FUNCOES

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21/03/2013
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MATEMÁTICA BÁSICA
CIÊNCIAS CONTÁBEIS
MATEMÁTICA BÁSICA
ELÍDIO LUIZ MARTINELLI
CONJUNTOS NUMÉRICOS
R
N
Z
Q
I
INTERVALOS
INTERVALOS ABERTOS DE EXTREMOS “a” E “b”
] a, b[ = { x       R /  a <  x  < b∈
INTERVALOS FECHADOS DE EXTREMOS “a” E “b”
[ a, b ] = { x       R /  a ≤ x ≤ b∈
INTERVALOS
INTERVALOS FECHADOS `A ESQUERDA DE 
EXTREMOS “a” E “b”
[ a, b[ = { x       R /  a ≤  x  < b∈
INTERVALOS FECHADOS A DIREITA DEINTERVALOS FECHADOS A DIREITA DE 
EXTREMOS “a” E “b”
] a, b ] = { x       R /  a < x ≤ b∈
INTERVALOS INFINITOS
] ‐ ∞, a [ = { x      R /  x < a}∈
] ‐ ∞, a ] = { x      R /  x ≤ a}∈
[ a, + ∞ [ = { x    R /  x > a}∈
] a, + ∞ [ = { x    R /  x ≥ a}
] ‐ ∞, + ∞ [  =   x    R ∈
∈
RELAÇÕES
PAR ORDENADO: CHAMA-SE PAR TODO O
CONJUNTO FORMADO POR DOIS ELEMENTOS.
x y 3
solução: {2 ;1}
+ =⎧⎨ solução: {2 ;1}x y 1⎨ − =⎩
{2;1} ≠ {1;2}
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PLANO CARTESIANO
CONSIDEREMOS DOIS EIXOS “x” E “y”
PERPENDICULARES EM “0”, OS QUAIS
DETERMINAM UM PLANO “α”.
y ORDENADAS ( α )
0 x
y
P ( x; y )
x’ // x  e  y’ // yx’
y’
ABCISSAS
( α )
PRODUTO CARTESIANO
SEJAM “A” e “B”, DOIS CONJUNTOS NÃO
VAZIOS. DENOMINAMOS PRODUTO CARTESIANO
DE “A” POR “B” O CONJUNTO “A x B” CUJOS
ÃELEMENTOS SÃO TODOS PARES ORDENADOS (x,
y), EM QUE O PRIMEIRO ELEMENTO PERTENCE A
“A” E O SEGUNDO PERTENCE A “B”
A x B = { (x , y) / x     A   e y    B} ∈ ∈
DADOS OS CONJUNTOS A= {1, 2} E
B= {1, 2, 3}. DETERMINAR AxB.
A x B = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1) , (2,2) , (2,3)}
DOMÍNIO
DOMÍNIO: CHAMA-SE DOMÍNIO DE R O
CONJUNTO “D” DE TODOS OS
PRIMEIROS ELEMENTOS DOS PARESPRIMEIROS ELEMENTOS DOS PARES
ORDENADOS PERTENCENTES A “R”.
x D y, y B / (x, y) R∈∈ ⇔ ∈
IMAGEM
IMAGEM: CHAMA-SE IMAGEM DE R O
CONJUNTO “Im” DE TODOS OS
SEGUNDOS ELEMENTOS DOS PARESSEGUNDOS ELEMENTOS DOS PARES
ORDENADOS PERTENCENTES A “R”.
y Im x, x A / (x, y) R∈ ⇔ ∃ ∈ ∈
0
2
3
2
6
3
1
ImD
ESQUEMA COM DIAGRAMAS
4 4
BA
D = {2, 3, 4} Im = {2, 3, 4, 6}
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CONCEITO DE FUNÇÕES
FUNÇÕES
VAMOS CONSIDERAR, POR EXEMPLO, OS CONJUNTOS
A = { 0, 1, 2, 3 } E B = { -1, 0, 1, 2, 3 } E AS SEGUINTES
RELAÇÕES BINÁRIAS DE A EM B;
0
1
2
3
‐ 1
0
1
2
3
A B
f ( x ) = x+1
CONCEITO DE FUNÇÕES
VAMOS CONSIDERAR, POR EXEMPLO, OS CONJUNTOS
A = { 0, 1, 2, 3 } E B = { -1, 0, 1, 2, 3 } E AS SEGUINTES
RELAÇÕES BINÁRIAS DE A EM B;
1
A B
0
1
2
3
‐ 1
0
1
2
3
W = { (0, 2), (1, 2), (2, 2), (3,2)}
DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO
DADOS DOIS CONJUNTOS A E B, NÃO VAZIOS, UMA
RELAÇÃO “ f ” DE A EM B RECEBE O NOME DE
APLICAÇÃO DE A EM B OU FUNÇÃO DEFINIDA EM A COM
IMAGENS EM B SE, E SOMENTE SE, PARA TODO X
PERTENCENTE A A EXISTE UMA SÓ Y PERTENCENTE A B
TAL QUE (x , y) PERTENCE A “ f ”.
f é aplicação de A em B ( x A, y B / ( x,y) f )⇔ ∀ ∈ ∃ ∈ ∈
ESQUEMA DE FLECHAS
1) É NECESSÁRIO QUE TODO ELEMENTO X A
PARTICIPE DE PELO MENOS UM PAR (x, y) f, ISTO É,
TODO ELEMENTO DE A DEVE SERVIR COMO PONTO DE
PARTIDA DE UMA ÚNICA FLECHA.
∈
∈
2) É NECESSÁRIO QUE CADA ELEMENTO X A 
PARTICIPE DE APENAS UM ÚNICO PAR (x, y) f, ISTO É, 
CADA ELEMENTO DE A DEVE SERVIR COMO PONTO DE 
PARTIDA DE UMA ÚNICA FLECHA.
∈
∈
PARA QUE UMA RELAÇÃO SEJA FUNÇÃO É NECESSÁRIO QUE OS ITENS ACIMA SEJAM
SATISFEITAS
UMA RELAÇÃO “ f “ NÃO É APLICAÇÃO SE NÃO
SATISFAZER UMA DAS CONDIÇÕES ACIMA, ISTO É:
-SE EXISTIR UM ELEMENTO DE A DO QUAL NÃO PARTA
FLEXHA ALGUMA;
- SE EXISTIR UM ELEMENTO DE A DO QUAL PARTAM
DUAS OU MAIS FLECHAS.
ff : A B A B f : A B
x f (x ) x f (x ) y f ( x )
→ ⎯⎯→ →
→ =6
NOTAÇÃO:
DOMÍNIO DE FUNÇÕES
CHAMAMOS DE DOMÍNIO O CONJUNTO “ D “ DOS 
ELEMENTOS x A PARA OS QUAIS EXISTE y B 
TAL QUE (x , y) f. COMO, PELA DEFINIÇÃO DE 
FUNÇÃO, TODO ELEMENTO DE A TEM ESSA 
PROPRIEDADE TEMOS NAS FUNÇÕES:
∈
∈
∈
PROPRIEDADE, TEMOS NAS FUNÇÕES:
DOMÍNIO = CONJUNTO DE PARTIDA
D = A
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IMAGEM DE FUNÇÕES
CHAMAMOS DE IMGAEM O CONJUNTO “ Im “ DOS 
ELEMENTOS y B PARA OS QUAIS EXISTE x A TAL 
QUE (x , y) f; PORTANTO:
IMAGEM É SUBCONJUNTO DO CONTRADOMÍNIO
∈
∈
∈
IMAGEM É SUBCONJUNTO DO CONTRADOMÍNIO
IM B⊂
A B
IM B ⊂
ESQUEMATICAMENTE
DOMÍNIO CONTRADOMÍNIO
IM
DOMÍNIO
“D” É O CONJUNTO DAS ABCISSAS DOS PONTOS TAIS QUE AS
RETAS VERTICAIS CONDUZIDAS POR ESSES PONTOS
INTERCEPTAM O GRÁFICO DE “f”, ISTO É, É O CONJUNTO
FORMADO POR TODAS AS ABCISSAS DOS PONTOS DO GRÁFICO
DE “ f ”.
IMAGEMIMAGEM
“Im” É O CONJUNTO DAS ORDENADAS DOS PONTOS TAIS QUE AS
RETAS HORIZONTAIS CONDUZIDAS POR ESSES PONTOS
INTERCEPTAM O GRÁFICO DE “f”, ISTO É, É O CONJUNTO
FORMADO POR TODAS AS ORDENADSAS DOS PONTOS DO
GRÁFICO DE “ f ”.
DETERMINAR O DOMÍNIO DAS FUNÇÕES A SEGUIR:
2x
1)x(f)d
5x3)x(f)c
4x3)x(f)b
2x3)x(f)a
3
−=
−=
−=
−=
2x
2x)x(f)g
4x
1x)x(f)f
1x
1)x(f)e
2
−
+=
−
−=
+=
FUNÇÃO CONSTANTE
f ( x ) = c
Im= C 
(0, c)
FUNÇÃO IDENTIDADE 
f ( x ) = x
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FUNÇÃO LINEAR
f ( x ) = ax + b, a ≠ 0
a = coeficiente angular
b = coeficiente linear
ZERO DA FUNÇÃO AFIM
FAZER f ( x ) = 0
ax + b = 0
x = - b / ax = - b / a
GRÁFICO
O GRÁFICO DA FUNÇÃO AFIM É SEMPRE UMA RETA.
SINAL DA FUNÇÃO AFIM
À DIREITA À ESQUERDA SINAL À IR ITA
SINAL DE “ a “ 
À ESQUERDA SINAL 
CONTRÁRIO DE “ a “ 
SOLUÇÃO GRÁFICA DE SISTEMAS
x y 5
a)
x y 1
3x 2y 14
b)
+ =⎧⎨ − =⎩
− = −⎧⎨ yb) 2x 3y 8
2x 5y 9
c)
7x 4y 10
⎧⎨ + =⎩
− =⎧⎨ + =⎩
FUNÇÃO QUADRÁTICA
f ( x ) = ax2 + bx + c, com a ≠ 0
f ( x ) = x2 – 3x + 2
f ( x ) = x2 – 4
f ( x ) = - 2x2
GRÁFICO y = x2 - 1
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GRÁFICO y = - x2 + 1
4
5
6
7
y
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8
−3
−2
−1
1
2
3
x
ZEROS
2b b 4ac
x
2 a
− ± −=
VÉRTICEVÉRTICE
X
y
bV
2a
V
4a
bV ;
2a 4a
−=
−Δ=
⎛ ⎞− −Δ= ⎜ ⎟⎝ ⎠
IMAGEM: 
yIm R ou V= ≥ ≤
RELACIONADA A COORDENADA y DO VÉRTICE DA PARÁBOLA.
SINAL DA FUNÇÃO QUADRÁTICA
a < 0
++++++++++++++++++++++++++
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐
a > 0
SINAL DA FUNÇÃO QUADRÁTICA
++++++++++ ++++++++++
a < 0
‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐a > 0
SINAL DA FUNÇÃO QUADRÁTICA
a < 0
++++++++++ ++++++++++
‐ ‐ ‐ ‐ ‐
++++
‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐
a > 0
++++
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FUNÇÃO MODULAR
f ( x ) = | x |
x, se x 0≥⎧⎪⎨ou
x, se x 0
⎪⎨⎪− <⎩
GRÁFICO
Y
X
OUTRAS FUNÇÕES
3
2
1 1a) f (x ) x b) f (x ) c) f (x )
x x 1
1 x 1d) f (x ) e) f (x ) f) f ( x )
2 x x 1 x
= = = +
= = =− −
2
1g) f ( x )
(x 1)
= +
FUNÇÕES: EXPONENCIAL E 
LOGARÍTMICA
FUNÇÃO EXPONENCIAL
DADO UM NÚMERO REAL “a” (a > 0 ≠ 1),
DENOMINA-SE FUNÇÃO EXPONENCIAL DE
BASE “a” A UMA FUNÇÃO f DE R EM R
DEFINIDA POR f ( x ) = ax OU
y = ax.
f ( x ) = 3x
f ( x ) = ( 0,5 )x
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
x f ( x ) = 2x
-1 1 / 2
0 1
1 2
y
2 4
3 8
x
(0; 1)
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x f ( x )
-1 2
0 1
1 1/2
( ) x
2
1xf ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
y
1 1/2
2 1/4
3 1/8
x
(0; 1)
ƒ O GRÁFICO É UMA CURVA EXPONENCIAL 
QUE PASSA POR ( 0; 1 ).
ƒ O DOMÍNIO DA FUNÇÃO É R;
ƒ A IMAGEM É R*+;
ƒ O GRÁFICO NÃO INTERCEPTA O EIXO X;ƒ O GRÁFICO, NÃO INTERCEPTA O EIXO X; 
ƒ QUANDO “a” > 1, A FUNÇÃO É 
CRESCENTE;
ƒ QUANDO O 0 < a < 1 A FUNÇÃO É 
DECRESCENTE.
LOGARÍTMO DE UM NÚMERO
SE , ENTÃO PODEMOS 
DIZER QUE 
3x2282 3xx =⇒=⇒=
8 3Log 82 =
DEFINIÇÃO
DADOS OS NÚMEROS REAIS POSITIVOS
“a” E “b”, COM a ≠ 1, , ENTÃO O
EXPOENTE “c” CHAMA-SELOGARITMO DE
“b” NA BASE “a”.
5x22322xLog 5xx322 =⇔=⇔=⇔=
PROPRIEDADES OPERATÓRIAS
LOGARITMO DE UM PRODUTO
( ) N
a
M
a
N.M
a LogLogLog +=
7Log5Log)7.5(Log +=
LOGARITMO DE UM QUOCIENTE
N
a
M
a
N
M
a LogLogLog −=
3Log7Log
3
7Log −=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
LOGARITMO DE UMA POTÊNCIA
M
a
M
a Log.NLog
N =
5Log.75Log 7 = 5Log.75Log
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FUNÇÃO LOGARÍTMICA
A INVERSA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL DE
BASE “a” É A FUNÇÃO QUE ASSOCIA A
CADA NÚMERO REAL POSITIVO x OCADA NÚMERO REAL POSITIVO x O
NÚMERO REAL CHAMADO LOGARITMO
DE x NA BASE a, COM a REAL, POSITIVO E
DIFERENTE DE 1.
x x
2 1/2a) f ( x ) Log b) f ( x ) Log= =
EXEMPLOS
x x
3 1/3c) f ( x ) Log d) f ( x ) Log= =
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
x y = f ( x )
y
( ) x2Logxf =
1 / 4 -2
1 / 2 -1
1 0
2 1
4 2
x
(1; 0)
y
( ) x 2/1Logxf =
x y = f ( x )
1/4 2
1/2 1
1 0
2 - 1
4 - 2
x
(1; 0)
CONSIDERAÇÕES IMPORTANTES
¾ O GRÁFICO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA PASSA 
PELO PONTO (1; 0).
¾ O GRÁFICO NUNCA TOCA O EIXO y.
¾ SE a > 1 A FUNÇÃO É CRESCENTE.
¾ SE 0 < a < 1 A FUNÇÃO É DECRESCENTE.
¾ O DOMÍNIO É . 
¾ A IMAGEM É R.
*R+