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AD1 - Gabarito da Questa˜o 3 - 2016–1 Considere as seguintes proposic¸o˜es: P: “Existem indiv´ıduos que sa˜o corajosos”. Q : “Todos os cientistas sa˜o estudiosos”. R :“Adriana na˜o e´ costureira ou Bruno e´ cozinheiro”. S : “Se Carla e´ engenheira, enta˜o ela tem curso superior”. a) (0.6 pt) Escreva as proposic¸o˜es simples envolvidas na proposic¸a˜o composta R, designando para cada uma delas uma letra diferente. Usando os s´ımbolos lo´gicos e as letras escolhidas, reescreva a proposic¸a˜o composta. Execute os mesmos procedimentos para S. b) (0.2 pt) Segundo o que foi estudado na Aula 4, do Caderno Dida´tico, a proposic¸a˜o S e´ logicamente equivalente a que proposic¸a˜o? c) (1.7 pt) Com base nas proposic¸o˜es P, Q, R e S, marque com V as afirmac¸o˜es abaixo que forem “Verdadeiras”e com F aquelas que forem “Falsas”. i) ( ) A negac¸a˜o de P e´: “Existem indiv´ıduos que na˜o sa˜o corajosos”. ii) ( ) A negac¸a˜o de Q e´: “Existem cientistas que sa˜o estudiosos”. iii) ( ) A negac¸a˜o de R e´: “Adriana e´ costureira ou Bruno na˜o e´ cozinheiro”. iv) ( ) A negac¸a˜o de S e´: “Carla e´ engenheira ou ela na˜o tem curso superior”. Caso a afirmac¸a˜o seja falsa, escreva qual e´ a negac¸a˜o correta da proposic¸a˜o em questa˜o. Justifique bem suas respostas, usando a teoria estudada nas Aulas 3, 4 ou 5. Na˜o se esquec¸a das Leis de Morgan. Soluc¸a˜o: a) Para R: Consideremos a como sendo a proposic¸a˜o elementar “Adriana e´ costureira” e b como sendo a proposic¸a˜o elementar “Bruno e´ cozinheiro”, isto e´, a: Adriana e´ costureira, b: Bruno e´ cozinheiro. Assim, usando os s´ımbolos lo´gicos e as letras escolhidas acima, a proposic¸a˜o composta R e´ reescrita como ∼ a ∨ b. Para S: Consideremos p como sendo a proposic¸a˜o elementar “Carla e´ engenheira” e q como sendo a proposic¸a˜o elementar “Carla tem curso superior”, isto e´, p: Carla e´ engenheira, q: Carla tem curso superior. Assim, usando os s´ımbolos lo´gicos e as letras escolhidas acima, a proposic¸a˜o composta S e´ reescrita como p =⇒ q. b) Pela Aula 4 do Caderno Dida´tico, pa´gina 54, temos que p =⇒ q e´ logicamente equivalente a` proposic¸a˜o ∼ p ∨ q, isto e´, Carla na˜o e´ engenheira ou Carla tem curso superior. Me´todos Determin´ısticos I AD1 - questa˜o 1 2 c) i) Falsa. Em P temos a presenc¸a do quantificador existencial “existem”. Assim, quando fazemos a negac¸a˜o de uma proposic¸a˜o que o conte´m trocamos ele pelo quantificador universal “todos”. Assim, a negac¸a˜o de P e´ “Todos os indiv´ıduos sa˜o na˜o-corajosos”. ii) Falsa. Em Q temos a presenc¸a do quantificador universal “todos”. Assim, quando fazemos a negac¸a˜o de uma proposic¸a˜o que o conte´m trocamos ele pelo quantificador existencial “existem”. Assim, a negac¸a˜o de Q e´ “Existem cientistas que sa˜o na˜o-estudiosos” ou “Existem cientistas que na˜o sa˜o estudiosos”. iii) Falsa. Pelas Leis de Morgan (Aula 4 do Caderno Dida´tico, pa´gina 51), segue que a negac¸a˜o de R, ∼ (∼ a ∨ b) sera´ dada por ∼ (∼ a ∨ b) ≡ ∼ (∼ a)∧ ∼ q ≡ a∧ ∼ q. Ou seja, a negac¸a˜o de P e´ “Ana e´ costureira e Bruno na˜o e´ cozinheiro”. iv) Falsa. Pelo item b), sabemos que p =⇒ q e´ logicamente equivalente a` proposic¸a˜o ∼ p ∨ q. Assim, segue que a negac¸a˜o de p =⇒ q e´ logicamente equivalente a negac¸a˜o de ∼ p ∨ q, isto e´, ∼ (p =⇒ q) ≡ ∼ (∼ p ∨ q). (1) Mas como pelas Leis de Morgan ∼ (∼ p ∨ q) ≡ p∧ ∼ q (2) segue das equivaleˆncias (1) e (2) que ∼ (p =⇒ q) ≡ p∧ ∼ q. (3) Portanto, a negac¸a˜o de S e´ “Carla e´ engenheira e ela na˜o tem curso superior” Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
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