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Matrizes
A´lgebra Linear
Prof.: Me. Breno Sampaio
1. Sejam
A =
 1 2 20 1 32 0 1
 B =
 0 −1 31 0 12 1 −2
 .
(a) Calcule A + Bt, At + B, A + At e B − Bt;
(b) Calcule A + B, A − B, 2A + 3B e 2A − 3B;
(c) Calcule AB e BA.
2. Deˆ exemplos de matrizes quadradas, de mesmo tamanho, A e B, na˜o nulas, tais
que AB = 0.
3. Sendo A =
[
1 0
1 1
]
, calcule as poteˆncias A2, A3, A4 e An para um inteiro positivo
n qualquer.
4. Seja A =
[
1 9
0 16
]
. Mostre que a equac¸a˜o matricial X2 = A admite exatamente 4
soluc¸o˜es e determine-as.
5. Mostre que a u´nica matriz quadrada de ordem n que e´ ao mesmo tempo sime´tria
e antissime´trica e´ a matriz nula.
6. Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n, tais que AB = BA. Mostre que:
(a) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2;
(b) (A + B)(A − B) = A2 − B2;
(c) (A + B)n =
∑n
k=0
(
n
k
)
An−kBk, sendo
(
n
k
)
=
n!
k!(n − k)! .
Definic¸a˜o: 1 (Matriz Perio´dica) Dada uma matriz quadrada A, diz-se que A e´ uma
matriz perio´dica se An = A, sendo n > 2. Se n e´ o menor inteiro para o qual An = A,
diz-se que o perı´odo de A e´ n − 1.
Definic¸a˜o: 2 (Matriz Idempotente) Dada uma matriz perio´dica A, tal que A2 = A,
diz-se que A e´ uma matriz idempotente.
Definic¸a˜o: 3 (Matriz Nilpotente) Dada uma matriz quadrada A, se existir um nu´mero
p, inteiro positivo, tal que Ap = 0, diz-se que A e´ uma matriz nilpotente. Se p e´ o menor
inteiro positivo tal que Ap = 0, diz-se que A e´ uma matriz nilpotente de ”ı´ndice”p.
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7. Sejam A e B matrizes idempotentes tal que AB = BA, enta˜o AB e´ idempotente.
8. Sejam A e B matrizes nilpotentes n × n de mesmo ı´ndice, tais que AB = BA.
(a) Mostre que AB e´ tambe´m uma matriz nilpotente;
(b) Mostre que A + B e´ tambe´m uma matriz nilpotente.
9. Encontre todas as matrizes Mn×n tais que:
(a) M2 = 0;
(b) M2 = I2;
(c) M2 = M.
10. Sejam A e B matrizes m × n e λ ∈ R, mostre que:
(a) (A + B)t = At + Bt;
(b) (λA)t = λAt;
(c) (At)t = A.
11. Sejam A e B matrizes m×n e n×p respectivamente eλ ∈ R, mostre que (AB)t = BtAt.
12. Seja A uma matriz quadrada de ordem n.
(a) Mostre que A+At e´ uma matriz sime´tria e A−At e´ uma amtriz antissime´trica.
(b) Mostre que toda matria quadrada pode ser escrita de maneira u´nica como
a soma de uma matriz sime´trica com uma matriz antissime´trica.
13. Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n e invertı´veis.
(a) Mostre que A−1 e´ invertı´vel e (A−1)−1 = A;
(b) Mostre que AB e´ invertı´vel e que (AB)−1 = B−1A−1;
(c) Mostre que At e´ invertı´vel e que (At)−1 = (A−1)t;
Definic¸a˜o: 4 (TRAC¸O) O Trac¸o de uma matriz quadrada A, n × n, indicado por tr(A)
e´ a soma dos elementos da diagonal principal de A, isto e´
tr(A) =
n∑
i=1
aii = a11 + a22 + ... + ann.
14. Mostre que dados A e B matrizes de ordem n e λ ∈ R, enta˜o:
(a) tr(A + B) = tr(A) + tr(B);
(b) tr(λA) = λtr(A);
(c) tr(AB) = tr(BA).
15. Seja D uma matriz diagonal de ordem n tal que dii , 0 para i = 1, ...,n.Mostre que
D e´ invertı´vel. Qual e´ a inversa de D?
16. Uma matriz A de ordem n e´ chamada superiormente triangular (estritamente)
quando ai j = 0 se i ≥ j. Mostre inicialmente que para n = 3, temos A3 = 0. Daı´
tente concluir que An = 0 sendo n a ordem da matriz A.
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17. Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n. Dizemos que A e´ semelhante a B e
escrevemos A ∼ B se existe uma matriz invertı´vel P tal que A = P−1BP. Demostre
as propriedades abaixo, sendo A, B e C matrizes quadradas de mesmo tamanho.
(i) A ∼ A;
(ii) A ∼ B⇒ B ∼ A;
(iii) A ∼ B e B ∼ C⇒ A ∼ C.
18. Mostre que duas matrizes semelhantes tem o mesmo trac¸o.
19. Mostre que se uma matriz diagonal e´ tambe´m ortogonal, enta˜o os termos de sua
diagonal principal sa˜o 1 ou −1.
20. Mostre que se A e B sa˜o matrizes ortogonais, enta˜o AB e B−1AB tambe´m sa˜o.
21. Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Mostre que A comuta com qualquer
outra matriz quadrada de ordem n⇔ existe a ∈ R tal que A = aIn.
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