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* AJUSTE DE CURVAS 6.1 Introdução 6.2 Método dos quadrados mínimos 6.2.1 Caso discreto 6.2.2 Caso contínuo 6.3 Caso não-linear * AJUSTE DE CURVAS 6.1 - INTRODUÇÃO No capítulo anterior vimos uma forma de trabalhar com uma função definida por uma tabela. A interpolação polinomial. Nem sempre a interpolação é aconselhável. Quando se quer aproximar um valor da função fora do intervalo de tabelamento. Extrapolação. Quando os valores são medidas experimentais com erros. Neste caso a função deve passar pela barra de erros não pelos pontos. * AJUSTE DE CURVAS 6.1- INTRODUÇÃO Graficamente, a extrapolação e o ajuste por barras de erros são vistos abaixo: Curva ajustada Curva extrapolada Barra de erros * AJUSTE DE CURVAS 6.1 - INTRODUÇÃO Temos que ajustar estas funções tabeladas por uma função que seja uma “boa aproximação” e que permita extrapolações com alguma margem de segurança. Dado os pontos num intervalo [a,b], devemos escolher funções , e constantes tais que a função se aproxime de * AJUSTE DE CURVAS 6.1 - INTRODUÇÃO Este modelo é dito linear pois os coeficientes a determinar aparecem linearmente. Note que as funções podem ser funções não-lineares, por exemplo: PROBLEMA 1 Como escolher as funções ? * AJUSTE DE CURVAS 6.1 - INTRODUÇÃO Podemos escolher as funções observando os pontos tabelados ou a partir de conhecimentos teóricos do experimento. * AJUSTE DE CURVAS 6.1 - INTRODUÇÃO: CASO DISCRETO Seja dada na tabela: Devemos construir o diagrama de dispersão * Diagrama de dispersão – caso discreto Gráf1 2.05 1.153 0.45 0.4 0.5 0 0.2 0.6 0.512 1.2 2.05 x f(x) Plan1 x f(x) -1 2.05 -0.75 1.153 -0.6 0.45 -0.5 0.4 -0.3 0.5 0 0 0.2 0.2 0.4 0.6 0.5 0.512 0.7 1.2 1 2.05 * AJUSTE DE CURVAS 6.1 - INTRODUÇÃO: CASO DISCRETO Escolhemos a partir da forma dos pontos no diagrama de dispersão. Procuramos a função que se aproxime ao máximo de que tenha a forma (parábola passando pela origem) PROBLEMA 2: Qual o valor de que gera melhor ajuste da parábola? * AJUSTE DE CURVAS 6.1 - INTRODUÇÃO: CASO CONTÍNUO Dada uma função contínua em [a,b] e escolhidas as funções todas contínuas em [a,b], devemos determi-nar as constantes de modo que a função se aproxime ao máximo de . * AJUSTE DE CURVAS 6.1 - INTRODUÇÃO: CASO CONTÍNUO Tanto no caso discreto quanto no caso contínuo o que significa ficar mais próxima? Idéia: A função é tal que o módulo da área sob a curva seja mínimo!!! * 6.2 Método dos Mínimos Quadrados Objetivo: encontrar os coeficientes aj tais que a função se aproxime ao máximo de f(x) MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS Consiste em escolher os aj’s de modo que a soma dos quadrados dos desvios seja mínima. * 6.2 Método dos Mínimos Quadrados Caso Discreto Desvio em : Se a soma dos quadrados dos desvios é mínima, cada desvio será pequeno. Assim, aj’s devem ser tais que minimizem a função * 6.2 Método dos Mínimos Quadrados Caso Discreto Para obter um ponto mínimo devemos encontrar os números críticos, ou seja, aj’s tais que onde * 6.2 Método dos Mínimos Quadrados Caso Discreto Calculando as derivadas, temos Igualando a zero, * 6.2 Método dos Mínimos Quadrados Caso Discreto Ou seja, temos um sistema linear a resolver * 6.2 Método dos Mínimos Quadrados Caso Discreto Reescrevendo o sistema, Sistema linear de n equações com n incógnitas * 6.2 Método dos Mínimos Quadrados Caso Discreto - Retas Exemplo 1: Encontre a reta de mínimos quadrados que melhor se ajusta aos pontos (2,1), (5,2), (7,3), (8,3). Calculemos para * 6.2 Método dos Mínimos Quadrados Caso Discreto - Retas Logo, * 6.2 Método dos Mínimos Quadrados Caso Discreto - Retas Gráf1 1 2 3 3 1 3.14 Plan1 2 1 5 2 7 3 8 3 2 1 8 3-Jan Plan1 Plan2 Plan3 * 6.2 Método dos Mínimos Quadrados Caso Discreto - Parábolas Exemplo 2: Encontre a parábola através dos mínimos quadrados que melhor se ajusta aos pontos da tabela Vimos pelo diagrama de dispersão que uma parábola pela origem seria uma boa escolha, logo seja, * 6.2 Método dos Mínimos Quadrados Caso Discreto - Parábolas Logo temos apenas uma equação dada por Calculando as somas, segue que: * 6.2 Método dos Mínimos Quadrados Caso Discreto - Parábolas Comentário 1: Note que a parábola pela origem, alinhada com o eixo dos y, que melhor ajusta os pontos fornecidos, através Método dos Mínimos Quadrados, é dada por Comentário 2: Uma parábola da forma permite um melhor ajuste dos pontos, mas o sistema a ser resolvido é 3X3 com várias somas e produtos intermediários, o que aumenta o tempo de processa-mento. * 6.2 Método dos Mínimos Quadrados Caso Contínuo Para a notação não ficar carregada, consideremos apenas duas funções de ajuste Sejam contínua em [a,b] e também contínuas em [a,b] escolhidas com algum critério. Desejamos encontrar mais próxima de . Neste caso quais são ? Do critério de mínimos quadrados: ser mínimo!!!!!!!! * 6.2 Método dos Mínimos Quadrados Caso Contínuo Calculando * 6.2 Método dos Mínimos Quadrados Caso Contínuo Analogamente ao caso discreto, minimizando * 6.2 Método dos Mínimos Quadrados Caso Contínuo Segue o sistema linear Comentário: Se forem duas funções LI, então o sistema tem solução única para . * 6.2 Método dos Mínimos Quadrados Caso Contínuo - Reta Exemplo: Encontre a reta através dos mínimos quadrados que melhor se ajusta a função no intervalo [0,1]. Seja , logo Calculando os termos do sistema linear 2X2 * 6.2 Método dos Mínimos Quadrados Caso Contínuo - Reta Calculando os termos do sistema linear * 6.2 Método dos Mínimos Quadrados Caso Contínuo - Reta Obtemos o sistema linear Logo, a reta que melhor ajusta no intervalo [0,1] e dada pelo método dos mínimos quadrados por * 6.2 Método dos Mínimos Quadrados Caso Contínuo - Reta > plot([4*x^3, -4/5+x*18/5], x=0..1, color=[red,blue], style=[line,line]);
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