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POTENCIAÇÃO
Alcino Pedro
an
FUNDAMENTOS DA POTENCIAÇÃO
1. Conceito Fundamental
Revisão
A potenciação é uma operação matemática que representa a multiplicação repetida de um
número por ele mesmo. É uma forma abreviada de escrever produtos onde o mesmo fator
aparece várias vezes.
Notação: an (lê-se "a elevado à n"ou "a elevado à enésima potência")
Elementos:
• a = base (número que será multiplicado)
• n = expoente (quantidade de vezes que a base será multiplicada)
• an = potência (resultado da operação)
Fórmula 1: Definição Básica
Para a ∈ R e n ∈ N∗:
an = a × a × a × . . . × a︸ ︷︷ ︸
n fatores
Casos especiais:
• a1 = a (qualquer número elevado a 1 é igual a ele mesmo)
1
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• a0 = 1 (qualquer número não nulo elevado a 0 é igual a 1)
• 1n = 1 (1 elevado a qualquer expoente é igual a 1)
• 0n = 0 (0 elevado a qualquer expoente positivo é igual a 0)
Exemplo 1
Vamos calcular algumas potências:
a) 24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16
b) 33 = 3 × 3 × 3 = 27
c) (−2)3 = (−2) × (−2) × (−2) = −8
d) 51 = 5
e) 70 = 1
f) (−1)4 = (−1) × (−1) × (−1) × (−1) = 1
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2. Propriedades Fundamentais da Potenciação
Propriedade 1: Produto de Potências de Mesma Base
Para multiplicar potências de mesma base, conservamos a base e somamos os expoentes:
am × an = am+n
Demonstração. am × an = a × a × . . . × a︸ ︷︷ ︸
m fatores
× a × a × . . . × a︸ ︷︷ ︸
n fatores
= a × a × . . . × a︸ ︷︷ ︸
(m+n) fatores
= am+n
□
Exemplo 2
a) 23 × 25 = 23+5 = 28 = 256
b) x4 × x2 = x4+2 = x6
c) 32 × 31 × 33 = 32+1+3 = 36 = 729
Propriedade 2: Divisão de Potências de Mesma Base
Para dividir potências de mesma base (base diferente de zero), conservamos a base e subtraí-
mos os expoentes:
am
an
= am−n (a ̸= 0)
Demonstração. am
an =
a × a × . . . × a︸ ︷︷ ︸
m fatores
a × a × . . . × a︸ ︷︷ ︸
n fatores
Cancelando n fatores comuns, restam (m − n) fatores no numerador, logo: am−n □
Exemplo 3
a) 57
53 = 57−3 = 54 = 625
b) x8
x5 = x8−5 = x3
c) 26
26 = 26−6 = 20 = 1
Propriedade 3: Potência de Potência
Para elevar uma potência a outro expoente, conservamos a base e multiplicamos os expoentes:
(am)n = am×n
Demonstração. (am)n = am × am × . . . × am︸ ︷︷ ︸
n fatores
= am+m+...+m = an×m □
3 Academicus
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Exemplo 4
a) (23)4 = 23×4 = 212 = 4096
b) (x2)5 = x2×5 = x10
c) ((32)3)4 = (36)4 = 324
Propriedade 4: Potência de um Produto
A potência de um produto é igual ao produto das potências:
(a × b)n = an × bn
Demonstração. (a × b)n = (a × b) × (a × b) × . . . × (a × b)︸ ︷︷ ︸
n fatores
Reagrupando: = a × a × . . . × a︸ ︷︷ ︸
n fatores
× b × b × . . . × b︸ ︷︷ ︸
n fatores
= an × bn □
Exemplo 5
a) (2 × 3)4 = 24 × 34 = 16 × 81 = 1296
b) (xy)3 = x3 × y3
c) (5ab)2 = 52 × a2 × b2 = 25a2b2
Propriedade 5: Potência de um Quociente
A potência de um quociente é igual ao quociente das potências:(
a
b
)n
= an
bn
(b ̸= 0)
Demonstração.
(
a
b
)n
= a
b
× a
b
× . . . × a
b︸ ︷︷ ︸
n fatores
=
a × a × . . . × a︸ ︷︷ ︸
n fatores
b × b × . . . × b︸ ︷︷ ︸
n fatores
= an
bn □
Exemplo 6
a)
(
2
3
)3
= 23
33 = 8
27
b)
(
x
y
)4
= x4
y4
c)
(
5
2
)2
= 52
22 = 25
4
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3. Expoentes Especiais
Fórmula 2: Expoente Zero
Para qualquer número real a ̸= 0:
a0 = 1
Justificativa. Usando a propriedade da divisão: an
an = an−n = a0
Como an
an = 1, temos que a0 = 1 □
Fórmula 3: Expoente Negativo
Para qualquer número real a ̸= 0 e n ∈ N∗:
a−n = 1
an
Justificativa. Usando a propriedade da divisão: 1
an = a0
an = a0−n = a−n □
Exemplo 7
Expoente zero:
a) 50 = 1
b) (−3)0 = 1
c) (xy)0 = 1 (desde que x ̸= 0 e y ̸= 0)
Expoente negativo:
d) 2−3 = 1
23 = 1
8
e) 3−2 = 1
32 = 1
9
f)
(
2
5
)−2
=
(
5
2
)2
= 25
4
4. Potências com Sinais
Fórmula 4: Regras de Sinais
Para potências com base negativa:
• Se o expoente for par: (−a)n > 0 (resultado positivo)
• Se o expoente for ímpar: (−a)n