn+1
6
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R
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Prof. André Meneghetti 1 TRANSFORMADA DE LAPLACE
 Seja f(t) = eat.
L
{
eat
}
=
∫ ∞
0
e−steatdt =
∫ ∞
0
e−(s−a)tdt
Supondo que (a− s) < 0, ou equilalentemente, se s > a a integral imprópria converge:
L
{
eat
}
=
[
e(a−s)t
a− s
]∞
0
L
{
eat
}
= (0)−
(
1
a− s
)
=
1
s− a
Portanto se s > a
L
{
eat
}
=
1
s− a
 Seja f(t) = sen(at).
L {sen(at)} =
∫ ∞
0
e−stsen(at)dt
L {sen(at)} =
(
sen(at)
e−st
(−s)
)∞
0
−
∫ ∞
0
e−st
(−s)a cos(at)dt
L {sen(at)} =
(
sen(at)
e−st
(−s)
)∞
0
+
a
s
∫ ∞
0
e−st cos(at)dt
Observe que ∫ ∞
0
e−st cos(at)dt =
(
cos(at)
e−st
(−s)
)∞
0
−
∫ ∞
0
e−st
(−s) (−a) sen(at)dt∫ ∞
0
e−st cos(at)dt =
(
cos(at)
e−st
(−s)
)∞
0
− a
s
∫ ∞
0
e−st sen(at)dt︸ ︷︷ ︸
L{sen(at)}
Logo,
L {sen(at)} =
(
sen(at)
e−st
(−s)
)∞
0
+
a
s
[(
cos(at)
e−st
(−s)
)∞
0
− a
s
L {sen(at)}
]
L {sen(at)} =
(
sen(at)
e−st
(−s)
)∞
0
+
a
s
(
cos(at)
e−st
(−s)
)∞
0
− a
2
s2
L {sen(at)}
L {sen(at)}+ a
2
s2
L {sen(at)} =
(
sen(at)
e−st
(−s)
)∞
0
+
a
s
(
cos(at)
e−st
(−s)
)∞
0(
1 +
a2
s2
)
L {sen(at)} =
(
sen(at)
e−st
(−s) +
a
s
cos(at)
e−st
(−s)
)∞
0
7
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Prof. André Meneghetti 1 TRANSFORMADA DE LAPLACE
Supondo que −s < 0, ou equilalentemente, se s > 0 a integral imprópria converge:
(
s2 + a2
s2
)
L {sen(at)} = lim
b→∞
(
sen(ab)
e−sb
(−s) +
a
s
cos(ab)
e−sb
(−s)
)
︸ ︷︷ ︸
0
−
sen(a0) e−s0(−s)︸ ︷︷ ︸
0
+
a
s
cos(a0)
e−s0
(−s)︸ ︷︷ ︸
a/(−s2)

(
s2 + a2
��s2
)
L {sen(at)} = a
��s2
Portanto, se s > 0
L {sen(at)} = a
s2 + a2
 Analogamente se f(t) = cos(at) e s > 0
L {cos(at)} = s
s2 + a2
 Seja f(t) = senh(at).
Como, por definição, senh(at) =
eat − e−at
2
L {senh(at)} = L
{
eat − e−at
2
}
=
1
2
L
{
eat
}− 1
2
L
{
e−at
}
L {senh(at)} = 1
2
(
1
s− a −
1
s+ a
)
=
1
�2
�2a
s2 − a2
Portanto, se s > |a|
L {senh(at)} = a
s2 − a2
 Analogamente se f(t) = cosh(at) e s > |a|
L {senh(at)} = s
s2 − a2
�
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Prof. André Meneghetti 1 TRANSFORMADA DE LAPLACE
Exemplo 1.1.1. Calcule L
{
sen2(t)
}
.
Resolução:
Observe que não conhecemos essa transformada diretamente. A ideia então é usar uma
identidade trigonometrica e reescrever a função para que possamos usar as transformadas
básicas.
Usaremos uma identidade trigonométrica, a equação (3) e transformadas básicas.
L
{
sen2(t)
}
= L
{
1− cos(2t)
2
}
=
1
2
L {1} − 1
2
L {cos(2t)}
L
{
sen2(t)
}
=
1
2
1
s
− 1
2
s
s2 + 22
=
2
s(s2 + 4)
.
Exemplo 1.1.2. Calcule L
{
t2 + 6t− 3}.
Resolução:
Usando a linearidade, equação (3), temos
L
{
t2 + 6t− 3} = L {t2}+ 6L {t} − 3L {1}
Portanto,
L
{
t2 + 6t− 3} = 2!
s3
+ 6
1
s2
− 31
s
L
{
t2 + 6t− 3} = 2!
s3
+
6
s2
− 6
s
.
9
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Prof. André Meneghetti 1 TRANSFORMADA DE LAPLACE
Exemplo 1.1.3. Calcule L {f(t)}, sendo que
f(t) =
{
sen(t) , se t ∈ [0, pi]
0 , se t ∈ (pi,∞] .
Resolução:
Para determinar essa transformada não será possível usar as transformadas básicas.
Como a função f(t) é definida por partes a única maneira de determinar sua tans-
formada é usando a definição:
L {f(t)} =
∫ ∞
0
e−stf(t)dt
L {f(t)} =
∫ pi
0
e−stsen(t)dt+
��
��
��
∫ ∞
pi
e−st0dt
L {f(t)} =
���
���
��
[
sen(t)
e−st
(−s)
]pi
0
−
[(
cos t
e−st
(−s)2
)pi
0
+
∫ pi
0
e−st
(−s)2 sen(t)dt
]
L {f(t)} = −
(
cos t
e−st
(−s)2
)pi
0
− 1
s2
∫ pi
0
e−st sen(t)dt︸ ︷︷ ︸
L {f(t)}
.
Então
L {f(t)}+ 1
s2
L {f(t)} = −
(
cos t
e−st
s2
)pi
0(
1 +
1
s2
)
L {f(t)} = −
(
cospi
e−spi
s2
− cos 0e
−s0
s2
)
(
s2 + 1
s2
)
L {f(t)} = −
(
−e
−spi
s2
− 1
s2
)
(
s2 + 1
��s2
)
L {f(t)} = e
−spi + 1
��s2
L {f(t)} = e
−spi + 1
s2 + 1
.
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Prof. André Meneghetti 1 TRANSFORMADA DE LAPLACE
1.2 Exercícios
◦ Exercício 1. Utilize a definição da transformada de Laplace,L {f(t)} =
∫ ∞
0
f(t)e−stdt,
para determinar L {f(t)} para as seguintes funções f(t):
a) f(t) =
{ −1, t ∈ [0, 1)
1, t ∈ (1,∞)
b) f(t) =
{
t, t ∈ [0, 1)
1, t ∈ (1,∞)
c) f(t) =
{
sen(t), t ∈ [0, pi)
0, t ∈ (pi,∞)
d) f(t) = te4t
e) f(t) = e−t sen(t)
◦ Exercício 2. Usando a propriedade de linearidade e as seguintes transformadas básicas
de Laplace determine as seguintes transformadas:
a) L
{
2t4
}
b) L {4t− 10}
c) L
{
t2 + 6t− 3}
d) L
{
(t+ 1)3
}
e) L
{
1 + e4t
}
f) L
{
(1 + e2t)2
}
g) L
{
4t2 − 5 sen(3t)}
h) L {senh(2t)}
i) L
{
et senh(t)
}
◦ Exercício 3. Use alguma identidade trigonométrica para reescrever as funções
f(t) = sen(2t) cos(2t) g(t) = cos2(t)
de modo que seja possível determinas duas respectivas transformadas de Laplace, isso é,
determinar
a) L {f(t)} b) L {g(t)}
◦ Exercício 4. (*) Para a, b ∈ R e i2 = −1, mostre que L
{
e(a+ib)t
}
=
s− a+ ib
(s− a)2 + b2 .
Use a fórmula de Euler e mostre também que
i) L
{
eat cos(bt)
}
=
(s− a)
(s− a)2 + b2 ii) L
{
eat sen(bt)
}
=
b
(s− a)2 + b2
11
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-
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Prof. André Meneghetti 1 TRANSFORMADA DE LAPLACE
RESPOSTAS
Exercício 1
a)
2
s
e−s − 1
s
b)
1
s2
− 1
s2
e−s
c)
1 + e−spi
s2 + 1
d)
1
(s− 4)2
e)
1
s2 + 2s+ 2
Exercício 2
a)
48
s5
b)
4
s2
− 10
s
c)
2
s3
+
6
s2
− 3
s
d)
6
s4
+
6
s3
+
3
s2
+
1
s
e)
1
s
+
1
s− 4
f)
2
s− 2 +
1
s
+
1
s− 4
g)
8
s3
− 15
s2 + 9
h)
2
s2 − 4
i)
1
2(s− 2) −
1
2s
Exercício 3
a)
2
s2 + 16
b)
1
2s
+
s
2(s2 + 4)
12
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
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FU
R
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IM
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Prof. André Meneghetti 1 TRANSFORMADA DE LAPLACE
1.3 Transformada inversa de Laplace
Se L {f(t)} é a transformada de Laplace de f(t), a transformada inversa é L −1 tal que
L −1 {L {f(t)}} = f(t).
Transformadas inversas básicas
 L {1} = 1
s
→ L −1
{
1
s
}
= 1
 L {tn} = n!
sn+1
→ L −1
{
n!
sn+1
}
= tn
 L
{
eat
}
=
1
s− a → L
−1
{
1
s− a
}
= eat
 L {sen(at)} = a
s2 + a2
→ L −1
{
a
s2 + a2
}
= sen(at)
 L {cos(at)} = s
s2 + a2
→ L −1
{
s
s2 + a2
}
= cos(at)
 L {senh(at)} = a
s2 − a2 → L
−1
{
a
s2 − a2
}
= senh(at)
 L {cosh(at)} = s
s2 − a2 → L
−1
{
s
s2 − a2
}
= cosh(at)
Teorema 1.3. Se α e β são constantes, então
L −1 {αL {f(t)}+ βL {g(t)}} = αL −1 {L {f(t)}}+ βL −1 {L {g(t)}}
L −1 {αL {f(t)}+ βL {g(t)}} = αf(t) + βg(t)
(4)
Observação 1.3. Quando trabalhamos com a transformada inversa de Laplace é muito
comum, diria usual, usar a notação vista em (2) no início dessa seção.
Com essa notação o teorema acima (4) poderia escrito como
L −1 {αF (s) + βG(s)} = αL −1 {F (s)}+ βL −1 {G(s)} = αf(t) + βg(t)
13
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
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F
-
FU
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G
-
IM
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-
FU
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-
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E
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-
FU
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-
IM
E
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-
FU
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G
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Prof. André Meneghetti 1 TRANSFORMADA DE LAPLACE
Exemplo 1.3.1. Calcule L −1
{
1
s5
}
.
Resolução:
Para poder aplicar uma das transformadas inversas básicas faremos uma “manipulação
algébrica”:
L −1
{
1
s5
}
=
1
4!
L −1
{
4!
s5
}
︸ ︷︷ ︸
t4
=
1
4!
t4
Logo,
L −1
{
1
s5
}
=
1
4!
t4.
Exemplo 1.3.2. Calcule L −1
{
3s+ 5
s2 + 7
}
.
Resolução:
Vamos separar a fração para assim
usar as transformadas inversas básicas:
L −1
{
3s+ 5
s2 + 7
}
= L −1
{
3
s
s2 +
√
7
2 +
5√
7
√
7
s2 +
√
7
2
}
L −1
{
3s+ 5
s2 + 7
}
= 3L −1
{
s
s2 +
√
7
2
}
︸ ︷︷ ︸
cos(
√
7t)
+
5√
7
L −1
{ √
7
s2 +
√
7
2
}
︸ ︷︷ ︸
sen(
√
7t)
L −1
{
3s+ 5
s2 + 7
}
= 3 cos(
√
7t) +
5√
7
sen(
√
7t).
14
IM
E
F
-
FU
R
G
-
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-
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-
FU
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Prof. André Meneghetti 1 TRANSFORMADA DE LAPLACE
Exemplo 1.3.3. Calcule L −1
{
1
(s− 1)(s+ 2)(s+ 4)
}
.
Resolução:
A fim de usar as transformadas inversas básicas novamente vamos fazer alguns ajustes.
Por frações parciais
1
(s− 1)(s+ 2)(s+ 4) =
A
s− 1 +
B
s+ 2
+
C
s+ 4
1
((((
((((
((
(s− 1)(s+ 2)(s+ 4)
=
A(s+ 2)(s+ 4) +B(s− 1)(s+ 4) + C(s− 1)(s+ 2)
((((
((((
((
(s− 1)(s+ 2)(s+ 4)
.
Então
1 = (s+ 2)(s+ 4) +B(s− 1)(s+ 4) + C(s− 1)(s+ 2)
∗ se s = 1 ⇒ 1 = A(3)(5) ⇒ A = 1
15
∗ se s = −2 ⇒ 1 = B(−3)(2) ⇒ B = −1
6
∗ se s = −4 ⇒ 1 = C(−5)(−2) ⇒ C = −1
10
.
Portanto,
L −1
{
1
(s− 1)(s+ 2)(s+ 4)
}
= L −1
{
1
15
s− 1 +
−1
6
s+ 2
+
−1
10
s+ 4
}
L −1
{
1
(s− 1)(s+ 2)(s+ 4)
}
=
1
15
L −1
{
1
s− 1
}
︸ ︷︷ ︸
et
−1
6
L −1
{
1
s+ 2
}
︸ ︷︷ ︸
e−2t
− 1
10
L −1
{
1
s+ 4
}
︸ ︷︷ ︸
e−4t
L −1
{
1
(s− 1)(s+ 2)(s+ 4)
}
=
1
15
et − 1
6
e−2t − 1
10
e−4t.
15
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
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-
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E
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-
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-
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-
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-
IM
E
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-
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-
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-
IM
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-
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R
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-
IM
E
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-
FU
R
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-
IM
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-
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-
IM
E
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-
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G
-
IM
E
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-
FU
R
G
-
IM
E
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-
FU
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-
IM
E
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-
FU
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-
IM
E
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-
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G
-
IM
E
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-
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R
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-
IM
E
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-
FU
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-
IM
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-
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-
IM
E
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-
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-
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-
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-
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-
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-
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G
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Prof. André Meneghetti 1 TRANSFORMADA DE LAPLACE
Exemplo 1.3.4. Calcule L −1
{
3s− 2
s3(s2 + 4)
}
.
Resolução:
Novamente por frações parciais,
3s− 2
s3(s2 + 4)
=
A
s
+
B
s2
+
C
s3
+
Ds+ E
s2 + 4
3s− 2
s3(s2 + 4)
=
As2(s2 + 4) +Bs(s2 + 4) + C(s2 + 4)s3(Ds+ E)
s3(s2 + 4)
3s− 2
���
��s3(s2 + 4)
=
(A+D)s2 + (B + E)s3 + (C + 4A)s2 + (4B)s2 + 4C
���
��s3(s2 + 4)
3s− 2 = (A+D)s2 + (B + E)s3 + (C + 4A)s2 + (4B)s2 + 4C.
Portanto, 
A+D = 0
B + E = 0
C + 4A = 0
4B = 3
4C = −2
Resolvendo o sistema, obtem-se
A =
1
8
B =
3
4
C = −1
2
D = −1
8
E = −3
4
.
Portanto,
L −1
{
3s− 2
s3(s2 + 4)
}
= L −1
{
(18)
s
+
(34)
s2
− (
1
2)
s3
+
(−18s− 34
s2 + 4
}
=
1
8
L
{
1
s
}
+
3
4
L −1
{
1!
s2
}
− 1
2(2!)
L −1
{
2!
s3
}
− 1
8
L −1
{
s
s2 + 22
}
− 3
4(2)
L −1
{
2
s2 + 22
}
L −1
{
3s− 2
s3(s2 + 4)
}
=
1
8
+
3
4
t− 1
4
t2 − 1
8
cos(2t)− 3
8
sen(2t)
16
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
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-
IM
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-
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-
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-
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-
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-
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-
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-
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-
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-
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-
IM
E
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-
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R
G
-
IM
E
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-
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G
-
IM
E
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-
FU
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-
IM
E
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-
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-
IM
E
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-
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-
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-
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-
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G
-
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-
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-
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-
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-
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-
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-
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-
FU
R
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-
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E
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-
FU
R
G
-
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-
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Prof. André Meneghetti 1 TRANSFORMADA DE LAPLACE
1.4 Transformada de uma derivada
Teorema 1.4. Seja f(t) uma função n-vezes diferencial com f (m)(t) de ordem expo-
nencial para m = 0, 1, 2, . . . , n.
Então
L
{
f (n)(t)
}
= snF (s)− sn−1f(0)− sn−2f ′(0)− · · · − sf (n−2)(0)− f (n−1)(0) (5)
Prova:
Observe que f (m)(t) de ordem exponencial, então
lim
t→∞
e−stf (m)(t) ≤ lim
t→∞
e−stMect =M lim
t→∞
e(−s+c)t = 0.
 Determinando L {f ′(t)}:
Pela definição (1)
L
{
f ′(t)
}
=
∫ ∞
0
e−stf ′(t)dt
L
{
f ′(t)
}
=
[
e−stf(t)
]∞
0
−
∫ ∞
0
−se−stf(t)dt =
L
{
f ′(t)
}
= 0− f(0) + s
∫ ∞
0
e−stf(t)dt︸ ︷︷ ︸
L{f(t)}=F (s)
Portanto,
L
{
f ′(t)
}
= sF (s)− f(0)
 Determinando L {f ′′(t)}:
L
{
f ′′(t)
}
=
∫ ∞
0
e−stf ′′(t)dt
L
{
f ′′(t)
}
=
[
e−stf ′(t)
]∞
0
−
∫ ∞
0
−se−stf ′(t)dt
L
{
f ′′(t)
}
= 0− f ′(0) + s
∫ ∞
0
e−stf(t)dt︸ ︷︷ ︸
L{f ′(t)}=sF (s)−f(0)
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Prof. André Meneghetti 1 TRANSFORMADA DE LAPLACE
Portanto,
L
{
f ′′(t)
}
= −f ′(0) + s [sF (s)− f(0)]
L
{
f ′′(t)
}
= s2F (s)− sf(0)− f ′(0)
 Determinando L {f ′′′(t)}:
L
{
f ′′′(t)
}
=
∫ ∞
0
e−stf ′′′(t)dt
L
{
f ′′′(t)
}
=
[
e−stf ′′(t)
]∞
0
−
∫ ∞
0
−se−stf ′′(t)dt
L
{
f ′′′(t)
}
= 0− f ′′(0) + s
∫ ∞
0
e−stf ′′(t)dt︸ ︷︷ ︸
L{f ′′(t)}
Portanto,
L
{
f ′′′(t)
}
= −f ′′(0) + s [s2F (s)− sf(0)− f ′(0)]
L
{
f ′′′(t)
}
= s3F (s)− s2f(0)− sf ′(0)− f ′′(0)
(. . . )
Continuando teremos que (por indução)
L
{
f (n)(t)
}
= snF (s)− sn−1f(0)− sn−2f ′(0)− · · · − sf (n−2)(0)− f (n−1)(0)
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Prof. André Meneghetti 2 TRANSFORMADA DE LAPLACE EM EDO’S
2 Transformada de Laplace em EDO’s
Nessa seção veremos como resolver EDO’s lineares com coeficientes constantes
usando a transformada de Laplace. O diagrama a baixo ilustra qual a ideia e a seguir
alguns exemplos aplicando essa metodologia.
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Prof. André Meneghetti 2 TRANSFORMADA DE LAPLACE EM EDO’S
2.1 Resolvendo uma EDO com TL
Exemplo 2.1.1. Resolva o seguinte PVI usando transformada de Laplace.
y′′(t)− 3y′(t) + 2y(t) = e−4t
y(0) = 1
y′(0) = 5
Resolução:
Da equação
y′′(t)− 3y′(t) + 2y(t) = e−4t,
aplicamos a transformada de Laplace
L
{
y′′(t)− 3y′(t) + 2y(t)} = L {e−4t} .
Pela linearidade
L
{
y′′(t)
}− 3L {y′(t)}+ 2L {y(t)} = L {e−4t} ,
logo
[s2Y (s)− s y(0)︸︷︷︸
1
− y′(0)︸︷︷︸
5
]− 3[sY (s)− y(0)︸︷︷︸
1
] + 2Y (s) =
1
s+ 4
(substituindo as condições iniciais y(0) = 1, y′(0) = 5)[
s2Y (s)− s− 5]− 3 [sY (s)− 1] + 2Y (s) = 1
s+ 4
s2Y (s)− s− 5− 3sY (s) + 3 + 2Y (s) = 1
s+ 4{
s2 − 3s+ 2}Y (s)− s− 5 + 3 = 1
s+ 4
Y (s) =
(s+ 2) + 1s+4
s2 − 3s+ 2 =
(s+ 2) + 1s+4
(s− 1)(s− 2)
Y (s) =
s2 + 6s+ 9
(s− 1)(s− 2)(s+ 4)
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Prof. André Meneghetti 2 TRANSFORMADA DE LAPLACE EM EDO’S
Lembre que Y (s) = L {y(t)} ⇒ y = L −1 {Y (s)}. Portanto, aplicando a inversa
L −1 {Y (s)} = L −1
{
s2 + 6s+ 9
(s− 1)(s− 2)(s+ 4)
}
.
Por frações parciais
L −1 {Y (s)} = L −1
{
−165
s− 1 +
25
6
s− 2 +
1
30
s+ 4
}
L −1 {Y (s)} = −16
5
L −1
{
1
s− 1
}
+
25
6
L −1
{
1
s− 2
}
+
1
30
L −1
{
1
s+ 4
}
y(t) = −16
5
et +
25
6
e2t +
1
30
e−4t.
Confira o gráfico da solução do PVI no intervalo de (0, 4).
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Prof. André Meneghetti 2 TRANSFORMADA DE LAPLACE EM EDO’S
Exemplo 2.1.2. Resolva o PVI usando a transformada de Laplace.
y′′′(t) + 2y′′(t)− y′(t)− 2y(t) = sen 3t
y(0) = 0
y′(0)
= 0
y′′(0) = 1
Resolução:
Aplicando a transformada de Laplace na EDO
L
{
y′′′(t)
}
+ 2L
{
y′′(t)
}−L {y′(t)}− 2L {y(t)} = L {sen 3t}
[s3Y (s)− s2 y(0)︸︷︷︸
0
−s y′(0)︸ ︷︷ ︸
0
− y′′(0)︸ ︷︷ ︸
1
] + 2[s2Y (s)− s y(0)︸︷︷︸
0
− y′(0)︸ ︷︷ ︸
0
]− [sY (s)− y(0)︸︷︷︸
0
]− 2Y (s) = 3
s2 + 32
s3Y (s)− 1 + 2s2Y (s)− sY (s)− 2Y (s) = 3
s2 + 32
(s3 + 2s2 − s− 2)Y (s) = 3
s2 + 32
+ 1
Y (s) =
s2 + 12
(s2 + 9)(s3 + 2s2 − s− 2) .
Obs.: s3 + 2s2 − s− 2 = (s− 1)(s+ 1)(s+ 2).
Obs.:
s2 + 12
(s2 + 9)(s− 1)(s+ 1)(s+ 2) =
13
60
(
1
s− 1
)
− 13
20
(
1
s+ 1
)
+
16
39
(
1
s+ 2
)
+
3
130
(
s− 2
s2 + 9
)
.
Portanto,
L −1 {Y (s)} = 13
60
L −1
{
1
s− 1
}
− 13
20
L −1
{
1
s+ 1
}
+
16
39
L −1
{
1
s+ 2
}
+
3
130
L −1
{
s− 2
s2 + 9
}
y(t) =
13
60
et − 13
20
e−t +
16
39
e−2t +
3
130
[
L −1
{
s
s2 + 9
}
− 2
3
L −1
{
3
s2 + 9
}]
y(t) =
13
60
et − 13
20
e−t +
16
39
e−2t +
3
130
(
cos(3t)− 2
3
sen(3t)
)
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Prof. André Meneghetti 2 TRANSFORMADA DE LAPLACE EM EDO’S
Exemplo 2.1.3. Resolva o PVI usando a transformada de Laplace.
y′′(t)− 4y′(t) = 6e3t − 3e−t
y(0) = 1
y′(0) = −1
Resolução:
Aplicando a tranformada de Laplace na EDO
L
{
y′′(t)
}− 4L {y′(t)} = 6L {e3t}− 3L {e−t}
s2Y (s)− s y(0)︸︷︷︸
1
− y′(0)︸︷︷︸
−1
−4[sY (s)− y(0)︸︷︷︸
1
] = 6
1
s− 3 − 3
1
s+ 1
s2Y (s)− s+ 1− 4sY (s) + 4 = 6
s− 3 −
3
s+ 1
(s2 − 4s)Y (s) = s− 5 + 6
s− 3 −
3
s+ 1
Y (s) =
s− 5 + 6s−3 − 3s+1
s2 − 4s
Y (s) =
(s− 5)(s− 3)(s+ 1) + 6(s+ 1)− 3(s− 3)
(s2 − 4s)(s− 3)(s+ 1)
Y (s) =
s3 − 7s2 + 10s+ 30
(s2 − 4s)(s− 3)(s+ 1)
Y (s) =
11
10
(
1
s− 4
)
− 2
(
1
s− 3
)
+
5
2
(
1
s
)
− 3
5
(
1
s+ 1
)
L −1 {Y (s)} = 11
10
L −1
{
1
s− 4
}
− 2L −1
{
1
s− 3
}
+
5
2
L −1
{
1
s
}
− 3
5
L −1
{
1
s+ 1
}
y(t) =
11
10
e4t − 2e3t + 5
2
− 3
5
e−t
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Prof. André Meneghetti 2 TRANSFORMADA DE LAPLACE EM EDO’S
2.2 Resolvendo um sistema de EDO’s com TL
Exemplo 2.2.1. Resolve o PVI {
x′ = 2x− 2y
y′ = −3x+ y
x(0) = 5 y(0) = 0
Resolução:
Aplicando a tranformadade Laplace{
L {x′} = L {2x− 2y}
L {y′} = L {−3x+ y}{
sX − x(0) = 2X − 2Y
sY − y(0) = −3X + Y .
Aplicando as condições iniciais{
sX − 5 = 2X − 2Y
sY = −3X + Y{
(s− 2)X = −2Y + 5
(s− 1)Y = −3X
X =
−2Y + 5
(s− 2) (A)
Y = −3 X
(s− 1) (B)
.
Substituindo (B) em (A)
X =
−2Y + 5
(s− 2)
X =
−2
(
−3 X(s−1)
)
+ 5
(s− 2)
X =
6X + 5(s− 1)
(s− 1)(s− 2) .
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Prof. André Meneghetti 2 TRANSFORMADA DE LAPLACE EM EDO’S
X(s− 1)(s− 2) = 6X + 5(s− 1)
[(s− 1)(s− 2)− 6]X = 5(s− 1)
X =
5(s− 1)
(s− 1)(s− 2)− 6
X =
5(s− 1)
(s+ 1)(s− 4) .
Por frações parciais,
X =
3
s− 4) +
2
s+ 1)
Aplicando a inversa,
L −1 {X} = L −1
{
3
s− 4)
}
+L −1
{
2
s+ 1)
}
x(t) = 3e4t + 2e−t
.
Para descobrir y(t) usaremos a primeira equação do sistema,
x′ = 2x− 2y
y = x− 1
2
x′
y = 3e4t + 2e−t − 1
2
3e4t + 2e−t′
y(t) = 3e−t − 3e4t
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Prof. André Meneghetti 2 TRANSFORMADA DE LAPLACE EM EDO’S
Exemplo 2.2.2. Resolve o PVI{
2x′′ = −6x+ 2y
y′′ = 2x− 2y + 40 sen(3t)
x(0) = x′(0) = y(0) = y′(0) = 0
Resolução:
Aplicando a transformada de Laplace no sistema{
L {2x′′} = L {−6x+ 2y}
L {y′′} = L {2x− 2y + 40 sen(3t)}
 2
(
s2X − sx(0)− x′(0)) = −6X + 2Y
s2Y − sy(0)− y′(0) = 2X − 2Y + 40 3
s2 + 32
Aplicando as condições iniciais 2s
2X = −6X + 2Y
s2Y = 2X − 2Y + 120
s2 + 9 (2s
2 + 6)X = 2Y
(s2 + 2)Y = 2X +
120
s2 + 9
X =
2
(2s2 + 6)
Y
Y =
2X
(s2 + 2)
+
120
(s2 + 9)(s2 + 2)
Substituindo Y em X
X =
2
(2s2 + 6)
Y
X =
2
(2s2 + 6)
[
2X
(s2 + 2)
+
120
(s2 + 9)(s2 + 2)
]
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Prof. André Meneghetti 2 TRANSFORMADA DE LAPLACE EM EDO’S
X =
2
(2s2 + 6)
2X
(s2 + 2)
+
2
(2s2 + 6)
120
(s2 + 9)(s2 + 2)(
1− 4
(2s2 + 6)(s2 + 2)
)
X =
240
(2s2 + 6)(s2 + 9)(s2 + 2)(
(2s2 + 6)(s2 + 2)− 4
(2s2 + 6)(s2 + 2)
)
X =
240
(2s2 + 6)(s2 + 9)(s2 + 2)
X =
240���
��(2s2 + 6)���
�
(s2 + 2)
[(2s2 + 6)(s2 + 2)− 4]�����(2s2 + 6)(s2 + 9)����(s2 + 2)
X =
240
[(2s2 + 6)(s2 + 2)− 4](s2 + 9) =
120
[(s2 + 3)(s2 + 2)− 2](s2 + 9) .
Usando frações perciais
X =
5
s2 + 12
− 8
s4 + 22
+
3
s2 + 33
Aplicando a inversa de Laplace
L −1 {X} = 5L −1
{
1
s2 + 12
}
− 4L −1
{
2
s4 + 22
}
+L −1
{
3
s2 + 33
}
x(t) = 5 sen(t)− 4 sen(2t) + sen(3t)
.
Para descobrir a função y(t) podemos usar a primeira equação do sistema,
2x′′ = −6x+ 2y.
Isolando y, temos
y = x′′ + 3x
y = (5 sen(t)− 4 sen(2t) + sen(3t))′′ + 3 (5 sen(t)− 4 sen(2t) + sen(3t))
y(t) = 10 sen(t) + 4 sen(2t)− 6 sen(3t)
.
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Prof. André Meneghetti 2 TRANSFORMADA DE LAPLACE EM EDO’S
2.3 Exercícios
◦ Exercício 5. Determine as seguintes transformadas inversas de Laplace:
a) L −1
{
1
s3
}
b) L −1
{
1
s2
− 48
s5
}
c) L −1
{
(s+ 1)3
s4
}
d) L −1
{
1
s2
− 1
s
+
1
s− 2
}
e) L −1
{
1
4s+ 1
}
f) L −1
{
5
s2 + 49
}
g) L −1
{
4s
4s2 + 1
}
h) L −1
{
2s− 6
s2 + 9
}
i) L −1
{
1
s2 + 3s
}
j) L −1
{
s
s2 + 2s− 3
}
k) L −1
{
s
(s− 2)(s− 3)(s− 6)
}
l) L −1
{
1
s3 + 5s
}
m) L −1
{
2s− 4
(s2 + s)(s2 + 1)
}
n) L −1
{
1
(s2 + 1)(s2 + 4)
}
◦ Exercício 6. Resolva os seguintes problemas de valor inicial (PVI) utilizando a tran-
formada de Laplace.
a)
{
y′ − y = 1
y(0) = 0
b)
{
y′ + 4y = e−4t
y(0) = 2
Dica: Mostre que L −1
{
1
(s+4)2
}
= te−4t
c)

y′′ + 5y′ + 4y = 0
y(0) = 1
y′(0) = 0
d)

y′′ − 6y′ + 9y = t
y(0) = 0
y′(0) = 1
Dica: Mostre que L −1
{
1
(s−3)2
}
= te3t
e)

y′′ − 4y′ + 4y = t3e2t
y(0) = 0
y′(0) = 0
f)

y′′ + y = sen(t)
y(0) = 1
y′(0) = −1
Dica: É necessário usar convolução (4.2)
g)

y′′ − y′ = et cos(t)
y(0) = 0
y′(0) = 0
h)

2y′′′ + 3y′′ − 3y′ − 2y = e−t
y(0) = 0
y′(0) = 0
y′′(0) = 1
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Prof. André Meneghetti 2 TRANSFORMADA DE LAPLACE EM EDO’S
◦ Exercício 7. Resolva os seguintes sistemas de EDO’s utilizando a tranformada de
Laplace.
a)
{
x′ = −x+ y
y′ = 2x
x(0) = 0, y(0) = 1
b)
{
x′ = x− 2y
y′ = 5x− y
x(0) = −1, y(0) = 2
c)
{
2x′ + y′ − 2x = 1
x′ + y′ − 3x− 3y = 2
x(0) = 0, y(0) = 0
d)
{
x′′ + x− y = 0
y′′ + y − x = 0
x(0) = 0, x′(0) = −2, y(0) = 0, y′(0) = 1
e)
{
x′′ + y′′ = t2
x′′ − y′′ = 4t
x(0) = 8, x′(0) = 0, y(0) = 0, y′(0) = 0
f)
{
x′′ + 3y′ + 3y = 0
x′′ + 3y = te−t
x(0) = 0, x′(0) = 2, y(0) = 0
DICA: Mostre que L
{
te−t
}
=
1
(s+ 1)2
29
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
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-
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R
G
-
IM
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Prof. André Meneghetti 2 TRANSFORMADA DE LAPLACE EM EDO’S
RESPOSTAS
Exercício 5
a)
1
2
t2
b) t− 2t4
c) 1 + 3t+
3
2
t2 +
1
6
t3
d) t− 1 + e2t
e)
1
4
e−t/4
f)
5
7
sen(7t)
g) cos(t/2)
h) 2 cos(3t)− 2 sen(3t)
i)
1
3
− 1
3
e−3t
j)
3
4
e−3t +
1
4
et
k)
1
2
e2t − e3t + 1
2
e6t
l)
1
5
− 1
5
cos(
√
5t)
m) −4 + 3e−t + cos(t) + 3 sen(t)
n)
1
3
sen(t)− 1
6
sen(2t)
Exercício 6
a) y(t) = −1 + et
b) y(t) =
11
5
et − 1
5
e−4t
c) y(t) =
4
3
e−t − 1
3
e−4t
d) y(t) =
1
9
t+
2
27
− 2
27
e3t +
10
9
te3t
e) y(t) =
1
20
t5e2t
f) y(t) = cos(t)− 1
2
sen(t)− 1
2
t cos(t)
g) y(t) =
1
2
− 1
2
et cos(t) +
1
2
et sen(t)
h) y(t) = −8
9
e−t/2 +
1
9
e−2t +
5
18
et +
1
2
e−t
Exercício 7
a) x(t) = −13e−2t + 13et; y(t) = 13e−2t + 23et
b) x(t) = − cos(3t)− 53 sen(3t); y(t) = 2 cos(3t)− 73 sen(3t)
c) x(t) = −2e3t + 52e2t − 12 ; y(t) = 83e3t − 52e2t − 16
d) x(t) = −12 t− 34
√
2 sen(
√
2t); y(t) = −12 t+ 34
√
2 sen(
√
2t)
e) x(t) = 8 + 23! t
3 + 14! t
4; y(t) = − 23! t3 + 14! t4
f) x(t) = 12 t
2 + t+ 1− e−t; y(t) = −13 + 13e−t + 13 te−t
30
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Prof. André Meneghetti 3 TEOREMAS DE TRANSLAÇÃO
3 Teoremas de translação
3.1 Teorema de translação no eixo s
Teorema 3.1. Se L {f(t)} = F (s) e a ∈ R, então
L
{
eatf(t)
}
= F (s−a)
Prova:
L
{
eatf(t)
}
=
∫ ∞
0
e−steatf(t)dt =
∫ ∞
0
e−(s−a)tf(t)dt = F (s− a)
�
Exemplo 3.1.1. Calcule L
{
e5tt3
}
.
Resolução:
Observe que L
{
t3
}
= 3!
s4
, então usando o teorema acima (3.1)
L
{
e5tt3
}
=
3!
(s−5)4
Exemplo 3.1.2. Calcule L
{
e−2t cos(4t)
}
.
Resolução:
Observe que L {cos(4t)} = s
s2 + 42
, então usando o teorema (3.1)
L
{
e−2t cos(4t)
}
=
s+2
(s+2)2 + 42
.
31
IM
E
F
-
FU
R
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-
IM
E
F
-
FU
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-
IM
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-
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Prof. André Meneghetti 3 TEOREMAS DE TRANSLAÇÃO
Forma inversa do teorema:
Corolário 3.1. Pelo teorema (3.1)
L
{
eatf(t)
}
= F (s−a),
aplicando a inversa de Laplace obtemos
L −1 {F (s−a)} = eatf(t) (6)
Exemplo 3.1.3. Calcule L −1
{
2s+ 5
(s− 3)2
}
.
Resolução:
Usando frações parciais, verifica-se que
2s+ 5
(s− 3)2 =
2
(s− 3) +
11
(s− 3)2 .
Logo, aplicando a transformada inversa
L −1
{
2s+ 5
(s− 3)2
}
= L −1
{
2
(s− 3) +
11
(s− 3)2
}
L −1
{
2s+ 5
(s− 3)2
}
= 2L −1
{
1
(s− 3)
}
︸ ︷︷ ︸
e3t
+11L −1
{
1
(s− 3)2
}
.
Para resolver L −1
{
1
(s−3)2
}
, lembre que
L {t} = 1
s2
⇐⇒ L −1
{
1
s2
}
= t.
Agora usando o teorema (3.1) e o corolário (3.1)
L
{
e3tt
}
=
1
(s−3)2 ⇐⇒ L
−1
{
1
(s− 3)2
}
= e3tt.
Portanto,
L −1
{
2s+ 5
(s− 3)2
}
= 2L −1
{
1
(s− 3)
}
+ 11L −1
{
1
(s− 3)2
}
= 2e3t + 11e3tt.
32
IM
E
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-
FU
R
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-
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-
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Prof. André Meneghetti 3 TEOREMAS DE TRANSLAÇÃO
Exemplo 3.1.4. Calcule L −1
{
s
s2 + 4s+ 6
}
.
Resolução:
Primeiramente completando quadrados tem-se que
s2 + 4s+ 6 = (s+ 2)2 + 2
Ou seja,
L −1
{
s
s2 + 4s+ 6
}
= L −1
{
s
(s+ 2)2 + 2
}
Obs.: Lembre que
L −1
{
s
s2 + (
√
2)2
}
= cos
(
(
√
2)t
)
e, pelo teorema (3.1) ,
L −1
{
(s+2)
(s+2)2 + (
√
2)2
}
= e−2t cos
(
(
√
2)t
)
.
Retornando ao problema atual
L −1
{
s
(s+ 2)2 + 2
}
= L −1
{
(s+2)− 2
(s+ 2)2 + 2
}
= L −1
{
(s+ 2)
(s+ 2)2 + 2
}
−L −1
{
2
(s+ 2)2 + 2
}
L −1
{
s
(s+ 2)2 + 2
}
= L −1
{
(s+ 2)
(s+ 2)2 + (
√
2)2
}
︸ ︷︷ ︸
e−2t cos((
√
2)t)
− 2√
2
L −1
{ √
2
(s+ 2)2 + (
√
2)2
}
︸ ︷︷ ︸
e−2t sen((
√
2)t)
L −1
{
s
(s+ 2)2 + 2
}
= e−2t cos
(
(
√
2t
)
−
√
2e−2t sen
(
(
√
2)t
)
.
33
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Prof. André Meneghetti 3 TEOREMAS DE TRANSLAÇÃO
Exemplo 3.1.5. Resolva o PVI
y′′(t) + 4y′(t) + 6y(t) = 1− e−t
y(0) = 0
y′(0) = 0
.
Resolução:
Aplicando Laplace
L
{
y′′(t)
}
+ 4L
{
y′(t)
}
+ 6L {y(t)} = L {1} −L {e−t}
[s2Y (s)− s y(0)︸︷︷︸
0
− y′(0)︸︷︷︸
0
] + 4[sY (s)− y(0)︸︷︷︸
0
] + 6Y (s) =
1
s
− 1
s+ 1
s2Y (s) + 4sY (s) + 6Y (s) =
1
s
− 1
s+ 1
(s2 + 4s+ 6)Y (s) = �
s+ 1− �s
s(s+ 1)
Y (s) =
1
(s2 + 4s+ 6)s(s+ 1)
.
Obs.: Note que (s2 + 4s+ 6) é irredutível (4 < 0).
Por frações parciais
1
(s2 + 4s+ 6)s(s+ 1)
=
As+B
s2 + 4s+ 6
+
C
s
+
D
s+ 1
.
Resolvendo, obtemos
A =
1
6
B =
1
3
C =
1
6
D = −1
3
.
Logo,
Y (s) =
1
6s+
1
3
s2 + 4s+ 6
+
1
6
s
+
−13
s+ 1
.
Aplicando a transformada inversa de Laplace e usando o fato de s2+4s+6 = (s+2)2+2
L −1 {Y (s)} = 1
6
L −1
{
s
(s+ 2)2 + 2
}
+
1
3
L −1
{
1
(s+ 2)2 + 2
}
+
1
6
L −1
{
1
s
}
− 1
3
L −1
{
1
s+ 1
}
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Prof. André Meneghetti 3 TEOREMAS DE TRANSLAÇÃO
Obs.:
L −1
{
s
(s+ 2)2 + 2
}
= L −1
{
(s+ 2)− 2
(s+ 2)2 + 2
}
L −1
{
(s+ 2)
(s+ 2)2 +
√
2
2
}
− 2√
2
L −1
{ √
2
(s+ 2)2 +
√
2
2
}
Portanto,
y(t) =
1
6
L −1
{
(s+ 2)
(s+ 2)2 +
√
2
2
}
+
2
6
√
2
L −1
{ √
2
(s+ 2)2 +
√
2
2
}
+
1
3
√
2
L −1
{ √
2
(s+ 2)2 +
√
2
2
}
− 1
6
L −1
{
1
s
}
− 1
3
L −1
{
1
s+ 1
}
y(t) =
1
6
e−2t cos(
√
2t)−
���
���
���1
3
√
2
e−2t sen(
√
2t) +
���
���
���1
3
√
2
e−2t sen(
√
2t) +
1
6
− 1
3
e−t
y(t) =
1
6
− 1
3
e−t +
1
6
e−2t cos(
√
2t)
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Prof. André Meneghetti 3 TEOREMAS DE TRANSLAÇÃO
3.2 Função de Heaviside ou degrau unitário
A função de Heaviside ou degrau unitário, denotado por U (t), é definida por
U (t) =

0 , se t ∈ (−∞, 0)
1 , se t ∈ (0,∞)
Gráfico da função de Heaviside U (t):
No contexto da transformada de Laplace, essa função será útil quando deslocada para
direita e com domínio apenas positivo. Isso é, se a > 0
U (t− a) =

0 , se t ∈ [0, a)
1 , se t ∈ [a,∞)
(7)
Gráfico da função de Heaviside deslocada a > 0 unidades para a direita U (t− a):
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Prof. André Meneghetti 3 TEOREMAS DE TRANSLAÇÃO
 Usaremos a função de Heaviside para reescrever funções definidas por
partes.
Exemplo 3.2.1. Usando a função de Heaviside, reescreve a função
f(t) =