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Ajuste de Curvas_parte 3

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 AJUSTE DE CURVAS
6.1 Introdução
6.2 Método dos quadrados mínimos
	6.2.1 Caso discreto
	6.2.2 Caso contínuo
6.3 Caso não-linear
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 AJUSTE DE CURVAS
6.1 - INTRODUÇÃO
No capítulo anterior vimos uma forma de trabalhar com uma função definida por uma tabela. A interpolação polinomial.
Nem sempre a interpolação é aconselhável.
Quando se quer aproximar um valor da função fora do intervalo de tabelamento. Extrapolação.
Quando os valores são medidas experimentais com erros. Neste caso a função deve passar pela barra de erros não pelos pontos.
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AJUSTE DE CURVAS
6.1- INTRODUÇÃO
Graficamente, a extrapolação e o ajuste por barras de erros são vistos abaixo:
Curva ajustada
Curva extrapolada
Barra de 
erros
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AJUSTE DE CURVAS 
6.1 - INTRODUÇÃO
Temos que ajustar estas funções tabeladas por uma função que seja uma “boa aproximação” e que permita extrapolações com alguma margem de segurança.
Dado os pontos 
 num intervalo [a,b], devemos escolher funções
 , e constantes 
 tais que a função 
 se aproxime de 
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AJUSTE DE CURVAS
6.1 - INTRODUÇÃO 
Este modelo é dito linear pois os coeficientes a determinar aparecem linearmente.
Note que as funções 
 podem ser funções não-lineares, por exemplo: 
PROBLEMA 1
Como escolher as funções ? 
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AJUSTE DE CURVAS
6.1 - INTRODUÇÃO
 Podemos escolher as funções
 observando os pontos tabelados ou a partir de conhecimentos teóricos do experimento.
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AJUSTE DE CURVAS
6.1 - INTRODUÇÃO: CASO DISCRETO
Seja dada na tabela: 
Devemos construir o diagrama de dispersão
	
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Diagrama de dispersão – caso discreto
Gráf1
		2.05
		1.153
		0.45
		0.4
		0.5
		0
		0.2
		0.6
		0.512
		1.2
		2.05
x
f(x)
Plan1
		x		f(x)
		-1		2.05
		-0.75		1.153
		-0.6		0.45
		-0.5		0.4
		-0.3		0.5
		0		0
		0.2		0.2
		0.4		0.6
		0.5		0.512
		0.7		1.2
		1		2.05
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AJUSTE DE CURVAS
6.1 - INTRODUÇÃO: CASO DISCRETO
Escolhemos a partir da forma dos pontos no diagrama de dispersão.
Procuramos a função que se aproxime ao máximo de que tenha a forma
 (parábola passando pela origem)
PROBLEMA 2: Qual o valor de que gera melhor ajuste da parábola?
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AJUSTE DE CURVAS
6.1 - INTRODUÇÃO: CASO CONTÍNUO
Dada uma função contínua em [a,b] e escolhidas as funções
 todas contínuas em [a,b], devemos determi-nar as constantes de modo que a função
 se aproxime ao máximo de .
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AJUSTE DE CURVAS
6.1 - INTRODUÇÃO: CASO CONTÍNUO
Tanto no caso discreto quanto no caso contínuo o que significa ficar mais próxima?
Idéia: A função é tal que o módulo da
 área sob a curva seja 
 mínimo!!!
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6.2 Método dos Mínimos Quadrados
Objetivo: encontrar os coeficientes aj tais que a função 
	se aproxime ao máximo de f(x)
MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS Consiste em escolher os aj’s de modo que a soma dos quadrados dos desvios seja mínima.
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6.2 Método dos Mínimos Quadrados
Caso Discreto
Desvio em :
Se a soma dos quadrados dos desvios
	é mínima, cada desvio 
 será pequeno. Assim, aj’s devem ser tais que minimizem a função
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6.2 Método dos Mínimos Quadrados
Caso Discreto
Para obter um ponto mínimo devemos encontrar os números críticos, ou seja, aj’s tais que
	onde 
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6.2 Método dos Mínimos Quadrados
Caso Discreto
Calculando as derivadas, temos
Igualando a zero,
	
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6.2 Método dos Mínimos Quadrados
Caso Discreto
Ou seja, temos um sistema linear a resolver
	
*
6.2 Método dos Mínimos Quadrados
Caso Discreto
Reescrevendo o sistema,
	
Sistema linear de n equações com n incógnitas
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6.2 Método dos Mínimos Quadrados
Caso Discreto - Retas 
Exemplo 1: Encontre a reta de mínimos quadrados que melhor se ajusta aos pontos (2,1), (5,2), (7,3), (8,3). Calculemos para 
*
6.2 Método dos Mínimos Quadrados
Caso Discreto - Retas
Logo,
*
6.2 Método dos Mínimos Quadrados
Caso Discreto - Retas
Gráf1
		1
		2
		3
		3
		1
		3.14
Plan1
		2		1
		5		2
		7		3
		8		3
		2		1
		8		3-Jan
Plan1
		
Plan2
		
Plan3
		
		
*
6.2 Método dos Mínimos Quadrados
Caso Discreto - Parábolas 
Exemplo 2: Encontre a parábola através dos mínimos quadrados que melhor se ajusta aos pontos da tabela
Vimos pelo diagrama de dispersão que uma parábola pela origem seria uma boa escolha, logo seja,
 
*
6.2 Método dos Mínimos Quadrados
Caso Discreto - Parábolas 
 Logo temos apenas uma equação dada por
Calculando as somas, segue que:
*
6.2 Método dos Mínimos Quadrados
Caso Discreto - Parábolas 
 Comentário 1: Note que a parábola pela origem, alinhada com o eixo dos y, que melhor ajusta os pontos fornecidos, através Método dos Mínimos Quadrados, é dada por
Comentário 2: Uma parábola da forma
 permite um melhor ajuste dos pontos, mas o sistema a ser resolvido é 3X3 com várias somas e produtos intermediários, o que aumenta o tempo de processa-mento.
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6.2 Método dos Mínimos Quadrados
Caso Contínuo
 Para a notação não ficar carregada, consideremos apenas duas funções de ajuste
Sejam contínua em [a,b] e também contínuas em [a,b] escolhidas com algum critério.
Desejamos encontrar mais próxima de . Neste caso quais são ?
Do critério de mínimos quadrados:
 ser mínimo!!!!!!!!
 
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6.2 Método dos Mínimos Quadrados
Caso Contínuo
 Calculando
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6.2 Método dos Mínimos Quadrados
Caso Contínuo
 Analogamente ao caso discreto, minimizando
 
*
6.2 Método dos Mínimos Quadrados
Caso Contínuo
 Segue o sistema linear
Comentário: Se forem duas funções LI, então o sistema tem solução única para .
 
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6.2 Método dos Mínimos Quadrados
Caso Contínuo - Reta
Exemplo: Encontre a reta através dos mínimos quadrados que melhor se ajusta a função no intervalo [0,1]. Seja , logo 
Calculando os termos do sistema linear 2X2
 
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6.2 Método dos Mínimos Quadrados
Caso Contínuo - Reta
Calculando os termos do sistema linear
 
*
6.2 Método dos Mínimos Quadrados
Caso Contínuo - Reta
Obtemos o sistema linear
Logo, a reta que melhor ajusta no intervalo [0,1] e dada pelo método dos mínimos quadrados por
 
*
6.2 Método dos Mínimos Quadrados
Caso Contínuo - Reta
> plot([4*x^3, -4/5+x*18/5], x=0..1, color=[red,blue], style=[line,line]);

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