Assunto 1ª prova de elerotécnica UFPB

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€ 
 
CIRCUITOS ELÉTRICOS ALTERNADOS: Introdução 
Prof. Antonio Sergio C. de Menezes 
 
1- CONSIDERAÇÕES PRELIMINARES 
 
Quando se estuda circuitos elétricos básicos, considera-se que os mesmos são de 
corrente contínua (C.C), isto é, alimentado por uma fonte de tensão contínua (voltagem ou 
diferença de potencial) e que circuito só tem resistências lineares. 
Se R for o valor da resistência de um resistor, I for a corrente que passa por ele re 
e V for a diferença de potencial que surge nos terminais deste resistor devido à passagem da 
corrente elétrica pelo mesmo, pela lei de Ohm temos: 
 
V = R.I (1) 
 
Voltagem é diferença de potencial também conhecida como tensão elétrica. 
Unidade: volt 
 Corrente elétrica: É o resultado da aplicação de uma tensão entre dois pontos, 
continuamente ou durante um certo tempo. Unidade: ampére, símbolo A. 
 Corrente contínua é constante com o tempo (pilhas, acumuladores,circuitos 
eletrônicos e outros). 
 A corrente elétrica é definida como sendo a taxa de passagem de cargas elétricas 
por unidade de tempo num determinado ponto do condutor. 
 Energia: capacidade de um sistema de realizar trabalho. 
 Potência é o trabalho realizado em um determinado tempo. 
 
A potência desenvolvida num resistor por feito Joule, por exemplo é: 
R
VI.RI.VP
2
2 === , aonde P tem unidade de W = [J]/[s]: watt (2) 
Potência de 1 watt é desenvolvida quando se realiza o trabalho de um joule, em 
cada segundo, contínua e uniformemente. 
 Exemplo: Uma potência de 500 W significa que foi realizado um trabalho de 500 
joules em 1 segundo 
 Unidades elétricas: 
 Em eletricidade (assim como em eletrônica) costuma-se empregar unidades 
multiplicativas para os componentes e outras grandezas como, por exemplo, freqüência. 
 Assim. 
 Pico (p) : 10-12; nano (n): 10-9; micro (µ): 10-6; mili (m): 10-3; kilo (K): 103 
 Mega (M) : 106; giga (G): 109 e terá:1012 
 
 Um resistor, por exemplo pode ter 1.000Ω mas se diz que tem 1KΩ . Um 
capacitor pode ter 3x10-6F, mas se diz que tem 3µF. Um pendrive pode ter 2x109 bytes, mas 
se diz que tem 2G Bytes. A freqüência da rádio tabajara é de 105.500.000 Hz (sinal da 
portadora), mas se diz que a freqüência desta rádio é de 105.5 MHz 
 2 
 Lei das malhas. 
Num circuito série, onde uma fonte de tensão contínua VDC (DC : direct current) 
é aplicada 2 ou mais resistores (R1, R2, ..e .RN), nos terminais dos quais são desenvolvidas 
as voltagem V1, V2, ...e VN. Pela Lei de Kirchhoff das malhas, tem-se: 
 
 VDC = V1 + V2 + ...VN (3) 
 
Em outras palavras, a soma das tensões numa malha fechada é zero. 
Outra característica do circuito série é que a corrente é mesma em todos os 
elementos. O exemplo clássico de circuito série é a arvore de Natal. 
 
 Fig. 1 – Circuito resistivo série 
 
 Lei dos nós 
 
Num circuito paralelo`da Fig 2, no entanto, cada elemento do circuito está 
submetido à mesma voltagem, mas as correntes que podem ser diferentes. Assim, seja ainda 
um circuito paralelo com 2 mais resistores (R1, R2, ..e .RN) por onde passam as correntes 
I1, I2, ...e IN.. Considerando IT a corrente total de entrada do circuito, tem-se: 
 
 IT = I1 + I2 + ...IN (4) 
 
 Em outras palavras, a soma das correntes que chegam a um nó é zero. 
 
 Fig 2 – Circuito paralelo resistive 
 
Sentido da corrente (contínua) 
 
 No início da história da eletricidade definiu-se o sentido da corrente elétrica como 
sendo o sentido do fluxo de cargas positivas, ou seja, as cargas que se movimentam do pólo 
positivo para o pólo negativo. Naquele tempo nada se conhecia sobre a estrutura dos 
átomos. Não se imaginava que em condutores sólidos as cargas positivas estão fortemente 
ligadas aos núcleos dos átomos e, portanto, não pode haver fluxo macroscópico de cargas 
 3 
positivas em condutores sólidos. No entanto, quando a física subatômica estabeleceu esse 
fato, o conceito anterior já estava arraigado e era amplamente utilizado em cálculos e 
representações para análise de circuitos. 
 Esse sentido continua a ser utilizado até os dias de hoje e é chamado sentido 
convencional da corrente. Em qualquer tipo de condutor, este é o sentido contrário ao fluxo 
líquido das cargas negativas ou o sentido do campo elétrico estabelecido no condutor. Na 
prática qualquer corrente elétrica pode ser representada por um fluxo de portadores 
positivos sem que disso decorram erros de cálculo ou quaisquer problemas práticos. 
 Já na corrente alternada não se precisa se preocupar com o sentido 
 
 2- CORRENTES E VOLTAGENS ALTERNADAS 
 
 A mais simples forma de onda alternada é a senoidal, seja de voltagem ou de 
corrente. Uma forma de onda senoidal é gerada pela variação da componente vertical de um 
vetor que gira no sentido anti-horário com uma velocidade angular constante ω , aonde ω 
tem unidade de rad/s e ω = 2.π.f, sendo f = ciclos/seg, ou Hertz. O inverso da frequencia é 
o período T do sinal alternado. Assim, 
 
 
f
1T = (5) 
 
 Fig.3 – Sinal senoidal gerado pela rotação anti-horária de um vetor. : 
 
 Geração de voltagem alternada. 
 
 Para se gerar uma voltagem (corrente) alternada, faz-se girar uma espira enrolada 
num rotor a uma velocidade angular constante ω entre dois pólos magnéticos norte e sul, 
conforme figura abaixo 
 
 4 
 Seja φ fluxo magnético que a quantidade de linhas magnéticas geradas. 
 O fluxo que atravessa a espira com N voltas em um determinada tempo t é 
proporcional ao ângulo que esta espira faz com um eixo imaginário perpendicular às linhas 
de campo. Assim, 
 
 φ (t) = φ m.cos(ω.t) 
 
 A tensão induzida (força eletromotriz) na espira é dada por: 
 
 v(t) = 
dt
)t(dN φ− = Nφ m.ω.sen(ω.t) ⇒ v(t) = Vm. sen(ω.t) ∴ Vm = Nφ m.ω 
 
 História 
 
 A corrente alternada surgiu quando Nikola Tesla foi contratado por J. 
Westinghouse para construir uma linha de transmissão entre Niágara e Búfalo, em NY. 
Thomas Edison fez o possível para desacreditar Tesla, mas o sistema polifásico de Tesla foi 
adotado. 
 A corrente alternada é a forma mais eficaz de se transmitir uma corrente elétrica 
por longas distâncias. 
 Na primeira metade do século XX havia sistemas de corrente alternada de 25 Hz 
no Canadá (Ontário) e no norte dos EUA. Em alguns casos, alguns destes sistemas (por 
exemplo, nas quedas de Niágara) perduram até hoje por conveniência das fabricas 
industriais que não tinham interesse em trocar o equipamento para que operasse a 60 Hz. 
As baixas freqüências facilitam construção de motores de baixa rotação. 
 Há também sistemas de 16,67 Hz em ferrovias da Europa (Suíça e Suécia). 
 Sistemas AC de 400 Hz são usados na indústria têxtil, aviões, navios, espaçonaves 
e em grandes computadores. 
 No Brasil a freqüência da redeelétrica é de 60 Hz. Na América do Sul, além do 
Brasil, também usam 60 Hz o Equador, Peru, Venezuela e a Colômbia. Em outros países, 
por exemplo, a Argentina, a Bolívia, o Chile e o Paraguai, bem como na Europa é usada a 
freqüência de 50Hz. 
 A corrente alternada foi adotada para transmissão de energia elétrica a longas 
distâncias devido à facilidade relativa que esta apresenta para ter o valor de sua tensão 
alterada por intermédio de transformadores. No entanto as primeiras experiências e 
transmissões foram feitas com corrente contínua (CC ou, em inglês, DC) 
 
 Exemplo 1 : A freqüência da rede elétrica é 60 Hz. Logo, o período é: 
 
 T = 1/60 = 0,0166s 
 O produto da freqüência em radianos pelo período é igual a 2π, ou 3600, ou seja 
ω .T = 2π. Portanto, um sinal senoidal de voltagem com ω de frequência angular pode ser 
escrito da seguinte forma: 
 
 v(t) = Vm.sen(ω t) = Vm.sen(2.π.f. t) (6) 
 
 onde Vm é o valor máximo atingido pela função no período, ou seja, a função varia 
no período de –Vm a +Vm. 
 5 
 
 Exemplo 2: 
 
 A voltagem da rede elétrica doméstica no Nordeste tem uma frequência de 60 Hz, 
isso porque no sistema de geração as turbinas giram a uma frequencia de 60 voltas por 
segundo ou algum submúltiplo dela e os seus valores variam nominalmente de –311 a + 
311V. Assim, podemos representar matematicamente este sinal (sinal é toda voltagem ou 
corrente que varia continuamente com o tempo, como é o caso da rede elétrica) como 
sendo: 
 v(t) = 311.sen(2.π.60.t) = 311.sen(377.t) (7) 
 
 Como se justificará mais adiante, V220x2311≅ 
 Como o vetor que gera o sinal senoidal pode começar a girar em qualquer ângulo φ 
diferente de zero, genericamente podemos escrever um sinal senoidal de voltagem (assim 
como de corrente) como sendo: 
 
 v(t) = Vm .sen(ω.t + φ) (8) 
 
 Exemplo 3: 
 
 Esboçar o sinal de corrente i(t) = 10.sen(ω.t + 90o). 
 
 Solução: 
 
 A função sen(x) assume valor zero quando x = 0. Assim, i(t) = 0 se ω.t + 90o=0, ou 
seja, ω.t = -90o. Portanto com φ = -900 a voltagem se adianta em 900, conforme está 
mostrado na figura abaixo. 
 
 
 Fig. 5 – Sinal senoidal adiantado de 90o em relação à origem 
 
Observando-se a forma de onda acima, nota-se que se comporta como uma função 
cossenoidal. Assim, uma propriedade trigonométrica bastante útil é: 
 
cos(x) = sen(x + 900) (9) 
 
Por outro lado, i(t) = 10.sen(ω.t – 900) = 0 se ω.t = + 900 , isto é o sinal se atrasa 
900 em relação à origem conforme Fig. 6 . 
 
 6 
 
Exercício proposto: 
Esboçar f(x) = -sen(x) e mostrar que –sen(x) = +sen(x +/- 1800) 
 
Exemplo 4 . 
Escrever as seguintes funções em forma de seno positivo. 
a) v1(t) = -10.sen(ω.t + 1000) (b) v2(t) = -10.sen(ω.t + 2200) 
 (c) v3(t) = 5.cos(ω.t + 100) (d) v4(t) = -10.cos(ω.t + 2000) 
 
 
 
 Fig. 6 – Sinal senoidal atrasado de 90o em relação à origem 
Solução: 
a) v1(t) = -10.sen(ω.t + 1000) = +10.sen(ω.t + 1000 ± 1800) = 
 v1(t) = +10.sen(ω.t + 2800) ou v1(t) = +10.sen(ω.t - 800) 
 
b) v2(t) = - 10.sen(ω.t + 2200) = +10.sen(ω.t - 400) 
 
c) v3(t) = 5.cos(ω.t + 100) = 5.sen(ω.t + 100 + 900) = 
 5.sen(ω.t + 1000) 
 
d) v5(t) = -10.cos(ω.t + 2000) = -10sen(ω.t + 2000 +900) = 
 -10sen(ω.t + 2900) = + 10sen(ω.t + 2900- 1800) = 
 + 10sen(ω.t + 1100) = 
 
3- DEFASAMENTO (diferença de fase) 
 
Duas formas de onda senoidais que tem a mesma frequencia, mas passam pelo 
zero em diferentes tempos são ditas fora de fase. Assim, seja v1(t) e v2(t) dois sinais de 
tensão que tem as seguintes expressões matemáticas associadas: 
 
v1(t) = Vm1.sen(ω.t + φ1) 10.1 
v2(t) = Vm2.sen(ω.t + φ2) 10.2 
 
Vê-se pelo esboço abaixo das funções acima que existe um defasamento de φ = 
φ2 -φ1 , ou seja, que v1(t) está adiantada em relação v2(t) e que, por outro lado, v2(t) está 
atrasada em relação v2(t). 
A situação acima ocorre com frequencia nas chamadas cargas reativas, isto é 
cargas que tem características indutivas ou capacitivas, onde a corrente se atrasa em relação 
à voltagem aplicada no primeiro caso e se adianta no segundo. Estuda-se isso mais adiante. 
 7 
 
 
 
 Fig. 7 – Dois sinais defasados por um ângulo φ 
Exemplo 5: 
Esboçar nos mesmos eixos de coordenadas as seguintes voltagens: 
 a) v1(t) = 10.sen(ω.t + 10o) 
 v2(t) = 10.sen(ω.t - 20o) 
 
 b) v1(t) = 10.sen(ω.t - 10o) 
 v2(t) = 10.sen(ω.t -50o) 
 
 Em (a) tem-se um defasamento de φ = 100 –(-200) = 300 e em (b), -100 –(-500) = 
400. 
 
 
 
 Fig. 8-a – Sinais senoidais defasados de +10o e –20o 
 
 
 
 Fig. 8-b – Sinais senoidais defasados de -10o e -50o 
 
4- VALOR MÉDIO 
 
É importante em sinais elétricos a noção de valor médio. O valor médio de uma 
função contínua no certo intervalo de tempo é a integral desta função dividida por este 
intervalo de tempo T: 
∫=
T
0
dt).t(v
T
1V (11) 
 8 
No caso do sinal senoidal (rede elétrica), v(t) = Vm.sen(ω.t). Assim, 
 
0)]0cos().2cos([
.2
V
)]0cos()T.cos([
T.
Vdt).t.sen(.V
T
1V
om
omT
0 m
=+π−
π
=
+ω−
ω
=ω= ∫
 (11.a) 
Assim sendo, o valor médio de um sinal senoidal é zero. Isto quer dizer que 
quando se vai medir um sinal senoidal com um voltímetro (ou amperímetro) DC 
(voltagem/corrente contínua) ele vai indicar valor zero, mesmo que os valores de voltagem 
(ou corrente) alternada que ele tenta medir sejam maiores que zero. Exemplo: ao se tentar 
medir a voltagem de uma tomada de uma rede elétrica qualquer com um voltímetro DC ou 
um multímetro nesta faixa de medição, se verá que ele indicará valor zero mesmo que logo 
após você ligue qualquer aparelho elétrico nela e ele funcione normalmente! 
Por outro lado, ao se introduzir entre o sinal alternado e a carga um elemento 
eletrônico chamado diodo que retifica o sinal, ou seja, oferece uma muito baixa resistência 
à passagem de corrente em um sentido (do anodo para o catodo) e uma muito alta 
resistência no sentido inverso, o resultado fica como mostrado na figura abaixo: 
 
 
 D1 = diodo semicondutor 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 9.1 – Circuito retificador de meia-onda 
 
 
 
Fig. 9.2 – Sinal senoidal retificado em meia onda 
 
Desta forma, é até intuitivo concluir que surgirá um nível médio na saída maior 
que zero, visto que a parte negativa da senoide que anulava a parte positiva não está mais 
presente. Mas que valor é este? Vamos recorrer de novo à integral da equação (11),só que 
estabelecendo como limite de integração 0 → T/2 (π): 
 
 
π
=
π
=θθ
π
=ω= ∫∫
π Vm.
2
Vm..2d).sen( Vm.
2
1dt).tsen( Vm.
T
1V
0
2
T
0
 (12) 
 
 9 
 
 Também pode-se com auxílio de um ponte diodos (quatro diodos ligados 
convenientemente) retificar o sinal senoidal completamente, conforme figura baixo: 
 Visto de outra forma, o que obtemos é o módulo da função, isto é, v(t) = 
⏐Vm.sen(ωt)⏐. Valendo-se novamente da Equação 11, e tomando novamente o intervalo de 
integração 0 → T/2 (π), mas agora integrando também no mesmo intervalo, tem-se: 
 
 
π
=θθ
π
=ω= ∫∫
π Vm..2d).sen( Vm.1dt).tsen( Vm.
2
T
1V
0
2
T
0
 (13) 
 
 
 Fig. 10 – Sinal senoidal retificado de onda completa. 
(1) – Valor médio da retificação de onda completa. 
(2) - Valor médio da retificação de meia onda. 
 
Tanto a retificação de meia onda como de onda completa são feitas internamente 
em voltímetros e amperímetros alternados para leitura apropriada de valores alternados de 
voltagem e de corrente. O de meia onda, em medidores eletrodinâmicos e o de onda 
completa em medidores ditos eletrônicos, notadamente os digitais. Nos eletrônicos esta 
retificação se dá também com diodos, mas conta com o auxílio de circuitos com 
amplificadores especiais que minimizam em muito a não-linearidade dos diodos, o que não 
acontece com os eletrodinâmicos. Portanto, para valores muito baixos de voltagem ou 
corrente alternadas o voltímetro digital é mais preciso. 
 
5- VALOR EFICAZ 
 
Observando a Equação 1 vê-se que é muito direto e fácil determinar a potência 
joule de um circuito de corrente contínua, pois estamos tratando de valores invariantes com 
o tempo. Mas quando te trata de voltagem e corrente que variam com tempo a 
abordagem muda. 
Se uma voltagem ou corrente variam com tempo tem-se que pensar numa média 
de dissipação de potência. Seja um sinal qualquer como mostrado na figura abaixo. Pode-se 
tomar N amostras deste sinal num determinado intervala de tempo, determinar a potência 
em cada um dos instantes em que a amostra foi tomada e considerar uma potência média 
dissipado, conforme está ilustrado na Fig. 11. Assim, 
 
 
 10 
 
 
 
 Fig. 12 – Tomada de N amostras de um sinal qualquer para calculo do 
 valor eficaz (RMS 
 
 
∑
=
=
N
0i
2
i
R
V
N
1P (14) 
Porém, se o sinal for contínuo e o numero de amostras N for muito grande 
( ∞→N ) a expressão da potência média se torna uma integral: 
 
dt
R
)t(v
T
1P
T
o
2
∫= (15) 
 
onde T representa o intervalo de tempo no qualquer se determinar a potência média. Por 
outro lado podemos igualar a expressão acima com potência desenvolvida por valor de 
voltagem constante (ou de corrente) que desenvolva a mesma potência média: 
 
dt)t(v
T
1V
R
V
dt
R
)t(v
T
1 T
o
2
RMS
2
RMST
o
2
∫∫ =⇒= (16) 
 
Assim, o valor acima é chamado valor eficaz ou valor RMS, onde R é Root (raiz), 
M é mean (média) e S é square (quadrado). Em outras palavras, VRMS quer dizer mais ou 
menos a raiz quadrada da média infinitesimal do quadrado da voltagem ou corrente que 
varia continuamente com o tempo. 
Se o sinal é o do tipo senoidal, tem-se: 
 
2
Vm..d).(sen .Vm1dt).t(sen .Vm
2
T
1V
0
22
2
T
0
22
RMS =θθπ
=ω= ∫∫
π
 (17) 
 
 11 
considerando que 
2
)2cos(1)(sen2 θ−=θ 
 É interessante notar que no caso do sinal senoidal retificado em meia onda o valor 
RMS é determinado por: 
 
2
Vm..d).(sen .Vm
2
1dt).t(sen .Vm
T
1V
0
22
2
T
0
22
RMS =θθπ
=ω= ∫∫
π
 (18) 
 
 Exemplo 6: 
 
 Uma tensão senoidal do tipo v(t) = 311.sen(377.t) é aplicada a um resistor de 
30 Ω. Que potência é dissipada quando aplicamos a tensão completa neste resistor? Repetir 
para o mesmo sinal retificado em meia onda. 
 Solução: 
 A potência dissipada por um resistor por uma onda completa é dada por: 
 V220
2
311
2
VV
R
VP mRMS
2
RMS ===∴= 
 W33,1613
30
220P
2
== 
 
 Se a retificação é de meia onda o valor RMS se torna: 
 
€ 
P = VRMS
2
R ∴VRMS =
Vm
2 =
311
2 = 220V
P = 155,5
2
30 = 806W = 0,806KW 
 Energia = potência x tempo 
 
 A energia elétrica é medida em kWh, que é a energia consumida (dissipada) em 1 
hora. Para se calcular a energia de certa carga, primeiro se converte a potência em KW e 
seguir multiplica-se este valor pelo número de horas de uso. 
 
 Para se visualizar um sinal alternado tem-se que usar um osciloscópio, que, na sua 
forma analógica, consta, basicamente de um tubo de raios catódicos e circuitos eletrônicos 
de processamento. Possui sempre dois canais, o que permite se analisar dois sinais ao 
mesmo tempo. 
 
 12 
 
 
 Foto de um osciloscópio analógico comercial 
 
 Exemplo 7 
 
 Quanto custa deixar uma lâmpada de 20W (energia) ligada durante 5 horas por dia 
durante 30 dias, supondo-se que o kWh (potência) custa aproximadamente R$ 0,55 em 
media? 
 Solução: 
 
 20W = 
€ 
20
1000 KW = 0,020KW ; Numero de horas = 5x30 = 150 horas 
 
 Cada hora custa: 0,020x0,55 = R$ 0,011 
 
 Custo mensal = 0,011x150 = R$ 1,65 
 
 6 -VALOR EFICAZ EM TERMOS DE COMPONENTES CONSTANTES, 
 SENOIDAIS E COSSENOIDAIS. 
 
 O sinal alternado pode ser composto pela soma de uma componente constante mais 
termos senoidais e cossenoidais: 
 
 v(t) = VDC + Vm1.sen(ω1.t) + Vm2.sen(ω2.t) + Vm3.cos(ω3.t) + …. 
 ... Vm4.cos(ω4.t) (19.1) 
 
 Neste caso, o valor RMS de v(t) é dado: 
 
 
2
V
2
V
2
V
2
V
VV
2
4m
2
3m
2
2m
2
1m2
DCRMS ++++= (19.2) 
 
 13 
 Exemplo 8: 
 Determinar o valor RMS de v(t) = 10 + 10. sen(ω.t). 
 Solução: 
 V24,12
2
1010V
2
2
RMS =+= 
 
 Exercício proposto: aplique diretamente v(t) acima em (15) e mostre que o 
resultado acima é correto. No desenvolvimento considere também (11) 
 
 7 -FATOR DE FORMA 
 
 Um voltímetro ou amperímetro alternados respondem pelo valor médio e são 
calibrados em termos de valor RMS. Para isso, o valor médio detectado por eles é 
multiplicado pelo Fator de Forma. 
 
 Fator de Forma = 
medio
RMS
V
V (20) 
 
 Os voltímetros e amperímetros AC analógicos (de ponteiros) fazem uma retificação 
de meia onda (com um diodo, como já mostrado anteriormente). Neste caso o Fator de 
Forma, considerando (12) e (17), é dado por: 
 
 Fator de forma = 22,2
2/V
2/V
V
V
m
m
medio
RMS =
π
=
π
= (21) 
 
 Nos voltímetros e amperímetros digitais (eletrônicos), no entanto, a retificação é de 
ondacompleta o Fator de Forma é dado por (considerando 13 e 17): 
 
 11,1
22/V.2
2/V
V
V
m
m
medio
RMS =
π
=
π
= (22) 
 
 Exemplo 9: 
 
 Deseja-se medir uma voltagem do tipo v(t) = 311.sen(2π.60t) num voltímetro 
analógico (de ponteiro) Como seria esta medida? 
 
 Solução: 
 Observe que o multímetro tem duas faixas de medida para voltagem: uma para DC 
e outra para AC. 
 Na faixa ACV o voltímetro faz uma retificação de meia onda e responde pelo 
valor dela. 
 O valor médio da voltagem acima é: 
 Vmédio = 
π
311 = 99,045 V 
 A escala é marcada aplicando-se a ela o fator de forma (2,22): 
 
 14 
 VRMS = 2,22x99,045 = 219,88 V ≅ 220 V 
 
 Exemplo 10: 
 
 Qual seria a medida da mesma voltagem para um multímetro digital: 
 
 Solução: 
 Na faixa ACV o voltímetro faz uma retificação de onda completa e responde pelo 
valor dela. 
 O valor médio da voltagem acima é: 
 Vmédio = 
π
311x2 = 197,99 V 
 A escala é marcada aplicando-se a ela o fator de forma (1,11): 
 
 VRMS = 1,11x 197,99 = 219,88 V ≅ 220 V 
 
 Exemplo 11: 
 
 Qual o valor eficaz verdadeiro de um sinal de voltagem simétrico quadrado de 
acordo coma figura abaixo, para Vm = 10V? 
 
 Solução: 
 
 == ∫ dt..Vm
2
T
1V
2
T
0
2
RMS Vm = 10V 
 Como o voltímetro analógico mede? 
 Antes ele faz uma retificação de meia-onda conforme a Fig. 13-b. O valor médio 
é : 
 Vmédio = 
2
Vm = 5V 
 A escala é marcada aplicando-se a ela o fator de forma (1,11): 
 
 VRMS = 2,22x5 = 11,1V 
 
 Então, para esse sinal o erro é de 11,1%. 
 
 
 Fig. 13-a Sinal quadrático simétrico 13-b Sinal retificado em meia-onda 
 
 15 
 
 
 
 Fig. 13 –Fotos de um multímetro digital e analógico e digital comerciais. 
 
8- ANÁLISE DE CIRCUITOS SIMPLES NO DOMÍNIO DO TEMPO 
 
8-1 CIRCUITO RESISTIVO 
 
 
 Foto de um resistor 
 
 Seja v(t) = Vm .sen(ω.t + θ) uma voltagem aplicada a um resistor. A corrente que 
circula por este resistor de resistência R é dada por: 
 
 i(t) = 
R
)t(v = 
R
)t.(sen.Vm θ+ω = Im.sen(ω.t + θ), onde Im = 
R
Vm 
 
 Numa instalação elétrica há vários exemplos de cargas resistivas: lâmpadas 
incandescentes comuns, chuveiros elétricos, ferros elétricos, fornos, etc. Nestes casos, a 
corrente e a voltagem estão em fase. 
 
 16 
 8-2 – CIRCUITO CAPACITIVO PURO 
 
 
 Capacitores eletrolíticos Capacitores de poliéster 
 
 Um capacitor é um armazenador de energia elétrica entre duas placas metálicas 
separadas por um dielétrico. 
 Seja v(t) = Vm .sen(ω.t) uma voltagem aplicada a um capacitor. A corrente que 
circula por este capacitor de capacitância C é dada por: 
 
 i(t) = C.
dt
)t(dv = ωC.Vm.cos(ω.t) = 
C.
1
Vm
ω
sen(ω.t + 90o) 
 i(t) = Im.sen(ω.t +90o) onde Im = 
C.
1
Vm
ω
 = 
C
m
X
V 
 XC = 
C.
1
ω
 é a reatância capacitiva do capacitor de capacitância C. 
 A unidade de XC é a mesma da resistência, ou seja, ohm. 
 Também, 
 
 VRMS= XC.IRMS ou, simplesmente, V = XC.I (lei de Ohm) 
 
 Exemplo 12: 
 
 Uma voltagem v(t) = 311.sen(2.π.60.t) é aplicada a um capacitor de 2µF. Qual a 
corrente eficaz que circula por ele? 
 Solução: 
 IC = 
C
RMS
X
V ; VRMS = 
2
311 ≅ 220 V; XC = 610x2x60..2
1
−π
 ≅ 1326,3 Ω 
 IC = 
3,1326
220 = 0,166 A = 166 mA 
 
 Capacitores em série: 
 
 Quando dois ou mais capacitores estão em série a capacitância equivalente total é 
dada por: 
 17 
 ++=
21T C
1
C
1
C
1 ........
NC
1 
 
 Também, 
 
 +
ω
+
ω
=
ω 21T C.
1
C.
1
C.
1 ........
NC.
1
ω
 
 
 No que se conclui que a reatância total é a soma das reatâncias: 
 
 XCT = XC1 + XC2 + ........ XCN 
 
 Se tivermos N capacitores iguais em série iguais a C, deduz-se que 
 CT = 
N
C 
 
 Capacitores em paralelo 
 
 Se N capacitores estão em paralelo, a capacitância equivalente total é dada por: 
 
 CT = C1 + C2 + ... CN 
 
 Também, 
 
 ωCT = ω.C1 + ω.C2 + .... CN 
 
 No que se conclui: 
 
 
CN2C1CCT X
1......
X
1
X
1
X
1
+++= 
 
 Exemplo 13: 
 
 Uma voltagem de v(t) = 311.sen(2.π.60.t) é aplicada em dois capacitores de 2µF e 
3 µF, respectivamente. Determinar as quedas de voltagem eficazes em cada um deles 
 Solução: 
 XC1 = 610x2.60..2
1
−π
 = 1326,29 Ω ; XC2 = 610x3.60..2
1
−π
 = 884,64Ω 
 
 XT = XC1 + XC2 = 1326,29 + 884,64 = 2210,93 Ω 
 
 A corrente eficaz que passa pelos dois capacitores é: 
 
 I = 
T
RMS
X
V = 
93,2210
2/311 = 0,1 A = 100mA 
 
 18 
 A voltagem eficaz no primeiro capacitor é dada por 
 
 V1=I.XC1= 0.1x1326,29 = 132,63V 
 
 A voltagem eficaz no segundo capacitor é dada por 
 
 V2=I.XC2= 0.1x 884,64 = 88,46 V 
 
 Somando V1 e V2 ≅ 220 V (voltagem eficaz de entrada) 
 
 Exercício proposto. 
 
 Calcular a corrente eficaz total se estas capacitâncias estiverem em paralelo. 
 
 Reposta: 0,42 A 
 
 Valores comerciais de resistência e capacitância. 
 
 Os valores comerciais de resistência e capacitância são os valores abaixo (cada 
valor é, em valores redondos, cerca de 10% maior que o anterior) . 
 Para os valores dos resistores basta multiplicar por 10, 102, 103, 104, 105, 106 
 Para os valores dos capacitores basta multiplicar por mili, micro, nano e pico (F) 
 
1 1.1 1.2 1.3 1.5 1.6 
1.8 2.0 2.2 2.4 2.7 3.0 
3.3 3.6 3.9 4.3 4.7 5.1 
5.6 6.2 6.8 7.5 8.2 9.1 
 
 
 8-3- CIRCUITO INDUTIVO PURO 
 
 Não existe circuito indutivo puro, pois sempre tem uma resistência associada à ele. 
Um indutor é construído enrolando-se um fio de cobre esmaltado num núcleo de ar ou de 
material magnetizável..Mas quando se pode desprezar esta resistência, diz-se que o indutor 
é ideal. 
 
 
 
 
 Fotos de alguns indutores 
 
 19 
Quando um indutor está submetido a um sinal senoidal, como é o nosso caso, 
podemos considerá-lo ideal quando ωL >>R, onde ω é a freqüência em radianos/seg do 
sinal, L é o valor da indutância e R é valor da resistência associada. Uma das formas de se 
conseguir isso é enrolar a espira do indutor com um fio de cobre de grande seção com 
grande número de voltas sobre um núcleo ferromagnético. 
A relação entre correntee voltagem num indutor é dada por: 
 
dt
)t(diL)t(v = 
Admitindo-se que este indutor é excitado por uma corrente senoidal e aplicando-
se na expressão acima tem-se: 
)90t.(sen.LI)t.cos(.LI)]t.(sen.I[
dt
dL)t(v ommm +ωω=ωω=ω= 
)90t.(senV).t(v om +ω= , (26) 
 
Também percebe-se que Vm = mLIω = XL.Im (lei de Ohm), onde 
 
XL = ω .L é reatância indutiva de um indutor de indutância L 
 
 Isto é, o indutor reage contra variação da corrente adiantando a voltagem em 90o 
ou atrasando a corrente em 90o. 
 
 
 
 Voltagem e corrente num indutor ideal (puro) 
 
 Exemplo 14 : 
 
 Um voltagem do tipo v(t) = 10.sen(1000.t) é aplicada a um indutor de 10 mH. 
Qual a corrente eficaz que circula por esse indutor? 
 
 Solução: 
 
 O valor máximo de v(t) = Vm = 10 V. Assim, o valor máximo da corrente é: 
 
 20 
 Im = 
L
m
X
V = 
L.
Vm
ω
= 
310x10.1000
10
−
= 1 A (valor máximo da corrente) 
 
 O valor eficaz é 
 I = 
2
Im = 
2
1 = 0,71 
 
 No domínio do tempo é a corrente é i(t) = 1.sen(1000.t – 90o) 
 
 Valor indutivo. 
 
 O valor da indutância para um solenóide longo ( >> A) ou um toroide é dado 
por: 
 L = 

A.N. 2µ 
 
 L: valor da indutância ; µ: permeabilidade do núcleo; N: numero de espiras; 
 A (m2) : área da seção transversal e  (m), o comprimento do solenoide. 
 
 Toroide Solenoide 
 
 Indutâncias em série. 
 
 Se N indutâncias estão em série, a reatância indutiva total é dada por: 
 
 XLT = XL1 + XL1 + .........+ XLN, já que LT = L1 + L2 + .......+LN 
 
 Se, por outro lado, N indutâncias estão em paralelo a reatância indutiva total é 
dada por: 
 
LN2L1LLT X
1......
X
1
X
1
X
1
+++= já que ++=
21T L
1
L
1
L
1 ........
NL
1 
 
 Exemplo 15 
 
 Uma voltagem de v(t) = 50.sen(2π.1000) é aplicada a dois indutores em série, 
uma de 2mH e outro de 3mH. Determinar a corrente que passa por eles e a queda de 
voltagem em cada um deles. 
 Solução: 
 
 XL1 = 2π.1000x2x10-3 = 6,283 Ω 
 XL2 = 2π.1000x3x10-3 = 9,425 Ω 
 21 
 
 Como estão em série a corrente total é dada por: 
 I = 
1L1L
RMS
XX
V
+
 = 
425,9283,6
2/50
+
 = 2,251 A 
 
 As quedas de voltagem em cada indutor são dadas por: 
 
 VL1 = XL1.I = 14,14 V; VL2 = XL2.I = 21,22 V 
 
 Indutâncias também estão presentes em transformadores, motores elétricos, reato- 
res de lâmpada fluorescentes e eletrônica, relés, etc. 
 
 9-1 CIRCUITO RL SÉRIE. 
 
 Exemplo de cargas modeladas por um circuito RL série: motores elétricos, 
reatores de lâmpadas fluorescentes, transformadores, etc. 
 
 
 Circuito RL 
 
 Vamos supor que circula pelo circuito uma corrente do tipo i(t) = Im.sen(ω.t) 
Pela lei das malhas: 
 )tcos(.I.L)t(sen.RI
dt
)t(diL)t(i.R)t(v)t(v)t(v mmLR ωω+ω=+=+= (27) 
 
A voltagem de entrada pode ser escrita na forma: 
 
v(t) = Vm.sen(ωt + φ). (28) 
 
Valendo-se da identidade trigonométrica 
 
sen(A+B) = senA.cosB + senB.cosA, tem-se: 
 
v(t) = Vm.sen(ω.t).cos(φ) + Vm.sen(φ).cos(ω.t) (29) 
 
Comparando-se (27) e (29): 
 
Vm.cos(φ).=Vm.sen(φ+90o)= R.Im 
 
 22 
Vm.sen(φ).= ωLIm 
 
Elevando-se ao quadrado ambas as identidades acima e, a seguir, somando-as, 
tem-se: 
2
mV .[sen
2(φ) + cos2(φ)] = 2mV = 
2
mI [R
2 + (ωL)2]. 
22
m
m
)L(R
VI
ω+
= (30) 
 Ou, ainda, 
22
mm
)L(R
2V
2
I
ω+
= ⇒ 
22 )L(R
V
I
ω+
= (31) 
 
Também, dividindo-se membro a membro a equação acima, tem-se: 
R
L)(tg ω+=φ ⇒ 
R
Ltg 1 ω+=φ − (33) 
Pelo exposto acima, vê-se que a voltagem está adiantada em relação à corrente 
(sinal positivo) de um ângulo φ e tem duas componentes ortogonais entre si: VL = 
Vm.cos(φ) = R.Im e Vm.sen(φ) = ωL.Im, sendo que ωL = XL é a reatância indutiva. 
Reatância indutiva é uma representação matemática à reação que o indutor faz à 
corrente. 
Considerando-se 0 o ângulo da corrente de entrada, pode-se escrever: 
i(t) = Im.sen (ω.t) e v(t) = Im.sen (ω.t + φ ) 
 
Se, por outro lado, o ângulo da voltagem for considerado 0, tem-se : 
 
v(t) = Vm.sen (ω.t) e i(t) = Im.sen (ω.t - φ ) 
 
 Na figura abaixo vê-se o comportamento da tensões e da corrente presentes num 
circuito RL série, no tempo. Nela observa-se que a voltagem em cima do resistor e a 
corrente que circula pelo circuito estão em fase; por outro lado, a tensão em cima do 
indutor está em quadratura, isto é, adiantada em 900 em relação à corrente. 
 
 
 
 Fig. 16 – Comportamento das tensões e da corrente num circuito RL série 
 23 
 
 9-2 - Circuito RC série 
 
 Fig. 17 – Circuito RC série alimentado por uma voltagem alternada. 
 
 As cargas capacitivas não são tão comuns de se encontrar numa instalação elétrica 
como as cargas indutivas, mas elas podem estar presentes. Exemplos são os chamados 
motores síncronos usados industrialmente ou quando se sobre compensa o de fator de 
potência da instalação como veremos em capítulo posterior, colocando-se capacitância em 
excesso. 
 Seja como for, é importante a abordagem de cargas capacitivas. 
 
 Pela lei das malhas, tem-se: 
 
 v(t) = vR(t) + vc(t) = ∫+ dt).t(iC
1)t(i.R = ∫ ω+ω dt).t.sen(.IC
1)t.sen(.I.R mm 
 = )tcos(I
C.
1)tsen(.I.R mm ωω
−ω (34) 
 
 Da mesma forma que no circuito RL, tem-se, para v(t) = Vm.sen(ωt + φ) : 
 
 Vm.cos(φ).=Vm.sen(φ+90o)= R.Im 
 
 Vm.sen(φ).= - 
C.
1
ω
 
 
 Elevando-se ao quadrado ambas as identidades acima e, a seguir, somando-as, 
tem-se: 
 2mV .[sen
2(φ) + cos2(φ)] = 2mV = 
2
mI
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ω
+
2
2
C.
1R 
 Ou, ainda, 
 
2
2
C.
1R
V
I
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ω
+
= (35) 
 
 24 
Também, por outro lado, dividindo-se membro a membro a equação acima, tem-
se: 
 
RC
1)(tg
ω
−=φ⇒ 
RC
1tg 1
ω
−=φ − (36) 
 
Pelo exposto acima, vê-se que a voltagem está atrasada em relação à corrente 
(sinal positivo) de um ângulo φ e tem duas componentes ortogonais entre si: VL = 
Vm.cos(φ) = R.Im e Vm.sen(φ) = 
C.
1
ω
.Im, sendo que 
C.
1
ω
 = XC é a reatância capacitiva. 
Reatância capacita é uma representação matemática à reação que o capacitor faz à 
corrente. 
Considerando-se 0 o ângulo da corrente de entrada, pode-se escrever: 
 
i(t) = Im.sen (ω.t) e v(t) = Im.sen (ω.t - φ ) 
 
Se, por outro lado, o ângulo da voltagem for considerado 0, tem-se : 
 
v(t) = Vm.sen (ω.t) e i(t) = Im.sen (ω.t +φ ) 
 
 
 Resumo: 
 
 A lei do ohm diz que V = R.I. Assim sendo, para voltagens e correntes eficazes. 
 
 Para uma resistência tem-se V = R.I & defasamento φ = 0o 
 Para uma indutância tem-se V = ω.L.I & defasamento φ = +90o 
 Para uma capacitância, tem-se: V = ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ωC.
1 .I & defasamento φ = -90o 
 Para um RL em série, tem-se: V = 22 )L(R ω+ .I & defasamento φ =+ tg-1 
R
Lω 
 Para um RC em série, tem-se: V = 
2
2
C.
1R ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ω
+ .I → φ =-tg
RC.
1
ω
 
 
 Exemplo 16: 
 
 Um equivalente de um típico ventilador de mesa é um circuito RL, com R = 
300Ω e L = 1 Henry, portanto uma carga reativa indutiva que atrasa a corrente em relação a 
voltagem aplicada. Se este ventilador é alimentado por uma voltagem v(t) = 311.sen(377t), 
qual a corrente eficaz que circula por ele? 
 
Solução: 
 
Se a amplitude de v(t) é Vm = 311V, de acordo com a Eq. 31, tem-se para o valor 
eficaz da corrente: 
 25 
A457,0
)1.377(300
2/311I
22
=
+
= 
 
 Por outro lado, considerando-se (32), 
 
 01 5,51
300
1.377tg ≅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=φ − 
 
 Como as cargas indutivas atrasam a corrente em relação à voltagem, tem-se: 
 
 i(t) = 2 0,457.sen(377.t – 51,5o) = 0,656. sen(377.t – 51,5o) 
 
 
 Comportamento típico da voltagem e da corrente num ventilador de mesa 
 
 
 Circuito RLC 
 
 
 Seja v(t) = Vm.sen(ωt) a tensão de entrada aplicada ao circuito. Aplicando-se a lei 
das malhas tem-se: 
 
 26 
 v(t) = R.i(t) + ∫ dt).t(iC
1 + L.
dt
)t(di 
 
 Derivando-se cada lado da equação acima, tem-se: 
 
 L =++
C
)t(i
dt
)t(diR
dt
)t(id2 
dt
)t(dv 
 
 Resolvendo tem-se: 
 i(t) = 
22
m
)L.C/1(R
V
ω−ω+
 .sen((ωt-φ ) 
 
 & φ = tg-1 R
C./1L. ω−ω
 
 Identificamos três situações nas expressões acima 
 
 a) ωL > 1/ωC ⇒ predominância da reatância indutiva. 
 
 No caso, o ângulo é positivo e a corrente se atrasa em relação à voltagem, 
ficando o circuito aparentemente indutivo. 
 
 b) ωL < 1/ωC ⇒ predominância da reatância capacitiva. 
 
 No caso, o ângulo é negativo e a corrente se adianta em relação à voltagem, 
ficando o circuito aparentemente capacitivo 
 
 c) ωL = 1/ωC ⇒ as reatâncias capacitiva e indutiva se anulam entre si. 
 
 No caso, o ângulo é nulo e a corrente está em fase em relação à voltagem, 
ficando o circuito aparentemente resistivo. A freqüência em que isso ocorre é chamada de 
freqüência de ressonância e é dada por: 
 
 fo = 
C.L.2
1
π
 
 
 Exemplo 17: 
 
 A partir do Exemplo 16, determinar as voltagens desenvolvidas nos terminais do 
indutor e do resistor. 
 
 Solução: 
 
 Considerando I = 0,46 A a corrente eficaz que circula pelo circuito, 
 
 VR = R.I = 0,456.300 = 136,8 V 
 VL = I.ωL = 0,456.377 = 171,91 V 
 
 27 
 Note que soma da tensões (eficazes) é maior que a tensão de entrada (220V). Mas, 
por outro lado , tem-se: 
 
 V220V7,21991,1718,136V 22ent ≅=+= 
 
 O que confirma que as tensões no resistor e no indutor estão em quadratura, isto 
é, estão defasadas 90o entre si. 
 O resultado acima sugere que VR e VL sejam os catetos de um triângulo retângulo, 
cuja hipotenusa seja Vent. 
 Isso leva expressar as voltagens e correntes senoidais como números complexos 
que são denominados de fasores. 
 
 FASORES 
 
 Tanto a Eq. 27 quanto a Eq. 34 admitem uma solução do tipo: 
 
 i (t) =Imej(ωt + θ) para uma entrada do tipo v(t) = Vmej(ωt+α) (37) 
 
 Dividindo membro a membro as duas expressões acima tem-se: 
 
)t(j
m
)t(j
m
eI
eV
)t(i
)t(v
θ+ω
α+ω
= = 
m
m
I
V ej(α-θ) = φj
m
m
e
2
I
2
V
= 
RMS
RMS
I
V φje (38) 
ou simplesmente, 
 
 φ= je
I
V
)t(i
)t(v (36) 
 
onde φ = α-θ = igual ao defasamento entre a tensão e corrente.. 
 
 Pode-se escrever ainda que, 
 =φje
I
V Z . φ.je (37) 
 
 A identidade de Euler diz que:: 
 
 e jx = cos x + j sen x 
 
 Como a identidade (37) é um número complexo, pode-se associar a esta igualdade 
um vetor que se denomina impedância complexa. Para o circuito RL, e usando-se a 
identidade de Euler, tem-se: 
 
 Z = Z . φje = Z .cos φ + j. Z .senφ 
 
 Sendo que Z .cos φ = R & Z .sen φ = ω.L (38) 
 
 28 
 Z = 22 )( LR ω+ (39) 
 
 Assim, 
 
 mm IV = . Z ou para valores eficazes, ..IV = Z (40) 
 
 A quantidade Z é chamada de módulo da impedância do circuito, sendo 
expresso em ohms da mesma forma que um resistor.. 
 Associa-se, então, ao circuito RL um vetor no plano complexo do tipo: 
 
 Z LjXRLjR +=ω+= (41.a) 
 
 φ = + tg-1 
R
XL (41.b) 
 
 A impedância Z caracteriza no domínio complexo a oposição do circuito à circula- 
cão da corrente alternada; R é componente real da impedância complexa que justifica a 
dissipação de energia elétrica numa carga (afinal, um ventilador tem que ventilar, um 
arcondicionado tem que resfriar, etc, e são cargas indutivas); XL = ωL representa a 
componente imaginária da impedância que justifica o comportamento reativo de algumas 
cargas. 
Pela equação (27), vê-se que a tensão de entrada tem duas componentes: uma em 
fase e outra em quadratura (90o). Assim, podemos escrever a tensão de entrada como um 
vetor da forma complexa: 
 
V LR jVV +=(42) 
 
onde V é tensão aplicada à entrada do circuito, VR é o módulo da tensão desenvolvida nos 
terminais do resistor e VL é o módulo da tensão desenvolvida nos terminais do indutor. 
 
 
 jXL j VL 
 
 Z Ve 
 
 φ 
 
 R VR 
 Fig 18 – Representações vetorias da impedância e das voltagens num circui- 
 RL série. 
 
 Assim, da mesma forma que o circuito RL série, podemos associar um vetor 
impedância complexa ao circuito RC série dado por: 
 
 Z = 
C
1jR
ω
− (43.a) 
 29 
 φ = + tg-1 
RX
1
C
 (44.b) 
 O módulo da impedância é dado por: 
 
 Z )C./1(R2 ω+= (45) 
 
 A Eq. 42 também mostra que a tensão de entrada tem duas componentes: uma fase 
e outra em quadratura (90o). Assim, também podemos escrever a tensão de entrada na 
forma complexa: 
 
 V = VR – jVC (46) 
 
 R VR 
 
 -jXC Z 
 -jVC 
 
 
 Fig. 19 –Representações vetoriais da impedância e das voltagens num RC 
 
 Desta forma pode-se estender a Lei de Ohm do domínio dos números reais para o 
domínio dos números complexos para que se possa analisar circuitos reativos alimentados 
por voltagem alternada. Exemplo: um instalação elétrica predial ou industrial. Assim, 
 
 
Z
VI = (47) 
 
 Como na divisão na Eq. 36 ωt é eliminado, podemos associar a tensão e a corrente 
alternadas dois fasores: 
 
 v(t) = Vm.sen(ωt + α) ⇒ V = V.e jα = V∠α & I = I.e jθ = I∠θ (48) 
 
 As expressões (44) estão escritas sob a forma polar, isto é, em termos de módulo e 
ângulo. Porém, pode-se escrever também em forma retangular. 
 
 
 
 
 V 
 
 α 
 I 
 θ 
 
 
 Fig 20 – Voltagem e corrente num circuito reativo. 
 
 30 
 V = A + jB, onde A = )cos(..V α e B = )(sen..V α (50-a) 
 V 22 BA += : Pitágoras. (50-b) 
 
 Resumo: 
 
 Para uma resistência: Z = R (parte imaginária nula) 
 Para uma indutância: Z = +jXL = +j;ω.L (parte real nula) 
 Para uma capacitância: Z = -jXC = -j.
C.
1
ω
 
 Para um RL série: Z = R + j;ω.L 
 Para um RC série Z = R – j.
C.
1
ω
 
 Para um RLC série Z = R + j;ω.L – j.
C.
1
ω
 = R + j ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ω
−ω
C
1L 
 
 Exercício proposto: 
 Representar fasorialmente os seguintes sinais: 
 a) v(t) = 100.sen(200t + 300); (b) i(t) = 14,1.sen(ωt – 450) 
 
 Exemplo 18: 
 
 Resolver o último Exemplo 15 (do ventilador) usando o conceito de fasores. 
 
 Solução: 
 
 Primeiro se determina a impedância equivalente do circuito. 
 
 Z = R + jω.L = 300 + j377 
 Conforme determinado acima, Z = 481,8∠51,8o, onde 481,8 = 22 377300 + e 
51,8o = tg-1(377/300) 
 
 O fasor da voltagem aplicada é 
 
 V = o0
2
377
∠ = 220∠0o 
 
 Desta forma, pela Eq 36, 
 
 o
oI 8,5146,08,518,481
0220 0
−∠=
∠
∠
= 
 O que leva à solução no domínio no tempo na forma: 
 31 
 
 i(t) = 0,46x 2 sen (377.t – 51,8o) = 0,65 sen (377.t – 51,8o) 
 
 Exemplo 19: 
 
 Duas tensões v1(t) = 100. sen (200t + 80o) e v2(t) = 141 sen (200t + 50o) a um 
circuito RL conforme o esquema abaixo, com R = 270Ω e L = 1H.. Determinar a corrente 
fasorial I que circula pelo circuito. 
 Solução: 
 
 Antes de se chegar a I devemos somar v1(t) e v2(t) o que é feito fasorialmente. 
Assim, 
 V1 = 
2
100 .∠80o = 
2
100 (cos 80o + j.sen 80o) = 12,28 + j.69,64 
 V2 = 
2
141
∠50o = 99,72 (cos 50o + j.sen 50o) = 64,10 +j.76,39 
 
 Fig. 21 Circuito RL alimentado com duas voltagem em série. 
 L = 1 H e R = 270 Ω 
 
 O fasor soma V1 + V2 é obtido somando-se os dois números complexos, membro 
a membro. Desta forma: 
 
 V1 + V2 = (12,28 + 64,10) + j.(69,64 + 76,60) = 76,38 + j.146,03 
em forma polar, 
 V1 + V2 = 164,78∠62,37o 
 Na forma de função no tempo: v1(t) + v2(t) = 165,07x 2 .sen (200t + 62,37o) = 
... 233,08. sen (200t + 62,37o) 
 
 
 Fig. 22 –Resposta no tempo de v1(t), v2(t) e v1(t) + v2(t) 
 32 
 
 
 V1 + V2 
 
 
 . 
 V1 
 
 V2 
 
 
 
 
 Fig 23 – Diagrama fasorial de V1, V2 e V1+ V2 
 
 A impedância associada ao circuito da Fig. 17 é Z = R + jωL = 270 + j200.1 = .... 
336∠36,52o. Assim, a corrente que circula pelo circuito é: 
 
 I 0
0
0
21 8525490
5236336
376278165 ,,
,
,,
Z
VV
∠=
∠
∠
=
+
= 
 
 Exemplo 20: 
 
 Em um dado circuito aplica-se uma voltagem na forma v(t) = 150.sen(5.000t + 
45o) e este responde com uma corrente na forma i(t) = 3.sen(5000t -150). Determinar os 
fasores associados, o diagrama fasorial, a impedância complexa e os elementos físicos que 
compõe este circuito. 
 
 Solução: 
 
 V = o45
2
150
∠ = 106,1∠45o I = o15
2
3
−∠ = 2,12∠-15o 
 
 
I
VZ = = 
o
o
1512,2
451,106
−∠
∠ = 50∠600 = 25 + j.43,3 
 
 A corrente está atrasada em relação à tensão, o que significa que é um circuito RL 
série. Então: 
 
 ω.L = 43,3 ⇒ L = 310x66,8
5000
3,43 −= = 8,66 mH 
 
 Logo, os elementos que compõe o circuito são 
 
 33 
 
 
 
 Exercícios: 
 
 1) Dados v(t) = sen(2500t + 170o) e i(t) = 15,5(2500t – 145o)