Lista Geometria Analítica

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UNIVERSIDADE DE PERNAMBUCO — UPE
CAMPUS MATA NORTE — CMN
Prof. Esdras Jafet Aristides da Silva
Lista de exerc´ıcios de Geometria Anal´ıtica
Obs.: (versa˜o: 5 de setembro de 2013) Esta lista esta´ em constante atualizac¸a˜o, certifique-se de que esta´ com
a versa˜o mais recente.
1. Considerando a modelagem matema´tica da reta, sejam P e Q dois pontos da reta com coordenadas p e q.
Assumindo que P esta´ a` esquerda e Q esta´ a` direita da origem, mostre que ainda se tem
d(P,Q) = |p− q|.
2. Esboce um quadrado de lado a e coloque um sistema de coordenadas cartesianas com origem no canto
inferior esquerdo. Explicite as coordenadas de todos os ve´rtices deste quadrado. Fac¸a o mesmo colocando
agora a origem do sistema de coordenadas cartesianas no ponto que corresponde ao encontro das diagonais
deste quadrado.
3. Esboce um cubo de lado a e coloque um sistema de coordenadas cartesianas com a origem no canto inferior
esquerdo da face de tra´s do cubo. Exiba as coordenadas de todos os ve´rtices deste cubo. Fac¸a o mesmo
colocando agora a origem do sistema de coordenadas cartesianas no ponto que corresponde ao encontro
das diagonais deste cubo.
4. Considere os seguinte pontos do espac¸o: P1 = (1,−1, 0), P2 = (1, 1, 0), P3 = (−1, 1, 0), P4 = (−1,−1, 0) e
P5 = (0, 0, 1). Esboce o so´lido limitado pelos segmentos de reta P1P2, P2P3, P3P4, P4P1, P1P5, P2P5, P3P5
P4P5.
5. Dados dois pontos P e Q, encontre as coordenadas do ponto me´dio do segmento definido por esses pontos
quando:
(a) estes pontos sa˜o considerados sobre a reta real.
(b) estes pontos sa˜o considerados sobre um plano.
(c) estes pontos sa˜o considerados no espac¸o.
6. Seja r > 0 um nu´mero real:
(a) Fixado um ponto P na reta, exiba os pontos da reta que esta˜o a uma distaˆncia r de P . Que figura
representa? Qual a representac¸a˜o anal´ıtica deste conjunto de pontos.
(b) Fixado um ponto P no plano, exiba os pontos do plano que esta˜o a uma distaˆncia r de P . Que figura
representa? Qual a representac¸a˜o anal´ıtica deste conjunto de pontos.
(c) Fixado um ponto P no espac¸o, exiba os pontos do espac¸o que esta˜o a uma distaˆncia r de P . Que
figura representa? Qual a representac¸a˜o anal´ıtica deste conjunto de pontos.
7. Determine a extremidade da seta que representa o vetor ~v = (3,−7) sabendo que sua origem e´ o ponto
A = (2, 1).
8. Dado B = (3, 4) e sendo ‖ ~AB‖ = 2, qual e´ o valor ma´ximo que a primeira coordenada de A pode assumir?
E o mı´nimo?
9. Encontrar um vetor:
(a) com a mesma direc¸a˜o e sentido de ~v = (3, 4) e mo´dulo igual a 6.
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(b) Com a mesma direc¸a˜o e sentido contra´rio ao vetor ~v = (−1, 2) e mo´dulo igual a 5.
10. Encontrar nu´meros k1 e k2 tais que
~v = k1~u + k2 ~w,
onde
(a) ~v = (2, 3), ~u = (−1, 2) e ~w = (1, 2). Encontrar essas constantes significa dizer que o vetor ~v e´ uma
combinac¸a˜o linear dos vetores ~u e ~w.
(b) Mostre que qualquer vetor ~v = (x, y) pode ser escrito como combinac¸a˜o linear de ~u e ~w. Dizemos
que ~u e ~w geram todo o espac¸o vetorial R2.
11. Represente graficamente os vetores da forma (2, 4) + t(3,−1), onde t e´ um nu´mero real.
12. Dados A = (1, 3) e B = (2, 2), determine x para que a reta definida pelo ponto me´dio de AB e o ponto
X = (x, 0) seja paralela ao vetor ~v = (1, 2).
13. Sejam A = (0, 0), B = (1, 0) e C = (1, 1).
(a) esboce estes pontos no sistema de coordenadas cartesianas e observe que eles na˜o sa˜o colineares; isto
e´, na˜o pertencem a uma mesma reta.
(b) Como na˜o sa˜o colineares, os treˆs pontos podem ser considerados ve´rtices de um paralelogramo.
Quantas possibilidades existem para o quarto ve´rtice D deste paralelogramo.
(c) Encontre as coordenadas de D em todos os casos que voceˆ identificou no item anterior.
(d) Resolva o problema anterior usando o software de geometria dinaˆmica Geogebra (o download do
programa pode ser feito a partir do site oficial http://www.geogebra.org/cms/en/download/), e
confira a resposta que voceˆ obteve naquela ocasia˜o.
14. Considere um cubo de lado a e seja T o triaˆngulo que tem como lados um lado do cubo, uma diagonal da
face e uma diagonal do cubo:
(a) Esboce este triaˆngulo.
(b) Se ~v, ~u e ~w sa˜o, respectivamente, os vetores que representa a diagonal da face, o lado e a diagonal do
cubo mostre gra´fica e analiticamente que ~w = ~v + ~u.
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