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Experimento
Ministério da 
Ciência e Tecnologia
Ministério 
da Educação
Secretaria de 
Educação a Distância
Guia do professor
licença Esta obra está licenciada sob uma licença Creative Commons 
Números 
e fuNções
A roda-gigante
Objetivo da unidade
Introduzir o conceito de função periódica e discutir 
suas propriedades.
Guia do professor
Sinopse
Com este experimento será possível introduzir conceitos de movimentos 
oscilatórios, períodos e pontos de máximo e mínimos de funções perió­
dicas. A atividade envolve a construção de uma roda­gigante em tamanho 
reduzido feita de material reciclável.
Conteúdos
Relações e Funções; „
Trigonometria: Modelagem de Fenômenos Oscilatórios, Funções Seno „
e Cosseno.
Objetivo
Introduzir o conceito de função periódica e discutir suas propriedades.
Duração
Uma aula dupla.
Material relacionado
Software: Ondas trigonométricas.
A roda-gigante
A roda-gigante Guia do professor 2 / 8
Introdução
Podemos encontrar na natureza algumas ocorrências que se repetem com 
o tempo. O batimento cardíaco, a respiração, as ondas cerebrais, os cam­
pos eletromagnéticos, as fases da Lua, o movimento de um pêndulo, das 
marés ou de uma roda­gigante são alguns exemplos. A característica em 
comum desses fenômenos é que todos podem ser descritos por funções 
periódicas. 
 Um importante teorema garante que todo movimento periódico pode 
ser descrito por uma combinação algébrica de senos e cossenos, ou seja, 
a trigonometria é a base para qualquer fenômeno periódico.
 Neste experimento nos preocupamos com o movimento de uma roda­
gigante que gira com uma velocidade constante, executando, assim, 
um movimento que se repete. A função que representa a posição de uma 
cadeira da roda­gigante durante o movimento é uma função cosseno. 
Os alunos poderão modelar a altura de uma das cadeiras em função do 
tempo ou do arco percorrido no movimento usando apenas as noções 
trigonométricas do triângulo retângulo, observando a periodicidade do 
movimento. 
Motivação
Esta atividade motiva o estudo:
das medidas de arcos e de ângulos; „
das funções trigonométricas; „
do conceito introdutório de função periódica. „
 A periodicidade é um conceito muito importante em matemática e suas 
aplicações. Uma função periódica pode ser representada pela soma de 
funções trigonométricas seno e cosseno. Essas funções têm como domínio 
todos os números reais. Formalmente, podemos representar assim:
cos : R→ I sen : R→ I I = [−1, 1] e cos : R→ I sen : R→ I I = [−1, 1],
onde cos : R→ I sen : R→ I I = [−1, 1], isto é, o conjunto imagem é intervalo real entre −1 e 1, 
incluindo os extremos. As funções seno e cosseno têm origem nos concei­
tos trigonométricos, em especial do triângulo retângulo. 
 Nesta atividade é mais conveniente usarmos o conceito de radiano 
no lugar de grau para a medida dos ângulos. Assim, as medidas em radianos 
serão as variáveis das funções trigonométricas.
O experimento
Comentários iniciais
Grau é uma medida de ângulos muito usada quando trabalhamos com 
triângulos retângulos pré­determinados e fixos pois está mais associado 
ao conceito de direção. No entanto quando estamos lidando com o conceito 
de percurso (e seu comprimento) em uma circunferência, o radiano é mais 
conveniente pois ele associa o ângulo subentendido por dois segmentos de 
retas radiais (que saem do centro do círculo), chamado de ângulo central, 
com o comprimento do segmento do arco associado. Por conta disso, 
neste experimento adotaremos o radiano como unidade de medida de 
ângulos.
O conceito de radiano
Considere uma circunferência de centro O e um arco dessa circunferên­
cia. Se o arco tiver comprimento igual ao raio, diremos que o arco mede 
1 radiano.
A roda-gigante Guia do professor 3 / 8
 Denotando por C = 2πr 2π o comprimento de uma circunferência de raio C = 2πr 2π, 
C = 2πr 2π unidades de comprimento. Se C = 2πr 2π é o arco de 1 radiano, concluímos 
que o arco de uma volta tem medida C = 2πr 2π radianos.
 No círculo unitário, r = 1 C = 2π e, portanto, C = 2πr 2π unidades de compri­
mento. Isso significa que o comprimento do arco de uma volta completa, 
de 360°, corresponde a 2π unidades de comprimento. Então, 360° corres­
ponde a 2π.
 Dividindo por 2π, temos
1 radiano =
360◦
2π
≈ 57, 3◦.
 Portanto, o ângulo de 1 radiano tem aproximadamente 57,3°.
 Assim, um quarto de uma volta, ou 90°, corresponde a
1
4
(2π)−
π
2
radianos1 radiano =
360◦
2π
≈ 57, 3◦
1
4
(2π)−
π
2
radianos.
 Professor, observe com os seus alunos o fato de que a altura não é uma 
função linear do ângulo. O modelo confeccionado fará com que o aluno 
perceba que a altura da cadeira da roda­gigante é uma função do ângulo 
1 radiano é a medida do ângulo central que determina na circunferência 
um arco cujo comprimento é igual ao raio.
fig. 1
fig. 2
fig. 3
1 radiano
A
B
 Definição
A roda-gigante Guia do professor 4 / 8
Etapa 1 Construção da roda­gigante
A construção do modelo da roda­gigante, que é essencialmente um disco 
giratório dividido em fatias, deve seguir as etapas sugeridas no experi­
mento. 
 Por simplicidade vamos considerar que as cadeiras estejam na circun­
ferência do disco giratório e que as medidas das alturas sejam relativas à 
base do modelo.
 Recomendamos uma roda para cada grupo de quatro alunos. Os círculos 
devem ser cortados com capricho para que os erros nas medições dos 
ângulos e da altura sejam os menores possíveis.
Etapa 2 O sobe­e­desce da cadeira
Conduza a atividade fazendo perguntas aos alunos, como:
Supondo que o movimento de rotação da roda seja uniforme e que tenha „
se iniciado quando um passageiro entrou e se sentou na cadeira, qual é 
a altura da cadeira? Marque no gráfi co.
Depois de quantas voltas essa altura se repete? „
Qual é a altura máxima da cadeira? Marque no gráfi co. „
Observando que entre a altura mínima e a altura máxima há uma altura „
intermediária que é atingida duas vezes em cada volta, quanto mede essa 
altura intermediária? Marque no gráfi co.
correspondente ao giro e que o gráfi co dessa função não é composto por 
segmentos de reta, pois a taxa de variação da altura em relação ao ângulo, 
defi nida por
∆h
∆θ
−
h(θ1)− h(θ2)
θ1 − θ2
,
não é constante.
 Ao contrário, o gráfi co dos pontos que mostram algumas alturas em 
termos dos respectivos ângulos centrais, da figura 4, mostra que a função 
cresce, decresce e se repete a cada 2π radianos.
��
al
tu
ra
 (c
m
)
ângulo (rad)
��
��
��
��
�
π⁄� π �π⁄� �π �π⁄� �π �π⁄� �π
fig. 4
A roda-gigante Guia do professor 5 / 8
 Para provocar os seus alunos, faça perguntas, como a seguinte:
Por que o gráfico que representa a altura não é constituído simplesmente „
por segmentos de reta?
 A resposta pode ser a seguinte:
 O modelo confeccionado faz com que o aluno perceba que a altura de 
uma cadeira da roda­gigante é uma função do ângulo correspondente ao 
giro. Para duas medidas quaisquer do ângulo, digamos θ1 θ2 e θ1 θ2, a taxa de 
variação da altura em relação a esses ângulos, denotada por
∆h
∆θ
−
h(θ1)− h(θ2)
θ1 − θ2
,
não é constante. Se fosse constante, o gráfico seria uma reta, pois esse 
quociente representa a inclinação da reta. Ao contrário, o gráfico é melhor 
representado por funções trigonométricas, como mostra a figura 7 
a seguir.
 
Etapa 3 Construção dos gráficos
Na primeira etapa, os alunos deverão usar o minitransferidor que foi cons­
truído no início da atividade para medir os ângulos e, para medir a altura, 
eles usarão uma régua como indica a figura 5.
 Na segunda etapa, os alunos determinarão o comprimento de arcos 
utilizando um pedaço de barbante e medirão também as alturas com auxílio 
de uma régua. Na figura 2, os ângulos foram medidos em radianos e as 
alturasem centímetros. Caso os alunos não tenham estudado o conceito 
de radiano, é possível fazê­lo utilizando o texto que se encontra em 
ComeNtários iNiciais deste guia.
fig. 5
fig. 6
A roda-gigante Guia do professor 6 / 8
A função geral que descreve a relação “a altura em função do ângulo” é 
dada por f R h θ y = h−R cos (θ) y = h−R cos (c/R), onde f R h θ y = h−R cos (θ) y = h−R cos (c/R) é a altura, f R h θ y = h−R cos (θ) y = h−R cos (c/R) é o ângulo, f R h θ y = h−R cos (θ) y = h−R cos (c/R) é o raio 
do disco e f R h θ y = h−R cos (θ) y = h−R cos (c/R) a altura da base.
Quando a função é descrita por f R h θ y = h−R cos (θ) y = h−R cos (c/R), onde f R h θ y = h−R cos (θ) y = h−R cos (c/R) é a altura, 
c é o comprimento percorrido, f R h θ y = h−R cos (θ) y = h−R cos (c/R) é o raio do disco e f R h θ y = h−R cos (θ) y = h−R cos (c/R) é a distância do centro 
à base, então o ângulo está sendo medido em radianos.
 Os alunos verifi carão que seus gráfi cos possuem o mesmo período.
Uma função f R h θ y = h−R cos (θ) y = h−R cos (c/R) é periódica se seus valores se repetem em intervalos 
regulares.
De que forma é possível encontrar a função que descreve o gráfi co?
 Como f R h θ y = h−R cos (θ) y = h−R cos (c/R) é o raio da roda­gigante, f R h θ y = h−R cos (θ) y = h−R cos (c/R) é a distância da base que sustenta 
a roda­gigante ao centro do disco e f R h θ y = h−R cos (θ) y = h−R cos (c/R) é o ângulo de deslocamento da 
cadeira, a função procurada é:
f R h θ y = h−R cos (θ) y = h−R cos (c/R)
��
al
tu
ra
 (c
m
)
período
ângulo (rad)
��
�
π⁄� π �π⁄� �π �π⁄� �π �π⁄� �π
fig. 7 fig. 8
 Função periódica
 Conclusão importante
 Observação
 Pergunta
R cos(Θ) Θ
R
h − R cos(Θ)
h
A roda-gigante Guia do professor 7 / 8
Bibliografia
Carmo, Manfredo P do; Morgado, Augusto C; WagNer, Eduardo. Trigo­
nometria, Números Complexos. Rio de Janeiro. Sociedade Brasileira de 
Matemática. Coleção do Professor de Matemática, 1996.
CoNNally, Eric; Hughes­Hallett, Deborah; GleasoN, Andrew; et all. 
Function Modeling Change. A Preparation for Calculus. New York: John 
Wiley & Sons, Inc., 2000.
Fechamento
O que propomos nesta atividade pode ser o ponto de partida para a gene ­
ralização dos conceitos de medida de ângulo, de arco e de ângulo orien­
tado, que são temas essenciais ao Ensino Médio.
 A seguinte pergunta se encontra na Folha do AluNo:
Quais características possui este gráfico que o difere dos outros tipos de 
gráficos que você conhece? Você saberia dizer qual altura teremos quando 
o ângulo for de 6π radianos (1080°)?
 Uma das características do gráfico é a sua periodicidade, ou seja, a 
altura é a mesma a cada volta completa da roda­gigante. Quando o ângulo 
for de 6π radianos, a roda­gigante terá dado três voltas completas e a altura 
f R h θ y = h−R cos (θ) y = h−R cos (c/R) será igual à altura f R h θ y = h−R cos (θ) y = h−R cos (c/R) inicial.
Variações
Aproveite a oportunidade e trabalhe com a altura das marés, que é outro 
exemplo de função periódica. No site: www.mar.mil.br, encontramos 
tabelas que fornecem a altura das marés em vários portos do Brasil, ou dê 
uma olhada no software ONdas trigoNométricas, que analisa vários fenô­
menos periódicos através de funções trigonométricas.
 Pense e responda
Ficha técnica
Ministério da 
Ciência e Tecnologia
Ministério 
da Educação
Secretaria de 
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Matemática Multimídia
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Coordenador de Experimentos
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Estatística e Computação 
Científica (imecc – unicamp)
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Jayme Vaz Jr.
Vice-Diretor
Edmundo Capelas de Oliveira
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de Campinas
Reitor
Fernando Ferreira Costa
Vice-Reitor
Edgar Salvadori de Decca
Pró-Reitor de Pós-Graduação
Euclides de Mesquita Neto
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Autores
Maria Zoraide M. C. Soares
Revisores
Matemática
Antônio Carlos Patrocínio 
Língua Portuguesa
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Pedagogia
Ângela Soligo
Projeto gráfico 
e ilustrações técnicas 
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