Prova respondida Geometria Analítica

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UNIVERSIDADE DE PERNAMBUCO — UPE
CAMPUS MATA NORTE — CMN
Prof. Esdras Jafet Aristides da Silva
Primeiro exerc´ıcio de Geometria Anal´ıtica – 30/09/2013
Obs.: Todas as respostas devem vir acompanhadas das devidas justificativas.
1. Num sistema de coordenadas cartesianas do plano, seja P = (a, b) um ponto no primeiro quadrante
com a 6= b.
(a) (0.5 ponto) Quais sa˜o as coordenadas dos pontos Px e Py que correspondem as projec¸o˜es ortog-
onais de P sobre os eixos x e y, respectivamente?
soluc¸a˜o: Sendo P = (a, b) a projec¸a˜o sobre o eixo x e´ o ponto Px = (a, 0), enquanto que a
projec¸a˜o sobre o eixo y e´ o ponto Py = (0, b). Graficamente:
1
(b) (1.0 ponto) Se rotacionarmos os pontos Px, Py e P de 90
◦ no sentido anti-hora´rio obtemos treˆs
novos pontos P ′x, P ′y e P ′. Quais as respectivas coordenadas desses pontos?
soluc¸a˜o: A rotac¸a˜o de 90◦ no sentido anti-hora´rio dos pontos sobre os eixos e´ imediata. O ponto
sobre o eixo x vai para o eixo y, enquanto que o ponto sobre o eixo y vai para o eixo x. Como isso
P ′x = (0, a), P ′y = (−b, 0). Para obtermo P ′ observemos o retaˆngulo em vermelho e transformado,
apo´s a rotac¸a˜o, no triaˆngulo em azul. Disto P ′ = (−b, a). Em resumo, para rotacionar P = (a, b)
basta trocar as coordenadas e mudar o sinal da coordenada x. Graficamente:
(c) (0.5 ponto) Se Q = (c, d) e´ outro ponto, quais sa˜o as coordenadas de Q se mudarmos a origem
do sistema de coordenadas para o ponto P?
soluc¸a˜o: Ao mudarmos a origem para o pontoP = (a, b), a distaˆncia da projec¸a˜o Qx para a
nova origem P e´ c − a. Analogamente, a distaˆncia da projec¸a˜o Qy para a nova origem e´ d − b.
Disto as novas coordenadas de Q sa˜o Q′ = (c − a, d − b). Note que as novas coordenadas sa˜o
obtidas subtraindo-se das coordenadas de Q = (c, d) as respectivas coordenadas de P = (a, b).
Graficamente:
(d) (1.5 ponto - boˆnus) Se P = (1, 2) e Q = (2, 5), obtenha pontos R e S tais que PQRS seja um
quadrado. (sugesta˜o: rotacione o ponto Q de 90◦ no sentido anti-hora´rio obtendo um terceiro
ve´rtice. Para tal, mude a origem para o ponto P e use os itens anteriores. Conclua determinando
o quarto ve´rtice).
soluc¸a˜o: Seguindo a sugesta˜o, que envolve apenas as ideias de marcac¸a˜o de pontos num sistema de
2
coordenadas cartesianas, mudamos a origem para o ponto P = (1, 2). Pelo item (c) as coordenadas
do ponto Q agora sa˜o Q1 = (2−1, 5−2). Rotacionamos este ponto de 90◦ no sentido anti-hora´rio,
que, pelo item (b), nos leva ao ponto Q2 = (−(5 − 2), 2 − 1) = (−3, 1). Finalmente movemos a
origem de volta para o pontoO = (0, 0), que pelo item (c), corresponde a adicionar as coordenadas
de P as respectivas coordenadas de Q2. Isto nos leva ao ponto
Q′ = (−(5− 2) + 1, (2− 1) + 2) = (−3 + 1, 1 + 2) = (−2, 3).
O segmento PQ corresponde a rotac¸a˜o de 90◦ no sentido anti-hora´rio do lado AB do nosso
quadrado. Portanto Q′ e´ o nosso ponto S.
outra possibilidade: Podemos usar um pouco de a´lgebra vetorial aqui. Se escrevermos S =
(x, y), os vetores ~v = ~PS e ~u = ~PQ sa˜o ortogonais; ou seja, ~v e´ mu´ltiplo do vetor ~u⊥. Como
~u = (1, 3), segue que ~u⊥ = (−3, 1). Desta forma existe α ∈ R tal que
~v = α · ~u⊥. (1)
Ale´m disso, como procuramos por um quadrado temos (ver figura abaixo)
‖~v‖ = ‖~u⊥‖ = ‖~u‖. (2)
A equac¸a˜o (1) fornece ~v = (−3α, α), enquanto que a equac¸a˜o (2) fornece √(−3α)2 + α2 =√
12 + 32. Resolvendo esta equac¸a˜o obtemos 10α2 = 10 ⇒ α = ±1. Escolhendo α = 1 (por
exemplo) obtemos ~v = ~u⊥ = (−3, 1) como espera´vamos. Por outro lado temos:
~v = ~PS = “S − P” = (x− 1, y − 2) = (−3, 1),
que, como antes, implica em S = (−2, 3).
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Voltando ao problema original, vamos determinar o ponto R = (x, y) que falta. Para tal, cons-
tru´ımos os vetores ~v = ~PS = (−3, 1) e ~u = ~PQ = (1, 3). Lembrando que o vetor soma (−2, 4) =
~v + ~u = ~PR = “(x, y)− (1, 2)” obtemos
(x− 1, y − 2) = (−2, 4)⇒ R = (x, y) = (−1, 6).
Graficamente:
2. Sejam P um ponto e r uma reta no plano. Um ponto P ′ e´ dito ser o sime´trico de P em relac¸a˜o a` r,
se r e´ a mediatriz do segmento de reta definido por P e P ′.
(a) (0.5 ponto) Se P = (1, 2) quais as coordenadas dos pontos P ′ e P ′′ que sa˜o, respectivamente, os
sime´tricos de P em relac¸a˜o ao eixo x e ao eixo y?
soluc¸a˜o: Para P ′ o eixo x e´ a mediatriz, enta˜o P ′ = (1,−2). Analogamente, para P ′′ o eixo y e´
a mediatriz, enta˜o P ′′ = (−1, 2). Graficamente:
(b) (1.5 ponto) Qual o ponto P ′ sime´trico de P em relac¸a˜o a` reta r de equac¸a˜o y = x? (sugesta˜o:
determine o ponto Q sobre r que corresponde a projec¸a˜o ortogonal de P sobre r e use o fato de
que Q e´ o ponto me´dio do segmento definido por P e P ′).
soluc¸a˜o: Analisemos a sugesta˜o primeiro. Desde que P = (1, 2), se Q = (α, β) e P ′ = (x, y),
enta˜o da fo´rmula para a determinac¸a˜o do ponto me´dio obtemos
α =
1 + x
2
e β =
2 + y
2
.
4
Enta˜o
x = 2α− 1 e y = 2β − 2, (3)
que mostra que para determinarmos P ′ basta encontrarmos Q. Graficamente:
Existem pelo menos dois me´todos para determinarmos Q, vejamos:
me´todo 1: Encontramos as equac¸o˜es parame´tricas da reta s, perpendicular a` r que passa em P .
Neste caso Q = r ∩ s. Graficamente:
Desde que s e´ perpendicular a r : x− y = 0, o vetor normal ~nr = (1,−1) = ~vds e´ o vetor diretor
de s. Da´ı, como s passa em P = (1, 2) temos:
s :
{
x = 1 + t
y = 2− t
com t ∈ R. Na intersec¸a˜o as coordenadas em r e s coincidem, enta˜o y = x⇒ 1+t = 2−t⇒ t = 1
2
.
Substituindo este valor de t nas equac¸o˜es de s obtemos
Q = (α, β) = (1 + t, 2− t) =
(
1 +
1
2
, 2− 1
2
)
=
(
3
2
,
3
2
)
.
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me´todo 2: O ponto O = (0, 0) pertence a reta r. Com este ponto podemos construir o vetor
v = ~OP . A projec¸a˜o deste vetor sobre o vetor diretor de r, que e´ ~vd = (1, 1), fornece o vetor ~OQ,
cuja representac¸a˜o anal´ıtica corresponde exatamente a`s coordenadas de Q. Graficamente:
Da fo´rmula para projec¸a˜o, temos
P~v~vd =
〈(1, 2) · (1, 1)〉
‖(1, 1)‖2 (1, 1) =
3
2
(1, 1) =
(
3
2
,
3
2
)
.
Como ~OQ = “Q−O” = P~v~vd , segue que
Q = (α, β) =
(
3
2
,
3
2
)
.
Finalmente, para determinarmos as coordenadas de P ′ = (x, y) usamos as relac¸o˜es em (3). Desta
forma temos
P ′ = (x, y) = (2α− 1, 2β − 2)
=
(
2 · 3
2
− 1, 2 · 3
2
− 2
)
= (3− 1, 3− 2)
= (2, 1)
(c) (1.0 ponto - boˆnus) Justifique a afirmac¸a˜o: Dado P = (a, b) o ponto P ′ sime´trico de P em
relac¸a˜o a` reta y = x e´ tal que P ′ = (b, a).
soluc¸a˜o: Como vimos acima, o vetor diretor da reta r e´ ~v = ~vdr = (1, 1). Com os pontos P e P
′
podemos construir o vetor ~u = ~PP ′ = (b− a, a− b) que e´ perpendicular a` ~v. De fato
〈~v, ~u〉 = 〈(b− a, a− b), (1, 1)〉 = (b− a) + (a− b) = 0.
Isto mostra que P ′ = (b, a) esta´ na reta perpendicular a` r que passa em P . Finalmente, o ponto
me´dio do segmento definido por P e P ′ e´:(
a+ b
2
,
a+ b
2
)
,
que e´ um ponto de r : y = x. Isto mostra que a reta r e´ a mediatriz do segmento PP ′.
3. Considere a reta r de equac¸a˜o y = 3x− 5 e P = (2,−1).
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(a) (0.5 ponto) Encontre a equac¸a˜o cartesiana da reta s que conte´m P e e´ paralela a` r.
soluc¸a˜o: A equac¸a˜o da reta r e´ 3x− y − 5 = 0, que mostra que seu vetor normal e´ ~ηr = (3,−1).
Como s e´ paralela a` r, ~ηr tambe´m e´ o vetor normal de s. Disto sua equac¸a˜o cartesiana e´ dada
por s : 3x − y + γ = 0, onde γ = −3(2) − (−1)(−1) = −6 − 1 = −7, uma vez que P = (2,−1).
Desta forma temos
s : 3x− y − 7 = 0.
(b) (0.5 ponto) Encontre as equac¸o˜es parame´tricas da reta u que conte´m P e e´ perpendicular a` r.
soluc¸a˜o: Como u e´ perpendicular a` r, o vetor ~ηr = (3,−1) e´ um vetor que da´ a direc¸a˜o de u.
Desde que u passa em P = (2,−1), segue que
u :
{
x = 2 + 3t
y = −1− t
com t ∈ R.
(c) (0.5 ponto) Determine as coordenadas do ponto Q dado pelaintersec¸a˜o de u com o eixo x. Ale´m
disso, mostre que o ponto R = (4, 1) na˜o pertence a` s
soluc¸a˜o: A equac¸a˜o cartesiana do eixo x e´ y = 0, portanto na intersec¸a˜o u∩ (eixo x) devemos ter
a coordenada y de u igual a 0. Do item anterior temos
y = −1− t⇒ 0 = −1− t⇒ t = −1.
Substituindo este valor de t na equac¸a˜o x = 2 + 3t obtemos x = 2 − 3 = −1. Disto o ponto
u ∩ (eixo x) = Q = (−1, 0).
(d) (0.5 ponto) Justifique, analiticamente, que P,Q e R definem um triaˆngulo T .
soluc¸a˜o: Com os pontos P = (2,−1), Q = (−1, 0) e R = (4, 1) podemos construir os vetores
~v = ~QP = (3,−1) e ~u = ~QR = (5, 1). Esses pontos na˜o definem um triaˆngulo se, e somente se,
sa˜o colineares. Mas isto equivale a dizer que o aˆngulo entre ~v e ~u e´ θ = 0◦ ou θ = 180◦; ou seja
cos (θ) = ±1. Como
cos (θ) =
〈~v, ~u〉
‖~v‖‖~u‖
=
〈(3,−1), (5, 1)〉
‖(3,−1)‖‖(5, 1)‖
=
15− 1√
10
√
26
=
14
2
√
65
6= ±1,
mostrando que os treˆs pontos na˜o sa˜o colineares, logo definem um triaˆngulo T .
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(e) (1.0 ponto) Determine a a´rea de T .
soluc¸a˜o: A representac¸a˜o gra´fica desta questa˜o esta´ esboc¸ada na figura abaixo:
Dela observamos que a base de T e´ dada pela norma do vetor ~v, enquanto que a altura corresponde
a norma do vetor projec¸a˜o de ~u sobre o vetor ~v⊥, P ~u~v⊥ . Os vetores ~v = (3,−1) e ~u = (5, 1) foram
ambos criados no item anterior. De ~v obtemos ~v⊥ = (1, 3). Desde que
P ~u~v⊥ =
〈~u,~v⊥〉
‖~v⊥‖2 ~v⊥
segue que
h = ‖P ~u~v⊥‖ =
|〈~u,~v⊥〉|
‖~v⊥‖2 ‖~v⊥‖
=
|〈~u,~v⊥〉|
‖~v⊥‖
=
|〈(5, 1), (1, 3)〉|
‖(1, 3)‖
=
8√
10
.
Ale´m disso, b = ‖~v‖ = ‖(3,−1)‖ = √10. Desta forma, a a´rea de T , (A(T )) e´ dada por
A(T ) =
b · h
2
=
1
2
(√
10 · 8√
10
)
= 4 unidades de a´rea.
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4. Considere os seguintes pontos no espac¸o: A = (0, 0, 0), B = (0, 1, 2) e C = (1, 1, 0).
(a) (1.5 ponto) Determine um ponto D de tal forma que ABCD, nesta ordem, sejam os ve´rtices de
um paralelogramo.
soluc¸a˜o: Como vimos em sala existem treˆs possibilidades para se construir um paralelogramo a
partir de treˆs ve´rtices. Entretanto, considerando a ordem estabelecida nos ve´rtices, ha´ apenas
uma possibilidade, como mostra a figura abaixo, que destaca (em vermelho) a opc¸a˜o correta.
Neste caso devemos construir o vetor ~v = ~BA = (0,−1,−2) e o vetor ~u = ~BC = (1, 0,−2). A
soma desses vetores corresponde a diagonal do paralelogramo definido por ~v e ~u. Disto
~BD = “D −B” = ~v + ~u = (0,−1,−2) + (1, 0,−2) = (1,−1,−4),
que implica, desde que B = (0, 1, 2), em D = (1 + 0,−1 + 1,−4 + 2) = (1, 0,−2).
(b) (1.5 ponto) Determine os aˆngulos entre as diagonais do paralelogramo do item anterior.
soluc¸a˜o: No item anterior vimos que uma diagonal e´ ~v+~u = (1,−1,−4) A outra diagonal e´ dada
pela diferenc¸a desses vetores; isto e´ ~v − ~u = (−1,−1, 0). Como
〈~v, ~u〉 = 〈(1,−1,−4), (−1,−1, 0)〉 = −1 + 1 + 0 = 0,
segue que os aˆngulos entre as diagonais sa˜o de 90◦.
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