lista de Determinantes

Prévia do material em texto

Determinantes
A´lgebra Linear
Prof.: Me. Breno Sampaio
1. Deˆ exemplos de matrizes A e B quadradas de mesmo tamanho tais que det(A+B) , det(A)+
det(B).
2. Seja A uma matriz n × n. Mostre que det(−A) = (−1)n det(A).
3. Seja A uma matriz n × n. Mostre que det(xA) = xn det(A).
4. Seja A uma matriz n × n. Mostre que det(Am) = (det(A))m.
5. Calcule
∣∣∣∣∣∣∣∣
a − b b − c c − a
m − n n − p p −m
x − y y − z z − x
∣∣∣∣∣∣∣∣ usando apenas as propriedades.
6. Discuta, usando a regra de Cramer, o conjunto soluc¸a˜o de cada sistema linear abaixo segundo
os valores do paraˆmetro a.
(i)
{
ax + y = 1
2x + ay = 2 (ii)

x + y + z = 0
x + 2y + az = 0
x + 4y + a2z = 0
7. Mostre que o determiante da matriz de Vandermonde e´ dado por∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 1 ... 1
x1 x2 x3 ... xn
x21 x
2
2 x
2
3 ... x
2
n
...
...
...
...
xn−11 x
n−1
2 x
n−1
3 ... x
n−1
n
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∏
1≤i< j≤n
(x j − xi) = (x2 − x1) · ... · (xn − xn−1).
8. Calcule o determinante da matriz
 1 1 12 3 54 9 25
 .
9. Mostre que o determinante de uma matriz triangular e´ dado pelo produto dos elementos da
diagonal principal.
10. Seja A uma matriz antissı´metrica n × n. Mostre que se n e´ ı´mpar, enta˜o det(A) = 0.
11. Mostre que se A e´ uma matriz ortogonal, enta˜o det(A) = ±1.
12. Mostre que duas matrizes semelhantes teˆm o mesmo determinate.
13. Calcule o posto das matrizes abaixo, primeiro pela definic¸a˜o na matriz escada e depois
usando a definic¸a˜o por determinante.
1
(i)
(
2 1 5
6 3 15
)
(ii)
 1 2 1 0−1 0 3 51 −2 1 1
 . (iii)

0 2 0 2
1 1 0 3
3 −4 0 2
2 −3 0 1
 .
14. Sejam a, b, c nu´meros inteiros. Demostre que o seguinte determinante e´ divisı´vel por a+b+c :∣∣∣∣∣∣∣∣
(b + c)2 b2 c2
a2 (a + c)2 c2
a2 b2 (a + b)2
∣∣∣∣∣∣∣∣
15. Mostre que se A e B sa˜o matrizes quadradas, enta˜o det
([
A 0
0 B
])
= det(A) · det(B)
16. Uma matriz e´ chamada na˜o singular se seu determinate e´ na˜o nulo. Se A for uma matriz na˜o
singular tal que A2 = A, quanto vale o det(A)?
17.
18. Mostre que se A , B e C sa˜o matrizes quadradas, enta˜o det
([
A 0
C B
])
= det(A) · det(B)
19. Seja A uma matriz quadrada tal que A2 = A. Prove que A e´ singular ou det(A) = ±1
20. Mostre que se A e´ uma matriz quadrada, enta˜o det(AAt) ≥ 0.
21. Usando as propriedades do determinante verifique se:
(i)
∣∣∣∣∣∣∣∣
a − b 1 a
b − c 1 b
c − a 1 c
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣∣∣
a 1 b
b 1 c
c 1 a
∣∣∣∣∣∣∣∣ (ii)
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 a bc
1 b ac
1 c ab
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 a a2
1 b b2
1 c c2
∣∣∣∣∣∣∣∣
2