Questão 3 de Métodos Deterministicos I

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AD1 - Gabarito da Questa˜o 3 - 2016–1
Considere as seguintes proposic¸o˜es:
P: “Existem indiv´ıduos que sa˜o corajosos”.
Q : “Todos os cientistas sa˜o estudiosos”.
R :“Adriana na˜o e´ costureira ou Bruno e´ cozinheiro”.
S : “Se Carla e´ engenheira, enta˜o ela tem curso superior”.
a) (0.6 pt) Escreva as proposic¸o˜es simples envolvidas na proposic¸a˜o composta R, designando para
cada uma delas uma letra diferente.
Usando os s´ımbolos lo´gicos e as letras escolhidas, reescreva a proposic¸a˜o composta.
Execute os mesmos procedimentos para S.
b) (0.2 pt) Segundo o que foi estudado na Aula 4, do Caderno Dida´tico, a proposic¸a˜o S e´
logicamente equivalente a que proposic¸a˜o?
c) (1.7 pt) Com base nas proposic¸o˜es P, Q, R e S, marque com V as afirmac¸o˜es abaixo que forem
“Verdadeiras”e com F aquelas que forem “Falsas”.
i) ( ) A negac¸a˜o de P e´: “Existem indiv´ıduos que na˜o sa˜o corajosos”.
ii) ( ) A negac¸a˜o de Q e´: “Existem cientistas que sa˜o estudiosos”.
iii) ( ) A negac¸a˜o de R e´: “Adriana e´ costureira ou Bruno na˜o e´ cozinheiro”.
iv) ( ) A negac¸a˜o de S e´: “Carla e´ engenheira ou ela na˜o tem curso superior”.
Caso a afirmac¸a˜o seja falsa, escreva qual e´ a negac¸a˜o correta da proposic¸a˜o em questa˜o.
Justifique bem suas respostas, usando a teoria estudada nas Aulas 3, 4 ou 5. Na˜o se esquec¸a
das Leis de Morgan.
Soluc¸a˜o:
a) Para R: Consideremos a como sendo a proposic¸a˜o elementar “Adriana e´ costureira” e b como
sendo a proposic¸a˜o elementar “Bruno e´ cozinheiro”, isto e´,
a: Adriana e´ costureira,
b: Bruno e´ cozinheiro.
Assim, usando os s´ımbolos lo´gicos e as letras escolhidas acima, a proposic¸a˜o composta R
e´ reescrita como ∼ a ∨ b.
Para S: Consideremos p como sendo a proposic¸a˜o elementar “Carla e´ engenheira” e q como
sendo a proposic¸a˜o elementar “Carla tem curso superior”, isto e´,
p: Carla e´ engenheira,
q: Carla tem curso superior.
Assim, usando os s´ımbolos lo´gicos e as letras escolhidas acima, a proposic¸a˜o composta S
e´ reescrita como p =⇒ q.
b) Pela Aula 4 do Caderno Dida´tico, pa´gina 54, temos que p =⇒ q e´ logicamente equivalente a`
proposic¸a˜o ∼ p ∨ q, isto e´, Carla na˜o e´ engenheira ou Carla tem curso superior.
Me´todos Determin´ısticos I AD1 - questa˜o 1 2
c) i) Falsa.
Em P temos a presenc¸a do quantificador existencial “existem”. Assim, quando fazemos
a negac¸a˜o de uma proposic¸a˜o que o conte´m trocamos ele pelo quantificador universal
“todos”. Assim, a negac¸a˜o de P e´ “Todos os indiv´ıduos sa˜o na˜o-corajosos”.
ii) Falsa.
Em Q temos a presenc¸a do quantificador universal “todos”. Assim, quando fazemos a
negac¸a˜o de uma proposic¸a˜o que o conte´m trocamos ele pelo quantificador existencial
“existem”. Assim, a negac¸a˜o de Q e´ “Existem cientistas que sa˜o na˜o-estudiosos” ou
“Existem cientistas que na˜o sa˜o estudiosos”.
iii) Falsa.
Pelas Leis de Morgan (Aula 4 do Caderno Dida´tico, pa´gina 51), segue que a negac¸a˜o de
R, ∼ (∼ a ∨ b) sera´ dada por
∼ (∼ a ∨ b) ≡ ∼ (∼ a)∧ ∼ q ≡ a∧ ∼ q.
Ou seja, a negac¸a˜o de P e´ “Ana e´ costureira e Bruno na˜o e´ cozinheiro”.
iv) Falsa.
Pelo item b), sabemos que p =⇒ q e´ logicamente equivalente a` proposic¸a˜o ∼ p ∨ q.
Assim, segue que a negac¸a˜o de p =⇒ q e´ logicamente equivalente a negac¸a˜o de ∼ p ∨ q,
isto e´,
∼ (p =⇒ q) ≡ ∼ (∼ p ∨ q). (1)
Mas como pelas Leis de Morgan
∼ (∼ p ∨ q) ≡ p∧ ∼ q (2)
segue das equivaleˆncias (1) e (2) que
∼ (p =⇒ q) ≡ p∧ ∼ q. (3)
Portanto, a negac¸a˜o de S e´ “Carla e´ engenheira e ela na˜o tem curso superior”
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