introdução à probabilidade

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UNIDADE II - INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
 O cálculo das probabilidades pertence ao campo da Matemática. Sua inclusão, neste 
curso, cujo objetivo é essencialmente a Estatística, encontra explicação no fato de que a 
maioria dos fenômenos de que trata a Estatística é de natureza aleatória ou não-
determinística. Consequentemente, o conhecimento dos aspectos mais fundamentais do 
cálculo da probabilidades é uma necessidade essencial para o estudo da Estatística 
Inferencial ou Indutiva. 
 Vamos examinar, inicialmente, o que se pode adequadamente denominar modelo 
determinístico. Por essa expressão pretendemos nos referir a um modelo que estipule as 
condições sob as quais um experimento é executado determinem exatamente, ou com um 
erro que pode ser considerado desprezível, o seu resultado. Por exemplo, se introduzirmos 
uma bateria em um circuito simples, o modelo matemático que descreveria o fluxo de 
corrente elétrica seria I = E/R, isto é, a Lei de Ohm. O modelo determina com exatidão o 
valor de I ao fornecermos os valores de E e R, diferença de potencial e resistência, 
respectivamente. 
 Para um grande número de situações, o modelo matemático determinístico 
apresentado acima é suficiente. Contudo, existem também muitos fenômenos que requerem 
um modelo matemático diferente para sua investigação. 
 Existem experimentos em que, mesmo considerando todos os fatores que 
influenciam no resultado, existe algum fator casual que não consegue-se controlar. Tais 
experimentos são, frequentemente, denominados não-determinísticos ou aleatórios. De fato, 
estamos falando de um modelo não-determinístico para um experimento. 
 
 As principais características de um experimento aleatório são: 
a) Pode-se repetir indefinidamente sob as mesmas condições. 
b) Pode-se descrever todos os possíveis resultados do experimento. 
c) Depois de um grande número de repetições do experimento, surge uma configuração 
definida ou uma regularidade. É esta regularidade que torna possível construir um modelo 
matemático preciso, com o qual se analisará o experimento. 
 
EXEMPLOS: 
 
1. Jogar um dado e observar o número mostrado na face de cima. 
2. Jogar uma moeda duas vezes e observar a sequência de caras e coroas obtidas. 
3. Jogar uma moeda duas vezes e observar o número de caras obtidas. 
4. Peças são produzidas até que 10 peças perfeitas sejam produzidas. O número total de 
peças fabricadas é contado. 
5. Uma lâmpada é fabricada e em seguida é ensaida quanto à duração de vida, pela 
colocação em um soquete. O tempo decorrido (em horas) até queimar é anotado. 
 
 O objetivo básico da teoria das probabilidades é criar um modelo teórico que 
represente estes experimentos. 
 
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2. ESPAÇO AMOSTRAL E EVENTOS 
 
 
Definição 2.1: Definiremos espaço amostral, para cada experimento aleatório E, como o 
conjunto de todos os possíveis resultados do experimento, e o denotaremos 
por Ω. 
 
EXEMPLO 2.1: Determine os espaços amostrais associados aos experimentos dos 
exemplos anteriores. 
 
SOLUÇÃO: 
 
E1 → Ω1 = {1,2,3,4,5,6} 
E2 → Ω2 = {(Ca,Ca), (Ca,Co), (Co,Ca), (Co,Co)}, onde Ca e Co representam a ocorrência de 
cara e coroa, respectivamente. 
E3 → Ω3 = {0,1,2} 
E4 → Ω4 = {10,11,12,....} 
E5 → Ω5 = {t ∈ℜ / t ≥0} 
 
 A fim de descrever um espaço amostral associado a um experimento, devemos ter 
bastante claro o que estamos mensurando ou observando. Por isso, devemos falar de “um” 
espaço amostral e não de “o” espaço amostral. Veja a diferença entre Ω2 e Ω3. 
 Saliente-se, também, que o resultado de um experimento não é necessariamente, um 
número. Por exemplo, em E2, cada resultado é um sequência de Caras (Ca) e Coroas (Co). 
 
Definição 2.2: Um evento A (relativo a um particular espaço amostral Ω, associado a um 
experimento E) é um conjunto de resultados do experimento, isto é, qualquer 
subconjunto do espaço amostral é um evento. 
 
 Diz-se que “ocorre o evento A”, quando o resultado do experimeno aleatório for um 
elemento de A. 
 Em particular, o conjunto universo, Ω, e o conjunto vazio, φ, são também eventos, 
onde Ω é denominado de evento certo e φ evento impossível. Se A contém apenas um 
elemento, dizemos que A é um evento elementar ou simples. 
 
 A partir das operações entre conjuntos (Apêndice A) podemos formar novos eventos, 
tais como: 
 
∗ A ∪ B é o evento que ocorrerá se e somente se A ou B ou ambos ocorrerem. 
∗ A ∩ B é o evento que ocorrerá se e somente se A e B ocorrerem simultaneamente. 
∗ A ocorrerá se e somente se não ocorrer A. 
∗ A − B ocorrerá se e somente se ocorrer A e não ocorrer B. 
 
Definição 2.3: Dois eventos A e B, são ditos mutuamente excludentes (M.E.), se eles não 
puderem ocorrer simultaneamente, isto é, A B∩ = φ . 
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EXEMPLO 2.2: Lançar um dado e observar a face voltada para cima. Considere os 
seguintes eventos: 
 
A: o número é par. 
B: o número é impar. 
C: o número é maior que 4. 
D: o número é menor ou igual a 2. 
 
Determine os eventos: 
 
a) Ω, A, B, C e D. 
b) A ∪ B, A ∩ B, A B∪ , A B∩ 
c) A , B , A B∪ , A B∩ 
d) Quais os eventos mutuamente excludentes? 
 
SOLUÇÃO: 
 
a) Ω = {1,2,3,4,5,6}, A = {2,4,6}, B = {1,3,5}, C = {5,6}, D = {1,2} 
 
b) A ∪ B = {1,2,3,4,5,6} = Ω : é o evento certo 
 A ∩ B = φ : é o evento impossível 
 A B∪ = φ 
 A B∩ = Ω 
 
c) A = {1,3,5} B = {2,4,6} 
 A B∪ = {1,2,3,4,5,6} = Ω = A B∩ 
 A B∩ = φ = A B∪ 
 
d) A ∩ C = {6} : evento elementar A ∩ D = {2} 
 B ∩ C = {5} B ∩ D = {1} 
 C ∩ D = φ 
 Os eventos A e B, assim como os eventos C e D, são mutuamente excludentes. 
 
Obs: Note que o item c) exemplifica as leis de “De Morgan”. (ver Apêndice A) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 31 
 
3. NOÇÕES FUNDAMENTAIS DE PROBABILIDADE 
 
 
Definição 3.1: Seja E um experimento e Ω um espaço amostral associado a E. 
Probabilidade é uma função P que associa a cada evento A ∈ F(Ω) a um 
número real representada por P(A) e denominada probabilidade do evento 
A, satisfazendo aos seguintes axiomas: 
 
1. 0 ≤ P(A) ≤ 1. 
2. P(Ω) = 1. 
3. Se A e B forem eventos mutuamente excludentes, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) 
 Se A1, A2, ..., An, ... forem, dois a dois, eventos mutuamente excludentes, então, 
 
 P A P A P A P A P Ai i n i
i
( ) ( ) ( ) ... ( ) ... ( )∪ = + + + + =
=
∞
=
∞
∑1 1 2
1
 
 
 Por enquanto, não sabemos como calcular P(A). Nós apenas arrolamos algumas 
propriedades gerais que P(A) possui. Vamos, inicialmente, enunciar e demonstrar algumas 
consequências relacionadas a P(A) que decorrem das condições acima e que não dependem 
da maneira pela qual nós realmente calculamos P(A). 
 
PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS 
 
Propriedade 3.1: Se φ for o conjunto vazio, então P(φ)=0. 
 
Demonstração: Para qualquer evento A, sabemos que 
 
 A= A ∪ φ e A ∩ φ = φ 
 
Então, A e φ são eventos mutuamente excludentes. De 3. temos 
 
 P(A) = P A P A P( ) ( ) ( )∪ = +φ φ , logo P(A) = P(A) + P(φ) 
 
Portanto, P(φ) = 0 
 
Propriedade 3.2: Se A for o evento complementar de A, então P( A ) = 1 - P(A). 
 
Demonstração: Para qualquer evento A, sabemos que 
 
 Ω = ∪A A e φ = ∩A A 
 
Então, A e A são eventos mutuamente excludentes. De 3. temos 
 
P(Ω)=P(A∪ A ) = P(A) + P( A ). De 2. Temos 
 32 
 
 1 = P(A) + P( A ) . 
 
 Logo, P( A ) = 1- P(A). 
 
Propriedade 3.3:Se A e B forem eventos quaisquer tais que A ⊂ B então P(A) ≤ P(B). 
 
Demonstração: Sabemos que 
 
 B = A ∪ (B ∩ A ) , onde A e (B ∩ A ) são eventos mutuamente excludentes. 
 
Consequentemente, P(B) = P(A) + P(B ∩ A ) ≥ P(A), porque P(B ∩ A ) ≥ 0, pelo axioma 1. 
 
Propriedade 3.4: Se A e B são dois eventos quaisquer, entãoP(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) 
 
Demonstração: Podemos escrever 
 
A ∪ B = A ∪ (B∩ A ) , onde A e (B ∩ A ) são eventos mutuamente excludentes e 
 B = (A ∩ B) ∪ (B ∩ A ), onde (A ∩ B) e (B ∩ A ) são eventos mutuamente excludentes 
 
Do axioma 3. temos, 
 
 P(A ∪ B) = P(A) + P(B ∩ A ) e 
 P(B) = P(A ∩ B) + P(B ∩ A ). Assim, P(B ∩ A ) = P(B) - P(A ∩ B) 
 
Então, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) 
 
 Como exercício pode-se facilmente provar a propriedade acima para três eventos. 
 
 Se A, B e C são três eventos quaisquer , então 
 
 P(A ∪B ∪C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A ∩B) - P(A ∩C) - P(B ∩C) + P(A ∩B∩C) 
 
 
4.PROBABILIDADE EM ESPAÇOS AMOSTRAIS FINITOS E EQUIPROVÁVEIS 
 
 
Definição 4.1: Seja Ω um espaço amostral associado a um experimento aleatório E com um 
número finito de resultados possíveis. Então, Ω pode ser escrito da seguinte 
forma: Ω = {a1,a2,...,an} e seja Ai = {ai} i=1,2,...,n todos os eventos 
elementares de Ω. A cada evento elementar {ai} associaremos um número pi, 
denominado de probabilidade de {ai}, que satisfaça às seguintes condições: 
 
 33 
 
1. pi ≥ 0, i = 1, 2, ..., n. 
2. p1 + p2 + ... + pn =1 
 
 Como {ai} é um evento, essas condições são coerentes com aquelas postuladas para 
as probabilidades dos eventos em geral, isto é, com os axiomas da definição 3.1. 
 
 Suponha, agora, que um evento B seja constituído de k resultados, 1≤ k ≤ n, a saber, 
 
B={a1,a2,...,ak}, 
 
onde 1,2,...,k representam qualquer dos k índices, de 1 até n. Consequentemente, conclui-se 
do axioma 3 da definição de probabilidade (3.1) que 
 
P(B) = p1 + p2 + ... + pk 
 
EXEMPLO 4.1: Três cavalos, A, B e C, estão numa corrida; A é duas vezes mais provável 
de ganhar que B e B é duas vezes mais do que C. Quais são as 
probabilidades de vitória de cada um, isto é, P(A), P(B) e P(C) ? 
 
SOLUÇÃO: Seja P(C) = p; como B é duas vezes mais provável de ganhar do que C, 
P(B)=2p; e como A é duas vezes mais provável do que B, P(A) = 2P(B) = 
2(2p) = 4p. Como a soma das probabilidades tem que ser 1; então 
 
 p + 2p + 4p = 1 ou 7p = 1 ou p = 1/7. 
 
 Logo, P(A) = 4/7 ; P(B) = 2/7 e P(C) = 1/7 
 
Pergunta: Qual é a probabilidade de que B ou C ganhe ? 
 
Por definição, P(B ∪ C) = P(B) + P(C) = 2/7 + 1/7 = 3/7 
 
Definição 4.2: Seja um espaço amostral Ω = {a1,a2,...,an} associado a um experimento E e 
consideremos Ai = {ai} i=1,2,...,n os eventos elementares de Ω. O espaço 
amostral Ω é dito equiprovável se 
 
P(Ai) = p , i = 1,2, ..., n, 
 
ou seja, se todos os eventos elementares são igualmente prováveis. 
 
 Consequentemente, das condições 1. e 2. da definição 4.1, vem: 
 
1. pi = p ≥ 0, i = 1, 2, ..., n. 
2. p1 + p2 + ... + pn = p + p + ... + p = 1 
 
 De 2. tem-se que np = 1 e consequentemente, p = 1/n. 
 
 34 
 Logo, se o espaço amostral é equiprovável, a probabilidade de cada um dos pontos é 
1/n. 
 
 Disto decorre que, para qualquer evento B formado de k resultados, 1≤ k ≤ n, tem-se 
 
P(B) = k
n
, ou seja, P(B) = n B
n
( )
( )Ω = 
n de casos favoraveis
n de casos possiveis
o.
o.
 
 
EXEMPLO 4.2: Selecione aleatoriamente uma carta de um baralho comum de 52 cartas. 
Sejam A: a carta é uma espada e B: a carta é uma figura. 
 Calcule P(A), P(B) e P(A ∩ B) 
 
SOLUÇÃO: Como temos um espaço equiprovável, 
 
 P A
n de espadas
n de cartas
o
o
( )
.
.
= = =
 
 
13
52
1
4
 
 
 P B
n de figuras
n de cartas
o
o
( )
.
.
= = =
 
 
12
52
3
13
 
 
 P A B
n de figuras de espadas
n de cartas
o
o
( )
.
.
∩ = =
 
 
3
52
 
 
 
5. PROBABILIDADE CONDICIONADA 
 
 
EXEMPLO 5.1: Um lote é formado pelos seguintes artigos: 80 não defeituosos e 20 
defeituosos. Dois artigos são retirados do lote. Sejam A={o 1° artigo é 
defeituoso} e B={o 2° artigo é defeituoso}. 
 Calcule P(A) e P(B), a) com reposição; b) sem reposição. 
 
SOLUÇÃO: 
a) Se extrairmos com reposição, P A P B( ) ( )= = =20100 15 , pois cada vez que estivermos 
extraindo do lote, existirão 20 peças defeituosas no total de 100. 
 
b) Se estivermos extraindo sem reposição, é ainda verdade que P A( ) = 15 . Mas e sobre 
P(B) ? É evidente que, a fim de calcularmos P(B) é necessário conhecer a composição do 
lote no momento de se extrair a segunda peça. Isto é, devemos saber se A ocorreu ou nao. 
 
 Este exemplo mostra a necessidade de se introduzir o seguinte conceito. 
 
Sejam A e B dois eventos associados ao experimento E. Denotaremos por P(B/A) a 
probabilidade condicionada do evento B, quando A tiver ocorrido. 
 35 
 Sempre que calcularmos P(B/A), estaremos essencialmente calculando P(B) em 
relação ao espaço amostral reduzido A, em lugar de fazê-lo em relação ao espaço original Ω. 
 
EXEMPLO 5.2: Dois dados honestos são lançados, registrando-se o resultado como (x1,x2), 
onde xi é o resultado do i-ésimo dado, i=1,2. Considere os seguintes 
eventos: A={(x1,x2)/ x1 + x2 = 10} e B={(x1,x2)/ x1 > x2}. 
 Determine: P(A), P(B), P(A ∩ B), P(B/A) e P(A/B). 
 
SOLUÇÃO: O espaço amostral Ω pode ser representado pela seguinte lista de 36 resultados 
igualmente prováveis. 
 
 Ω = 
( , ),( , ), , ( , ),
( , ),( , ), ,( , ),
( , ),( , ), ,( , )
11 1 2 1 6
2 1 2 2 2 6
6 1 6 2 6 6
L
L
MLLLLLLM
L
 













, n(Ω)=36, 
 
 A={(5,5),(4,6),(6,4)}, B={(2,1),(3,1),(3,2),...,(6,5)} e A ∩ B={(6,4)} 
 
 n(A) = 3 n(B) = 15 n(A ∩ B) = 1 
 
Portanto, P A( ) = 3
36
 , P B( ) = 15
36
 , P A B( )∩ = 1
36
, 
P B A( / ) = 1
3
, uma vez que o espaço amostral é, agora, formado por A. 
 De modo equivalente, temos P A B( / ) = 1
15
. 
 
 Se fizermos um exame cuidadoso dos vários números calculados, concluiremos que 
 
 P B A P A B
P A
( / ) ( )( )=
∩
 e P A B P A B
P B
( / ) ( )( )=
∩
 
 
 Essas relações não surgiram apenas neste caso particular. Ao contrário, são bastante 
gerais, e nos dão caminho para definir a probabilidade condicionada. 
 
Definição 5.1: Sejam A e B dois eventos quaisquer de um mesmo espaço amostral Ω. 
Chamamos probabilidade do evento A, dado que o evento B ocorreu, ao 
seguinte quociente: 
 P A B P A B
P B
( / ) ( )( )=
∩
, se P(B) > 0 
 
Observações: 
 
1. Se P(B) = 0, nada podemos afirmar a respeito da probabilidade condicional. 
 36 
2. Se A e B forem mutuamente excludentes, então P A B P
P B
( / ) ( )( )= =
φ 0 . 
 
3. No espaço amostral finito equiprovável, P A B
n A B
n
n B
n
n A B
n B
( / )
( )
( )
( )
( )
( )
( )=
∩
=
∩Ω
Ω
 
 
 
EXEMPLO 5.3: Um laboratório de pesquisa possui 10 terminais de computadores. 
Algumas dessas máquinas são micro-computadores (M) e outras são 
estações de trabalho (E); algumas são novas (N) enquanto outras são muito 
usadas (U), de acordo com a tabela abaixo. Uma pessoa entra no 
laboratório, pega uma máquina ao acaso, e descobre que é nova. Qual a 
probabilidade de que seja um micro-computador ? 
 
 Máquinas 
 Tempo de uso M E Total 
N 4 3 7 
U 2 1 3 
Total 6 4 10 
 
SOLUÇÃO: Considerando-se somente o espaço amostral reduzido N (isto é, as 7 máquinas 
novas), temos P(M / N) = 4 / 7. 
 Empregando a definição de probabilidade condicional, temos 
 
 P M N P M N
P N
( / ) ( )( )
/
/
=
∩
= =
4 10
7 10
4
7
 
 
 A mais importante consequência da definição de probabilidade condicional acima, é 
o seguinte teorema. 
 
Teorema 5.1 (Teorema da Multiplicação de Probabilidades):Sejam A e B dois eventos quaisquer de um mesmo espaço amostral Ω, então: 
 
P A B P B P A B( ) ( ) ( / )∩ = ∗ ou P A B P A P B A( ) ( ) ( / )∩ = ∗ 
 
Observação: O teorema da multiplicação de probabilidades pode ser generalizado para mais 
de dois eventos. 
 
 Sejam A1, A2,..., An eventos quaisquer de um mesmo espaço amostral Ω, a 
probabilidade da ocorrência simultânea de A1, A2,..., An é dada por: 
 
P(A1 ∩ A2 ∩...∩ An) = P(A1)*P(A2/A1)*...*P(An/A1 ∩ A2 ∩...∩ An-1) 
 37 
EXEMPLO 5.4: Uma caixa contém 4 lâmpadas boas e 2 queimadas. Retira-se ao acaso 3 
lâmpadas, sem reposição. Calcule a probabilidade dessas 3 lâmpadas 
serem boas. 
 
SOLUÇÃO: Seja Ai: a i-ésima lâmpada é boa, então 
 
P(A1 ∩ A2 ∩ A3) = P(A1)*P(A2/A1)*P(A3/A1 ∩ A2) = 46
3
5
2
4
1
5
* * = . 
 
 Até aqui, empregamos o conceito de probabilidade condicional a fim de avaliar a 
probabilidade de ocorrência conjunta de dois ou mais eventos. Veremos, no próximo 
teorema, como aplicar esse conceito para calcular, de outra maneira, a probabilidade de um 
evento qualquer A. 
 
Teorema 5.2 (Teorema da Probabilidade Total):Sejam A um evento qualquer do espaço 
amostral Ω e B1, B2,..., Bk uma partição do mesmo espaço amostral Ω, então: 
 
P(A) = P(A/ B1)P(B1) + P(A/ B2)P(B2) + ... + P(A/ Bk)P(Bk) = P A B P Bi i
i
k
( / ) ( )
=
∑
1
 
 
Demonstração: Como A = (A ∩ B1) ∪ (A ∩ B2) ∪...∪ (A ∩ Bk ) e (A ∩ B1), (A ∩ B2), ..., 
(A ∩ Bk ) são eventos mutuamente excludentes, temos 
 
P(A) = P(A ∩ B1) + P(A ∩ B2) + ... + P(A ∩ Bk ). 
 
Pelo teorema da multiplicação de probabilidades, temos 
 
P(A) = P(A/ B1)P(B1) + P(A/ B2)P(B2) + ... + P(A/ Bk)P(Bk) 
 
 
EXEMPLO 5.5: Voltando ao exemplo 5.1, calcule a P(B) se as retiradas dos artigos são 
feitas sem reposição. 
 
SOLUÇÃO: Como já vimos P A( ) = 1
5
. Logo, pela propriedade 3.2 , temos que P A( ) = 4
5
. 
 
 Agora, P B A( / ) = 19
99
, porque se A tiver ocorrido, então na segunda extração 
restarão somente 99 peças, das quais 19 delas serão defeituosas. De modo 
similar, temos que P B A( / ) = 20
99
. Pelo teorema da probabilidade total, temos 
 
P B P B A P A P B A P A( ) ( / ) ( ) ( / ) ( )= + = ∗ + ∗ =19
99
1
5
20
99
4
5
1
5
. 
 
 
 38 
EXEMPLO 5.6: Uma determinada peça é manufatura por três fábricas, digamos A, B e C. 
Sabe-se que A produz o dobro de peças que B, e que B e C produzem o 
mesmo número de peças. Sabe-se também que 2% de peças produzidas por 
A assim como por B são defeituosas, enquanto que 4% daquelas 
produzidas por C são defeituosas. Todas as peças são colocadas em um 
depósito, e depois uma peça é extraída ao acaso. Qual a probabilidade de 
que essa peça seja defeituosa ? 
 
SOLUÇÃO: Seja os eventos A={a peça provém da fábrica A}, B={a peça provém da 
fábrica B}, C={a peça provém da fábrica C} e D={a peça é defeituosa}. 
 
 Temos que P(A)=2P(B), e P(B)=P(C). Substituindo essas relações em 
P(A)+P(B)+P(C)=1, temos que 2P(B)+P(B)+P(B) = 1, logo, 
 P(B)=P(C)= 1/4, enquanto que P(A) = 1/2. 
 
 Como queremos determinar P(D) e os eventos A, B e C formam uma partição 
do espaço amostral, podemos aplicar o teorema da probabilidade total, o qual 
escreveremos como 
 
P(D) = P(D/A)P(A) + P(D/B)P(B) + P(D/C)P(C). 
 
Pelo enunciado do problema, temos que P(D/A) = P(D/B) = 0,02, enquanto 
P(D/C) = 0,04. Levando-se esses valores à expressão acima, encontraremos 
 
P D( ) , , , ,= ∗ + ∗ + ∗ =0 02 1
2
0 02 1
4
0 04 1
4
0 025 
 
 
6. TEOREMA DE BAYES 
 
 
 Poderemos empregar o Exemplo 5.6 para sugerir outro importante resultado. 
Suponha-se que uma peça seja retirada do depósito e se verifique ser ela defeituosa. Qual a 
probabilidade de que tenha sido produzida na fábrica A ? 
 
 Poderemos calcular esta probabilidade pelo seguinte teorema. 
 
Teorema 6.1 (Teorema de Bayes): Sejam B1, B2,..., Bk uma partição do espaço amostral Ω e 
A um evento qualquer associado a Ω , então: 
 
 
P B A
P A B P B
P A B P Bi
i i
j jj
k( / )
( / ) ( )
( / ) ( )=
=
∑ 1
 , i k= 1 2, ,... , 
 
 
 39 
Demonstração: P B A P B A
P A
P A B P B
P Ai
i i i( / ) ( )( )
( / ) ( )
( )=
∩
= , i k= 1 2, ,... , 
 
 
Pelo teorema da probabilidade total , P A P A B P Bj j
j
k
( ) ( / ) ( )=
=
∑
1
. Logo, 
 
P B A
P A B P B
P A B P B
i
i i
j jj
k( / )
( / ) ( )
( / ) ( )
=
=
∑ 1
 , i k= 1 2, ,... , 
 
EXEMPLO 6.1:Voltando ao problema proposto acima, e agora aplicando o teorema 6.1, 
obtemos 
 
P A D( / ) ( , ) ( / )( , ) ( / ) ( , ) ( / ) ( , ) ( / ) ,=
∗
∗ + ∗ + ∗
=
0 02 1 2
0 02 1 2 0 02 1 4 0 04 1 4
0 40 
 
EXEMPLO 6.2: Numa certa turma, 1% dos homens e 4% das mulheres têm menos que 
1,60m. de altura. Além disso, 60% dos estudantes são homens. Ora, se um 
estudante é selecionado aleatoriamente e tem menos que 1,60m. de altura, 
qual é a probabilidade do estudante ser um homem ? 
 
SOLUÇÃO: Sejam A={estudantes de menos de 1,60m. de altura} 
 
 M={estudantes do sexo feminino} e H={estudantes do sexo masculino}. 
 
Pelo teorema de Bayes, 
 
P H A P A H P H
P A H P H P A M P M
( / ) ( / ) ( )( / ) ( ) ( / ) ( )
( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , ) ( , )= + =
∗
∗ + ∗
=
0 01 0 60
0 01 0 60 0 04 0 40
3
11
. 
 
 
7. EVENTOS INDEPENDENTES 
 
 
 Consideremos dois eventos A e B quaisquer de um mesmo espaço amostral Ω. 
Dizemos que A e B são dois eventos independentes se a probabilidade de ocorrência do 
evento A não altera a probabilidade de ocorrência do evento B, isto é, P(B) = P(B/A). 
 
 Pelo Teorema de Multiplicação de Probabilidades, temos: 
 
P(A ∩ B) = P(A) * P(B/A) = P(A) * P(B) 
 
 Podemos, então, formalizar a seguinte definição. 
 
 40 
Definição 7.1: Dois eventos A e B são independentes se e somente se 
P A B P A P B( ) ( ) ( )∩ = ∗ 
 
Consequentemente, P(A/B) = P(A) e P(B/A) = P(B), se P(A) e P(B) são não-nulos. 
 
EXEMPLO 7.1: Suponha que um dado equilibrado seja jogado duas vezes. Definamos os 
eventos A e B, da seguinte forma: 
 
 A={o primeiro dado mostra um número par}, 
 B={o segundo dado mostra um 5 ou um 6}. 
 
Determine P(A), P(B), P(A ∩ B), P(A/B) e P(B/A). 
 
SOLUÇÃO: Temos o seguinte espaço amostral, 
 
 Ω = 
( , ), ( , ), , ( , ),
( , ), ( , ), , ( , ),
( , ), ( , ), , ( , )
11 1 2 1 6
2 1 2 2 2 6
6 1 6 2 6 6
L
L
MLLLLLLM
L














, A=
( , ), ( , ), , ( , )
( , ), ( , ), , ( , )
( , ), ( , ), , ( , )
2 1 2 2 2 6
4 1 4 2 4 6
6 1 6 2 6 6
L
L
L










, 
 
 B=
( , ), ( , ), ( , )
( , ), ( , ), , ( , )
1 5 2 5 6 5
1 6 2 6 6 6
L
L






 e { }A B∩ = ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )2 5 2 6 4 5 4 6 6 5 6 6 . 
 
 
Então, P A( ) = =18
36
1
2
, P B( ) = =12
36
1
3
, enquanto P A B( )∩ = =6
36
1
6
. 
 
Consequentemente, 
 
P A B P A B
P B
P A( / ) ( )( )
/
/
( )= ∩ = = =1 6
1 3
1
2
, e P B A P A B
P A
P B( / ) ( )( )
/
/
( )= ∩ = = =1 6
1 2
1
3
 
 
 Podemos estender este conceito para n eventos. 
 
Definição 7.2: Sejam A1, A2,..., An, n eventos de um mesmo espaço amostral Ω. Dizemos 
que A1, A2,..., An são eventos independentes, se: 
 
 P A A P A P Ai j i j( ) ( ) ( ),∩ = ∗ i j n≠ = 1 2, , ,L 
P A A A P A P A P Ai j k i j k( ) ( ) ( ) ( )∩ ∩ = ∗ ∗ , i j k n≠ ≠ = 1 2, , ,K 
 M 
 P A A A P Ai j n i
i
n
( ) ( )∩ ∩ ∩ =
=
∏L
1
 
 
Observação: No caso de n eventos teríamos 2n - n -1 relaçõesa serem verificadas. 
 41 
EXEMPLO 7.2: Suponha que um par de moedas não viciadas seja jogada. Definamos os 
eventos: 
 A={cara na primeira moeda}, 
 B={cara na segunda moeda} e 
 C={cara em exatamente uma moeda}. 
 
Determine P(A), P(B), P(C), P(A ∩ B), P(A ∩ C), P(B ∩ C) e P(A ∩ B ∩ C). 
 
SOLUÇÃO: Temos o seguinte espaço amostral, Ω = {(Ca,Ca),(Ca,Co),(Co,Ca),(Co,Co)}, 
onde Ca é cara e Co é coroa, então 
 
A={(Ca,Ca),(Ca,Co)}, B={(Ca,Ca),(Co,Ca)} e C={(Ca,Co),(Co,Ca)} 
 
Logo, P A P B P C( ) ( ) ( )= = = =2
4
1
2
 e P A B P Ca Ca( ) ({ , })∩ = = 1
4
, 
 
P A C P Ca Co( ) ({ , })∩ = = 1
4
, P B C P Co Ca( ) ({ , })∩ = = 1
4
 e 
 
P A B C P P A P B P C( ) ( ) ( ) ( ) ( )∩ ∩ = = ≠ ∗ ∗φ 0 
 
 Este exemplo mostra que os eventos são dois a dois independentes, mas os três 
eventos não são independentes. 
 
 
8. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
1. Meyer, P.L. (1984). Probabilidade: aplicações à estatística. Livros Técnicos Científicos 
Editora S.A. 
 
2. Lipschutz, S. (1972). Probabilidade. Editora McGraw Hill do Brasil Ltda. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 42 
APÊNDICE A - ALGUMAS NOÇÕES DA TEORIA DOS CONJUNTOS 
 
 Este apêndice apresenta alguns conceitos elementares da Teoria dos Conjuntos que 
são fundamentais à Teoria das Probabilidades. 
 
 Um conjunto é uma coleção de objetos. Geralmente os conjuntos são representados 
por letras maiúscula: A, B, .... Os objetos que formam o conjunto A são denominados 
elementos de A. Quando a for um elemento de A denotaremos a ∈ A e quando a não for um 
elemento de A escrevemos a ∉ A. 
 Definiremos o conjunto vazio como sendo o conjunto que não contenha qualquer 
elemento e o conjunto universal como aquele que é formado por todos os objetos que 
estejam em estudo. 
 A partir do conjunto vazio (φ) e do conjunto universal (U), podemos enumerar as 
duas seguintes propriedades: 
1. φ ⊂ A, para qualquer A. 
2. A ⊂ U, desde que já se tenha definido o conjunto universal. 
 
 Consideremos, agora, a importância de combinar conjuntos a fim de formar novos 
conjuntos. No que segue, consideramos A e B dois conjuntos arbitrários. 
 
1. União: A ∪ B ={x: x ∈ A ou x ∈ B}. 
 É o conjunto dos elementos que pertencem a A ou a B ou a ambos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Interseção: A ∩ B = {x: x ∈ A e x ∈ B} 
 É o conjunto dos elementos que pertencem simultaneamente a A e a B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A B 
 
A B 
 43 
 
3. Complementação: Sejam A e B dois conjuntos tais que A ⊂ B, A = {x: x ∉ A e x ∈ B}. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO: Seja U = { 1,2,3,4,5,6}, A = { 1,2,3}, B = { 2,3,4}. 
Então, A = {4,5,6}, A ∪ B = {1,2,3,4} e A ∩ B = {2,3} 
 
 Enunciaremos abaixo algumas propriedades importantes: 
 
 Sejam A, B e C três conjuntos quaisquer. 
 
1. Idempotência: A ∪ A = A ; A ∩ A = A. 
2. Comutativa: A ∪ B = B ∪ A ; A ∩ B = B ∩ A. 
3. Associativa: A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C ; A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C. 
4. Distributiva: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ; A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). 
5. Absorção: A ∪ (A ∩ B) = A ; A ∩ (A ∪ B) = A. 
6. Identidade: A ∩ U = A; A ∩ φ = φ ; A ∪ U = U; A ∪ φ = A. 
7. Complementar: U = φ ; φ = U ; A A∩ = φ ; A A U∪ = . 
8. Leis da dualidade ou Leis de “De Morgan”: ( ) ( )A B A B∩ = ∪ ; 
 ( ) ( )A B A B∪ = ∩ . 
 
 A partir dessas identidades podemos enunciar as seguintes definições. 
 
Definição A.1: Dá-se o nome de conjunto das classes de A, e denota-se por F(A), à classe de 
todos os possíveis subconjuntos de A. 
 
 Para efeito de exemplo, considere A = {a,b,c}, então 
 
 F(A) ={φ , {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}=A} 
 
 Em geral, se A é finito e tem n elementos, então F(A) tem 2n elementos. 
 
Definição A.2: Uma partição de um conjunto A é uma subdivisão de A em subconjuntos Ai, 
i=1,2,...n, tal que: 
 
1. Ai ≠ φ , ∀ =i n1 2, , ,L 
2. A Ai j∩ = φ , ∀ ≠i j 
A 
A 
 44 
3. A Ai
i
n
=
=1
U 
EXEMPLO: Seja A = {a,b,c}, então 
 A1 = {a} e A2 = {b,c} representam uma partição, enquanto que A1 = {a}, A2 
= {a,b} e A3 = {b} não representaria. 
 
 
APÊNDICE B - TÉCNICAS DE CONTAGEM 
 
 Nem sempre é possível enumerar de forma simples o espaço amostral e o evento. Por 
esta razão, são necessários alguns procedimentos de contagem que são estudados pela 
análise combinatória. 
 Existem várias maneiras de dispor os objetos de uma coleção em grupos. Esses 
grupos denominam-se agrupamentos e os objetos que os constituem chama-se de elementos. 
Em qualquer das maneiras de disposição dos elementos, existem dois casos: 
 
1. Em cada agrupamento todos os elementos são distintos - agrupamento simples. 
 
2. Em cada agrupamento pode haver repetições dos elementos - agrupamento com repetição. 
 
 Os agrupamentos, quanto ao modo de formação, podem ser classificados em : 
Arranjos, Permutações e Combinações. 
 Os agrupamentos simples diferem pela ordem ou pela natureza de seus elementos. 
Diferem pela natureza quando pelo menos, um dos elementos de um dos agrupamentos não 
for elemento do outro. 
 
Definição B.1: Sendo n um inteiro positivo, definimos n! = (n)(n-1)(n-2)....1 e o 
denominamos de fatorial de n. Também definimos 0! = 1. 
 
1. PERMUTAÇÕES 
 
A. PERMUTAÇÕES SIMPLES DE OBJETOS DISTINTOS 
 
 São os agrupamentos simples de n elementos que podemos formar com eles. 
Diferem um do outro pela ordem dos elementos. O número de permutações é 
 
Pn = n ! 
 
EXEMPLO B.1: Com as primeiras quatro letras do alfabeto, quantos agrupamentos de 4 
elementos podemos formar ? 
 
SOLUÇÃO: P4 = 4! = 4.3.2.1 = 24. A saber, temos, o seguinte conjunto, 
 {abcd, abdc, acbd, acdb, adbc,adcb, 
 bacd, badc, bcad, bcda, bdac, bdca, 
 cabd, cadb, cbad, cbda, cdab, cdba, 
 dabc, dacb, dbac, dbca, dcab, dcba} 
 
 45 
 
 
B. PERMUTAÇÕES COM OBJETOS REPETIDOS 
 
 São as permutações que podemos formar com n elementos, dos quais n1 são iguais, 
n2 são iguais, ..., nr são iguais. Diferem pela ordem. O número de permutações é 
 
P n
n n n
n n n n
r
r, , , ,
!
! ! !1 2 1 2
L
L
= 
 
EXEMPLO B.2:Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra CARCARA? 
 
SOLUÇÃO: Temos 2 letras C, 3 letras A e 2 letras R, num total de 7 letras. Então, teremos, 
 
P7 2 3 2
7
2 3 2
210
, , ,
!
! ! !
= = anagramas diferentes. 
2. ARRANJOS 
 
A. ARRANJOS SIMPLES DE OBJETOS DISTINTOS 
 
 São os agrupamentos de r elementos dentre n elementos distintos. Diferem um 
agrupamento do outro, pela natureza ou pela ordem de seus elementos. 
O número de arranjos é 
 
A A n
n r
n r n
r
( , )
!
( )!= = − 
 
EXEMPLO B.3: Com as quatro primeiras letras do alfabeto, quantos agrupamentos de 2 
elementos podemos formar ? 
SOLUÇÃO:Podemos formar A42 42 12= =
!
!
 agrupamentos diferentes, a saber, temos 
 
 {ab, ac, ad, ba, bc, bd, ca, cb, cd, da, db, dc}. 
 
B. ARRANJOS COM REPOSIÇÃO DO OBJETO SELECIONADO 
 
 São os agrupamentos de r elementos que podemos formar com n elementos (0<r<n). 
Diferem um do outro pela ordem, pela natureza ou pela repetição de r elementos dentro do 
mesmo agrupamento. O número de agrupamentos é: 
 
A nn r
r
( , )
*
= 
 
EXEMPLO B.4: Com as quatro primeiras letras do alfabeto, quantos agrupamentos de 2 
elementos podemos formar se a escolha for feita sucessivamente e com 
reposição do elemento escolhido ? 
 
 46 
 
 
SOLUÇÃO: Teremos A( , )*4 2 24 16= = agrupamentos, a saber, teremos, 
 
 {aa, ab, ac, ad, ba, bb, bc, bd, ca, cb, cc, cd,da, db, dc, dd} 
 
3. COMBINAÇÕES 
 
A. COMBINAÇÕES SIMPLES DE OBJETOS DISTINTOS 
 
 São os agrupamentos simples de r elementos que podemos formar com n elementos 
(0<r<n). Diferem um do outro pela natureza dos elementos. O número de agrupamentos é 
 
C C n
r n r
n r n
r
,
!
!( )!= = − 
 
EXEMPLO B.5: Com as quatro primeiras letras do alfabeto, quantas combinações de dois 
elementos podemos formar ? 
 
SOLUÇÃO: Teremos C42 42 2 6= =
!
! !
 agrupamentos, a saber, teremos, 
 
 {ab, ac, ad, bc, bd, cd} 
 
OBSERVAÇÕES: 
 
1. A n
n n
n
n Pn
n
n=
−
= = =
!
( )!
!
!
!
0
 
2. A n
n r
r
n
r n r
r Cn
r
n
r
=
−
= ∗
−
=
!
( )! !
!
!( )! !* 
3. C n
n r r
Cn
r
n
n r
=
−
=
−
!
( )! ! 
4. 
C C
n
r n r
n
r n r
r n n r n
r n r
n r n r
r n r
n
r n r
C
n
r
n
r
n
r
−
−
−
+ =
−
− −
+
−
− −
=
− + − −
−
=
− + −
−
=
−
=
1
1
1
1
1
1
1
1 1 1( )!
( )!( )!
( )!
!( )!
( )! ( )( )!
!( )!
( )!( )
!( )!
!
!( )!